概率分布，二项式定理，排列组合拔高训练 （word版含解析）

概率分布，二项式定理，排列组合拔高训练
一、单选题（本大题共7小题，共35.0分）
设，且，若能被13整除，则
A. 0 B. 1 C. 11 D. 12
已知，，，为1，2，3，4，5的任意一个排列．则满足：对于任意的2，3，4，，都有的排列，，，有
A. 49个 B. 50个 C. 31个 D. 72个
如果一个多位数的各个数位上的数字从左到右按由小到大的顺序排列，则称此数为“上升”的，那么所有“上升”的正整数的个数为
A. 530 B. 502 C. 503 D. 505
两封信随机投入A，B，C三个空邮箱，则A邮箱的信件数的均值等于
A. B. C. D.
下列说法中正确的是
设随机变量X服从二项分布，则
已知随机变量X服从正态分布且，则
小赵、小钱、小孙、小李到4个景点旅游，每人只去一个景点，设事件“4个人去的景点互不相同”，事件“小赵独自去一个景点”，则；
；．
A. B. C. D.
已知随机变量，若，则的值为
A. B. C. D.
如图，已知电路中4个开关闭合的概率都是，且是相互独立的，则灯亮的概率为
A. B.
C. D.
二、多选题（本大题共2小题，共10.0分）
对任意实数x，有则下列结论成立的是
A. B.
C. D.
下列命题中，正确的命题的是
A. 已知随机变量服从二项分布，若，，则
B. 将一组数据中的每个数据都加上同一个常数后，方差恒不变
C. 设随机变量服从正态分布，若，则
D. 某人在10次射击中，击中目标的次数为X，X~B(10,0.8)，则当X=8时概率最大
三、单空题（本大题共11小题，共55.0分）
的展开式中的常数项为________．
微信红包金额的单位为分在某次抢红包游戏中，红包总额为10元，共有5人参加抢红包，每人所得红包金额至少为1分，则这5人抢得红包的金额不计先后次序的所有不同组合为__________种用组合数回答
设，则________．
若，则________用数字作答．
某一批花生种子的发芽率为p，设播下10粒这样的种子，发芽的种子数量为随机变量若，则________．
赌博有陷阱．某种赌博每局的规则是：赌客先在标记有1，2，3，4，5的卡片中随机摸取一张，将卡片上的数字作为其赌金单位：元；随后放回该卡片，再随机摸取两张，将这两张卡片上数字之差的绝对值的倍作为其奖金单位：元若随机变量和分别表示赌客在一局赌博中的赌金和奖金，则________元．
已知随机变量的分布列为
0 1 2
P a
若，则实数x的取值范围是________．
已知离散型随机变量X的分布列如表若，，则 ．
已知X的分布列如图所示，则
X 0 1
P a
，，，其中正确的个数为________．
设随机变量X的发布列为，则____________
随机变量的分布列，其中为常数，则________
四、解答题（本大题共4小题，共48.0分）
一款游戏规则如下：掷一枚质地均匀的硬币，若出现正面向前跳2步，若出现反面向前跳1步．
Ⅰ若甲乙二人同时参与游戏，每人各掷硬币2次，
求甲向前跳的步数大于乙向前跳的步数的概率；
记甲乙二人向前跳的步数和为X，求随机变量X的分布列和数学期望．
Ⅱ若某人掷硬币若干次，向前跳的步数为的概率记为，求的最大值．
我市某商场为庆祝“城庆2500周年”进行抽奖活动．已知一抽奖箱中放有8只除颜色外，其它完全相同的彩球，其中仅有5只彩球是红色．现从抽奖箱中一个一个地拿出彩球，共取三次，拿到红色球的个数记为X．
若取球过程是无放回的，求事件“”的概率；
若取球过程是有放回的，求X的概率分布列及数学期望．
某种机器需要同时装配两个部件S才能正常运行，且两个部件互不影响，部件S有两个等级：一等品售价5千元，使用寿命为5个月或6个月概率均为；二等品售价2千元，使用寿命为2个月或3个月概率均为
若从4件一等品和2件二等品共6件部件S中任取2件装入机器内，求机器可运行时间不少于3个月的概率．
