贵州省四校2013届高三上学期期末联考数学（理）试题解析

2013届天柱民中、锦屏中学、黎平一中、黄平民中四校联考
数学试题（理）
考试说明：
1．本试卷考试时间120分钟．
2．答卷前，考生务必在答题卡上写好班级、姓名、考号．
3．将每题的答案写在答题卡上的指定位置．
4．考试结束，将答题卡交回，答案写在试卷上视为无效答案．
一．选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
1．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
解：】， ，即，所以，即，选A.
2. 在复平面内，复数所对应的点位于 （ ）
A.第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】D
解：】，对应的坐标为，在第四象限，选D.
3. 设，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
解：】因为，所以，而，所以最大。，所以，所以，选C.
4. 若，，则与的夹角是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
解：】因为，所以，即，所以，所以，选A.
5．已知为实数，条件p：，条件q：，则p是q的( )
A．充要条件 B．必要不充分条 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
解：】由得。由得。所以p是q的必要不充分条件，选B.
6. 若棱长均为２的正三棱柱内接于一个球，则该球的半径为 （ ）
A. B. C. D.
【答案】D
解：】根据对称性可知球心在正三棱柱上下底面中心连线的中点处。则,，所以球半径,
选D.
7. 若数列的通项为，则其前项和为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
解：】法1：因为,所以
。选D.
法2：使用特种法。因为，所以，此时B,.C不成立，排除。。A, ,不成立，排除A,所以选D.
8. 要得到函数的图象，只需将函数的图象（ ）
A．向左平移个单 B．向右平移个单位 C．向右平移个单 D．向左平移个单位
【答案】A
解：】.又，所以只需要将的图象向左平移个单位，即可得到的图象，选A.
9. 将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名学生不能分到同一个班，则不同的分法的种数为 （ ）
A.24种 B.30种 C.36种 D. 81种
【答案】B
解：】甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名学生则，从4人中先选2人一个班，然后在分班，有种。若甲乙两人分在一个班则有种，所以甲、乙两名学生不能分到同一个班，则不同的分法的种数为种，选B.
10. 如图是某几何体的三视图，其中正视图为正方形，俯视图是腰长为2的等腰直角三角形，则该几何体的体积是 ( )
A． B. C. D.
【答案】 A
解：】由三视图可知该几何体为正方体内部四棱锥(红线图形)。则正方体的边长为2，所以,所以四棱锥的体积为，选A.
11. 双曲线的一条渐近线为，则该双曲线的离心率等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
解：】双曲线的渐近线方程为，已知双曲线的一条渐近为，所以
，即所以，选A.
12. 如果的展开式中的常数项为，则直线与曲线围成图形的面积为（ ）
A. B. 9 C. D.
【答案】C
解：】展开式的通项为，所以当时，。即常数项为，所以直线方程为，由得或，所以曲线所围成图形的面积为，选C.
二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）
13. 已知 。
【答案】
解：】因为所以，，，即，又，联立解得，所以。
14. 若某算法流程图如右图所示，则该程序运行后输出的B等于 。
【答案】63
解：】第一次循环，;第二次循环，;第三次循环，;第四次循环，;第五次循环，;第六次循环，满足条件输出。
15.已知实数、满足，则2+的最大值是 __ __ 。
【答案】4
解：】设，则，做出可行域
平移直线，由图象可知经过点B时，直线的截距最大，此时最大。由，得，即，代入直线得，所以的最大值是4.
