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高中数学人教A版（2019）选择性必修三 第七章 随机变量及其分布 7.3 离散型随机变量的数字特征 方差
一、单选题
1．（2022高二下·湖州期中）已知随机变量 的分布列如下表，若 ，则 （ ）
-1 0 1
P
A． B． C． D．
2．（2022高二下·河南月考）已知，，随机变量的分布列如下：
0
当取最大值时，（ ）
A．1 B． C．3 D．
3．（2022·淮北模拟）下列说法正确的有（ ）
A．两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于0
B．若是随机变量，则.
C．已知随机变量，若，则
D．设随机变量表示发生概率为的事件在一次随机实验中发生的次数，则
4．（2021高三上·金华期末）随机变量ξ的分布列如下表：
ξ 1 a 9
P b b
其中，，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则当时，随b的增大而增大
B．若，则当时，随b的增大而减小
C．若，则当时，有最小值
D．若，则当时，有最大值
5．（2022·平顶山模拟）甲乙丙三人参加2022年冬奥会北京、延庆、张家口三个赛区志愿服务活动，若每人只能选择一个赛区，且选择其中任何一个赛区是等可能的．记X为三人选中的赛区个数，Y为三人没有选中的赛区个数，则（ ）
A．， B．，
C．， D．，
6．（2021高二上·上饶期末）设，随机变量X的分布列如下表所示，随机变量Y满足，则当a在上增大时，关于的表述下列正确的是（ ）
X 0 1 3
P a b
A．增大 B．减小
C．先增大后减小 D．先减小后增大
7．（2021高三上·浙江月考）已知随机变量 的分布列如下表：
X -1 0 1
P a b 0.5
其中 ，则 的方差 取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
8．（2022高二下·临沂期中）离散型随机变量的分布列如下表，若离散型随机变量满足，则下列结果正确的有（ ）
0 1 2 3 4
q 0.4 0.1 0.2 0.2
A． B．，
C．， D．，
9．（2022高二下·湖州期中）对于离散型随机变量 的数学期望 和方差 ，下列说法正确的是（ ）
A． 反映随机变量的平均取值
B． 越小，说明 越集中于
C．
D．
10．（2022·岳阳模拟）若随机变量X服从两点分布，其中，E（X）、D（X）分别为随机变量X均值与方差，则下列结论正确的是（ ）
A．P（X＝1）＝E（X） B．E（3X+2）＝4
C．D（3X+2）＝4 D．
三、填空题
11．（2022·浙江模拟）随机变量的分布列如下表：
1 a 9
P
其中，则当 时，有最小值 .
12．（2022高二下·山东月考）已知随机变量X满足则 ， ．
13．（2021高三上·浙江期末）随机变量的分布列如下表，其中．当 时，取最大值；当 时，有最大值．
1 2 3
P p
四、解答题
14．（2022高一下·武功月考）为了解某地区初中学生的体质健康情况，统计了该地区8所学校学生的体质健康数据，按总分评定等级为优秀，良好，及格，不及格.良好及其以上的比例之和超过40%的学校为先进校.各等级学生人数占该校学生总人数的比例如下表：
比例 学校 等级 学校A 学校B 学校C 学校D 学校E 学校F 学校G 学校H
优秀 8% 3% 2% 9% 1% 22% 2% 3%
良好 37% 50% 23% 30% 45% 46% 37% 35%
及格 22% 30% 33% 26% 22% 17% 23% 38%
不及格 33% 17% 42% 35% 32% 15% 38% 24%
（1）从8所学校中随机选出一所学校，求该校为先进校的概率；
（2）从8所学校中随机选出两所学校，记这两所学校中不及格比例低于30%的学校个数为X，求X的分布列；
（3）设8所学校优秀比例的方差为S12，良好及其以下比例之和的方差为S22，比较S12与S22的大小.(只写出结果)
15．某学校在寒假期间安排了“垃圾分类知识普及实践活动”.为了解学生的学习成果，该校从全校学生中随机抽取了50名学生作为样本进行测试，记录他们的成绩，测试卷满分100分，将数据分成6组：，，，，，，并整理得到如下频率分布直方图：
