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高中数学人教A版（2019）选择性必修三 第七章 随机变量及其分布列 7.1 条件概率与全概率公式
一、单选题
1．（2022高二下·合肥期中）深受广大球迷喜爱的某支足球队在对球员的使用上总是进行数据分析，根据以往的数据统计，乙球员能够胜任前锋、中锋、后卫以及守门员四个位置，且出场率分别为0.2，0.5，0.2，0.1，当乙球员担当前锋、中锋、后卫以及守门员时，球队输球的概率依次为0.4，0.2，0.6，0.2．当乙球员参加比赛时，该球队某场比赛不输球的概率为（ ）
A．0.3 B．0.32 C．0.68 D．0.7
2．（2022高二下·湖州期中）袋中有 个球，其中红黄蓝白黑球各一个，甲乙两人按序从袋中有放回的随机摸取一球，记事件A：甲和乙至少一人摸到红球，事件B：甲和乙摸到的球颜色不同，则条件概率 （ ）
A． B． C． D．
3．（2022高二下·盐田月考）巨星勒布朗-詹姆斯在球场上能够胜任控球后卫、小前锋、大前锋、中锋四个位置，根据以往数据，他担任控球后卫、小前锋、大前锋、中锋出场率分别为0.2，0.4，0.3，0.1，当他担任控球后卫、小前锋、大前锋、中锋时，球队输球的概率依次为0.4，0.2，0.6，0.2.当他参加比赛时，该球队某场比赛输球的概率为（ ）
A．0.4 B．0.64 C．0.36 D．0.6
4．（2022高二下·盐田月考）一袋中装有除颜色外完全相同的3个黑球和2个白球，先后两次从袋中不放回的各取一球.已知第一次取出的是白球，则第二次取出的是黑球的概率为（ ）
A． B． C． D．
5．两台车床加工同样的零件，第一台出现废品的概率为0.03，第二台出现废品的概率为0.02，加工出来的零件放在一起，现已知第一台加工的零件比第二台加工的零件多一倍，则任意取出一个零件是合格品的概率是（ ）
A． B． C． D．
6．某卡车为乡村小学运送书籍，共装有10个纸箱，其中5箱英语书、2箱数学书、3箱语文书.到目的地时发现丢失一箱，但不知丢失哪一箱，现从剩下的9箱中任意打开两箱，结果都是英语书的概率为（ ）
A． B． C． D．
7．设袋中有12个球，其中9个新球、3个旧球，第一次比赛取3球，比赛后放回，第二次比赛再任取3球，则第二次比赛取得3个新球的概率为（ ）
A． B． C． D．
8．已知P(B|A)＝ ，P(A)＝ ，则P(AB)＝（ ）
A． B． C． D．
9．有歌唱道：“江西是个好地方，山清水秀好风光．”现有甲、乙两位游客慕名来到江西旅游，分别准备从庐山、三清山、龙虎山和明月山4个著名旅游景点中随机选择其中一个景点游玩， 记事件A：甲和乙至少一人选择庐山，事件B：甲和乙选择的景点不同．则条件概率P(B|A)＝（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
10．（2022·潍坊模拟）已知事件，满足，且，则一定有（ ）
A． B．
C． D．
11．（2022高二下·盐田月考）一口袋中有大小和质地相同的5个红球和2个白球，则下列结论正确的是（ ）
A．从中任取3球，恰有一个红球的概率是
B．从中有放回的取球3次，每次任取一球，恰好有两个白球的概率为
C．从中不放回的取球2次，每次任取1球，若第一次已取到了红球，则第二次再次取到红球的概率为
D．从中有放回的取球次，每次任取一球，则至少有一次取到白球的概率为
12．（2022·烟台模拟）甲罐中有3个红球、2个黑球，乙罐中有2个红球、2个黑球，先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，以A表示事件“由甲罐取出的球是红球”，再从乙罐中随机取出一球，以B表示事件“由乙罐取出的球是红球”，则（ ）
A． B． C． D．
13．（2022·株洲模拟）甲罐中有5个红球，5个白球，乙罐中有3个红球，7个白球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，再从乙罐中随机取出一球．表示事件“从甲罐取出的球是红球”，表示事件“从甲罐取出的球是白球”，B表示事件“从乙罐取出的球是红球”．则下列结论正确的是（ ）
A．、为对立事件 B．
C． D．
三、填空题
14．（2022高二下·南京期中）先后抛掷一颗质地均匀的骰子两次，观察向上的点数.在第一次向上点数为偶数的条件下两次点数和不小于5的概率为 .
