§1.1 命题及四种命题
学习目标
1. 掌握命题、真命题及假命题的概念；
2. 四种命题的内在联系，能根据一个命题来构造它的逆命题、否命题和逆否命题.
学习过程
一、课前准备
复习1：什么是陈述句？
.
复习2：什么是定理?什么是公理?
.
二、新课导学
※ 学习探究
1.在数学中,我们把用 、 、或
表达的，可以 的 叫做命题.其中 的语句叫做真命题， 的语句叫做假命题
练习：下列语句中：
（1）若直线，则直线和直线无公共点；
（2）
（3）垂直于同一条直线的两个平面平行；
（4）若，则；
（5）两个全等三角形的面积相等；
（6）能被整除.
其中真命题有 ，假命题有
2.命题的数学形式：“若，则”，命题中的叫做命题的 ，叫做命题的 .
※ 典型例题
例1：下列语句中哪些是命题?是真命题还是假命题?
（1）空集是任何集合的子集；
（2）若整数是素数，则是奇数；
（3）指数函数是增函数吗？
（4）若空间有两条直线不相交，则这两条直线平行；
（5）；
（6）.
命题有 ，真命题有
假命题有 .
例2 指出下列命题中的条件和结论：
（1）若整数能被2整除，则是偶数；
（2）若四边形是菱形，则它的对角线互相垂直平分.
解：（1）条件：
结论：
（2）条件：
结论：
变式：将下列命题改写成“若，则”的形式，并判断真假：
（1）垂直于同一条直线的两条直线平行；
（2）负数的立方是负数；
（3）对顶角相等.
动手试试
1.判断下列命题的真假：
能被6整除的整数一定能被3整除；
若一个四边形的四条边相等，则这个四边形是正方形；
二次函数的图象是一条抛物线；
两个内角等于的三角形是等腰直角三角形.
2.把下列命题改写成“若，则”的形式，并判断它们的真假.
等腰三角形两腰的中线相等；
偶函数的图象关于轴对称；
垂直于同一个平面的两个平面平行.
小结：判断一个语句是不是命题注意两点：（1）是否是陈述句；（2）是否可以判断真假.
3.四种命题的概念
（1）对两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么我们这样的两个命题叫做 ,其中一个命题叫做
原命题为：“若，则”，则逆命题为：“
”.
(2) 一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定, 我们把这样的两个命题叫做 ,其中一个命题叫做命题,那么另一个命题叫做原命题的 .若原命题为：“若，则”，则否命题为：“ ”
（3）一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定, 我们把这样的两个命题叫做 ,其中一个命题叫做命题,那么另一个命题叫做原命题的 .若原命题为：“若，则”，则否命题为：“ ”
练习：下列四个命题：
（1）若是正弦函数，则是周期函数；
（2）若是周期函数，则是正弦函数；
（3）若不是正弦函数，则不是周期函数；
（4）若不是周期函数，则不是正弦函数.
（1）（2）互为 （1）（3）互为
（1）（4）互为 （2）（3）互为
例3 命题：“已知、、、是实数，若子，则”.写出逆命题、否命题、逆否命题.
变式：设原命题为“已知、是实数，若是无理数，则、都是无理数”，写出它的逆命题、否命题、逆否命题.
※ 动手试试
写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题并判断它们的真假：
（1）若一个整数的末位数是0，则这个整数能被5整除；
（2）若一个三角形的两条边相等，则这个三角形的两个角相等；
（3）奇函数的图像关于原点对称.
三、总结提升：
※ 学习小结
这节课你学到了一些什么？你想进一步探究的问题是什么？
学习评价
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.
A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：
1.下列语名中不是命题的是（ ）.
A. B.正弦函数是周期函数
C. D.
2.设、是两个集合，则下列命题是真命题的是（ ）.
A.如果，那么
B.如果，那么
C.如果，那么
D.，那么
3.下面命题已写成“若，则”的形式的是（ ）.
A.能被5整除的数的末位是5
B.到线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上
C.若一个等式的两边都乘以同一个数，则所得的结果仍是等式
D.圆心到圆的切线的距离等于半径
4.下列语句中：（1）是有理数（2）是个大数（3）好人一生平安（4）能被整除，其中是命题的序号是
5.将“偶函数的图象关于轴对称”写成“若，则”的形式，则： ，：
课后作业
1.写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题，并判断它们的真假
（1）若都是偶数，则是偶数；
（2）若，则方程有实数根.
2.把下列命题改写成“若，则”的形式，并写出它们的逆命题、否命题和逆否命题，并判断它们的真假：
（1）线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等；
（2）矩形的对角线相等.
第一章 常用逻辑用语
1.1 命题及其关系
1.1.1 命题
双基达标 ?限时20分钟?
1．语句“若a>b，则a＋c>b＋c”是 ( )．
A．不是命题 B．真命题
C．假命题 D．不能判断真假
解析 考查不等式的性质，两边同加上同一个数不等式仍然成立．
答案 B
2．下列命题中是假命题的是 ( )．
A．若a·b＝0(a≠0，b≠0)，则a⊥b
B．若|a|＝|b|，则a＝b
C．若ac2>bc2，则a>b
D．5>3
解析 |a|＝|b|只能说明a与b长度一样．a＝b不一定成立．
答案 B
3．在下列4个命题中，是真命题的序号为 ( )．
①3≥3； ②100或50是10的倍数； ③有两个角是锐角的三角形是锐角三角形；
④等腰三角形至少有两个内角相等．
A．① B．①② C．①②③ D．①②④
解析 对于③，举一反例，若A＝15°，B＝15°，则C为150°，三角形为钝角三角形．
答案 D
4．给出以下语句：
①空集是任何集合的真子集；
②三角函数是周期函数吗？
③一个数不是正数就是负数；
④老师写的粉笔字真漂亮！
⑤若x∈R，则x2＋4x＋5>0；
⑥作△ABC≌△A1B1C1.