（1）若全校学生参加同样的测试，试估计全校学生的平均成绩（每组成绩用中间值代替）；
（2）在样本中，从其成绩在80分及以上的学生中随机抽取3人，用表示其成绩在中的人数，求的分布列及数学期望；
（3）在（2）抽取的3人中，用表示其成绩在的人数，试判断方差与的大小.（直接写结果）
16．（2022·北京市模拟）“双减”政策实施以来，各地纷纷推行课后服务“5+2"模式，即学校每周周一至周五5天都要面向所有学生提供课后服务，每天至少2小时．某学校的课后服务有学业辅导体育锻炼、实践能力创新培养三大类别，为了解该校学生上个月参加课后服务的情况，该校从全校学生中随机抽取了100人作为样本．发现样本中未参加任何课后服务的有14人，样本中仅参加某一类课后服务的学生分布情况如下：
每周参加活动天数 课后服务活动 1天 2~4天 5天
仅参加学业辅导 10人 11人 4人
仅参加体育锻炼 5人 12人 1人
仅参加实践能力创新培养 3人 12人 1人
（1）从全校学生中随机抽取1人．估计该学生上个月至少参加了两类课后服务活动的概率；
（2）从全校学生中随机抽取3人．以频率估计概率，以X表示这3人中上个月仅参加学业辅导的人数．求X的分布列和数学期望；
（3）老样本中上个月未参加任何课后服务的学生有人在本月选择仅参加学业辅导．样本中其他学生参加课后服务的情况在本月没有变化．从全校学生中随机抽取3人．以频率估计概率，以X表示这3人中上个月仅参加学业辅导的人数，以Y表示这3人中本月仅参加学业辅导的人数．试判断方差、的大小关系（结论不要求证明）．
答案解析部分
1．【答案】C
【考点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【解答】解：由题意得，解得，则.
则.
故答案为：C
【分析】由期望公式可得a，结合分布列的性质有b，再应用方差公式求D(X).
2．【答案】A
【考点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【解答】解法一：根据随机变量分布列的性质，得，所以，
所以，
当且仅当时取等号，此时随机变量的分布列为
0
所以.
故答案为：A．
解法二：根据随机变量分布列的性质，得，所以，
所以．
令，，则，
所以，
当且仅当，即时取等号，
此时随机变量的分布列为
0 2 8
故，所以．
故答案为：A．
【分析】解法一：由分布列性质得，进而得，再根据基本不等式即可得，当且仅当时取等号，再根据方程公式计算即可得答案.
解法二：由分布列的性质得，进而得，令，，根据三角换元得：，当且仅当，即时取等号，再求随机变量的分布列，进而根据公式计算即可.
3．【答案】D
【考点】离散型随机变量的期望与方差；正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义
【解析】【解答】解：对于A：根据相关系数的定义可知A不符合题意；
对于B：若是随机变量，则，B不符合题意；
对于C：因为随机变量服从正态分布，故，
则，C不符合题意；
对于D：随机变量的可能取值为、，故，
，当且仅当取等号，D符合题意；
故答案为：D
【分析】利用相关系数的定义判断A的正误；期望与方差的性质判断B、D的正误；正态分布的性质判断C的正误.
4．【答案】C
【考点】概率的基本性质；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【解答】若
，则
，故A,B均错误；
若
，则
，
，其对称轴为：
，则
时，
有最小值，即C正确，D错误.
故选：C.
【分析】利用已知条件结合概率的基本性质和随机变量求数学期望和方差公式，再结合函数单调性的定义得出随机变量的数学期望随着a的增大而增大，再利用二次函数的图像求最值的方法结合已知条件得出随机变量的方差的最小值，进而找出说法正确的选项。
5．【答案】D
【考点】离散型随机变量的期望与方差
【解析】【解答】解：由题意得
的可能取值为1，2，3，
则
，
，
，
所以
，
，
的可能取值为0，1，2，
则
，
，
，
，
；
，
．
故答案为：D．
【分析】由古典概型概率计算公式计算X，Y，取每一个值对应概率，得到其分布列，再由期望，方差计算公式得出结果，即可判断。
6．【答案】A
【考点】离散型随机变量的期望与方差
【解析】【解答】由得
则，
由得
a在上增大时, 增大.
