专题12 一次函数的图像和性质(强化-基础)
一、单选题(共32分)
1.(本题4分)(2021·全国九年级专题练习)如果一个正比例函数y=kx的图象经过不同象限的两点(m,1)、(2,n),那么一定有( )
A.m>0,n>0 B.m<0,n<0 C.m>0,n<0 D.m<0,n>0
【答案】B
【分析】
利用正比例函数的性质可知正比例函数y=kx的图象经过第一、三象限或第二、四象限,结合点(m,1)和(2,n)在不同象限,即可得出点(m,1)在第二象限、点(2,n)在第四象限,进而可得出m<0,n<0.
【详解】
解:正比例函数y=kx的图象经过第一、三象限或第二、四象限.
∵点(m,1)和(2,n)在不同象限,
∴点(m,1)在第二象限,点(2,n)在第四象限,
∴m<0,n<0.
故选:B.
【点睛】
本题主要考查了正比例函数的性质,熟悉掌握正比例函数的图象特点是解题的关键.
2.(本题4分)(2021·西安市浐灞第一中学八年级期末)已知正比例函数的图象经过点,则下列四个点中在这个函数图象上的是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【分析】
将点(3,-6)代入正比例函数的解析式y=kx,求得k值,然后再判断点是否在函数图象上.
【详解】
解:∵正比例函数y=kx经过点(3,-6),
∴-6=3k,
解得k=-2;
∴正比例函数的解析式是y=-2x;
A、∵当x=1时,y=-2,∴点(1,-3)不在该函数图象上;故A不符合题意;
B、∵当x=2时,y=-4,∴点(2,-4)在该函数图象上;故B符合题意;
C、∵当x=4时,y=-8,∴点(4,-7)不在该函数图象上;故C不符合题意;
D、∵当x=5时,y=-10,∴点(5,-8)不在该函数图象上;故D不符合题意.
故选:B.
【点睛】
本题主要考查了正比例函数图象上的点的坐标特征.点在函数的图象上,则点的坐标满足函数的解析式.
3.(本题4分)(2021·西安市铁一中学九年级三模)在平面直角坐标系中,已知点A(3,0),点B(0,4),正比例函数y=kx(k≠0)的图象恰好经过线段AB的中点.若点C(2,p)在该正比例函数的图象上,则p的值为( )
A. B. C. D.
【答案】D
【分析】
由题意易得线段AB的中点坐标,然后代入正比例函数y=kx的解析式进行求解,进而问题可求解.
【详解】
解:∵点A(3,0),点B(0,4),
∴线段AB的中点坐标为,
把点代入正比例函数y=kx的解析式得:,解得:,
∴正比例函数的解析式为,
∵点C(2,p)在该正比例函数的图象上,
∴;
故选D.
【点睛】
本题主要考查正比例函数的性质,熟练掌握正比例函数的性质是解题的关键.
4.(本题4分)(2021·西安市·陕西师大附中九年级二模)若点关于轴的对称点在一次函数的图象上,则的值为( )
A. B.0 C. D.
【答案】A
【分析】
依题意,点 关于轴的对称点为,然后将点带入一次函数解析式即可;
【详解】
由题知,点关于轴的对称点坐标的规律---横坐标变为相反数,纵坐标不变,
可得:对称点
将点代入一次函数,即为,可得:;
故选:A
【点睛】
本题主要考查点的对称、一次函数解析式的性质,难点在熟悉二者的衔接;
5.(本题4分)(2021·江苏苏州市·九年级专题练习)对于一次函数,为常数),如表中给出几组自变量及其对应的函数值,其中恰好有一个函数值计算有误,则这个错误的函数值是( )
0 1 3
7 5 2
A. B.2 C.5 D.7
【答案】B
【分析】
经过观察4组自变量和相应的函数值,,符合解析式,(1, 2)不符合,即可判定.
【详解】
解:,,符合解析式,当时,
这个计算有误的函数值是2,
故选:B.
【点睛】
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征,图象上点的坐标符合解析式是解决本题的关键.
6.(本题4分)(2018·福建福州市·八年级期中)已知是平面直角坐标系的点,则点的纵坐标随横坐标变化的函数解析式可以是 ( )
A. B. C. D.
【答案】C
【分析】
令2m=x,m+1=y,利用代入消元法,消去m,即可得到答案.
【详解】
令2m=x,m+1=y,
∴m=x,m=y-1,
∴x= y-1,即:,
点的纵坐标随横坐标变化的函数解析式可以是:.
故选C.
【点睛】
本题主要考查一次函数图象上点的坐标特征,掌握代入消元法,是解题的关键.
7.(本题4分)(2020·浙江杭州市·八年级期末)一次函数中,若,且y随着x的增大而增大,则其图象可能是( )
A. B.
C. D.
【答案】B
【分析】
由y随着x的增大而增大,利用一次函数的性质可得出k>0,结合kb<0可得出b<0,再利用一次函数图象与系数的关系即可得出一次函数y=kx+b的图象经过第一、三、四象限.
【详解】
解:∵y随着x的增大而增大,
∴k>0,
又∵kb<0,
∴b<0,
∴一次函数y=kx+b的图象经过第一、三、四象限.
故选:B.
【点睛】
本题考查了一次函数的性质以及一次函数图象与系数的关系,牢记“k>0,b<0 y=kx+b的图象在一、三、四象限”是解题的关键.
8.(本题4分)(2021·全国八年级课时练习)一次函数片与的图象如图所示,下列说法:①ab<0;②函数y=ax+d不经过第一象限;③函数y=cx+b中,y随x的增大而增大;④3a+b=3c+d,其中正确的个数有( )
A.4个 B.3个 C.2个 D.1个
【答案】A
【分析】
仔细观察图象:①a的正负看函数y1=ax+b图象从左向右成何趋势,b的正负看函数y1=ax+b图象与y轴交点即可;
②观察函数图象可以直接得到答案;
③观察函数图象可以直接得到答案;
④根据两直线交点可以得到答案.
【详解】
由图象可得:a<0,b>0,c>0,d<0,
∴ab<0,故①正确;
函数y=ax+d的图象经过第二,三,四象限,即不经过第一象限,故②正确;
函数y=cx+b中,y随x的增大而增大,故③正确;
∵一次函数y1=ax+b与y2=cx+d的图象的交点的横坐标为3,
∴3a+b=3c+d,故④正确.
综上所述,正确的结论有4个.
故选:A.
【点睛】
本题主要考查了一次函数的图象与性质,利用数形结合是解题的关键.
二、填空题(共30分)
9.(本题5分)(2020·盐城市初级中学八年级月考)在中,若y是x的正比例函数,则k值为____________.
【答案】-1
【分析】
根据正比例函数的定义得到k-1≠0且k2 1=0即可求出k值.
【详解】
∵函数y=(k-1)x+k2 1是正比例函数,
∴k-1≠0且k2 1=0,
解得k=-1;
故填:-1.
【点睛】
此题考查正比例函数的定义,熟记定义是解题的关键,主要是定义的理解,比较容易.
10.(本题5分)(2021·全国八年级)下列函数关系式:①y=kx+1;②y=;③y=x2+1;④y=22﹣x.其中是一次函数的有_____个.
【答案】1
【分析】
根据一次函数的定义解答即可.【详解】
解:①当k=0时,y=kx+1不是一次函数;
②y=的右边不是整式,不是一次函数;
③y=x2+1的自变量的次数是2,不是一次函数;
④y=22﹣x是一次函数.
故答案为:1.
【点睛】
本题考查了一次函数的定义,一般地,形如y=kx+b,(k为常数,k≠0)的函数叫做一次函数.
11.(本题5分)(2021·江苏泰州市·九年级一模)直线y=﹣x+2分别交x轴、y轴于A、B两点,点O为坐标原点,则S△AOB=_____.
【答案】4
【分析】
求出OA、OB的值,根据三角形面积公式求出即可.
【详解】
解:把x=0代入y=﹣x+2得:y=2,
把y=0代入y=﹣x+2得:x=4,
即OA=4,OB=2,
=OA×OB=×4×2=4,
故答案为:4.
【点睛】
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征的应用,关键是求出OA、OB的值.
12.(本题5分)(2021·江苏苏州市·九年级专题练习)在平面直角坐标系中,直线y=x﹣4与x轴的交点坐标为_____.
【答案】(8,0)
【分析】
令y=0求出x的值,从而可得出直线与x轴的交点坐标.
【详解】
解:令y=0,则x﹣4=0,
解得:x=8,
∴直线x﹣4与x轴的交点坐标是(8,0).
故答案为:(8,0).
【点睛】
本题主要考查一次函数与坐标轴的交点,准确的计算是解题的关键.
13.(本题5分)(2021·天津九年级一模)将直线向上平移3个单位长度,平移后直线的解析式为_________.
【答案】
【分析】
根据上加下减的平移规律确定解析式即可
【详解】
将直线向上平移3个单位长度,平移后直线的解析式为y=10x+3,
故答案为:y=10x+3.
【点睛】
本题考查了直线的平移规律,熟练掌握平移中上加下减是解题的关键.
14.(本题5分)(2021·四川达州市·八年级期末)关于函数为常数),给出下列结论:
①此函数是一次函数;
②无论取什么值,函数图象必经过点;
③若时,函数图象经过第一、二、三象限;
④若时,函数图象与轴的交点始终在负半轴上.
其中正确的是___________(填序号)
【答案】②③
【分析】
①根据一次函数的定义即可判断;
②将代入解析式即可判断;
③先确定即可判断;
④先确定的正负再判断.
【详解】
解:①当时函数时一次函数,当时,函数为常数函数;此说法错误;
②当时,
无论取什么值,函数图象必经过点;此说法正确;
③若时,
函数图象经过第一、二、三象限;此说法正确;
④若时,时函数图象与轴的交点在正半轴上;
若时,时函数图象与轴的交点始终在负半轴上,此说法错误;
故答案为:②③.
【点睛】
本题根据交点坐标确定解析式字母系数的取值及分类讨论思想的运用,一般地,先求出交点坐标,再把坐标满足的条件转化成相应的方程或不等式进而解决问题.
三、解答题(共90分)
15.(本题8分)(2021·全国八年级期末)如图,在平面直角坐标系中,已知,直线与直线交于点C,直线l与x轴交于点D.
(1)求直线的解析式:
(2)求点C的坐标;
(3)求的面积.
【答案】(1)y=-2x+8;(2)(2,4);(3)18
【分析】
(1)利用待定系数法求解即可;
(2)联立y=-2x+8和y=x+2,求出x,代入其中一个解析式求出y值,即可得到点C;
(3)求出点D和点E坐标,利用△ACD的面积=△CDE的面积+△ADE的面积求出结果.
【详解】
解:(1)设直线AB的解析式为:y=kx+b,
将A(5,-2),B(1,6)代入,
得:,解得:,
∴直线AB的解析式为:y=-2x+8;
(2)∵直线与直线y=x+2交于点C,
则令-2x+8=x+2,
解得:x=2,代入y=x+2,得y=4,
∴C(2,4);
(3)∵直线l与x轴交于点D,
∴在y=x+2中,令y=0,则x=-2,
∴D(-2,0),设E为直线AB与x轴交点,
在y=-2x+8中,令y=0,则x=4,
∴E(4,0),
∴△ACD的面积=△CDE的面积+△ADE的面积==.
【点睛】
本题考查了待定系数法求直线的解析式,一次函数与坐标轴的交点问题,能正确求出函数解析式,从而得到相应点的坐标是解题的关键.
16.(本题8分)(2020·甘州中学八年级月考)已知y﹣2与x成正比例,且x=2时,y=﹣6.求:
(1)y与x的函数关系式;
(2)当y=14时,x的值.
【答案】(1)y=﹣4x+2;(2)x=﹣3.
【分析】
(1)设y﹣2=kx(k≠0),把x=2,y=﹣6代入即可求解;
(2)把y=14代入函数关系式即可求解.
【详解】
解:(1)设y﹣2=kx(k≠0),则﹣6﹣2=2k,
∴k=﹣4,
∴y与x的函数关系式是:y=﹣4x+2;
(2)当y=14时,14=﹣4x+2,
解得x=﹣3.
【点睛】
此题主要考查正比例函数的解析式求解,解题的关键是熟知待定系数法的应用.
17.(本题8分)(2020·上海八年级期中)已知正比例函数的图像经过点,
(1)求正比例函数解析式:
(2)若在此正比例函数图像上,求的值.
【答案】(1);(2)
【分析】
(1)设正比例函数的解析式为,然后把点代入求解即可;
(2)由(1)及题意可直接进行求解.
【详解】
解:(1)设正比例函数的解析式为,则有:
,解得:,
∴正比例函数的解析式为;
(2)由(1)得:,把代入解析式得:
,
解得:.
【点睛】
本题主要考查正比例函数,熟练掌握正比例函数的解析式及性质是解题的关键.
18.(本题8分)(2020·全国八年级课时练习)已知正比例函数的图象上有两点,当时,有.
(1)求m的取值范围;
(2)当m取最大整数时,画出该函数图象.
【答案】(1)的取值范围是;(2)该正比例函数为,图象见解析.
【分析】
(1)根据正比例的性质可得出m-1<0,从而得出m的取值范围;
(2)由(1)得出m的值,再代入得出解析式,画出图象即可.
【详解】
解:(1)正比例函数的图象上有两点,
当时,有.
的取值范围是.
(2)
取最大整数0,
该正比例函数为,图象如图所示:
【点睛】
本题考查了正比例函数的图象和性质,当k>0时,y随x的增大而增大,当k<0时,y随x的增大而减小.
19.(本题10分)(2020·辽宁锦州市·八年级期中)已知直线经过点,且平行于直线
(1)求该函数的关系式;
(2)如果直线经过点,求m的值;
(3)求经过P点的直线与直线和y轴所围成的三角形的面积.
【答案】(1);(2);(3)
【分析】
(1)根据直线平行于直线可得k=-2,然后根据待定系数法算出b即可;
(2)将点P代入表达式中计算m即可;
(3)分别计算出和与y轴的交点坐标,然后直接计算所围成图形面积即可.
【详解】
解:∵与平行,
∴,
∴.
∵过点
∴,
∴,
∴该函数的关系式:.
(2)∵经过点
∴,
∴;
(3)令直线中时,则,
∴直线与y轴的交点是.
令直线中,,可得:,
∴,
∴直线表达式为直线
∴直线与y轴的交点坐标为,
∴所围成的三角形的面积.
【点睛】
本题主要考查一次函数求解析式和简单的几何问题,用待定系数法求解析式是解题的关键.
20.(本题10分)(2020·江苏苏州市·八年级月考)已知一次函数y=﹣2x﹣2.
(1)根据关系式画出函数的图象.
(2)求出图象与x轴、y轴的交点A、B的坐标,
(3)在坐标轴上有点C,使得AB=AC,写出C的坐标.
【答案】(1)作图见解析;(2)A( 1,0),B(0, 2);(3)( 1 ,0)或( 1+,0)或(0,2).
【分析】
(1)根据函数解析式,可以画出相应的函数图象;
(2)令x=0求出y的值,再令y=0求出x的值,即可得到点A和点B的坐标;
(3)由AB=AC,分情况讨论点C在x轴,y轴的坐标,即可求得点C的坐标.
【详解】
解:(1)函数图象如图所示;
(2)∵y= 2x 2,
∴当x=0时,y= 2,当y=0时,x= 1,
∴图象与x轴、y轴的交点A、B的坐标分别为( 1,0),(0, 2);
(3)由(3)知,A、B的坐标分别为( 1,0),(0, 2),
∴AB=,
∵点C在坐标轴上,AB=AC,
∴当C在x轴上时,点C的坐标为( 1 ,0)或( 1+,0),
当点C在y轴上时,点C的坐标为(0,2),
综上所述,点C的坐标为:( 1 ,0)或( 1+,0)或(0,2).
【点睛】
本题考查一次函数的图象、一次函数的性质,解答本题的关键是明确题意,利用一次函数的性质解答.
21.(本题12分)(2020·扬州市邗江区实验学校八年级月考)若等腰三角形的周长是80cm,
(1)写出这个等腰三角形的腰长y(cm)与底边长x(cm)之间的函数关系式,并求出自变量的取值范围;
(2)画出该函数的图象.
【答案】(1),;(2)见解析图
【分析】
(1)根据等腰三角形的周长=腰长×2+底长.据此可得出函数关系式;根据三角形的三边关系来自变量取值范围;
(2)按照画函数图象的方法,注意自变量取值范围即可.
【详解】
(1)∵
∴
∵,
∴,,.
解得:;
(2)如图所示,注意自变量的取值范围,
【点睛】
本题考查了一次函数的应用,掌握求自变量的取值范围时要注意三角形三边关系是解题的关键.
22.(本题12分)(2021·成都高新新源学校八年级期中)如图,直线AB:过点M(k,2),并且分别与x轴,y轴相交于点A和点B.
(1)求k的值;
(2)求点 A和点B的坐标;
(3)将直线AB向上平移3个单位得直线l,若C为直线l上一点,且,求点C的坐标.
【答案】(1)2;(2);(3)或.
【分析】
(1)将代入中即可解题;
(2)将代入直线AB可得∶,再分别令,,即可解得点A和点B的坐标;
(3)先解得平移3个单位后的直线:,设C点坐标为,根据三角形面积公式解得,结合绝对值的性质解题即可.