15．（2022高二下·温州期中）人们为了解一支股票未来一定时期内价格的变化，往往会去分析影响股票价格的基本因素，比如利率的变化．现假设人们经分析估计利率下调的概率为50%，利率不变的概率为40%，利率上调时股票不会上涨.根据经验，人们估计，在利率下调的情况下，该支股票价格上涨的概率为70%．而在利率不变的情况下，其价格上涨的概率为40%，则该支股票将上涨的概率为 ．
16．一道有5个选项的考题，其中只有一个选项是正确的.假定应考人知道正确答案的概率为p.如果他最后选对了，则他确实知道答案的概率是 Ｗ.
四、解答题
17．某电子设备制造厂所用的元件是由三家元件制造厂提供的，根据以往的记录有以下的数据：
元件制造厂 次品率 提供元件的份额
1 0.02 0.15
2 0.01 0.80
3 0.03 0.05
设这三家工厂的产品在仓库中是均匀混合的，且无区别的标志.
（1）在仓库中随机地取一只元件，求它是次品的概率；
（2）在仓库中随机地取一只元件，若已知取到的是次品，为分析此次品出自何厂，需求出此次品由三家工厂生产的概率分别是多少.请你分别求出此次品由三家工厂生产的概率.
18．盒中有a个红球、b个黑球，今随机地从中取出一个，观察其颜色后放回，并加上同色球c个，再从盒中第二次抽取一球，求第二次抽出的是黑球的概率.
19．（2022高二下·三明期中）甲箱的产品中有5个正品和3个次品，乙箱的产品中有4个正品和3个次品．
（1）如果是依次不放回地从乙箱中抽取2个产品，求第2次取到次品的概率；
（2）若从甲箱中任取2个产品放入乙箱中，然后再从乙箱中任取一个产品，已知从乙箱中取出的这个产品是正品，求从甲箱中取出的是2个正品的概率．
20．（2021高二下·淄博期末）设5支枪中有2支未经试射校正，3支已校正.一射手用校正过的枪射击，中靶率为0.9，用未校正过的枪射击，中靶率为0.4.
（1）该射手任取一支枪射击，中靶的概率是多少？
（2）若任取一支枪射击，结果未中靶，求该枪未校正的概率.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】相互独立事件的概率乘法公式；条件概率与独立事件
【解析】【解答】设表示“乙球员担当前锋”，表示“乙球员担当中锋”，表示“乙球员担当后卫”，表示“乙球员担当守门员”，B表示“当乙球员参加比赛时，球队输球”．
则
，
所以当乙球员参加比赛时，该球队某场比赛不输球的概率为．
故答案为：C．
【分析】根据题意由条件概率的定义，结合已知条件再由对立事件的概率公式计算出答案。
2．【答案】D
【知识点】古典概型及其概率计算公式；条件概率与独立事件
【解析】【解答】解：由题意可知，事件AB：甲、 乙只有一人摸到红球，
则，
则.
故答案为：D
【分析】分别求出P( AB )和P( A)的值，利用条件概率公式可求得所求事件的概率.
3．【答案】C
【知识点】条件概率与独立事件；全概率公式
【解析】【解答】设A1表示他担任控球后卫、A2表示他担任小前锋、A3表示他担任大前锋、A4表示他担任中锋.设B表示球队某场比赛输球.
则
.
