高中数学人教A版（2019）必修二 第十章 概率测试卷
一、单选题
1．（2021高二上·南充期末）一人打靶中连续射击两次，事件“至少有一次中靶”的互斥事件是（ ）
A．至多有一次中靶 B．两次都中靶
C．两次都不中靶 D．只有一次中靶
【答案】C
【知识点】互斥事件与对立事件
【解析】【解答】对于A，若恰好中靶一次，则“至少有一次中靶”与“至多有一次中靶”同时发生，不是互斥事件，A不符合题意；
对于B，若两次都中靶，则“至少有一次中靶”与“两次都中靶”同时发生，不是互斥事件，B不符合题意；
对于C，若两次都不中靶，则“至少有一次中靶”与“两次都不中靶”不能同时发生，是互斥事件，C符合题意；
对于D，若只有一次中靶，则“至少有一次中靶”与“只有一次中靶”同时发生，不是互斥事件，D不符合题意.
故答案为：C.
【分析】利用已知条件结合互斥事件的定义，从而判断出事件“至少有一次中靶”的互斥事件。
2．（2021高二上·雅安期末）从装有3个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，那么互斥不对立的两个事件是（ ）
A．至少有1个黑球与都是红球
B．至少有1个黑球与都是黑球
C．至少有1个黑球与至少有1个红球
D．恰有1个黑球与恰有2个黑球
【答案】D
【知识点】互斥事件与对立事件
【解析】【解答】A，是对立事件；
B， 至少有1个黑球与都是黑球能同时发生，错误；
C至少有1个黑球与至少有1个红球能同时发生，错误
D 恰有1个黑球与恰有2个黑球不可能同时成立，但除了这两个事件外，还有2个红球的情况．因而D选项符合互斥而不对立的条件．
故答案为：D
【分析】利用已知条件结合互斥事件和对立事件的定义，从而找出互斥不对立的两个事件。
3．（2022高二下·浙江开学考）已知A，B是相互独立事件，且 ， ，则 （ ）
A．0.9 B．0.12 C．0.18 D．0.7
【答案】C
【知识点】相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【解答】解：∵ ，所以 ，
又A，B是相互独立事件，且 ，
所以P(AB)=P(A)P(B)=0.3×0.6=0.18 ，
故选：C.
【分析】根据独立事件的概率公式求解即可.
4．（2021高三上·西青期末）在黄陵中学举行的数学知识竞赛中，将高二两个班参赛的学生成绩(得分均为整数)进行整理后分成五组，绘制如图所示的频率分布直方图．已知图中从左到右的第一、第三、第四、第五小组的频率分别是0.30，0.15，0.10，0.05，第二小组的频数是40．这两个班参赛的学生人数是（ ）
A．80 B．90 C．100 D．120
【答案】C
【知识点】频率分布直方图；概率的基本性质
【解析】【解答】第二小组的频率是：，则两个班人数为：人.
【分析】利用已知条件结合频率分布直方图中各小组的矩形的面积等于各小组的频率，再利用频率之和等于1，从而求出第二小组的频率，再利用频数等于频率乘以样本容量，进而求出两个班的人数。
5．（2021·焦作模拟）某班计划在下周一至周三中的某一天去参观党史博物馆，若选择周一、周二、周三的概率分别为0.3，0.4，0.3，根据天气预报，这三天下雨的概率分别为0.4，0.2，0.5，且这三天是否下雨相互独立，则他们参观党史博物馆的当天不下雨的概率为（ ）
A．0.25 B．0.35 C．0.65 D．0.75
【答案】C
【知识点】互斥事件的概率加法公式；相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【解答】根据相互独立事件的概率计算公式，可得：
他们参观党史博物馆的当天下雨的概率为，
所以不下雨的概率为.
故答案为：C.
【分析】 利用相互独立事件概率乘法公式、对立事件概率计算公式直接求解出答案.
6．（2022·济南模拟）我们通常所说的ABO血型系统是由A，B，O三个等位基因决定的，每个人的基因型由这三个等位基因中的任意两个组合在一起构成，且两个等位基因分别来自于父亲和母亲，其中AA，AO为A型血，BB，BO为B型血，AB为AB型血，OO为O型血.比如：父亲和母亲的基因型分别为AO，AB，则孩子的基因型等可能的出现AA，AB，AO，BO四种结果，已知小明的爷爷、奶奶和母亲的血型均为AB型，不考虑基因突变，则小明是A型血的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】互斥事件的概率加法公式；相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【解答】因为小明的爷爷、奶奶的血型均为AB型，则小明父亲的血型可能是AA，AB，BB，它们对应的概率分别为 ，
当小明父亲的血型是AA时，因其母亲的血型为AB，则小明的血型可能是AA，AB，它们的概率均为 ，此时小明是A型血的概率为 ，
当小明父亲的血型是AB时，因其母亲的血型为AB，则小明的血型是AA的概率为 ，此时小明是A型血的概率为 ，
当小明父亲的血型是BB时，因为其母亲的血型为AB，则小明的血型不可能是AA，
所以小明是A型血的概率为 ，即C符合题意.
