课件10张PPT。二项式定理
习题课课堂练习：1. 等于 （ ）
A. B. C. D. 2．在 的展开式中x的系数为（ ）
A．160 B．240 C．360 D．8003.求的展开式中 项的系数.4．已知
那么 的展开式中含 项的系数是 . 5.求值：11.证明(Cn0)2+(Cn1)2+(Cn2)2+…+(Cnn)2＝12、将4个编号的球随机地放入3个编号的盒中，对每一个盒来说，所放的球数k满足 。假定各种放法是等可能的，试求：
⑴“第一盒中没有球”的概率；
⑵“第一盒中恰有一球”的概率；
⑶“第一盒中恰有两球”的概率；
⑷“第一盒中恰有三球”的概率。
如何产生［a,b］区间上均匀随机数呢？利用计算器或计算机产生[0，1]上的均匀随机数x=RAND,然后利用伸缩和变换，
就可得到[a,b]内的均匀随机数，试验的结果是[a,b]上的任何一个实数，并且任何一个实数都是等可能的。练习、根据1.1.2例3中的程序框图，编写
计算机程序来计算1+2+…+100的值程序：i=1s=0WHILE i<=100s=s+ii=i+1WENDPRINT sEND思考：用UNTIL语句编写计算机程序，来计算
1+2+…+100的值.结束程序框图：程序：i=1s=0DOs=s+ii=i+1LOOP UNTIL i>100PRINT sEND课件15张PPT。1.3.1二项式定理(一)( a + b ) 2 =思考:(a+b)4的展开式是什么? ( a + b ) 3 =复 习：次数:各项的次数等于二项式的次数项数:次数+1( a + b ) 2 =( a + b ) 3 =复 习：(a+b)2＝ (a+b) (a+b) 展开后其项的形式为：a2 ， ab ， b2这三项的系数为各项在展开式中出现的次数。考虑b恰有1个取b的情况有C21种，则ab前的系数为C21恰有2个取b的情况有C22 种，则b2前的系数为C22每个都不取b的情况有1种，即C20 ,则a2前的系数为C20对(a+b)2展开式的分析(a+b)4＝ (a+b) (a+b) (a+b) (a+b)＝？问题：
1)．(a+b)4展开后各项形式分别是什么？2)．各项前的系数代表着什么？3)．你能分析说明各项前的系数吗？a4 a3b a2b2 ab3 b4各项前的系数 代表着这些项在展开式中出现的次数每个都不取b的情况有1种，即C40 ,则a4前的系数为C40恰有1个取b的情况有C41种，则a3b前的系数为C41恰有2个取b的情况有C42 种，则a2b2前的系数为C42恰有3个取b的情况有C43 种，则ab3前的系数为C43恰有4个取b的情况有C44种，则b4前的系数为C44则 (a+b)4 ＝
C40 a4 ＋C41 a3b ＋C42 a2b2 ＋C43 ab3 ＋C44 b43)．你能分析说明各项前的系数吗？a4 a3b a2b2 ab3 b4( a + b ) n=(a+b)n的展开式是：二项定理(a+b)n是n个(a+b)相乘， 每个（a+b）在相乘时有两种选择，选a或b. 而且每个(a+b)中的a或b选定后才能得到展开式的一项。对于每一项akbn-k，它是由k个(a+b)选了a，n-k个(a+b)选了b得到的，它出现的次数相当于从n个(a+b)中取k个a的组合数，将它们合并同类项，就得二项展开式，这就是二项式定理。其中每一项都是akbn-k的形式，k=0，1，…，n；定理的证明二项式定理： n ∈ N *注:(1) 上式右边为二项展开式,
各项次数都等于二项式的次数(2) 展开式的项数为 n+1 项；(3) 字母a按降幂排列,次数由n递减到0
字母b按升幂排列,次数由0递增到n(4)二项式系数可写成组合数的形式,
组合数的下标为二项式的次数
组合数的上标由0递增到n(5) 展开式中的第 r + 1 项，
即通项 Tr+1 =__________；二项式定理： n ∈ N *(6) 二项式系数为 ______；项的系数为 二项式系数与数字系数的积在二项式定理中，令a=1，b=x，则有：在上式中，令 x = 1，则有：例1、展开 2、展开3、求(x+a)12的展开式中的倒数第4项。4、(1)求(1+2x)7的展开式中第4项的系数。(2)求(x－ )9的展开式中x3的系数。例2(1)求 的展开式常数项；
(2)求 的展开式的中间两项.练习
1.求（2a+3b）6的展开式的第3项.
?