【详解】
解:(1)将代入中可得,
,
,
故的值为 2;
(2)将代入直线AB可得∶,
令,则,
令,则,
;
(3)由题意可得,平移3个单位后的直线为,
,即:,
设C点坐标为,
,
,
,
,
解得∶或,
代入可得,点C的坐标为或.
【点睛】
本题考查一次函数,设及一次函数与坐标轴的交点、平移、三角形面积公式、绝对值等知识,是重要考点,难度较易,掌握相关知识是解题关键.
23.(本题14分)(2021·全国八年级课时练习)已知,如图,一次函数的图象经过了点和,与x轴交于点A.
(1)求一次函数的解析式;
(2)在y轴上存在一点M,且的面积为,求点M的坐标.
【答案】(1);(2)或
【分析】
(1)把P点和B点坐标代入y=kx+b得到关于k、b的方程组,然后解方程组求出k、b即可得到一次函数解析式;
(2)利用x轴上点的坐标特征求出A点坐标,根据三角形面积公式列等式求解即可.
【详解】
(1)设一次函数的解析式为,
把点和代入得,
解得,
所以一次函数解析式为;
(2)当时,,解得,
则(3,0),
在y轴上存在一点M,且的面积为,
,即
,
B(0,-4),
或.
【点睛】
本题考查了待定系数法求一次函数解析式以及一次函数与坐标轴的交点、三角形的面积,熟练掌握待定系数法是解题的关键.专题12 一次函数的图像和性质(强化-基础)
一、单选题(共32分)
1.(本题4分)(2021·全国九年级专题练习)如果一个正比例函数y=kx的图象经过不同象限的两点(m,1)、(2,n),那么一定有( )
A.m>0,n>0 B.m<0,n<0 C.m>0,n<0 D.m<0,n>0
2.(本题4分)(2021·西安市浐灞第一中学八年级期末)已知正比例函数的图象经过点,则下列四个点中在这个函数图象上的是( )
A. B. C. D.
3.(本题4分)(2021·西安市铁一中学九年级三模)在平面直角坐标系中,已知点A(3,0),点B(0,4),正比例函数y=kx(k≠0)的图象恰好经过线段AB的中点.若点C(2,p)在该正比例函数的图象上,则p的值为( )
A. B. C. D.
4.(本题4分)(2021·西安市·陕西师大附中九年级二模)若点关于轴的对称点在一次函数的图象上,则的值为( )
A. B.0 C. D.
5.(本题4分)(2021·江苏苏州市·九年级专题练习)对于一次函数,为常数),如表中给出几组自变量及其对应的函数值,其中恰好有一个函数值计算有误,则这个错误的函数值是( )
0 1 3
7 5 2
A. B.2 C.5 D.7
6.(本题4分)(2018·福建福州市·八年级期中)已知是平面直角坐标系的点,则点的纵坐标随横坐标变化的函数解析式可以是 ( )
A. B. C. D.
7.(本题4分)(2020·浙江杭州市·八年级期末)一次函数中,若,且y随着x的增大而增大,则其图象可能是( )
A.B.C. D.
8.(本题4分)(2021·全国八年级课时练习)一次函数片与的图象如图所示,下列说法:①ab<0;②函数y=ax+d不经过第一象限;③函数y=cx+b中,y随x的增大而增大;④3a+b=3c+d,其中正确的个数有( )
A.4个 B.3个 C.2个 D.1个
二、填空题(共30分)
9.(本题5分)(2020·盐城市初级中学八年级月考)在中,若y是x的正比例函数,则k值为____________.
10.(本题5分)(2021·全国八年级)下列函数关系式:①y=kx+1;②y=;③y=x2+1;④y=22﹣x.其中是一次函数的有_____个.
11.(本题5分)(2021·江苏泰州市·九年级一模)直线y=﹣x+2分别交x轴、y轴于A、B两点,点O为坐标原点,则S△AOB=_____.
12.(本题5分)(2021·江苏苏州市·九年级专题练习)在平面直角坐标系中,直线y=x﹣4与x轴的交点坐标为_____.
13.(本题5分)(2021·天津九年级一模)将直线向上平移3个单位长度,平移后直线的解析式为_________.
14.(本题5分)(2021·四川达州市·八年级期末)关于函数为常数),给出下列结论:
①此函数是一次函数;
②无论取什么值,函数图象必经过点;
③若时,函数图象经过第一、二、三象限;
④若时,函数图象与轴的交点始终在负半轴上.
其中正确的是___________(填序号)
三、解答题(共90分)
15.(本题8分)(2021·全国八年级期末)如图,在平面直角坐标系中,已知,直线与直线交于点C,直线l与x轴交于点D.
(1)求直线的解析式:
(2)求点C的坐标;
(3)求的面积.
16.(本题8分)(2020·甘州中学八年级月考)已知y﹣2与x成正比例,且x=2时,y=﹣6.求:
(1)y与x的函数关系式;
(2)当y=14时,x的值.
17.(本题8分)(2020·上海八年级期中)已知正比例函数的图像经过点,
(1)求正比例函数解析式:
(2)若在此正比例函数图像上,求的值.
18.(本题8分)(2020·全国八年级课时练习)已知正比例函数的图象上有两点,当时,有.
(1)求m的取值范围;
(2)当m取最大整数时,画出该函数图象.
19.(本题10分)(2020·辽宁锦州市·八年级期中)已知直线经过点,且平行于直线
(1)求该函数的关系式;
(2)如果直线经过点,求m的值;
(3)求经过P点的直线与直线和y轴所围成的三角形的面积.
20.(本题10分)(2020·江苏苏州市·八年级月考)已知一次函数y=﹣2x﹣2.
(1)根据关系式画出函数的图象.
(2)求出图象与x轴、y轴的交点A、B的坐标,
(3)在坐标轴上有点C,使得AB=AC,写出C的坐标.
21.(本题12分)(2020·扬州市邗江区实验学校八年级月考)若等腰三角形的周长是80cm,
(1)写出这个等腰三角形的腰长y(cm)与底边长x(cm)之间的函数关系式,并求出自变量的取值范围;
(2)画出该函数的图象.
22.(本题12分)(2021·成都高新新源学校八年级期中)如图,直线AB:过点M(k,2),并且分别与x轴,y轴相交于点A和点B.
(1)求k的值;
(2)求点 A和点B的坐标;
(3)将直线AB向上平移3个单位得直线l,若C为直线l上一点,且,求点C的坐标.
23.(本题14分)(2021·全国八年级课时练习)已知,如图,一次函数的图象经过了点和,与x轴交于点A.
(1)求一次函数的解析式;
(2)在y轴上存在一点M,且的面积为,求点M的坐标.专题12 一次函数的图像和性质
知识点一:正比例函数的定义
正比例函数定义:一般地,形如 y=kx(k为常数,k≠0)的函数,叫做正比例函数,k叫做比例系数。
例1.(2021·四川成都市·八年级期末)下列函数,是正比例函数的是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【分析】
根据正比例函数的定义:一般地,两个变量x,y之间的关系式可以表示成形如y=kx(k为常数,且k≠0)的函数,那么y就叫做x的正比例函数.
【详解】
解:根据正比例函数的定义可知是正比例函数.
故选:C.
【点睛】
本题主要考查正比例函数的定义,比较简单,要注意掌握定义.
练习1.(2021·陕西宝鸡市·八年级期末)若一个正比例函数的图象经过A (1,-2),B(2,b-1)两点, 则b的值为( )
A.-3 B.0 C.3 D.4
【答案】A
【分析】
利用点A求出正比例函数的表达式,再将点B坐标代入,可得b值.
【详解】
解:设正比例函数的表达式为y=kx(k≠0),
将A(1,-2)代入,
则-2=k,即k=-2,
∴正比例函数的表达式为y=-2x,
将B(2,b-1)代入y=-2x,
∴b-1=-2×2,
得:b=-3,
故选A.
【点睛】
本题考查了正比例函数图象上点的坐标特征,牢记直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y=kx是解题的关键.
练习2.(2021·广西崇左市·八年级期末)如果关于的函数是正比例函数,那么的取值范围是( )
A. B. C.不能确定 D.一切实数
【答案】D
【分析】
根据正比例函数的定义,列出方程求解即可.
【详解】
解:∵函数y=(k2+1)x是正比例函数,
∴k2+1≠0,
∴k取一切实数,
故选:D.
【点睛】
本题考查了正比例函数的定义,掌握正比例函数的定义:形如y=kx(k≠0)的形式,叫正比例函数.
练习3.(2021·浙江八年级期中)下列函数中,y是x的正比例函数的是( )
A.y=6x-1 B.y= C.y=x2 D.y=-x
【答案】D
【分析】
利用正比例函数的定义进行分析即可.
【详解】
解:、是一次函数,不是正比例函数,故此选项不合题意;
、是反比例函数,不是正比例函数,故此选项不合题意;
、是二次函数,不是正比例函数,故此选项不合题意;
、是正比例函数,故此选项符合题意;
故选:.
【点睛】
此题主要考查了正比例函数定义,解题的关键是掌握形如是常数,的函数叫做正比例函数,其中k叫做比例系数.
知识点二:正比例函数的图像和性质
◎考点1:正比例函数的图像
例1.(2021·西安市浐灞第一中学八年级期末)已知正比例函数的图象经过点,则下列四个点中在这个函数图象上的是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【分析】
将点(3,-6)代入正比例函数的解析式y=kx,求得k值,然后再判断点是否在函数图象上.
【详解】
解:∵正比例函数y=kx经过点(3,-6),
∴-6=3k,
解得k=-2;
∴正比例函数的解析式是y=-2x;
A、∵当x=1时,y=-2,∴点(1,-3)不在该函数图象上;故A不符合题意;
B、∵当x=2时,y=-4,∴点(2,-4)在该函数图象上;故B符合题意;
C、∵当x=4时,y=-8,∴点(4,-7)不在该函数图象上;故C不符合题意;
D、∵当x=5时,y=-10,∴点(5,-8)不在该函数图象上;故D不符合题意.
故选:B.
【点睛】
本题主要考查了正比例函数图象上的点的坐标特征.点在函数的图象上,则点的坐标满足函数的解析式.
练习1.(2020·水城实验学校八年级月考)若正比例函数的图象经过点(2,-3),则这个图象必经过点( )
A.(-3 , 2) B.(2,3) C.( 3,2) D.(-2,3)
【答案】D
【分析】
求出函数解析式,然后根据正比例函数的定义用代入法计算.
【详解】
设正比例函数的解析式为y=kx(k≠0),
因为正比例函数y=kx的图象经过点(2,-3),
∴-3=2k,
解得:k=,
∴y=x,
把这四个选项中的点的坐标分别代入y=x中,使等号成立的点就在正比例函数y=x的图象上,
所以这个图象必经过点(-2,3).
故选:D.
【点睛】
本题考查正比例函数的知识,关键是先求出函数的解析式,然后代值验证答案.
练习2.(2020·东北师大附中明珠学校八年级期末)已知正比例函数y=(1﹣m)x的图象过二、四象限,则m的取值范围是( )
A.m<1 B.m>1 C.m≤1 D.m≥1
练习3.(2020·甘肃张掖市·张掖四中八年级期中)画出下列正比例函数和一次函数的图像
(1)y=2x (2)y=-2x-4
【答案】(1)见解析;(2)见解析
【分析】
按照列表、描点、连线的步骤作出图像即可.
【详解】
解:(1)列表如下:
x -2 -1 0 1 2
y=2x -4 -2 0 2 4
即正比例函数y=2x经过点(-2,-4),(-1,-2),(0,0),(1,2),(2,4),
在平面直角坐标系中描出这些点,再连接成一条直线,如下所示:
(2)列表如下:
x -3 -2 -1 0 1
y=-2x-4 2 0 -2 -4 -6
即一次函数y=-2x-4经过点(-3,2),(-2,0),(-1,-2),(0,-4),(1,-6),
在平面直角坐标系中描出这些点,再连接成一条直线,如下所示:
【点睛】
本题考查了一次函数图像的画法,熟练掌握五点作图法:列表、描点、连线,一般情况下选择4到5个点即可.
◎考点2:正比例函数的性质
例1.(2020·安徽合肥市·八年级期末)已知是函数图象上的两点,下列判断正确的是( )
A. B. C.当时, D.当时,
【答案】D
【分析】
根据正比例函数图象的性质可知.
【详解】
解:根据k<0,得y随x的增大而减小.
①当x1<x2时,y1>y2,
②当x1>x2时,y1<y2.
故选:D.
【点睛】
本题考查了正比例函数图象的性质,正比例函数图象是经过原点的一条直线.①当k>0时,图象经过一、三象限,y随x的增大而增大;②当k<0时,图象经过二、四象限,y随x的增大而减小.
练习1.(2020·浙江八年级期末)若正比例函数的图象y随x的增大而减小,则m的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】A
【分析】
根据正比例函数的定义结合一次函数的性质即可得出关于m的一元一次不等式,解之即可得出结论.
【详解】
解:∵正比例函数y=(1-4m)x的图象y随x的增大而减小,
∴1-4m<0,
解得:m>,
故选:A.
【点睛】
本题考查了一次函数图象与系数的关系、一次函数的性质,解题的关键是根据正比例函数的定义结合一次函数的性质找出关于m的一元一次不等式.
练习2.(2021·陕西咸阳市·八年级期末)已知正比例函数,且随的增大而减小,则该函数的图象经过( )
A.第二、四象限 B.第一、三象限 C.第一、二象限 D.第二、三象限
【答案】A
【分析】
根据正比例函数的性质进行判断.
【详解】
∵正比例函数的值随的增大而减小,
∴,
∴图象经过第二、四象限.
故选:A.
【点睛】
本题考查了正比例函数的性质:正比例函数y=kx(k≠0),正比例函数图象过原点,当k>0,图象经过第一、三象限,y随x的增大而增大;k<0,图象经过第二、四象限,y随x的增大而减小.
练习3.(2021·江苏泰州市·八年级期末)已知y﹣2与x+1成正比例,且x=2时,y=8
(1)写出y与x之间的函数关系式;
(2)当x=﹣4时,求y的值.
【答案】(1)y=2x+4,(2)-4
【分析】
(1)设y﹣2=k(x+1)(k为常数,k≠0),把x=2,y=8代入求出k即可;
(2)把x=﹣4代入y=2x+4计算即可求出答案.
【详解】
解:(1)∵y﹣2与x+1成正比例,
∴设y﹣2=k(x+1)(k为常数,k≠0),
把x=2,y=8代入得:8﹣2=k(2+1),
解得:k=2,
即y﹣2=2(x+1),
即y=2x+4,
∴y与x之间的函数关系式是y=2x+4;
(2)当x=﹣4时,y=2×(﹣4)+4=﹣4.
【点睛】
本题考查正比例以及函数值问题,掌握正比例定义,和函数值求法是解题关键.
知识点三:一次函数的定义
一次函数定义:如果 y=kx+b(k,b是常数,k ≠0 )的函数,叫做一次函数,k叫比例系数。
注意:当b=0时,一次函数y=kx+b 变为y=kx,正比例函数是一种特殊的一次函数。
◎考点3:一次函数的识别
例1.(2019·贵阳市清镇养正学校八年级期中)下列函数是一次函数的是( ).
A.y=﹣x2+1 B.y=﹣2x+1 C.y= D.y=ax+b
【答案】B
【分析】
根据一次函数的定义进行分析即可.
【详解】
A.不是一次函数,故此选项错误;
B.是一次函数,故此选项正确;
C.不是一次函数,故此选项错误;
D.不是一次函数,故此选项错误.
故选B.
【点睛】本题考查了一次函数定义,关键是掌握一次函数解析式y=kx+b的结构特征:k≠0;自变量的次数为1;常数项b可以为任意实数.
练习1.(2020·广西梧州市·八年级期中)下列函数中,是一次函数的是( )
A.y=x B.y= C.y=x2﹣1 D.y=
【答案】A
【分析】
根据一次函数的定义逐项分析即可.
【详解】
解:A. y=x是一次函数;
B. y=的右边不是整式,故不是一次函数;
C. y=x2﹣1的自变量的指数是2,故不是一次函数;
D. y=的右边不是整式,故不是一次函数;
故选A.
【点睛】
本题考查了一次函数的定义,一般地,形如y=kx+b,(k为常数,k≠0)的函数叫做一次函数.
练习2.(2020·江阴市夏港中学八年级月考)函数:①y= -2x+1; ②x+y=0;③xy=3;④y= x2+1;⑤y=(x+5)-x中,属于y是x的一次函数的有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【答案】B
【分析】
根据一次函数的定义判断即可解答.
【详解】
解:①和②是一次函数,③是反比例函数,④是二次函数,⑤是常函数,
故选:B.
【点睛】
本题考查一次函数的定义,熟练掌握一次函数满足的条件是解答的关键,注意⑤要整理后再判断.
练习3.(2021·全国八年级)下列函数(1)y=πx; (2)y=2x-1;(3)y= ;(4)y=2-1-3x中,是一次函数的有( )
A.4个 B.3个 C.2个 D.1个
【答案】B
【分析】
根据一次函数的定义,对四个函数关系式逐一判断,即可得到答案.
【详解】
解:(1)y=πx是一次函数;
(2)y=2x 1是一次函数;
(3)y= 不是一次函数;
(4)y=2-1-3x是一次函数.
故四个函数中有3个是一次函数.
故选:B.