故答案为：C
【分析】利用已知条件结合独立事件乘法求概率公式和互斥事件加法求概率公式，得出小明是A型血的概率。
7．（2020高二下·赣县月考）已知P是△ABC所在平面内﹣点， ，现将一粒黄豆随机撒在△ABC内，则黄豆落在△PBC内的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】模拟方法估计概率
【解析】【解答】以PB、PC为邻边作平行四边形PBDC，
则 = ，
∵ ，∴ ，
∴ ，∴P是△ABC边BC上的中线AO的中点，
∴点P到BC的距离等于A到BC的距离的 ．
∴S△PBC= S△ABC．
∴将一粒黄豆随机撒在△ABC内，黄豆落在△PBC内的概率为：
P= = ．
故选B．
【分析】推导出点P到BC的距离等于A到BC的距离的 ．从而S△PBC= S△ABC．由此能求出将一粒黄豆随机撒在△ABC内，黄豆落在△PBC内的概率．
8．（2016高一下·福州期中）天气预报说，在今后的三天中，每一天下雨的概率均为40%．现采用随机模拟试验的方法估计这三天中恰有两天下雨的概率：先利用计算器产生0到9之间取整数值的随机数，用1，2，3，4表示下雨，用5，6，7，8，9，0表示不下雨；再以每三个随机数作为一组，代表这三天的下雨情况．经随机模拟试验产生了如下20组随机数：
907 966 191 925 271 932 812 458 569 683
431 257 393 027 556 488 730 113 537 989
据此估计，这三天中恰有两天下雨的概率近似为（ ）
A．0.35 B．0.25 C．0.20 D．0.15
【答案】B
【知识点】模拟方法估计概率
【解析】【解答】解：由题意知模拟三天中恰有两天下雨的结果，经随机模拟产生了如下20组随机数，
在20组随机数中表示三天中恰有两天下雨的有：191、271、932、812、393，共5组随机数，
∴所求概率为 ．
故选B．
【分析】由题意知模拟三天中恰有两天下雨的结果，经随机模拟产生了如下20组随机数，在20组随机数中表示三天中恰有两天下雨的有可以通过列举得到共5组随机数，根据概率公式，得到结果．
二、多选题
9．（2021高二上·浙江期末）甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，若甲的中靶概率为 0.8，乙的中靶概率为 0.9，且两个人射击的结果互不影响，则下列结论正确的是（ ）
A．两人都中靶的概率为 0.72 B．至少一人中靶的概率为 0.88
C．至多一人中靶的概率为 0.26 D．恰好有一人脱靶的概率为 0.26
【答案】A,D
【知识点】互斥事件与对立事件；相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【解答】设事件A为：“甲中靶”，设事件B为：“乙中靶”，这两个事件相互独立
A选项：都中靶的概率为 ，A项对；
B选项：至少一人中靶，其对立事件为：两人都不中靶
故至少一人中靶的概率为 ，B项不对；
C选项：至多一人中靶的对立事件为：两人都中靶
至多一人中靶的概率为 ，C不符合题意；
D选项：恰好有一人脱靶的概率为 ，D对.
故答案为：AD
【分析】 根据独立事件的概率计算公式和对立事件的概率计算公式求解即可得出答案.
10．（2021高二上·慈溪期末）若抛掷一颗质地均匀的骰子，给出如下随机事件： “点数为 ”，其中 ； “点数不大于2”， “点数大于2”， “点数大于4”；则（ ）
A． 与 互斥 B． 与 为对立事件
C． ， D．
【答案】A,C,D
【知识点】互斥事件与对立事件
【解析】【解答】抛掷一颗质地均匀的骰子，基本事件空间
则 ， ，
与 不能同时发生，则 与 互斥.A判断正确；
，但是 并不是全部基本事件，故 与 不是对立事件. B判断错误；
， .C判断正确；
.D判断正确.
故答案为：ACD
【分析】 利用互斥事件、对立事件的定义直接求解.
11．（2022高二下·盐田月考）一口袋中有大小和质地相同的5个红球和2个白球，则下列结论正确的是（ ）
A．从中任取3球，恰有一个红球的概率是
B．从中有放回的取球3次，每次任取一球，恰好有两个白球的概率为
C．从中不放回的取球2次，每次任取1球，若第一次已取到了红球，则第二次再次取到红球的概率为
D．从中有放回的取球次，每次任取一球，则至少有一次取到白球的概率为
【答案】A,D
【知识点】相互独立事件的概率乘法公式；n次独立重复试验中恰好发生k次的概率；条件概率与独立事件
【解析】【解答】对于A选项，从中任取球，恰有一个红球的概率是，A对；
对于B选项，从中有放回的取球次，每次任取一球，每次抽到白球的概率为，
则次取球中恰好有两个白球的概率为，B不符合题意；
对于C选项，从中不放回的取球2次，每次任取球，
记事件第一次取到红球，记事件第二次取到红球，
则，C不符合题意；
对于D选项，从中有放回的取球3次，每次任取一球，则至少有一次取到白球的概率，D对.
故答案为：AD.
【分析】由古典概率概率计算公式可判断A，由独立重复事件概率计算可判断B，由条件概率计算公式可判断C，由间接法，求得3球都是红球的概率即可判断D.
12．（2021高一下·金华期末）甲乙两个质地均匀且完全一样的骰子，同时抛掷这两个骰子一次，记事件 为“两个骰子朝上一面的数字之和为奇数”，事件 为“甲骰子朝上一面的数字为奇数”，事件 为“乙骰子朝上一面的数字为偶数”，则（ ）
A．事件 、 是相互独立事件 B．事件 、 是互斥事件
C． D．
【答案】A,C
【知识点】互斥事件与对立事件；相互独立事件；相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【解答】解：甲、乙两个质地均匀且完全一样的骰子，同时抛掷这两个骰子一次，
基本事件总数 ，
记事件 为“两个骰子朝上一面的数字之和为奇数”，
则事件 包含的基本事件有18个，分别为：
， ， ， ， ， ， ， ， ，
， ， ， ， ， ， ， ， ，
，
事件 为“甲骰子朝上一面的数字为奇数”，
则事件 包含的基本事件有18个，分别为：
， ， ， ， ， ， ， ， ，
， ， ， ， ， ， ， ， ，
，
事件 为“乙骰子朝上一面的数字为偶数”，
则事件 包含的基本事件有18个，分别为：
， ， ， ， ， ， ， ， ，
， ， ， ， ， ， ， ， ，
，
事件 包含的基本事件有9个，分别为：
， ， ， ， ， ， ， ， ，
，
， 事件 、 是相互独立事件，故 正确；
事件 与 能同时发生，故事件 与 不是互斥事件，故 错误；
，故 正确；
包包含的基本事件有9个，分别为：
， ， ， ， ， ， ， ， ，
．故 错误．
故答案为：AC．
【分析】利用已知条件结合独立事件的定义、互斥事件的定义，再结合概率的应用和古典概型求概率公式，进而找出正确的选项。
三、填空题
13．（2022高二下·临沂期中）高三某位同学参加物理、化学科目的等级考，已知这位同学在物理、化学科目考试中达A的概率分别为、，这两门科目考试成绩的结果互不影响，则这位考生至少得1个A的概率为 .