?2.求（3b+2a）6的展开式的第3项.
?
3.写出 的展开式的第r+1项.
?
4.用二项式定理展开：
（1） ；
（2） .
5.化简：
（1） ；
?
（2） Thank you！课件7张PPT。1.3.1二项式定理(二)温故而知新1.(a+b)n的二项展开式 是_________.2.通项公式是 _______________. Tr+1 =5、在 展开式中的常数项
是__________例1、计算：
（1）
（2）例2、求 的展开式中的 系数。例3、求 展开式中的常数项。例5、(1)已知 的第5项的二项式系数与第3
项的二项式系数比为14：3，求展开式中不含x 的项。(2)已知 的展开式中，第5项的系数与
第3 项的系数比为56：3，求展开式中的常数项。例4、已知 展开式中第2项大于它的相邻两项，求x的范围。例6、已知(1-2x)7=a0+ a1x + a2x2 + …+ a7x7 ,则
(1)a1+a2+a3+…+a7=_______
(2)a1+a3+a5+a7 =_________
(3)a0+a2+a4+a6 =_________赋值法练习:
(5)若已知
(1+2x)200= a0+ a1(x-1) + a2(x-1)2 + …+ a200(x-1)200
求a1+a3+a5+a7+…+a199 的值。例7、若 展开式中前三项系数成等差
数列，求（1）展开式中含x的一次幂的项；
（2）展开式中所有x 的有理项；1、已知 的展开式中x3的系数
为 ，则常数a的值是_______ 2、在(1-x3)(1+x)10的展开式中x5的系数是（ ）
A.-297 B.-252 C. 297 D. 2073、(x+y+z)9中含x4y2z3的项的系数是__________课堂练习4.已知(1+ )n展开式中含x-2的项的系数为12，求n.
5.已知（10+xlgx）5的展开式中第4项为106，求x的值.课件21张PPT。二项式定理说课第一课时说教学目标说教材说教法、学法说教学过程课堂小结提出问题、分析问题解决问题 一、说教材
1、知识内容：二项式定理及简单的应用
2、地位及重要性：
二项式定理安排在高中数学选修2-3第三节,是排列组合内容后的一部分内容，其形成过程是组合知识的应用，同时也是自成体系的知识块，为随后学习的概率知识及概率与统计，作知识上的铺垫。二项展开式与多项式乘法有密切的联系，本节知识的学习，必然从更广的视角和更高的层次来审视初中学习的关于多项式变形的知识。运用二项式定理可以解决一些比较典型的数学问题，例如近似计算、整除问题、不等式的证明等。
3 、重点难点分析：
重点：（1）使学生参与并深刻体会二项式定理形成过程，掌握二项式， 系数，字母的幂次，展开式项数的规律。
（2）能够应用二项式定理对二项式进行展开。
难点：掌握运用多项式乘法以及组合知识推导二项式定理的过程。A.知识与技能
（1）使学生参与并探讨二项式定理的形成过程，掌握二项式系数、字母的 幂次、展开式项数的规律.
（2）能够应用二项式定理对所给出的二项式进行正确的展开.
B.过程与方法 ：（1）通过二项式定理的推导过程，培养学生观察，猜想，归纳的能力以及分类讨论的能力.
（2）培养学生化归的意识和知识迁移的能力.
C.情感态度与价值观:
（1）通过学生自主参与和探讨二项式定理的形成过程，培养学生解决数学问题的兴趣和信心.
（2）通过学生自主参与和探讨二项式定理的形成过程， 使学生体会到数学内在的和谐对称美.
二﹑说教学目标三﹑说教法和学法 1、教法 为了完成本节课的教学目标，掌握并能正确运用二项式定理，让学生主动探索展开式的由来是关键。。本节课的教法贯穿启发式教学原则，采用“多媒体引导点拨”的教学方法以多媒体演示为载体，以“引导思考”为核心，设计课件展示，并引导学生沿着积极的思维方向，逐步达到即定的教学目标，发展学生的 逻辑思维能力；同时，考虑到学生的个体差异，在教学的各个环节进行分层施教，实现“有差异”的发展。2 、学法根据学生思维的特点，遵循“教必须以学为主立足点”的教学理念，让每一个学生自主参与整堂课的知识构建。在教学的各个环节中引导学生进行类比迁移，对照学习。学生在教师营造的“可探索”的环境里，积极参与，生动活泼地获取知识，掌握规律、主动发现、主动发展。 3 、教学手段新课教学引出问题 归纳猜想二项式定理例题分析课堂练习课堂小结课后作业思考：二项式定理如果今天是星期一，那么再经过 天后是 星期几？ 我们知道:， 二项式定理根据多项式乘法，又可得 问题：按上述方法展开、 、 实际可行吗？可见应探讨新方法。 取0个 b（全取a）：
取1个 b （1b1a） ：
取2个 b （2b0a）：
下一页二项式定理（a+b)2=?二项式定理二项式定理归纳猜想：？二项式定理公式特征：(1)项数：共有n+1项。(2)指数:(4)二项式系数：(3)二项展开式的通项公式 a的指数从n逐项递减到0, 是降幂排列；b的指数从0逐项递增到n,是升幂排列， 指数和为n。二项式定理简析：本题是一道利用二项式定理对某个二项式进行展开的问题，.