故答案为：C
【分析】设A1表示他担任控球后卫、A2表示他担任小前锋、A3表示他担任大前锋、A4表示他担任中锋.设B表示球队某场比赛输球.由即可求解。
4．【答案】C
【知识点】条件概率与独立事件
【解析】【解答】由题意知，在第一次取出的是白球后，袋中剩余黑球3个和白球1个，
所以已知第一次取出的是白球，则第二次取出的是黑球的概率为 ，
故答案为：C
【分析】由条件概率即可计算。
5．【答案】C
【知识点】互斥事件与对立事件；条件概率与独立事件
【解析】【解答】设事件Ai＝“任意取出一个零件是第i台机床生产的”，i＝1，2，事件B＝“任意取出一个零件是合格品”，则Ω＝A1∪A2，且A1，A2互斥，
所以 。
故答案为：C
【分析】利用已知条件结合对立事件求概率公式、条件概型求概率公式和互斥事件加法求概率公式，进而得出任意取出一个零件是合格品的概率。
6．【答案】C
【知识点】互斥事件的概率加法公式；条件概率与独立事件；简单计数与排列组合
【解析】【解答】用事件A表示“丢失一箱后任取两箱是英语书”，用事件Bk表示“丢失的一箱为第k箱”，
k＝1，2，3分别表示英语书、数学书、语文书，则Ω＝B1∪B2∪B3，且B1，B2，B3两两互斥，由全概率公式，得出P(A)＝ 。
故答案为：C
【分析】利用已知条件结合互斥事件加法求概率公式和条件概型求概率公式，再结合全概率公式得出 从剩下的9箱中任意打开两箱，结果都是英语书的概率 。
7．【答案】A
【知识点】条件概率与独立事件；简单计数与排列组合
【解析】【解答】设Ai＝“第一次比赛恰取出i个新球(i＝0，1，2，3)”，B＝“第二次比赛取得3个新球”.
所以
故答案为：A
【分析】利用已知条件结合条件概型求概率公式和互斥事件加法求概率公式，进而得出第二次比赛取得3个新球的概率。
8．【答案】C
【知识点】条件概率与独立事件
【解析】【解答】P(AB)＝P(B|A)P(A)＝ 。
【分析】利用已知条件结合条件概型求概率公式，进而得出P(AB)的值。
9．【答案】D
【知识点】条件概率与独立事件
【解析】【解答】甲和乙至少一人选择庐山对应的样本点有4×4－3×3＝7(个)，因为甲和乙选择的景点不同对应的样本点有 × ＝6(个)，所以P(B|A)＝ 。
【分析】利用已知条件结合组合数公式以及条件概型求概率公式，进而得出 P(B|A) 的值。
10．【答案】B,C
【知识点】概率的基本性质；条件概率与独立事件
【解析】【解答】对于A
因为，所以，所以
A不符合题意
对于B
因为，所以，所以
B符合题意
对于C
因为，所以，所以
C符合题意
对于D
因为，所以，所以
若，则，
D不符合题意
故答案为：BC
【分析】对于A：由题意得，即可判断A不符合题意；
对于B：由题意得，即即可判断B符合题意；
对于C：由题意得，，即可判断C符合题意；
对于D：由题意得，若，则，即可判断D不符合题意.
11．【答案】A,D
【知识点】相互独立事件的概率乘法公式；n次独立重复试验中恰好发生k次的概率；条件概率与独立事件
【解析】【解答】对于A选项，从中任取球，恰有一个红球的概率是，A对；
对于B选项，从中有放回的取球次，每次任取一球，每次抽到白球的概率为，
则次取球中恰好有两个白球的概率为，B不符合题意；
对于C选项，从中不放回的取球2次，每次任取球，
记事件第一次取到红球，记事件第二次取到红球，
则，C不符合题意；
对于D选项，从中有放回的取球3次，每次任取一球，则至少有一次取到白球的概率，D对.
故答案为：AD.
【分析】由古典概率概率计算公式可判断A，由独立重复事件概率计算可判断B，由条件概率计算公式可判断C，由间接法，求得3球都是红球的概率即可判断D.
12．【答案】A,C,D
【知识点】条件概率与独立事件；概率的应用
【解析】【解答】因为甲罐中有3个红球、2个黑球，所以 ，A符合题意；
因为 ，所以C符合题意；
因为 ，所以 ，因此D符合题意；
因为 ，所以B不正确。
故答案为：ACD
【分析】利用已知条件结合古典概型求概率公式得出事件A的概率，再结合独立事件乘法求概率公式和互斥事件加法求概率公式得出事件B的概率，再结合条件概率公式得出 和 的值，进而找出正确的选项。
13．【答案】A,B
【知识点】互斥事件与对立事件；条件概率与独立事件
【解析】【解答】因为甲罐中只有红球和白球，所以A符合题意；当发生时，乙罐中有4个红球，7个白球，此时B发生的概率为，B符合题意；当发生时，乙罐中有3个红球，8个白球，此时B发生的概率为，D不正确；，故 C不正确.
故答案为：AB
【分析】 根据事件B是在事件或发生之后求解，逐项进行分析，可得答案.