【点睛】
本题考查了一次函数的定义,掌握一次函数的定义是进行判断的关键.
◎考点4:根据定义求参数
例1.(2020·四川广安市·八年级期末)若关于x的函数是一次函数,则m的值为( )
A. B. C.1 D.2
【答案】B
【分析】
根据一次函数的概念可直接进行求解.
【详解】
解:由关于x的函数是一次函数,可得:
,
∴,
故选B.
【点睛】
本题主要考查一次函数的概念,熟练掌握一次函数的概念是解题的关键.
练习1.(2021·江苏苏州市·八年级期末)已知点在一次函数的图像上,则的值为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【分析】
将点的坐标代入一次函数中,转化为解关于字母m的一元一次方程,即可解题.
【详解】
把点的坐标代入一次函数中,
得
故选:C.
【点睛】
本题考查点在一次函数图像上,涉及解一元一次方程,是重要考点,难度较易,掌握相关知识是解题关键.
练习2.(2020·内蒙古乌海市·八年级期中)若函数是一次函数,则m值为( )
A.2 B.-2 C.-2或2 D.3
【答案】B
【分析】
根据一次函数的定义列出关于m的方程并解方程找到合适的解即可.
【详解】
∵函数是一次函数,
解得,
故选:B.
【点睛】
本题主要考查一次函数的定义,掌握一次函数的定义是解题的关键.
练习3.(2020·达州市第一中学校八年级期中)若函数是一次函数,则的值为( )
A.±1 B.0 C.-1 D.1
【答案】C
【分析】
根据一次函数的定义即可求解.
【详解】
依题意可得m-1≠0,
解得m=-1
故选C.
【点睛】
此题主要考查一次函数的定义,解题的关键是熟知一次函数的特点.
◎考点5:求自变量的范围或函数值
例1.(2020·浙江台州市·八年级期末)对于一次函数,当自变量的值增加1时,函数值将( )
A.增加2 B.增加1 C.减少2 D.减少1
【答案】A
【分析】
分别代入,求出与之对应的值,做差后即可得出结论.
【详解】
解:当时,;
当时,,
.
故选:.
【点睛】
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征,牢记直线上任意一点的坐标都满足函数关系式是解题的关键.
练习1.(2020·全国八年级单元测试)已知y=,当0≤x≤2时,则y的取值范围是( )
A.5≤y≤6 B.5≤y≤8 C.6≤y≤8 D.4≤y≤6
【答案】B
【分析】
先化简二次根式,然后由一次函数的性质来解答.
【详解】
解:y=+5=+5=|2x﹣1|+5.
∵0≤x≤2,
∴0≤|2x﹣1|≤3.
∴5≤|2x﹣1|+5≤8,即5≤y≤8.
故选:B.
【点评】
考查了二次根式的性质与化简,一次函数的性质,注意:二次根式的被开方数是非负数.
练习2.(2020·山东临沂市·八年级期中)函数y=中自变量x的取值范围是( )
A.x>4 B.x<4 C.x≥4 D.x≤4
【答案】D
【分析】
因为当函数表达式是二次根式时,被开方数为非负数,所以4-x≥0,可求x的范围.
【详解】
解:4-x≥0,
解得x≤4,
故选:D.
【点睛】
此题考查函数自变量的取值,解题关键在于掌握当函数表达式是二次根式时,被开方数为非负数.
练习3.(2018·长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校)已知函数的解析式为y=-2x+8,当自变量x=4时,函数y的值为( )
A.16 B.4 C.0 D.不确定
【答案】C
【解析】
【分析】
依据函数的解析式为y=-2x+8,把x=4代入进行计算,即可得到函数y的值.
【详解】
解:∵函数的解析式为y=-2x+8,
∴当自变量x=4时,函数y=-2×4+8=0,
故选:C.
【点睛】
本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征,直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y=kx+b.
◎考点6:列解析式并求值
例1.(2018·汕头市潮阳区铜盂中学八年级期中)已知初一(6)班的班费总共为200元,现在要为全班x个同学每人购买一个笔袋,笔袋单价为2元,则购买后剩余班费y元与班级人数x之间的函数关系式为 ( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
分析:根据剩余班费=班费总额-购买笔袋费用列函数关系式.
详解:根据题意得,y=200-2x.
故选B.
点睛:本题考查了列函数关系式,解题的关键是找到问题中的相等关系,注意所列函数关系式中,一般有两个变量,其它的要是常量.
练习1.(2018·全国青岛市·八年级单元测试)已知水池的容量为 V m 3 ,每小时灌水量为 50 m 3 ,灌满水所需时间为 t (h),那么 V 与 t 之间的函数关系式是( )
A.V =50 t B.V =50- t C.v= D.V =50+ t
【答案】A
【解析】
分析:根据等量关系“体积=流速×时间”列出关系式即可.
详解:
∵体积=流速×时间,
∴V与t之间的函数关系式为:V=50t.
故选A.
点睛:考查了学生列一次函数的能力,解题关键是找出题中的等量关系:“体积=流速×时间”,根据等量关系列关系式即可.
练习2.(2019·全国八年级单元测试)李大爷要围成一个矩形菜园,菜园的一边利用足够长的墙,用篱笆围成的另外三边总长度恰好为24米.要围成的菜园是如图所示的长方形ABCD.设BC边的长为x米,AB边的长为y米,则y与x之间的函数关系式是( )
A.y=-x+12 B.y=﹣2x+24 C.y=2x﹣24 D.y=x﹣12
【答案】A
【解析】
由题意可得:,即:.
故选A.
练习3.(2020·广东深圳市·龙岭初级中学八年级月考)学校与图书馆在同一条笔直道路上,甲从学校去图书馆,乙从图书馆回学校,甲、乙两人都匀速步行且同时出发,乙先到达目的地.两人之间的距离y(米)与时间t(分钟)之间的函数关系如图所示.
(1)根据图象信息,当t=_________分钟时甲乙两人相遇,甲的速度为__________米/分钟;
(2)求出线段AB所表示的函数表达式,并写出自变量的范围.
【答案】(1)24,40;(2)y=40t(40≤t≤60)
【分析】
(1)根据图象信息,当t=24分钟时,两人之间的距离为0,甲乙两人相遇;经过60分钟时,两人再次相距2400米,因为乙先到达目的地,故甲60分钟行驶2400米,根据速度=路程÷时间,可得甲的速度;
(2)由t=24分钟时甲乙两人相遇,可得甲、乙两人的速度和为2400÷24=100米/分钟,减去甲的速度得出乙的速度,再求出乙从图书馆回学校的时间即A点的横坐标,用A点的横坐标乘以甲的速度得出A点的纵坐标,再将A、B两点的坐标代入,利用待定系数法即可求出线段AB所表示的函数表达式.
【详解】
解:(1)根据图象信息,当t=24分钟时甲乙两人相遇,
甲的速度为2400÷60=40米/分钟.
(2)∵甲从学校去图书馆,乙从图书馆回学校,甲、乙两人都匀速步行且同时出发,t=24分钟时甲乙两人相遇,
∴甲、乙两人的速度和为2400÷24=100米/分钟,
∵甲的速度为40米/分钟
∴乙的速度为100﹣40=60米/分钟.
∴乙从图书馆回学校的时间为2400÷60=40分钟,
此时甲乙的距离为100×(40-24)=1600,
即甲、乙此时相距1600米
∴A点的坐标为(40,1600).
设线段AB所表示的函数表达式为y=kt+b,
∵A(40,1600),B(60,2400),
∴ ,解得 .
∴线段AB所表示的函数表达式为y=40t(40≤t≤60).
【点睛】
本题考查了一次函数的应用,路程、速度、时间的关系,用待定系数法确定函数的解析式,从图象中获取有关信息是解题的关键.
知识点三:一次函数的图像
正比例函数图像与一次函数图像特征
b>0 b<0 b=0
k>0 经过第一、二、三象限 经过第一、三、四象限 经过第一、三象限
图象从左到右上升,y随x的增大而增大
k<0 经过第一、二、四象限 经过第二、三、四象限 经过第二、四象限
图象从左到右下降,y随x的增大而减小
总结如下(考点):
k>0时,y随x增大而增大,必过一、三象限。
k>0,b>0时, 函数的图象经过一、二、三象限;(一次函数)
k>0,b<0时, 函数的图象经过一、三、四象限;(一次函数)
k>0,b=0时, 函数的图象经过一、三象限。 (正比例函数)
k<0时, y随x增大而减小,必过二、四象限。
k<0,b>0时,函数的图象经过一、二、四象限;(一次函数)
k<0,b<0时,函数的图象经过二、三、四象限;(一次函数)
k<0,b=0时,函数的图象经过二、四象限。 (正比例函数)
直线y1=kx+b与y2=kx图象的位置关系(考点):
1、当b>0时,将y2=kx图象向x轴上方平移b个单位,就得到y1=kx+b的图象.
2、当b<0时,将y2=kx图象向x轴下方平移-b个单位,就得到了y2=kx+b的图象.
k,b符号与直线y=kx+b(k≠0)的关系
正比例函数的图像:y=kx(k≠0)是经过点(0,0)和(1,k)的一条直线。
一次函数的图象:y=kx+b(k≠0)是经过点(0,b)和的一条直线。
1、当,则k,b同号,直线与x轴交与负半轴
2、当,则b=0,直线过原点
3、当,则k,b异号,直线与x轴交与正半轴
在两个一次函数表达式中: 直线l1:y1=k1x+b1与l2:y2=k2x+b2 的位置关系
k相同, b也相同时,两一次函数图像重合;
k相同, b不相同时,两一次函数图像平行;
k不相同,b不相同时,两一次函数图像相交;
k不相同,b相同时, 两一次函数图像交于y轴上的同一点(0,b)。
特殊位置关系:直线l1:y1=k1x+b1与l2:y2=k2x+b2
两直线平行,其函数解析式中K值(即一次项系数)相等 。即:
两直线垂直,其函数解析式中K值互为负倒数(即两个K值的乘积为-1)。即:
直线l1与坐标原点构成的三角形面积为 s =
◎考点7:判断一次函数的图像
例1.(2021·全国九年级专题练习)已知一次函数y=kx+b的图象如图所示,则y=﹣2kx﹣b的图象可能是( )
A.B.C. D.
【答案】C
【分析】
根据一次函数图象可以确定k、b的符号,根据k、b的符号来判定函数y=﹣2kx﹣b的图象所在的象限.
【详解】
解:∵一次函数y=kx+b的图象经过二、三、四象限,
∴k<0,b<0,
∴函数y=﹣2kx﹣b的图象经过第一、二、三象限,
∵因为|k|<|﹣2k|,
所以一次函数y=kx+b的图象比y=﹣2kx﹣b的图象的倾斜度小,
综上所述,符合条件的图象是C选项.
故选:C.
【点睛】
本题主要考查了一次函数的图象性质,要掌握它们的性质才能灵活解题.
练习1.(2020·浙江八年级期末)在同一平面直角坐标系中,直线和直线的位置可能是( )
A.B.C. D.
【答案】C
【分析】
根据一次函数的性质,对k的取值分三种情况进行讨论,排除错误选项,即可得到结果.
【详解】
解:由题意知,分三种情况:
1、当k>2时,y=(k-2)x+k的图象经过第一、二、三象限,选项B、C符合;y=kx的图象y随x的增大而增大,选项B不符合,C选项符合;故C选项符合;
2、当0<k<2时,y=(k-2)x+k的图象经过第一、二、四象限,选项A、D符合;y=kx的图象y随x的增大而增大,选项A、D均不符合;
3、当k<0时,y=(k-2)x+k的图象经过第二、三、四象限,没有选项符合.
故选:C.
【点睛】
此题考查了一次函数的图象和正比例函数的图象,熟知一次函数的图象与系数的关系是解答此题的关键.
练习2.(2020·即墨市第二十八中学八年级期中)已知函数y=kx+b的图象如图所示,则y=﹣kx+b的图象可能是( )
A.B.C. D.
【答案】C
【分析】
根据一次函数的图象和系数的关系判断选项的正确性.
【详解】
解:由函数的图象可知,,,
∴可知的图像经过第一、二、四象限,且,
∴符合的函数图象是C.
故选:C.
【点睛】
本题考查一次函数的图象和系数的关系,解题的关键掌握一次函数的图象和各项系数之间的关系.
练习3.(2018·辽宁本溪市·八年级期末)如图,函数y=mx+m的图象可能是( )
A.B.C. D.
【答案】D
【分析】
根据题意,当m≠0时,函数y=mx+m是一次函数,结合一次函数的性质,分m>0与m<0两种情况讨论,可得答案;
【详解】
根据题意,当m≠0时,函数y=mx+m是一次函数,
m>0时,其图象过一二三象限,D选项符合,
m<0时,其图象过二三四象限,没有选项的图象符合;
故选:D.
【点睛】
本题考查了一次函数的图象的性质,利用函数假设m的符号,分别分析是解题的关键.
◎考点8:根据解析式判断经过的象限
例1.(2021·上海市川沙中学南校八年级期中)如果函数中的随的增大而减小,那么这个函数的图象不经过( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
【答案】A
【分析】
先根据一次函数的性质判断出k的取值范围,再根据一次函数的图象与系数的关系即可得出结论.
【详解】
解:∵一次函数,随的增大而减小,
∴k<0,
∵b=-2021<0,
∴此函数的图象经过二、三、四象限,不经过第一象限.
故选:A.
【点睛】
本题考查了一次函数的图象与系数的关系,熟练掌握一次函数的图象与性质是解答此题的关键.
练习1.(2021·上海九年级二模)一次函数的图像不经过的象限是( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
【答案】B
【分析】
根据一次函数的图象与系数的关系解答即可.
【详解】
解:∵一次函数中,,,
∴此函数的图象经过一、三、四象限,不经过第二象限.
故选:B.
【点睛】
本题考查的是一次函数的图象,熟知一次函数的图象与系数的关系是解答此题的关键.
练习2.(2021·四川眉山市·八年级期末)函数满足,则函数图像不经过( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
【答案】C
【分析】
因为,所以函数图像经过二、四象限,而函数图像经过第一象限,从可知选项.
【详解】
因为,所以函数图像经过二、四象限,而函数图像经过第一象限,可判断出经过一、二、四象限,不经过第三象限.故选:C.
【点睛】
考查了一次函数的应用,解题关键是了解题意,再判断所经过的象限,即可知结果.
练习3 .(2020·广西梧州市·八年级期中)对于函数y=﹣2x﹣3,下列给出四个结论:①图象经过点(﹣2,1); ②y随x的增大而减小;③图象不经过第一象限;④当x>﹣1时,y<﹣1.其中正确的结论是( )
A.①②③ B.①②④ C.①③④ D.①②③④
【答案】D
【分析】
①令x=﹣2时,求出y的值,然后即可判断;
②根据k的正负判断即可;
③根据k,b的正负判断即可;
④根据图象即可判断.
【详解】
解:①令y=﹣2x﹣3中x=﹣2,则y=1,
∴一次函数的图象过点(﹣2,1),故①正确;
②∵k=﹣20,
∴一次函数中y随x的增大而减小,故②正确;
③∵k=﹣20,b=﹣30,
∴一次函数的图象经过第二、三、四象限,不经过第一象限,故③正确;
④∵x=﹣1时,y=﹣2x﹣3=﹣1,
∴当x﹣1时,y﹣1,故④正确.
故选:D.
【点睛】
本题主要考查一次函数的图象及性质,掌握一次函数的图象及性质是解题的关键.
◎考点9:根据经过的象限,求参数的取值范围
例1.(2021·陕西九年级三模)已知一次函数的图象经过第一、二、四象限,那么以下选项正确的是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【分析】
根据一次函数的图像和性质,可判断k,b的符号,进而即可得到答案.
【详解】
解:∵一次函数的图象经过第一、二、四象限,
∴k<0,b>0,
∴,
故选B.
【点睛】
本题主要考查一次函数的图像和性质,掌握一次函数中,k,b的几何意义,是解题的关键.
练习1.(2020·陕西西安市·八年级期末)直线经过第二、三,四象限,则直线的图象大致是( )
A.B.C. D.
【答案】A
【分析】
根据直线y=kx+b经过二、三、四象限,可以得到k和b的正负情况,从而可以得到直线y=bx-k的图象经过哪几个象限,本题得以解决.
【详解】
解:∵直线y=kx+b经过二、三、四象限,
∴k<0,b<0,
∴直线y=bx-k的图象经过第一、二、四象限,
故选:A.
【点睛】
本题考查一次函数的性质、一次函数的图象,解答本题的关键是明确题意,利用一次函数的性质解答.
练习2.(2021·陕西西北工业大学附属中学九年级月考)在同一坐标系中,若直线与直线的交点在第一象限,则下列关于、的判断正确的是( )
A., B., C., D.,
【答案】D
【分析】
根据一次函数的图象与性质即可得.
【详解】
直线与直线的交点在第一象限,
即直线与直线的图象都经过第一象限,
故选:D.
【点睛】
本题考查了一次函数的图象与性质,熟练掌握一次函数的图象与性质是解题关键.
练习3.(2020·浙江八年级单元测试)一次函数的图象如图所示,则下列结论正确的是( )
A. B. C.y随x的增大而增大 D.当时,
【答案】D
【分析】
直接利用一次函数的性质结合函数图象上点的坐标特点得出答案.
