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高中数学人教A版（2019）选择性必修三 第七章 随机变量及其分布 7.3离散型随机变量的数字特征 均值
一、单选题
1．（2022高二下·温州期中）一个篮球远动员投蓝一次得3分的概率为a，得2分的概率为b，不得分的概率为c（a、b、 ），已知他投篮一次得分的均值为1，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
2．（2022高二下·盐田月考）家住福田、罗湖、盐田、南山的四位志愿者被随机派到福田区、罗湖区、盐田区、南山区这四个区参与抗疫工作，每人只去一个区域，每个人去的区域均不相同，记为4人中没有去到自家所在区去做志愿者的人数，则为（ ）
A． B． C．1 D．3
3．（2022高二下·盐田月考）已知离散型随机变量X的分布列服从两点分布，满足，且，则（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·广安模拟）2022年第24届冬季奥林匹克运动会（即2022年北京冬季奥运会）的成功举办，展现了中国作为一个大国的实力和担当，“一起向未来”更体现了中国推动构建人类命运共同体的价值追求．在北京冬季奥运会的某个比赛日，某人欲在冰壶（●）、冰球（●）、花样滑冰（●）、跳台滑雪（）、自由滑雪（）、雪车（）这6个项目随机选择3个比赛项目现象观察（注：比赛项目后括号内为“●”表示当天不决出奖牌的比赛，“”表示当天会决出奖牌的比赛），则所选择的3个观察项目中当天会决出奖牌的项目数的均值为（ ）
A．1 B． C．2 D．
5．（2022·宝鸡模拟）已知随机变量X，Y满足，Y的期望，X的分布列为：
X -1 0 1
P a b
则a，b的值分别为（ ）
A． B． C． D．
6．（2021高三上·浙江期末）已知甲盒子中有3个红球，1个白球，乙盒子中有2个红球，2个白球，同时从甲，乙两个盒子中取出i个球进行交换，交换后，分别记甲、乙两个盒中红球个数，则（ ）
A． B．
C． D．
7．（2021高三上·河北月考）小明参加某项测试，该测试一共3道试题，每道试题做对得5分，做错得0分，没有中间分，小明答对第1，2题的概率都是，答对第3题的概率是，则小明答完这3道题的得分期望为（ ）
A． B． C． D．
8．（2021高三上·嘉兴月考）已知袋中有4个红球，3个黄球，2个绿球.现从中任取2个球，记取到的红球的个数为 ，则 （ ）
A． B． C． D．
9．（2021高二下·长春期末）随机变量 的分布列如下表，则 的值为（ ）
X 1 2 3
P 0.2 0.4 0.4
A．4.4 B．7.4
C．21.2 D．22.2
10．（2021高二下·济南期末）孪生素数猜想是希尔伯特在1900年提出的23个数学问题之一，2013年华人数学家张益唐证明了孪生素数猜想的一个弱化形式，可以直观的描述为：存在无穷多个素数 ，使得 是素数．素数对 称为孪生素数对．从8个数对 ， ， ， ， ， ， ， 中任取3个，设取出的孪生素数对的个数为 ，则 （ ）
A． B． C． D．3
二、多选题
11．（2022高二下·盐田月考）设离散型随机变量的分布列如下表：
1 2 3 4 5
m 0.1 0.3 n 0.3
若离散型随机变量，且，则正确的是（ ）
A． B．
C． D．
12．（2021高二下·东莞期末）将3个不同的小球随机放入4个不同的盒子，用 表示空盒子的个数，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
三、填空题
13．（2022·绍兴模拟）在抗击疫情期间，某区对3位医生、2位护士和1位社区工作人员进行表彰并合影留念．现将这6人随机排成一排，设3位医生中相邻人数为（若互不相邻，则；有且仅有2人相邻，则；3人连在一起，则），2位护士中相邻人数为，记，则 ； ．
14．（2022·杭州模拟）在是否接种疫苗的调查中调查了7人，7人中有4人未接种疫苗，3人接种了疫苗，从这7人中随机抽取3人进行身体检查，用X表示抽取的3人中未接种疫苗的人数，则随机变量X的数学期望为 ；设A为事件“抽取的3人中，既有接种疫苗的人，也有未接种疫苗的人”，则事件A发生的概率为 .
15．（2022·湖州模拟）袋子中有除颜色外形状完全相同的3个红球，2个白球．每次拿一个球，不放回，共拿两次.设拿出的白球个数为 ，则 ， = .
16．（2022·浙江模拟）袋中有大小完全相同的3个黑球和2个白球.每次从中任取1个球，取后不放回，直到白球全部取完即停止，此时取到黑球的个数为，则取球三次即停止的概率为 ， .
