第5章 5.2.2　导数的四则运算法则(word版含答案)

5.2.2　导数的四则运算法则
素养目标 学科素养
1.掌握导数的运算法则．(重点)2．利用导数的运算法则解决有关问题．(难点) 1.数学抽象；2．逻辑推理；3．数学运算
情境导学
古希腊欧几里得在《几何原本》中所建立的几何体系，堪称“雄伟的建筑”“庄严的结构”“巍峨的阶梯”，它使得多少科学少年为之神往！数学中优美的公式就如但丁《神曲》中的诗句、黎曼几何学与肖邦的钢琴曲一样优美．导数公式及运算法则的和谐与对称具有一种崇高美，今天，让我们一起领略吧！
导数的四则运算法则
(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；
(2)[f(x)g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；
(3)′＝(g(x)≠0)．
特别地：
①当g(x)＝c(c为常数)时，[cf(x)]′＝cf′(x)；
②当f(x)＝1时，′＝－.
判断(正确的打“√”，错误的打“×”)．
(1)若f′(x)＝2x，则f(x)＝x2.(　　)
×　提示：若f′(x)＝2x，则f(x)＝x2＋c.
(2)已知函数y＝2sinx－cosx，则y′＝2cosx＋sinx．(　　)
√　提示：若y＝2sinx－cosx，
则y′＝(2sinx)′－(cosx)′＝2cosx＋sinx.
(3)已知函数f(x)＝(x＋1)(x＋2)，则f′(x)＝2x＋1.(　　)
×　提示：因为f(x)＝(x＋1)(x＋2)＝x2＋3x＋2，所以f′(x)＝2x＋3.
1．函数y＝sinx·cosx的导数是(　　)
A．y′＝cos2x＋sin2x
B．y′＝cos2x－sin2x
C．y′＝2cosx·sinx
D．y′＝cosx·sinx
B　解析：y′＝(sinx·cosx)′＝cosx·cosx＋sinx·(－sinx)＝cos2x－sin2x.
2．若y＝cosx＋ex，则y′＝(　　)
A．－sinx＋ex
B．sinx＋ex
C．－sinx＋
D．sinx＋
A　解析：y′＝(cosx)′＋(ex)′＝－sinx＋ex.
3．下列求导运算正确的是(　　)
A．′＝1－
B．(log2x)′＝
C．(x·ln x)′＝
D．(3x)′＝3xlog3e
B　解析：′＝1－，(xln x)′＝ln x＋1，(3x)′＝3xln 3，故A，C，D均错误，B正确．
4．函数y＝x3cosx的导数是(　　)
A．3x2cosx＋x3sinx
B．3x2cosx－x3sinx
C．3x2cosx
D．－x3sinx
B　解析：y′＝(x3)′cosx＋x3(cosx)′＝3x2cosx－x3sinx.
5．f(x)＝(2x＋a)2，且f′(2)＝20，则a＝________.
1　解析：f(x)＝4x2＋4ax＋a2，
∵f′(x)＝8x＋4a，
∴f′(2)＝16＋4a＝20，∴a＝1.
【例1】求下列函数的导数．
(1)y＝2x3＋x2－x＋1；
(2)y＝x4＋cosx；
(3)y＝ex＋ln x.
解：(1)y′＝(2x3)′＋(x2)′－(x)′＋(1)′＝6x2＋2x－1.
(2)y′＝(x4)′＋(cosx)′＝4x3－sinx.
(3)y′＝(ex)′＋(ln x)′＝ex＋.
1．两个函数和(或差)的求导法则：设函数f(x)，g(x)是可导的，则[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)，即两个函数的和(或差)的导数，等于这两个函数的导数的和(或差)．
2．熟记常见基本初等函数的求导公式是进行求导运算的前提．判断所给函数解析式的结构特点，选择正确的公式和运算法则．
求下列函数的导数．
(1)y＝x5＋x3；
(2)y＝5x－ln x；
(3)y＝log5x＋sinx.
解：(1)y′＝′＋′＝x4＋2x2.
(2)y′＝(5x)′－(ln x)′＝5xln 5－.
(3)y′＝(log5x)′＋(sinx)′＝＋cosx.
【例2】求下列函数的导数．
(1)y＝(2x2＋3)(3x－2)；
(2)y＝2xcosx－3xln x；
(3)y＝.
