贵州省四校2013届高三上学期期末联考数学（文）试题

2013届天柱民中、锦屏中学、黎平一中、黄平民中四校联考
数学试题（文）
考试说明：
1．本试卷考试时间120分钟．
2．答卷前，考生务必在答题卡上写好班级、姓名、考号．
3．将每题的答案写在答题卡上的指定位置．
4．考试结束，将答题卡交回，答案写在试卷上视为无效答案．
一 选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
1．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
解：， ，即，所以，即，选A.
2．在复平面内，复数所对应的点位于第（ ）象限
A．一 B．二 C．三 D． 四
【答案】D
解：，对应的坐标为，在第四象限，选D.
3．如图所示的算法流程图中, 若，则的值等于（ ）
A.1 B. C. 9 D. 8
【答案】C
解：当时，，，所以，所以，选C.
4．若，，则与的夹角是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
解：因为，所以，即，所以，所以，选A.
5．已知为实数，条件p：，条件q：，则p是q的( )
A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
解：由得。由得。所以p是q的必要不充分条件，选B.
6．若是空间三条不同的直线，是空间中不同的平面，则下列命题中不正确的是（ ）
A．若，，则
B．若，，则
C．当且是在内的射影，若，则
D．当且时，若，则
【答案】D
解：D选项中，当，若共面，则有，若不共面，则不成立，所以选D.
7．若数列的通项为，则其前项和为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
解：法1：因为,所以
。选D.
法2：使用特种法。因为，所以，此时B,.C不成立，排除。。A, ,不成立，排除A,所以选D.
8. 要得到函数的图象，只需将函数的图象（ ）
A．向左平移个单位 B．向右平移个单位 C．向右平移个单 D．向左平移个单位
【答案】A
解：.又，所以只需要将的图象向左平移个单位，即可得到的图象，选A.
9．设函数对任意满足，且，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
解：令则由条件可知，所以，所以。令，得，所以。令，得，即，选B.
10．一个平面图形的面积为，其直观图的面积为，则（ ）
A． B． C． D．1
【答案】A
解：直观图在底不变的情况下，高变为原来的倍。设平面图形的高为，直观图的高为，则有，即，所以，选A.
11. 双曲线的一条渐近线为，则该双曲线的离心率等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
解：双曲线的渐近线方程为，已知双曲线的一条渐近为，所以
，即所以，选A.
12．已知函数，其导函数为．
①的单调减区间是； ②的极小值是；
③当时，对任意的且，恒有
④函数有且只有一个零点。 其中真命题的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
解：，由，即，解得，所以的单调减区间是，所以①错误。，由，即，解得或，所以函数在处取得极小值，所以②正确。因为，且，所以
，所以成立，所以③正确。由②知函数在处取得极大值所以函数有且只有一个零点。所以④正确。综上正确的为②③④三个，选C.
二．填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分）
13．已知
【答案】
解：因为所以，，，即，又，联立解得，所以。
14. 已知，，则的最小值是
【答案】9
解：，当且仅当即，时取等号，此时，取等号，此时最小值为9.
15. 已知实数、满足，则的最大值是
【答案】4
解：设，则，做出可行域
平移直线，由图象可知经过点B时，直线的截距最大，此时最大。由，得，即，代入直线得，所以的最大值是4.
16.若函数，记，
，则
【答案】
解：，，，由归纳法可知。
三．解答题解答题：（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（本题满分12分（本小题满分12分）
在△ABC中，角、、所对的边分别为、、，已知向量，且。
（Ⅰ） 求角A的大小；
（Ⅱ） 若，，求△ABC的面积。

18．（本题满分12分）为了解在校学生的安全知识普及情况，命制了一份有道题的问卷到各学校做问卷调查．某中学两个班各被随机抽取名学生接受问卷调查，班名学生得分为：，，，，；班5名学生得分为：，，，，．
（Ⅰ）请你用所学知识，估计两个班中哪个班的问卷得分要稳定一些；
（Ⅱ）如果把班名学生的得分看成一个总体，并用简单随机抽样方法从中抽取样本容量为的样本，求样本平均数与总体平均数之差的绝对值不小于的概率．
19．（本小题满分12分）在三棱柱ABC—A1B1C1中，底面是边长为的正三角形，点A1在底面ABC上的射影O恰是BC的中点．
（Ⅰ）求证：A1A⊥BC；
（Ⅱ）当侧棱AA1和底面成45°角时，求二面角A1—AC—B的余弦值；
20．（本小题满分12分）
已知椭圆C：的离心率为，其中左焦点。
（Ⅰ）求出椭圆C的方程；
（Ⅱ） 若直线与曲线C交于不同的A、B两点，且线段AB的中点M在圆上，求m的值。