四、解答题
17．（2022·广州模拟）某校为全面加强和改进学校体育工作，推进学校体育评价改革，建立了日常参与，体质监测和专项运动技能测试相结合的考查机制，在一次专项运动技能测试中，该校班机抽取60名学生作为样本进行耐力跑测试，这60名学生的测试成绩等级及频数如下表
成绩等级 优 良 合格 不合格
频数 7 11 41 1
（1）从这60名学生中随机抽取2名学生，这2名学生中耐力跑测试成绩等级为优或良的人数记为X，求；
（2）将样本频率视为概率，从该校的学生中随机抽取3名学生参加野外拉练活动，耐力跑测试成绩等级为优或良的学生能完成该活动，合格或不合格的学生不能完成该活动，能完成活动的每名学生得100分，不能完成活动的每名学生得0分．这3名学生所得总分记为Y，求Y的数学期望．
18．（2022高二下·温州期中）某心理师研究所对某城区的60位中小学生睡眠情况进行统计，统计情况如表所示．
小学生 初中生 高中生 合计
睡眠不足 46 18 8 72
睡眠充足 4 2 2 8
合计 50 20 10 80
（1）若从80位调查对象中随机轴取一人，该同学的睡眠不足，则该同学是初中生的概率．
（2）按学段分层抽样方式从这80位学生中抽取8位学生，再从抽取的8位学生中随机抽取3位，求事件A“有初中生”的概率．
（3）若以上表格计算出的频率近似概率，从该区域内的学生（数量大）中随机抽取3位学生，设睡眠不足的人数为X，求X的分布列以及期望．
19．（2022高二下·福州期中）为响应“双减政策”，丰富学生课余生活，某校举办趣味知识竞答活动，每班各选派两名同学代表班级回答4道题，每道题随机分配给其中一个同学回答．小明，小红两位同学代表高二1班答题，假设每道题小明答对的概率为，小红答对的概率为，且每道题是否答对相互独立．记高二1班答对题目的数量为随机变量X．
（1）若，求x的分布列和数学期望；
（2）若高二1班至少答对一道题的概率不小于，求p的最小值．
20．（2022高二下·临沂期中）2020年开始，国家逐步推行全新的高考制度．新高考不再分文理科，采用3+3模式，其中语文、数学、外语三科为必考科目，满分各150分，另外考生还要依据想考取的高校及专业的要求，结合自己的兴趣爱好等因素，在政治、历史、地理、物理、化学、生物6门科目中自选3门参加考试（6选3），每科目满分100分．为了应对新高考，某高中从高一年级1000名学生（其中男生550人，女生450人）中，根据性别采用分层抽样的方法从中抽取100名学生进行调查．
附参考公式及数据：，其中
0.05 0.01
3.841 6.635
（1）学校计划在高二上学期开设选修中的“物理”和“政治”两个科目，为了了解学生对这两个科目的选课情况，对抽取到的100名学生进行问卷调查（假定每名学生在这两个科目中必须选择一个科目且只能选择一个科目），下表是根据调查结果得到的2×2列联表．请将列联表补充完整，并判断是否有95%的把握认为选择科目与性别有关？说明你的理由；
选择“物理” 选择“政治” 总计
男生 10
女生 30
总计
（2）在（1）的条件下，从选择“政治”的学生中抽取5人，再从这5人中随机抽取2 人，设这2人中男生的人数为，求的分布列及数学期望．
21．（2022·联合模拟）在检测中为减少检测次数，我们常采取“合1检测法”，即将个人的样本合并检测，若为阴性，则该小组所有样本均末感染病毒；若为阳性，则还需对本组的每个人再做检测.现有人，已知其中有2人感染病毒.
（1）若，并采取“20合1检测法”，求共检测25次的概率；
（2）设采取“10合1检测法”的总检测次数为，采取“20合1检测法”的总检测次数为，若仅考虑总检测次数的期望值，当为多少时，采取“20合1检测法”更适宜？请说明理由.
22．（2022高二下·湖州期中）猜歌名游戏是根据歌曲的主旋律制成的铃声来猜歌名．规则如下：参赛选手按第一关，第二关，第三关的顺序依次猜歌名闯关，若闯关成功则依次分别获得公益基金1000元，2000元，3000元，当选手闯过一关后，可以选择游戏结束，带走相应公益基金；也可以继续闯下一关，若有任何一关闯关失败，则游戏结束，全部公益基金清零．假设某嘉宾第一关，第二关，第三关闯关成功的概率分别是 ， ， ，该嘉宾选择继续闯第二关、第三关的概率分别为 .
（1）求该嘉宾获得公益基金1000元的概率；
（2）求该嘉宾第一关闯关成功且获得公益基金为零的概率；
（3）求该嘉宾获得的公益基金总金额的分布列及数学期望．
23．（2022·河南模拟）新高考按照“”的模式设置，其中“3”为全国统考科目语文、数学、外语，所有考生必考；“1”为首选科目，考生须在物理、历史两科中选择一科；“2”为再选科目，考生可在化学、生物、政治、地理四科中选择两科．某校为了解该校考生的选科情况，从首选科目为物理的考生中随机抽取12名（包含考生甲和考生乙）进行调查．假设考生选择每个科目的可能性相等，且他们的选择互不影响．
（1）求考生甲和考生乙都选择了地理作为再选科目的概率．
（2）已知抽取的这12名考生中，女生有3名．从这12名考生中随机抽取3名，记X为抽取到的女生人数，求X的分布列与数学期望．
24．（2022高二下·玉环月考）“坚持五育并举，全面发展素质教育，强化体育锻炼”这是我们现阶段教育必须坚持的．甲乙两人为了培养自己的体育素养，分别进行乒乓球和羽毛球两场比赛，两场比赛中，胜者得2分、败者得0分，每场比赛一定会分出胜负，其中甲在两场比赛中胜出的概率分别为： 和 ，每场比赛相互独立，谁最终得分多谁获胜．
（1）求甲获胜的概率；
（2）求甲得分的分布列及数学期望．
答案解析部分
1．【答案】A
【考点】基本不等式在最值问题中的应用；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【解答】由题意得 ， ,
故
,当且仅当 时，取得等号，
即 的最小值为 ，
故答案为：A．
【分析】依题意可求得，进而转化为展开利用基本不等式即可求解.
2．【答案】D
【考点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【解答】由题意得的取值不可能为1，可能取值为：4,3,2,0，
则 ,，，
,,
故，
故答案为：D
【分析】由古典概型概率计算公式分别计算取每个值对应的概率，再由期望计算公式求解即可。
3．【答案】C
【考点】离散型随机变量的期望与方差
【解析】【解答】解：因为随机变量X的分布列服从两点分布，
所以，
则，解得或，
又因，
所以，则，
所以.