【详解】
解:如图所示:A、图象经过第一、二、四象限,则k<0,故此选项错误;
B、图象与y轴交于点(0,1),故b=1,故此选项错误;
C、k<0,y随x的增大而减小,故此选项错误;
D、当x>2时,kx+b<0,故此选项正确;
故选:D.
【点睛】
此题主要考查了一次函数的性质和利用函数图象判断一次函数系数的符号以及一次函数与一元一次不等式的关系,正确数形结合分析是解题关键.
◎考点10:图像与坐标轴的交点问题
例1.(2021·湖南长沙市·九年级一模)函数图象与x轴的交点坐标为( )
A.(-4,0) B.(2,0) C.(0,-4) D.(0,2)
【答案】B
【分析】
利用一次函数与x轴交点相交则y=0,即可得出答案.
【详解】
解:当y=0,则2x-4=0,
解得:x=2,
∴函数图象与x轴的交点坐标为:(2,0).
故选:B
【点睛】
此题主要考查了一次函数的性质,与x轴的交点纵坐标为0是解题关键.
练习1.(2020·广西梧州市·八年级期中)一次函数y=2x﹣4的图象与y轴交点的坐标是( )
A.(0,4) B.(0,﹣4) C.(2,0) D.(﹣2,0)
【答案】B
【分析】
由题意,直接令x=0,求出y的值,即可得到答案.
【详解】
解:在y=2x﹣4中,令x=0可得y=﹣4,
∴一次函数y=2x﹣4的图象与y轴交点的坐标是(0,﹣4),
故选:B.
【点睛】
本题考查了一次函数的性质,解题的关键是熟练掌握一次函数的性质进行解题.
练习2.(2021·全国九年级专题练习)若直线y=kx+b(k≠0)经过点A(2,-3),且与y轴的交点在x轴上方,则k的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【分析】
直线y=kx+b(k≠0)与y轴交于点(0,b),依据直线y=kx+b(k≠0)经过点A(2,-3),即可得出b=-3-2k,再根据直线y=kx+b(k≠0)与y轴的交点在x轴上方,即可得到k的取值范围.
【详解】
解:直线y=kx+b(k≠0)中,令x=0,则y=b,
∴直线y=kx+b(k≠0)与y轴交于点(0,b),
又∵直线y=kx+b(k≠0)经过点A(2,-3),
∴-3=2k+b,
∴b=-3-2k,
又∵直线y=kx+b(k≠0)与y轴的交点在x轴上方,
∴b>0,即-3-2k>0,
解得:,
故选:B.
【点睛】
本题主要考查了一次函数图象与系数的关系,由于y=kx+b与y轴交于(0,b),当b>0时,(0,b)在y轴的正半轴上,直线与y轴交于正半轴;当b<0时,(0,b)在y轴的负半轴,直线与y轴交于负半轴.
练习3.(2021·合肥市第四十五中学九年级一模)一次函数y=﹣2x﹣3的图象和性质.叙述正确的是( )
A.y随x的增大而增大
B.与y轴交于点(0,﹣2)
C.函数图象不经过第一象限
D.与x轴交于点(﹣3,0)
【答案】C
【分析】
根据题目中的函数解析式和一次函数的性质,可以判断各个选项中的说法是否正确.
【详解】
解:∵一次函数y=﹣2x﹣3,
∴该函数y随x的增大而减小,故选项A错误;
与y轴交于点(0,﹣3),故选项B错误;
该函数图象经过第二、三、四象限,不经过第一象限,故选项C正确;
与x轴交于点(﹣,0),故选项D错误;
故选:C.
【点睛】
本题主要考查一次函数的图像与性质,熟练掌握一次函数的图像与性质是解题的关键.
◎考点11:画一次函数的图像
例1.(2017·全国八年级课时练习)直线y=2﹣x与y=﹣x+的位置关系是( )
A.平行 B.相交 C.重合 D.不确定
【答案】A
【分析】
在直角坐标系中画出两函数即可求解.
【详解】
解:由图形可知两直线平行.
故选A.
【点睛】
此题主要考查函数的位置关系,解题的关键是熟知函数的画法.
练习1 .(2020·浙江杭州市·九年级其他模拟)已知直线 y1=2x+1,y2=-2x+1,则下列说法正确的是( )
A.两直线互相平行 B.两直线互相垂直
C.两直线关于 x 轴对称 D.两直线关于 y 轴对称
【答案】D
【分析】
画出图像,根据图像解答即可.
【详解】
解:∵,中k值分别为2,-2,
∴两直线不平行,也不垂直;
如图:两直线关于y轴对称 ;关于x轴不对称.
故选D.
【点睛】
本题考查了一次函数的图象,解答此题的关键是根据一次函数图象上点的坐标特征解决问题.
练习2.(2020·广西梧州市·八年级期中)我们知道一次函数的图象是一条直线,又因为“两点确定一条直线”,从而我们把画一次函数图象简化成“定两点,画图象”的简易方法,下面就是用这种简易方法画一次函数y=x﹣2图象的过程.请你回答下列问题.
(1)列表,把表补充完整;
x … 0 …
y=x﹣2 … 0 …
(2)描点并连线得(如图);
(3)请你写出一个点的坐标,要求这个点在一次函数y=x﹣2图象上且不在坐标轴上,则这个点的坐标是: .
【答案】(1)-2,4;(2)见解析;(3)(2,﹣1)
【分析】
(1)将x=0、y=0代入函数y=即可;
(2)当x=0、y=0代入函数y=分别求得对应的y、x的值,然后在坐标系中描点连线即可;
(3)取x=2代入函数y=可得纵坐标,且满足要求;
【详解】
解:(1)列表,把表补充完整;
x … 0 4 …
y=x﹣2 … ﹣2 0 …
(2)描点并连线得(如图);
(3)把x=2代入y=得,y=﹣1,
∴点(2,﹣1)在一次函数y=图象上,
故答案:(2,﹣1);
【点睛】
本题主要考查一次函数的基本性质及图象,难点在于熟练描点和连线的基本要点;
练习3.(2020·扬州市邗江区实验学校八年级月考)若等腰三角形的周长是80cm,
(1)写出这个等腰三角形的腰长y(cm)与底边长x(cm)之间的函数关系式,并求出自变量的取值范围;
(2)画出该函数的图象.
【答案】(1),;(2)见解析图
【分析】
(1)根据等腰三角形的周长=腰长×2+底长.据此可得出函数关系式;根据三角形的三边关系来自变量取值范围;
(2)按照画函数图象的方法,注意自变量取值范围即可.
【详解】
(1)∵
∴
∵,
∴,,.
解得:;
(2)如图所示,注意自变量的取值范围,
【点睛】
本题考查了一次函数的应用,掌握求自变量的取值范围时要注意三角形三边关系是解题的关键.
◎考点12:一次函数的平移问题
例1.(2021·安徽合肥市·)已知是的一次函数,且当,;当时,.
(1)求这个一次函数的表达式:
(2)将该函数图象向下平移3个单位,求平移后图象的函数表达式.
【答案】(1)y=-x+1;(2)y=-x-2
【分析】
(1)利用待定系数法求一次函数解析式;
(2)根据一次函数y=kx+b向下平移m(m>0)个单位后所得直线解析式为y=kx+b-m求解.
【详解】
解:(1)设y=kx+b(k≠0),则由题意得:
,解得:,
所以这个一次函数的表达式为y=-x+1;
(2)将直线y=-x+1向下平移3个单位所得直线解析式为y=-x+1-3,
即平移以后的解析式为y=-x-2.
【点睛】
本题考查了一次函数图象与几何变换:一次函数y=kx+b向上平移m(m>0)个单位后所得直线解析式为y=kx+b+m,向下平移m(m>0)个单位后所得直线解析式为y=kx+b-m.也考查了待定系数法求一次函数解析式.
练习1.(2018·山东济南市·九年级二模)在平面直角坐标系中,直线l经过点和点,请问将直线l沿x轴平移几个单位时,正好经过原点?
【答案】向右平移2个单位
【分析】
先用待定系数法求出直线解析式,再求出它与x轴的交点坐标,就可以得出结果.
【详解】
解:设直线l的解析式为:,
将点和坐标代入,得,解得,
∴直线l的解析式为:,
令,则,解得,
∴直线l与x轴的交点坐标是,
∴将直线l沿x轴向右平移2个单位时,正好经过原点.
【点睛】
本题考查一次函数的平移,解题的关键是掌握一次函数平移的方法.
练习2.(2021·成都高新新源学校八年级期中)如图,直线AB:过点M(k,2),并且分别与x轴,y轴相交于点A和点B.
(1)求k的值;
(2)求点 A和点B的坐标;
(3)将直线AB向上平移3个单位得直线l,若C为直线l上一点,且,求点C的坐标.
【答案】(1)2;(2);(3)或.
【分析】
(1)将代入中即可解题;
(2)将代入直线AB可得∶,再分别令,,即可解得点A和点B的坐标;
(3)先解得平移3个单位后的直线:,设C点坐标为,根据三角形面积公式解得,结合绝对值的性质解题即可.
【详解】
解:(1)将代入中可得,
,
,
故的值为 2;
(2)将代入直线AB可得∶,
令,则,
令,则,
;
(3)由题意可得,平移3个单位后的直线为,
,即:,
设C点坐标为,
,
,
,
,
解得∶或,
代入可得,点C的坐标为或.
【点睛】
本题考查一次函数,设及一次函数与坐标轴的交点、平移、三角形面积公式、绝对值等知识,是重要考点,难度较易,掌握相关知识是解题关键.
练习3.(2020·安徽淮北市·)已知一次函数的图象与直线平行,且过点,求该一次函数的表达式.
【答案】
【分析】
利用两直线平行则k相等设出解析式,再代入点 ( 2,5) 即可.
【详解】
解:设该一次函数的表达式为
因为函数的图象与直线平行
所以
把点代入
得:,解得:.
所以该一次函数的表达式为:.
【点睛】
本题考查了两直线相交或平行的问题:两条直线的交点坐标,就是由这两条直线相对应的一次函数表达式所组成的二元一次方程组的解;若两条直线是平行的关系,那么他们的自变量系数相同,即k值相同.
知识点四:一次函数的性质
◎考点13:判断一次函数的增减性
例1.(2021·全国九年级专题练习)已知0<x<1,10<y<20,且y随x的增大而增大,则y与x的关系式不可以是( )
A.y=10x+10 B.y=﹣10(x﹣1)2+20 C.y=10x2+10 D.y=﹣10x+20
【答案】D
【分析】
根据一次函数的性质,A、D选项都符合当0<x<1,10<y<20可进行判断,根据二次函数的对称轴与性质B、C选项都符合当0<x<1,10<y<20可进行判断.
【详解】
解:A.y=10x+10,
∵k=10, y随x的增大而增大,
当 0<x<1,当x=0时,y=10,当x=1时,y=10+10=20
∴当 0<x<1,10<y<20时,y随x的增大而增大,
所以A选项正确;
B.y=﹣10(x﹣1)2+20,
抛物线对称轴为x=1,=-10<0,在对称轴左侧,y随x的增大而增大,
当x=0时,y=-10+20=10, 当x=1时,y=0+20=20,
∴当 0<x<1,10<y<20时,y随x的增大而增大,
所以B选项正确;
C.y=10x2+10,,=10抛物线开口向上,对称轴为x=0,在对称轴右侧y随x的增大而增大,
当x=0时,y=0+10=10, 当x=1时,y=10+10=20,
∴当 0<x<1,10<y<20时,y随x的增大而增大,
所以C选项正确;
D.y=﹣10x+20,
∵k=-10<0, y随x的增大而减小,
当x=0时,y=0+20=20, 当x=1时,y=-10+20=10,
∴当 0<x<1,10<y<20时,y随x的增大而减小,
所以D选项错误.
故选:D.
【点睛】
本题考查一次函数的性质、二次函数的性质、函数值,有理数大小比较,掌握一次函数的性质、二次函数的性质、函数值,有理数大小比较是解题关键.
练习1.(2021·西安东仪中学八年级期末)数学课上,老师提出问题:“一次函数的图象经过点,,由此可求得哪些结论?”小明思考后求得下列个结论:①该函数表达式为;②该一次函数的函数值随自变量的增大而增大;③点该函数图象上;④直线与坐标轴围成的三角形的面积为.其中正确的结论有( )
A.个 B.个 C.个 D.个
【答案】C
【分析】
已知一次函数过两个点A(3,2),B(-1,-6),可以用待定系数法求出关系式;根据关系式可以判定一个点(已知坐标)是否在函数的图象上;根据一次函数的增减性,可以判定函数值随自变量的变化情况,当k>0,y随x的增大而增大;根据关系式可以求出函数图象与x轴、y轴的交点坐标,进而可以求出直线AB与坐标轴围成的三角形的面积,最后综合做出结论.
【详解】
解:设一次函数表达式为y=kx+b,将A(3,2),B(-1,-6)代入得:
,
解得:k=2,b=-4,
∴关系式为y=2x-4,故①正确;
由于k=2>0,y随x的增大而增大,故②正确;
点P(2a,4a-4),代入,得:2×2a-4=4a-4,
∴其坐标满足y=2x-4,因此该点在此函数图象上;故③正确;
令x=0,则y=-4,令y=0,则x=2,
∴直线AB与x轴,y轴的交点分别(2,0),(0,-4),
因此与坐标轴围成的三角形的面积为:,故④错误;
因此,①②③均正确,④不正确.
故选:C.
【点睛】
本题考查待定系数法求函数关系式,一次函数的性质,一次函数图象的点的坐标特征,以及依据关系式求出函数图象与坐标轴的交点坐标,进而求出三角形的面积等知识点,在解题中渗透选择题的排除法,验证法.
练习2.(2021·陕西九年级专题练习)下列说法正确的是( )
A.直线必经过点(-1,0)
B.若点(,)和(,)在直线(<0)上,且>,那么>
C.若直线经过点A(,-1),B(1,),当<-1时,该直线不经过第二象限
D.若一次函数的图象与轴交点纵坐标是3,则=±1
【答案】A
【分析】
把代入求解,从而可判断 由一次函数的增减性可判断 利用待定系数法求解 再判断的符号,可判断 由一次函数的定义可得: 再利用交点的纵坐标求解 从而可判断
【详解】
解:把代入可得:
所以:直线必经过点(-1,0),故符合题意;
直线(<0),
随增大而减少,
>,
<,故不符合题意;
由题意得:,
因为<,
解得:,
所以<0,所以图象必过第二象限.故不符合题意;
一次函数的图象与轴交点纵坐标是3,
又因为为一次函数,
所以
故不符合题意.
【点睛】
本题考查的是利用待定系数法求解一次函数的解析式,一次函数的定义与性质,掌握以上知识是解题的关键.
练习3.(2020·浙江杭州市·九年级期末)下列四个函数,,,中,满足y随x的值增大而增大的函数个数是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
【答案】A
【分析】
首先判断每个函数是哪一类函数,再根据反比例函数的性质,一次函数的性质,二次函数的性质分别进行判断.
【详解】
解:是正比例函数,k=-5<0,y随x的增大而减小,故不符合;
是一次函数,k=6>0,y随x的增大而增大,故符合;
是反比例函数,k=1>0,在每一个象限内y随x的增大而减小,故不符合;
是二次函数,a=2>0,开口向上,对称轴是y轴,x<0时,y随x的增大而减小,故不符合;
故选A.
【点睛】
此题主要考查了反比例函数的性质,一次函数的性质,二次函数的性质,熟练掌握每一种函数的性质是解决问题的关键.
◎考点14:根据增减性求参数
例1.(2021·全国八年级期末)若正比例函数y=(1﹣2m)x的图象中,y随x的增大而减小,则m的取值范围为( )
A.m<0 B.m>0 C.m< D.m>
【答案】D
【分析】
根据正比例函数的定义结合一次函数的性质即可得出关于m的一元一次不等式,解之即可得出结论.
【详解】
解:∵正比例函数y=(1-2m)x的图象y随x的增大而减小,
∴1-2m<0,
解得:m>,
故选:D.
【点睛】
本题考查了一次函数图象与系数的关系、一次函数的性质,解题的关键是根据正比例函数的定义结合一次函数的性质找出关于m的一元一次不等式.
练习1.(2021·重庆八中八年级期末)已知一次函数()满足随的增大而减小,则下列点中可能在该函数图象上的是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【分析】
把各个选项的坐标代入函数解析式,利用一次函数图象上点的坐标特征求出k值,结合y随x的增大而减小即可确定结论.
【详解】
解:A、当点A的坐标为( 1,2)时, k+3=2,
解得:k=1>0,
∴y随x的增大而增大,选项A不符合题意;
B、当点A的坐标为(1, 2)时,k+3= 2,
解得:k= 5<0,
∴y随x的增大而减小,选项B符合题意;
C、当点A的坐标为(2,3)时,2k+3=3,
解得:k=0,选项C不符合题意;
D、当点A的坐标为(3,4)时,3k+3=4,
解得:k=>0,
∴y随x的增大而增大,选项D不符合题意.
故选:B.
【点睛】
本题考查了一次函数的性质以及一次函数图象上点的坐标特征,根据点的坐标,利用一次函数图象上点的坐标特征求出k值是解题的关键.