故答案为：A
【分析】根据题意由已知条件即可得出b的取值，再由期望以及方差公式，代入数值计算出结果，然后由已知条件结合二次函数的图象和性质，对选项逐一判断即可得出答案。
7．【答案】D
【考点】离散型随机变量的期望与方差
【解析】【解答】由题意可知： ，
，
，
设 ，
因为 ， 在 单调递减，
所以 ，
所以方差 取值范围是
故答案为：D
【分析】由题意可知： ，根据数学期望和方差的公式可得，，利用二次函数的性质即可求出方差 取值范围。
8．【答案】A,C,D
【考点】离散型随机变量的期望与方差
【解析】【解答】因为，所以，A符合题意；
又，
，C符合题意；
因为，所以，，D符合题意，
故答案为：ACD.
【分析】根据分布列的性质计算q的值，然后根据期望和方差公式计算E(X), D (X)，由分布列的性质可得E(Y)和D(Y).
9．【答案】A,B,C
【考点】离散型随机变量的期望与方差
【解析】【解答】解：离散型随机变量的期望反映了随机变量取值的平均水平，方差反映了随机变量取值偏离于均值的平均程度，方差越小，说明随 机变量的取值越集中于均值，即AB正确，由期望和方差的性质可得，E(aX+b)=aE(X)+b，D(aX+b)=a2D(X),即C正确，D错.
故答案为：ABC.
【分析】根据离散型随机变量的期望和方差表示的意义，以及期望与方程的性质，可直接判断出结果.
10．【答案】A,B
【考点】离散型随机变量的期望与方差；概率的应用
【解析】【解答】随机变量X服从两点分布，其中，
∴P（X＝1），
E（X），
D（X）＝（0）2（1）2，
在A中，P（X＝1）＝E（X），A符合题意；
在B中，E（3X+2）＝3E（X）+2＝34，B符合题意；
在C中，D（3X+2）＝9D（X）＝92，C不符合题意；
在D中，D（X），D不符合题意.
故答案为：AB.
【分析】 利用随机变量X服从两点分布，其中， 再结合数学期望公式和方差公式，进而求出随机变量X的数学期望和方差，再结合概率的基本性质和数学期望和方差的性质，进而找出结论正确的选项。
11．【答案】5；
【考点】离散型随机变量的期望与方差
【解析】【解答】，
，
故当时，取最小，最小值.
故答案为：.
【分析】 根据已知条件，结合期望与方差的公式，即可求解出答案。
12．【答案】5；4
【考点】离散型随机变量的期望与方差
【解析】【解答】因为，
所以。
故答案为： 5 ； 4。
【分析】里有一种推荐结合随机变量求数学期望公式和数学期望的性质，再结合随机变量求方差公式，进而得出随机变量X的数学期望和方差。
13．【答案】；
【考点】二次函数在闭区间上的最值；概率的基本性质；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【解答】由题意可得
，故当
时，
取最大值；
，
故当
时，
取最大值。
故答案为：
；
。
【分析】利用已知条件结合随机变量分布列求数学期望公式和一次函数的单调性，进而得出
取最大值时的p的值，再结合随机变量分布列求方差公式和二次函数图像求最值的方法，得出
取最大值时的p的值。
14．【答案】（1）解：8所学校中有ABEF四所学校学生的体质健康测试成绩达到良好及其以上的比例超过40% ，
所以从8所学校中随机取出一所学校，该校为先进校的概率为；
（2）解：8所学校中，学生不及格率低于30%的学校有学校B F H三所，所以X的取值为0，1，2.
所以随机变量X的分布列为：
X 0 1 2
P
（3）解：设优秀的比例为随机变量Y，则良好及以下的比例之和为Z=1-Y，
则，
所以：S12=S22.
【考点】古典概型及其概率计算公式；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合古典概型求概率公式得出从8所学校中随机取出一所学校，该校为先进校的概率。
（2）设8所学校中，学生不及格率低于30%的学校有学校B F H三所，再利用已知条件得出随机变量X的取值，再利用组合数公式和古典概型求概率公式得出随机变量X的分布列。
（3） 设优秀的比例为随机变量Y，则良好及以下的比例之和为Z=1-Y， 再利用方差公式得出，进而比较出S12与S22的大小。
15．【答案】（1）解：由直方图可得第二组的频率为，
∴全校学生的平均成绩为：
（2）解：由题可知成绩在80分及以上的学生共有人，其中中的人数为5，
所以可取0,1,2,3，则
，，
，，
故的分布列为：
0 1 2 3
P
；
（3）解：.