故答案为：C.
【分析】由两点分布结合已知条件即可求，，从而求解。
4．【答案】B
【考点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【解答】所选择的3个观察项目中当天会决出奖牌的项目数为 ，则 的取值为0，1，2，3，
， ，则 。
故答案为：B.
【分析】设所选择的3个观察项目中当天会决出奖牌的项目数为 ，利用已知条件求出随机变量X的取值，再利用组合数公式结合古典概型求概率公式，进而得出随机变量X的分布列，再利用随机变量X的分布列结合数学期望公式，进而得出随机变量X的数学期望，从而得出所选择的3个观察项目中当天会决出奖牌的项目数的均值 。
5．【答案】C
【考点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【解答】解：因为
，
所以
，
则有
，
解得
.
故答案为：C.
【分析】根据期望的性质可求得
，再根据期望公式及概率之和为1，列出方程组，解之即可得解.
6．【答案】C
【考点】离散型随机变量的期望与方差
【解析】【解答】交换后，记甲、乙两个盒中红球个数，
当时，,
则，
则.选项AB均判断错误；
当时，，
则，
，
即，
则选项C判断正确；选项D判断错误。
故选：C
【分析】利用已知条件求出随机变量的分布列，再利用随机变量的分布列求数学期望公式，进而求出随机变量的数学期望，再结合比较法，从而找出正确的选项。
7．【答案】C
【考点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【解答】设小明的得分为，则的可能取值为0、5、10、15，
所以，，
，；
所以小明得分的分布列为：
0 5 10 15
所以小明答完这3道题的得分期望为。
故答案为：C.
【分析】设小明的得分为，再结合已知条件，得出随机变量的可能取值，再利用互斥事件加法求概率公式和独立事件乘法求概率公式以及对立事件求概率公式，进而求出随机变量的分布列，再结合随机变量的分布列结合数学期望公式，进而求出小明答完这3道题的得分期望。
8．【答案】D
【考点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【解答】 的所有可能取值：0,1,2.
; ;
.
所以 .
故答案为：D
【分析】根据题意求出的取值，再由概率公式计算出对应每个的概率值，由此即可得出的分布列 并把数值代入到期望值公式计算出结果即可。
9．【答案】B
【考点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【解答】解：由分布列得E(X)=1×0.2+2×0.4+3×0.4=2.2
则E(2X+3)=2E(X)+3=2×2.2+3=7.4
故答案为：B
【分析】根据一般离散型随机变量的分布列与期望公式直接求解即可.
10．【答案】C
【考点】离散型随机变量的期望与方差
【解析】【解答】解：由题知8个数对中有 ， ， ， 共4对孪生素数对，
所以 的可能取值为
故 ， ，
， ，
所以
故答案为：C
【分析】 先求出随机变量X的可能取值，然后求出其对应的概率，由数学期望的计算公式求解即可.
11．【答案】A,C
【考点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【解答】，所以，
又因为，所以，从而得，，A选项正确，B选项错误；
，C选项正确；
，
，D选项不正确.
故答案为：AC.
【分析】由期望计算公式可得，再结合概率和为1，可得，从而求解m,n，进而逐项判断即可。
12．【答案】A,D
【考点】离散型随机变量的期望与方差
【解析】【解答】 可取1，2，3，
， ， ，
，
故答案为：AD.
【分析】 分别计算出ξ= 1，ξ=2，ξ=3的概率，再结合期望公式，即可求解.
13．【答案】；
【考点】离散型随机变量的期望与方差
【解析】【解答】时，将3个医生捆绑看成一个人随机排列，，
时，将三位医生选取2人捆绑，其余护士和社区人员随便排，再将医生插入，，
时，其余人员随便排，将医生插入，，
时，医生不相邻，护士也不相邻，（分社区人员与护士相邻或不相邻插入），
时，只有两位医生相邻或医生不相邻且两位护士相邻，，
时，只要三位医生相邻，，
．
故答案为：；．
【分析】根据 的取值确定医生相邻人数，采用捆绑插入法求方法数的概率，根据 的取值确定医生、护士中相邻数进行捆绑与插入求解，然后由期望公式计算期望可得答案.
14．【答案】；
【考点】离散型随机变量的期望与方差；超几何分布
【解析】【解答】由题意可知，随机变量X的取值范围为{0，1，2，3}，
，，
，，
所以.
由已知条件可得.
故答案为：；.
【分析】由题意可得： X的可能取值为0, 1,2,3，利用超几何分布列的概率计算公式分别求出相应的概率，进一步求出随机变量X的数学期望和P(A).
15．【答案】；
【考点】古典概型及其概率计算公式；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【解答】解：依题意白球的个数为，可能取值为0, 1, 2.
所以
可得的分布列：
0 1 2
P
所以.
故答案为： ， .
【分析】 依题意可能取值为0，1, 2,求出所对应的概率,即可得到的分布列，即可求出的数学期望.
16．【答案】；2
【考点】离散型随机变量的期望与方差
【解析】【解答】取三次停止，则可知第3次取到白球，前两次中有一次取到白球，有两种情况：第1次黑球，第2次白球，第3次白球，或第1次白球，第2次黑球，第3次白球，
所以取球三次即停止的概率为
，
由题意可得
可能取0，1，2，3，则
,
,
,
,
所以
，
故答案为：
，2
【分析】取三次停止，说明第3次取到白球，前两次中有一次取到白球，从而可求出概率，由题意可得
可能取0，1，2，3，然后求出各自对应的概率，从而可求出
.