14．【答案】
【知识点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；条件概率与独立事件
【解析】【解答】先后抛掷一颗质地均匀的骰子两次，观察向上的点数，设“第一次向上点数为偶数”是事件A，设“两次点数之和不小于5”为事件B，
则，
设第一次和第二次点数构成数组(x，y)，x、y∈{1，2，3，4，5，6}，
则第一次向上点数为偶数且两次点数和不小于5有：(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，(4，5)，(4，6)，(6，1)，(6，2)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，(6，6)共4＋6＋6＝16种可能组合，
即16，
∴在第一次向上点数为偶数的条件下两次点数和不小于5的概率为．
故答案为：﹒
【分析】根据题意由已知条件用列举法求出事件的个数，再由题意把结果代入到条件概率由此计算出答案。
15．【答案】51%
【知识点】条件概率与独立事件
【解析】【解答】记 为事件“利率下调”，那么 即为“利率不变”，
记 为事件“股票价格上涨”依题设知
，
于是
所以该支股票将上涨的概率为51%.
故答案为：51%
【分析】根据条件概率公式及相互独立事件，再利用概率的加法公式即可求解.
16．【答案】
【知识点】互斥事件与对立事件；互斥事件的概率加法公式；条件概率与独立事件
【解析】【解答】设A＝{知道答案}，B＝{选择正确}，由题意可知P(B| )＝ ，P(B|A)＝1，P(AB)＝P(A)＝p，由全概率公式P(B)＝P(B|A)P(A)＋P(B| )P( )＝p＋
得到 。
答案： 。
【分析】利用已知条件结合对立事件求概率公式、独立事件乘法求概率公式、互斥事件加法求概率公式和条件概型求概率公式，进而得出应考人确实知道答案的概率。
17．【答案】（1）解：设事件B表示“取到的是一只次品”，事件Ai(i＝1，2，3)表示“所取到的产品是由第i家工厂提供的”.则A1∪A2∪A3＝Ω，且A1，A2，A3两两互斥，且P(A1)＝0.15，P(A2)＝0.80，P(A3)＝0.05，
P(B|A1)＝0.02，P(B|A2)＝0.01，P(B|A3)＝0.03.(1)由全概率公式得
P(B)＝P(B|A1)P(A1)＋P(B|A2)P(A2)＋P(B|A3)·P(A3)＝0.0125.
（2）解：由贝叶斯公式得
=0.24
=0.64
P(A3|B)＝ ＝0.12.
故此次品由三家工厂生产的概率分别为0.24，0.64，0.12.
【知识点】互斥事件的概率加法公式；相互独立事件的概率乘法公式；条件概率与独立事件
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合互斥事件加法求概率公式、条件概型求概率公式和全概率公式，进而得出在仓库中随机地取一只元件，则它是次品的概率。
（2）利用已知条件结合贝叶斯公式，从而分别求出此次品由三家工厂生产的概率。
18．【答案】解：设事件 第一次抽出的是黒球 ， 事件 第二次抽出的是黒球 ， 则 ， 由全概率公式得 ，
由题意 ， 所以 ， 即第二次抽出的是黑球
的概率为
【知识点】互斥事件与对立事件；互斥事件的概率加法公式；条件概率与独立事件
【解析】【分析】利用已知条件结合条件概型求概率公式和独立事件乘法求概率公式以及互斥事件加法求概率公式，进而得出第二次抽出的是黑球的概率。
19．【答案】（1）解：设“第次从乙箱中取到次品”，；
则，，，
.
（2）解：设事件“从乙箱中取一个正品”，事件“从甲箱中取出2个产品都是正品”，事件 “从甲箱中取出1个正品1个次品”，事件 “从甲箱中取出2个产品都是次品”，则彼此互斥，且，
则，，，，，，
，
从甲箱中取出的是2个正品的概率即为发生的条件下发生的概率，
.
【知识点】互斥事件的概率加法公式；相互独立事件的概率乘法公式；条件概率与独立事件
【解析】【分析】(1)由条件概率公式，结合题意代入数值计算出结果。
(2)根据题意由古典概率以及概率加法和条件概率的定义，代入数值计算出结果即可。
20．【答案】（1）设A表示枪已校正，B表示射击中靶，
则 ， ， ，
， ， ，
由全概率公式可得
.
