北师大版数学九上1.3.2正方形的性质与判定 一课一练（word版含答案）

1.3.2正方形的性质与判定
一、选择题
1. 四边形ABCD中，AC、BD相交于O，下列条件中，能判定这个四边形是正方形的是（ ）
A. AO = BO = CO = DO，AC⊥BD B. AB∥CD，AC = BD
C. AD∥BC，∠A =∠C D. AO = CO，BO = CO，AB = BC
2.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,BC的垂直平分线EF交BC于点D,交AB于点E,且BE=BF,添加一个条件,仍不能证明四边形BECF为正方形的是 ( )
A.BC=AC B.CF⊥BF C AC=BF D. .BD=DF
3. 四边形ABCD的对角线AC = BD，且AC⊥BD，分别过A、B、C、D作对角线的平行线，则所构成的四边形是（ ）.
A. 平行四边形 B.正方形 C. 菱形 D. 矩形
二、填空题
4.如图,点E是正方形ABCD内的一点,连接AE,BE,CE,将△ABE绕点B顺时针旋转90°到△CBE′的位置.若AE=1,BE=2,CE=3,则∠BE′C= 度.
5.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,D,E,F分别是AB,AC,BC的中点,连接DE,DF,EF,要使四边形DECF是正方形,只需增加一个条件为 .
第 5题图 第 7题图
6.我们把顺次连接四边形四条边的中点所得的四边形叫中点四边形.现有一个对角线分别为6cm和8cm的菱形,它的中点四边形的两条对角线长之和是 .
7.如图,四边形ABCD中,对角线AC⊥BD,且AC=8,BD=4,各边中点分别为，顺次连接得到四边形1,再取各边中点,顺次连接得到四边形,…依此类推,这样得到四边形，则四边形的面积为 .
三、解答题
8.如图,点D为线段AB的中点,点C为线段AB的垂直平分线上任意一点,DE⊥AC于点E,DF⊥BC于点F.(1)求证:△CED≌△CFD.
(2)若AB=2a,问当CD为多少时,
四边形CEDF为正方形 请说明理由.
9.如图,点O是线段AB上的一点,OA=OC,OD平分∠AOC交AC于点D,OF平分
∠COB,CF⊥OF于点F.
(1)求证:四边形CDOF是矩形.
(2)当∠AOC为多少度时,四边形CDOF是正方形 并说明理由.
10.已知:如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,AB=CD,BC=2AD.DE⊥BC,垂足为点F,且F是DE的中点,连接AE,交边BC于点G.
(1)求证:四边形ABGD是平行四边形.
(2)如果AD=AB,求证:四边形DGEC是正方形.
参考答案
1. D 2. C 3. B
4. 135 5. AC=BC(答案不唯一) 6. :10cm
7. (或或,只要答案正确即可)
8【解析】(1)∵点C为线段AB的垂直平分线上任意一点,∴AC=CB,
∴△ABC是等腰三角形,
∵CD⊥AB,∴∠ACD=∠BCD.
∵DE⊥AC,DF⊥BC,∴∠DEC=∠DFC=90°,
∴∠EDC=∠FDC,
在△DEC与△DFC中,
∵∠ACD=∠BCD,CD=CD,∠EDC=∠FDC,
∴△DEC≌△DFC(ASA).
(2)当CD=AB=a时,四边形CEDF为正方形.
理由如下:∵CD⊥AB,∴∠CDB=∠CDA=90°,
∵CD=AB,∴CD=BD=AD,
∴∠B=∠DCB=∠ACD=45°,∴∠ACB=90°,
∴四边形ECFD是矩形,
∵△DEC≌△DFC,∴CE=CF,∴四边形ECFD是正方形.
9. 【解析】(1)∵OD平分∠AOC,OF平分∠COB,
∴∠AOC=2∠COD,∠COB=2∠COF,
∵∠AOC+∠BOC=180°,
∴2∠COD+2∠COF=180°,
∴∠COD+∠COF=90°,∴∠DOF=90°.
∵OA=OC,OD平分∠AOC,
∴OD⊥AC,AD=DC(等腰三角形的“三线合一”的性质),
∴∠CDO=90°,
∵CF⊥OF,∴∠CFO=90°,
∴四边形CDOF是矩形.
(2)当∠AOC=90°时,四边形CDOF是正方形.
理由如下:∵∠AOC=90°,AD=DC,
∴OD=DC.
又由(1)知四边形CDOF是矩形,则
四边形CDOF是正方形.
因此,当∠AOC=90°时,四边形CDOF是正方形.
10. 【证明】(1)如图,连接AC,BE.
∵DE⊥BC,且F是DE的中点,∴DC=EC,
即得∠DCF=∠ECF,
又∵AD∥BC,AB=CD,∴∠ABC=∠DCF,AB=EC,
∴∠ABC=∠ECF,∴AB∥EC,
∴四边形ABEC是平行四边形,
∴BG=CG=BC,
∵BC=2AD,∴AD=BG,
又∵AD∥BG,∴四边形ABGD是平行四边形.
(2)∵四边形ABGD是平行四边形,
∴AB∥DG,AB=DG,
又∵AB∥EC,AB=EC,∴DG∥EC,DG=EC,
∴四边形DGEC是平行四边形,
又∵DC=EC,∴四边形DGEC是菱形,
∴DG=DC,
由AD=AB,即得CG=DC=DG,
∴DG2+DC2=CG2,∴∠GDC=90°,
∴四边形DGEC是正方形.