4.4幂函数 教案
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文档简介
幂函数
教学重难点 教学目标 核心素养
幂函数的概念 了解幂函数的概念，会求幂函数的解析式 数学抽象
幂函数的性质 结合幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝，y＝x的图像，掌握它们的性质 数学运算
幂函数性质的应用 能利用幂函数的单调性比较指数幂的大小 数学运算
【教学过程】
一、新知初探
探究点1：
幂函数的概念
例1：函数f（x）＝是幂函数，且当x∈（0，＋∞）时，f（x）是增函数，求f（x）的解析式．
解：根据幂函数定义得，m2－m－1＝1，解得m＝2或m＝－1，
当m＝2时，f（x）＝x3在（0，＋∞）上是增函数，
当m＝－1时，f（x）＝x－3在（0，＋∞）上是减函数，不合要求．
所以f（x）的解析式为f（x）＝x3．
总结升华
（1）本题在求解中常因不理解幂函数的概念而找不出“m2－m－1＝1”这一等量关系，导致解题受阻．
（2）幂函数y＝xα（α∈R）中，α为常数，系数为1，底数为单一的x．这是判断一个函数是否为幂函数的重要依据和唯一标准．幂函数与指数函数的解析式形同而实异，解题时一定要分清，以防出错．
探究点2：
幂函数的图像
例2：如图所示，图中的曲线是幂函数y＝xn在第一象限的图像，已知n取±2，±四个值，则对应于c1，c2，c3，c4的n依次为（ ）
A．－2，－，，2
B．2，，－，－2
C．－，－2，2，
D．2，，－2，－
解析：考虑幂函数在第一象限内的增减性．注意当n＞0时，对于y＝xn，n越大，y＝xn增幅越快，n＜0时看|n|的大小．根据幂函数y＝xn的性质，故c1的n＝2，c2的n＝，当n＜0时，|n|越大，曲线越陡峭，所以曲线c3的n＝－，曲线c4的n＝－2，故选B．
答案：B
规律方法：
幂函数图像的特征：
（1）在第一象限内，直线x＝1的右侧，y＝xα的图像由上到下，指数α由大变小；在第一象限内，直线x＝1的左侧，y＝xα的图像由上到下，指数α由小变大．
（2）当α＞0时，幂函数的图像都经过（0，0）和（1，1）点，在第一象限内，当0＜α＜1时，曲线上凸；当α＞1时，曲线下凸；当α＜0时，幂函数的图像都经过（1，1）点，在第一象限内，曲线下凸．
探究点3：
比较幂的大小
例3：比较下列各组数中两个数的大小：
（1）与；（2）与；
（3）0.25－与6.25；（4）0.20.6与0.30.4．
解：（1）因为y＝x是[0，＋∞）上的增函数，且＞，所以＞．
（2）因为y＝x－1是（－∞，0）上的减函数，且－＜－，所以＞．
（3）0.25－＝＝2，6.25＝2.5，
因为y＝x是[0，＋∞）上的增函数，且2＜2.5，
所以2＜2.5，即0.25－＜6.25．
（4）由幂函数的单调性，知0.20.6＜0.30.6，又y＝0.3x是减函数，所以0.30.4＞0.30.6，从而0.20.6＜0.30.4．
规律方法：
（1）比较幂值的大小，关键在于构造适当的函数：①若指数相同而底数不同，则构造幂函数；②若指数不同而底数相同，则构造指数函数．
（2）若指数与底数都不同，需考虑是否能把指数或底数化为相同，是否可以引入中间量．
二、课堂总结
1．一般地，函数y＝xα称为幂函数，其中α为常数．
幂函数中底数是自变量，而指数函数中指数为自变量．
2．幂函数的图像与性质
（1）五个常见幂函数的图像
（2）五个常见幂函数的性质：