【答案】
【知识点】相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【解答】这位考生1个A没得的概率为，所以这位考生至少得1个A的概率为，
故答案为：.
【分析】根据独立事件的乘法公式求出考生至少得1个A的概率.
14．（2022·联合模拟）为筹集善款增设了一个“看图猜诗句”的游戏互动环节，主办方为每位参与者最多展示三张图片，每张图片的内容均对应一首诗词，参与者说对其中一句即视为这张图片回答正确.主办方为参与者每次只展示一张图片，若参与者回答正确才继续为他展示下一张图片，若参与者回答错误则游戏结束，参与者每正确回答一张图片就可为慈善机构募集到一笔基金，多笔基金累积计算.已知某位参加此游戏的嘉宾能正确回答第一 二 三张图片的概率分别为0.9，0.5，0.4，相应能募集到的基金金额分别为1000元，2000元，3000元，且各张图片是否回答正确互不影响，则这位嘉宾参加此游戏恰好共募集到3000元慈善基金的概率为 .
【答案】0.27
【知识点】相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【解答】恰好筹集到元慈善基金的情况为：答对第一、二张图片，答错第三张图片，
所求概率.
故答案为：0.27.
【分析】根据独立事件和对立事件的概率计算公式，求解可得答案。
15．玲玲和倩倩下象棋，为了确定谁先走第一步，玲玲对倩倩说：“拿一个飞镖射向如图所示的靶中，若射中区域所标的数字大于3，则我先走第一步，否则你先走第一步．”你认为这个游戏规则公平吗？ ．(选填“公平”或“不公平”)
【答案】不公平
【知识点】随机事件；概率的意义
【解析】【解答】如题图所示，所标的数字大于3的区域有5个，而小于或等于3的区域只有3个，所以玲玲先走的概率是 ，倩倩先走的概率是 ，所以不公平．
【分析】根据图计算大于3和小于等于3的概率，即可判断游戏规则公平、不公平.
16．某厂的产品中有4%的废品，在100件合格品中有75件一等品，则在该厂的产品中任取一件是一等品的概率为 ．
【答案】0.72
【知识点】互斥事件与对立事件；条件概率与独立事件
【解析】【解答】设A为“任取的一件是合格品”，B为“任取的一件是一等品”，
因为P(A)＝1－P( )＝96%，P(B|A)＝75%，
且事件B发生时事件A一定发生，
所以P(B)＝P(AB)＝P(A)P(B|A)＝0.96×0.75＝0.72。
答案：0.72。
【分析】利用已知条件结合对立事件求概率公式合条件概型求概率公式，进而得出在该厂的产品中任取一件是一等品的概率。
四、解答题
17．某射击运动员在同一条件下进行练习，结果如下表所示：
射击次数n 10 20 50 100 200 500
击中10环次数m 8 19 44 93 178 453
击中10环频率
（1）计算表中击中10环的各个频率；
（2）该射击运动员射击一次，击中10环的概率为多少？
【答案】（1）解：逐一将n，m值代入公式 进行计算，得到下表：
射击次数n 10 20 50 100 200 500
击中10环次数m 8 19 44 93 178 453
击中10环频率 0.8 0.95 0.88 0.93 0.89 0.906
（2）解：从表中可以看出，当射击次数n值较大时，“击中10环”的频率接近于常数0.9，并在该值附近摆动．由概率的统计定义知，该射击运动员射击一次，击中10环的概率约为0.9.
【知识点】频率分布表；概率的意义
【解析】【分析】（1）根据频率计算公式直接计算即可；
（2）由于随着实验次数的增多，频率接近一个常数即概率，从而得到所求结果.
18．（2021高二上·浦东期末）独立地重复抛掷硬币2次，若每次抛掷硬币正面朝上和反面朝上的概率都是0.5，回答以下两个问题：
（1）现将“独立地重复抛掷硬币2次”作为一次试验，若用、分别表示正面朝上和反面朝上，例如用表示某次试验的结果是第一次正面朝上，第二次反面朝上，请用符号、写出“独立地重复抛掷硬币2次”的样本空间；
（2）已知在某次试验中第一次抛掷的结果是正面朝上；某同学说“第二次抛掷硬币正面朝上的可能性小于反面朝上的可能性”请问该同学的表述是否正确？（不需要写出理由）
【答案】（1）解：“独立地重复抛掷硬币2次”的样本空间为
（2）解：不正确.
因为第二次的结果与第一次的结果并无关系，
所以，第二次抛掷硬币正面朝上的可能性与反面朝上的可能性相同.
【知识点】概率的意义；列举法计算基本事件数及事件发生的概率
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合列举法，用符号、写出“独立地重复抛掷硬币2次”的样本空间。
（2）利用已知条件结合概率的意义，从而判断出该同学表述不正确并解释出理由。
19．（2021高二上·重庆开学考）西北狼联盟”学校为了让同学们树立自己的学习目标，特进行了“生涯规划”知识竞赛.已知甲、乙两队参赛，每队3人，每人回答一个问题，答对者为本队赢得一分，答错得零分.假设甲队中每人答对的概率均为 ，乙队中3人答对的概率分别为 ， ， ，且各人回答正确与否相互之间没有影响.
（1）分别求甲队总得分为0分；2分的概率；
（2）求甲队得2分乙队得1分的概率.
【答案】（1）解：记“甲队总得分为0分”为事件A，“甲队总得分为2分”为事件B，
甲队总得分为0分，即甲队三人都回答错误，其概率 ；
甲队总得分为2分，即甲队三人中有1人答错﹐其余两人答对，其概率 ；
（2）记“乙队得1分”为事件C，“甲队得2分乙队得1分”为事件D，
事件C即乙队三人中有2人答错，其余1人答对，
则 ，
甲队得2分乙队得1分即事件B、C同时发生，
则 .
