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折叠
教学内容
1、折叠前后图形全等；
2、折叠线垂直平分对应点的连线；
3、二倍角．
教学过程
考点一:折叠前后图形全等
诊断1．（2021 深圳模拟）如图，在长方形ABCD中，AB＝3cm，AD＝9cm，将此长方形折叠，使点D与点B重合，折痕为EF，则△ABE的面积为（ ）cm2．
A．12 B．10 C．6 D．15
【解答】解：∵四边形ABCD是长方形，∴∠BAE＝90°，
∵将此长方形折叠，使点B与点D重合，∴BE＝ED，
∵AD＝9＝AE+DE＝AE+BE，∴BE＝9﹣AE，
在Rt△ABE中，由勾股定理得：AB2+AE2＝BE2，∴32+AE2＝（9﹣AE）2，解得：AE＝4（cm），
∴S△ABE＝AB AE＝×3×4＝6（cm2），故选：C．
内化1-1．（2021 深圳模拟）如图，在矩形纸片ABCD中，CB＝12，CD＝5，折叠纸片使AD与对角线BD重合，与点A重合的点为N，折痕为DM，则△MNB的面积为（ ）
A． B． C． D．26
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝90°，AD＝BC＝12，AB＝CD＝5，
∴BD＝＝＝13，由折叠的性质可得：ND＝AD＝12，∠MND＝∠A＝90°，NM＝AM，∴∠EA′B＝90°，BN＝BD﹣ND＝13﹣12＝1，设AM＝NM＝x，则BM＝AB﹣AM＝5﹣x，
在Rt△BMN中，NM2+BN2＝BM2，∴x2+12＝（5﹣x）2，解得：x＝，
∴NM＝AM＝，∴△MNB的面积＝BN×NM＝×1×＝；
故选：A．
内化1-2．（2016 深圳三模）如图，沿AE折叠矩形纸片ABCD，使点D落在BC边的点F处已知AB＝8，BC＝10，则tan∠EFC的值为（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：根据题意可得：在Rt△ABF中，有AB＝8，AF＝AD＝10
在△ABF中，有勾股定理可得BF＝6，
∵∠AFE＝∠D＝90°，
∴∠BAF＝∠EFC，
∵∠B＝∠C，
∴Rt△ABF∽Rt△EFC，
∴∠EFC＝∠BAF，
故tan∠EFC＝tan∠BAF＝＝．
故选：A．
设未知数．
诊断2．（2021 深圳模拟）如图，矩形ABCD中，AE＝AD，将△ABE沿BE折叠后得到△GBE，延长BG交CD于F点，若CF＝FD＝3，则BC的长为 ．
【解答】解：延长BF交AD的延长线于点H，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC，AD∥BC，∠A＝∠BCF＝90°，
∴∠H＝∠CBF，
在△BCF和△HDF中，
，
∴△BCF≌△HDF（AAS），
∴BC＝DH，
∵将△ABE沿BE折叠后得到△GBE，
∴∠A＝∠BGE＝90°，AE＝EG，
∴∠EGH＝90°，
∵AE＝AD，
∴设AE＝EG＝x，则AD＝BC＝DH＝3x，
∴ED＝2x，
∴EH＝ED+DH＝5x，
在Rt△EGH中，sin∠H＝，
∴sin∠CBF＝＝，∴，∴BF＝15，
∴BC＝＝＝6，
故答案为：6．
内化2-1．（2018 宝安区一模）如图，在边长为+1的菱形ABCD中，∠A＝60°，点E，F分别在AB，AD上，沿EF折叠菱形，使点A落在BC边上的点G处，且EG⊥BD于点M，则EG的长为 ．
【解答】解：如图1，连接AC，交BD于点O，
，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AC＝2AO，
∵∠A＝60°，
∴∠BAO＝30°，
∴AO＝AB cos30°＝（+1）×＝，
∴AC＝×2＝3，
∵沿EF折叠菱形，使点A落在BC边上的点G处，
∴EG＝AE，
∵EG⊥BD，AC⊥BD，
∴EG∥AC，
∴，
