7.3.1复数的三角表示式 学案

复数的三角表示
【学习重难点】 【学习目标】 【核心素养】
复数的三角形式 了解复数的三角形式，了解复数的代数表示与三角表示之间的关系 数学抽象
复数三角形式乘、除运算的 三角表示及其几何意义 了解复数乘、除运算的三角表示及其几何意义 数学抽象、数学运算
【学习过程】
一、问题导学
预习教材内容，思考以下问题：
1．复数z＝a＋bi的三角形式是什么？
2．复数的辐角、辐角的主值是什么？
3．复数三角形式的乘、除运算公式是什么？
4．复数三角形式乘、除运算的几何意义是什么？
二、合作探究
1．复数的代数形式与三角形式的互化
角度一 代数形式化为三角形式
把下列复数的代数形式化成三角形式：
（1）＋i；
（2）－i.
【解】（1）r＝＝2，因为＋i对应的点在第一象限，
所以cos θ＝，即θ＝，
所以＋i＝2.
（2）r＝＝2，cos θ＝，
又因为－i对应的点位于第四象限，
所以θ＝.
所以－i＝2.
角度二 三角形式化为代数形式
分别指出下列复数的模和辐角的主值，并把这些复数表示成代数形式．
（1）4；
（2）(cos 60°＋isin 60°)；
（3）2.
【解】（1）复数4的模r＝4，辐角的主值为θ＝.
4＝4cos ＋4isin
＝4×＋4×i
＝2＋2i.
（2）(cos 60°＋isin 60°)的模r＝，辐角的主值为θ＝60°.
(cos 60°＋isin 60°)＝×＋×i
＝＋i.
（3）2
＝2
＝2.
所以复数的模r＝2，辐角的主值为π.
2＝2cos π＋2isin π
＝2×＋2×i
＝1－i.
2．复数三角形式的乘、除运算
计算：
（1）8×4；
（2）(cos 225°＋isin 225°)÷[(cos 150°＋isin 150°)]；
（3）4÷.
【解】（1）8×4
＝32
＝32
＝32
＝32
＝16＋16i.
（2）(cos 225°＋isin 225°)÷[(cos 150°＋isin 150°)]
＝[cos(225°－150°)＋isin(225°－150°)]
＝(cos 75°＋isin 75°)
＝
＝＋i
＝＋i.
（3）4÷
＝4(cos 0＋isin 0)÷
＝4
＝2－2i.
3．复数三角形式乘、除运算的几何意义
在复平面内，把复数3－i对应的向量分别按逆时针和顺时针方向旋转，求所得向量对应的复数．
【解】因为3－i＝2
＝2
所以2×
＝2
＝2
＝2
＝3＋i，
2×
＝2
＝2
＝－2i.
故把复数3－i对应的向量按逆时针旋转得到的复数为3＋i，按顺时针旋转得到的复数为－2i.
【学习小结】
1．复数的三角表示式及复数的辐角和辐角的主值
一般地，任何一个复数z＝a＋bi都可以表示成r(cosθ＋isinθ)的形式，其中，r是复数z的模；θ是以x轴的非负半轴为始边，向量所在射线(射线)为终边的角，叫做复数z＝a＋bi的辐角，我们规定在0≤θ<2π范围内的辐角θ的值为辐角的主值，通常记作argz.r(cosθ＋isinθ)叫做复数z＝a＋bi的三角表示式，简称三角形式．a＋bi叫做复数的代数表示式，简称代数形式．
2．复数三角形式的乘、除运算
若复数z1＝r1(cosθ1＋isinθ1)，z2＝r2(cosθ2＋isinθ2)，且z1≠z2，则
（1）z1z2＝r1(cosθ1＋isinθ1)·r2(cosθ2＋isinθ2)
＝r1r2[cos(θ1＋θ2)＋isin(θ1＋θ2)]．
（2）＝
＝[cos(θ1－θ2)＋isin(θ1－θ2)]．
即：两个复数相乘，积的模等于各复数的模的积，积的辐角等于各复数的辐角的和．
两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商，商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的差．
【精炼反馈】
1．复数1－i的辐角的主值是( )
A．π B．π
C．π D．
解析：选A．因为1－i＝2＝2，所以1－i辐角的主值为π.
2．复数9(cos π＋isin π)的模是________．
答案：9
3．arg(－2i)＝________．
答案：π
4．计算：
（1）(cos 75°＋isin 75°)(cos 15°＋isin 15°)；
（2）2(cos 300°＋isin 300°)÷.
解：（1）(cos 75°＋isin 75°)(cos 15°＋isin 15°)
＝cos(75°＋15°)＋isin(75°＋15°)
＝cos 90°＋isin 90°
＝i.
（2）2(cos 300°＋isin 300°)÷
＝2÷
＝
＝
＝－＋i.
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