【知识点】互斥事件的概率加法公式；相互独立事件的概率乘法公式；列举法计算基本事件数及事件发生的概率
【解析】【分析】 (1)由已知条件即可得出：事件A即甲队三人都回答错误，由相互独立事件的概率乘法公式计算可得答案，事件B即甲队三人中有1人答错，其余两人答对，由n次独立事件中恰有k次发生的概率公式计算可得答案.
(2)事件C即乙队三人中有2人答错，其余1人答对，由互斥事件的概率加法公式可得P(C)，再由相互独立事件的概率乘法公式计算可得答案.
20．（2021高二上·宁波期中）某市为迎接全国中学生物理奥林匹克竞赛举行全市选拔赛．大赛分初试和复试．初试又分笔试和实验操作两部分进行，初试部分考试成绩只记“合格”与“不合格”．只有两部分考试都“合格”者才能进入下一轮的复试．在初试部分，甲、乙、丙三人在笔试中“合格”的概率依次为 ， ， ，在实验操作考试中“合格”的概率依次为 ， ， ，所有考试是否合格相互之间没有影响
（1）甲、乙、丙三人同时进行笔试与实验操作两项考试，分别求三人进入复试的的概率，并判断谁获得下一轮复试的可能性最大；
（2）这三人进行笔试与实验操两项考试后，求恰有两人进入下一轮复试的概率．
【答案】（1）解：根据题意，甲进入复试的概率为 ，
乙进入复试的概率为 ，丙进入复试的概率为
由于 ，
所以可以判断丙进入下一轮的可能性较大.
（2）解：这三人进行笔试与实验操两项考试后，求恰有两人进入下一轮复试的可能情况为甲、乙进入，丙没有进入；甲、丙进入，乙没有进入；乙、丙进入，甲没有进入
所以恰有两人进入下一轮复试的概率为 .
【知识点】互斥事件的概率加法公式；相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【分析】(1)根据题意由概率的乘法公式代入数值计算出结果，由此即可比较出大小。
(2)由相互独立、对立事件的概率公式，代入数值计算出结果即可。
21．（2021高二上·丰台期中）某单位响应“创建国家森林城市”的号召，栽种了甲、乙两种大树各两棵.设甲、乙两种大树的成活率分别为 和 ，两种大树成活与否互不影响.
（1）求甲种大树成活两棵的概率；
（2）求甲种大树成活一棵的概率；
（3）求甲、乙两种大树一共成活三棵的概率.
【答案】（1）设事件 “甲种大树成活两棵”，则
（2）设事件 “甲种大树成活一棵”，则
（3）设事件 “乙种大树成活一棵”，
则
设事件 “乙种大树成活两棵”，
则
设事件 “甲、乙两种大树一共成活三棵”，
则
【知识点】互斥事件的概率加法公式；相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【分析】(1)由概率的乘法公式，代入数值计算出结果即可。
(2)由对立、互斥事件的概率公式，代入数值计算出结果即可。
(3)由概率的加法和乘法公式，代入数值计算出结果即可。
22．（2021高二上·湖北月考）为普及抗疫知识、弘扬抗疫精神，某学校组织防疫知识挑战赛．每位选手挑战时，主持人用电脑出题的方式，从题库中随机出3道题，编号为 ， ， ，电脑依次出题，选手按规则作答，挑战规则如下：
①选手每答对一道题目得5分，每答错一道题目扣3分；
②选手若答对第 题，则继续作答第 题；选手若答错第 题，则失去第 题的答题机会，从第 题开始继续答题；直到3道题目出完，挑战结束；
③选手初始分为0分，若挑战结束后，累计得分不低于7分，则选手挑战成功，否则挑战失败．选手甲即将参与挑战，已知选手甲答对题库中任何一题的概率均为 ，各次作答结果相互独立，且他不会主动放弃任何一次作答机会，求：
（1）挑战结束时，选手甲共答对2道题的概率 ；
（2）挑战结束时，选手甲恰好作答了2道题的概率 ；
（3）选手甲闯关成功的概率 ．
【答案】（1）设 为选手答对 题，其中 .
设挑战结束后，选手甲共答对2道题为事件 ，
选手甲共答对2道即选手甲前2题答对且第3题答错，所以 ，
所以，由事件独立性的定义得
.
