7.2复数的四则运算 教案

复数的四则运算
【教学目标】
1．知识与技能
理解并掌握复数的代数形式的乘法与除法运算法则，了解共轭复数的概念。
2．过程与方法
理解并掌握复数的除法运算实质是分母实数化问题，通过运算过程体会这一变形本质意图。
3．情感、态度与价值观
利用多项式除法和复数除法类比，知道事物之间是普遍联系的。通过复数除法运算，培养学生探索问题、分析问题、解决问题的能力。
【教学重难点】
重点：复数代数形式的乘除法运算。
难点：复数除法法则的运用。
【教学建议】
建议本节教学采用自学指导法，在学生自主学习的基础上可利用一下教学方法及手段完成本节教学：（1）类比分析法，通过对比多项式的乘法法则推出复数乘法法则。（2）归纳推理法，运用已有的多项式乘法法则和分母有理化及复数加减法的知识，通过归纳类比，推导复数除法法则。（3）合理、恰当地运用多媒体教学手段，将静态事物动态化，将抽象事物直观化，以突破教学难点。
【教学过程】
创设问题情境，引出问题，引导学生思考两个复数如何进行代数形式的乘法与除法运算。?让学生自主完成填一填，使学生进一步熟悉复数代数形式的乘法、除法运算的法则，及其满足的运算律。引导学生分析例题1的运算方法并求解，教师只需指导完善，解答疑惑并要求学生独立完成变式训练。由学生分组探究例题2解法，引导学生去发现in运算的周期性，及其应用方法。完成互动探究。
完成当堂双基达标，巩固所学知识及应用方法。并进行反馈矫正。归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节所学知识，强调重点内容和规律方法。学生自主完成例题3变式训练，老师抽查完成情况，对出现问题及时指导。通过易错辨析纠正运算中出现的错误。?让学生自主分析例题3，老师适当点拨解题思路，学生分组讨论给出解法。老师组织解法展示，引导学生总结解题规律。
课标解读 1．掌握复数代数形式的乘、除运算。（重点）2．理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律。（难点）3．理解共轭复数的概念。（易错点）
知识1 复数的乘法
问题导思：
1．如何规定两个复数相乘？
提示：两个复数相乘类似于多项式相乘，只要在所得结果中把i2换成－1，并且把实部与虚部分别合并即可。
2．复数乘法满足交换律、结合律以及乘法对加法的分配律吗？
提示：满足。
（1）设z1＝a＋bi，z2＝c＋di（a，b，c，d∈R），则
z1·z2＝（a＋bi）·（c＋di）＝（ac－bd）＋（ad＋bc）i。
（2）对于任意z1，z2，z3∈C，有
交换律 z1·z2＝z2·z1
结合律 （z1·z2）·z3＝z1·（z2·z3）
乘法对加法的分配律 z1（z2＋z3）＝z1z2＋z1z3
知识2 复数的除法与共轭复数
问题导思：
如何规定两个复数z1＝a＋bi，z2＝c＋di（a，b，c，d∈R，c＋di≠0）相除？
提示：＝＝＝。
（1）z1＝a＋bi，z2＝c＋di（a，b，c，d为实数，c＋di≠0），z1，z2进行除法运算时，通常先把（a＋bi）÷（c＋di）写成的形式再把分子与分母都乘以c－di化简后可得结果：＋i。
（2）共轭复数
如果两个复数满足实部相等，虚部互为相反数时，称这两个复数为共轭复数，z的共轭复数用表示。即z＝a＋bi，则＝a－bi。虚部不等于0的两个共轭复数也叫共轭虚数。
知识1 复数代数形式的乘除法运算
例1：（1）（2013·课标全国卷Ⅱ）设复数z满足（1－i）·z＝2i，则z＝（　　）
A．－1＋i　　B．－1－i　　C．1＋i　　D．1－i
（2）（2013·大纲全国卷）（1＋i）3＝（　　）
A．－8 B．8 C．－8i D．8i
（3）计算（）6＋＝________。
