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高中数学人教A版（2019）选择性必修三 第七章 随机变量及其分布列 7.2 离散型随机变量及其分布列
一、单选题
1．（2022高二下·温州期中）随机变量X的分布列如下表，其中a，b，c成等差数列
X 2 4 6
P a b c
则 （ ）
A． B． C． D．
2．（2022高二下·合肥期中）若离散型随机变量X的分布列服从两点分布，且，则p=（ ）
A． B． C． D．
3．（2022高二下·玉环月考）若随机变量 的分布列如下表所示，则 的值为( )
1 2 3
0.2
A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.42
4．（2022·贺州模拟）随机变量的分布列为
0 1
则等于（ ）
A． B． C． D．
5．（2021高二下·哈尔滨期末）已知离散型随机变量 的分布列如表所示，则常数 为（ ）
0 1
A． B． C． 或 D．
6．（2022高二下·贵州期末）在18个村庄中有8个村庄交通不便，现从中任意选9个村庄，用 表示这9个村庄中交通不便的村庄个数，则 （ ）
A． B．
C． D．
7．（2021高二下·河北期末）将5把串在一起的钥匙逐一试开一把锁，其中只有一把能打开锁，依次试验，打不开的扔掉，直到找到能打开锁的钥匙为止，则试验次数 的最大可能取值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
二、填空题
8．（2022高二下·三明期中）设随机变量的分布列为，则 .
9．（2022高二下·合肥期中）已知随机变量X的分布列如下：
X 1 2 3 4 5
P 0.1 0.2 0.4 0.1
若Y＝2X－3，则的值为 ．
三、解答题
10．（2022高二下·三明期中）第24届冬季奥林匹克运动会（The XXIV Olympic Winter Games），即2022年北京冬季奥运会，于2022年2月4日星期五开幕，2月20日星期日闭幕．北京冬季奥运会设7个大项，15个分项，109个小项．北京赛区承办所有的冰上项目；延庆赛区承办雪车、雪橇及高山滑雪项目；张家口赛区的崇礼区承办除雪车、雪橇及高山滑雪之外的所有雪上项目．某运动队拟派出甲、乙、丙三人去参加自由式滑雪．比赛分为初赛和决赛，其中初赛有两轮，只有两轮都获胜才能进入决赛．已知甲在每轮比赛中获胜的概率均为；乙在第一轮和第二轮比赛中获胜的概率分别为和；丙在第一轮和第二轮获胜的概率分别是和，其中．
（1）甲、乙、丙三人中，谁进入决赛的可能性最大；
（2）若甲、乙、丙三人都进入决赛的概率为，设进入决赛的人数为，求的分布列．
11．（2022高二下·盐田月考）袋中有3个红球，4个黑球，从袋中任取4个球.
（1）求红球个数的分布列；
（2）若取到一个红球得2分，取到一个黑球得1分，求得分不小于6分的概率.
12．（2022高二下·临沂期中）流行性感冒多由病毒引起，据调查，空气月平均相对湿度过大或过小时，都有利于一些病毒繁殖和传播．科学测定，当空气月平均相对湿度大于65%或小于40%时，有利于病毒繁殖和传播．下表记录了某年甲、乙两个城市12个月的空气月平均相对湿度．
第一季度 第二季度 第三季度 第四季度
1月 2月 3月 4月 5月 6月 7月 8月 9月 10月 11月 12月
甲地 54% 39% 46% 54% 56% 67% 64% 66% 78% 72% 72% 59%
乙地 38% 34% 31% 42% 54% 66% 69% 65% 62% 70% a% b%
（1）从上表12个月中，随机取出1个月，求该月甲地空气月平均相对湿度有利于病毒繁殖和传播的概率；
（2）从上表第一季度和第二季度的6个月中随机取出2个月，记这2个月中甲、乙两地空气月平均相对湿度都有利于病毒繁殖和传播的月份的个数为X，求X的分布列；
（3）若，设乙地上表12个月的空气月平均相对湿度的中位数为M，求M的最大值和最小值．（只需写出结论）
答案解析部分
1．【答案】D
【考点】等差数列的性质；离散型随机变量及其分布列
【解析】【解答】因为a，b，c成等差数列，所以 ，
由随机变量X分布列的性质知， ，
联立 ，解得 ，
所以 .
故答案为：D.
【分析】由 a，b，c成等差数列可得，根据随机变量分布列性质得，联立即可求解.
2．【答案】D
【考点】分布的意义和作用；离散型随机变量及其分布列
【解析】【解答】因为X的分布列服从两点分布，所以，
由，
所以，所以，
故答案为：D
【分析】根据题意由两点分布的性质，代入数值计算出结果即可。
3．【答案】B
【考点】离散型随机变量及其分布列
【解析】【解答】解：由题意得0.2+a+3a=1，解得a=0.2.