函数 性质 y＝x y＝x y＝x2 y＝x3 y＝x-1
定义域 R [0，＋∞） R R （－∞，0）∪（0，＋∞）
值域 R [0，＋∞） （0，＋∞） R （－∞，0）∪（0，＋∞）
奇偶性 奇 非奇非偶 偶 奇 奇
单调性 R上增 [0，＋∞）上增 （－∞，0）上减 [0，＋∞）上增 R上增 （－∞，0）上减 （0，＋∞）上减
公共点 （1，1）
三、课堂检测
1．下列函数是幂函数的是（ ）
A．y＝5x B．y＝x5
C．y＝5x D．y＝（x＋1）3
解析：选B．函数y＝5x是指数函数，不是幂函数；函数y＝5x是正比例函数，不是幂函数；函数y＝（x＋1）3的底数不是自变量x，不是幂函数；函数y＝x5是幂函数．
2．下列函数中，其定义域和值域不同的函数是（ ）
A．y＝x B．y＝x－
C．y＝x D．y＝x
解析：选D．y＝x＝，其定义域为R，值域为[0，＋∞），故定义域与值域不同．
3．设α∈，则使函数y＝xα的定义域为R且为奇函数的所有α值为（ ）
A．1，3 B．－1，1
C．－1，3 D．－1，1，3
解析：选A．可知当α＝－1，1，3时，y＝xα为奇函数，又因为y＝xα的定义域为R，则α＝1，3．
4．若a＝，b＝，c＝(－2)3，则a、b、c的大小关系为________．
解析：因为y＝x在（0，＋∞）上为增函数．
所以＞，即a＞b＞0．
而c＝(－2)3＝－23＜0，
所以a＞b＞c．
答案：a＞b＞c
5．已知幂函数f（x）＝（n2＋2n－2）xn2－3n（n∈Z）的图像关于y轴对称，且在（0，＋∞）上是减函数，则n的值为________．
解析：由于f（x）为幂函数，
所以n2＋2n－2＝1，
解得n＝1或n＝－3，
经检验只有n＝1适合题意．
答案：1
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教学重难点 教学目标 核心素养
幂函数的概念 了解幂函数的概念，会求幂函数的解析式 数学抽象
幂函数的性质 结合幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝，y＝x的图像，掌握它们的性质 数学运算
幂函数性质的应用 能利用幂函数的单调性比较指数幂的大小 数学运算
【教学过程】
一、新知初探
探究点1：
幂函数的概念
例1：函数f（x）＝是幂函数，且当x∈（0，＋∞）时，f（x）是增函数，求f（x）的解析式．
解：根据幂函数定义得，m2－m－1＝1，解得m＝2或m＝－1，
当m＝2时，f（x）＝x3在（0，＋∞）上是增函数，
当m＝－1时，f（x）＝x－3在（0，＋∞）上是减函数，不合要求．
所以f（x）的解析式为f（x）＝x3．
总结升华
（1）本题在求解中常因不理解幂函数的概念而找不出“m2－m－1＝1”这一等量关系，导致解题受阻．
（2）幂函数y＝xα（α∈R）中，α为常数，系数为1，底数为单一的x．这是判断一个函数是否为幂函数的重要依据和唯一标准．幂函数与指数函数的解析式形同而实异，解题时一定要分清，以防出错．
探究点2：
幂函数的图像
例2：如图所示，图中的曲线是幂函数y＝xn在第一象限的图像，已知n取±2，±四个值，则对应于c1，c2，c3，c4的n依次为（ ）
A．－2，－，，2
B．2，，－，－2
C．－，－2，2，
D．2，，－2，－
解析：考虑幂函数在第一象限内的增减性．注意当n＞0时，对于y＝xn，n越大，y＝xn增幅越快，n＜0时看|n|的大小．根据幂函数y＝xn的性质，故c1的n＝2，c2的n＝，当n＜0时，|n|越大，曲线越陡峭，所以曲线c3的n＝－，曲线c4的n＝－2，故选B．