（2）设挑战结束时，选手甲恰好作答了2道题为事件 ，
选手甲恰好作答了2道题即选手甲第1题答错或第一题答对且第2题答错
所以
由概率的加法公式和事件独立性的定义得
（3）设选手甲挑战成功为事件
若选手甲挑战成功，则选手甲共作答了 道题，且选手甲只可能作答 题或 道题
所以“选手甲闯关成功”是“选手甲恰好作答了 道题”的对立事件，
所以
根据对立事件的性质得
【知识点】互斥事件的概率加法公式；等可能事件的概率；相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【分析】 (1)根据题意设为选手答对题，其中i=1，2，3，设挑战结束后，选手甲共答对2道题为事件A，选手甲共答对2道，即选手甲前2题答对且第3题答错，可得，再结合相互独立事件概率乘法公式，即可求解。
(2)由已知条件即可得出设挑战结束时，选手甲恰好作答了2道题为事件B，选手甲恰好作答了2道题即选手甲第一题答错或第一题答对且第2题答错，即，结合概率的加法公式和事件独立性的定义，即可求解。
(3)根据题意设选手甲挑战成功为事件C，若选手甲挑战成功，则选手甲共作答了3道题，且选手甲只可能作答2题或3道题，“选手甲闯关成功”是“选手甲恰好作答了2道题”的对立事件，结合对立事件的性质，即可求解。
1 / 1高中数学人教A版（2019）必修二 第十章 概率测试卷
一、单选题
1．（2021高二上·南充期末）一人打靶中连续射击两次，事件“至少有一次中靶”的互斥事件是（ ）
A．至多有一次中靶 B．两次都中靶
C．两次都不中靶 D．只有一次中靶
2．（2021高二上·雅安期末）从装有3个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，那么互斥不对立的两个事件是（ ）
A．至少有1个黑球与都是红球
B．至少有1个黑球与都是黑球
C．至少有1个黑球与至少有1个红球
D．恰有1个黑球与恰有2个黑球
3．（2022高二下·浙江开学考）已知A，B是相互独立事件，且 ， ，则 （ ）
A．0.9 B．0.12 C．0.18 D．0.7
4．（2021高三上·西青期末）在黄陵中学举行的数学知识竞赛中，将高二两个班参赛的学生成绩(得分均为整数)进行整理后分成五组，绘制如图所示的频率分布直方图．已知图中从左到右的第一、第三、第四、第五小组的频率分别是0.30，0.15，0.10，0.05，第二小组的频数是40．这两个班参赛的学生人数是（ ）
A．80 B．90 C．100 D．120
5．（2021·焦作模拟）某班计划在下周一至周三中的某一天去参观党史博物馆，若选择周一、周二、周三的概率分别为0.3，0.4，0.3，根据天气预报，这三天下雨的概率分别为0.4，0.2，0.5，且这三天是否下雨相互独立，则他们参观党史博物馆的当天不下雨的概率为（ ）
A．0.25 B．0.35 C．0.65 D．0.75
6．（2022·济南模拟）我们通常所说的ABO血型系统是由A，B，O三个等位基因决定的，每个人的基因型由这三个等位基因中的任意两个组合在一起构成，且两个等位基因分别来自于父亲和母亲，其中AA，AO为A型血，BB，BO为B型血，AB为AB型血，OO为O型血.比如：父亲和母亲的基因型分别为AO，AB，则孩子的基因型等可能的出现AA，AB，AO，BO四种结果，已知小明的爷爷、奶奶和母亲的血型均为AB型，不考虑基因突变，则小明是A型血的概率为（ ）
A． B． C． D．
7．（2020高二下·赣县月考）已知P是△ABC所在平面内﹣点， ，现将一粒黄豆随机撒在△ABC内，则黄豆落在△PBC内的概率是（ ）
A． B． C． D．
8．（2016高一下·福州期中）天气预报说，在今后的三天中，每一天下雨的概率均为40%．现采用随机模拟试验的方法估计这三天中恰有两天下雨的概率：先利用计算器产生0到9之间取整数值的随机数，用1，2，3，4表示下雨，用5，6，7，8，9，0表示不下雨；再以每三个随机数作为一组，代表这三天的下雨情况．经随机模拟试验产生了如下20组随机数：
907 966 191 925 271 932 812 458 569 683
431 257 393 027 556 488 730 113 537 989
据此估计，这三天中恰有两天下雨的概率近似为（ ）
A．0.35 B．0.25 C．0.20 D．0.15
二、多选题
9．（2021高二上·浙江期末）甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，若甲的中靶概率为 0.8，乙的中靶概率为 0.9，且两个人射击的结果互不影响，则下列结论正确的是（ ）
A．两人都中靶的概率为 0.72 B．至少一人中靶的概率为 0.88
C．至多一人中靶的概率为 0.26 D．恰好有一人脱靶的概率为 0.26
10．（2021高二上·慈溪期末）若抛掷一颗质地均匀的骰子，给出如下随机事件： “点数为 ”，其中 ； “点数不大于2”， “点数大于2”， “点数大于4”；则（ ）
A． 与 互斥 B． 与 为对立事件
C． ， D．
11．（2022高二下·盐田月考）一口袋中有大小和质地相同的5个红球和2个白球，则下列结论正确的是（ ）
A．从中任取3球，恰有一个红球的概率是
B．从中有放回的取球3次，每次任取一球，恰好有两个白球的概率为
C．从中不放回的取球2次，每次任取1球，若第一次已取到了红球，则第二次再次取到红球的概率为
D．从中有放回的取球次，每次任取一球，则至少有一次取到白球的概率为
12．（2021高一下·金华期末）甲乙两个质地均匀且完全一样的骰子，同时抛掷这两个骰子一次，记事件 为“两个骰子朝上一面的数字之和为奇数”，事件 为“甲骰子朝上一面的数字为奇数”，事件 为“乙骰子朝上一面的数字为偶数”，则（ ）
A．事件 、 是相互独立事件 B．事件 、 是互斥事件
C． D．
三、填空题
13．（2022高二下·临沂期中）高三某位同学参加物理、化学科目的等级考，已知这位同学在物理、化学科目考试中达A的概率分别为、，这两门科目考试成绩的结果互不影响，则这位考生至少得1个A的概率为 .
14．（2022·联合模拟）为筹集善款增设了一个“看图猜诗句”的游戏互动环节，主办方为每位参与者最多展示三张图片，每张图片的内容均对应一首诗词，参与者说对其中一句即视为这张图片回答正确.主办方为参与者每次只展示一张图片，若参与者回答正确才继续为他展示下一张图片，若参与者回答错误则游戏结束，参与者每正确回答一张图片就可为慈善机构募集到一笔基金，多笔基金累积计算.已知某位参加此游戏的嘉宾能正确回答第一 二 三张图片的概率分别为0.9，0.5，0.4，相应能募集到的基金金额分别为1000元，2000元，3000元，且各张图片是否回答正确互不影响，则这位嘉宾参加此游戏恰好共募集到3000元慈善基金的概率为 .