（2）由题意可得
.
【知识点】概率的意义；条件概率与独立事件
【解析】【分析】(1)首先由条件概率的公式计算出数值，再结合全概率的公式代入数值计算出结果即可。
(2)由条件概率的公式代入数值计算出结果即可。
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高中数学人教A版（2019）选择性必修三 第七章 随机变量及其分布列 7.1 条件概率与全概率公式
一、单选题
1．（2022高二下·合肥期中）深受广大球迷喜爱的某支足球队在对球员的使用上总是进行数据分析，根据以往的数据统计，乙球员能够胜任前锋、中锋、后卫以及守门员四个位置，且出场率分别为0.2，0.5，0.2，0.1，当乙球员担当前锋、中锋、后卫以及守门员时，球队输球的概率依次为0.4，0.2，0.6，0.2．当乙球员参加比赛时，该球队某场比赛不输球的概率为（ ）
A．0.3 B．0.32 C．0.68 D．0.7
【答案】C
【知识点】相互独立事件的概率乘法公式；条件概率与独立事件
【解析】【解答】设表示“乙球员担当前锋”，表示“乙球员担当中锋”，表示“乙球员担当后卫”，表示“乙球员担当守门员”，B表示“当乙球员参加比赛时，球队输球”．
则
，
所以当乙球员参加比赛时，该球队某场比赛不输球的概率为．
故答案为：C．
【分析】根据题意由条件概率的定义，结合已知条件再由对立事件的概率公式计算出答案。
2．（2022高二下·湖州期中）袋中有 个球，其中红黄蓝白黑球各一个，甲乙两人按序从袋中有放回的随机摸取一球，记事件A：甲和乙至少一人摸到红球，事件B：甲和乙摸到的球颜色不同，则条件概率 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】古典概型及其概率计算公式；条件概率与独立事件
【解析】【解答】解：由题意可知，事件AB：甲、 乙只有一人摸到红球，
则，
则.
故答案为：D
【分析】分别求出P( AB )和P( A)的值，利用条件概率公式可求得所求事件的概率.
3．（2022高二下·盐田月考）巨星勒布朗-詹姆斯在球场上能够胜任控球后卫、小前锋、大前锋、中锋四个位置，根据以往数据，他担任控球后卫、小前锋、大前锋、中锋出场率分别为0.2，0.4，0.3，0.1，当他担任控球后卫、小前锋、大前锋、中锋时，球队输球的概率依次为0.4，0.2，0.6，0.2.当他参加比赛时，该球队某场比赛输球的概率为（ ）
A．0.4 B．0.64 C．0.36 D．0.6
【答案】C
【知识点】条件概率与独立事件；全概率公式
【解析】【解答】设A1表示他担任控球后卫、A2表示他担任小前锋、A3表示他担任大前锋、A4表示他担任中锋.设B表示球队某场比赛输球.
则
.
故答案为：C
【分析】设A1表示他担任控球后卫、A2表示他担任小前锋、A3表示他担任大前锋、A4表示他担任中锋.设B表示球队某场比赛输球.由即可求解。
4．（2022高二下·盐田月考）一袋中装有除颜色外完全相同的3个黑球和2个白球，先后两次从袋中不放回的各取一球.已知第一次取出的是白球，则第二次取出的是黑球的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】条件概率与独立事件
【解析】【解答】由题意知，在第一次取出的是白球后，袋中剩余黑球3个和白球1个，
所以已知第一次取出的是白球，则第二次取出的是黑球的概率为 ，
故答案为：C
【分析】由条件概率即可计算。
5．两台车床加工同样的零件，第一台出现废品的概率为0.03，第二台出现废品的概率为0.02，加工出来的零件放在一起，现已知第一台加工的零件比第二台加工的零件多一倍，则任意取出一个零件是合格品的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】互斥事件与对立事件；条件概率与独立事件
【解析】【解答】设事件Ai＝“任意取出一个零件是第i台机床生产的”，i＝1，2，事件B＝“任意取出一个零件是合格品”，则Ω＝A1∪A2，且A1，A2互斥，
所以 。
故答案为：C
【分析】利用已知条件结合对立事件求概率公式、条件概型求概率公式和互斥事件加法求概率公式，进而得出任意取出一个零件是合格品的概率。
6．某卡车为乡村小学运送书籍，共装有10个纸箱，其中5箱英语书、2箱数学书、3箱语文书.到目的地时发现丢失一箱，但不知丢失哪一箱，现从剩下的9箱中任意打开两箱，结果都是英语书的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】互斥事件的概率加法公式；条件概率与独立事件；简单计数与排列组合
【解析】【解答】用事件A表示“丢失一箱后任取两箱是英语书”，用事件Bk表示“丢失的一箱为第k箱”，
k＝1，2，3分别表示英语书、数学书、语文书，则Ω＝B1∪B2∪B3，且B1，B2，B3两两互斥，由全概率公式，得出P(A)＝ 。
故答案为：C
【分析】利用已知条件结合互斥事件加法求概率公式和条件概型求概率公式，再结合全概率公式得出 从剩下的9箱中任意打开两箱，结果都是英语书的概率 。
7．设袋中有12个球，其中9个新球、3个旧球，第一次比赛取3球，比赛后放回，第二次比赛再任取3球，则第二次比赛取得3个新球的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】条件概率与独立事件；简单计数与排列组合
【解析】【解答】设Ai＝“第一次比赛恰取出i个新球(i＝0，1，2，3)”，B＝“第二次比赛取得3个新球”.