思路探究：（1）先设出复数z＝a＋bi，然后运用复数相等的充要条件求出a，b的值。
（2）直接利用复数的乘法运算法则计算。
（3）先计算再乘方，且将的分母实数化后再合并。
自主解答：（1）设z＝a＋bi，则（1－i）（a＋bi）＝2i，即（a＋b）＋（b－a）i＝2i。
根据复数相等的充要条件得解得
∴z＝－1＋i。故选A．
（2）原式＝（1＋i）（1＋i）2＝（1＋i）（－2＋2i）＝－2＋6i2＝－8．
（3）法一：原式＝6＋
＝i6＋＝－1＋i。
法二　原式＝6＋
＝i6＋
＝－1＋i。
答案：（1）A （2）A （3）－1＋i
规律方法
1．复数的乘法类比多项式相乘进行运算，复数除法要先写成分式形式后，再将分母实数化，注意最后结果要写成a＋bi（a，b∈R）的形式。
2．记住以下结论可以提高运算速度
（1）（1＋i）2＝2i，（1－i）2＝－2i；
（2）＝－i，＝i；
（3）＝－i。
变式训练
计算：
（1）（1－i）2；
（2）（－＋i）（＋i）（1＋i）；
（3）。
解：（1）（1－i）2＝1－2i＋i2＝－2i。
（2）（－＋i）（＋i）（1＋i）
＝（－－i＋i＋i2）（1＋i）
＝（－＋i－）（1＋i）
＝（－＋i）（1＋i）
＝－－i＋i－
＝－＋i。
（3）＝＝＝＋i。
知识2 虚数单位i的幂的周期性及其应用
例2： （1）计算：＋（）2 013；
（2）若复数z＝，求1＋z＋z2＋…＋z2 013的值。
思路探究：将式子进行适当的化简、变形，使之出现in的形式，然后再根据in的值的特点计算求解。
自主解答：（1）原式＝＋[（）2]1 006·（）
＝i＋（）1 006·＝i＋i1 006·
＝－＋i
（2）1＋z＋z2＋…＋z2 013＝，
而z＝＝＝＝i，
所以1＋z＋z2＋…＋z2 013＝＝＝1＋i。
规律方法
1．要熟记in的取值的周期性，要注意根据式子的特点创造条件使之与in联系起来以便计算求值。
2．如果涉及数列求和问题，应先利用数列方法求和后再求解。
互动探究
在本例（2）中若z＝i，求1＋z＋z2＋…＋z2 013的值。
解：由题意知
1＋z＋z2＋…＋z2 013＝1＋i＋i2＋…＋i2 013
＝＝＝＝1＋i。
∴原式＝1＋i。
知识3 共轭复数的应用
例3：设z1，z2∈C，A＝z1·＋z2·，B＝z1·＋z2·，问A与B是否可以比较大小？为什么？
思路探究：设出z1，z2的代数形式→化简A，B→判断A，B是否同为实数→结论
自主解答：设z1＝a＋bi，
z2＝c＋di（a，b，c，d∈R），
则＝a－bi，＝c－di，
∴A＝z1·＋z2·
＝（a＋bi）（c－di）＋（c＋di）（a－bi）
＝ac－adi＋bci－bdi2＋ac－bci＋adi－bdi2
＝2ac＋2bd∈R，
B＝z1·＋z2·
＝|z1|2＋|z2|2
＝a2＋b2＋c2＋d2∈R，
∴A与B可以比较大小。
规律方法
1．z·＝|z|2＝||2是共轭复数的常用性质。
2．实数的共轭复数是它本身，即z∈R z＝，利用此性质可以证明一个复数是实数。
3．若z≠0且z＋＝0，则z为纯虚数，利用此性质可证明一个复数是纯虚数。
变式训练
已知z∈C，为z的共轭复数，若z·－3i＝1＋3i，求z。
解：设z＝a＋bi（a，b∈R），则＝a－bi（a，b∈R），
由题意得（a＋bi）（a－bi）－3i（a－bi）＝1＋3i，
即a2＋b2－3b－3ai＝1＋3i，
则有，
解得或，
所以z＝－1或z＝－1＋3i。
典例：设复数z满足＝i，则z＝（ ）
A．－2＋I B．－2－i
C．2－i D．2＋i
错解：设复数z＝a＋bi（a，b∈R）满足＝i，
所以1＋2i＝ai＋B．
解得
所以z＝2＋i，故选D项。
答案：D
错因分析：将i2＝－1当成i2＝1来运算漏掉负号。
