4.4幂函数 学案（Word版无答案）

幂函数
【学习目标】
1．了解幂函数的概念，会求幂函数的解析式。
2．通过具体实例，结合y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x－1，y＝x的图象，理解它们的变化规律，了解幂函数。
【学习重难点】
了解幂函数的概念，会求幂函数的解析式。
【学习过程】
一、新知初探
1．幂函数的概念
我们把形如y＝xα的函数称为幂函数，其中x是自变量，α是常数。
2．幂函数y＝xα的性质
(1)当α>0时，幂函数y＝xα具有如下性质：
①函数的图象过点(0，0)，(1，1)。
②在第一象限内，函数的图象随x的增大而上升，即函数在区间[0，＋∞)上是增函数。
(2)当α<0时，具有的性质为：
①函数的图象都过点(1，1)。
②在第一象限内，函数的图象随x的增大而下降，即函数在区间(0，＋∞)上是减函数。
二、初试身手
1．下列所给的函数中是幂函数的为（ ）
A．y＝2x5 B．y＝x3＋1
C．y＝x－3 D．y＝3x
2．已知幂函数y＝xα的图象经过点(2，4)，则f(－3)＝________。
3．3．17－1与3．71－1的大小关系为_________________________________________。
三、合作探究
题型一 幂函数的概念
【例1】 (1)在函数y＝x－2，y＝2x2，y＝(x＋1)2，y＝3x中，幂函数的个数为（ ）
A．0 B．1
C．2 D．3
(2)若f(x)＝(m2－4m－4)xm是幂函数，则m＝________。
题型二 幂函数的图象及应用
【例2】 (1)函数y＝x的图象是（ ）
(2)如图所示，
图中的曲线是幂函数y＝xn在第一象限的图象，已知n取±2，±四个值，则相应于C1，C2，C3，C4的n依次为（ ）
A．－2，－，，2 B．2，，－，－2
C．－，－2，2， D．2，，－2，－
。
题型三 由幂函数单调性比较大小
【例3】 比较下列各组数中两个数的大小：
(1)与；
(2)与。
题型四 幂函数性质的综合应用
【例4】 已知幂函数y＝x3m－9(m∈N*)的图象关于y轴对称且在(0，＋∞)上单调递减，求满足(a＋1)－<(3－2a)－的a的取值范围。
【学习小结】
1．结合常见幂函数的图象，归纳幂函数的图象与性质，提升学生的数学抽象素养，逻辑推理素养。
2．幂函数在第一象限内指数变化规律
在第一象限内直线x＝1的右侧，图象从上到下，相应的幂的指数由大变小；在直线x＝1的左侧，图象从下到上，相应的幂的指数由大变小。
3．简单幂函数的性质
(1)所有幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且当自变量为1时，函数值为1，即f(1)＝1．恒过点(1，1)。
(2)如果α>0，幂函数在[0，＋∞)上有意义，且是增函数。
(3)如果α<0，幂函数在x＝0处无意义，在(0，＋∞)上是减函数。
4．(1)五个幂函数的图象：
(2)五个幂函数的性质：
幂函数 y＝x y＝x2 y＝x3 y＝x y＝x－1
定义域 R R R [0，＋∞) (－∞，0)∪(0，＋∞)
值域 R [0，＋∞) R [0，＋∞) {y|y∈R，且y≠0}
奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇
单调性 增 x∈[0，＋∞)，增x∈(－∞，0]，减 增 增 x∈(0，＋∞)，减x∈(－∞，0)，减
公共点 都经过点(1，1)
【精炼反馈】
1．设α∈，则使函数y＝xα的定义域为R且为奇函数的所有α值为（ ）
A．1，3 B．－1，1
C．－1，3 D．－1，1，3
2．下列不等式成立的是（ ）
A．> B．<
C．> D．8－<
3．幂函数y＝f(x)的图象过点(2，m)，且f(m)＝16，则实数m的值为________。
4．函数y＝x与函数y＝x－1的图象交点坐标为________。
5．若(2a－1)－>(3－a)－，求实数a的取值范围。
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