16. 对于定义在R上的函数，若实数满足，则称是函数的一个不动点，若二次函数没有不动点，则实数ａ的取值范围是 。
【答案】
解：】由得，因为二次函数没有不动点，所以方程无解，即判别式，即，所以，即实数ａ的取值范围是。
三．解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
17．（本小题满分12分）
在△ABC中，角、、所对的边分别为、、，已知向量，且。
（Ⅰ） 求角A的大小；
（Ⅱ） 若，，求△ABC的面积。
18．（本小题满分12分）
某产品在投放市场前，进行为期30天的试销，获得如下数据：
日销售量（件）
0
1
2
3
4
5
频数
1
3
6
10
6
4
试销结束后（假设商品的日销量的分布规律不变），在试销期间，每天开始营业时商品有5件，当天营业结束后，进行盘点存货，若发现存量小于3件，则当天进货补充到5件，否则不进货。
（Ⅰ）求超市进货的概率；
（Ⅱ）记为第二天开始营业时该商品的件数，求的分布列和数学期望。
19. （本小题满分12分）在三棱柱ABC—A1B1C1中，底面是边长为的正三角形，点A1在底面ABC上的射影O恰是BC的中点．
（Ⅰ）求证：A1A⊥BC；
（Ⅱ）当侧棱AA1和底面成45°角时，
求二面角A1—AC—B的余弦值；
20．（本小题满分12分）
已知椭圆C：的离心率为，其中左焦点。
（Ⅰ） 求出椭圆C的方程；
（Ⅱ）若直线与曲线C交于不同的A、B两点，且线段AB的中点M在圆上，求m的值。
21．（本小题满分l2分）
已知函数
（Ⅰ）讨论函数的单调性；
（Ⅱ）证明： 。
选考题（本小题满分10分）（请考生在22、23、24三题中选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分。）
22．选修4-1：几何证明选讲
如图，已知PA与圆O相切于点A，经过点O的割线PBC交圆O于点B、C，的平分线分别交AB、AC于点D、E，
（Ⅰ）证明：；
（Ⅱ）若AC=AP，求的值。
23．选修4-4：极坐标与参数方程
已知点，参数，点Q在曲线C：上。
（Ⅰ）求点P的轨迹方程与曲线C的直角坐标方程；
（Ⅱ）求点P与点Q之间的最小值。
24．选修4-5：不等式选讲
已知函数。
（Ⅰ）m=7时，求函数的定义域；
（Ⅱ）若关于x的不等式的解集是R，求m的取值范围。
四校联考（理科）数学参考答案
1-12依次为 ADCAB，DDABA，AC
13、； 14、63 ； 15、4； 16、
三．解答题（共6小题，满分70分）
17．解：（Ⅰ）
（2分）
即
由正弦定理可得
整理得 （5分）
（6分）
（II）由余弦定理可得 （8分）
即 （10分）
故 （12分）
18．解：（1）P（进货）= P（销售3件）+ P（销售4件）+ P（销售5件）
= （5分）
3
4
5
P
（2）的取值是3，4，5.
即分布列是：
（12分）
19．解法一：（Ⅰ）连结AO， …………………1分
A1O⊥面ABC，是在面ABC的射影 …………………3分
∵ AO⊥BC …………………4分
∴ A1A⊥BC． ………（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）得∠A1AO=45° ………7分
由底面是边长为2的正三角形，可知AO=3 …………8分
∴A1O=3，AA1=3 ………9分
过O作OE⊥AC于E，连结A1E，
则∠A1EO为二面角A1—AC—B的平面角 ………10分
∵OE=，∴tan∠A1EO= ………11分
即二面角A1—AC—B的余弦值为． ………12分
解法二：以O点为原点，OC为x轴，OA为y轴，OA1为z轴建立空间直角坐标系．
（Ⅰ）由题意知∠A1AO=45°，A1O=3．
∴O（0，0，0），C（，0，0），A（0，3，0），A1（O，0，3），B（－，0，0）．………2分
∵=（0，－3，3），=（2，0，0）………3分
∴·=0×2+（－3）×0+3×0=0．………4分
∴AA1⊥BC． ………6分）
（Ⅱ）设面ACA1的法向量为n1=（x，y，z），
则 ………8分
令z=1，则x=，y=1，∴n1=（，1，1）
而面ABC的法向量为n2=（0，0，1） ………10分
cos(n1，n2)= ………12分
20．解：（1）由题意得，， ………2分
解得： ………4分
所以椭圆C的方程为： ………6分
（2）设点A,B的坐标分别为，，线段AB的中点为M，
由，消去y得 ………8分
………9分
………10分
点 M在圆上，
………12分
21. 解：（1）
设
上单调递增。
当；
当。
因此，。 （6分）
（2）原不等式就是
即
令
上单调递增，
当，
所以当 （12分）
22. 解：（1）PA是切线，AB是弦，
又
（5分）
(2)由（1）知
～,
由三角形内角和定理可知，
BC是圆O的直径，
（10分）
23.解：（1）由
得点P的轨迹方程 （2分）
又由
曲线C的直角坐标方程为。 （5分）
（2）半圆的圆心（1，0）到直线的距离为，
所以 （10分）
24. 解：（1）由题设知：
则有： （3分）
解得函数的定义域为。 （5分）
（2）不等式 （7分）
， （9分）
∴ 即的取值范围范围是 (10分)