15．玲玲和倩倩下象棋，为了确定谁先走第一步，玲玲对倩倩说：“拿一个飞镖射向如图所示的靶中，若射中区域所标的数字大于3，则我先走第一步，否则你先走第一步．”你认为这个游戏规则公平吗？ ．(选填“公平”或“不公平”)
16．某厂的产品中有4%的废品，在100件合格品中有75件一等品，则在该厂的产品中任取一件是一等品的概率为 ．
四、解答题
17．某射击运动员在同一条件下进行练习，结果如下表所示：
射击次数n 10 20 50 100 200 500
击中10环次数m 8 19 44 93 178 453
击中10环频率
（1）计算表中击中10环的各个频率；
（2）该射击运动员射击一次，击中10环的概率为多少？
18．（2021高二上·浦东期末）独立地重复抛掷硬币2次，若每次抛掷硬币正面朝上和反面朝上的概率都是0.5，回答以下两个问题：
（1）现将“独立地重复抛掷硬币2次”作为一次试验，若用、分别表示正面朝上和反面朝上，例如用表示某次试验的结果是第一次正面朝上，第二次反面朝上，请用符号、写出“独立地重复抛掷硬币2次”的样本空间；
（2）已知在某次试验中第一次抛掷的结果是正面朝上；某同学说“第二次抛掷硬币正面朝上的可能性小于反面朝上的可能性”请问该同学的表述是否正确？（不需要写出理由）
19．（2021高二上·重庆开学考）西北狼联盟”学校为了让同学们树立自己的学习目标，特进行了“生涯规划”知识竞赛.已知甲、乙两队参赛，每队3人，每人回答一个问题，答对者为本队赢得一分，答错得零分.假设甲队中每人答对的概率均为 ，乙队中3人答对的概率分别为 ， ， ，且各人回答正确与否相互之间没有影响.
（1）分别求甲队总得分为0分；2分的概率；
（2）求甲队得2分乙队得1分的概率.
20．（2021高二上·宁波期中）某市为迎接全国中学生物理奥林匹克竞赛举行全市选拔赛．大赛分初试和复试．初试又分笔试和实验操作两部分进行，初试部分考试成绩只记“合格”与“不合格”．只有两部分考试都“合格”者才能进入下一轮的复试．在初试部分，甲、乙、丙三人在笔试中“合格”的概率依次为 ， ， ，在实验操作考试中“合格”的概率依次为 ， ， ，所有考试是否合格相互之间没有影响
（1）甲、乙、丙三人同时进行笔试与实验操作两项考试，分别求三人进入复试的的概率，并判断谁获得下一轮复试的可能性最大；
（2）这三人进行笔试与实验操两项考试后，求恰有两人进入下一轮复试的概率．
21．（2021高二上·丰台期中）某单位响应“创建国家森林城市”的号召，栽种了甲、乙两种大树各两棵.设甲、乙两种大树的成活率分别为 和 ，两种大树成活与否互不影响.
（1）求甲种大树成活两棵的概率；
（2）求甲种大树成活一棵的概率；
（3）求甲、乙两种大树一共成活三棵的概率.
22．（2021高二上·湖北月考）为普及抗疫知识、弘扬抗疫精神，某学校组织防疫知识挑战赛．每位选手挑战时，主持人用电脑出题的方式，从题库中随机出3道题，编号为 ， ， ，电脑依次出题，选手按规则作答，挑战规则如下：
①选手每答对一道题目得5分，每答错一道题目扣3分；
②选手若答对第 题，则继续作答第 题；选手若答错第 题，则失去第 题的答题机会，从第 题开始继续答题；直到3道题目出完，挑战结束；
③选手初始分为0分，若挑战结束后，累计得分不低于7分，则选手挑战成功，否则挑战失败．选手甲即将参与挑战，已知选手甲答对题库中任何一题的概率均为 ，各次作答结果相互独立，且他不会主动放弃任何一次作答机会，求：
（1）挑战结束时，选手甲共答对2道题的概率 ；
（2）挑战结束时，选手甲恰好作答了2道题的概率 ；
（3）选手甲闯关成功的概率 ．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】互斥事件与对立事件
【解析】【解答】对于A，若恰好中靶一次，则“至少有一次中靶”与“至多有一次中靶”同时发生，不是互斥事件，A不符合题意；
对于B，若两次都中靶，则“至少有一次中靶”与“两次都中靶”同时发生，不是互斥事件，B不符合题意；
对于C，若两次都不中靶，则“至少有一次中靶”与“两次都不中靶”不能同时发生，是互斥事件，C符合题意；
对于D，若只有一次中靶，则“至少有一次中靶”与“只有一次中靶”同时发生，不是互斥事件，D不符合题意.
故答案为：C.
【分析】利用已知条件结合互斥事件的定义，从而判断出事件“至少有一次中靶”的互斥事件。
2．【答案】D
【知识点】互斥事件与对立事件
【解析】【解答】A，是对立事件；
B， 至少有1个黑球与都是黑球能同时发生，错误；
C至少有1个黑球与至少有1个红球能同时发生，错误
D 恰有1个黑球与恰有2个黑球不可能同时成立，但除了这两个事件外，还有2个红球的情况．因而D选项符合互斥而不对立的条件．
故答案为：D
【分析】利用已知条件结合互斥事件和对立事件的定义，从而找出互斥不对立的两个事件。
3．【答案】C
【知识点】相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【解答】解：∵ ，所以 ，
又A，B是相互独立事件，且 ，
所以P(AB)=P(A)P(B)=0.3×0.6=0.18 ，
故选：C.
【分析】根据独立事件的概率公式求解即可.
4．【答案】C
【知识点】频率分布直方图；概率的基本性质
【解析】【解答】第二小组的频率是：，则两个班人数为：人.
【分析】利用已知条件结合频率分布直方图中各小组的矩形的面积等于各小组的频率，再利用频率之和等于1，从而求出第二小组的频率，再利用频数等于频率乘以样本容量，进而求出两个班的人数。
5．【答案】C
【知识点】互斥事件的概率加法公式；相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【解答】根据相互独立事件的概率计算公式，可得：
他们参观党史博物馆的当天下雨的概率为，
所以不下雨的概率为.
故答案为：C.
【分析】 利用相互独立事件概率乘法公式、对立事件概率计算公式直接求解出答案.