17．【答案】（1）解：由题意得；
（2）解：能完成活动的概率为，不能完成活动的概率为，
由题得Y可以取0，100，200，300，则
，
，
，
，
所以Y的分布列为：
Y 0 100 200 300
P
则Y的数学期望为．
【考点】古典概型及其概率计算公式；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】（1）由题意根据古典概率公式可求得答案；
（2）由题得Y可以取0，100，200，300，分别求得Y取每一个随机变量的概率得出Y的分布列，由期望公式可求得答案．
18．【答案】（1）解：设事件 ：“该同学睡眠不足”；事件 ：“该同学为初中生”
.
（2）解：8名同学中，按照学段分层抽样可知小学生有5人，初中生有2人；高中生有1人．
．
（3）解：由题意可知，随机抽取一名睡眠不足的同学的概率为 ．
随机变量 ，故 ，其中 ，
得分布列如下：
X 0 1 2 3
P 0.001 0.027 0.243 0.729
．
【考点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差；条件概率与独立事件
【解析】【分析】（1）直接根据条件概率计算公式即可得到结果；
（2）利用对立事件的概率公式即可求解；
（3） 由题意可知，随机抽取一名睡眠不足的同学的概率为 ，随机变量 ，根据二项分布即可求得 X的分布列以及期望．
19．【答案】（1）解：X的可能取值为0，1，2，3，4．
高二1班答对某道题的概率，
则，．
则X得分布列为
X 0 1 2 3 4
P
则．
（2）解：高二1班答对某道题的概率为，
答错某道题的概率为．
则，解得，
所以p的最小值为．
【考点】等可能事件的概率；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】(1)根据题意求出X的取值，再由概率公式计算出对应每个X的概率值，由此即可得出 的分布列 并把数值代入到期望值公式计算出结果即可。
(2)由概率的加减运算性质以及n次独立重复试验的概率公式，代入数值计算出结果即可。
20．【答案】（1）解：2×2列联表如下：
选择“物理” 选择“政治” 总计
男生 45 10 55
女生 30 15 45
总计 75 25 100
所以没有95%的把握认为选择科目与性别有关.
（2）解：这5人中有男生2人，女生3人，随机抽取2人中男生的人数可能取值为0，1，2，
则，
，
则的分布列如下：
X 0 1 2
p
.
【考点】分层抽样方法；独立性检验的基本思想；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】(1)根据分层抽样男女比例是11：9，再根据抽取的人数和提供的数据完成2x2列联表，然后利用2x2列联表的数据代入 求解，根据临界表下结论；
(2)这5人中有男生2人，女生3人，随机抽取2人中男生的人数X可能取值为0, 1, 2，分别求得相应的概率，写出分布列，再求数学期望．
21．【答案】（1）解：对100个人采取“20合1检测法”需平均分为5组，先检测5次，
因为共检测25次，即2个感染者分在同一组；
只需考虑其中某位感染者所在的小组，
原题等价于：从99人中任选19人与他组成一组，
求选到的19人中有另一位感染者的概率，此概率为；
（2）解：若2个感染者分在同一组，则
，，
，，
若2个感染者分在不同小组，则
，，
，，
，，
令，
则，
即，
抛物线的对称轴为，
取得，取得，故，
综上，当时，采取“20合1检测法”更适宜.
【考点】古典概型及其概率计算公式；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】(1) 先根据分组情况和检测人数得到2个感染者分在同一组，再利用组合知识和古典概型的概率公式进行求解，可得共检测25次的概率；
(2)先根据2位感染者是否分在同一组确定两种检测方案的检测次数及相应概率，得到分布列，利用期望公式求两个变量的期望，再通过一元二次函数的性质进行求解即可得出结论。
22．【答案】（1）解：
（2）解：记A=“第一次闯关成功且获得公益基金为零”， =“第一次闯关成功第二次闯关失败”， “前两关闯关成功第三关闯关失败”，则 互斥，且 ,
（3）解： ；
随机变量 的分布列为
0 1000 3000 6000
元
【考点】互斥事件的概率加法公式；相互独立事件的概率乘法公式；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】(1)由嘉宾获得公益基金1000元的事件为第一关成功并放弃第 二关，应用独立事件乘法公式求概率即可.
(2)由题设确定基本事件，进而应用独立事件乘法公式、互斥事件加法求概率；
(3)由嘉宾获得的公益基金总金额X可能值为{0, 1000, 3000, 6000}，并求出对应概率，即可得分布列，进而求期望.
23．【答案】（1）解：考生甲选择了地理作为再选科目的概率是，
考生乙选择了地理作为再选科目的概率是，
所以考生甲和考生乙都选择了地理作为再选科目的概率是；
（2）解：X为的可能取值为：0，1，2，3，
所以，
，
则X的分布列为：
X 0 1 2 3
p
.
【考点】相互独立事件的概率乘法公式；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差；排列、组合及简单计数问题
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合组合数公式和古典概型求概率公式以及独立事件乘法求概率公式，进而得出考生甲和考生乙都选择了地理作为再选科目的概率。
（2）利用已知条件得出随机变量X的可能取值，再利用组合数公式和古典概型求概率公式得出随机变量X的分布列，再结合随机变量的分布列求数学期望公式，进而得出随机变量X的数学期望。
24．【答案】（1）解：设甲获胜的概率为 ，则 ．
（2）解：设甲得分数为 ，则 可取值为0，2，4，
， ，
于是分布列为：
0 2 4
于是 ．
【考点】相互独立事件；相互独立事件的概率乘法公式；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】(1)由题意分析可得，甲胜的充分必要条件是两场比赛都是甲胜，利用独立事件概率公式即可求得；
(2)由题意，甲的得分可能值为0，2, 4,分别求的对应概率，得到概率分布列，利用期望的定义计算期望值即可.