故答案为：B
【分析】由分布列的性质，直接得0.2+a+3a=1，解方程即可得答案.
4．【答案】C
【考点】离散型随机变量及其分布列
【解析】【解答】
.
故答案为：C
【分析】由分布列的性质：概率和为1即可求解。
5．【答案】A
【考点】离散型随机变量及其分布列
【解析】【解答】解：由题意得，解得,
故答案为：A
【分析】根据离散型随机变量分布列的性质直接求解即可.
6．【答案】D
【考点】离散型随机变量及其分布列
【解析】【解答】由已知 。
故答案为：D．
【分析】利用已知条件结合随机变量的分布列，从而求出的值。
7．【答案】C
【考点】离散型随机变量及其分布列
【解析】【解答】解：由于是依次试验，可能前4次都打不开锁，那么剩下的钥匙一定能打开锁，
所以试验次数 的最大可能取值为4。
故答案为：C
【分析】利用已知条件结合试验的方法，从而求出试验次数 的最大可能取值。
8．【答案】
【考点】离散型随机变量及其分布列
【解析】【解答】由题意，，所以，得，所以.
故答案为：
【分析】由已知条件结合随机变量分布的性质，代入数值计算出结果即可。
9．【答案】0.2
【考点】分布的意义和作用；离散型随机变量及其分布列
【解析】【解答】由分布列的性质，可得，解得，
因为，可得.
故答案为：0.2
【分析】首先由分布列的性质即可求出m的取值，然后由题意代入数值计算出结果即可。
10．【答案】（1）解：甲在初赛的两轮中均获胜的概率为：；
乙在初赛的两轮中均获胜的概率为：；
丙在初赛的两轮中均获胜的概率为：；
，，
∴甲进入决赛可能性最大
（2）解：，
整理得，解得或，又，；
∴丙在初赛的两轮中均获胜的概率为：，
进入决赛的人数为可能取值为0，1，2，3，
，
，
，
，
的分布列为
1 2 3 4
【考点】相互独立事件的概率乘法公式；离散型随机变量及其分布列
【解析】【分析】(1)由概率公式结合题意即可得出关于P的不等式组，求解出P的取值范围由此即可求出P的最大值。
(2)g(x)由概率的乘法公式整理化简求解出P的取值，由此即可得出各个事件的概率值，由已知条件即可得出X的取值，再由概率的公式求出对应的X的概率由此得到X的分布列。
11．【答案】（1）解：袋中有3个红球，4个黑球，从袋中任取4个球，红球个数为
变量的可能取值是0，1，2，3
分布列为：
0 1 2 3
（2）解：依题意可知本题是一个等可能事件的概率
取到一个红球得2分，取到一个黑球得1分
当取出3红球和1黑球时，得分为7分
当求出2红球和2黑球时，得分为6分
其他情况得分都不满足得分不小于6分
得分不小于6分的概率为
【考点】互斥事件的概率加法公式；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】（1）由题意易判断X 变量的可能取值是0，1，2，3 ,结合组合数、古典概型概率计算公式即可求概率，进而得到分布列；
（2）由题意可分取出3红球和1黑球时，取出2红球和2黑球时，和其他情况得分都不满足得分不小于6分即可求解。
12．【答案】（1）解：设事件：从上表12个月中，随机取出1个月，该月甲地空气月平均相对湿度有利于病毒繁殖和传播．
用表示事件抽取的月份为第月，
∴，，，，，，，，，，，共12个基本事件，
且，，，，，共6个基本事件，
所以，该月甲地空气月平均相对湿度有利于病毒繁殖和传播的概率；
（2）解：在第一季度和第二季度的6个月中，甲、乙两地空气月平均相对湿度都有利于病毒繁殖和传播的月份只有2月和6月，
∴所有可能的取值为0，1，2．
，，，
随机变量的分布列为：
0 1 2
（3）解：由表格已知数据：乙地数据从小到大为，
又，不妨假设，设乙地上表12个月的空气月平均相对湿度的中位数为，
当时，则；
当，即时，若有，若有，
∴的最大值为58%，最小值为54%．
【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；离散型随机变量及其分布列
【解析】【分析】(1) 设事件：从上表12个月中，随机取出1个月，该月甲地空气月平均相对湿度有利于病毒繁殖和传播，用表示事件抽取的月份为第月，利用列举法能求出该月甲地空气月平均相对湿度有利于病毒繁殖和传播的概率；
(2)在第一季度和第二季度的6个月中，甲、乙两地空气月平均相对湿度都有利于病毒繁殖和传播的月份只有2月和6月，X所有可能的取值为0, 1, 2，分别求出相应的概率，由此能求出随机变量X的分布列；
(3)a+b= 108，设乙地上表12个月的空气月平均相对湿度的中位数为M，由此能求出M的最大值，最小值.