现有两种购置部件S的方案，方案甲：购置2件一等品；方案乙：购置1件一等品和2件二等品，试从性价比即机器正常运行时间与购置部件S的成本之比角度考虑，选择哪一种方案更实惠．
某游戏策划者策划了一个抽奖游戏，规则如下：一个口袋中装有完全一样的5张牌，分别写有数字“1”“2”“3”“4”“5”，每次从口袋中摸出3张牌，若摸出3张牌的和为奇数，则获胜，否则为失败．
求抽奖者每次摸牌获胜的概率；
若每位抽奖者每交为正整数元钱就可获得三次摸牌机会．若三次摸牌均获胜则中一等奖，奖励价值10元的奶茶一杯；若三次摸牌获胜两次则中二等奖，奖励价值3元的可乐一瓶；其他均不中奖．游戏策划者要想不亏钱，则a至少是多少？
概率分布，二项式定理，排列组合拔高训练
一、单选题（本大题共7小题，共35.0分）
设，且，若能被13整除，则
A. 0 B. 1 C. 11 D. 12
【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查二项式定理的应用，考查推理能力和计算能力，属于中档题．
利用即可求解．
【解答】
解：，
因为能被13整除且能被13整除，
所以也能被13整除，
又，，
因此．
故选D．
已知，，，为1，2，3，4，5的任意一个排列．则满足：对于任意的2，3，4，，都有的排列，，，有
A. 49个 B. 50个 C. 31个 D. 72个
【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查排列组合的应用，属于较难题．
解题的关键是根据题意，先求得的范围，再进行分类讨论，难点在于时，值较小，需逐个检验，，方可得答案．
根据题意，求得的范围，分别求得当，和时，满足题意的排列数，综合即可得答案．
【解答】
解：因为，
所以时，
，
所以，
当时，任意排列均满足题意，共有个，
当时，只要，其他排列均满足题意，共有个，
当时，只能取1或2，所有的情况如下：
排列32145，满足题意排列31245，满足题意，
排列32154，满足题意，排列31254，满足题意，
排列32415，满足题意，排列31425，满足题意，
排列32451，不满足题意，排列31452，不满足题意，
排列32514，不满足题意，排列31524，满足题意，
排列32541，不满足题意，排列31542，不满足题意，共7个满足题意，
综上，满足题意的排列共有个．
故选A．
如果一个多位数的各个数位上的数字从左到右按由小到大的顺序排列，则称此数为“上升”的，那么所有“上升”的正整数的个数为
A. 530 B. 502 C. 503 D. 505
【答案】B
【解析】
【试题解析】
【分析】
本题考查组合与组合数公式，属于基础题．
根据组合数公式求解即可得结果．
【解答】
解：由题意，得所有“上升”的正整数的个数为：
，
故选B．
两封信随机投入A，B，C三个空邮箱，则A邮箱的信件数的均值等于
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查乘法原理、古典概型的概率计算公式、离散型随机变量的期望的计算公式．熟练掌握乘法原理、古典概型的概率计算公式、离散型随机变量的期望的计算公式是解题的关键．先求出两封信随机投入A，B，C三个空邮箱的所有情况，再求出投入A邮箱的信件数分别是0，1，2的情况及其概率，进而即可得出数学期望．
【解答】
解：两封信随机投入A，B，C三个空邮箱，共有种情况．
则投入A邮箱的信件数的概率，，
．
其分布列为：
0 1 2

．
故选B．
下列说法中正确的是
设随机变量X服从二项分布，则
已知随机变量X服从正态分布且，则
小赵、小钱、小孙、小李到4个景点旅游，每人只去一个景点，设事件“4个人去的景点互不相同”，事件“小赵独自去一个景点”，则；
；．
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查条件概率、二项分布、正态分布以及期望方差的性质，知识综合性强，属于中档题．
