4.4幂函数 课件（共58张PPT）

(共56张PPT)
幂函数
1.幂函数的概念
形如y=的函数称为幂函数，其中α是常数.
【思考】
(1)幂函数的解析式有什么特征？
提示：①系数为1；②底数为x自变量；③指数为常数.
(2)幂函数与指数函数解析式的区别是什么？
提示：①自变量不同，幂函数的自变量为底数，指数函数的自变量为指数.
②底数不同，幂函数的底数是自变量，指数函数的底数是常数.
2.幂函数共同的性质
(1)所有幂函数在区间(0，+∞)上都有定义，在第一象限内都有图像，并且图像都通过(1，1).
(2)如果α>0，则幂函数的图像通过原点，并且在区间[0，+∞)上是增函数.
(3)如果α<0，则幂函数在区间(0，+∞)上是减函数，且在第一象限内：当x从右边趋向于原点时，图像在y轴右方且无限地逼近y轴；当x趋向于+∞时，图像在x轴上方且无限地逼近x轴.
【思考】
当α<0时，幂函数的图像是否过原点？
提示：α<0时，y=在x=0时无意义，图像不过原点.
【素养小测】
1.思维辨析(对的打“√”，错的打“×”)
(1)幂函数的图像在四个象限均有可能出现. (　　)
(2)当α<0时，幂函数在R上是减函数.(　　)
(3)当α=0时，幂函数的图像是一条直线.(　　)
提示：(1)×.幂函数的图像不能出现在第四象限.
(2)×.当α=-1时，函数y= 在(-∞，0)，(0，+∞)
上是减函数，在R上不是减函数.
(3)×.函数y=的定义域为{x|x≠0}，图像是去除了一个点的直线.
2.下列函数为幂函数的是(　　)
A.y=　　B.y=-　　C.y=2x　　D.y=2
【解析】选A.根据幂函数的定义知，y=是幂函数，
y=-不是幂函数，y=2x是指数函数，不是幂函数，y=2不是幂函数.
3.如果幂函数f(x)=的图像经过点 ，则α=(　　)
A.-2 B.2 C.- D.
【解析】选A.幂函数f(x)=的图像经过点 ，
则3α= ，解得α=-2.
类型一　幂函数的概念
【典例】1.已知幂函数f(x)=的图像过点 ，
则式子4α的值为 (　　)
A.1　 　　　B.2　　 　　C. 　　 　D.
2.(2019·南平高一检测)已知函数f(x)=(3-m)-5
是幂函数，则f =________.
【思维·引】1.代入点的坐标，求出α后代入求值.
2.根据幂函数解析式的特征求出m，确定解析式后求值.
【解析】1.选B.因为幂函数f(x)=的图像过点 ，
所以 ，解得：α= ，故4α=2.
2.函数f(x)=(3-m)-5是幂函数，
则3-m=1，解得m=2，所以f(x)=x-1，
所以f(x)= ，所以
答案：2
【内化·悟】
若一个函数是幂函数，应怎样设函数的解析式？
提示：设函数f(x)=(α为常数).
【类题·通】
求幂函数解析式的依据和常用方法
(1)依据：若一个函数为幂函数，则该函数应具备幂函数解析式所具备的特征，这是解决与幂函数有关问题的隐含条件.
(2)常用方法：设幂函数解析式为f(x)=，依据条件求出α.
【习练·破】
1.若幂函数f(x)=(-3m-3)在(0，+∞)上为增函数，则实数m=(　　)
A.4 B.-1 C.2 D.-1或4
【解析】选A.幂函数f(x)=(-3m-3)在(0，+∞)上为增函数，所以-3m-3=1，并且m>0，解得m=4.
2.已知幂函数f(x)=(a为常数)的图像经过点(2， )，
则f(9)=______.
【解析】由题意f(2)=2a= ，
所以a= ，所以f(x)= ，所以f(9)= =3.
答案：3
类型二　幂函数的图像及应用
【典例】1.如图的曲线是幂函数y=在第一象限内
的图像，已知n分别取±1， ，2四个值，相应的曲线
c1，c2，c3，c4的n依次为(　　)
A.-1， ，1，2　　 B.2，1， ，-1
C. ，-1，2，1 D.2， ，-1，1
2.已知函数f(x)=(k为常数)，在下列函数图像中，不是函数y=f(x)的图像的是(　　)
【思维·引】1.根据各个函数的图像特征选取.
2.根据幂函数图像所在的象限判断.
【解析】1.选B.函数y=x-1在第一象限内单调递减，对
应的图像为c4；y=x对应的图像为一条过原点的直线，对
应的图像为c2；y=对应的图像为抛物线，对应的图像
应为c1；y= 在第一象限内的图像是c3，所以曲线
c1，c2，c3，c4的n依次为2，1， ，-1.
2.选C.函数f(x)=(k为常数)为幂函数，图像不过第四象限，所以C中函数图像不是函数y=f(x)的图像.