又∵EG＝AE，
∴，
解得EG＝，
∴EG的长为．
故答案为：．
内化2-2．（2017 福田区三模）如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝24，tanC＝2，如果将△ABC沿直线l翻折后，点B落在边AC的中点E处，直线l与边BC交于点D，那么BD的长为 ．
【解答】解：过点A作AG⊥BC于点G，
∵AB＝AC，BC＝24，tanC＝2，
∴＝2，GC＝BG＝12，
∴AG＝24，
∵将△ABC沿直线l翻折后，点B落在边AC的中点处，
过E点作EF⊥BC于点F，
∴EF＝AG＝12，
∴＝2，
∴FC＝6，
设BD＝x，则DE＝x，
∴DF＝24﹣x﹣6＝18﹣x，
∴x2＝（18﹣x）2+122，
解得：x＝13，
则BD＝13．
故答案为：13．
考点二:折叠线垂直平分对应点的连线
诊断．（2021 南山区二模）矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，点E为BC的中点，沿AE将△AEB翻折得到△AFE，sin∠FCE＝ ．
【解答】解：如图，
过E作EH⊥CF于H，
由折叠的性质得：BE＝EF，∠BEA＝∠FEA，
∵点E是BC的中点，
∴CE＝BE＝3，
∴EF＝CE＝3，
∴∠FEH＝∠CEH，
∴∠AEB+∠CEH＝90°，
在矩形ABCD中，
∵∠B＝90°，
∴∠BAE+∠BEA＝90°，
∴∠BAE＝∠CEH，∠B＝∠EHC，
∴△ABE∽△EHC，
∴＝，
∵AE＝＝5，
∴EH＝，
∴sin∠ECF＝＝．
解法二：可以证明CF∥AE，推出∠AEB＝∠FCE，求出sin∠AEB即可．
故答案为：．
内化1-1．（2018 南山区一模）正方形ABCD中，F是AB上一点，H是BC延长线上一点，连接FH，将△FBH沿FH翻折，使点B的对应点E落在AD上，EH与CD交于点G，连接BG交FH于点M，当GB平分∠CGE时，BM＝2，AE＝8，则ED＝ ．
【解答】解：如图，过B作BP⊥EH于P，连接BE，交FH于N，则∠BPG＝90°，
∵四边形ABCD是正方形，∴∠BCD＝∠ABC＝∠BAD＝90°，AB＝BC，
∴∠BCD＝∠BPG＝90°，
∵GB平分∠CGE∴∠EGB＝∠CGB，
又∵BG＝BG，∴△BPG≌△BCG，∴∠PBG＝∠CBG，BP＝BC，∴AB＝BP，
∵∠BAE＝∠BPE＝90°，BE＝BE，∴Rt△ABE≌Rt△PBE（HL），
∴∠ABE＝∠PBE，∴∠EBG＝∠EBP+∠GBP＝∠ABC＝45°，
由折叠得：BF＝EF，BH＝EH，∴FH垂直平分BE，
∴△BNM是等腰直角三角形，
∵BM＝2，∴BN＝NM＝2，∴BE＝4，
∵AE＝8，
∴Rt△ABE中，AB＝＝12，
∴AD＝12，
∴DE＝12﹣8＝4，
故答案为：4．
内化1-2．（2018 福田区一模）如图，在菱形纸片ABCD中，AB＝3，∠A＝60°，将菱形纸片翻折，使点A落在CD的中点E处，折痕为FG，点F，G分别在边AB，AD上，则tan∠EFG的值为 ．
【解答】解：如图，连接AE交GF于O，连接BE，BD，则△BCD为等边三角形，
∵E是CD的中点，
∴BE⊥CD，
∴∠EBF＝∠BEC＝90°，
Rt△BCE中，CE＝cos60°×3＝1.5，BE＝sin60°×3＝，
∴Rt△ABE中，AE＝，
由折叠可得，AE⊥GF，EO＝AE＝，
设AF＝x＝EF，则BF＝3﹣x，
∵Rt△BEF中，BF2+BE2＝EF2，
∴（3﹣x）2+（）2＝x2，
解得x＝，即EF＝，
∴Rt△EOF中，OF＝＝，
∴tan∠EFG＝＝．
故答案为：．
考点三:二倍角
诊断．（2021 南山区校级二模）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC，OA＝3，OC＝6，将△ABC沿对角线AC翻折，使点B落在点B′处，AB′与y轴交于点D，则点D的坐标为 ．