二项式定理简析：本题是一道利用二项式定理求某一项的系数问题，可以写出通项.让x的系数为3求r,来求该项的系数的系数简析：本题是考查二项式系数和系数的问题。二项式定理的展开式的第4项是所以展开式第4项的系数是280而展开式第4项的二项式系数二项式定理练习：
1.分别求 的第3项。
2.写出 的展开式的第3项。 备注：出以上两道练习题是为了加强学生对二项式通项公式的应用。(把学生做的练习进行投影)二项式定理小结：2.二项展开式的通项：
4.科学态度：养成善于观察、归纳、大胆猜想，利用从特殊到一般从而得出结论的学习态度。
3．应用：求展开式及展开式中的指定项,求二项展开式某一项的二项式系数和系数. 二项式定理布置作业：板书设计：二项式定理课后反思：二项式定理准备这节课，我主要考虑下面几个问题：
（1）这节课的教学目的“使学生掌握二项式定理”重要，还是“使学生掌握二项式定理的形成过程”重要？我反复斟酌，听取了备课组老师们的意见，认为后者重要。于是，我这节课花了大部分时间是来引导学生探究。
（2）学生怎样才能掌握二项式定理？是通过大量的练习来达到目的，还是通过学生对二项式定理的形成过程来记忆？正如前面所说“学问之道，问而得，不如求而得之深固也”。我还是要求学生自主的去探索二项式定理。这样也符合以教师为主导、学生为主体、师生互动的新课程教学理念。
（3）准备什么样的例题？例题的目的是为了巩固本节课所学，通过例题加深学生对二项式定理的理解和对通项公式的掌握，区分系数和二项式系数。再见
§1.3.1 二项式定理
课前预习学案
一、预习目标
通过分析(a+b)2的展开式，归纳得出二项式定理;掌握二项式定理的公式特征并能简单应用。
二、预习内容
1、（a+b）2=
（a1+ b1）(a2+b2) (a3+ b3)=______________________________
（a+b）3=
（a+b）4=
2、二项式定理的证明过程
3、（a+b）n=
4、（a+b）n的二项展开式中共有______项，其中各项的系数______叫做二项式系数，式中的____________叫做二项展开式的通项，用Tk+1表示，即通项为展开式的第k+1项：_____________________
5、在二项式定理中，若a=1，b=x，则有
（1+x）n=_______________________________________
课内探究学案
一、学习目标
1.用计数原理分析（a+b）3的展开式，进而探究（a+b）4的展开式，从而猜想二项式定理。
2.熟悉二项式定理中的公式特征，能够应用它解决简单问题。
3. 培养学生观察、分析、概括的能力。
二、学习重难点：
教学重点：二项式定理的内容及应用
教学难点：二项式定理的推导过程及内涵
三、学习过程
（一）探究（a+b）3、（a+b）4的展开式
问题1：（a1+ b1）(a2+b2) (a3+ b3)展开式中每一项是怎样构成的？展开式有几项？
问题2：将上式中，若令a1=a2=a3=a, b1=b2= b3=b,则展开式又是什么？
合作探究一：合并同类项后，为什么a2b的系数是3？
问题3：（a+b）4的展开式又是什么呢？
结论：（a+b）4= C a4+ C a3b+ C a2 b2+ C ab3+ Cb4
（二）猜想、证明“二项式定理”
问题4：（a+b）n的展开式又是什么呢？
合作探究二: (1) 将（a+b）n展开有多少项？
（2）每一项中，字母a，b的指数有什么特点？
（3）字母“a”、“b”指数的含义是什么？是怎么得到的？
（4）如何确定“a”、“b”的系数？
二项式定理：
(a+b)n=an+an-1b+…+an-kbk+…+bn(n∈N+)
（三）归纳小结：二项式定理的公式特征
（1）项数：_______;（2）次数：字母a按降幂排列，次数由____递减到_____；字母b按升幂排列，次数由____递增到______；
（3）二项式系数：下标为_____，上标由_____递增至_____；
（4）通项:Tk+1=__________；指的是第k+1项，该项的二项式系数为______；
（5）公式所表示的定理叫_____________，右边的多项式叫做（a＋b）n的二项展开式。
（四）典型例题
例1 求的展开式 （分析：为了方便，可以先化简后展开。）
例2 ①的展开式的第4项的系数及第4项的二项式系数。
②求的展开式中含的系数。
（五）当堂检测
1.写出（p+q）7的展开式；
2.求（2a+3b）6的展开式的第3项；
3.写出的展开式的第r+1项；
4.（x-1）10的展开式的第6项的系数是（ ）
（A） (B) (C) (D)
答案：1.（p+q）7=p7+7p6q+21p5q2+35p4q3+35p3q4+21p2q5+7pq6+q7.
