1.2 充分条件与必要条件
1.2.1 充分条件与必要条件
1.2.2 充要条件
双基达标 ?限时20分钟?
1．“x2>2 012”是“x2>2 011”的 ( )．
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析 由于“x2>2 012”时，一定有“x2>2 011”，反之不成立，所以“x2>2 012”是“x2>2 011”
的充分不必要条件．
答案 A
2．“|x|＝|y|”是“x＝y”的 ( )．
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析 因|x|＝|y|?x＝y或x＝－y，但x＝y?|x|＝|y|.
答案 B
3．函数f(x)＝x2＋mx＋1的图象关于直线x＝1对称的充要条件是 ( )．
A．m＝－2 B．m＝2 C．m＝－1 D．m＝1
解析 当m＝－2时，f(x)＝x2－2x＋1，其图象关于直线x＝1对称，反之也成立，所以
f(x)＝x2＋mx＋1的图象关于直线x＝1对称的充要条件是m＝－2.
答案 A
4．给定空间中直线l及平面α，条件“直线l与平面α内两条相交直线都垂直”是“直线l与平面α垂直”的______条件．
解析 “直线l与平面α内两条相交直线都垂直”?“直线l与平面α垂直”．
答案 充要条件
5．下列不等式：①x<1；②0
解析 由于x2<1即－1答案 ②③④
6．判断p：|x－2|≤5是q：x≥－1或x≤5的什么条件，说明理由．
解 p是q的充分不必要条件．
∵p：|x－2|≤5的解集为P＝{x|－3≤x≤7}；
q：x≥－1或x≤5就是实数集R.
∴P?R，也就是p?q，qp，
故p是q的充分不必要条件．
综合提高（限时25分钟）
7．在△ABC中，“sin 2A＝”是“A＝30°”的 ( )．
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
解析 若A＝30°，显然有sin 2A＝，但sin 2A＝时，在△ABC中，有2A＝60°或
2A＝120°，即不一定有A＝30°，故“sin 2A＝”是“A＝30°”的必要不充分条件．
答案 B
8．在下列3个结论中，正确的有 ( )．
①x2>4是x3<－8的必要不充分条件；
②在△ABC中，AB2＋AC2＝BC2是△ABC为直角三角形的充要条件；
③若a，b∈R，则“a2＋b2≠0”是“a，b不全为0”的充要条件．
A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
解析 对于结论①，由x3<－8?x<－2?x2>4，但是x2>4?x>2或x<－2?x3>8或x3<－8，
不一定有x3<－8，故①正确；对于结论②，当B＝90°或C＝90°时不能推出AB2＋AC2
＝BC2，故②错；对于结论③，由a2＋b2≠0?a，b不全为0，反之，由a，b不全为0?a2
＋b2≠0，故③正确．
答案 C
9．设集合A＝{x|x(x－1)<0}，B＝{x|0解析 由于A＝{x|0答案 充分不必要
10．已知条件p：|x－1|>a和条件q：2x2－3x＋1>0，则使p是q的充分不必要条件的最小正整数a＝________．
解析 依题意a>0.由条件p：|x－1|>a
得x－1<－a，或x－1>a，
∴x<1－a，或x>1＋a.
由条件q：2x2－3x＋1>0，
得x<，或x>1.
要使p是q的充分不必要条件，即“若p，则q”为真命题，逆命题为假命题，应有
解得a≥.
令a＝1，则p：x<0，或x>2，
此时必有x<，或x>1.
即p?q，反之不成立．
答案 1
11．已知p：x<－2或x>10，q：1－m≤x≤1＋m2，若綈p是q的充分不必要条件，求实数m的取值范围．
解 綈p：A＝{x|－2≤x≤10}，q：B＝{x|1－m≤x≤1＋m2}，
∵綈p是q的充分不必要条件，∴A?B.
∴∴m>3.
故所求实数m的取值范围为(3，＋∞)．
12．(创新拓展)证明：“0≤a≤”是“函数f(x)＝ax2＋2(a－1)x＋2在区间(－∞，4]上为减函数”的充分不必要条件．
证明 充分性：由已知0≤a≤，对于函数f(x)＝ax2＋2(a－1)x＋2，
当a＝0时，f(x)＝－2x＋2，显然在(－∞，4]上是减函数．
当a≠0时，由已知0二次函数f(x)＝ax2＋2(a－1)x＋2图象是抛物线，其开口向上，
对称轴方程为：x＝＝－1≥6－1＝5.
所以二次函数f(x)在(－∞，4]上是减函数．
非必要性：当a≠0时，二次函数f(x)＝ax2＋2(a－1)x＋2的图象是抛物线，其对称轴为：x＝＝－1.
因为二次函数f(x)在(－∞，4]上是减函数，
所以?0显然，函数f(x)＝ax2＋2(a－1)x＋2在(－∞，4]上是减函数时，也有a＝0.
由于[0，]?[0，]，所以0≤a≤不是函数f(x)＝ax2＋2(a－1)x＋2在区间(－∞，4]上为减函数的必要条件．
综上所述，命题成立．