防范措施：在进行乘除法运算时，灵活运用i的性质，并注意一些重要结论的灵活应用。
正解：设复数z＝a＋bi（a，b∈R）满足＝i，
所以1＋2i＝ai－B．
解得
所以z＝2－i，故选C项。
答案：C
课堂小结
1．复数代数形式的乘除运算
（1）复数代数形式的乘法类似于多项式乘以多项式，复数的乘法满足交换律、结合律以及乘法对加法的分配律。
（2）在进行复数代数形式的除法运算时，通常先将除法写成分式的形式，再把分子、分母都乘以分母的共轭复数，化简后可得，类似于以前学习的分母有理化。
2．共轭复数的性质可以用来解决一些复数问题。
3．复数问题实数化思想。
复数问题实数化是解决复数问题的基本思想方法，其桥梁是设复数z＝a＋bi（a，b∈R），利用复数相等的充要条件转化。
当堂双基达标
1．（2012·北京高考）在复平面内，复数对应的点的坐标为（ ）
A．（1，3） B．（3，1）
C．（－1，3） D．（3，－1）
解析：＝＝＝1＋3i，
∴其对应点的坐标为（1，3），选A．
答案：A
2．（2013·安徽高考）设i是虚数单位，若复数a－（a∈R）是纯虚数，则a的值为（　　）
A．－3 B．－1
C．1 D．3
解析：因为a－＝a－＝a－＝（a－3）－i，由纯虚数的定义，知a－3＝0，所以a＝3．
答案：D
3．若x－2＋yi和3x－i互为共轭复数，则实数x＝________，y＝________。
解析：由题意得：
∴
答案：－1、1
4．计算：
（1）（1－i）（－＋i）（1＋i）；
（2）；
（3）（2－i）2．
解：（1）法一：（1－i）（－＋i）（1＋i）
＝（－＋i＋i－i2）（1＋i）
＝（＋i）（1＋i）
＝＋i＋i＋i2
＝－1＋i。
法二：原式＝（1－i）（1＋i）（－＋i）
＝（1－i2）（－＋i）
＝2（－＋i）
＝－1＋i。
（2）＝
＝
＝
＝＝i。
（3）（2－i）2＝（2－i）（2－i）
＝4－4i＋i2
＝3－4i。
课后知能训练
一、选择题
1．复数（2＋i）2等于（ ）
A．3＋4i B．5＋4i
C．3＋2i D．5＋2i
解析：（2＋i）2＝4＋4i＋i2＝4＋4i－1＝3＋4i。故选A．
答案：A
2．i是虚数单位，复数＝（ ）
A．1－i B．－1＋i
C．1＋i D．－1－i
解析：＝＝＝1＋i。
答案：C
3．若复数z满足（3－4i）z＝|4＋3i|，则z的虚部为（ ）
A．－4 B．－
C．4 D．
解析：∵（3－4i）z＝|4＋3i|，∴z＝＝＝＝＋i，∴z的虚部为。
答案：D
4．若z＋＝6，z·＝10，则z＝（　　）
A．1±3i B．3±i
C．3＋i D．3－i
解析：设z＝a＋bi（a，b∈R），则＝a－bi，
∴，解得a＝3，b＝±1，则z＝3±i。
答案：B
5．（2013·湖北高考）在复平面内，复数z＝（i为虚数单位）的共轭复数对应的点位于（　　）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析：z＝＝＝1＋i，所以＝1－i，故复数z的共轭复数对应的点位于第四象限。
答案：D
二、填空题
6．（2013·江苏高考）设z＝（2－i）2（i为虚数单位），则复数z的模为________。
解析：z＝（2－i）2＝3－4i，所以|z|＝|3－4i|＝＝5．
答案：5
7．若＝a＋bi（a，b为实数，i为虚数单位），则a＋b＝________。
解析：＝
＝[（3－b）＋（3＋b）i]＝＋i。
∴解得∴a＋b＝3．
答案：3
8．当z＝－时，z2 012＋z2 014＝________。
解析：z＝－，∴z2＝＝－i，
∴z2 012＝（－i）2 012＝1，
z2 014＝（－i）2 014＝－1，
∴z2 012＋z2 014＝1－1＝0.