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高中数学人教A版（2019）选择性必修三 第七章 随机变量及其分布列 7.2 离散型随机变量及其分布列
一、单选题
1．（2022高二下·温州期中）随机变量X的分布列如下表，其中a，b，c成等差数列
X 2 4 6
P a b c
则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【考点】等差数列的性质；离散型随机变量及其分布列
【解析】【解答】因为a，b，c成等差数列，所以 ，
由随机变量X分布列的性质知， ，
联立 ，解得 ，
所以 .
故答案为：D.
【分析】由 a，b，c成等差数列可得，根据随机变量分布列性质得，联立即可求解.
2．（2022高二下·合肥期中）若离散型随机变量X的分布列服从两点分布，且，则p=（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【考点】分布的意义和作用；离散型随机变量及其分布列
【解析】【解答】因为X的分布列服从两点分布，所以，
由，
所以，所以，
故答案为：D
【分析】根据题意由两点分布的性质，代入数值计算出结果即可。
3．（2022高二下·玉环月考）若随机变量 的分布列如下表所示，则 的值为( )
1 2 3
0.2
A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.42
【答案】B
【考点】离散型随机变量及其分布列
【解析】【解答】解：由题意得0.2+a+3a=1，解得a=0.2.
故答案为：B
【分析】由分布列的性质，直接得0.2+a+3a=1，解方程即可得答案.
4．（2022·贺州模拟）随机变量的分布列为
0 1
则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【考点】离散型随机变量及其分布列
【解析】【解答】
.
故答案为：C
【分析】由分布列的性质：概率和为1即可求解。
5．（2021高二下·哈尔滨期末）已知离散型随机变量 的分布列如表所示，则常数 为（ ）
0 1
A． B． C． 或 D．
【答案】A
【考点】离散型随机变量及其分布列
【解析】【解答】解：由题意得，解得,
故答案为：A
【分析】根据离散型随机变量分布列的性质直接求解即可.
6．（2022高二下·贵州期末）在18个村庄中有8个村庄交通不便，现从中任意选9个村庄，用 表示这9个村庄中交通不便的村庄个数，则 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【考点】离散型随机变量及其分布列
【解析】【解答】由已知 。
故答案为：D．
【分析】利用已知条件结合随机变量的分布列，从而求出的值。
7．（2021高二下·河北期末）将5把串在一起的钥匙逐一试开一把锁，其中只有一把能打开锁，依次试验，打不开的扔掉，直到找到能打开锁的钥匙为止，则试验次数 的最大可能取值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【考点】离散型随机变量及其分布列
【解析】【解答】解：由于是依次试验，可能前4次都打不开锁，那么剩下的钥匙一定能打开锁，
所以试验次数 的最大可能取值为4。
故答案为：C
【分析】利用已知条件结合试验的方法，从而求出试验次数 的最大可能取值。
二、填空题
8．（2022高二下·三明期中）设随机变量的分布列为，则 .
【答案】
【考点】离散型随机变量及其分布列
【解析】【解答】由题意，，所以，得，所以.
故答案为：
【分析】由已知条件结合随机变量分布的性质，代入数值计算出结果即可。
9．（2022高二下·合肥期中）已知随机变量X的分布列如下：
X 1 2 3 4 5
P 0.1 0.2 0.4 0.1
若Y＝2X－3，则的值为 ．
【答案】0.2
【考点】分布的意义和作用；离散型随机变量及其分布列
【解析】【解答】由分布列的性质，可得，解得，
因为，可得.
故答案为：0.2
【分析】首先由分布列的性质即可求出m的取值，然后由题意代入数值计算出结果即可。
三、解答题
10．（2022高二下·三明期中）第24届冬季奥林匹克运动会（The XXIV Olympic Winter Games），即2022年北京冬季奥运会，于2022年2月4日星期五开幕，2月20日星期日闭幕．北京冬季奥运会设7个大项，15个分项，109个小项．北京赛区承办所有的冰上项目；延庆赛区承办雪车、雪橇及高山滑雪项目；张家口赛区的崇礼区承办除雪车、雪橇及高山滑雪之外的所有雪上项目．某运动队拟派出甲、乙、丙三人去参加自由式滑雪．比赛分为初赛和决赛，其中初赛有两轮，只有两轮都获胜才能进入决赛．已知甲在每轮比赛中获胜的概率均为；乙在第一轮和第二轮比赛中获胜的概率分别为和；丙在第一轮和第二轮获胜的概率分别是和，其中．
（1）甲、乙、丙三人中，谁进入决赛的可能性最大；
（2）若甲、乙、丙三人都进入决赛的概率为，设进入决赛的人数为，求的分布列．
【答案】（1）解：甲在初赛的两轮中均获胜的概率为：；
乙在初赛的两轮中均获胜的概率为：；
丙在初赛的两轮中均获胜的概率为：；
，，
∴甲进入决赛可能性最大
（2）解：，
整理得，解得或，又，；
∴丙在初赛的两轮中均获胜的概率为：，
进入决赛的人数为可能取值为0，1，2，3，
，
，
，
，
的分布列为
1 2 3 4
【考点】相互独立事件的概率乘法公式；离散型随机变量及其分布列
【解析】【分析】(1)由概率公式结合题意即可得出关于P的不等式组，求解出P的取值范围由此即可求出P的最大值。
(2)g(x)由概率的乘法公式整理化简求解出P的取值，由此即可得出各个事件的概率值，由已知条件即可得出X的取值，再由概率的公式求出对应的X的概率由此得到X的分布列。
11．（2022高二下·盐田月考）袋中有3个红球，4个黑球，从袋中任取4个球.