根据题意条件，利用二项分布、正态分布、条件概率、期望与方程的定义与性质等对每一项进行逐项分析．
【解答】
解： 随机变量X服从二项分布，
则，正确；
因为随机变量X服从正态分布，正态曲线的对称轴是．，，，正确；
设事件“4个人去的景点不相同”，事件“小赵独自去一个景点”，
则，
则，所以，正确；
，，故不正确．
故选A．
已知随机变量，若，则的值为
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据正态分布可知，故求出即可．
【解答】
解：根据正态分布可知，故．
故答案选D．
如图，已知电路中4个开关闭合的概率都是，且是相互独立的，则灯亮的概率为
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查互斥事件、独立事件同时发生的概率的计算，属于基础题．
先利用互斥事件和独立事件同时发生的概率求出灯泡不亮的概率，再用对立事件的概率即可解答．
【解答】
由题意，灯泡不亮包括四个开关都开，下边的2个都开且上边的2个中有一个开另一个闭，
这三种情况是互斥的，每一种情况中的事件都是相互独立的，
所以灯泡不亮的概率为，
所以灯泡亮的概率为，
故选D．
二、多选题（本大题共2小题，共10.0分）
对任意实数x，有则下列结论成立的是
A. B.
C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】本题主要考查二项式定理，属于基础题．
分别令，1，2及其展开式的通项公式即可．
【解答】
解：由题意可知令，故可得，故B错误
令，故可得，故 D正确
令，故可得 ，故C正确
由
其展开式的通项为
令，解得，
故可得，故 A正确．
故答案为ACD．
下列命题中，正确的命题的是
A. 已知随机变量服从二项分布，若，，则
B. 将一组数据中的每个数据都加上同一个常数后，方差恒不变
C. 设随机变量服从正态分布，若，则
D. 某人在10次射击中，击中目标的次数为X，X~B(10,0.8)，则当X=8时概率最大
【答案】BCD
【解析】
【分析】
本题考查方差的计算，考查正态分布的概率计算，考查n次独立重复试验的概率计算与组合公式，考查二项分布的数学期望与方差，属于中档题．
根据二项分布的数学期望和方差的公式，解得，所以A是错误的；根据数据方差的计算公式可知B是正确的；由正态分布的图象的对称性可得C是正确的；由独立重复试验的概率的计算公式和组合数的公式，可得D是正确的，
【解答】
解：根据二项分布的数学期望和方差的公式，
可得，解得，所以A是错误的；
根据数据方差的计算公式可知，将一组数据中的每个数据都加上同一个常数后，
方差恒不变，所以B是正确的；
由正态分布的图象的对称性可得，
所以C是正确的；
由独立重复试验的概率的计算公式可得，，
当，时，
，
由，得
即，
又，
所以，
所以，
所以当时，概率取得最大值，所以D是正确的．
故选BCD．
三、单空题（本大题共11小题，共55.0分）
的展开式中的常数项为________．
【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了多项展开式的特定项与特定项的系数．
由，然后利用二项展开式的特定项的系数计算得结论．
【解答】
解：因为，要求原式的常数项，先求的展开式中的常数项，
因为，
令，即k是3的倍数，所以，3，
当时，，
当时，，，
所以原式展开后常数项为，
故答案为．
微信红包金额的单位为分在某次抢红包游戏中，红包总额为10元，共有5人参加抢红包，每人所得红包金额至少为1分，则这5人抢得红包的金额不计先后次序的所有不同组合为__________种用组合数回答
【答案】
【解析】
【分析】
本题考查的是排列组合中的隔板法，属于基础题．
此问题相当于将1000个一分硬币分成4份，采用隔板法即可求解．
【解答】
解：10元分，在1000个一分硬币隔开的去除首尾的999个空位中插入4块挡板，即得符合题意的情况为．
故答案为．
设，则________．
【答案】512
【解析】
【分析】
本题考查了利用赋值法求二项式展开式系数和的应用问题，是基础题．
用赋值法，分别令和，即可求得对应结果．
【解答】
解：令，则原式化为，
令，得，
所以．
故答案为512．
若，则________用数字作答．
【答案】
【解析】
【分析】
本题考查二项式定理，考查运算求解能力，属于中档题．
解答本题的关键是知道．
【解答】
解：，
，
令，有，
即．