6．【答案】C
【知识点】互斥事件的概率加法公式；相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【解答】因为小明的爷爷、奶奶的血型均为AB型，则小明父亲的血型可能是AA，AB，BB，它们对应的概率分别为 ，
当小明父亲的血型是AA时，因其母亲的血型为AB，则小明的血型可能是AA，AB，它们的概率均为 ，此时小明是A型血的概率为 ，
当小明父亲的血型是AB时，因其母亲的血型为AB，则小明的血型是AA的概率为 ，此时小明是A型血的概率为 ，
当小明父亲的血型是BB时，因为其母亲的血型为AB，则小明的血型不可能是AA，
所以小明是A型血的概率为 ，即C符合题意.
故答案为：C
【分析】利用已知条件结合独立事件乘法求概率公式和互斥事件加法求概率公式，得出小明是A型血的概率。
7．【答案】B
【知识点】模拟方法估计概率
【解析】【解答】以PB、PC为邻边作平行四边形PBDC，
则 = ，
∵ ，∴ ，
∴ ，∴P是△ABC边BC上的中线AO的中点，
∴点P到BC的距离等于A到BC的距离的 ．
∴S△PBC= S△ABC．
∴将一粒黄豆随机撒在△ABC内，黄豆落在△PBC内的概率为：
P= = ．
故选B．
【分析】推导出点P到BC的距离等于A到BC的距离的 ．从而S△PBC= S△ABC．由此能求出将一粒黄豆随机撒在△ABC内，黄豆落在△PBC内的概率．
8．【答案】B
【知识点】模拟方法估计概率
【解析】【解答】解：由题意知模拟三天中恰有两天下雨的结果，经随机模拟产生了如下20组随机数，
在20组随机数中表示三天中恰有两天下雨的有：191、271、932、812、393，共5组随机数，
∴所求概率为 ．
故选B．
【分析】由题意知模拟三天中恰有两天下雨的结果，经随机模拟产生了如下20组随机数，在20组随机数中表示三天中恰有两天下雨的有可以通过列举得到共5组随机数，根据概率公式，得到结果．
9．【答案】A,D
【知识点】互斥事件与对立事件；相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【解答】设事件A为：“甲中靶”，设事件B为：“乙中靶”，这两个事件相互独立
A选项：都中靶的概率为 ，A项对；
B选项：至少一人中靶，其对立事件为：两人都不中靶
故至少一人中靶的概率为 ，B项不对；
C选项：至多一人中靶的对立事件为：两人都中靶
至多一人中靶的概率为 ，C不符合题意；
D选项：恰好有一人脱靶的概率为 ，D对.
故答案为：AD
【分析】 根据独立事件的概率计算公式和对立事件的概率计算公式求解即可得出答案.
10．【答案】A,C,D
【知识点】互斥事件与对立事件
【解析】【解答】抛掷一颗质地均匀的骰子，基本事件空间
则 ， ，
与 不能同时发生，则 与 互斥.A判断正确；
，但是 并不是全部基本事件，故 与 不是对立事件. B判断错误；
， .C判断正确；
.D判断正确.
故答案为：ACD
【分析】 利用互斥事件、对立事件的定义直接求解.
11．【答案】A,D
【知识点】相互独立事件的概率乘法公式；n次独立重复试验中恰好发生k次的概率；条件概率与独立事件
【解析】【解答】对于A选项，从中任取球，恰有一个红球的概率是，A对；
对于B选项，从中有放回的取球次，每次任取一球，每次抽到白球的概率为，
则次取球中恰好有两个白球的概率为，B不符合题意；
对于C选项，从中不放回的取球2次，每次任取球，
记事件第一次取到红球，记事件第二次取到红球，
则，C不符合题意；
对于D选项，从中有放回的取球3次，每次任取一球，则至少有一次取到白球的概率，D对.
故答案为：AD.
【分析】由古典概率概率计算公式可判断A，由独立重复事件概率计算可判断B，由条件概率计算公式可判断C，由间接法，求得3球都是红球的概率即可判断D.
12．【答案】A,C
【知识点】互斥事件与对立事件；相互独立事件；相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【解答】解：甲、乙两个质地均匀且完全一样的骰子，同时抛掷这两个骰子一次，
基本事件总数 ，
记事件 为“两个骰子朝上一面的数字之和为奇数”，
则事件 包含的基本事件有18个，分别为：
， ， ， ， ， ， ， ， ，
， ， ， ， ， ， ， ， ，
，
事件 为“甲骰子朝上一面的数字为奇数”，
则事件 包含的基本事件有18个，分别为：
， ， ， ， ， ， ， ， ，
， ， ， ， ， ， ， ， ，
，
事件 为“乙骰子朝上一面的数字为偶数”，
则事件 包含的基本事件有18个，分别为：
， ， ， ， ， ， ， ， ，
， ， ， ， ， ， ， ， ，
，
事件 包含的基本事件有9个，分别为：
， ， ， ， ， ， ， ， ，
，
， 事件 、 是相互独立事件，故 正确；
事件 与 能同时发生，故事件 与 不是互斥事件，故 错误；
，故 正确；
包包含的基本事件有9个，分别为：
， ， ， ， ， ， ， ， ，
．故 错误．
故答案为：AC．
【分析】利用已知条件结合独立事件的定义、互斥事件的定义，再结合概率的应用和古典概型求概率公式，进而找出正确的选项。
13．【答案】
【知识点】相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【解答】这位考生1个A没得的概率为，所以这位考生至少得1个A的概率为，
故答案为：.
【分析】根据独立事件的乘法公式求出考生至少得1个A的概率.
14．【答案】0.27
【知识点】相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【解答】恰好筹集到元慈善基金的情况为：答对第一、二张图片，答错第三张图片，
所求概率.
故答案为：0.27.