【考点】频率分布直方图；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】(1)利用直方图的性质及平均数的计算方法即可求得全校学生的平均成绩；
(2)由题可知X服从超几何分布，即可求出 的分布列及数学期望；
(3)由超几何分布即可求得方差与的大小 .
16．【答案】（1）解：由题意得，样本中仅参加某一类课后服务的学生共有
（人）
又样本中未参加任何课后服务的有14人，
故样本中上个月至少参加了两类课后服务活动的学生共有（人）
则从全校学生中随机抽取1人，该学生上个月至少参加了两类课后服务活动的频率为
由此，可估计该学生上个月至少参加了两类课后服务活动的概率
（2）解：样本中，上个月仅参加学业辅导的有（人），对应频率为0.25
以频率估计概率，从全校学生中随机抽取1人，上个月仅参加学业辅导的概率为0.25，
X的可能取值为0，1，2，3，
X的分布列为
X 0 1 2 3
P
X的数学期望
（3）解：由题意可知随机变量X服从二项分布，故.
又知：上个月未参加任何课后服务的学生有人在本月选择仅参加学业辅导（样本中其他学生参加课后服务的情况在本月没有变化．），
则本月从全校学生中随机抽取1人仅参加学业辅导的概率估计为P ，且.
以Y表示这3人中本月仅参加学业辅导的人数，由题意可知随机变量Y服从二项分布，
故,.
【考点】离散型随机变量的期望与方差；二项分布与n次独立重复试验的模型
【解析】【分析】（1） 由题意得，可取出样本中仅参加某一类课后服务的学生共有59人，未参加任何课后服务的有14人 ，可得 本中上个月至少参加了两类课后服务活动的学生共有27人，然后求解概率即可；
（2）X的可能取值为0，1，2，3， 求出概率，得到分布列，然后求解即可；
（3） 由题意可知随机变量X，Y服从二项分布,分别求方差，判断方差的大小即可.
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高中数学人教A版（2019）选择性必修三 第七章 随机变量及其分布 7.3 离散型随机变量的数字特征 方差
一、单选题
1．（2022高二下·湖州期中）已知随机变量 的分布列如下表，若 ，则 （ ）
-1 0 1
P
A． B． C． D．
【答案】C
【考点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【解答】解：由题意得，解得，则.
则.
故答案为：C
【分析】由期望公式可得a，结合分布列的性质有b，再应用方差公式求D(X).
2．（2022高二下·河南月考）已知，，随机变量的分布列如下：
0
当取最大值时，（ ）
A．1 B． C．3 D．
【答案】A
【考点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【解答】解法一：根据随机变量分布列的性质，得，所以，
所以，
当且仅当时取等号，此时随机变量的分布列为
0
所以.
故答案为：A．
解法二：根据随机变量分布列的性质，得，所以，
所以．
令，，则，
所以，
当且仅当，即时取等号，
此时随机变量的分布列为
0 2 8
故，所以．
故答案为：A．
【分析】解法一：由分布列性质得，进而得，再根据基本不等式即可得，当且仅当时取等号，再根据方程公式计算即可得答案.
解法二：由分布列的性质得，进而得，令，，根据三角换元得：，当且仅当，即时取等号，再求随机变量的分布列，进而根据公式计算即可.
3．（2022·淮北模拟）下列说法正确的有（ ）
A．两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于0
B．若是随机变量，则.
C．已知随机变量，若，则
D．设随机变量表示发生概率为的事件在一次随机实验中发生的次数，则
【答案】D
【考点】离散型随机变量的期望与方差；正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义
【解析】【解答】解：对于A：根据相关系数的定义可知A不符合题意；
对于B：若是随机变量，则，B不符合题意；
对于C：因为随机变量服从正态分布，故，
则，C不符合题意；
对于D：随机变量的可能取值为、，故，
，当且仅当取等号，D符合题意；
故答案为：D
【分析】利用相关系数的定义判断A的正误；期望与方差的性质判断B、D的正误；正态分布的性质判断C的正误.