又，
故所求值为5368．
故答案为．
某一批花生种子的发芽率为p，设播下10粒这样的种子，发芽的种子数量为随机变量若，则________．
【答案】或
【解析】
【分析】
本题考查离散型随机变量的方差、二项分布，属于基础题．
由题意得，代入公式可得即可求解
【解答】
解：由题意，因为，，
所以，即
解得或
故答案为或
赌博有陷阱．某种赌博每局的规则是：赌客先在标记有1，2，3，4，5的卡片中随机摸取一张，将卡片上的数字作为其赌金单位：元；随后放回该卡片，再随机摸取两张，将这两张卡片上数字之差的绝对值的倍作为其奖金单位：元若随机变量和分别表示赌客在一局赌博中的赌金和奖金，则________元．
【答案】
【解析】
【分析】
本题考查离散型随机变量及其分布列以及期望与方差的计算，属于基础题．
分别求出变量和的分布列和期望，进而计算即可．
【解答】
解：赌金的分布列为：
1 2 3 4 5
P
所以．
奖金的分布列为：
P
所以．
，
故答案为．
已知随机变量的分布列为
0 1 2
P a
若，则实数x的取值范围是________．
【答案】
【解析】
【分析】
本题考查离散型随机变量及其分布列，熟练掌握分布列的性质是解题的关键，由随机变量的分布列知，的可能取值为0，1，4，分别求出相应的概率，由此根据，即可求出实数x的取值范围．
【解答】
解：由随机变量的分布列知：，则，
的可能取值为0，1，4，
且，
；
；
，
实数x的取值范围是．
故答案为．
已知离散型随机变量X的分布列如表若，，则 ．
【答案】．
【解析】
【分析】
本题主要考查数学期望的应用，熟悉离散型随机变量的期望与方差公式是解答本题的关键，是高考中常见的题型，属于中档题．
【解答】
解：由题知，，
，
，，
．
故答案是．
已知X的分布列如图所示，则
X 0 1
P a
，，，其中正确的个数为________．
【答案】1
【解析】
【分析】
本题考查了离散型随机变量的期望和方差，属于基础题．
由分布列先求出a，再利用公式计算和即可．
【解答】
解：由题意知：
，即；
；

综上，故正确，错误，正确的个数是1．
故答案为：1．
设随机变量X的发布列为，则____________
【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查了离散型随机变量的分布列，概率的求法，属于基础题．
利用分布列求出a，然后求解即可．
【解答】
解：随机变量X的发布列为，
可得：，解得：，
，
故答案为．
随机变量的分布列，其中为常数，则________
【答案】
【解析】
【分析】
本题考查离散型随机变量及其分布列，由题知，即可求出a，则，即可求解，属简单题．
【解答】
解：由题知，
，
即
，
，
．
故答案为．
四、解答题（本大题共4小题，共48.0分）
一款游戏规则如下：掷一枚质地均匀的硬币，若出现正面向前跳2步，若出现反面向前跳1步．
Ⅰ若甲乙二人同时参与游戏，每人各掷硬币2次，
求甲向前跳的步数大于乙向前跳的步数的概率；
记甲乙二人向前跳的步数和为X，求随机变量X的分布列和数学期望．
Ⅱ若某人掷硬币若干次，向前跳的步数为的概率记为，求的最大值．
【答案】解Ⅰ设甲向前跳的步数为Y，乙向前跳的步数为Z，
所以，
，
，
所以；
由知X的所有可能取值为4，5，6，7，8，
所以，，
，，，
所以X的分布列为
X 4 5 6 7 8
P
所以X的数学期望
Ⅱ由题知，，
当时，
，
所以
，
所以 ，
因为，符合上式，
所以，，
当n为奇数时，，单调递增，且，
当n为偶数时，，单调递减，，
所以的最大值为．
【解析】本题考查离散型随机变量及其分布列以及离散型随机变量的期望与方差，属于难题．
Ⅰ设甲向前跳的步数为Y，乙向前跳的步数为Z，可得
由知X的所有可能取值为4，5，6，7，8，先求概率，再求分布列；
Ⅱ由题知，，可得，当n为奇数时，当n为偶数时，所以的最大值为．
我市某商场为庆祝“城庆2500周年”进行抽奖活动．已知一抽奖箱中放有8只除颜色外，其它完全相同的彩球，其中仅有5只彩球是红色．现从抽奖箱中一个一个地拿出彩球，共取三次，拿到红色球的个数记为X．
若取球过程是无放回的，求事件“”的概率；
若取球过程是有放回的，求X的概率分布列及数学期望．
【答案】解：根据超几何分布可知：
；
随机变量X的可能取值为：0，1，2，3，
取球过程是有放回的，易知X服从二项分布，
每次取出红球的概率为，其他球的概率为，
，，1，2，3，
X的分布列为：
X 0 1 2 3
P
数学期望为．