答案：0
三、解答题
9．计算下列各题：
（1）＋－；
（2）（＋i）5＋（）4＋（）7；
（3）（－－i）12＋（）8．
解：（1）原式＝[（1＋i）2]3＋[（1－i）2]3·－
＝（2i）3·i＋（－2i）3·（－i）－
＝8＋8－16－16i＝－16i。
（2）（＋i）5＋（）4＋（）7
＝－i·（）5·[（1＋i）2]2·（1＋i）＋[]2＋i7
＝16（－1＋i）－－i
＝－（16＋）＋（16－1）i。
（3）（－－i）12＋（）8
＝（－i）12·（－－i）12＋（）8
＝（－＋i）12＋
＝[（－＋i）3]4＋（－8＋8i）
＝1－8＋8i＝－7＋8i。
10.复数z＝，若z2＋<0，求纯虚数A．
解：z＝＝1－i，
∵a为纯虚数，设a＝mi（m∈R，m≠0），
则z2＋＝（1－i）2＋＝－2i＋
＝－＋（－2）i<0，
，∴m＝4，∴a＝4i。
11．定义运算＝ad－bc，则满足＝0的复数z所对应的点在第几象限？
解：结合＝ad－bc可知
＝z（1＋i）－（1－i）（1＋2i）＝0，
∴z＝＝＝2－i，
∴复数z所对应的点在第四象限。
备选例题
已知z1、z2∈C，z1＋2z2∈R，且＋＝1，求证：z2－3z1为纯虚数。
思路探究：由题目条件推出（z2－3z1）2，再证明其小于0即可。
自主解答：∵＋＝1，
∴10z＋5z＝2z1·z2，
即z＋4z＋4z1·z2＝－9z－z＋6z1·z2，
也即－（z1＋2z2）2＝（3z1－z2）2．
∵z1＋2z2∈R，z1≠0，z2≠0，
∴－（z1＋2z2）2<0，
∴（3z1－z2）2<0，
∴（3z1－z2）2为负实数，
∴z2－3z1为纯虚数。
规律方法
1．证明z为纯虚数的方法：
（1）设z＝a＋bi（a，b∈R），证明a＝0且b≠0；
（2）z2<0 z为纯虚数；
（3）z≠0，且z＋＝0 为纯虚数。
2．证明z∈R的方法：
（1）设z＝a＋bi（a、b∈R），证明b＝0；
（2）z∈R z＝；
（3）z∈R z2≥0；
（4）z∈R |z|2＝z2．
备选变式
设z＝a＋bi（a、b∈R），若∈R，则a、b应满足什么条件？并说明理由。
解：＝
＝
＝∈R，
∴b（a2＋b2－1）＝0，∴b＝0或a2＋b2＝1．
小结
复数的概念
复数相等的充要条件
复数与复数分类
共轭复数
复数的模
复数的运算：复数的减法法则（a＋bi）－（c＋di）＝（a－c）＋（b－d）i复数减法的几何意义复平面上两点间的距离d＝|z1－z2|复数的
加法法则（a＋bi）＋（c＋di）＝（a＋c）＋（b＋d）i复数加法的几何意义复数的
乘法法则（a＋bi）（c＋di）＝（ac－bd）＋（ad＋bc）i
复数的除法法则＝＋i（c＋di≠0）
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