4．（2021高三上·金华期末）随机变量ξ的分布列如下表：
ξ 1 a 9
P b b
其中，，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则当时，随b的增大而增大
B．若，则当时，随b的增大而减小
C．若，则当时，有最小值
D．若，则当时，有最大值
【答案】C
【考点】概率的基本性质；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【解答】若
，则
，故A,B均错误；
若
，则
，
，其对称轴为：
，则
时，
有最小值，即C正确，D错误.
故选：C.
【分析】利用已知条件结合概率的基本性质和随机变量求数学期望和方差公式，再结合函数单调性的定义得出随机变量的数学期望随着a的增大而增大，再利用二次函数的图像求最值的方法结合已知条件得出随机变量的方差的最小值，进而找出说法正确的选项。
5．（2022·平顶山模拟）甲乙丙三人参加2022年冬奥会北京、延庆、张家口三个赛区志愿服务活动，若每人只能选择一个赛区，且选择其中任何一个赛区是等可能的．记X为三人选中的赛区个数，Y为三人没有选中的赛区个数，则（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】D
【考点】离散型随机变量的期望与方差
【解析】【解答】解：由题意得
的可能取值为1，2，3，
则
，
，
，
所以
，
，
的可能取值为0，1，2，
则
，
，
，
，
；
，
．
故答案为：D．
【分析】由古典概型概率计算公式计算X，Y，取每一个值对应概率，得到其分布列，再由期望，方差计算公式得出结果，即可判断。
6．（2021高二上·上饶期末）设，随机变量X的分布列如下表所示，随机变量Y满足，则当a在上增大时，关于的表述下列正确的是（ ）
X 0 1 3
P a b
A．增大 B．减小
C．先增大后减小 D．先减小后增大
【答案】A
【考点】离散型随机变量的期望与方差
【解析】【解答】由得
则，
由得
a在上增大时, 增大.
故答案为：A
【分析】根据题意由已知条件即可得出b的取值，再由期望以及方差公式，代入数值计算出结果，然后由已知条件结合二次函数的图象和性质，对选项逐一判断即可得出答案。
7．（2021高三上·浙江月考）已知随机变量 的分布列如下表：
X -1 0 1
P a b 0.5
其中 ，则 的方差 取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【考点】离散型随机变量的期望与方差
【解析】【解答】由题意可知： ，
，
，
设 ，
因为 ， 在 单调递减，
所以 ，
所以方差 取值范围是
故答案为：D
【分析】由题意可知： ，根据数学期望和方差的公式可得，，利用二次函数的性质即可求出方差 取值范围。
二、多选题
8．（2022高二下·临沂期中）离散型随机变量的分布列如下表，若离散型随机变量满足，则下列结果正确的有（ ）
0 1 2 3 4
q 0.4 0.1 0.2 0.2
A． B．，
C．， D．，
【答案】A,C,D
【考点】离散型随机变量的期望与方差
【解析】【解答】因为，所以，A符合题意；
又，
，C符合题意；
因为，所以，，D符合题意，
故答案为：ACD.
【分析】根据分布列的性质计算q的值，然后根据期望和方差公式计算E(X), D (X)，由分布列的性质可得E(Y)和D(Y).
9．（2022高二下·湖州期中）对于离散型随机变量 的数学期望 和方差 ，下列说法正确的是（ ）
A． 反映随机变量的平均取值
B． 越小，说明 越集中于
C．
D．
【答案】A,B,C
【考点】离散型随机变量的期望与方差
【解析】【解答】解：离散型随机变量的期望反映了随机变量取值的平均水平，方差反映了随机变量取值偏离于均值的平均程度，方差越小，说明随 机变量的取值越集中于均值，即AB正确，由期望和方差的性质可得，E(aX+b)=aE(X)+b，D(aX+b)=a2D(X),即C正确，D错.
故答案为：ABC.
【分析】根据离散型随机变量的期望和方差表示的意义，以及期望与方程的性质，可直接判断出结果.