【解答】解：由折叠的性质可知，∠B′AC＝∠BAC，
∵四边形OABC为矩形，
∴OC∥AB，
∴∠BAC＝∠DCA，
∴∠B′AC＝∠DCA，
∴AD＝CD，
设OD＝x，则DC＝6﹣x，在Rt△AOD中，由勾股定理得，
OA2+OD2＝AD2，
即9+x2＝（6﹣x）2，
解得：x＝，
∴点D的坐标为：（0，），
故答案为：（0，﹣）．
内化1-1．（2022 南山区二模）一副三角板按如图1放置，图2为简图，D为AB中点，E、F分别是一个三角板与另一个三角板直角边AC、BC的交点，已知AE＝2，CE＝5，连接DE，M为BC上一点，且满足∠CME＝2∠ADE，EM＝ ．
【解答】如图2，过E作EN⊥AD于N，∴∠DND＝∠ENA＝90°，∴∠NEA＝∠A＝45°，
∴NE＝NA，∵AE＝＝NA，∴NE＝NA＝＝，同理，AD＝＝，
∴，延长MB至P，使MP＝ME，连接PE，
∴可设∠MPE＝∠MEP＝x，∴∠EMC＝∠MPE+∠MEP＝2x，
∵∠EMC＝2∠ADE，∴∠ADE＝∠MPE＝x，又∠DNE＝∠PCE＝90°，
∴△DNE∽△PCE，∴＝＝，∴PC＝，
设MP＝ME＝x，则CM＝，
在Rt△MCE中，ME2＝CM2+CE2，
∴，
∴x＝，
∴ME＝．
内化1-2．（2021 龙岗区二模）如图，已知在菱形ABCD，BC＝9，∠ABC＝60°，点E在BC上，且BE＝6，将△ABE沿AE折叠得到△AB′E，其中B′E交CD于点F，则CF＝ ．
【解答】解：过点A作AG⊥BC交BC于G，取HG使HG＝GE，过H作HM⊥AE于H，过F作FN⊥BC交BC延长线于N，
∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝9，在Rt△ABG中，∠B＝60°，∴sinB＝sin60°＝，∴AG＝AB＝，∵cosB＝cos60°＝＝，∴BG＝AB＝，
∵BE＝6，∴HE＝2GE＝2（BE﹣BG）＝2×（6﹣）＝3，
在Rt△AGE中，AE＝＝＝＝3，
∵S△AHE＝×HE×AG＝×AE×HM，∴×3×＝×3×HM，
解得，HM＝，∵HG＝GE，AG⊥HE，∴△AHE是等腰三角形，
∴AH＝AE，∠AHE＝∠HEA，在Rt△AHM中，
AM＝＝＝＝，
∵AB∥CD，∴∠FCN＝∠B＝60°，∴＝tan60°＝，
∵折叠，∴∠AEB′＝∠HEA，在Rt△AHE中，
∵∠HAE＝180°﹣∠HEA﹣∠AHE＝180°﹣2∠HEA，
又∠FEN＝180°﹣∠HEA﹣∠AEB′＝180°﹣2∠HEA，∴∠HAE＝∠FEN，
设CN＝x，FN＝x，∵tan∠FEC＝tan∠HAM＝＝，
∴＝，∴＝，∴x＝，
∴CN＝FN＝，
∴CF＝＝＝．
故答案为：．
内化1-3．（2022 坪山区一模）如图，△ABC中，∠ABC＝45°，BC＝4，tan∠ACB＝3，AD⊥BC于D，若将△ADC绕点D逆时针方向旋转得到△FDE，当点E恰好落在AC上，连接AF．则AF的长为（ ）
A． B． C． D．2
【解答】解：过点D作DH⊥AF于点H，
∵∠ABC＝45°，AD⊥BC，∴AD＝BD，
∵tan∠ACB＝＝3，
设CD＝x，∴AD＝3x，∴BC＝3x+x＝4，∴x＝1，∴CD＝1，AD＝3，
∴AC＝＝＝，
∵将△ADC绕点D逆时针方向旋转得到△FDE，
∴DC＝DE，DA＝DF＝3，∠CDE＝∠ADF，
∴∠DCE＝∠DAF，
∴tan∠DAH＝3，
设AH＝a，DH＝3a，
∵AH2+DH2＝AD2，
∴a2+（3a）2＝32，
∴a＝，
∴AH＝，
∴AF＝2AH＝．
故选：A．
挑战过关
一．填空题（共4小题）
1．（2019 罗湖区二模）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，BC＝3，点D是BC边上一动点（不与B，C重合），过点D做DE⊥BC交AB于点E，将∠B沿着直线DE翻折，点B落在BC边上的点F处，若∠AFE＝90°，则BD的长是 ．