（1）求红球个数的分布列；
（2）若取到一个红球得2分，取到一个黑球得1分，求得分不小于6分的概率.
【答案】（1）解：袋中有3个红球，4个黑球，从袋中任取4个球，红球个数为
变量的可能取值是0，1，2，3
分布列为：
0 1 2 3
（2）解：依题意可知本题是一个等可能事件的概率
取到一个红球得2分，取到一个黑球得1分
当取出3红球和1黑球时，得分为7分
当求出2红球和2黑球时，得分为6分
其他情况得分都不满足得分不小于6分
得分不小于6分的概率为
【考点】互斥事件的概率加法公式；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】（1）由题意易判断X 变量的可能取值是0，1，2，3 ,结合组合数、古典概型概率计算公式即可求概率，进而得到分布列；
（2）由题意可分取出3红球和1黑球时，取出2红球和2黑球时，和其他情况得分都不满足得分不小于6分即可求解。
12．（2022高二下·临沂期中）流行性感冒多由病毒引起，据调查，空气月平均相对湿度过大或过小时，都有利于一些病毒繁殖和传播．科学测定，当空气月平均相对湿度大于65%或小于40%时，有利于病毒繁殖和传播．下表记录了某年甲、乙两个城市12个月的空气月平均相对湿度．
第一季度 第二季度 第三季度 第四季度
1月 2月 3月 4月 5月 6月 7月 8月 9月 10月 11月 12月
甲地 54% 39% 46% 54% 56% 67% 64% 66% 78% 72% 72% 59%
乙地 38% 34% 31% 42% 54% 66% 69% 65% 62% 70% a% b%
（1）从上表12个月中，随机取出1个月，求该月甲地空气月平均相对湿度有利于病毒繁殖和传播的概率；
（2）从上表第一季度和第二季度的6个月中随机取出2个月，记这2个月中甲、乙两地空气月平均相对湿度都有利于病毒繁殖和传播的月份的个数为X，求X的分布列；
（3）若，设乙地上表12个月的空气月平均相对湿度的中位数为M，求M的最大值和最小值．（只需写出结论）
【答案】（1）解：设事件：从上表12个月中，随机取出1个月，该月甲地空气月平均相对湿度有利于病毒繁殖和传播．
用表示事件抽取的月份为第月，
∴，，，，，，，，，，，共12个基本事件，
且，，，，，共6个基本事件，
所以，该月甲地空气月平均相对湿度有利于病毒繁殖和传播的概率；
（2）解：在第一季度和第二季度的6个月中，甲、乙两地空气月平均相对湿度都有利于病毒繁殖和传播的月份只有2月和6月，
∴所有可能的取值为0，1，2．
，，，
随机变量的分布列为：
0 1 2
（3）解：由表格已知数据：乙地数据从小到大为，
又，不妨假设，设乙地上表12个月的空气月平均相对湿度的中位数为，
当时，则；
当，即时，若有，若有，
∴的最大值为58%，最小值为54%．
【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；离散型随机变量及其分布列
【解析】【分析】(1) 设事件：从上表12个月中，随机取出1个月，该月甲地空气月平均相对湿度有利于病毒繁殖和传播，用表示事件抽取的月份为第月，利用列举法能求出该月甲地空气月平均相对湿度有利于病毒繁殖和传播的概率；
(2)在第一季度和第二季度的6个月中，甲、乙两地空气月平均相对湿度都有利于病毒繁殖和传播的月份只有2月和6月，X所有可能的取值为0, 1, 2，分别求出相应的概率，由此能求出随机变量X的分布列；
(3)a+b= 108，设乙地上表12个月的空气月平均相对湿度的中位数为M，由此能求出M的最大值，最小值.
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