10．（2022·岳阳模拟）若随机变量X服从两点分布，其中，E（X）、D（X）分别为随机变量X均值与方差，则下列结论正确的是（ ）
A．P（X＝1）＝E（X） B．E（3X+2）＝4
C．D（3X+2）＝4 D．
【答案】A,B
【考点】离散型随机变量的期望与方差；概率的应用
【解析】【解答】随机变量X服从两点分布，其中，
∴P（X＝1），
E（X），
D（X）＝（0）2（1）2，
在A中，P（X＝1）＝E（X），A符合题意；
在B中，E（3X+2）＝3E（X）+2＝34，B符合题意；
在C中，D（3X+2）＝9D（X）＝92，C不符合题意；
在D中，D（X），D不符合题意.
故答案为：AB.
【分析】 利用随机变量X服从两点分布，其中， 再结合数学期望公式和方差公式，进而求出随机变量X的数学期望和方差，再结合概率的基本性质和数学期望和方差的性质，进而找出结论正确的选项。
三、填空题
11．（2022·浙江模拟）随机变量的分布列如下表：
1 a 9
P
其中，则当 时，有最小值 .
【答案】5；
【考点】离散型随机变量的期望与方差
【解析】【解答】，
，
故当时，取最小，最小值.
故答案为：.
【分析】 根据已知条件，结合期望与方差的公式，即可求解出答案。
12．（2022高二下·山东月考）已知随机变量X满足则 ， ．
【答案】5；4
【考点】离散型随机变量的期望与方差
【解析】【解答】因为，
所以。
故答案为： 5 ； 4。
【分析】里有一种推荐结合随机变量求数学期望公式和数学期望的性质，再结合随机变量求方差公式，进而得出随机变量X的数学期望和方差。
13．（2021高三上·浙江期末）随机变量的分布列如下表，其中．当 时，取最大值；当 时，有最大值．
1 2 3
P p
【答案】；
【考点】二次函数在闭区间上的最值；概率的基本性质；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【解答】由题意可得
，故当
时，
取最大值；
，
故当
时，
取最大值。
故答案为：
；
。
【分析】利用已知条件结合随机变量分布列求数学期望公式和一次函数的单调性，进而得出
取最大值时的p的值，再结合随机变量分布列求方差公式和二次函数图像求最值的方法，得出
取最大值时的p的值。
四、解答题
14．（2022高一下·武功月考）为了解某地区初中学生的体质健康情况，统计了该地区8所学校学生的体质健康数据，按总分评定等级为优秀，良好，及格，不及格.良好及其以上的比例之和超过40%的学校为先进校.各等级学生人数占该校学生总人数的比例如下表：
比例 学校 等级 学校A 学校B 学校C 学校D 学校E 学校F 学校G 学校H
优秀 8% 3% 2% 9% 1% 22% 2% 3%
良好 37% 50% 23% 30% 45% 46% 37% 35%
及格 22% 30% 33% 26% 22% 17% 23% 38%
不及格 33% 17% 42% 35% 32% 15% 38% 24%
（1）从8所学校中随机选出一所学校，求该校为先进校的概率；
（2）从8所学校中随机选出两所学校，记这两所学校中不及格比例低于30%的学校个数为X，求X的分布列；
（3）设8所学校优秀比例的方差为S12，良好及其以下比例之和的方差为S22，比较S12与S22的大小.(只写出结果)
【答案】（1）解：8所学校中有ABEF四所学校学生的体质健康测试成绩达到良好及其以上的比例超过40% ，
所以从8所学校中随机取出一所学校，该校为先进校的概率为；
（2）解：8所学校中，学生不及格率低于30%的学校有学校B F H三所，所以X的取值为0，1，2.
所以随机变量X的分布列为：
X 0 1 2
P
（3）解：设优秀的比例为随机变量Y，则良好及以下的比例之和为Z=1-Y，
则，
所以：S12=S22.