练习2.(2020·浙江八年级期末)在平面直角坐标系中,关于x的一次函数y=(k-2)(x-2)图象上有三点A(0,a),B(2,b),C(4,c),且aA.-3 B.-1 C.1 D.3
【答案】D
【分析】
由关于x的一次函数y=(k-2)(x-2)可得,进而由图象上有三点A(0,a),B(2,b),C(4,c),且a【详解】
解:由一次函数y=(k-2)(x-2)可得,
∵一次函数图像上有三点A(0,a),B(2,b),C(4,c),且a∴y随x的增大而增大,
∴,
∴,
∴只有D选项符合题意;
故选D.
【点睛】
本题主要考查一次函数的性质,熟练掌握一次函数的性质是解题的关键.
练习3.(2021·西安市第二十三中学九年级开学考试)一次函数的图象经过点,且的值随值的增大而增大,则点的坐标可以是( )
A. B. C. D.
【答案】A
【分析】
根据题意可判断k>0,将各选项中的点的坐标代入一次函数的解析式逐项计算即可.
【详解】
解:A、把代入,得﹣3=k-5,解得k=2>0,故本选项符合题意;
B、把代入,得3=﹣5k-5,解得k=<0,故本选项不符合题意;
C、把代入,得﹣6=2k-5,解得k=<0,故本选项不符合题意;
D、把代入,得﹣9=5k-5,解得k=<0,故本选项不符合题意;
故选:A.
【点睛】
本题考查了一次函数的性质和一次函数图象上点的坐标特征,熟练掌握一次函数的性质、正确计算是解题的关键.
◎考点15:根据增减性判断自变量的变化情况
例1.(2021·陕西西安市·九年级二模)一次函数y=kx+b的图象经过点A(2,3),每当x增加1个单位时,y增加3个单位,则此函数表达式是( )
A.y=3x+3 B.y=2x﹣3 C.y=3x﹣3 D.y=3x﹣2
【答案】C
【分析】
根据题意可得:该一次函数图象还经过(3,6),然后将两点的坐标代入即可求出结论.
【详解】
解:∵一次函数的图象经过点,每当x增加1个单位时,y增加3个单位,
∴该一次函数图象还经过(3,6),
将点和(3,6)分别代入中,得,
解得:,
∴此函数表达式是,
故选C.
【点睛】
本题考查的是求一次函数解析式,掌握利用待定系数法求一次函数解析式是解题关键.
练习1.(2021·安徽合肥市·九年级月考)已知一次函数y=ax+a+2的图象与y轴的正半轴相交,且y随x的增大而减小,则a的值可以是( )
A. B.﹣1 C.﹣2 D.
【答案】B
【分析】
由y随x的增大而减小,可得a0,由一次函数y=ax+a+2的图象与y轴的正半轴相交,a+20,解不等式求出范围取值即可.
【详解】
解:∵一次函数y=ax+a+2,y随x的增大而减小,
∴a0,
又∵一次函数y=ax+a+2的图象与y轴的正半轴相交,
∴a+20,
∴a-2,
∴-2a0,
则a的值可以是-1.
故选择:B.
【点睛】
本题考查一次函数的性质,一次函数与不等式,掌握一次函数的性质,一次函数与不等式关系是解题关键.
练习2.(2021·安徽安庆市·八年级期末)若点(2,y1)和(﹣2,y2)都在直线y=﹣x+3上,则y1与y2的大小关系是( )
A.y1y2 B.y1=y2 C.y1y2 D.无法确定
【答案】A
【分析】
由k=﹣1<0,利用一次函数的性质可得出y随x的增大而减小,再结合2>﹣2即可得出y1<y2.
【详解】
解:∵k=﹣1<0,
∴y随x的增大而减小,
又∵2>﹣2,
∴y1<y2.
故选:A.
【点睛】
本题考查了一次函数的性质,牢记“k>0,y随x的增大而增大;k<0,y随x的增大而减小”是解题的关键.
练习3.(2021·浙江绍兴市·八年级期末)点P1(x1,y1),P2(x2,y2),是一次函数y=5x+3图象上的两点,且y1<y2,则x1与x2的大小关系是( )
A.x1>x2 B.x1=x2 C.x1<x2 D.不能确定
【答案】C
【分析】
由y1 <y2,根据一次函数的性质,即可判断x1与x2的大小关系,从而可以解答本题.
【详解】
在一次函数y=5x+3中,y随x的增大而增大,
∵y1<y2,
∴x1<x2,
故选择:C.
【点睛】
本题考查一次函数图象上点的坐标特征,解题的关键是明确一次函数的性质.对于一次函数y=kx+b(k为常数,k≠0),当k>0时,y随x的增大而增大;当k<0时,y随x的增大而减小.
◎考点16:比较一次函数值得大小
例1.(2021·全国八年级期末)点A(﹣2,y1),B(3,y2)是一次函数y=﹣2x+1图象上的两点,则( )
A.y1>y2 B.y1≥y2 C.y1<y2 D.y1≤y2
【答案】A
【分析】
根据一次函数的性质即可求解.
【详解】
∵一次函数y=﹣2x+1的图象y随着x的增大而减小,
又∵ 2<3,
∴y1>y2,
故选:A.
【点睛】
此题主要考查一次函数的图像,解题的关键是熟知一次函数的性质.
练习1.(2020·浙江杭州市·八年级期中)点、都在一次函数的图象上,则、的大小关系是( )
A. B. C. D.不确定
【答案】A
【分析】
利用一次函数解析式得出其增减性,进而得出y1、y2的大小关系.
【详解】
解:∵一次函数y= 2x+3,k= 2<0,
∴y随x的增大而减小,
∵a<a+1,A(a,y1)、B(a+1,y2)都在一次函数y= 2x+3的图象上,
∴y1>y2.
故选:A.
【点睛】
此题主要考查了一次函数图象上点的坐标性质和一次函数增减性,正确利用一次函数增减性得出是解题关键.
练习2.(2021·北京九年级专题练习)已知点和点是函数的图象上的两点,则与的大小关系是( )
A. B. C. D.以上都不对
【答案】C
【分析】
根据一次函数的图像和性质,k<0,y随x的增大而减小解答.
【详解】
解:∵k=﹣2<0,
∴y随x的增大而减小,
∵3>2,
∴a<b.
故选择:C.
【点睛】
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征,利用一次函数的增减性求解更简便.
练习3.(2021·淮北市第二中学八年级期末)点和点都在正比例函数的图象上,则下列判断正确的是( )
A. B. C. D.
【答案】A
【分析】
根据正比例函数图形的增减性,结合函数图象上的点的横坐标的大小关系,即可得到答案.
【详解】
解:∵正比例函数y= 2x上的点y随着x的增大而减小,
又∵点和点都是正比例函数y= 2x图象上的点,且-2<1,
∴,
故选:A.
【点睛】
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征,正确掌握一次函数的增减性是解题的关键.
◎考点17:一次函数的规律探究问题
例1.(2021·安徽安庆市·八年级期末)如图,过点A1(2,0)作x轴的垂线,交直线y=2x于点B1;点A2与点O关于直线A1B1对称;过点A2(4,0)作x轴的垂线,交直线y=2x于点B2;点A3与点O关于直线A2B2对称;过点A3作x轴的垂线,交直线y=2x于点B3;…,按此规律作下去,则点B2021的坐标为( )
A.(22021,22020) B.(22021,22022) C.(22022,22021) D.(22020,22021)
【答案】B
【分析】
根据作图规律,A的横坐标后一个是前一个的2倍,B点的横坐标和A点横坐标相同,B点在y=2x上,得出点B的坐标规律,即可得出结果.
【详解】
解:由已知作图规律可知:A1(2,0),A (4,0),A3(8,0),A4(16,0),…,An(2n,0),
∴对应的B1(2,4),B2(4,8),B3(8,16),B4(16,32),…,Bn(2n,2n+1),
∴点B2021的坐标为(22021,22022),
故选:B.
【点睛】
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、点的坐标规律型等知识,解答此题的关键是明确题意,发现题目点B对应各点坐标的变化规律,利用数形结合的思想解答.
练习1.(2020·四川巴中市·八年级期末)正方形,按如图所示的方式放置,点和点分别在直线上和x轴上,则点的纵坐标是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【分析】
利用一次函数图象上点的坐标特征及正方形的性质可得出点A1,A2,A3,A4,A5的坐标,即可根据正方形的性质得出C1,C2,C3,C4,C5的纵坐标,根据点的坐标的变化可找出变化规律点Cn的纵坐标为2n-1,再代入n=1999即可得出结论.
【详解】
解:当x=0时,y=x+1=1,
∴点A1的坐标为(0,1).
∵四边形A1B1C1A2为正方形,
∴点C1的纵坐标为1,
当x=1时,y=x+1=2,
∴点A2的坐标为(1,2).
∵A2B2C2A3为正方形,
∴点C2的纵坐标为2.
同理,可知:点A3的坐标为(3,4),
点C3的纵坐标为4,
∴点Cn的纵坐标为2n-1,
∴点C1999的纵坐标为21998.
故选:B.
【点睛】
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、正方形的性质以及规律型:点的坐标,根据点的坐标的变化找出变化规律点Cn的纵坐标为2n-1是解题的关键.
练习2.(2019·云南昆明市·九年级学业考试)在平面直角坐标系中,点在直线上,过点作轴于点,作等腰直角三角形(与原点重合),再以为腰作等腰直角三角形;以为腰作等腰直角三角形…;按照这样的规律进行下去,那么的坐标为()
A. B. C. D.
【答案】B
【分析】
根据直线的解析式以及等腰直角三角形的性质即可得出A2(0,2),A3(2,4),A4(6,8),根据坐标的变化即可找出变化规律An(2n 1 2,2n 1).即可得出点A2019的坐标.
【详解】
解:如上图,
∵点B1、B2、B3、…、Bn在x轴上,且A1B1=B1B2,A2B2=B2B3,A3B3=B3B4,
∵A1( 1,1),
∴A2(0,2),A3(2,4),A4(6,8),…,
∴An(2n 1 2,2n 1).
∴A2019的坐标为(22018 2,22018).
故选:B.
【点睛】
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、等腰直角三角形的性质以及规律型中点的坐标,解题的关键是找出An坐标的变化规律,本题属于中档题,难度不大,解决该题型题目时,结合一次函数图象上点的坐标特征以及等腰直角三角形的性质找出线段的变化规律是关键.
练习3.(2019·乐清育英学校初中分校七年级期中)如图,已知直线与x、y轴交于B、C两点,A(0,0),在△ABC内依次作等边三角形,使一边在x轴上,另一个顶点在BC边上,作出的等边三角形分别是第1个△AA1B1,第2个△B1A2B2,第3个△B2A3B3,…则第n-1个等边三角形的边长等于( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据题目已知条件可推出,,依此类推,第n-1个等边三角形的边长等于.
【详解】
解:∵OB=,OC=1,
∴BC=2,
∴∠OBC=30°,∠OCB=60°.
而△AA1B1为等边三角形,∠A1AB1=60°,
∴∠COA1=30°,则∠CA1O=90°.
在Rt△CAA1中,,
同理得:,
依此类推,第n-1个等边三角形的边长等于.
故选A.
【点睛】
本题考查了一次函数综合题.解题时,将一次函数、等边三角形的性质及解直角三角形结合在一起,从而归纳出边长的规律.
知识点五:求一次函数的解析式
待定系数法:先设出函数解析式,在根据条件确定解析式中未知的系数,从而得出解析式的方法叫做待定系数法。
待定系数法求函数解析式的一般步骤:
1、设函数解析式 2、将已知条件带入到解析式中
3、解方程(组) 4、将求出的数值代入到解析式中
例1.(2021·全国八年级期末)如图,在平面直角坐标系中,已知,直线与直线交于点C,直线l与x轴交于点D.
(1)求直线的解析式:
(2)求点C的坐标;
(3)求的面积.
【答案】(1)y=-2x+8;(2)(2,4);(3)18
【分析】
(1)利用待定系数法求解即可;
(2)联立y=-2x+8和y=x+2,求出x,代入其中一个解析式求出y值,即可得到点C;
(3)求出点D和点E坐标,利用△ACD的面积=△CDE的面积+△ADE的面积求出结果.
【详解】
解:(1)设直线AB的解析式为:y=kx+b,
将A(5,-2),B(1,6)代入,
得:,解得:,
∴直线AB的解析式为:y=-2x+8;
(2)∵直线与直线y=x+2交于点C,
则令-2x+8=x+2,
解得:x=2,代入y=x+2,得y=4,
∴C(2,4);
(3)∵直线l与x轴交于点D,
∴在y=x+2中,令y=0,则x=-2,
∴D(-2,0),设E为直线AB与x轴交点,
在y=-2x+8中,令y=0,则x=4,
∴E(4,0),
∴△ACD的面积=△CDE的面积+△ADE的面积==.
【点睛】
本题考查了待定系数法求直线的解析式,一次函数与坐标轴的交点问题,能正确求出函数解析式,从而得到相应点的坐标是解题的关键.
练习1.(2021·四川成都市·)某公司销售一种商品,成本为每件20元,经过市场调查发现,该商品的日销售量y(件)与销售单价x(元)是一次函数关系,其销售单价、日销售量的三组对应数值如下表:
销售单价x(元) 40 60 80
日销售量y(件) 80 60 40
(1)求y与x的关系式;
(2)若物价部门规定每件商品的利润率不得超过100%,设日利润为w元,求公司销售该商品获得的最大日利润;
(3)若物价部门规定该商品销售单价不能超过a元,并且由于某种原因,该商品每件成本变成了之前的2倍,在日销售量y(件)与销售单价x(元)保持(1)中函数关系不变的情况下,该商品的日销售最大利润是1500元,求a的值.
【答案】(1)y=-x+120;(2)1600元;(3)a=70.
【分析】
(1)设函数的表达式为y=kx+b,利用待定系数法解题;
(2)设公司销售该商品获得的最大日利润为w元,利用总利润=单利销售量列函数关系式,化为顶点解析式,根据二次函数的增减性解题即可;
(3)当w最大=1500时,解得x的值,再由x的取值范围分两种情况讨论①a<80或②a≥80时,根据二次函数的增减性解题即可.
【详解】
(1)设函数的表达式为y=kx+b,
将(40,80)、(60,60)代入上式得:,解得
,
故y与x的关系式为y=-x+120;
(2)公司销售该商品获得的最大日利润为w元,
则w=(x-20)y=(x-20)(-x+120)=-(x-70)2+2500,
∵x-20≥0,-x+120≥0,x-20≤20×100%,
∴20≤x≤40,
∵-1<0,故抛物线开口向下,故当x<70时,w随x的增大而增大,
∴当x=40(元)时,w的最大值为1600(元),
故公司销售该商品获得的最大日利润为1600元;
(3)
当w最大=1500时,=1500,解得x1=70,x2=90,
∵x-2×20≥0,∴x≥40,又∵x≤a,∴40≤x≤a.
∴有两种情况,①a<80时,即40≤x≤a,
在对称轴左侧,w随x的增大而增大,
∴当x=a=70时,w最大=1500,
②a≥80时,即40≤x≤a,
在40≤x≤a范围内w最大=1600≠1500,
∴这种情况不成立,
综上所述,a=70.
【点睛】
本题考查二次函数的实际应用,涉及一次函数的应用、待定系数法解一次函数的解析式等知识,是重要考点,难度较易,掌握相关知识是解题关键.
练习2.(2021·江苏常州市·八年级期末)如图,一次函数y=x+3的图象与x轴交于点B,与过点A(3,0)的一次函数的图象交于点C(1,m).
(1)求m的值;
(2)求一次函数图象相应的函数表达式;
(3)求的面积.
【答案】(1)4;(2)y=﹣2x+6;(3)12
【分析】
(1)把点C(1,m)代入y=x+3即可求得;
(2)根据待定系数法即可求得;
(3)求得B的坐标,然后根据三角形面积公式求得即可.
【详解】
解:(1)∵点C(1,m)在一次函数y=x+3的图象上,
∴m=1+3=4;
(2)设一次函数图象相应的函数表达式为y=kx+b,
把点A(3,0),C(1,4)代入得,
解得,
∴一次函数图象相应的函数表达式y=﹣2x+6;
(3)∵一次函数y=x+3的图象与x轴交于点B,
∴B(﹣3,0),
∵A(3,0),C(1,4),
∴AB=6,
∴.
【点睛】
本题考查了一次函数上点的特征、用待定系数法求解析式、一次函数与坐标轴交点的问题;关键在于掌握好与一次函数相关的基础知识.
练习3.(2021·全国八年级课时练习)已知,如图,一次函数的图象经过了点和,与x轴交于点A.
(1)求一次函数的解析式;
(2)在y轴上存在一点M,且的面积为,求点M的坐标.
【答案】(1);(2)或
【分析】
(1)把P点和B点坐标代入y=kx+b得到关于k、b的方程组,然后解方程组求出k、b即可得到一次函数解析式;
(2)利用x轴上点的坐标特征求出A点坐标,根据三角形面积公式列等式求解即可.
【详解】
(1)设一次函数的解析式为,
把点和代入得,
解得,
所以一次函数解析式为;
(2)当时,,解得,
则(3,0),
在y轴上存在一点M,且的面积为,
,即
,
B(0,-4),
或.