答案：B
规律方法：
幂函数图像的特征：
（1）在第一象限内，直线x＝1的右侧，y＝xα的图像由上到下，指数α由大变小；在第一象限内，直线x＝1的左侧，y＝xα的图像由上到下，指数α由小变大．
（2）当α＞0时，幂函数的图像都经过（0，0）和（1，1）点，在第一象限内，当0＜α＜1时，曲线上凸；当α＞1时，曲线下凸；当α＜0时，幂函数的图像都经过（1，1）点，在第一象限内，曲线下凸．
探究点3：
比较幂的大小
例3：比较下列各组数中两个数的大小：
（1）与；（2）与；
（3）0.25－与6.25；（4）0.20.6与0.30.4．
解：（1）因为y＝x是[0，＋∞）上的增函数，且＞，所以＞．
（2）因为y＝x－1是（－∞，0）上的减函数，且－＜－，所以＞．
（3）0.25－＝＝2，6.25＝2.5，
因为y＝x是[0，＋∞）上的增函数，且2＜2.5，
所以2＜2.5，即0.25－＜6.25．
（4）由幂函数的单调性，知0.20.6＜0.30.6，又y＝0.3x是减函数，所以0.30.4＞0.30.6，从而0.20.6＜0.30.4．
规律方法：
（1）比较幂值的大小，关键在于构造适当的函数：①若指数相同而底数不同，则构造幂函数；②若指数不同而底数相同，则构造指数函数．
（2）若指数与底数都不同，需考虑是否能把指数或底数化为相同，是否可以引入中间量．
二、课堂总结
1．一般地，函数y＝xα称为幂函数，其中α为常数．
幂函数中底数是自变量，而指数函数中指数为自变量．
2．幂函数的图像与性质
（1）五个常见幂函数的图像
（2）五个常见幂函数的性质：
函数 性质 y＝x y＝x y＝x2 y＝x3 y＝x-1
定义域 R [0，＋∞） R R （－∞，0）∪（0，＋∞）
值域 R [0，＋∞） （0，＋∞） R （－∞，0）∪（0，＋∞）
奇偶性 奇 非奇非偶 偶 奇 奇
单调性 R上增 [0，＋∞）上增 （－∞，0）上减 [0，＋∞）上增 R上增 （－∞，0）上减 （0，＋∞）上减
公共点 （1，1）
三、课堂检测
1．下列函数是幂函数的是（ ）
A．y＝5x B．y＝x5
C．y＝5x D．y＝（x＋1）3
解析：选B．函数y＝5x是指数函数，不是幂函数；函数y＝5x是正比例函数，不是幂函数；函数y＝（x＋1）3的底数不是自变量x，不是幂函数；函数y＝x5是幂函数．
2．下列函数中，其定义域和值域不同的函数是（ ）
A．y＝x B．y＝x－
C．y＝x D．y＝x
解析：选D．y＝x＝，其定义域为R，值域为[0，＋∞），故定义域与值域不同．
3．设α∈，则使函数y＝xα的定义域为R且为奇函数的所有α值为（ ）
A．1，3 B．－1，1
C．－1，3 D．－1，1，3
解析：选A．可知当α＝－1，1，3时，y＝xα为奇函数，又因为y＝xα的定义域为R，则α＝1，3．
4．若a＝，b＝，c＝(－2)3，则a、b、c的大小关系为________．
解析：因为y＝x在（0，＋∞）上为增函数．
所以＞，即a＞b＞0．
而c＝(－2)3＝－23＜0，
所以a＞b＞c．
答案：a＞b＞c
5．已知幂函数f（x）＝（n2＋2n－2）xn2－3n（n∈Z）的图像关于y轴对称，且在（0，＋∞）上是减函数，则n的值为________．
解析：由于f（x）为幂函数，
所以n2＋2n－2＝1，
解得n＝1或n＝－3，
经检验只有n＝1适合题意．
答案：1
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