2.T3= 2160a4b2 3. T=（－1）rC··x，4.D
课后练习与提高
1．在的展开式中，的系数为 （ ）
A． B． C． D．
2．已知（的展开式的第三项与第二项的系数的比为11∶2，则n是 （ ）
A．10 B．11 C．12 D．13
3．展开式中的系数是
4. 的展开式中常数项为
5. 的展开式中，含项的系数是 .
6. 若的展开式中前的系数是9900，求实数的值。
1．3．1二项式定理
教学目标：
知识与技能：进一步掌握二项式定理和二项展开式的通项公式
过程与方法：能解决二项展开式有关的简单问题
情感、态度与价值观：教学过程中，要让学生充分体验到归纳推理不仅可以猜想到一般性的结果，而且可以启发我们发现一般性问题的解决方法。
教学重点：二项式定理及通项公式的掌握及运用
教学难点：二项式定理及通项公式的掌握及运用
授课类型：新授课
课时安排：3课时
教 具：多媒体、实物投影仪
内容分析：
二项式定理是初中乘法公式的推广，是排列组合知识的具体运用，是学习概率的重要基础．这部分知识具有较高应用价值和思维训练价值．中学教材中的二项式定理主要包括：定理本身，通项公式，杨辉三角，二项式系数的性质等．
通过二项式定理的学习应该让学生掌握有关知识，同时在求展开式、其通项、证恒等式、近似计算等方面形成技能或技巧；进一步体会过程分析与特殊化方法等等的运用；重视学生正确情感、态度和世界观的培养和形成．
二项式定理本身是教学重点，因为它是后面一切结果的基础．通项公式，杨辉三角，特殊化方法等意义重大而深远，所以也应该是重点．
二项式定理的证明是一个教学难点．这是因为，证明中符号比较抽象、需要恰当地运用组合数的性质2、需要用到不太熟悉的数学归纳法．
在教学中，努力把表现的机会让给学生，以发挥他们的自主精神；尽量创造让学生活动的机会，以让学生在直接体验中建构自己的知识体系；尽量引导学生的发展和创造意识，以使他们能在再创造的氛围中学习．
教学过程：
一、复习引入：
⑴；
⑵
⑶的各项都是次式，
即展开式应有下面形式的各项：，，，，，
展开式各项的系数：上面个括号中，每个都不取的情况有种，即种，的系数是；恰有个取的情况有种，的系数是，恰有个取的情况有种，的系数是，恰有个取的情况有种，的系数是，有都取的情况有种，的系数是，
∴．
二、讲解新课：
二项式定理：
⑴的展开式的各项都是次式，即展开式应有下面形式的各项：
，，…，，…，，
⑵展开式各项的系数：
每个都不取的情况有种，即种，的系数是；
恰有个取的情况有种，的系数是，……，
恰有个取的情况有种，的系数是，……，
有都取的情况有种，的系数是，
∴，
这个公式所表示的定理叫二项式定理，右边的多项式叫的二项展开式，⑶它有项，各项的系数叫二项式系数，
⑷叫二项展开式的通项，用表示，即通项．
⑸二项式定理中，设，则
三、讲解范例：
例1．展开．
解一： ．
解二：
．
例2．展开．
解：
．
例3．求的展开式中的倒数第项
解：的展开式中共项，它的倒数第项是第项，
．
例4．求（1），（2）的展开式中的第项．
解：（1），
（2）．
点评：，的展开后结果相同，但展开式中的第项不相同
例5．（1）求的展开式常数项；
（2）求的展开式的中间两项
解：∵，
∴（1）当时展开式是常数项，即常数项为；
（2）的展开式共项，它的中间两项分别是第项、第项，
，
例6．（1）求的展开式的第4项的系数；
（2）求的展开式中的系数及二项式系数
解：的展开式的第四项是，
∴的展开式的第四项的系数是．
（2）∵的展开式的通项是，
∴，，
∴的系数，的二项式系数．
例7．求的展开式中的系数