其中为命题的是________，真命题的序号为________．
解析 ①是命题，且是假命题，因为空集是任何非空集合的真子集．
②这是个疑问句，故不是命题．
③是命题，且是假命题，因为数0既不是正数，也不是负数．
④该语句是感叹句，不符合命题定义，所以不是命题．
⑤是命题，因为Δ＝16－20＝－4<0，所以是真命题．
⑥该语句是祈使句，不是命题．
答案 ①③⑤ ⑤
5．给出下列命题
①若ac＝bc，则a＝b；
②方程x2－x＋1＝0有两个实根；
③对于实数x，若x－2＝0，则x－2≤0；
④若p>0，则p2>p；
⑤正方形不是菱形．
其中真命题是________，假命题是________．
解析 ①c＝0时，a不一定等于b，假命题．
②此方程无实根，假命题．
③结论成立，真命题．
④0
⑤不成立，假命题．
答案 ③ ①②④⑤
6．把下列命题写成“若p，则q”的形式，并指出条件与结论．
(1)相似三角形的对应角相等；
(2)当a>1时，函数y＝ax是增函数．
解 (1)若两个三角形相似，则它们的对应角相等．条件p：三角形相似，
结论q：对应角相等．
(2)若a>1，则函数y＝ax是增函数．
条件p：a>1，
结论q：函数y＝ax是增函数．
综合提高（限时25分钟）
7．设α、β、γ为两两不重合的平面，l，m，n为两两不重合的直线，给出下列四个命题：
①若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β；
②若m?α，n?α，m∥β，n∥β，则α∥β；
③若α∥β，l?α，则l∥β；
④若α∩β＝l，β∩γ＝m，γ∩α＝n，l∥γ，则m∥n.
其中真命题的个数是 ( )．
A．1 B．2 C．3 D．4
解析 ①由面面垂直知，不正确；②由线面平行判定定理知，缺少m、n相交于一点这
一条件，故不正确；③由面面平行性质定理知，正确；④由线面相交、及线面、线线平
行分析知，正确．
答案 B
8．给定下列命题：
①“若k>0，则方程x2＋2x－k＝0”有实数根；
②若a>b>0，c>d>0，则ac>bd；
③对角线相等的四边形是矩形；
④若xy＝0，则x、y中至少有一个为0.
其中真命题的序号是 ( )．
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
解析 ①中Δ＝4－4(－k)＝4＋4k>0，故为真命题；②由不等式的性质知，显然是真命题；
③如等腰梯形对角线相等，不是矩形，故为假命题；④为真命题．
答案 B
9．下列语句是命题的是______．
①求证是无理数；
②x2＋4x＋4≥0；
③你是高一的学生吗？
④一个正数不是素数就是合数；
⑤若x∈R，则x2＋4x＋7>0.
解析 ①③不是命题，①是祈使句，③是疑问句．而②④⑤是命题，其中④是假命题，
如正数既不是素数也不是合数，②⑤是真命题，x2＋4x＋4＝(x＋2)2≥0恒成立，x2＋4x
＋7＝(x＋2)2＋3>0恒成立．
答案 ②④⑤
10．下面有五个命题：
①函数y＝sin4x－cos4x的最小正周期是π；
②终边在y轴上的角的集合是{α|α＝，k∈Z}；
③在同一坐标系中，函数y＝sin x的图象和函数y＝x的图象有三个公共点；
④把函数y＝3sin(2x＋)的图象向右平移，得到y＝3sin 2x的图象；
⑤函数y＝sin(x－)在[0，π]上是减函数．
其中真命题的序号是________(写出所有真命题的序号)．
解析 ①y＝sin4x－cos4x＝(sin2x＋cos2x)(sin2x－cos2x)＝－cos 2x，∴T＝π；
②终边在y轴上的角的集合为{α|α＝kπ＋，k∈Z}；
③两图象应有一个公共点；
④平移后y＝3sin[2(x－)＋]＝3sin 2x.
⑤函数y＝sin(x－)＝－cos x，在[0，π]上应是增函数．
答案 ①④
11．判断下列语句是否是命题，若是，判断其真假，并说明理由．
(1)一个等比数列的公比大于1时，该数列为递增数列；
(2)求证：若x∈R，方程x2－x＋2＝0无实根；
(3)平行于同一条直线的两条直线必平行吗？
(4)当x＝4时，2x＋1<0.
解：(1)是命题，因为当等比数列的首项a1<0，公比q>1时，该数列为递减数列，因此是一个假命题．
(2)不是命题，它是祈使句．
(3)不是命题，它是一个疑问句，没有作出判断．
(4)是命题，能判断真假，它是一个假命题．
12．(创新拓展)把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断命题的真假．
(1)ac＞bc?a＞b；
(2)已知x、y∈N*，当y＝x＋1时，y＝3，x＝2；
(3)当m＞时，mx2－x＋1＝0无实根；
(4)当x2－2x－3＝0时，x＝3或x＝－1.
解 (1)若ac＞bc，则a＞b，是假命题．
(2)已知x、y∈N*，若y＝x＋1，则y＝3，x＝2，是假命题．
(3)若m＞，则mx2－x＋1＝0无实根，是真命题．
(4)若x2－2x－3＝0，则x＝3或x＝－1，是真命题．
