北师大版数学九年级下册 第三章 圆 4 圆周角和圆心角的关系（第2课时）-课件(24张ppt)

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第三章
圆
圆周角和圆心角的关系
（第2课时）
学习目标
1.复习并巩固圆周角和圆心角的相关知识.
2.理解并掌握圆内接四边形的概念及性质并学会运用. (重点)
复习引入
问题1 什么是圆周角？
特征：
① 角的顶点在圆上.
② 角的两边都与圆相交.
顶点在圆上,并且两边都和圆相交的角叫圆周角.
●O
B
A
C
D
E
问题2 什么是圆周角定理？
圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
●O
A
B
C
●O
A
B
C
●O
A
B
C
即 ∠ABC = ∠AOC.
直径所对应的圆周角
一
讲授新课
思考：如图，AC是圆O的直径，
则∠ADC= ，
∠ABC= .
90°
90°
推论：直径所对的圆周角是直角.
反之，90°的圆周角所对的弦是直径.
问题 你能确定圆形笑脸的圆心吗？
利用三角板在圆中画出两个90°的圆周角，这样就得到
两条直径，那么这两条直径的交点就是圆心.
例1 如图，⊙O的直径AC为10 cm，弦AD为6 cm.
（1）求DC的长；
（2）若∠ADC的平分线交⊙O于B, 求AB，BC的长．
B
解：(1)∵AC是直径，
∴ ∠ADC=90°.
在Rt△ADC中，
例题讲解
在Rt△ABC中，AB2+BC2=AC2，
(2)∵ AC是直径,∴ ∠ABC=90°.
∵BD平∠ADC,∴∠ADB=∠CDB.
又∵∠ACB=∠ADB ,∠BAC=∠BDC .
∴ ∠BAC=∠ACB,
∴AB=BC.
B
解答圆周角有关问题时，若题中出现“直径”这个条件，则考虑构造直角三角形来求解.
归纳
如图，BD是⊙O的直径，∠CBD＝30°，则∠A的度数为(　　)
A．30° B．45° C．60° D．75°
解析：∵BD是⊙O的直径，
∴∠BCD＝90°.
∵∠CBD＝30°，
∴∠D＝60°，∴∠A＝∠D＝60°.故选C.
C
练一练
圆内接四边形及其性质
二
四边形的四个顶点都在同一个圆上，那么，像这样的四边形叫作圆内接四边形，这个圆叫作四边形的外接圆.
思考：圆内接四边形有什么特殊的性质吗？
如图，四边形ABCD为☉O的内接四边形，☉O为四边形ABCD的外接圆.
(2)当ABCD为一般四边形时，
猜想：∠A与∠C, ∠B与∠D之间的关系为 .
∠A+∠C=180 ，∠B+∠D=180
(1)当ABCD为矩形时，∠A与∠C, ∠B与∠D之间的关系为 .
∠A+∠C=180 ，∠B+∠D=180
性质探究
证明：圆内接四边形的对角互补.
已知，如图，四边形ABCD为☉O的内接四边形，☉O为四边形ABCD的外接圆. 求证∠BAD+∠BCD=180°.
证明：连接OB，OD.
根据圆周角定理，可知
1
2
由四边形内角和定理可知，∠ABC+∠ADC=180°.
试一试
圆内接四边形的对角互补.
推论
要点归纳
C
O
D
B
A
∵∠A＋∠DCB＝180°，
E
∠DCB＋∠DCE＝180°.
∴∠A＝∠DCE.
如图，∠DCE是圆内接四边形ABCD的一个外角，∠A与∠DCE的大小有何关系？
想一想
1．四边形ABCD是⊙O的内接四边形，且∠A=110°，∠B=80°，则∠C= ，∠D= .
2．⊙O的内接四边形ABCD中，∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3 ，则∠D= .
70
100
90
练一练
3. 如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，∠BOD＝120°，那么∠BCD是(　　)
A．120° B．100°
C．80° D．60°
解析：∵∠BOD＝120°，∴∠A＝60°，
∴∠C＝180°－60°＝120°，故选A.
A
例2 如图，AB为⊙O的直径，CF⊥AB于E，交⊙O于D，AF交⊙O于G. 求证：∠FGD＝∠ADC.
证明：∵四边形ACDG内接于⊙O，∴∠FGD＝∠ACD.
又∵AB为⊙O的直径，CF⊥AB于E，∴AB垂直平分CD，
∴AC＝AD，
∴∠ADC＝∠ACD，
∴∠FGD＝∠ADC.
例题讲解
1.如图，AB是⊙O的直径, C ，D是圆上的两点,∠ABD=40°,则∠BCD=＿＿＿_.
50°
A
B
O
C
D
2.如图，∠A=50°， ∠ABC=60 °，BD是⊙O的直径，则∠AEB等于 （ ）
A.70° B.110°
C.90° D.120°
B
A
C
B
O
D
E
随堂练习
3.在⊙O中，∠CBD=30°，∠BDC=20°,求∠A.
O
A
B
D
C
解：∵∠CBD=30°，∠BDC=20°，
∴∠C=180°-∠CBD-∠BDC=130°，
∴∠A=180°-∠C=50°. （圆内接四边形对角互补）
变式：已知∠OAB等于40°,求∠C 的度数.
A
B
C
O
D
4.如图，△ABC内接于⊙O，AB=BC，∠ABC=120°，AD为⊙O的直径，AD=6，那么AB的值为（　　）
A．3 B． C． D．2
A
5.如图，点A，B，D，E在⊙O上，弦AE，BD的延长线相交于点C.若AB是⊙O的直径，D是BC的中点．
(1)试判断AB，AC之间的大小关系，并给出证明.
解：(1)AB＝AC.
证明如下：连接AD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°， 即AD⊥BC.
∵BD＝DC，
∴AD垂直平分BC，
∴AB＝AC.
(2)在上述题设条件下，当△ABC为正三角形时，点E是否为AC的中点？为什么？
(2)当△ABC为正三角形时，E是AC的中点．
理由如下：连接BE，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠BEA＝90°，即BE⊥AC.
∵△ABC为正三角形，
∴AE＝EC，
即E是AC的中点．
圆周角定理
推论2
推论3
圆内接四边形的对角互补.
直径所所对的圆周角是直角；
90°的圆周角所对的弦是直径
课堂小结