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高中数学人教A版（2019）选择性必修三 第七章 随机变量及其分布 7.3离散型随机变量的数字特征 均值
一、单选题
1．（2022高二下·温州期中）一个篮球远动员投蓝一次得3分的概率为a，得2分的概率为b，不得分的概率为c（a、b、 ），已知他投篮一次得分的均值为1，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【考点】基本不等式在最值问题中的应用；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【解答】由题意得 ， ,
故
,当且仅当 时，取得等号，
即 的最小值为 ，
故答案为：A．
【分析】依题意可求得，进而转化为展开利用基本不等式即可求解.
2．（2022高二下·盐田月考）家住福田、罗湖、盐田、南山的四位志愿者被随机派到福田区、罗湖区、盐田区、南山区这四个区参与抗疫工作，每人只去一个区域，每个人去的区域均不相同，记为4人中没有去到自家所在区去做志愿者的人数，则为（ ）
A． B． C．1 D．3
【答案】D
【考点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【解答】由题意得的取值不可能为1，可能取值为：4,3,2,0，
则 ,，，
,,
故，
故答案为：D
【分析】由古典概型概率计算公式分别计算取每个值对应的概率，再由期望计算公式求解即可。
3．（2022高二下·盐田月考）已知离散型随机变量X的分布列服从两点分布，满足，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【考点】离散型随机变量的期望与方差
【解析】【解答】解：因为随机变量X的分布列服从两点分布，
所以，
则，解得或，
又因，
所以，则，
所以.
故答案为：C.
【分析】由两点分布结合已知条件即可求，，从而求解。
4．（2022·广安模拟）2022年第24届冬季奥林匹克运动会（即2022年北京冬季奥运会）的成功举办，展现了中国作为一个大国的实力和担当，“一起向未来”更体现了中国推动构建人类命运共同体的价值追求．在北京冬季奥运会的某个比赛日，某人欲在冰壶（●）、冰球（●）、花样滑冰（●）、跳台滑雪（）、自由滑雪（）、雪车（）这6个项目随机选择3个比赛项目现象观察（注：比赛项目后括号内为“●”表示当天不决出奖牌的比赛，“”表示当天会决出奖牌的比赛），则所选择的3个观察项目中当天会决出奖牌的项目数的均值为（ ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】B
【考点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【解答】所选择的3个观察项目中当天会决出奖牌的项目数为 ，则 的取值为0，1，2，3，
， ，则 。
故答案为：B.
【分析】设所选择的3个观察项目中当天会决出奖牌的项目数为 ，利用已知条件求出随机变量X的取值，再利用组合数公式结合古典概型求概率公式，进而得出随机变量X的分布列，再利用随机变量X的分布列结合数学期望公式，进而得出随机变量X的数学期望，从而得出所选择的3个观察项目中当天会决出奖牌的项目数的均值 。
5．（2022·宝鸡模拟）已知随机变量X，Y满足，Y的期望，X的分布列为：
X -1 0 1
P a b
则a，b的值分别为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【考点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【解答】解：因为
，
所以
，
则有
，
解得
.
故答案为：C.
【分析】根据期望的性质可求得
，再根据期望公式及概率之和为1，列出方程组，解之即可得解.
6．（2021高三上·浙江期末）已知甲盒子中有3个红球，1个白球，乙盒子中有2个红球，2个白球，同时从甲，乙两个盒子中取出i个球进行交换，交换后，分别记甲、乙两个盒中红球个数，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【考点】离散型随机变量的期望与方差
【解析】【解答】交换后，记甲、乙两个盒中红球个数，
当时，,
则，
则.选项AB均判断错误；
当时，，
则，
，
即，
则选项C判断正确；选项D判断错误。
故选：C
【分析】利用已知条件求出随机变量的分布列，再利用随机变量的分布列求数学期望公式，进而求出随机变量的数学期望，再结合比较法，从而找出正确的选项。
7．（2021高三上·河北月考）小明参加某项测试，该测试一共3道试题，每道试题做对得5分，做错得0分，没有中间分，小明答对第1，2题的概率都是，答对第3题的概率是，则小明答完这3道题的得分期望为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【考点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【解答】设小明的得分为，则的可能取值为0、5、10、15，
所以，，
，；
所以小明得分的分布列为：
0 5 10 15
所以小明答完这3道题的得分期望为。
故答案为：C.
【分析】设小明的得分为，再结合已知条件，得出随机变量的可能取值，再利用互斥事件加法求概率公式和独立事件乘法求概率公式以及对立事件求概率公式，进而求出随机变量的分布列，再结合随机变量的分布列结合数学期望公式，进而求出小明答完这3道题的得分期望。
8．（2021高三上·嘉兴月考）已知袋中有4个红球，3个黄球，2个绿球.现从中任取2个球，记取到的红球的个数为 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【考点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【解答】 的所有可能取值：0,1,2.
; ;
.
所以 .
故答案为：D
【分析】根据题意求出的取值，再由概率公式计算出对应每个的概率值，由此即可得出的分布列 并把数值代入到期望值公式计算出结果即可。
9．（2021高二下·长春期末）随机变量 的分布列如下表，则 的值为（ ）
X 1 2 3
P 0.2 0.4 0.4
A．4.4 B．7.4
C．21.2 D．22.2
【答案】B
【考点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【解答】解：由分布列得E(X)=1×0.2+2×0.4+3×0.4=2.2
则E(2X+3)=2E(X)+3=2×2.2+3=7.4
故答案为：B
【分析】根据一般离散型随机变量的分布列与期望公式直接求解即可.