所以
故答案为：A
【分析】利用已知条件结合条件概型求概率公式和互斥事件加法求概率公式，进而得出第二次比赛取得3个新球的概率。
8．已知P(B|A)＝ ，P(A)＝ ，则P(AB)＝（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】条件概率与独立事件
【解析】【解答】P(AB)＝P(B|A)P(A)＝ 。
【分析】利用已知条件结合条件概型求概率公式，进而得出P(AB)的值。
9．有歌唱道：“江西是个好地方，山清水秀好风光．”现有甲、乙两位游客慕名来到江西旅游，分别准备从庐山、三清山、龙虎山和明月山4个著名旅游景点中随机选择其中一个景点游玩， 记事件A：甲和乙至少一人选择庐山，事件B：甲和乙选择的景点不同．则条件概率P(B|A)＝（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】条件概率与独立事件
【解析】【解答】甲和乙至少一人选择庐山对应的样本点有4×4－3×3＝7(个)，因为甲和乙选择的景点不同对应的样本点有 × ＝6(个)，所以P(B|A)＝ 。
【分析】利用已知条件结合组合数公式以及条件概型求概率公式，进而得出 P(B|A) 的值。
二、多选题
10．（2022·潍坊模拟）已知事件，满足，且，则一定有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B,C
【知识点】概率的基本性质；条件概率与独立事件
【解析】【解答】对于A
因为，所以，所以
A不符合题意
对于B
因为，所以，所以
B符合题意
对于C
因为，所以，所以
C符合题意
对于D
因为，所以，所以
若，则，
D不符合题意
故答案为：BC
【分析】对于A：由题意得，即可判断A不符合题意；
对于B：由题意得，即即可判断B符合题意；
对于C：由题意得，，即可判断C符合题意；
对于D：由题意得，若，则，即可判断D不符合题意.
11．（2022高二下·盐田月考）一口袋中有大小和质地相同的5个红球和2个白球，则下列结论正确的是（ ）
A．从中任取3球，恰有一个红球的概率是
B．从中有放回的取球3次，每次任取一球，恰好有两个白球的概率为
C．从中不放回的取球2次，每次任取1球，若第一次已取到了红球，则第二次再次取到红球的概率为
D．从中有放回的取球次，每次任取一球，则至少有一次取到白球的概率为
【答案】A,D
【知识点】相互独立事件的概率乘法公式；n次独立重复试验中恰好发生k次的概率；条件概率与独立事件
【解析】【解答】对于A选项，从中任取球，恰有一个红球的概率是，A对；
对于B选项，从中有放回的取球次，每次任取一球，每次抽到白球的概率为，
则次取球中恰好有两个白球的概率为，B不符合题意；
对于C选项，从中不放回的取球2次，每次任取球，
记事件第一次取到红球，记事件第二次取到红球，
则，C不符合题意；
对于D选项，从中有放回的取球3次，每次任取一球，则至少有一次取到白球的概率，D对.
故答案为：AD.
【分析】由古典概率概率计算公式可判断A，由独立重复事件概率计算可判断B，由条件概率计算公式可判断C，由间接法，求得3球都是红球的概率即可判断D.