分析：要把上式展开，必须先把三项中的某两项结合起来，看成一项，才可以用二项式定理展开，然后再用一次二项式定理，，也可以先把三项式分解成两个二项式的积，再用二项式定理展开
解：（法一）
，
显然，上式中只有第四项中含的项，
∴展开式中含的项的系数是
（法二）：
∴展开式中含的项的系数是．
例8．已知 的展开式中含项的系数为，求展开式中含项的系数最小值
分析：展开式中含项的系数是关于的关系式，由展开式中含项的系数为，可得，从而转化为关于或的二次函数求解
解：展开式中含的项为
∴，即，
展开式中含的项的系数为
，
∵， ∴，
∴
，∴当时，取最小值，但，
∴ 时，即项的系数最小，最小值为，此时．
例9．已知的展开式中，前三项系数的绝对值依次成等差数列，
（1）证明展开式中没有常数项；（2）求展开式中所有的有理项
解：由题意：，即，∴舍去）
∴
①若是常数项，则，即，
∵，这不可能，∴展开式中没有常数项；
②若是有理项，当且仅当为整数，
∴，∴ ，
即 展开式中有三项有理项，分别是：，，
例10．求的近似值，使误差小于．
解：，
展开式中第三项为，小于，以后各项的绝对值更小，可忽略不计，
∴，
一般地当较小时
四、课堂练习：
1.求的展开式的第3项.
2.求的展开式的第3项.
3.写出的展开式的第r+1项.
4.求的展开式的第4项的二项式系数，并求第4项的系数.
5.用二项式定理展开：
（1）；（2）.
6.化简：（1）；（2）
7．展开式中的第项为，求．
8．求展开式的中间项
答案：1.
2.
3.
4.展开式的第4项的二项式系数，第4项的系数
5. （1）；
（2）.
6. （1）；
（2）
7. 展开式中的第项为
8. 展开式的中间项为
五、小结 ：二项式定理的探索思路:观察——归纳——猜想——证明；二项式定理及通项公式的特点
六、课后作业： P36 习题1.3A组1. 2. 3.4
七、板书设计（略）
八、教学反思：
(a+b) ｎ =
这个公式表示的定理叫做二项式定理，公式右边的多项式叫做 (a+b)ｎ的 ，其中（r=0,1,2,……,n）叫做 ， 叫做二项展开式的通项，它是展开式的第 项，展开式共有 个项.
掌握二项式定理和二项展开式的通项公式，并能用它们解决与二项展开式有关的简单问题。
培养归纳猜想，抽象概括，演绎证明等理性思维能力。教材的探求过程将归纳推理与演绎推理有机结合起来，是培养学生数学探究能力的极好载体，教学过程中，要让学生充分体验到归纳推理不仅可以猜想到一般性的结果，而且可以启发我们发现一般性问题的解决方法。
二项式定理是指
这样一个展开式的公式.它是(a+b)2=a2+2ab+b2，(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3…等等展开式的一般形式，在初等数学中它各章节的联系似乎不太多，而在高等数学中它是许多重要公式的共同基础，根据二项式定理的展开，才求得y=xn的导数公式y′=nxn－1，同时=e≈2.718281…也正是由二项式定理的展开规律所确定，而e在高等数学中的地位更是举足轻重，概率中的正态分布，复变函数中的欧拉公式eiθ=cosθ+isinθ，微分方程中二阶变系数方程及高阶常系数方程的解由e的指数形式来表达.且直接由e的定义建立的y=lnx的导数公式y=与积分公式=dxlnx+c是分析学中用的最多的公式之一.而由y=xn的各阶导数为基础建立的泰勒公式；f(x)=f(x0)+(x－x0)2+…(x－x0)n+(θ∈(0，1))以及由此建立的幂级数理论，更是广泛深入到高等数学的各个分支中.