解：(1)(方法一)y′＝(2x2＋3)′(3x－2)＋(2x2＋3)(3x－2)′＝4x(3x－2)＋(2x2＋3)×3＝18x2－8x＋9.
(方法二)∵y＝(2x2＋3)(3x－2)＝6x3－4x2＋9x－6，∴y′＝18x2－8x＋9.
(2)y′＝(2xcosx－3xln x)′＝(2x)′cosx＋2x(cosx)′－3[x′ln x＋x(ln x)′]＝2xln 2×cosx－2xsinx－3＝2xln 2×cosx－2xsinx－3ln x－3.
(3)y′＝＝＝.
两个函数积的求导法则：设函数f(x)，g(x)是可导的，则[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)．　
两个函数商的求导法则：设函数f(x)，g(x)是可导的，且g(x)≠0，则′＝.　
运算过程易出现失误的原因是不能正确理解求导法则，特别是商的求导法则．求导过程中符号判断不清，也是导致错误的原因．另外在求导之前观察函数是否可以化简，再进行求导，可以避免使用商的求导法则，从而减少运算量．
求下列函数的导数．
(1)y＝3x2＋xcosx；
(2)y＝.
解：(1)y′＝(3x2)′＋(xcosx)′＝6x＋x′cosx＋x(cosx)′＝6x＋cosx－xsinx.
(2)y′＝＝.
探究题1　若曲线y＝xln x上点P处的切线平行于直线2x－y＋1＝0，则点P的坐标是________．
(e，e)　解析：设P(x0，y0)．∵y＝xln x，
∴y′＝ln x＋x·＝1＋ln x.
∴k＝1＋ln x0.又k＝2，
∴1＋ln x0＝2，∴x0＝e.
∴y0＝eln e＝e.
∴点P的坐标是(e，e)．
探究题2　已知函数f(x)＝ax2＋ln x的导数为f′(x)．
(1)求f(1)＋f′(1)；
(2)若曲线y＝f(x)存在垂直于y轴的切线，求实数a的取值范围．
解：(1)由题意，函数的定义域为(0，＋∞)，
由f(x)＝ax2＋ln x，得f′(x)＝2ax＋，
所以f(1)＋f′(1)＝3a＋1.
(2)因为曲线y＝f(x)存在垂直于y轴的切线，故此时切线斜率为0，问题转化为在x∈(0，＋∞)内导函数f′(x)＝2ax＋存在零点．
令f′(x)＝0，即2ax＋＝0有正实数解，
即2ax2＝－1有正实数解，故有a<0，
所以实数a的取值范围是(－∞，0)．
解决有关切线问题的关注点：
(1)此类问题往往涉及切点、切点处的导数、切线方程三个主要元素．
(2)准确利用求导法则求出导函数是解决此类问题的第一步，也是解题的关键，务必做到准确．
(3)分清已知点是否在曲线上，若不在曲线上，则要设出切点，这是解题时的易错点．另外有的点虽然在切线上，但是经过该点的切线不一定只有1条，即该点有可能是切点，也可能是切线与曲线的交点，解题时注意不要漏解．
已知函数f(x)＝ax2＋bx＋3(a≠0)，其导函数f′(x)＝2x－8.
(1)求a，b的值；
(2)设函数g(x)＝exsinx＋f(x)，求曲线g(x)在x＝0处的切线方程．
解：(1)因为f(x)＝ax2＋bx＋3(a≠0)，
所以f′(x)＝2ax＋b.
又知f′(x)＝2x－8，所以a＝1，b＝－8.
(2)由(1)可知g(x)＝exsinx＋x2－8x＋3，
所以g′(x)＝exsinx＋excosx＋2x－8，
所以g′(0)＝e0sin0＋e0cos0＋2×0－8＝－7.
又知g(0)＝3，
所以g(x)在x＝0处的切线方程为y－3＝－7(x－0)．即7x＋y－3＝0.