12．（2022·烟台模拟）甲罐中有3个红球、2个黑球，乙罐中有2个红球、2个黑球，先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，以A表示事件“由甲罐取出的球是红球”，再从乙罐中随机取出一球，以B表示事件“由乙罐取出的球是红球”，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A,C,D
【知识点】条件概率与独立事件；概率的应用
【解析】【解答】因为甲罐中有3个红球、2个黑球，所以 ，A符合题意；
因为 ，所以C符合题意；
因为 ，所以 ，因此D符合题意；
因为 ，所以B不正确。
故答案为：ACD
【分析】利用已知条件结合古典概型求概率公式得出事件A的概率，再结合独立事件乘法求概率公式和互斥事件加法求概率公式得出事件B的概率，再结合条件概率公式得出 和 的值，进而找出正确的选项。
13．（2022·株洲模拟）甲罐中有5个红球，5个白球，乙罐中有3个红球，7个白球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，再从乙罐中随机取出一球．表示事件“从甲罐取出的球是红球”，表示事件“从甲罐取出的球是白球”，B表示事件“从乙罐取出的球是红球”．则下列结论正确的是（ ）
A．、为对立事件 B．
C． D．
【答案】A,B
【知识点】互斥事件与对立事件；条件概率与独立事件
【解析】【解答】因为甲罐中只有红球和白球，所以A符合题意；当发生时，乙罐中有4个红球，7个白球，此时B发生的概率为，B符合题意；当发生时，乙罐中有3个红球，8个白球，此时B发生的概率为，D不正确；，故 C不正确.
故答案为：AB
【分析】 根据事件B是在事件或发生之后求解，逐项进行分析，可得答案.
三、填空题
14．（2022高二下·南京期中）先后抛掷一颗质地均匀的骰子两次，观察向上的点数.在第一次向上点数为偶数的条件下两次点数和不小于5的概率为 .
【答案】
【知识点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；条件概率与独立事件
【解析】【解答】先后抛掷一颗质地均匀的骰子两次，观察向上的点数，设“第一次向上点数为偶数”是事件A，设“两次点数之和不小于5”为事件B，
则，
设第一次和第二次点数构成数组(x，y)，x、y∈{1，2，3，4，5，6}，
则第一次向上点数为偶数且两次点数和不小于5有：(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，(4，5)，(4，6)，(6，1)，(6，2)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，(6，6)共4＋6＋6＝16种可能组合，
即16，
∴在第一次向上点数为偶数的条件下两次点数和不小于5的概率为．
故答案为：﹒
【分析】根据题意由已知条件用列举法求出事件的个数，再由题意把结果代入到条件概率由此计算出答案。
15．（2022高二下·温州期中）人们为了解一支股票未来一定时期内价格的变化，往往会去分析影响股票价格的基本因素，比如利率的变化．现假设人们经分析估计利率下调的概率为50%，利率不变的概率为40%，利率上调时股票不会上涨.根据经验，人们估计，在利率下调的情况下，该支股票价格上涨的概率为70%．而在利率不变的情况下，其价格上涨的概率为40%，则该支股票将上涨的概率为 ．
【答案】51%
【知识点】条件概率与独立事件
【解析】【解答】记 为事件“利率下调”，那么 即为“利率不变”，
记 为事件“股票价格上涨”依题设知
，
于是
所以该支股票将上涨的概率为51%.
故答案为：51%
【分析】根据条件概率公式及相互独立事件，再利用概率的加法公式即可求解.
16．一道有5个选项的考题，其中只有一个选项是正确的.假定应考人知道正确答案的概率为p.如果他最后选对了，则他确实知道答案的概率是 Ｗ.
【答案】
【知识点】互斥事件与对立事件；互斥事件的概率加法公式；条件概率与独立事件
【解析】【解答】设A＝{知道答案}，B＝{选择正确}，由题意可知P(B| )＝ ，P(B|A)＝1，P(AB)＝P(A)＝p，由全概率公式P(B)＝P(B|A)P(A)＋P(B| )P( )＝p＋
得到 。
答案： 。
【分析】利用已知条件结合对立事件求概率公式、独立事件乘法求概率公式、互斥事件加法求概率公式和条件概型求概率公式，进而得出应考人确实知道答案的概率。
四、解答题
17．某电子设备制造厂所用的元件是由三家元件制造厂提供的，根据以往的记录有以下的数据：
元件制造厂 次品率 提供元件的份额
1 0.02 0.15
2 0.01 0.80
3 0.03 0.05
设这三家工厂的产品在仓库中是均匀混合的，且无区别的标志.