【点睛】
本题考查了待定系数法求一次函数解析式以及一次函数与坐标轴的交点、三角形的面积,熟练掌握待定系数法是解题的关键.专题12 一次函数的图像和性质
知识点一:正比例函数的定义
正比例函数定义:一般地,形如 y=kx(k为常数,k≠0)的函数,叫做正比例函数,k叫做比例系数。
例1.(2021·四川成都市·八年级期末)下列函数,是正比例函数的是( )
A. B. C. D.
练习1.(2021·陕西宝鸡市·八年级期末)若一个正比例函数的图象经过A (1,-2),B(2,b-1)两点, 则b的值为( )
A.-3 B.0 C.3 D.4
练习2.(2021·广西崇左市·八年级期末)如果关于的函数是正比例函数,那么的取值范围是( )
A. B. C.不能确定 D.一切实数
练习3.(2021·浙江八年级期中)下列函数中,y是x的正比例函数的是( )
A.y=6x-1 B.y= C.y=x2 D.y=-x
知识点二:正比例函数的图像和性质
◎考点1:正比例函数的图像
例1.(2021·西安市浐灞第一中学八年级期末)已知正比例函数的图象经过点,则下列四个点中在这个函数图象上的是( )
A. B. C. D.
练习1.(2020·水城实验学校八年级月考)若正比例函数的图象经过点(2,-3),则这个图象必经过点( )
A.(-3 , 2) B.(2,3) C.( 3,2) D.(-2,3)
练习2.(2020·东北师大附中明珠学校八年级期末)已知正比例函数y=(1﹣m)x的图象过二、四象限,则m的取值范围是( )
A.m<1 B.m>1 C.m≤1 D.m≥1
练习3.(2020·甘肃张掖市·张掖四中八年级期中)画出下列正比例函数和一次函数的图像
(1)y=2x (2)y=-2x-4
◎考点2:正比例函数的性质
例1.(2020·安徽合肥市·八年级期末)已知是函数图象上的两点,下列判断正确的是( )
A. B. C.当时, D.当时,
练习1.(2020·浙江八年级期末)若正比例函数的图象y随x的增大而减小,则m的取值范围是( )
A. B. C. D.
练习2.(2021·陕西咸阳市·八年级期末)已知正比例函数,且随的增大而减小,则该函数的图象经过( )
A.第二、四象限 B.第一、三象限 C.第一、二象限 D.第二、三象限
练习3.(2021·江苏泰州市·八年级期末)已知y﹣2与x+1成正比例,且x=2时,y=8
(1)写出y与x之间的函数关系式;
(2)当x=﹣4时,求y的值.
知识点三:一次函数的定义
一次函数定义:如果 y=kx+b(k,b是常数,k ≠0 )的函数,叫做一次函数,k叫比例系数。
注意:当b=0时,一次函数y=kx+b 变为y=kx,正比例函数是一种特殊的一次函数。
◎考点3:一次函数的识别
例1.(2019·贵阳市清镇养正学校八年级期中)下列函数是一次函数的是( ).
A.y=﹣x2+1 B.y=﹣2x+1 C.y= D.y=ax+b
练习1.(2020·广西梧州市·八年级期中)下列函数中,是一次函数的是( )
A.y=x B.y= C.y=x2﹣1 D.y=
练习2.(2020·江阴市夏港中学八年级月考)函数:①y= -2x+1; ②x+y=0;③xy=3;④y= x2+1;⑤y=(x+5)-x中,属于y是x的一次函数的有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
练习3.(2021·全国八年级)下列函数(1)y=πx; (2)y=2x-1;(3)y= ;(4)y=2-1-3x中,是一次函数的有( )
A.4个 B.3个 C.2个 D.1个
◎考点4:根据定义求参数
例1.(2020·四川广安市·八年级期末)若关于x的函数是一次函数,则m的值为( )
A. B. C.1 D.2
练习1.(2021·江苏苏州市·八年级期末)已知点在一次函数的图像上,则的值为( )
A. B. C. D.
练习2.(2020·内蒙古乌海市·八年级期中)若函数是一次函数,则m值为( )
A.2 B.-2 C.-2或2 D.3
练习3.(2020·达州市第一中学校八年级期中)若函数是一次函数,则的值为( )
A.±1 B.0 C.-1 D.1
◎考点5:求自变量的范围或函数值
例1.(2020·浙江台州市·八年级期末)对于一次函数,当自变量的值增加1时,函数值将( )
A.增加2 B.增加1 C.减少2 D.减少1
练习1.(2020·全国八年级单元测试)已知y=,当0≤x≤2时,则y的取值范围是( )
A.5≤y≤6 B.5≤y≤8 C.6≤y≤8 D.4≤y≤6
练习2.(2020·山东临沂市·八年级期中)函数y=中自变量x的取值范围是( )
A.x>4 B.x<4 C.x≥4 D.x≤4
练习3.(2018·长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校)已知函数的解析式为y=-2x+8,当自变量x=4时,函数y的值为( )
A.16 B.4 C.0 D.不确定
◎考点6:列解析式并求值
例1.(2018·汕头市潮阳区铜盂中学八年级期中)已知初一(6)班的班费总共为200元,现在要为全班x个同学每人购买一个笔袋,笔袋单价为2元,则购买后剩余班费y元与班级人数x之间的函数关系式为 ( )
A. B. C. D.
练习1.(2018·全国青岛市·八年级单元测试)已知水池的容量为 V m 3 ,每小时灌水量为 50 m 3 ,灌满水所需时间为 t (h),那么 V 与 t 之间的函数关系式是( )
A.V =50 t B.V =50- t C.v= D.V =50+ t
练习2.(2019·全国八年级单元测试)李大爷要围成一个矩形菜园,菜园的一边利用足够长的墙,用篱笆围成的另外三边总长度恰好为24米.要围成的菜园是如图所示的长方形ABCD.设BC边的长为x米,AB边的长为y米,则y与x之间的函数关系式是( )
A.y=-x+12 B.y=﹣2x+24 C.y=2x﹣24 D.y=x﹣12
练习3.(2020·广东深圳市·龙岭初级中学八年级月考)学校与图书馆在同一条笔直道路上,甲从学校去图书馆,乙从图书馆回学校,甲、乙两人都匀速步行且同时出发,乙先到达目的地.两人之间的距离y(米)与时间t(分钟)之间的函数关系如图所示.
(1)根据图象信息,当t=_________分钟时甲乙两人相遇,甲的速度为__________米/分钟;
(2)求出线段AB所表示的函数表达式,并写出自变量的范围.
知识点三:一次函数的图像
正比例函数图像与一次函数图像特征
b>0 b<0 b=0
k>0 经过第一、二、三象限 经过第一、三、四象限 经过第一、三象限
图象从左到右上升,y随x的增大而增大
k<0 经过第一、二、四象限 经过第二、三、四象限 经过第二、四象限
图象从左到右下降,y随x的增大而减小
总结如下(考点):
k>0时,y随x增大而增大,必过一、三象限。
k>0,b>0时, 函数的图象经过一、二、三象限;(一次函数)
k>0,b<0时, 函数的图象经过一、三、四象限;(一次函数)
k>0,b=0时, 函数的图象经过一、三象限。 (正比例函数)
k<0时, y随x增大而减小,必过二、四象限。
k<0,b>0时,函数的图象经过一、二、四象限;(一次函数)
k<0,b<0时,函数的图象经过二、三、四象限;(一次函数)
k<0,b=0时,函数的图象经过二、四象限。 (正比例函数)
直线y1=kx+b与y2=kx图象的位置关系(考点):
1、当b>0时,将y2=kx图象向x轴上方平移b个单位,就得到y1=kx+b的图象.
2、当b<0时,将y2=kx图象向x轴下方平移-b个单位,就得到了y2=kx+b的图象.
k,b符号与直线y=kx+b(k≠0)的关系
正比例函数的图像:y=kx(k≠0)是经过点(0,0)和(1,k)的一条直线。
一次函数的图象:y=kx+b(k≠0)是经过点(0,b)和的一条直线。
1、当,则k,b同号,直线与x轴交与负半轴
2、当,则b=0,直线过原点
3、当,则k,b异号,直线与x轴交与正半轴
在两个一次函数表达式中: 直线l1:y1=k1x+b1与l2:y2=k2x+b2 的位置关系
k相同, b也相同时,两一次函数图像重合;
k相同, b不相同时,两一次函数图像平行;
k不相同,b不相同时,两一次函数图像相交;
k不相同,b相同时, 两一次函数图像交于y轴上的同一点(0,b)。
特殊位置关系:直线l1:y1=k1x+b1与l2:y2=k2x+b2
两直线平行,其函数解析式中K值(即一次项系数)相等 。即:
两直线垂直,其函数解析式中K值互为负倒数(即两个K值的乘积为-1)。即:
直线l1与坐标原点构成的三角形面积为 s =
◎考点7:判断一次函数的图像
例1.(2021·全国九年级专题练习)已知一次函数y=kx+b的图象如图所示,则y=﹣2kx﹣b的图象可能是( )
A.B.C. D.
练习1.(2020·浙江八年级期末)在同一平面直角坐标系中,直线和直线的位置可能是( )
A.B.C. D.
练习2.(2020·即墨市第二十八中学八年级期中)已知函数y=kx+b的图象如图所示,则y=﹣kx+b的图象可能是( )
A.B.C. D.
练习3.(2018·辽宁本溪市·八年级期末)如图,函数y=mx+m的图象可能是( )
A.B.C. D.
◎考点8:根据解析式判断经过的象限
例1.(2021·上海市川沙中学南校八年级期中)如果函数中的随的增大而减小,那么这个函数的图象不经过( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
练习1.(2021·上海九年级二模)一次函数的图像不经过的象限是( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
练习2.(2021·四川眉山市·八年级期末)函数满足,则函数图像不经过( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
练习3 .(2020·广西梧州市·八年级期中)对于函数y=﹣2x﹣3,下列给出四个结论:①图象经过点(﹣2,1); ②y随x的增大而减小;③图象不经过第一象限;④当x>﹣1时,y<﹣1.其中正确的结论是( )
A.①②③ B.①②④ C.①③④ D.①②③④
◎考点9:根据经过的象限,求参数的取值范围
例1.(2021·陕西九年级三模)已知一次函数的图象经过第一、二、四象限,那么以下选项正确的是( )
A. B. C. D.
练习1.(2020·陕西西安市·八年级期末)直线经过第二、三,四象限,则直线的图象大致是( )
A.B.C. D.
练习2.(2021·陕西西北工业大学附属中学九年级月考)在同一坐标系中,若直线与直线的交点在第一象限,则下列关于、的判断正确的是( )
A., B., C., D.,
练习3.(2020·浙江八年级单元测试)一次函数的图象如图所示,则下列结论正确的是( )
A. B. C.y随x的增大而增大 D.当时,
◎考点10:图像与坐标轴的交点问题
例1.(2021·湖南长沙市·九年级一模)函数图象与x轴的交点坐标为( )
A.(-4,0) B.(2,0) C.(0,-4) D.(0,2)
练习1.(2020·广西梧州市·八年级期中)一次函数y=2x﹣4的图象与y轴交点的坐标是( )
A.(0,4) B.(0,﹣4) C.(2,0) D.(﹣2,0)
练习2.(2021·全国九年级专题练习)若直线y=kx+b(k≠0)经过点A(2,-3),且与y轴的交点在x轴上方,则k的取值范围是( )
A. B. C. D.
练习3.(2021·合肥市第四十五中学九年级一模)一次函数y=﹣2x﹣3的图象和性质.叙述正确的是( )
A.y随x的增大而增大
B.与y轴交于点(0,﹣2)
C.函数图象不经过第一象限
D.与x轴交于点(﹣3,0)
◎考点11:画一次函数的图像
例1.(2017·全国八年级课时练习)直线y=2﹣x与y=﹣x+的位置关系是( )
A.平行 B.相交 C.重合 D.不确定
练习1 .(2020·浙江杭州市·九年级其他模拟)已知直线 y1=2x+1,y2=-2x+1,则下列说法正确的是( )
A.两直线互相平行 B.两直线互相垂直
C.两直线关于 x 轴对称 D.两直线关于 y 轴对称
练习2.(2020·广西梧州市·八年级期中)我们知道一次函数的图象是一条直线,又因为“两点确定一条直线”,从而我们把画一次函数图象简化成“定两点,画图象”的简易方法,下面就是用这种简易方法画一次函数y=x﹣2图象的过程.请你回答下列问题.
(1)列表,把表补充完整;
x … 0 …
y=x﹣2 … 0 …
(2)描点并连线得(如图);
(3)请你写出一个点的坐标,要求这个点在一次函数y=x﹣2图象上且不在坐标轴上,则这个点的坐标是: .
练习3.(2020·扬州市邗江区实验学校八年级月考)若等腰三角形的周长是80cm,
(1)写出这个等腰三角形的腰长y(cm)与底边长x(cm)之间的函数关系式,并求出自变量的取值范围;
(2)画出该函数的图象.
◎考点12:一次函数的平移问题
例1.(2021·安徽合肥市·)已知是的一次函数,且当,;当时,.
(1)求这个一次函数的表达式:
(2)将该函数图象向下平移3个单位,求平移后图象的函数表达式.
练习1.(2018·山东济南市·九年级二模)在平面直角坐标系中,直线l经过点和点,请问将直线l沿x轴平移几个单位时,正好经过原点?
练习2.(2021·成都高新新源学校八年级期中)如图,直线AB:过点M(k,2),并且分别与x轴,y轴相交于点A和点B.
(1)求k的值;
(2)求点 A和点B的坐标;
(3)将直线AB向上平移3个单位得直线l,若C为直线l上一点,且,求点C的坐标.
练习3.(2020·安徽淮北市·)已知一次函数的图象与直线平行,且过点,求该一次函数的表达式.
知识点四:一次函数的性质
◎考点13:判断一次函数的增减性
例1.(2021·全国九年级专题练习)已知0<x<1,10<y<20,且y随x的增大而增大,则y与x的关系式不可以是( )
A.y=10x+10 B.y=﹣10(x﹣1)2+20 C.y=10x2+10 D.y=﹣10x+20
练习1.(2021·西安东仪中学八年级期末)数学课上,老师提出问题:“一次函数的图象经过点,,由此可求得哪些结论?”小明思考后求得下列个结论:①该函数表达式为;②该一次函数的函数值随自变量的增大而增大;③点该函数图象上;④直线与坐标轴围成的三角形的面积为.其中正确的结论有( )
个 B.个 C.个 D.个
练习2.(2021·陕西九年级专题练习)下列说法正确的是( )
A.直线必经过点(-1,0)
B.若点(,)和(,)在直线(<0)上,且>,那么>
C.若直线经过点A(,-1),B(1,),当<-1时,该直线不经过第二象限
D.若一次函数的图象与轴交点纵坐标是3,则=±1
练习3.(2020·浙江杭州市·九年级期末)下列四个函数,,,中,满足y随x的值增大而增大的函数个数是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
◎考点14:根据增减性求参数
例1.(2021·全国八年级期末)若正比例函数y=(1﹣2m)x的图象中,y随x的增大而减小,则m的取值范围为( )
A.m<0 B.m>0 C.m< D.m>
练习1.(2021·重庆八中八年级期末)已知一次函数()满足随的增大而减小,则下列点中可能在该函数图象上的是( )
A. B. C. D.
练习2.(2020·浙江八年级期末)在平面直角坐标系中,关于x的一次函数y=(k-2)(x-2)图象上有三点A(0,a),B(2,b),C(4,c),且aA.-3 B.-1 C.1 D.3
练习3.(2021·西安市第二十三中学九年级开学考试)一次函数的图象经过点,且的值随值的增大而增大,则点的坐标可以是( )
A. B. C. D.
◎考点15:根据增减性判断自变量的变化情况
例1.(2021·陕西西安市·九年级二模)一次函数y=kx+b的图象经过点A(2,3),每当x增加1个单位时,y增加3个单位,则此函数表达式是( )
A.y=3x+3 B.y=2x﹣3 C.y=3x﹣3 D.y=3x﹣2
练习1.(2021·安徽合肥市·九年级月考)已知一次函数y=ax+a+2的图象与y轴的正半轴相交,且y随x的增大而减小,则a的值可以是( )
A. B.﹣1 C.﹣2 D.
练习2.(2021·安徽安庆市·八年级期末)若点(2,y1)和(﹣2,y2)都在直线y=﹣x+3上,则y1与y2的大小关系是( )
A.y1y2 B.y1=y2 C.y1y2 D.无法确定
练习3.(2021·浙江绍兴市·八年级期末)点P1(x1,y1),P2(x2,y2),是一次函数y=5x+3图象上的两点,且y1<y2,则x1与x2的大小关系是( )
A.x1>x2 B.x1=x2 C.x1<x2 D.不能确定
◎考点16:比较一次函数值得大小
例1.(2021·全国八年级期末)点A(﹣2,y1),B(3,y2)是一次函数y=﹣2x+1图象上的两点,则( )
A.y1>y2 B.y1≥y2 C.y1<y2 D.y1≤y2
练习1.(2020·浙江杭州市·八年级期中)点、都在一次函数的图象上,则、的大小关系是( )
A. B. C. D.不确定
练习2.(2021·北京九年级专题练习)已知点和点是函数的图象上的两点,则与的大小关系是( )
A. B. C. D.以上都不对
练习3.(2021·淮北市第二中学八年级期末)点和点都在正比例函数的图象上,则下列判断正确的是( )
A. B. C. D.
◎考点17:一次函数的规律探究问题
例1.(2021·安徽安庆市·八年级期末)如图,过点A1(2,0)作x轴的垂线,交直线y=2x于点B1;点A2与点O关于直线A1B1对称;过点A2(4,0)作x轴的垂线,交直线y=2x于点B2;点A3与点O关于直线A2B2对称;过点A3作x轴的垂线,交直线y=2x于点B3;…,按此规律作下去,则点B2021的坐标为( )
A.(22021,22020) B.(22021,22022) C.(22022,22021) D.(22020,22021)
练习1.(2020·四川巴中市·八年级期末)正方形,按如图所示的方式放置,点和点分别在直线上和x轴上,则点的纵坐标是( )
A. B. C. D.
练习2.(2019·云南昆明市·九年级学业考试)在平面直角坐标系中,点在直线上,过点作轴于点,作等腰直角三角形(与原点重合),再以为腰作等腰直角三角形;以为腰作等腰直角三角形…;按照这样的规律进行下去,那么的坐标为()
A. B. C. D.
练习3.(2019·乐清育英学校初中分校七年级期中)如图,已知直线与x、y轴交于B、C两点,A(0,0),在△ABC内依次作等边三角形,使一边在x轴上,另一个顶点在BC边上,作出的等边三角形分别是第1个△AA1B1,第2个△B1A2B2,第3个△B2A3B3,…则第n-1个等边三角形的边长等于( )
A. B. C. D.
知识点五:求一次函数的解析式
待定系数法:先设出函数解析式,在根据条件确定解析式中未知的系数,从而得出解析式的方法叫做待定系数法。
待定系数法求函数解析式的一般步骤:
1、设函数解析式 2、将已知条件带入到解析式中
3、解方程(组) 4、将求出的数值代入到解析式中
例1.(2021·全国八年级期末)如图,在平面直角坐标系中,已知,直线与直线交于点C,直线l与x轴交于点D.