10．（2021高二下·济南期末）孪生素数猜想是希尔伯特在1900年提出的23个数学问题之一，2013年华人数学家张益唐证明了孪生素数猜想的一个弱化形式，可以直观的描述为：存在无穷多个素数 ，使得 是素数．素数对 称为孪生素数对．从8个数对 ， ， ， ， ， ， ， 中任取3个，设取出的孪生素数对的个数为 ，则 （ ）
A． B． C． D．3
【答案】C
【考点】离散型随机变量的期望与方差
【解析】【解答】解：由题知8个数对中有 ， ， ， 共4对孪生素数对，
所以 的可能取值为
故 ， ，
， ，
所以
故答案为：C
【分析】 先求出随机变量X的可能取值，然后求出其对应的概率，由数学期望的计算公式求解即可.
二、多选题
11．（2022高二下·盐田月考）设离散型随机变量的分布列如下表：
1 2 3 4 5
m 0.1 0.3 n 0.3
若离散型随机变量，且，则正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A,C
【考点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【解答】，所以，
又因为，所以，从而得，，A选项正确，B选项错误；
，C选项正确；
，
，D选项不正确.
故答案为：AC.
【分析】由期望计算公式可得，再结合概率和为1，可得，从而求解m,n，进而逐项判断即可。
12．（2021高二下·东莞期末）将3个不同的小球随机放入4个不同的盒子，用 表示空盒子的个数，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A,D
【考点】离散型随机变量的期望与方差
【解析】【解答】 可取1，2，3，
， ， ，
，
故答案为：AD.
【分析】 分别计算出ξ= 1，ξ=2，ξ=3的概率，再结合期望公式，即可求解.
三、填空题
13．（2022·绍兴模拟）在抗击疫情期间，某区对3位医生、2位护士和1位社区工作人员进行表彰并合影留念．现将这6人随机排成一排，设3位医生中相邻人数为（若互不相邻，则；有且仅有2人相邻，则；3人连在一起，则），2位护士中相邻人数为，记，则 ； ．
【答案】；
【考点】离散型随机变量的期望与方差
【解析】【解答】时，将3个医生捆绑看成一个人随机排列，，
时，将三位医生选取2人捆绑，其余护士和社区人员随便排，再将医生插入，，
时，其余人员随便排，将医生插入，，
时，医生不相邻，护士也不相邻，（分社区人员与护士相邻或不相邻插入），
时，只有两位医生相邻或医生不相邻且两位护士相邻，，
时，只要三位医生相邻，，
．
故答案为：；．
【分析】根据 的取值确定医生相邻人数，采用捆绑插入法求方法数的概率，根据 的取值确定医生、护士中相邻数进行捆绑与插入求解，然后由期望公式计算期望可得答案.
14．（2022·杭州模拟）在是否接种疫苗的调查中调查了7人，7人中有4人未接种疫苗，3人接种了疫苗，从这7人中随机抽取3人进行身体检查，用X表示抽取的3人中未接种疫苗的人数，则随机变量X的数学期望为 ；设A为事件“抽取的3人中，既有接种疫苗的人，也有未接种疫苗的人”，则事件A发生的概率为 .
【答案】；
【考点】离散型随机变量的期望与方差；超几何分布
【解析】【解答】由题意可知，随机变量X的取值范围为{0，1，2，3}，
，，
，，
所以.
由已知条件可得.
故答案为：；.
【分析】由题意可得： X的可能取值为0, 1,2,3，利用超几何分布列的概率计算公式分别求出相应的概率，进一步求出随机变量X的数学期望和P(A).
15．（2022·湖州模拟）袋子中有除颜色外形状完全相同的3个红球，2个白球．每次拿一个球，不放回，共拿两次.设拿出的白球个数为 ，则 ， = .
【答案】；
【考点】古典概型及其概率计算公式；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【解答】解：依题意白球的个数为，可能取值为0, 1, 2.
所以
可得的分布列：
0 1 2
P
所以.
故答案为： ， .
【分析】 依题意可能取值为0，1, 2,求出所对应的概率,即可得到的分布列，即可求出的数学期望.
16．（2022·浙江模拟）袋中有大小完全相同的3个黑球和2个白球.每次从中任取1个球，取后不放回，直到白球全部取完即停止，此时取到黑球的个数为，则取球三次即停止的概率为 ， .
【答案】；2
【考点】离散型随机变量的期望与方差
【解析】【解答】取三次停止，则可知第3次取到白球，前两次中有一次取到白球，有两种情况：第1次黑球，第2次白球，第3次白球，或第1次白球，第2次黑球，第3次白球，
所以取球三次即停止的概率为
，
由题意可得
可能取0，1，2，3，则
,
,
,
,
所以
，
故答案为：
，2
【分析】取三次停止，说明第3次取到白球，前两次中有一次取到白球，从而可求出概率，由题意可得
可能取0，1，2，3，然后求出各自对应的概率，从而可求出
.