【解答】解：根据题意得：∠EFB＝∠B＝30°，DF＝BD，EF＝EB，
∵DE⊥BC，
∴∠FED＝90°﹣∠EFD＝60°，∠BEF＝2∠FED＝120°，
∴∠AEF＝180°﹣∠BEF＝60°，
∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，BC＝3，
∴AC＝BC tan∠B＝3×＝，∠BAC＝60°，
∵∠AFE＝90°，
∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，
∴∠EFD+∠AFC＝∠FAC+∠AFC＝90°，
∴∠FAC＝∠EFD＝30°，
∴CF＝AC tan∠FAC＝×＝1，
∴BD＝DF＝＝1；
故答案为：1．
2．（2019 深圳）如图，在正方形ABCD中，BE＝1，将BC沿CE翻折，使B点对应点刚好落在对角线AC上，将AD沿AF翻折，使D点对应点刚好落在对角线AC上，求EF＝ ．
【解答】解：如图，作FM⊥AB于点M．
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAC＝∠CAD＝45°．
∵将BC沿CE翻折，B点对应点刚好落在对角线AC上的点X，
∴EX＝EB＝AX＝1，∠EXC＝∠B＝90°，
∴AE＝＝．
∵将AD沿AF翻折，使D点对应点刚好落在对角线AC上的点Y，
∴AM＝DF＝YF＝1，
∴正方形的边长AB＝FM＝+1，EM＝﹣1，
∴EF＝＝＝．
故答案为．
3．（2019 龙岗区一模）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝5，将△ABC折叠，使点B落在AC边上的点D处，EF为折痕，若BE＝3，则sin∠CFD的值为 ．
【解答】解：∵在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝5，∴∠B＝∠C，
∵BE＝3，AB＝5∴AE＝2，
∵将△ABC折叠，使点B落在AC边上的点D处，∴△BEF≌△DEF
∴BE＝DE＝3，∠B＝∠EDF＝∠C
∵∠ADE+∠EDF＝∠C+∠DFC∴∠ADE＝∠DFC∴sin∠CFD＝sin∠ADE＝
故答案为：
4．（2021 深圳）如图，在△ABC中，D，E分别为BC，AC上的点，将△CDE沿DE折叠，得到△FDE，连接BF，CF，∠BFC＝90°，若EF∥AB，AB＝4，EF＝10，则AE的长为 ．
【解答】解：如图，延长ED交FC于G，延长BA，DE交于点M，
∵将△CDE沿DE折叠，得到△FDE，∴EF＝EC，DF＝DC，∠FED＝∠CED，
∴EG⊥CF，又∵∠BFC＝90°，∴BF∥EG，∵AB∥EF，∴四边形BFEM是平行四边形，
∴BM＝EF＝10，∴AM＝BM﹣AB＝10﹣4，
∵AB∥EF，∴∠M＝∠FED，∴∠M＝∠CED＝∠AEM，
∴AE＝AM＝10﹣4，
故答案为：10﹣4．
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折叠
教学内容
1、折叠前后图形全等；
2、折叠线垂直平分对应点的连线；
3、二倍角．
教学过程
考点一:折叠前后图形全等
诊断1．（2021 深圳模拟）如图，在长方形ABCD中，AB＝3cm，AD＝9cm，将此长方形折叠，使点D与点B重合，折痕为EF，则△ABE的面积为（ ）cm2．
A．12 B．10 C．6 D．15
内化1-1．（2021 深圳模拟）如图，在矩形纸片ABCD中，CB＝12，CD＝5，折叠纸片使AD与对角线BD重合，与点A重合的点为N，折痕为DM，则△MNB的面积为（ ）
A． B． C． D．26
内化1-2．（2016 深圳三模）如图，沿AE折叠矩形纸片ABCD，使点D落在BC边的点F处已知AB＝8，BC＝10，则tan∠EFC的值为（ ）
