4.4幂函数 课件（共25张PPT）

(共25张PPT)
　幂函数
1.理解幂函数的概念；
2.学会以简单的幂函数为例研究函数性质的方法；
3.理解和掌握幂函数在第一象限的分类特征，能运用数形结合的方法处理幂函数有关问题.
问题导学
题型探究
达标检测
学习目标
问题导学 　　　　新知探究 点点落实
知识点一　幂函数的概念
答案　底数为x，指数为常数.
答案
一般地， 叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数.
函数y＝xα
知识点二　幂函数的图象与性质
思考　如图在同一坐标系内作出函数(1)y＝x； (3)y＝x2；(4)y＝x－1；(5)y＝x3的图象.
答案
填写下表：
y＝x y＝x2 y＝x3 y＝x－1
定义域
值域
奇偶性
单调性 增 在[0，＋∞) 上 ，在(－∞，0] 上 在(0，＋∞) 上 ，在(－∞，0) 上____
R
R
R
[0，＋∞)
{x|x≠0}
[0，＋∞)
R
R
[0，＋∞)
{y|y≠0}
奇
偶
奇
非奇非偶
奇
增
减
增
增
减
减
根据上表，可以归纳一般幂函数特征：
(1)所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且图象都过点 ；
(2)α>0时，幂函数的图象通过 ，并且在区间[0，＋∞)上是 函数.特别地，当α>1时，幂函数的图象 ；当0<α<1时，幂函数的图象 ；
(3) 时，幂函数的图象在区间(0，＋∞)上是减函数；
(4)幂指数互为倒数的幂函数在第一象限内的图象关于直线y＝x对称；
(5)在第一象限，作直线x＝a(a>1)，它同各幂函数图象相交，按交点从下到上的顺序，幂指数按从 到　　的顺序排列.
答案
(1,1)
原点
增
下凸
上凸
α<0
小
大
返回
题型探究 　　　　重点难点 个个击破
类型一　幂函数的概念
例1　已知 　　　　　　　　　　　　是幂函数，求m，n的值.
解析答案
反思与感悟
反思与感悟
解析答案
A.0 B.1 C.2 D.3
y＝2x2由于出现系数2，因此不是幂函数；
y＝x2＋x是两项和的形式，不是幂函数；y＝1＝x0(x≠0)，可以看出，常函数y＝1的图象比幂函数y＝x0的图象多了一个点(0,1),
所以常函数y＝1不是幂函数.
B
类型二　幂函数的图象及应用
解析答案
反思与感悟
则f(x)＝x2.同理可求得g(x)＝x－2.
在同一坐标系里作出函数f(x)＝x2和g(x)＝x－2的图象(如图所示)，
观察图象可得：
(1)当x>1或x<－1时，f(x)>g(x)；
(2)当x＝1或x＝－1时，f(x)＝g(x)；
(3)当－1反思与感悟
反思与感悟
注意本题中对f(x)＞g(x)，f(x)＝g(x)的几何解释.这种几何解释帮助我们从图形角度解读不等式方程，是以后常用的方法.
解析答案
跟踪训练2　幂函数y＝xα(α≠0)，当α取不同的正数时，在区间[0,1]上它们的图象是一簇美丽的曲线(如图).设点A(1,0)，B(0,1)，连接AB，线段AB恰好被其中的两个幂函数y＝xα，y＝xβ的图象三等分，即有BM＝MN＝NA.那么αβ等于(　　)
A.1 B.2 C.3 D.无法确定
∴αβ＝1.故选A.
A
类型三　幂函数性质的综合应用
例3　(1)探讨函数 的单调性.
解析答案
解 的定义域为(0，＋∞).
任取x1，x2∈(0，＋∞)，且x1因为x2>x1>0，所以x1－x2<0，
所以 在区间(0，＋∞)内是减函数.
解析答案
(2)若 则a的取值范围是________.
解析　由(1)知 在区间(0，＋∞)内是减函数.
反思与感悟
反思与感悟
本例第(2)问是核心问题，第(1)问是铺垫，很多时候，我们会直接面对没有第(1)问的第(2)问，这个时候需要我们主动构造函数，并针对解题需要研究某方面的性质.
解析答案
跟踪训练3　已知幂函数
(1)试确定该函数的定义域，并指明该函数在其定义域上的单调性；
解　∵m∈N*，
∴m2＋m＝m×(m＋1)为偶数.
∴定义域为[0，＋∞)，在[0，＋∞)上f(x)为增函数.
解析答案
返回
解　
∴m2＋m＝2，
解得m＝1或m＝－2(舍去)，
由(1)知f(x)在定义域[0，＋∞)上为增函数.
∴f(2－a)>f(a－1)等价于2－a>a－1≥0，
1
2
3
达标检测 　　　　
4
5
解析答案
C
1
2
3
4
5
答案
D
1
2
3
4
5
A.1,3 B.－1,1
C.－1,3 D.－1,1,3
答案
A
1
2
3
4
5
4.下列是 的图象的是(　　)
答案
B
1
2
3
4
5
5.以下结论正确的是(　　)
A.当α＝0时，函数y＝xα的图象是一条直线
B.幂函数的图象都经过(0,0)，(1,1)两点
C.若幂函数y＝xα的图象关于原点对称，则y＝xα在定义域内y随x的增大
而增大
D.幂函数的图象不可能在第四象限，但可能在第二象限
答案
D
规律与方法
1.幂函数y＝xα(α∈R)，其中α为常数，其本质特征是以幂的底x为自变量，指数α为常数，这是判断一个函数是不是幂函数的重要依据和唯一标准.
2.幂函数y＝xα的图象与性质由于α的值不同而比较复杂，一般从两个方面考查：(1)α＞0时，图象过(0,0)，(1,1)在第一象限的图象上升；α＜0时，图象不过原点，在第一象限的图象下降，反之也成立.(2)曲线在第一象限的凹凸性α＞1时，曲线下凸；0＜α＜1时，曲线上凸；α＜0时，曲线下凸.
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