四、解答题
17．（2022·广州模拟）某校为全面加强和改进学校体育工作，推进学校体育评价改革，建立了日常参与，体质监测和专项运动技能测试相结合的考查机制，在一次专项运动技能测试中，该校班机抽取60名学生作为样本进行耐力跑测试，这60名学生的测试成绩等级及频数如下表
成绩等级 优 良 合格 不合格
频数 7 11 41 1
（1）从这60名学生中随机抽取2名学生，这2名学生中耐力跑测试成绩等级为优或良的人数记为X，求；
（2）将样本频率视为概率，从该校的学生中随机抽取3名学生参加野外拉练活动，耐力跑测试成绩等级为优或良的学生能完成该活动，合格或不合格的学生不能完成该活动，能完成活动的每名学生得100分，不能完成活动的每名学生得0分．这3名学生所得总分记为Y，求Y的数学期望．
【答案】（1）解：由题意得；
（2）解：能完成活动的概率为，不能完成活动的概率为，
由题得Y可以取0，100，200，300，则
，
，
，
，
所以Y的分布列为：
Y 0 100 200 300
P
则Y的数学期望为．
【考点】古典概型及其概率计算公式；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】（1）由题意根据古典概率公式可求得答案；
（2）由题得Y可以取0，100，200，300，分别求得Y取每一个随机变量的概率得出Y的分布列，由期望公式可求得答案．
18．（2022高二下·温州期中）某心理师研究所对某城区的60位中小学生睡眠情况进行统计，统计情况如表所示．
小学生 初中生 高中生 合计
睡眠不足 46 18 8 72
睡眠充足 4 2 2 8
合计 50 20 10 80
（1）若从80位调查对象中随机轴取一人，该同学的睡眠不足，则该同学是初中生的概率．
（2）按学段分层抽样方式从这80位学生中抽取8位学生，再从抽取的8位学生中随机抽取3位，求事件A“有初中生”的概率．
（3）若以上表格计算出的频率近似概率，从该区域内的学生（数量大）中随机抽取3位学生，设睡眠不足的人数为X，求X的分布列以及期望．
【答案】（1）解：设事件 ：“该同学睡眠不足”；事件 ：“该同学为初中生”
.
（2）解：8名同学中，按照学段分层抽样可知小学生有5人，初中生有2人；高中生有1人．
．
（3）解：由题意可知，随机抽取一名睡眠不足的同学的概率为 ．
随机变量 ，故 ，其中 ，
得分布列如下：
X 0 1 2 3
P 0.001 0.027 0.243 0.729
．
【考点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差；条件概率与独立事件
【解析】【分析】（1）直接根据条件概率计算公式即可得到结果；
（2）利用对立事件的概率公式即可求解；
（3） 由题意可知，随机抽取一名睡眠不足的同学的概率为 ，随机变量 ，根据二项分布即可求得 X的分布列以及期望．
19．（2022高二下·福州期中）为响应“双减政策”，丰富学生课余生活，某校举办趣味知识竞答活动，每班各选派两名同学代表班级回答4道题，每道题随机分配给其中一个同学回答．小明，小红两位同学代表高二1班答题，假设每道题小明答对的概率为，小红答对的概率为，且每道题是否答对相互独立．记高二1班答对题目的数量为随机变量X．
（1）若，求x的分布列和数学期望；
（2）若高二1班至少答对一道题的概率不小于，求p的最小值．
【答案】（1）解：X的可能取值为0，1，2，3，4．
高二1班答对某道题的概率，
则，．
则X得分布列为
X 0 1 2 3 4
P
则．
（2）解：高二1班答对某道题的概率为，
答错某道题的概率为．
则，解得，
所以p的最小值为．
【考点】等可能事件的概率；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】(1)根据题意求出X的取值，再由概率公式计算出对应每个X的概率值，由此即可得出 的分布列 并把数值代入到期望值公式计算出结果即可。
(2)由概率的加减运算性质以及n次独立重复试验的概率公式，代入数值计算出结果即可。
20．（2022高二下·临沂期中）2020年开始，国家逐步推行全新的高考制度．新高考不再分文理科，采用3+3模式，其中语文、数学、外语三科为必考科目，满分各150分，另外考生还要依据想考取的高校及专业的要求，结合自己的兴趣爱好等因素，在政治、历史、地理、物理、化学、生物6门科目中自选3门参加考试（6选3），每科目满分100分．为了应对新高考，某高中从高一年级1000名学生（其中男生550人，女生450人）中，根据性别采用分层抽样的方法从中抽取100名学生进行调查．
附参考公式及数据：，其中
0.05 0.01
3.841 6.635
（1）学校计划在高二上学期开设选修中的“物理”和“政治”两个科目，为了了解学生对这两个科目的选课情况，对抽取到的100名学生进行问卷调查（假定每名学生在这两个科目中必须选择一个科目且只能选择一个科目），下表是根据调查结果得到的2×2列联表．请将列联表补充完整，并判断是否有95%的把握认为选择科目与性别有关？说明你的理由；
选择“物理” 选择“政治” 总计
男生 10
女生 30
总计
（2）在（1）的条件下，从选择“政治”的学生中抽取5人，再从这5人中随机抽取2 人，设这2人中男生的人数为，求的分布列及数学期望．
【答案】（1）解：2×2列联表如下：
选择“物理” 选择“政治” 总计
男生 45 10 55
女生 30 15 45
总计 75 25 100
所以没有95%的把握认为选择科目与性别有关.
（2）解：这5人中有男生2人，女生3人，随机抽取2人中男生的人数可能取值为0，1，2，
则，
，
则的分布列如下：
X 0 1 2
p
.
【考点】分层抽样方法；独立性检验的基本思想；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】(1)根据分层抽样男女比例是11：9，再根据抽取的人数和提供的数据完成2x2列联表，然后利用2x2列联表的数据代入 求解，根据临界表下结论；
(2)这5人中有男生2人，女生3人，随机抽取2人中男生的人数X可能取值为0, 1, 2，分别求得相应的概率，写出分布列，再求数学期望．
21．（2022·联合模拟）在检测中为减少检测次数，我们常采取“合1检测法”，即将个人的样本合并检测，若为阴性，则该小组所有样本均末感染病毒；若为阳性，则还需对本组的每个人再做检测.现有人，已知其中有2人感染病毒.
