7.1.1数系的扩充与复数的概念 课件（共39张PPT）

(共39张PPT)
数系的扩充和复数的概念
主题一：复数的概念
【自主认知】
1.由x+ =1得x2+ =-1，
这与x2+ >0矛盾的原因是什么？
提示：方程x2-x+1=0无实根.
2.方程x2-x+1=0无实根的根本原因是什么？
提示：-1不能开平方.
3.我们设想引入一个新数，用字母i表示，使这个数是-1的平方根，即i2=-1，那么方程x2-x+1=0的根是什么？
提示：
4.满足i2=-1的新数i显然不是实数，称为虚数单位.虚数单位i与实数进行四则运算，可以形成哪种一般形式的数？
提示：a+bi(a，b∈R).
根据以上探究过程，试着写出复数的有关概念.
1.虚数单位i的意义：i2=___.
2.复数的代数形式：________________.
3.复数的实部与虚部：__与__分别叫做复数z的实部与虚部.
4.复数z=a+bi(a，b∈R)为实数的条件是____；
复数z=a+bi(a，b∈R)为虚数的条件是_____；
复数z=a+bi(a，b∈R)为纯虚数的条件是__________.
-1
z=a+bi(a，b∈R)
a
b
b=0
b≠0
a=0且b≠0
【合作探究】
1.根据数系的扩充原则应规定虚数单位i和实数之间的运算满足哪些运算律？
提示：乘法和加法都满足交换律、结合律，乘法对加法满足分配律.
2.把形如a+bi(a，b∈R)的数叫做复数，全体复数所构成的集合叫做复数集，记作C，那么复数集如何用描述法表示？
提示：C={z|z=a+bi(a，b∈R)}.
3.复数的实部与虚部一定是实数吗？
提示：若复数z=a+bi(a，b∈R)，则其实部为a，虚部为b，因此复数的实部和虚部指的是两个实数，不能认为复数z=a+bi(a，b∈R)的虚部是bi，同时要特别注意只有当a，b∈R时，a+bi中的a与b才分别是实部与虚部.
【过关小练】
1.复数-3i的虚部是　(　　)
A.0 B.-3 C.i D.-3i
【解析】选B.-3i=0+(-3)i,对应a+bi(a,b∈R)的形式,实部a=0,虚部b=-3.
2.若x,y∈R,z=x+yi是虚数,则有　(　　)
A.x=0,y∈R B.x≠0,y∈R
C.x∈R,y=0 D.x∈R,y≠0
【解析】选D.z=x+yi是虚数,只需y≠0即可.
主题二：复数的相等和分类
【自主认知】
1.a+bi=0的充要条件是什么？
提示：a=b=0.
2.虚数集与纯虚数集之间的关系如何？
提示：纯虚数集是虚数集的真子集.
3.复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系用韦恩图怎样表示？
提示：
根据以上探究过程，总结出复数相等的充要条件以及复数的分类.
1.复数相等的充要条件
设a，b，c，d都是实数，那么a+bi=c+di _________.
2.复数的分类
a=c，b=d
纯虚数
【合作探究】
1.复数可以相等，是否可以比较大小呢？
提示：若两个复数全是实数，则可以比较大小；反之，若两个复数能比较大小，则它们必是实数.若两个复数不全是实数，则不能比较大小.
2.实数集R与纯虚数集I的交集为空集吗？实数集R与纯虚数集I的并集为复数集C吗？
提示：由复数的分类可知，R∩I= 正确，R∪I=C错误，事实上，
{实数}∪{虚数}=C，{实数}∩{虚数}= .
【拓展延伸】实系数一元二次方程在复数集C中解的情况
设一元二次方程ax2+bx+c=0(a，b，c∈R且a≠0).
因为a≠0，所以原方程可变形为
(1)当Δ=b2-4ac>0时，原方程有两个不相等的实数根x=
(2)当Δ=b2-4ac=0时，原方程有两个相等的实数根x1=x2=
(3)当Δ=b2-4ac<0时， <0，
又 的平方根为
此时原方程有两个不相等的虚数根x=
【说明】实系数一元二次方程在复数范围内必有两个解：当Δ≥0时，有两个实根；当Δ<0时，有两个不相等的虚根.
【过关小练】
1.复数z=(m2-1)+(m-1)i(m∈R)是纯虚数，则有(　　)
A.m=±1 B.m=-1
C.m=1 D.m≠1
【解析】选B.因为复数z=(m2-1)+(m-1)i(m∈R)是纯虚数，
所以 解得m=-1.
2.如果用C,R和I分别表示复数集、实数集和纯虚数集,其中C为全集,那么有　(　　)
A.C=R∪I B.R∩I={0}
C.R=C∩I D.R∩I=
【解析】选D.复数z=a+bi(a,b∈R)
根据以上复数分类判断知R∩I= ,故选D.
【归纳总结】
1.复数概念的三个关注点
(1)虚数单位i可以与实数进行加、减、乘、除的运算.
(2)复数的定义如同指数函数的定义一样，采用形式定义，即符合a+bi(a，b∈R)的形式的数就是复数.
(3)复数的代数形式a+bi(a，b∈R)中，a，b一定是实数，否则，就不是复数的代数形式.
2.对复数相等与分类的五点说明
(1)注意准确把握复数集内各子集之间的关系，有利于对复数概念的完整理解.
(2)若两个复数全是实数，则两数可以比较大小，反之，若两个复数可以比较大小，则两个复数全是实数.