【分析】根据独立事件和对立事件的概率计算公式，求解可得答案。
15．【答案】不公平
【知识点】随机事件；概率的意义
【解析】【解答】如题图所示，所标的数字大于3的区域有5个，而小于或等于3的区域只有3个，所以玲玲先走的概率是 ，倩倩先走的概率是 ，所以不公平．
【分析】根据图计算大于3和小于等于3的概率，即可判断游戏规则公平、不公平.
16．【答案】0.72
【知识点】互斥事件与对立事件；条件概率与独立事件
【解析】【解答】设A为“任取的一件是合格品”，B为“任取的一件是一等品”，
因为P(A)＝1－P( )＝96%，P(B|A)＝75%，
且事件B发生时事件A一定发生，
所以P(B)＝P(AB)＝P(A)P(B|A)＝0.96×0.75＝0.72。
答案：0.72。
【分析】利用已知条件结合对立事件求概率公式合条件概型求概率公式，进而得出在该厂的产品中任取一件是一等品的概率。
17．【答案】（1）解：逐一将n，m值代入公式 进行计算，得到下表：
射击次数n 10 20 50 100 200 500
击中10环次数m 8 19 44 93 178 453
击中10环频率 0.8 0.95 0.88 0.93 0.89 0.906
（2）解：从表中可以看出，当射击次数n值较大时，“击中10环”的频率接近于常数0.9，并在该值附近摆动．由概率的统计定义知，该射击运动员射击一次，击中10环的概率约为0.9.
【知识点】频率分布表；概率的意义
【解析】【分析】（1）根据频率计算公式直接计算即可；
（2）由于随着实验次数的增多，频率接近一个常数即概率，从而得到所求结果.
18．【答案】（1）解：“独立地重复抛掷硬币2次”的样本空间为
（2）解：不正确.
因为第二次的结果与第一次的结果并无关系，
所以，第二次抛掷硬币正面朝上的可能性与反面朝上的可能性相同.
【知识点】概率的意义；列举法计算基本事件数及事件发生的概率
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合列举法，用符号、写出“独立地重复抛掷硬币2次”的样本空间。
（2）利用已知条件结合概率的意义，从而判断出该同学表述不正确并解释出理由。
19．【答案】（1）解：记“甲队总得分为0分”为事件A，“甲队总得分为2分”为事件B，
甲队总得分为0分，即甲队三人都回答错误，其概率 ；
甲队总得分为2分，即甲队三人中有1人答错﹐其余两人答对，其概率 ；
（2）记“乙队得1分”为事件C，“甲队得2分乙队得1分”为事件D，
事件C即乙队三人中有2人答错，其余1人答对，
则 ，
甲队得2分乙队得1分即事件B、C同时发生，
则 .
【知识点】互斥事件的概率加法公式；相互独立事件的概率乘法公式；列举法计算基本事件数及事件发生的概率
【解析】【分析】 (1)由已知条件即可得出：事件A即甲队三人都回答错误，由相互独立事件的概率乘法公式计算可得答案，事件B即甲队三人中有1人答错，其余两人答对，由n次独立事件中恰有k次发生的概率公式计算可得答案.
(2)事件C即乙队三人中有2人答错，其余1人答对，由互斥事件的概率加法公式可得P(C)，再由相互独立事件的概率乘法公式计算可得答案.
20．【答案】（1）解：根据题意，甲进入复试的概率为 ，
乙进入复试的概率为 ，丙进入复试的概率为
由于 ，
所以可以判断丙进入下一轮的可能性较大.
（2）解：这三人进行笔试与实验操两项考试后，求恰有两人进入下一轮复试的可能情况为甲、乙进入，丙没有进入；甲、丙进入，乙没有进入；乙、丙进入，甲没有进入
所以恰有两人进入下一轮复试的概率为 .
【知识点】互斥事件的概率加法公式；相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【分析】(1)根据题意由概率的乘法公式代入数值计算出结果，由此即可比较出大小。
(2)由相互独立、对立事件的概率公式，代入数值计算出结果即可。
21．【答案】（1）设事件 “甲种大树成活两棵”，则
（2）设事件 “甲种大树成活一棵”，则
（3）设事件 “乙种大树成活一棵”，
则
设事件 “乙种大树成活两棵”，
则
设事件 “甲、乙两种大树一共成活三棵”，
则
【知识点】互斥事件的概率加法公式；相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【分析】(1)由概率的乘法公式，代入数值计算出结果即可。
(2)由对立、互斥事件的概率公式，代入数值计算出结果即可。
(3)由概率的加法和乘法公式，代入数值计算出结果即可。
22．【答案】（1）设 为选手答对 题，其中 .
设挑战结束后，选手甲共答对2道题为事件 ，
选手甲共答对2道即选手甲前2题答对且第3题答错，所以 ，
所以，由事件独立性的定义得
.
（2）设挑战结束时，选手甲恰好作答了2道题为事件 ，
选手甲恰好作答了2道题即选手甲第1题答错或第一题答对且第2题答错
所以
由概率的加法公式和事件独立性的定义得
（3）设选手甲挑战成功为事件
若选手甲挑战成功，则选手甲共作答了 道题，且选手甲只可能作答 题或 道题
所以“选手甲闯关成功”是“选手甲恰好作答了 道题”的对立事件，
所以
根据对立事件的性质得
【知识点】互斥事件的概率加法公式；等可能事件的概率；相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【分析】 (1)根据题意设为选手答对题，其中i=1，2，3，设挑战结束后，选手甲共答对2道题为事件A，选手甲共答对2道，即选手甲前2题答对且第3题答错，可得，再结合相互独立事件概率乘法公式，即可求解。
(2)由已知条件即可得出设挑战结束时，选手甲恰好作答了2道题为事件B，选手甲恰好作答了2道题即选手甲第一题答错或第一题答对且第2题答错，即，结合概率的加法公式和事件独立性的定义，即可求解。
(3)根据题意设选手甲挑战成功为事件C，若选手甲挑战成功，则选手甲共作答了3道题，且选手甲只可能作答2题或3道题，“选手甲闯关成功”是“选手甲恰好作答了2道题”的对立事件，结合对立事件的性质，即可求解。
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