（1）若，并采取“20合1检测法”，求共检测25次的概率；
（2）设采取“10合1检测法”的总检测次数为，采取“20合1检测法”的总检测次数为，若仅考虑总检测次数的期望值，当为多少时，采取“20合1检测法”更适宜？请说明理由.
【答案】（1）解：对100个人采取“20合1检测法”需平均分为5组，先检测5次，
因为共检测25次，即2个感染者分在同一组；
只需考虑其中某位感染者所在的小组，
原题等价于：从99人中任选19人与他组成一组，
求选到的19人中有另一位感染者的概率，此概率为；
（2）解：若2个感染者分在同一组，则
，，
，，
若2个感染者分在不同小组，则
，，
，，
，，
令，
则，
即，
抛物线的对称轴为，
取得，取得，故，
综上，当时，采取“20合1检测法”更适宜.
【考点】古典概型及其概率计算公式；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】(1) 先根据分组情况和检测人数得到2个感染者分在同一组，再利用组合知识和古典概型的概率公式进行求解，可得共检测25次的概率；
(2)先根据2位感染者是否分在同一组确定两种检测方案的检测次数及相应概率，得到分布列，利用期望公式求两个变量的期望，再通过一元二次函数的性质进行求解即可得出结论。
22．（2022高二下·湖州期中）猜歌名游戏是根据歌曲的主旋律制成的铃声来猜歌名．规则如下：参赛选手按第一关，第二关，第三关的顺序依次猜歌名闯关，若闯关成功则依次分别获得公益基金1000元，2000元，3000元，当选手闯过一关后，可以选择游戏结束，带走相应公益基金；也可以继续闯下一关，若有任何一关闯关失败，则游戏结束，全部公益基金清零．假设某嘉宾第一关，第二关，第三关闯关成功的概率分别是 ， ， ，该嘉宾选择继续闯第二关、第三关的概率分别为 .
（1）求该嘉宾获得公益基金1000元的概率；
（2）求该嘉宾第一关闯关成功且获得公益基金为零的概率；
（3）求该嘉宾获得的公益基金总金额的分布列及数学期望．
【答案】（1）解：
（2）解：记A=“第一次闯关成功且获得公益基金为零”， =“第一次闯关成功第二次闯关失败”， “前两关闯关成功第三关闯关失败”，则 互斥，且 ,
（3）解： ；
随机变量 的分布列为
0 1000 3000 6000
元
【考点】互斥事件的概率加法公式；相互独立事件的概率乘法公式；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】(1)由嘉宾获得公益基金1000元的事件为第一关成功并放弃第 二关，应用独立事件乘法公式求概率即可.
(2)由题设确定基本事件，进而应用独立事件乘法公式、互斥事件加法求概率；
(3)由嘉宾获得的公益基金总金额X可能值为{0, 1000, 3000, 6000}，并求出对应概率，即可得分布列，进而求期望.
23．（2022·河南模拟）新高考按照“”的模式设置，其中“3”为全国统考科目语文、数学、外语，所有考生必考；“1”为首选科目，考生须在物理、历史两科中选择一科；“2”为再选科目，考生可在化学、生物、政治、地理四科中选择两科．某校为了解该校考生的选科情况，从首选科目为物理的考生中随机抽取12名（包含考生甲和考生乙）进行调查．假设考生选择每个科目的可能性相等，且他们的选择互不影响．
（1）求考生甲和考生乙都选择了地理作为再选科目的概率．
（2）已知抽取的这12名考生中，女生有3名．从这12名考生中随机抽取3名，记X为抽取到的女生人数，求X的分布列与数学期望．
【答案】（1）解：考生甲选择了地理作为再选科目的概率是，
考生乙选择了地理作为再选科目的概率是，
所以考生甲和考生乙都选择了地理作为再选科目的概率是；
（2）解：X为的可能取值为：0，1，2，3，
所以，
，
则X的分布列为：
X 0 1 2 3
p
.
【考点】相互独立事件的概率乘法公式；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差；排列、组合及简单计数问题
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合组合数公式和古典概型求概率公式以及独立事件乘法求概率公式，进而得出考生甲和考生乙都选择了地理作为再选科目的概率。
（2）利用已知条件得出随机变量X的可能取值，再利用组合数公式和古典概型求概率公式得出随机变量X的分布列，再结合随机变量的分布列求数学期望公式，进而得出随机变量X的数学期望。
24．（2022高二下·玉环月考）“坚持五育并举，全面发展素质教育，强化体育锻炼”这是我们现阶段教育必须坚持的．甲乙两人为了培养自己的体育素养，分别进行乒乓球和羽毛球两场比赛，两场比赛中，胜者得2分、败者得0分，每场比赛一定会分出胜负，其中甲在两场比赛中胜出的概率分别为： 和 ，每场比赛相互独立，谁最终得分多谁获胜．
（1）求甲获胜的概率；
（2）求甲得分的分布列及数学期望．
【答案】（1）解：设甲获胜的概率为 ，则 ．
（2）解：设甲得分数为 ，则 可取值为0，2，4，
， ，
于是分布列为：
0 2 4
于是 ．
【考点】相互独立事件；相互独立事件的概率乘法公式；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】(1)由题意分析可得，甲胜的充分必要条件是两场比赛都是甲胜，利用独立事件概率公式即可求得；
(2)由题意，甲的得分可能值为0，2, 4,分别求的对应概率，得到概率分布列，利用期望的定义计算期望值即可.
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