【内化·悟】
在第一象限内，幂函数的图像有什么特征？
提示：当α>0时，图像从左向右逐渐上升，随着指数增大，图像上升越快，当α<0时，图像从左向右逐渐下降.
【类题·通】
解决幂函数图像问题应把握的两个原则
(1)依据图像高低判断幂指数大小，相关结论为：①在(0，1)上，指数越大，幂函数图像越靠近x轴(简记为指大图低)；②在(1，+∞)上，指数越大，幂函数图像越远离x轴(简记为指大图高).
(2)依据图像确定幂指数α与0，1的大小关系，即根据幂
函数在第一象限内的图像(类似于y=x-1或y= 或y=)
来判断.
【习练·破】
在同一坐标系中，函数f(x)=(x>0)，g(x)=x
(a>0且a≠1)的图像可能是(　　)
【解析】选D.对A，没有幂函数的图像；对B，
f(x)=(x>0)中a>1，g(x)=x中00)中01，不符合题意；对D，f(x)=(x>0)中0【加练·固】
如图是①y=；②y=；③y=，在第一象限的图像，则a，b，c的大小关系为(　　)
A.a>b>c　　　 B.aC.b【解析】选D.由幂函数图像和单调性可知：
a<0，b>1，0类型三　幂函数性质的应用
角度1　利用幂函数的单调性比较大小
【典例】(2019·娄底高一检测)已知a= ，b= ，
c= ，则(　　)
A.bC.b【思维·引】先对式子变形，再选取恰当的函数利用单调性比较大小.
【解析】选A.因为a= ，c= ，
由幂函数y= 的单调性，所以a由a=
根据指数函数y=16x的单调性，所以a>b，可得b【素养·探】
利用幂函数的单调性比较大小时，常用到核心素养中的数学建模，根据要比较的式子的特征，选取指数函数、幂函数模型进行比较.
将本例中的b改为 ，试比较三个数的大小？
【解析】因为a=
由幂函数y= 的单调性，知a角度2　探究幂函数的图像及性质
【典例】讨论函数y=x-2的定义域、奇偶性，通过描点作出它的图像，并根据图像说明函数的单调性.
【思维·引】求出定义域，证明奇偶性，再根据奇偶性描点作图，最后得出单调性.
【解析】因为y=x-2= ，
所以定义域为(-∞，0)∪(0，+∞)，记f(x)=x-2，
则f(-x)=(-x)-2= =x-2=f(x)，
因此函数y=x-2是偶函数.因此函数图像关于y轴对称.通过列表描点，可以先画出y=x-2在x∈(0，+∞)时的函数图像，再根据对称性，作出它在x∈(-∞，0)时的图像，如图所示.
由图像可以看出，函数y=x-2在区间(0，+∞)上是单调递减函数，在(-∞，0)上是单调递增函数.
【类题·通】
1.关于指数式比较大小
(1)变为同指数：利用幂函数的单调性比较大小.
(2)变为同底数：利用指数函数的单调性比较大小.
2.关于函数图像、性质的探究
(1)探究顺序：一般按照定义域、奇偶性、图像、单调性的顺序进行探究.
(2)几点说明：
①奇偶性决定了图像是否具有对称性，具有奇偶性的函数可先描点作出y轴右侧的图像，再根据对称性作左侧的图像；
②作图时尽可能多地选取点，而且选取的点要具有代表性，这样作出的图像才更加准确；
③此种方法是对函数图像和性质的粗略探究，适用的函数有限，更加准确、科学的探究方法会在以后进一步学习.
2.讨论函数y=x-3的定义域、奇偶性，通过描点作出它的图像，并根据图像说明函数的单调性.
【解析】因为y=x-3= ，所以定义域为(-∞，0)∪
(0，+∞)，
记f(x)=x-3，则f(-x)=(-x)-3= =-x-3=-f(x)，
因此函数y=x-3是奇函数.因此函数图像关于原点对称.
通过列表描点，可以先画出y=x-3在x∈(0，+∞)时的函数图像，再根据对称性，作出它在x∈(-∞，0)时的图像，如图所示.
由图像可以看出，函数y=x-3在区间(0，+∞)，(-∞，0)上都是单调递减函数.
【加练·固】
已知幂函数f(x)=的图像经过函数g(x)=ax-2- (a>0且a≠1)的图像所过的定点，则幂函数f(x)
不具有的特性是(　　)
A.在定义域内有单调递减区间
B.图像过定点(1，1)
C.是奇函数
D.其定义域是R
【解析】选D.由x-2=0，即x=2，
可得g(2)=1- = ，
函数g(x)=ax-2- (a>0且a≠1)的图像所过的定点为
(2， )，
则2α= ，解得α=-1，则f(x)= ，
定义域为{x|x≠0}，则减区间为(-∞，0)，(0，+∞)，
图像经过定点(1，1)，且为奇函数，D不正确.
谢 谢