(3)应用复数相等的充要条件解题时要确保复数必须化成a+bi(a，b∈R)的形式，否则等量关系不成立.
(4)“a+bi=c+di”得“a=c且b=d”成立的前提条件是a，b，c，d∈R，否则结论不一定成立.
(5)根据复数相等的定义知，在a=c，b=d两式中，只要有一个不成立，那么a+bi≠c+di(a，b，c，d∈R).
类型一：复数的概念及分类
【典例1】(1)下列命题中，正确的是(　　)
①若a∈R，则(a+1)i是纯虚数；
②复数z=0的实部和虚部均为0；
③若(a2-3a+2)+(a-1)i是纯虚数，则实数a=1或2；
④两个虚数不能比较大小.
A.① B.②④ C.②③ D.③④
(2)当实数m为何值时，复数z= (m2-2m)i为
①实数；②虚数；③纯虚数？
【解题指南】(1)根据复数的概念，逐一作出判断.
(2)先确定复数的实部和虚部，再根据题意分别列出方程(组)求解.
【解析】(1)选B.在①中，若a=-1，则(a+1)i不是纯虚数，故①错误；在③中，若a=1，则(a2-3a+2)+(a-1)i=0为实数，故③错误；
②④正确.
(2)①当 即m=2时，复数z是实数.
②当m2-2m≠0，且m≠0，即m≠0且m≠2时，复数z是虚数.
③当 即m=-3，复数z是纯虚数.
【规律总结】复数分类的关键
(1)利用复数的代数形式，对复数进行分类，关键是根据分类标准列出实部、虚部应满足的关系式.求解参数时，注意考虑问题要全面，当条件不满足代数形式z=a+bi(a，b∈R)时应先转化形式.
(2)注意分清复数分类中的条件
设复数z=a+bi(a，b∈R)，则①z为实数 b=0，②z为虚数 b≠0，③z为纯虚数 a=0，b≠0.④z=0 a=0，且b=0.
【巩固训练】以3i- 的虚部为实部，以3i2+ i的实部为虚部的
复数是(　　)
A.3-3i B.3+i
C.- + i D. + i
【解析】选A.3i- 的虚部为3，3i2+ i=-3+ i的实部为-3，故z=3-3i.
【补偿训练】1.(2015·石家庄高二检测)若复数z=(m+1)+(m2-9)i<0，则实数m的值等于(　　)
A.-1 B.±3 C.3 D.-3
【解析】选D.由(m+1)+(m2-9)i<0，
得 解得m=-3.
2.m为何实数时，复数z= (m2+8m+15)i是实数？虚数？纯
虚数？
【解析】(1)当
即m=-3时，z是实数.
(2)当m2+8m+15≠0，且m+5≠0，
即m≠-3且m≠-5时，z是虚数.
(3)当 =0，且m+5≠0，m2+8m+15≠0，即m=2时，z是纯虚数.
类型二：复数的相等
【典例2】(1)设复数z1=(x-y)+(x+3)i，z2=(3x+2y)-yi，若z1=z2，实数x=　　　　，y=　　　.
(2)已知关于x的方程x2+(1-2i)x+(3m-i)=0有实数根，则实数m的值为　　　　，方程的实根x为　　　　.
【解题指南】(1)根据实部与实部相等，虚部与虚部相等，列方程组求解.
(2)设出方程的实数解，代入原式整理为a+bi=0(a，b∈R)的形式解决.
【解析】(1)由复数相等的充要条件得
解得
答案：-9　6
(2)设a是原方程的实根，
则a2+(1-2i)a+(3m-i)=0，
即(a2+a+3m)-(2a+1)i=0+0i，
所以a2+a+3m=0且2a+1=0，
所以a=- 且 +3m=0，
所以m= .
答案：　
【延伸探究】
1.(变换条件)若将题(2)中的方程改为：x2+mx+2xi=-1-mi如何求解？
【解析】设实根为x0，代入方程，由复数相等定义，得
因此，当m=-2时，原方程的实根为x=1，
当m=2时，原方程的实根为x=-1.
2.(变换条件)若将题(2)中的方程改为3x2- x-1=(10-x-2x2)i，
如何求解？
【解析】设方程实根为x0，则原方程可变为 -1
=(10-x0- )i，由复数相等定义，得：
因此，当m=11时，原方程的实根为x=2；
当m=- 时，原方程的实根为x=- .
【规律总结】复数相等问题的解题技巧
(1)必须是复数的代数形式才可以根据实部与实部相等，虚部与虚部相等列方程组求解.
(2)根据复数相等的条件，将复数问题转化为实数问题，为应用方程思想提供了条件，同时这也是复数问题实数化思想的体现.
(3)如果两个复数都是实数，可以比较大小，否则是不能比较大小的.
【拓展延伸】复数问题实数化
两个复数相等的充要条件是求复数及解相关方程或不等式的主要依据，是把复数问题实数化的桥梁，运用两复数相等的充要条件时，首先要把“=”左右两边的复数写成代数形式，即分离实部与虚部，然后列出方程(组)求解.
【补偿训练】1.已知(m2+7m+10)+(m2-5m-14)i=0，则实数m=　　.
【解析】由已知得 解得m=-2.
答案：-2
2.已知x+y-xyi=24i-5，其中x，y∈R，求x，y的值.
【解析】因为x，y∈R，所以x+y∈R，xy∈R，
依题意得