(1)求直线的解析式:
(2)求点C的坐标;
(3)求的面积.
练习1.(2021·四川成都市·)某公司销售一种商品,成本为每件20元,经过市场调查发现,该商品的日销售量y(件)与销售单价x(元)是一次函数关系,其销售单价、日销售量的三组对应数值如下表:
销售单价x(元) 40 60 80
日销售量y(件) 80 60 40
(1)求y与x的关系式;
(2)若物价部门规定每件商品的利润率不得超过100%,设日利润为w元,求公司销售该商品获得的最大日利润;
(3)若物价部门规定该商品销售单价不能超过a元,并且由于某种原因,该商品每件成本变成了之前的2倍,在日销售量y(件)与销售单价x(元)保持(1)中函数关系不变的情况下,该商品的日销售最大利润是1500元,求a的值.
练习2.(2021·江苏常州市·八年级期末)如图,一次函数y=x+3的图象与x轴交于点B,与过点A(3,0)的一次函数的图象交于点C(1,m).
(1)求m的值;
(2)求一次函数图象相应的函数表达式;
(3)求的面积.
练习3.(2021·全国八年级课时练习)已知,如图,一次函数的图象经过了点和,与x轴交于点A.
(1)求一次函数的解析式;
(2)在y轴上存在一点M,且的面积为,求点M的坐标.专题12 一次函数的图像和性质(强化-提高)
一、单选题(共40分)
1.(本题4分)(2021·河南郑州市·八年级期末)下列问题中,两个变量之间是正比例函数关系的是( )
A.汽车以的速度匀速行驶,行驶路程与行驶时间之间的关系
B.圆的面积与它的半径之间的关系
C.某水池有水,现打开进水管进水,进水速度,后水池有水
D.有一个边长为x的正方体,则它的表面积S与边长x之间的函数关系
【答案】A
【分析】
根据正比例函数的定义逐个判断即可求解
【详解】
选项A: y=80x,属于正比例函数,两个变量之间成正比例函数关系,符合题意;
选项B:属于二次函数,两个变量之间不是成正比例函数关系,不合题意;
选项C: y=15+5x, 属于一次函数,两个变量之间不是成正比例函数关系,不合题意;
选项D: S=6x2,属于二次函数,两个变量之间不是成正比例函数关系,不合题意;
故选: A
【点睛】
本题考查正比例函数的定义,正确理解正比例函数的定义是关键
2.(本题4分)(2020·四川成都市·八年级期末)若函数y=(k﹣3)x+k2﹣9是正比例函数,则( )
A.k≠3 B.k=±3 C.k=3 D.k=﹣3
【答案】D
【分析】
形如的函数是正比例函数,根据定义解答.
【详解】
解:∵y=(k﹣3)x+k2﹣9是正比例函数,
∴k2﹣9=0,且k﹣3≠0,
解得:k=﹣3,
故选:D.
【点睛】
此题考查正比例函数的定义:形如的函数是正比例函数,熟记定义是解题的关键.
3.(本题4分)(2021·浙江台州市·九年级一模)路程,速度,时间三者之间的关系式为,当其中一个量是常量时,另外两个变量的函数图象不可能是( )
A.B.C. D.
【答案】D
【分析】
分s,v,t是常量,确定函数的属性,根据属性判断图像即可
【详解】
当v是常量时,s是t的正比例函数,A是可能的,不符合题意;当t是常量时,s是v的正比例函数,B是可能的,不符合题意;当t是常量时,v是s的正比例函数,D是不可能的,符合题意;
故选D.
【点睛】
本题考查了反比例函数的图像,正比例函数的图像,熟练掌握各类函数的根本属性是解题的关键.
4.(本题4分)(2021·陕西九年级其他模拟)已知点A(a,m)和点B(﹣a﹣2,n)都在正比例函数y=﹣3x的图象上,则m+n的值为( )
A.3 B.﹣3 C.﹣6 D.6
【答案】D
【分析】
把点A(a,m)和点B(﹣a﹣2,n)分别代入y=﹣3x中,得到m=-3a,n=3a+6,两式相加求解即可.
【详解】
∵点A(a,m)和点B(﹣a﹣2,n)都在正比例函数y=﹣3x的图象上,
∴m=-3a,n=3a+6,
∴m+n=-3a+3a+6=6,
故选D.
【点睛】
本题考查了正比例函数的图像,熟练掌握图像过点则点的坐标满足函数的解析式是解题的关键.
5.(本题4分)(2021·福建三明市·九年级一模)平面直角坐标系中,抛物线()与直线上有三个不同的点,,,如果,那么和的关系是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【分析】
假设A、B两点在二次函数图像上,C点在直线上,然后根据题意及根与系数的关系得到即进而代入直线解析式求解即可.
【详解】
解:假设A、B两点在二次函数图像上,C点在直线上,
由根系关系,,
,
,
∵在直线上,
,
.
故选C.
【点睛】
本题主要考查二次函数与一次函数的综合问题,掌握二次函数与一次函数的性质,求出的关系式是解题的关键.
6.(本题4分)(2020·陕西西安市·高新一中八年级月考)下列描述一次函数的图象与性质错误的是( )
A.点和都在此图象上 B.直线与轴的交点坐标是
C.与正比例函数的图象平行 D.直线经过一、二、四象限
【答案】B
【分析】
把,分别代入一次函数的解析式可判断A的正误;令可求得直线与轴的交点坐标即可判断B的正误;由于两直线的k值都等于,则两直线平行,可知C正确;再由k<0,b>0,则直线经过第一、二、四象限,故D正确.
【详解】
A、因为当时,,当时,,所以点(2.5,0)、(1,3)在此图象上,所以A选项的说法正确;
B、令,则,知直线与轴的交点坐标为(2.5,0),所以B选项的说法错误;
C、由于两直线的k值都等于,则两直线平行,所以C选项的说法正确;
D、因为k<0,b>0,直线经过第一、二、四象限,所以D选项的说法正确.
故选:B.
【点睛】
本题考查了一次函数的性质,熟知一次函数y=kx+b(k、b为常数,k≠0)是一条直线,当k>0,图象经过第一、三象限;当k<0,图象经过第二、四象限;图象与y轴的交点坐标为(0,b);若两条直线是平行的关系,那么他们的自变量系数相同,即k值相同,是解答此题的关键.
7.(本题4分)(2021·陕西西安市·高新一中九年级二模)将一次函数y=2x+4的图象向右平移后所得直线与坐标轴围成的三角形面积是9,则平移距离是( )
A.4 B.5 C.6 D.7
【答案】B
【分析】
直接利用一次函数的图象平移规律得出平移后的解析式,进而根据三角形面积公式得出答案
【详解】
设平移的距离为k(k>0),
则将一次函数y=2x+4向右平移后所得直线解析式为:y=2(x-k)+4=2x-2k+4.
易求得新直线与坐标轴的交点为(k-2,0)、(0,-2k+4)
所以,新直线与坐标轴所围成的三角形的面积为:
变形得
解得k=5或k=-1(舍去).
故选:B.
【点睛】
此题主要考查了一次函数图象与几何变换,正确得出平移后解析式是解题关键.
8.(本题4分)(2020·陕西九年级一模)如果函数y=kx﹣6和y=﹣2x+a的图象的交点在第三象限,那么k,a的取值范围是( )
A.k>0,a>﹣6 B.k>0,a<﹣6 C.k>0,a>6 D.k<0,a>6
【答案】B
【分析】
根据各个选项选出草图进行判断是否符合题便可得出最终结论..
【详解】
解:A.∵k>0,a>﹣6,
∴函数y=kx﹣6和y=﹣2x+a的图象如图1所示:
两直线不交于第三象限,不符合题意,此选项错误;
B..∵k>0,a<﹣6,
∴函数y=kx﹣6和y=﹣2x+a的图象如图2所示:
两直线交于第三象限,符合题意,此选项正确;
C.∵k>0,a>6
∴函数y=kx﹣6和y=﹣2x+a的图象如图3所示:
两直线不交于第三象限,不符合题意,此选项错误;
D.∵k<0,a>6,
∴函数y=kx﹣6和y=﹣2x+a的图象如图4所示:
两直线不交于第三象限,不符合题意,此选项错误;
故选:B.
【点睛】
本题考查了一次函数图象与系数的关系,大致画出函数图象,利用数形结合解决问题是解题的关键.
9.(本题4分)(2021·西安市铁一中学九年级其他模拟)把直线y=﹣x+4向下移n个单位长度后,与直线y=﹣x+3的交点在第二象限,则n的取值范围是( )
A.1<n< B.1<n<10 C.n>1 D.n<7
【答案】C
【分析】
直线y=﹣x+4向下平移n个单位后可得:y=﹣x+4-n,求出直线y=﹣x+4-n与直线y=﹣x+3的交点,再由此点在第二象限可得出n的取值范围.
【详解】
解:直线y=﹣x+4向下移n个单位后可得:y=﹣x+4-n,
联立两直线解析式得:
,
解得:
,
即交点坐标为(2-2n,n+2),
∵交点在第二象限,
∴,
解得:n>1.
故选:C.
【点睛】
本题考查了一次函数图象与几何变换、两直线的交点坐标,注意第二象限的点的横坐标小于0、纵坐标大于0.
10.(本题4分)(2021·北京九年级专题练习)已知点,,在轴上的点,使得最小,则点的横坐标为( )
A. B. C.2 D.
【答案】A
【分析】
作点A关于x轴的对称点A',连接A'B,与x轴的交点即为点C,连接AC,则AC+BC的最小值等于A'B的长,利用待定系数法求得直线A'B的解析式,即可得到点C的坐标.
【详解】
解:如图所示,作点A关于轴的对称点,连接,与轴的交点即为点,
连接,则的最小值等于的长,
,
,
设直线的解析式为,
把,代入得,
,
解得,
,
当时,,
点的横坐标为,
故选:.
【点睛】
本题主要考查了待定系数法,轴对称的性质,一次函数图象与坐标轴的交点,以及最短路线问题,凡是涉及最短距离的问题,一般要考虑线段的性质定理,结合轴对称变换来解决,多数情况要作点关于某直线的对称点.
二、填空题(共20分)
11.(本题5分)(2021·广东茂名市·八年级期末)已知一次函数是正比例函数,且经过一次函数和的交点,则__________.
【答案】2
【分析】
先求和的交点坐标,再代入正比例函数求出k,结合b=0,可求.
【详解】
解:∵一次函数是正比例函数,
∴,
由,
解得,
一次函数和的交点坐标为:(-1,-2),
把(-1,-2)代入得,,
解得,
∴,
故答案为:2.
【点睛】
本题考查了两个一次函数图象交点坐标,求正比例函数解析式和正比例函数经过原点,解题关键是求出交点坐标,依据正比例函数的特征求k和b.
12.(本题5分)(2021·四川九年级一模)从0,1,2,3,4这五个数中,随机抽取一个数,作为函数和关于的不等式组中m的值,恰好使所得函数的图象经过第二、四象限,且不等式组无解的概率为____.
【答案】
【分析】
根据一次函数的图象和性质,不等式组的解集确定m的取值,进而得出答案.
【详解】
解:在0,1,2,3,4这五个数中,使函数y=(5-m2)x的图象经过第二、四象限,即5-m2<0的m的值为3或4,
不等式组中5-2x≥-1的解集为x≤3,不等式x-m>0的解集为x>m,要使不等式组无解,此时m≥3,因此m的值可以为3或4,
所以0,1,2,3,4这五个数中,符合要求的有两个,
因此,相应的概率为,
故答案为:.
【点睛】
本题考查一次函数的图象和性质,不等式组的解集以及概率的计算,理解概率的意义,掌握一次函数的性质和不等式组的解集是得出正确答案的前提.
13.(本题5分)(2020·浙江八年级期末)如图,直线,(a,b是整数)分别交x轴于点A,B.若线段上只有三个点的横坐标是整数(分别为4,5,6),则有序数对一共有__________对.
【答案】12
【分析】
分A在B左边时和A在B右边时,两种情况分别列出不等式组,解之,再合并即可.
【详解】
解:令y=2x-a=0,
则2x=a,x=,
∴A(,0),
令y=3x-6=0,
则3x=b,x=,
∴B(,0),
∵AB线段上只有3个点横坐标都是整数,为4,5,6,
∴A在B左边时,
则,解得:,
∵a,b为整数,
∴a=7或8,b=18或19或20,
∴(a,b)有2×3=6种可能;
A在B右边时,
则,解得:,
∵a,b为整数,
∴a=12或13,b=10或11或12,
∴(a,b)有2×3=6种可能,
综上:共有12种可能,
故答案为:12.
【点睛】
本题考查了一次函数的性质,解题的关键是分类讨论,根据坐标为整数得到不等式组.
14.(本题5分)(2020·内蒙古包头市·八年级期中)在同一直角坐标系中,对于以下四个函数①;②;③;④的图象,下列说法正确的个数是 ___________.
(1)①③④三个函数的图象中 ,当时,;
(2)在x轴上交点相同的是②和④;
(3)②中的点到x轴的距离比到y轴的距离都要大1;
(4)函数①和②的图象和x轴围成的图形面积为2.
【答案】1
【分析】
根据一次函数的图象与性质分别对各项进行分析判断即可得到答案.
【详解】
解:如图,
(1)①③④三个函数的图象中 ,当时,有0个,故(1)错误;
(2)在x轴上交点相同的是②③④,故(2)错误;
(3)由y=x+1可得y-x=1,所以②中的点到x轴的距离比到y轴的距离都要大1,故(3)正确;
(4)函数①和②的图象和x轴围成的图形面积为,故(4)错误;
所以,正确的结论有1个,
故答案为:1
【点睛】
本题主要考查了一次函数的性质与图象:k>0,y随x的增大而增大,函数从左到右上升;k<0,y随x的增大而减小,函数从左到右下降.由于y=kx+b与y轴交于(0,b),当b>0时,(0,b)在y轴的正半轴上,直线与y轴交于正半轴;当b<0时,(0,b)在y轴的负半轴,直线与y轴交于负半轴.
三、解答题(共90分)
15.(本题8分)(2021·重庆南开中学八年级月考)小融同学根据学习函数的经验,对函数的图象与性质进行了探究.下表是小融探究过程中的部分信息:
x … 0 1 2 3 …
y … 2 1 0 a 4 …
请按要求完成下列各小题:
(1)该函数的解析式为 ,a的值为 ;
(2)在如图所示的平面直角坐标系中,描全上表中以各对对应值为坐标的点,并画出该函数的图象;
(3)结合函数的图象,解决下列问题:
①写出该函数的一条性质: ;
②如图,在同一坐标系中是一次函数的图象,根据图象回答,当时,自变量x的取值范围为 .
【答案】(1),(2)详见解析;(3)①当x>1时,y随x的增大而增大(答案不唯一);②x的取值范围:0<x<2.
【分析】
(1)将x=-3,y=2,x=-2,y=1代入函数求出m、n的值即可求得函数的解析式,将x=2代入所求函数解析式即可求得a;
(2)先描出各点,再顺次连接各点即可;
(3)①根据图象即可求解(答案不唯一);②根据图象可知时即为函数的图象在函数y=x-1图象下方部分x的取值范围.
【详解】
(1)将x=-3,y=2,x=-2,y=1代入函数可得:
,
整理得:,
解得:
∴函数的解析式为:
将x=2代入可得:,
即;
(2)该函数的图象如图所示:
(3)①由函数图象可知:当x>1时,y随x的增大而增大,
故答案为:当x>1时,y随x的增大而增大(答案不唯一)
②由(2可知:时,即为函数的图象在函数y=x-1图象下方部分
∴自变量x的取值范围为:0<x<2.
【点睛】
本题考查一次函数图象图象及其性质,一次函数图象上点的坐标特征,利用数形结合的思想,正确画出函数图象是解题的关键.