（1）在仓库中随机地取一只元件，求它是次品的概率；
（2）在仓库中随机地取一只元件，若已知取到的是次品，为分析此次品出自何厂，需求出此次品由三家工厂生产的概率分别是多少.请你分别求出此次品由三家工厂生产的概率.
【答案】（1）解：设事件B表示“取到的是一只次品”，事件Ai(i＝1，2，3)表示“所取到的产品是由第i家工厂提供的”.则A1∪A2∪A3＝Ω，且A1，A2，A3两两互斥，且P(A1)＝0.15，P(A2)＝0.80，P(A3)＝0.05，
P(B|A1)＝0.02，P(B|A2)＝0.01，P(B|A3)＝0.03.(1)由全概率公式得
P(B)＝P(B|A1)P(A1)＋P(B|A2)P(A2)＋P(B|A3)·P(A3)＝0.0125.
（2）解：由贝叶斯公式得
=0.24
=0.64
P(A3|B)＝ ＝0.12.
故此次品由三家工厂生产的概率分别为0.24，0.64，0.12.
【知识点】互斥事件的概率加法公式；相互独立事件的概率乘法公式；条件概率与独立事件
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合互斥事件加法求概率公式、条件概型求概率公式和全概率公式，进而得出在仓库中随机地取一只元件，则它是次品的概率。
（2）利用已知条件结合贝叶斯公式，从而分别求出此次品由三家工厂生产的概率。
18．盒中有a个红球、b个黑球，今随机地从中取出一个，观察其颜色后放回，并加上同色球c个，再从盒中第二次抽取一球，求第二次抽出的是黑球的概率.
【答案】解：设事件 第一次抽出的是黒球 ， 事件 第二次抽出的是黒球 ， 则 ， 由全概率公式得 ，
由题意 ， 所以 ， 即第二次抽出的是黑球
的概率为
【知识点】互斥事件与对立事件；互斥事件的概率加法公式；条件概率与独立事件
【解析】【分析】利用已知条件结合条件概型求概率公式和独立事件乘法求概率公式以及互斥事件加法求概率公式，进而得出第二次抽出的是黑球的概率。
19．（2022高二下·三明期中）甲箱的产品中有5个正品和3个次品，乙箱的产品中有4个正品和3个次品．
（1）如果是依次不放回地从乙箱中抽取2个产品，求第2次取到次品的概率；
（2）若从甲箱中任取2个产品放入乙箱中，然后再从乙箱中任取一个产品，已知从乙箱中取出的这个产品是正品，求从甲箱中取出的是2个正品的概率．
【答案】（1）解：设“第次从乙箱中取到次品”，；
则，，，
.
（2）解：设事件“从乙箱中取一个正品”，事件“从甲箱中取出2个产品都是正品”，事件 “从甲箱中取出1个正品1个次品”，事件 “从甲箱中取出2个产品都是次品”，则彼此互斥，且，
则，，，，，，
，
从甲箱中取出的是2个正品的概率即为发生的条件下发生的概率，
.
【知识点】互斥事件的概率加法公式；相互独立事件的概率乘法公式；条件概率与独立事件
【解析】【分析】(1)由条件概率公式，结合题意代入数值计算出结果。
(2)根据题意由古典概率以及概率加法和条件概率的定义，代入数值计算出结果即可。
20．（2021高二下·淄博期末）设5支枪中有2支未经试射校正，3支已校正.一射手用校正过的枪射击，中靶率为0.9，用未校正过的枪射击，中靶率为0.4.
（1）该射手任取一支枪射击，中靶的概率是多少？
（2）若任取一支枪射击，结果未中靶，求该枪未校正的概率.
【答案】（1）设A表示枪已校正，B表示射击中靶，
则 ， ， ，
， ， ，
由全概率公式可得
.
（2）由题意可得
.
【知识点】概率的意义；条件概率与独立事件
【解析】【分析】(1)首先由条件概率的公式计算出数值，再结合全概率的公式代入数值计算出结果即可。
(2)由条件概率的公式代入数值计算出结果即可。
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