21.（本小题满分12分）设函数.
（Ⅰ）求的单调区间；
（Ⅱ）求所有的实数，使1≤≤对x∈[1，]恒成立．（为自然对数的底数）

选考题（本小题满分10分）（请考生在22、23、24三题中选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分。）
22．选修4-1：几何证明选讲
如图，已知PA与圆O相切于点A，经过点O的割线PBC交圆O于点B、C，的平分线分别交AB、AC于点D、E，
（Ⅰ）证明：；
（Ⅱ）若AC=AP，求的值。
23．选修4-4：极坐标与参数方程
已知点，参数，点Q在曲线C：上。
（Ⅰ）求点P的轨迹方程与曲线C的直角坐标方程；
（Ⅱ）求点P与点Q之间的最小值。
24．选修4-5：不等式选讲
已知函数。
（Ⅰ）时，求函数的定义域；
（Ⅱ）若关于的不等式的解集是R，求的取值范围。
四校联考（文科）数学参考答案
1-12依次为 ADCAB，DDABA，AC
13、 ； 14、9 ； 15、4 ； 16、
三．解答题（共6小题，满分70分）
17．解：（Ⅰ）
（2分）
即
由正弦定理可得
整理得 （5分）
（6分）
（II）由余弦定理可得 （8分）
即 （10分）
故 （12分）
18．解：（Ⅰ）∵班的名学生的平均得分为÷， ………1分
方差；……2分
班的名学生的平均得分为÷， ……………………3分
方差． ……4分
∴ ，
∴ 班的安全知识的问卷得分要稳定一些． ………………6分
（Ⅱ）从班名同学中任选名同学的方法共有种， …………………8分
其中样本和，和，和，和的平均数满足条件，…………………10分
故所求概率为．　　 ……………………12分
19．解法一：（Ⅰ）连结AO， …………………1分
A1O⊥面ABC，是在面ABC的射影 …………………3分
∵ AO⊥BC …………………4分
∴ A1A⊥BC． ………（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）得∠A1AO=45° ………7分
由底面是边长为2的正三角形，可知AO=3 …………8分
∴A1O=3，AA1=3 ………9分
过O作OE⊥AC于E，连结A1E，
则∠A1EO为二面角A1—AC—B的平面角 ………10分
∵OE=，∴tan∠A1EO= ………11分
即二面角A1—AC—B的余弦值为． ………12分
解法二：以O点为原点，OC为x轴，OA为y轴，OA1为z轴建立空间直角坐标系．
（Ⅰ）由题意知∠A1AO=45°，A1O=3．
∴O（0，0，0），C（，0，0），A（0，3，0），A1（O，0，3），B（－，0，0）．………2分
∵=（0，－3，3），=（2，0，0）………3分
∴·=0×2+（－3）×0+3×0=0．………4分
∴AA1⊥BC． ………6分）
（Ⅱ）设面ACA1的法向量为n1=（x，y，z），
则 ………8分
令z=1，则x=，y=1，∴n1=（，1，1）
而面ABC的法向量为n2=（0，0，1） ………10分
cos(n1，n2)= ………12分
20．解：（1）由题意得，， ………2分
解得： ………4分
所以椭圆C的方程为： ………6分
（2）设点A,B的坐标分别为，，线段AB的中点为M，
由，消去y得 ………8分
………9分
………10分
点 M在圆上，
………12分
21.解：(1) 由题意知：x>0， 1分
所以 2分
解得： 4分
由于x>0，a>0，所以f(x)的减区间为 (0，a)，增区间为(a，＋∞)．6分
(2) 由题意得f(1)＝a1≥e1，即a≥e. 8分
由(1)知f(x)在[1，e]内单调递减， 9分
要使e1≤f(x)≤e2 对x∈(1，e)恒成立．
只要a≥e且 10分

解得： 12分
22. 解：（1）PA是切线，AB是弦，
又
（5分）
(2)由（1）知
～,
由三角形内角和定理可知，
BC是圆O的直径，
（10分）
23. 解：（1）由
得点P的轨迹方程 （2分）
又由
曲线C的直角坐标方程为。 （5分）
（2）半圆的圆心（1，0）到直线的距离为，
所以 （10分）
24. 解：（1）由题设知：
则有： （3分）
解得函数的定义域为。 （5分）
（2）不等式 （7分）
， （9分）
∴ 即的取值范围范围是 (10分)