人教版A版（2019）课标高中数学必修二8.3简单几何体的表面积与体积 课件(共40张PPT)

(共40张PPT)
球的体积与表面积
我们已经学过柱体、椎体、台体的表面积，它们的表面积是靠将几何体展开，求展开图的面积得到的。
导入新课
棱柱
棱锥
棱台
圆柱
圆锥
球体的表面积又怎么求呢？球体的表面积能不能也通过展开来求呢？
教学目标
知识与能力
通过对球的体积和面积公式的推导，了解推导过程中所用的基本数学思想方法：“分割——求和——化为准确和”。
能运用球的面积和体积公式灵活解决实际问题.
培养学生的空间思维能力和空间想象能力。
过程与方法
通过球的体积和面积公式的推导，从而得到一种推导球体积公式 和面积公式 的方法，即“分割求近似值，再由近似和转化为球的体积和面积”的方法，体现了极限思想。
情感态度与价值观
对球的体积和面积公式的推导方法有一定的了解，增强探索问题和解决问题的信心。
教学重难点
引导学生了解推导球的体积和面积公式所运用的基本思想方法。
推导体积和面积公式中空间想象能力的形成。
重点
难点
球体的体积的求法
　 把半径OA作n等分，经过这些分点，用一组平行于底面的平面把半球切割成n层，每一层都是近似于圆柱形状的“小圆片”，这些小圆片的体积之和就是半球的体积。
探索与发现
1.球体的体积
A
O
B2
C2
A
O
O
R
O
半径是R的球的体积：
半径是R的球的体积：
设球的半径为R，它的体积只与半径R有关，是以R为自变量的函数。
思考
我们还能用哪些方法来求球体的体积呢？
h
排液法测球的体积
h
h
h
h
h
h
H
与排水法测球的体积与曹冲称象同理。
小球的体积等于它排开液体的体积。
球体的表面积的求法
球面不能展开成平面图形，所以求球的表面积无法用展开图求出，如何求球的表面积公式呢 与球的体积公式的推导方法一样,也可借助于这种极限思想方法来推导球的表面积公式。
分割
求近似和
化为准确和
探索与发现
2.球体的表面积
球面被分割成n个网格，表面积分别为：
则球的表面积：
O
O
第一步：分割
则球的体积为：
第二步：求近似和
由第一步得：
O
O
如果网格分的越细,则: “小锥体”就越接近小棱锥
O
第三步：化为准确和
半径是R的球的表面积：
设球的半径为R，它的表面积只与半径R有关，也是以R为自变量的函数。
思考
已知两个球体的半径之比，能得到它们的表面积之比，或所占体积之比吗？
半径之比为1：2，由 ，可知体积之比为1：8.同理，表面积之比为1：4。
如图：圆柱的底面直径与高都等于球的直径。
求证：
1、球的体积等于圆柱体积的 倍。
2、球的表面积等于圆柱的侧面积。
例四
R
证明：（1）设球的半径为R，则圆柱的底面半径为R，高为2R。
因为
所以，
（2）因为
所以，
课堂小结
半径是R的球的体积：
半径是R的球的表面积：
高考链接
1.（2009 全国Ⅱ）设OA是球O的半径，M是OA的中点，过M且与OA成45°角的平面截球O的表面得到圆C,若圆C的面积等于 ，则球O的表面积等于______
【解析】设球的半径为R，截面圆的圆心为
，半径为r，则 ， ，
直线OA与截面所成角为45°
为直线OA与截面所成的角，为45°即：
解得 ，故球O的表面积为
2.（2009 全国） 直三棱柱 的各顶点都在同一球面上，若
, ，则此球的表面积等于 。
【解析】本题考查球中截面圆的性质以及球与多面体的组合问题。在△ABC中，
故 .设△ABC的外接圆半径为
r，则 ,r=2。球的半径
所以，
课堂练习
4.若两球体积之比是1:2，则其表面积之比是______.
1.若球的表面积变为原来的2倍,则半径变为原来的___倍。
2.若球半径变为原来的2倍,则表面积变为原来的___倍.
3.若两球表面积之比为1:2，则其体积之比是______.
5. 一个四面体的所有的棱都为 ,四个顶点在同一球面上，则此球的表面积（ ）
·
●
●
●
●
O
●
●
B
D
C
A
解：设四面体为ABCD， 为其外接球心。
球半径为R，O为A在平面BCD上的射影，M为CD的中点.
M
连结B
R
A.
B.
C.
D.
A
7.一个正方体的顶点都在球面上,它的棱长是4cm,这个球的体积为＿＿＿cm3。
8
8.有三个球,一球切于正方体的各面,一球切于正方体的各侧棱,一球过正方体的各顶点,求这三个球的体积之比_________。
6.球的直径伸长为原来的2倍,体积变为原来的＿倍.
11.将半径为1和2的两个铅球，熔成一个大铅球，那么
这个大铅球的表面积是________。
9.长方体的共顶点的三个侧面积分别为 ，
则它的外接球的表面积为_______。
10.若两球表面积之差为48π ,它们大圆周长之和为12π ,则两球的直径之差为________。
习题答案
1. 8倍.
2.
3.104