A． B． C． D．
设未知数．
诊断2．（2021 深圳模拟）如图，矩形ABCD中，AE＝AD，将△ABE沿BE折叠后得到△GBE，延长BG交CD于F点，若CF＝FD＝3，则BC的长为 ．
内化2-1．（2018 宝安区一模）如图，在边长为+1的菱形ABCD中，∠A＝60°，点E，F分别在AB，AD上，沿EF折叠菱形，使点A落在BC边上的点G处，且EG⊥BD于点M，则EG的长为 ．
内化2-2．（2017 福田区三模）如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝24，tanC＝2，如果将△ABC沿直线l翻折后，点B落在边AC的中点E处，直线l与边BC交于点D，那么BD的长为 ．
考点二:折叠线垂直平分对应点的连线
诊断．（2021 南山区二模）矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，点E为BC的中点，沿AE将△AEB翻折得到△AFE，sin∠FCE＝ ．
内化1-1．（2018 南山区一模）正方形ABCD中，F是AB上一点，H是BC延长线上一点，连接FH，将△FBH沿FH翻折，使点B的对应点E落在AD上，EH与CD交于点G，连接BG交FH于点M，当GB平分∠CGE时，BM＝2，AE＝8，则ED＝ ．
内化1-2．（2018 福田区一模）如图，在菱形纸片ABCD中，AB＝3，∠A＝60°，将菱形纸片翻折，使点A落在CD的中点E处，折痕为FG，点F，G分别在边AB，AD上，则tan∠EFG的值为 ．
考点三:二倍角
诊断．（2021 南山区校级二模）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC，OA＝3，OC＝6，将△ABC沿对角线AC翻折，使点B落在点B′处，AB′与y轴交于点D，则点D的坐标为 ．
内化1-1．（2022 南山区二模）一副三角板按如图1放置，图2为简图，D为AB中点，E、F分别是一个三角板与另一个三角板直角边AC、BC的交点，已知AE＝2，CE＝5，连接DE，M为BC上一点，且满足∠CME＝2∠ADE，EM＝ ．
内化1-2．（2021 龙岗区二模）如图，已知在菱形ABCD，BC＝9，∠ABC＝60°，点E在BC上，且BE＝6，将△ABE沿AE折叠得到△AB′E，其中B′E交CD于点F，则CF＝ ．
内化1-3．（2022 坪山区一模）如图，△ABC中，∠ABC＝45°，BC＝4，tan∠ACB＝3，AD⊥BC于D，若将△ADC绕点D逆时针方向旋转得到△FDE，当点E恰好落在AC上，连接AF．则AF的长为（ ）
A． B． C． D．2
挑战过关
一．填空题（共4小题）
1．（2019 罗湖区二模）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，BC＝3，点D是BC边上一动点（不与B，C重合），过点D做DE⊥BC交AB于点E，将∠B沿着直线DE翻折，点B落在BC边上的点F处，若∠AFE＝90°，则BD的长是 ．
2．（2019 深圳）如图，在正方形ABCD中，BE＝1，将BC沿CE翻折，使B点对应点刚好落在对角线AC上，将AD沿AF翻折，使D点对应点刚好落在对角线AC上，求EF＝ ．
3．（2019 龙岗区一模）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝5，将△ABC折叠，使点B落在AC边上的点D处，EF为折痕，若BE＝3，则sin∠CFD的值为 ．
4．（2021 深圳）如图，在△ABC中，D，E分别为BC，AC上的点，将△CDE沿DE折叠，得到△FDE，连接BF，CF，∠BFC＝90°，若EF∥AB，AB＝4，EF＝10，则AE的长为 ．
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