【解析】本题考查了有放回，不放回的摸球问题，正确区分超几何分布与二项分布是关键，属于基础题．
判断是古典概率即可利用排列组合知识求解即可
每次取出红球的概率为，其他球的概率为，可判断为独立重复试验，利用概率公式，求解即可得出分布列，数学期望．
某种机器需要同时装配两个部件S才能正常运行，且两个部件互不影响，部件S有两个等级：一等品售价5千元，使用寿命为5个月或6个月概率均为；二等品售价2千元，使用寿命为2个月或3个月概率均为
若从4件一等品和2件二等品共6件部件S中任取2件装入机器内，求机器可运行时间不少于3个月的概率．
现有两种购置部件S的方案，方案甲：购置2件一等品；方案乙：购置1件一等品和2件二等品，试从性价比即机器正常运行时间与购置部件S的成本之比角度考虑，选择哪一种方案更实惠．
【答案】解：由题意知机器运行时间不少于3个月，共有三种可能：
第一，取到2个一等品，对应概率为，
第二，取到1个一等品，1个二等品，且二等品的使用寿命为3个月，
对应概率为，
第三，取到2个二等品，且二者使用寿命均为3个月，对应概率为：
，
机器可运行时间不少于3个月的概率．
若采用甲方案，则机器正常运行的时间为单位：月，
则X的可能取值为5，6，
，
，
则X的分布列为：
X 5 6
P
，
它与成本价之比为，
若采用方案乙，两个二等品的使用寿命之和单位：月，
Y的可能取值为4，5，6，
，
，
，
则Y的分布列为：
Y 4 5 6
P
记M为一等品的使用寿命单位：月，此时机器的正常运用时间为Z，
则Z的可能取值为4，5，6，
，
，
，
Z的分布列为：
Z 4 5 6
P
，
它与成本价之比为，
，
从性价比角度考虑，方案乙更实惠．
【解析】由题意知机器运行时间不少于3个月，共有三种可能：第一，取到2个一等品，第二，取到1个一等品，1个二等品，且二等品的使用寿命为3个月，第三，取到2个二等品，且二者使用寿命均为3个月，由此利用互斥事件概率乘法公式能求出机器可运行时间不少于3个月的概率．
若采用甲方案，则机器正常运行的时间为单位：月，则X的可能取值为5，6，求出相应的概率，从而求出，进而求出它与成本价之比；若采用方案乙，两个二等品的使用寿命之和单位：月，Y的可能取值为4，5，6，分别求出相应的概率，记M为一等品的使用寿命单位：月，此时机器的正常运用时间为Z，则Z的可能取值为4，5，6，分别求出相应的概率，从而求出Z的分布列，进而求出它与成本价之比．由此从性价比角度考虑，方案乙更实惠．
本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法及应用，考査互斥事件概率加法公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
某游戏策划者策划了一个抽奖游戏，规则如下：一个口袋中装有完全一样的5张牌，分别写有数字“1”“2”“3”“4”“5”，每次从口袋中摸出3张牌，若摸出3张牌的和为奇数，则获胜，否则为失败．
求抽奖者每次摸牌获胜的概率；
若每位抽奖者每交为正整数元钱就可获得三次摸牌机会．若三次摸牌均获胜则中一等奖，奖励价值10元的奶茶一杯；若三次摸牌获胜两次则中二等奖，奖励价值3元的可乐一瓶；其他均不中奖．游戏策划者要想不亏钱，则a至少是多少？
【答案】解：由题意，从5张牌中摸出3张牌包含的基本事件有个，其中3张牌的和为奇数包含3张奇数牌或1张奇数2张偶数牌，共有个基本事件．
故抽奖者每次摸牌获胜的概率为．
设X为三次摸牌中获胜的次数，则，
则三次摸牌中获胜的次数为3的概率为，
三次摸牌中获胜的次数为2的概率为，
三次摸牌中获胜的次数为1的概率为，
三次摸牌中获胜的次数为0的概率为．
设Y为抽奖者的收益单位：元，Y可取，，．
由题意，
，
．
因此，随机变量Y的分布列为
Y
P
．
游戏策划者要想不亏钱，则满要保证，
是正整数，至少是2．
【解析】本题考查古典概型的计算、离散型随机变量及其分布列、离散型随机变量的期望和二项分布，是较难题．
由题意，从5张牌中摸出3张牌包含的基本事件有个，其中3张牌的和为奇数包含3张奇数牌或1张奇数2张偶数牌，共有个基本事件，由古典概型公式可得结果；
设X为三次摸牌中获胜的次数，则，设Y为抽奖者的收益单位：元，Y可取，，，分别得出对应的概率，即可得出随机变量Y的分布列和数学期望，游戏策划者要想不亏钱，则满要保证，可得结果．
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第1页，共24页