1．函数f(x)＝x3－2x2－3的导数为(　　)　　　　　　　　　　　　　
A．f′(x)＝3x2－4x
B．f′(x)＝3x2－4x－3
C．f′(x)＝3x2－2x
D．f′(x)＝3x2－2x－3
A　解析：∵f(x)＝x3－2x2－3, ∴f′(x)＝3x2－4x.故选A．
2．已知f(x)＝sinx＋cosx＋，则f′等于(　　)
A．－1＋ B．＋1
C．1 D．－1
D　解析：由f(x)＝sinx＋cosx＋，得f′(x)＝cosx－sinx，所以f′＝cos－sin＝－1.故选D．
3．函数f(x)＝x3－x2＋x的图象在原点的切线方程为(　　)
A．x－y＝0 B．x＋2y＝0
C．x＋y＝0 D．x－2y＝0
A　解析：由函数f(x)＝x3－x2＋x，则f′(x)＝3x2－2x＋1，
所以f′(0)＝1，所以函数f(x)＝x3－x2＋x的图象在原点的切线方程为y－0＝1(x－0)，即x－y＝0.故选A．
4．函数y＝x2cosx＋x2的导数为(　　)
A．y′＝2xcosx－x2sinx＋2x
B．y′＝2xcosx＋x2sinx＋2x
C．y′＝x2cosx－2x2sinx－2x
D．y′＝xcosx－x2sinx－x2
A　解析：∵y＝x2cosx＋x2，
∴y′＝(x2)′cosx＋x2·(cosx)′＋(x2)′＝2xcosx－x2sinx＋2x，故选A．
5．已知函数f(x)＝x2＋xln x.
(1)求这个函数的导数f′(x)；
(2)求这个函数在x＝1处的切线方程．
解：(1)因为f(x)＝x2＋xln x，所以f′(x)＝2x＋ln x＋1.
(2)由题意可知，切点的横坐标为1，所以切线的斜率是k＝f′(1)＝2＋1＝3，
又f(1)＝1，所以切线方程为y－1＝3(x－1)，整理得3x－y－2＝0.
1．熟练运用积、商的求导法则，不可混淆．
2．函数解析式较复杂时，可以化简的要先化简再求导．
课时分层作业(十五)
导数的四则运算法则
(60分钟　100分)
知识点1　利用导数的加法与减法法则求导
1．(5分)已知f(x)＝x3－3x，则f′(x)＝(　　)
A．3x2－3x
B．3x2－3xln 3＋
C．3x2＋3xln 3
D．3x2－3xln 3
D　解析：∵f(x)＝x3－3x，∴f′(x)＝3x2－3xln 3.
2．(5分)已知f(x)＝sinx－cosx，则f′＝(　　)
A．0 B．
C． D．1
C　解析：∵f′(x)＝cosx＋sinx，
∴f′＝cos＋sin＝＋＝.
3．(5分)曲线f(x)＝x3－x2＋5在x＝1处的切线的倾斜角为(　　)
A． B．
C． D．
B　解析：f′(x)＝x2－2x，k＝f′(1)＝－1，故切线的倾斜角为.
4．(5分)曲线y＝2sinx＋cosx在点(π，－1)处的切线方程为(　　)
A．x－y－π－1＝0 B．2x－y－2π－1＝0
C．2x＋y－2π＋1＝0 D．x＋y－π＋1＝0
C　解析：由y＝2sinx＋cosx可得y′＝2cosx－sinx，当x＝π时，y′＝－2，即切线的斜率为－2，所以切线方程为2x＋y－2π＋1＝0.
5．(5分)函数y＝(ex＋e－x)的导数是(　　)
A．(ex－e－x) B．(ex＋e－x)
C．ex－e－x D．ex＋e－x
A　解析：y′＝′＋′＝ex－e－x＝(ex－e－x)．
知识点2　利用导数的乘法与除法法则求导
6．(5分)下列运算正确的是(　　)
A．(ax2－bx＋c)′＝a(x2)′＋b(－x)′
B．(sinx＋2x2)′＝(sinx)′＋2′(x2)′
C．(cosx·sinx)′＝(sinx)′cosx＋(cosx)′cosx
D．′＝
A　解析：根据导数的四则运算法则易知A正确．
7．(5分)函数y＝的导数是(　　)
A．
B．
C．
D．
C　解析：y′＝
＝
＝.
8．(5分)函数y＝(a>0)的导数为0，那么x等于(　　)
A．a B．±a
C．－a D．a2
B　解析：y′＝＝.由x2－a2＝0得x＝±a.
9.(5分)已知函数f(x)＝axln x，x∈(0，＋∞)，其中a为实数，f′(x)为f(x)的导函数．若f′(1)＝3，则a的值为________．
3　解析：f′(x)＝a＝a(1＋ln x)．由于f′(1)＝a(1＋ln 1)＝a，又f′(1)＝3, 所以a＝3.