16.(本题8分)(2021·上海九年级二模)在平面直角坐标系xOy中(如图),已知直线y=﹣x+2分别与x轴、y轴交于点A、B,一个正比例函数的图象与这直线交于点C,点C的横坐标是1.
(1)求正比例函数的解析式;
(2)将正比例函数的图象向上或向下平移,交直线y=﹣x+2于点D,设平移后函数图象的截距为b,如果交点D始终落在线段AB上,求b的取值范围.
【答案】(1);(2)﹣6≤b≤2
【分析】
(1)先求得C的坐标,然后根据待定系数法即可求得;
(2)求得A、B的坐标,把A的坐标代入平移后的直线解析式,求得b的值,根据图象即可求得符合题意的b的取值.
【详解】
解:(1)把x=1代入y=﹣x+2得,y=,
∴C(1,),
设正比例函数解析式为y=kx,
把C的坐标代入得k=,
∴正比例函数的解析式为y=x;
(2)直线y=﹣x+2中,令y=0,则x=4,
∴A(4,0),B(0,2),
设平移后的直线解析式为y=x+b,
把A(4,0)代入得,×4+b=0,
解得b=﹣6,
把B(0,2)代入得,b=2,
∴符合题意的b的取值范围是﹣6≤b≤2.
【点睛】
本题考查了一次函数与正比例函数的交点,一次函数的平移,熟练掌握待定系数法,一次函数平移的规律是解题的关键.
17.(本题8分)(2019·广东汕头市·八年级月考)已知:一次函数y=﹣x+2的图象分别与x轴、y轴交于点A、B.
(1)请直接写出A,B两点坐标:A 、B
(2)在直角坐标系中画出函数图象;
(3)若平面内有一点C(5,3),请连接AC、BC,则△ABC是 三角形.
【答案】(1)(3,0);(0,2).(2)详见解析;(3)等腰直角.
【解析】
【分析】
(1)利用一次函数解析式求得点A、B的坐标;
(2)由两点确定一条直线作出图形;
(3)根据两点间的距离公式和勾股定理的逆定理解答.
【详解】
(1)令y=0,则x=3,即A(3,0).
令x=0,则y=2,即B(0,2).
故答案是:(3,0);(0,2).
(2)如图,
(3)因为A (3,0)、B (0,2)、C(5,3),
∴AB2=32+22=13,BC2=52+12=26,AC2=22+32=13,
∴BC2=AB2+AC2,且AB=AC,
∴∠CAB=90°,
∴△ABC是等腰直角三角形.
故答案是:等腰直角.
【点睛】
考查了一次函数图象上点的坐标特征,一次函数的图象.解答(3)题时,注意△ABC是等腰直角三角形,不要只写直角三角形.
18.(本题8分)(2021·全国八年级期末)如图,一次函数y=(m﹣3)x﹣m+1图象分别与x轴正半轴、y轴负半轴相交于点A、B.
(1)求m的取值范围;
(2)若该一次函数的图象向上平移4个单位长度后可得某正比例函数的图象,试求这个正比例函数的解析式.
【答案】(1)m>3;(2)y=2x
【分析】
(1)根据一次函数的图象经过的象限可得m的取值范围;
(2)根据图象平移规则“左加右减,上加下减”求得平移后的解析式,然后根据正比例函数的特征求得m值即可解答.
【详解】
解:(1)如图,一次函数y=(m﹣3)x﹣m+1图象经过第一、三、四象限,
∴m﹣3>0,且﹣m+1<0,
解得:m>3,
即m的取值范围为m>3;
(2)将该一次函数的图象向上平移4个单位长度后可得y=(m﹣3)x﹣m+5,
由题意得:﹣m+5=0,
解得:m=5,
∴这个正比例函数的解析式为y=2x.
【点睛】
本题考查一次函数的图象与系数的关系、一次函数的图象与几何变换,熟练掌握一次函数的图象与性质是解答的关键.
19.(本题10分)(2021·安徽合肥市·八年级期末)在平面直角坐标系中,已知直线经过,两点.
(1)画出该一次函数的图象,求经过,两点的直线的解析式;
(2)观察图象直接写出时的取值范围;
(3)求这个一次函数的图象与坐标轴所围成的三角形的面积.
【答案】(1)y= 2x+1,图像见详解;(2)x≥;(3)
【分析】
(1)建立平面直角坐标系,描出A( 3,7)、B(2, 3)两点,画直线AB即可,可设一次函数的表达式为y=kx+b,进而利用方程组求得k、b的值,即可得到函数解析式;
(2)由直线在x轴下方部分所对应的y≤0,进而即可求解;
(3)求出直线与x,y轴的交点坐标,结合三角形的面积公式,即可求解.
【详解】
(1)一次函数图像如图所示:
设一次函数的表达式为y=kx+b,
由题意,得:,解得:,
∴一次函数的表达式为y= 2x+1;
(2)令y=0,代入y= 2x+1得:x=,
∴直线与x轴的交点坐标为(,0),
∵直线在x轴下方部分所对应的y≤0,
∴当时的取值范围:x≥;
(3)令x=0,则y=1,
∴直线与y轴的交点坐标为(0,1),
∴一次函数的图象与坐标轴所围成的三角形的面积=.
【点睛】
本题主要考查一次函数的图像和性质以及待定系数法,画出函数图像,理解函数图像上的点的坐标特征,是解题的关键.
20.(本题10分)(2019·全国九年级)已知抛物线与x轴没有交点。
(1)求 c的取值范围。
(2)试确定直线经过的象限,并说明理由。
【答案】(1)c>;
(2)直线y=cx+1经过第一、二、三象限;理由见解析;
【解析】
试题分析:(1)由已知可知△<0,代入即可得到c的取值范围;
(2)由(1)中得到的c的取值范围及解析式即可得到直线所经过的象限;
试题解析:(1)由已知可得△=12-4×c<0,解得c>;
(2)直线y=cx+1经过第一、二、三象限;
理由:∵c>
∴y=cx+1过一、三象限
∵直线y=cx+1与y轴交于点(0,1)
∴直线y=cx+1经过第一、二、三象限;
考点:1、二次函数与坐标的交点;2、一次函数的性质;3、根的判别式
21.(本题12分)(2021·江苏南通市·九年级一模)如图,直线y=﹣x+3与坐标轴分别交于点A,B,与直线y=x交于点C,Q为线段OA上的一个动点,连接CQ.
(1)点C的坐标为 ;
(2)当S△ACQ:S四边形CQOB=2:7时,求直线CQ对应的函数关系式.
【答案】(1)(2,2);(2)
【分析】
(1)联立直线y=﹣x+3和直线y=x建立二元一次方程组,运算求解即可;
(2)由直线y=﹣x+3可求得点和点的坐标,可得出和的长度,在通过面积的比值关系运算求出的长度,可求出点的坐标,利用待定系数法即可求得直线的解析式.
【详解】
解:(1)由题意得: ,解得,
∴C的坐标为(2,2),
(2)对于y=﹣x+3,令y=﹣x+3=0,解得x=6,令x=0,则y=3,
故点A(6,0),点B(0,3),则OA=6,OB=3,
∴S△AOB=9
∵S△ACQ:S四边形CQOB=2:7
∴S△ACQ=2
∵点C的坐标为(2,2)
∴AQ=2
∴点Q(4,0)
设直线的解析式为,代入和得:
解得:
∴
【点睛】
本题主要考查了一次函数的图象性质,待定系数法求一次函数的解析式等知识点,熟悉掌握一次函数的图象性质是解题的关键.
22.(本题12分)(2021·吉林长春市·九年级一模)为修建长春地铁,甲、乙两个工程队分别同时开挖两段隧道,所挖隧道的长度y(米)与挖掘时间x(时)之间的函数关系如图所示.
(1)求甲工程队每小时挖隧道的长度.
(2)求乙工程队所挖隧道的长度y(米)与挖掘时间x(时)之间的函数关系式.
(3)当乙工程队比甲工程队多挖5米时,x的值为______________.
【答案】(1)10米;(2)当时,,当时,;(3)1或3
【分析】
(1)利用甲工作量除以工作时间即可;
(2)分段设出函数解析式,当时,设y与x之间的关系式为,把点(2,30)代入解析式,当时,设y与x之间的关系式为,把点(2,30)和(6,50)代入解析式得,解方程即可;
(3)求出甲解析式,当x<2时,利用乙工作量-甲工作量=5,当x≥2时利用乙工作量减甲工作量=5,列方程解之即可;
【详解】
解:(1)(米)
所以甲工程队每小时挖隧道的长度为10米;
(2)当时,设y与x之间的关系式为,
把点(2,30)代入解析式得,
解得.
∴.
当时,设y与x之间的关系式为,把点(2,30)和(6,50)代入解析式得,
解得,
所以;
(3)甲解析式为:,
当x<2时,,解得x=1;
当x≥2时,解得x=3;
故答案为:1或3.
【点睛】
本题考查利用图像获取信息,待定系数法求函数解析式,掌握利用图像获取信息,待定系数法求函数解析式,利用函数构造等式是解题关键.
23.(本题14分)(2021·北京九年级一模)在平面直角坐标系中,直线与直线平行,且过点.
(1)求直线的表达式;
(2)横、纵坐标都是整数的点叫作整点.直线与直线关于y轴对称,直线与直线围成的区域W内(不包含边界)恰有6个整点,求m的取值范围.
【答案】(1);(2)或.
【分析】
(1)根据直线与直线平行,且过点A(2,7)从而可以求出对应的函数解析式即可;
(2)根据直线与直线关于y轴对称,在根据(1)中求得的,求出对应的,再根据整点的定义求解即可.
【详解】
解:(1)∵直线与直线平行
∴直线
又∵直线过点A(2,7)
∴,即
∴直线的解析式为
(2)∵直线
∴直线与x轴的交点为(,0),与y轴的交点为(0,1)
设直线的解析式为
∵直线与直线关于y轴对称
∴直线与x轴的交点为(,0),与y轴的交点为(0,1)
∴解得
故可画出如下图所示的函数图像
当,由图像可知m值越小所围的区域越大
当时,整点有(0,0)、(0,-1)、(0,-2)、(0,-3)、(1,-3)、(-1,-3)恰好6个整点
当时,只有(0,0)、(0,-1)、(0,-2)三个整点,(0,-3)、(1,-3)、(-1,-3)这三个点正好在边界上
故时恰好有6个整点
故由对称性可知当,所围成的区域也恰好有6个整点
综上所述:或.
【点睛】
本题主要考查了一次函数的性质,解题的关键在于能够熟练掌握相关知识点.专题12 一次函数的图像和性质(强化-提高)
一、单选题(共40分)
1.(本题4分)(2021·河南郑州市·八年级期末)下列问题中,两个变量之间是正比例函数关系的是( )
A.汽车以的速度匀速行驶,行驶路程与行驶时间之间的关系
B.圆的面积与它的半径之间的关系
C.某水池有水,现打开进水管进水,进水速度,后水池有水
D.有一个边长为x的正方体,则它的表面积S与边长x之间的函数关系
2.(本题4分)(2020·四川成都市·八年级期末)若函数y=(k﹣3)x+k2﹣9是正比例函数,则( )
A.k≠3 B.k=±3 C.k=3 D.k=﹣3
3.(本题4分)(2021·浙江台州市·九年级一模)路程,速度,时间三者之间的关系式为,当其中一个量是常量时,另外两个变量的函数图象不可能是( )
A.B.C. D.
4.(本题4分)(2021·陕西九年级其他模拟)已知点A(a,m)和点B(﹣a﹣2,n)都在正比例函数y=﹣3x的图象上,则m+n的值为( )
A.3 B.﹣3 C.﹣6 D.6
5.(本题4分)(2021·福建三明市·九年级一模)平面直角坐标系中,抛物线()与直线上有三个不同的点,,,如果,那么和的关系是( )
A. B. C. D.
6.(本题4分)(2020·陕西西安市·高新一中八年级月考)下列描述一次函数的图象与性质错误的是( )
A.点和都在此图象上 B.直线与轴的交点坐标是
C.与正比例函数的图象平行 D.直线经过一、二、四象限
7.(本题4分)(2021·陕西西安市·高新一中九年级二模)将一次函数y=2x+4的图象向右平移后所得直线与坐标轴围成的三角形面积是9,则平移距离是( )
A.4 B.5 C.6 D.7
8.(本题4分)(2020·陕西九年级一模)如果函数y=kx﹣6和y=﹣2x+a的图象的交点在第三象限,那么k,a的取值范围是( )
A.k>0,a>﹣6 B.k>0,a<﹣6 C.k>0,a>6 D.k<0,a>6
9.(本题4分)(2021·西安市铁一中学九年级其他模拟)把直线y=﹣x+4向下移n个单位长度后,与直线y=﹣x+3的交点在第二象限,则n的取值范围是( )
A.1<n< B.1<n<10 C.n>1 D.n<7
10.(本题4分)(2021·北京九年级专题练习)已知点,,在轴上的点,使得最小,则点的横坐标为( )
A. B. C.2 D.
二、填空题(共20分)
11.(本题5分)(2021·广东茂名市·八年级期末)已知一次函数是正比例函数,且经过一次函数和的交点,则__________.
12.(本题5分)(2021·四川九年级一模)从0,1,2,3,4这五个数中,随机抽取一个数,作为函数和关于的不等式组中m的值,恰好使所得函数的图象经过第二、四象限,且不等式组无解的概率为____.
13.(本题5分)(2020·浙江八年级期末)如图,直线,(a,b是整数)分别交x轴于点A,B.若线段上只有三个点的横坐标是整数(分别为4,5,6),则有序数对一共有__________对.
14.(本题5分)(2020·内蒙古包头市·八年级期中)在同一直角坐标系中,对于以下四个函数①;②;③;④的图象,下列说法正确的个数是 ___________.
(1)①③④三个函数的图象中 ,当时,;
(2)在x轴上交点相同的是②和④;
(3)②中的点到x轴的距离比到y轴的距离都要大1;
(4)函数①和②的图象和x轴围成的图形面积为2.
三、解答题(共90分)
15.(本题8分)(2021·重庆南开中学八年级月考)小融同学根据学习函数的经验,对函数的图象与性质进行了探究.下表是小融探究过程中的部分信息:
x … 0 1 2 3 …
y … 2 1 0 a 4 …
请按要求完成下列各小题:
(1)该函数的解析式为 ,a的值为 ;
(2)在如图所示的平面直角坐标系中,描全上表中以各对对应值为坐标的点,并画出该函数的图象;
(3)结合函数的图象,解决下列问题:
①写出该函数的一条性质: ;
②如图,在同一坐标系中是一次函数的图象,根据图象回答,当时,自变量x的取值范围为 .
16.(本题8分)(2021·上海九年级二模)在平面直角坐标系xOy中(如图),已知直线y=﹣x+2分别与x轴、y轴交于点A、B,一个正比例函数的图象与这直线交于点C,点C的横坐标是1.
(1)求正比例函数的解析式;
(2)将正比例函数的图象向上或向下平移,交直线y=﹣x+2于点D,设平移后函数图象的截距为b,如果交点D始终落在线段AB上,求b的取值范围.
17.(本题8分)(2019·广东汕头市·八年级月考)已知:一次函数y=﹣x+2的图象分别与x轴、y轴交于点A、B.
(1)请直接写出A,B两点坐标:A 、B
(2)在直角坐标系中画出函数图象;
(3)若平面内有一点C(5,3),请连接AC、BC,则△ABC是 三角形.
18.(本题8分)(2021·全国八年级期末)如图,一次函数y=(m﹣3)x﹣m+1图象分别与x轴正半轴、y轴负半轴相交于点A、B.
(1)求m的取值范围;
(2)若该一次函数的图象向上平移4个单位长度后可得某正比例函数的图象,试求这个正比例函数的解析式.
19.(本题10分)(2021·安徽合肥市·八年级期末)在平面直角坐标系中,已知直线经过,两点.
(1)画出该一次函数的图象,求经过,两点的直线的解析式;
(2)观察图象直接写出时的取值范围;
(3)求这个一次函数的图象与坐标轴所围成的三角形的面积.
20.(本题10分)(2019·全国九年级)已知抛物线与x轴没有交点。
(1)求 c的取值范围。
(2)试确定直线经过的象限,并说明理由。
21.(本题12分)(2021·江苏南通市·九年级一模)如图,直线y=﹣x+3与坐标轴分别交于点A,B,与直线y=x交于点C,Q为线段OA上的一个动点,连接CQ.
(1)点C的坐标为 ;
(2)当S△ACQ:S四边形CQOB=2:7时,求直线CQ对应的函数关系式.
22.(本题12分)(2021·吉林长春市·九年级一模)为修建长春地铁,甲、乙两个工程队分别同时开挖两段隧道,所挖隧道的长度y(米)与挖掘时间x(时)之间的函数关系如图所示.
(1)求甲工程队每小时挖隧道的长度.
(2)求乙工程队所挖隧道的长度y(米)与挖掘时间x(时)之间的函数关系式.
(3)当乙工程队比甲工程队多挖5米时,x的值为______________.
23.(本题14分)(2021·北京九年级一模)在平面直角坐标系中,直线与直线平行,且过点.
(1)求直线的表达式;
(2)横、纵坐标都是整数的点叫作整点.直线与直线关于y轴对称,直线与直线围成的区域W内(不包含边界)恰有6个整点,求m的取值范围.