怎样使二项式定理的教学生动有趣
正因为二项式定理在初等数学中与其他内容联系较少，所以教材上教法就显得呆板，单调，课本上先给出一个(a+b)4用组合知识来求展开式的系数的例子.然后推广到一般形式，再用数学归纳法证明，因为证明写得很长，上课时的板书几乎占了整个黑板，所以课必然上得累赘，学生必然感到被动.那么多的算式学生看都不及细看，记也感到吃力，又怎能发挥主体作用？
怎样才能使得在这节课上学生获得主动？采用课前预习；自学辅导；还是学生讨论，或读，议、讲，练，或目标教学，还是设置发现情境？看来这些办法遇到真正困难时都会无能为力，因为这些方法都无法改变算式的冗长，证法的呆板，课堂上的新情境与学生的认知结构中的图式不协调的事实.
而MM教育方式即数学方法论的教育方式却能根据习题理论注意到充分利用数学方法与数学技术把所要证明或计算的形式变换得十分简洁，心理学家皮亚杰一再强调“认识起因于主各体之间的相互作用”［1］只有客体的形式与学生主体认知结构中的图式取得某种一致的时候，才能完成认识的主动建构，也就是学生获得真正的理解.
MM教育方式遵循“兴趣与能力的同步发展规律”和“教，学，研互相促进的规律”［2］在教学中追求简易，重视直观，并巧妙地在应用抽象使问题变得十分有趣，学生学得生动主动，充分发挥其课堂上的主体作用.
1．3．1二项式定理
第一课时
一、复习引入：
⑴；
⑵
⑶的各项都是次式，
即展开式应有下面形式的各项：，，，，，
展开式各项的系数：上面个括号中，每个都不取的情况有种，即种，的系数是；恰有个取的情况有种，的系数是，恰有个取的情况有种，的系数是，恰有个取的情况有种，的系数是，有都取的情况有种，的系数是，
∴．
二、讲解新课：
二项式定理：
⑴的展开式的各项都是次式，即展开式应有下面形式的各项：
，，…，，…，，
⑵展开式各项的系数：
每个都不取的情况有种，即种，的系数是；
恰有个取的情况有种，的系数是，……，
恰有个取的情况有种，的系数是，……，
有都取的情况有种，的系数是，
∴，
这个公式所表示的定理叫二项式定理，右边的多项式叫的二项展开式，⑶它有项，各项的系数叫二项式系数，
⑷叫二项展开式的通项，用表示，即通项．
⑸二项式定理中，设，则
三、讲解范例：
例1．展开．
解一： ．
解二：
．
例2．展开．
解：
．
第二课时
例3．求的展开式中的倒数第项
解：的展开式中共项，它的倒数第项是第项，
．
例4．求（1），（2）的展开式中的第项．
解：（1），
（2）．
点评：，的展开后结果相同，但展开式中的第项不相同
例5．（1）求的展开式常数项；
（2）求的展开式的中间两项
解：∵，
∴（1）当时展开式是常数项，即常数项为；
（2）的展开式共项，它的中间两项分别是第项、第项，
，
第三课时
例6．（1）求的展开式的第4项的系数；
（2）求的展开式中的系数及二项式系数
解：的展开式的第四项是，
∴的展开式的第四项的系数是．
（2）∵的展开式的通项是，
∴，，
∴的系数，的二项式系数．
例7．求的展开式中的系数
分析：要把上式展开，必须先把三项中的某两项结合起来，看成一项，才可以用二项式定理展开，然后再用一次二项式定理，，也可以先把三项式分解成两个二项式的积，再用二项式定理展开
解：（法一）
，
显然，上式中只有第四项中含的项，
∴展开式中含的项的系数是
（法二）：
∴展开式中含的项的系数是．
例8．已知 的展开式中含项的系数为，求展开式中含项的系数最小值
分析：展开式中含项的系数是关于的关系式，由展开式中含项的系数为，可得，从而转化为关于或的二次函数求解
解：展开式中含的项为
∴，即，
展开式中含的项的系数为
，
∵， ∴，
∴
，∴当时，取最小值，但，
∴ 时，即项的系数最小，最小值为，此时
第四课时
例9．已知的展开式中，前三项系数的绝对值依次成等差数列，
（1）证明展开式中没有常数项；（2）求展开式中所有的有理项
解：由题意：，即，∴舍去）
∴
①若是常数项，则，即，
∵，这不可能，∴展开式中没有常数项；
②若是有理项，当且仅当为整数，
∴，∴ ，
即 展开式中有三项有理项，分别是：，，
例10．求的近似值，使误差小于．
解：，
展开式中第三项为，小于，以后各项的绝对值更小，可忽略不计，
∴，
一般地当较小时
四、课堂练习：
1.求的展开式的第3项.
2.求的展开式的第3项.
3.写出的展开式的第r+1项.
4.求的展开式的第4项的二项式系数，并求第4项的系数.