10.(5分)若函数f(x)＝x2－2x－4ln x，则f′(x)>0的解集为(　　)
　 　　　　　 　　　　　 　　　　
A．(0，＋∞) B．(－1,0)∪(2，＋∞)
C．(2，＋∞) D．(－1,0)
C　解析：由题意知x>0，且f′(x)＝2x－2－，
若f′(x)＝>0，则x2－x－2>0，
解得x<－1或x>2.又x>0，∴x>2.
11．(5分)已知曲线y＝aex＋xln x在点(1，ae)处的切线方程为y＝2x＋b，则(　　)
A．a＝e，b＝－1 B．a＝e，b＝1
C．a＝e－1，b＝1 D．a＝e－1，b＝－1
D　解析：令f(x)＝aex＋xln x，
则f′(x)＝aex＋ln x＋1，f′(1)＝ae＋1＝2，得a＝＝e－1.f(1)＝ae＝2＋b, 可得b＝－1.
12．(5分)曲线y＝xsinx在点处的切线与x轴、直线x＝π所围成的三角形的面积为 (　　)
A． B．π2
C．2π2 D．(2＋π)2
A　解析：曲线y＝xsinx在点处的切线方程为y＝－x，所围成的三角形的顶点为O(0,0)，A(π，0)，C(π，－π)，所以三角形面积为.
13.(5分)曲线f(x)＝在点(1,1)处的切线为l，则l上的点到圆x2＋y2＋4x＋3＝0上的点的最近距离是________．
2－1　解析：f′(x)＝，则f′(1)＝－1，
∴切线方程为y－1＝－(x－1)，即x＋y－2＝0，圆心(－2，0)到直线的距离d＝2，圆的半径r＝1，∴所求最近距离为2－1.
14.(5分)已知曲线y1＝2－与y2＝x3－x2＋2x在x＝x0处切线的斜率的乘积为3，则x0＝________.
1　解析：由题知y′1＝，y′2＝3x2－2x＋2，所以两曲线在x＝x0处切线的斜率分别为，3x－2x0＋2，所以＝3，所以x0＝1.
15.(5分)已知函数f(x)＝f′cosx＋sinx，则f的值为________．
1　解析：∵f′(x)＝－f′sinx＋cosx，
∴f′＝－f′×＋，
得f′＝－1.
∴f(x)＝(－1)cos x＋sinx.
∴f＝1.
16.(5分)若曲线y＝ax2－ln x在点(1，a)处的切线平行于x轴，则a＝________.
　解析：∵点(1，a)在曲线y＝ax2－ln x上，
∴切线与曲线在点(1，a)处相切．
又∵f′(x)＝y′＝2ax－，
∴f′(1)＝2a－1.
∴切线的斜率为2a－1.又切线平行于x轴，
∴2a－1＝0，∴a＝.
17.(10分)求下列函数的导数：
(1)y＝3－x3；
(2)y＝sinx－2x2；
(3)y＝cosx·ln x；
(4)y＝.
解：(1)y＝3－x3，
则y′＝(3)′－(x3)′＝－3x2.
(2)y′＝(sinx－2x2)′＝(sinx)′－(2x2)′＝cosx－4x.
(3)y′＝(cosx·ln x)′＝(cosx)′·ln x＋cosx·(ln x)′＝－sinx·ln x＋.
(4)y′＝′＝＝＝.
18.(10分)已知f(x)＝x2＋ax＋b，g(x)＝x2＋cx＋d，又f(2x＋1)＝4g(x)，且f′(x)＝g′(x)，f(5)＝30，求g(4)．
解：由f(2x＋1)＝4g(x)得
4x2＋2(a＋2)x＋(a＋b＋1)＝4x2＋4cx＋4d.
于是有a＋2＝2c，①
a＋b＋1＝4d.②
由f′(x)＝g′(x)得2x＋a＝2x＋c，
于是a＝c.③
由①与③有a＝c＝2.
此时f(x)＝x2＋2x＋b，
由f(5)＝30得25＋10＋b＝30，④
于是b＝－5，再由②得d＝－.
从而g(x)＝x2＋2x－，
故g(4)＝16＋8－＝.