【考点】古典概型及其概率计算公式；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合古典概型求概率公式得出从8所学校中随机取出一所学校，该校为先进校的概率。
（2）设8所学校中，学生不及格率低于30%的学校有学校B F H三所，再利用已知条件得出随机变量X的取值，再利用组合数公式和古典概型求概率公式得出随机变量X的分布列。
（3） 设优秀的比例为随机变量Y，则良好及以下的比例之和为Z=1-Y， 再利用方差公式得出，进而比较出S12与S22的大小。
15．某学校在寒假期间安排了“垃圾分类知识普及实践活动”.为了解学生的学习成果，该校从全校学生中随机抽取了50名学生作为样本进行测试，记录他们的成绩，测试卷满分100分，将数据分成6组：，，，，，，并整理得到如下频率分布直方图：
（1）若全校学生参加同样的测试，试估计全校学生的平均成绩（每组成绩用中间值代替）；
（2）在样本中，从其成绩在80分及以上的学生中随机抽取3人，用表示其成绩在中的人数，求的分布列及数学期望；
（3）在（2）抽取的3人中，用表示其成绩在的人数，试判断方差与的大小.（直接写结果）
【答案】（1）解：由直方图可得第二组的频率为，
∴全校学生的平均成绩为：
（2）解：由题可知成绩在80分及以上的学生共有人，其中中的人数为5，
所以可取0,1,2,3，则
，，
，，
故的分布列为：
0 1 2 3
P
；
（3）解：.
【考点】频率分布直方图；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】(1)利用直方图的性质及平均数的计算方法即可求得全校学生的平均成绩；
(2)由题可知X服从超几何分布，即可求出 的分布列及数学期望；
(3)由超几何分布即可求得方差与的大小 .
16．（2022·北京市模拟）“双减”政策实施以来，各地纷纷推行课后服务“5+2"模式，即学校每周周一至周五5天都要面向所有学生提供课后服务，每天至少2小时．某学校的课后服务有学业辅导体育锻炼、实践能力创新培养三大类别，为了解该校学生上个月参加课后服务的情况，该校从全校学生中随机抽取了100人作为样本．发现样本中未参加任何课后服务的有14人，样本中仅参加某一类课后服务的学生分布情况如下：
每周参加活动天数 课后服务活动 1天 2~4天 5天
仅参加学业辅导 10人 11人 4人
仅参加体育锻炼 5人 12人 1人
仅参加实践能力创新培养 3人 12人 1人
（1）从全校学生中随机抽取1人．估计该学生上个月至少参加了两类课后服务活动的概率；
（2）从全校学生中随机抽取3人．以频率估计概率，以X表示这3人中上个月仅参加学业辅导的人数．求X的分布列和数学期望；
（3）老样本中上个月未参加任何课后服务的学生有人在本月选择仅参加学业辅导．样本中其他学生参加课后服务的情况在本月没有变化．从全校学生中随机抽取3人．以频率估计概率，以X表示这3人中上个月仅参加学业辅导的人数，以Y表示这3人中本月仅参加学业辅导的人数．试判断方差、的大小关系（结论不要求证明）．
【答案】（1）解：由题意得，样本中仅参加某一类课后服务的学生共有
（人）
又样本中未参加任何课后服务的有14人，
故样本中上个月至少参加了两类课后服务活动的学生共有（人）
则从全校学生中随机抽取1人，该学生上个月至少参加了两类课后服务活动的频率为
由此，可估计该学生上个月至少参加了两类课后服务活动的概率
（2）解：样本中，上个月仅参加学业辅导的有（人），对应频率为0.25
以频率估计概率，从全校学生中随机抽取1人，上个月仅参加学业辅导的概率为0.25，
X的可能取值为0，1，2，3，
X的分布列为
X 0 1 2 3
P
X的数学期望
（3）解：由题意可知随机变量X服从二项分布，故.
又知：上个月未参加任何课后服务的学生有人在本月选择仅参加学业辅导（样本中其他学生参加课后服务的情况在本月没有变化．），
则本月从全校学生中随机抽取1人仅参加学业辅导的概率估计为P ，且.
以Y表示这3人中本月仅参加学业辅导的人数，由题意可知随机变量Y服从二项分布，
故,.
【考点】离散型随机变量的期望与方差；二项分布与n次独立重复试验的模型
【解析】【分析】（1） 由题意得，可取出样本中仅参加某一类课后服务的学生共有59人，未参加任何课后服务的有14人 ，可得 本中上个月至少参加了两类课后服务活动的学生共有27人，然后求解概率即可；
（2）X的可能取值为0，1，2，3， 求出概率，得到分布列，然后求解即可；
（3） 由题意可知随机变量X，Y服从二项分布,分别求方差，判断方差的大小即可.
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