5.用二项式定理展开：
（1）；（2）.
6.化简：（1）；（2）
7．展开式中的第项为，求．
8．求展开式的中间项
答案：1.
2.
3.
4.展开式的第4项的二项式系数，第4项的系数
5. （1）；
（2）.
6. （1）；
（2）
7. 展开式中的第项为
8. 展开式的中间项为
五、小结 ：二项式定理的探索思路:观察——归纳——猜想——证明；二项式定理及通项公式的特点
八、教学反思：
(a+b) ｎ =
这个公式表示的定理叫做二项式定理，公式右边的多项式叫做 (a+b)ｎ的 ，其中（r=0,1,2,……,n）叫做 ， 叫做二项展开式的通项，它是展开式的第 项，展开式共有 个项.
掌握二项式定理和二项展开式的通项公式，并能用它们解决与二项展开式有关的简单问题。
培养归纳猜想，抽象概括，演绎证明等理性思维能力。教材的探求过程将归纳推理与演绎推理有机结合起来，是培养学生数学探究能力的极好载体，教学过程中，要让学生充分体验到归纳推理不仅可以猜想到一般性的结果，而且可以启发我们发现一般性问题的解决方法。
二项式定理是指
这样一个展开式的公式.它是(a+b)2=a2+2ab+b2，(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3…等等展开式的一般形式，在初等数学中它各章节的联系似乎不太多，而在高等数学中它是许多重要公式的共同基础，根据二项式定理的展开，才求得y=xn的导数公式y′=nxn－1，同时=e≈2.718281…也正是由二项式定理的展开规律所确定，而e在高等数学中的地位更是举足轻重，概率中的正态分布，复变函数中的欧拉公式eiθ=cosθ+isinθ，微分方程中二阶变系数方程及高阶常系数方程的解由e的指数形式来表达.且直接由e的定义建立的y=lnx的导数公式y=与积分公式=dxlnx+c是分析学中用的最多的公式之一.而由y=xn的各阶导数为基础建立的泰勒公式；f(x)=f(x0)+(x－x0)2+…(x－x0)n+(θ∈(0，1))以及由此建立的幂级数理论，更是广泛深入到高等数学的各个分支中.
怎样使二项式定理的教学生动有趣
正因为二项式定理在初等数学中与其他内容联系较少，所以教材上教法就显得呆板，单调，课本上先给出一个(a+b)4用组合知识来求展开式的系数的例子.然后推广到一般形式，再用数学归纳法证明，因为证明写得很长，上课时的板书几乎占了整个黑板，所以课必然上得累赘，学生必然感到被动.那么多的算式学生看都不及细看，记也感到吃力，又怎能发挥主体作用？
怎样才能使得在这节课上学生获得主动？采用课前预习；自学辅导；还是学生讨论，或读，议、讲，练，或目标教学，还是设置发现情境？看来这些办法遇到真正困难时都会无能为力，因为这些方法都无法改变算式的冗长，证法的呆板，课堂上的新情境与学生的认知结构中的图式不协调的事实.
而MM教育方式即数学方法论的教育方式却能根据习题理论注意到充分利用数学方法与数学技术把所要证明或计算的形式变换得十分简洁，心理学家皮亚杰一再强调“认识起因于主各体之间的相互作用”［1］只有客体的形式与学生主体认知结构中的图式取得某种一致的时候，才能完成认识的主动建构，也就是学生获得真正的理解.
MM教育方式遵循“兴趣与能力的同步发展规律”和“教，学，研互相促进的规律”［2］在教学中追求简易，重视直观，并巧妙地在应用抽象使问题变得十分有趣，学生学得生动主动，充分发挥其课堂上的主体作用.
1.3 二项式定理
1.3.1 二项式定理
双基达标 ?限时20分钟?
1．化简(x－1)4＋4(x－1)3＋6(x－1)2＋4(x－1)＋1得 ( )．
A．x4 B．(x－1)4 C．(x＋1)4 D．x5
解析 原式＝(x－1＋1)4＝x4.
答案 A
2．若展开式的第4项为含x3的项，则n等于 ( )．
A．8 B．9 C．10 D．11
解析 Tk＋1＝C·xn－k·＝C·(－1)k·xn－2k，k∈{0，1，2，…，n}，
因为当k＋1＝4时，n－2k＝3，所以n＝9.
答案 B
3．对于二项式(n∈N*)，有以下四种判断：
①存在n∈N*，展开式中有常数项；②对任意n∈N*，展开式中没有常数项；③对任意n∈N*，展开式中没有x的一次项；④存在n∈N*，展开式中有x的一次项．其中正确的是 ( )．
A．①与③ B．②与③ C．②与④ D．①与④
解析 二项式的展开式的通项公式为Tk＋1＝Cx4k－n，由通项公式可
知，当n＝4k(k∈N*)和n＝4k－1(k∈N*)时，展开式中分别存在常数项和一次
项，故选D.
答案 D
4．二项式的展开式中整式项共有________项(用数字作答)．
解析 由Tr＋1＝C(x2)9－r＝Cx18－3r，依题意需使18－3r为整数．故18－
3r≥0，r≤6，即r＝0，1，2，3，4，5，6共7项．
答案 7
5．若的展开式中的常数项为84，则n＝________．
解析 由Tr＋1＝Cx3(n－r)x－＝Cx3n－，
令3n－＝0知2n＝3r.又C＝84，得n＝9.
答案 9
6．已知在的展开式中，第5项的系数与第3项的系数之比为56∶3，求展开式中的常数项．
解 T5＝C()n－424x－8＝16Cx，
T3＝C()n－222x－4＝4Cx.
由题意知，＝，解得n＝10.
Tk＋1＝C()10－k2kx－2k＝2kCx，
令5－＝0，解得k＝2，
∴展开式中的常数项为C22＝180.
综合提高（限时25分钟）
7．在(1－x3)(1＋x)10的展开式中，x5的系数是 ( )．
A．－297 B．－252 C．297 D．207
解析 (1－x3)(1＋x)10＝(1＋x)10－x3(1＋x)10展开式中含x5的项的系数为：C
－C＝207，故选D.
答案 D
8．(1.05)6的计算结果精确到0.01的近似值是 ( )．
A．1.23 B．1.24 C．1.33 D．1.34
解析 (1.05)6＝(1＋0.05)6＝C＋C×0.05＋C×0.052＋C×0.053＋…＝1＋
0.3＋0.037 5＋0.002 5＋…≈1.34.
答案 D
9．233除以9的余数是________．
解析 法一 233＝811＝(9－1)11＝C×911－C×910＋C×99－…＋C×9
－C，
∵除最后一项－1外，其余各项都能被9整除，故余数为9－1＝8.
法二 233＝230×23＝645×8＝8×(63＋1)5＝8×(C×635＋C×634＋…＋C
×63＋C)＝8×(635＋5×634＋10×633＋10×632＋5×63)＋8
∵括号内的各项都是9的倍数．
∴233除以9所得的余数是8.
答案 8
10．已知(xcos θ＋1)5的展开式中x2的系数与的展开式中x3的系数相等，则cos θ＝________．
解析 (xcos θ＋1)5展开式中x2的系数为Ccos2θ.
展开式中x3的系数为C.
由题意可知Ccos2θ＝C，∴cos2 θ＝，∴cos θ＝±.
答案 ±
11．已知在的展开式中，第9项为常数项，求：
(1)n的值；
(2)展开式中x5的系数；
(3)含x的整数次幂的项的个数．
解 已知二项展开式的通项
Tk＋1＝C·＝(－1)kCx2n－k.
(1)因为第9项为常数项，即当k＝8时，2n－k＝0，
解得n＝10.
(2)令2n－k＝5，得k＝(2n－5)＝6，
所以x5的系数为(－1)6C＝.
(3)要使2n－k，即为整数，只需k为偶数，由于k＝0，1，2，3，…，9，10，故符合要求的有6项，分别为展开式的第1，3，5，7，9，11项．
12．(创新拓展)已知数列{an}(n为正整数)是首项为a1，公比为q的等比数列．
(1)求和：a1C－a2C＋a3C，
a1C－a2C＋a3C－a4C；
(2)由(1)的结果归纳概括出关于正整数n的一个结论，并加以证明．
解 (1)a1C－a2C＋a3C
＝a1－2a1q＋a1q2
＝a1(1－q)2，
a1C－a2C＋a3C－a4C＝a1－3a1q＋3a1q2－a1q3＝a1(1－q)3.
(2)归纳概括的结论为：
若数列{an}是首项为a1，公比为q的等比数列，则
a1C－a2C＋a3C－a4C＋…＋(－1)nan＋1·
C＝a1(1－q)n，n为正整数．
证明：a1C－a2C＋a3C－a4C＋…＋(－1)nan＋1·C
＝a1C－a1qC＋a1q2C－a1q3C＋…＋(－1)na1qnC
＝a1[C－qC＋q2C－q3C＋…＋(－1)nqnC]
＝a1(1－q)n.
