单元测试卷
一、选择题
1．已知xy=mn，则把它改写成比例式后，错误的是（ ）
A．= B．= C．= D．=
2．已知，那么的值是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
3．下列两个图形一定相似的是（ ）
A．两个矩形 B．两个等腰三角形
C．两个五边形 D．两个正方形
4．如果两个相似多边形面积的比是4：9，那么这两个相似多边形对应边的比是（ ）
A．4：9 B．2：3 C．16：81 D．9：4
5．如图，四边形ABCD是平行四边形，E是BC的延长线上一点，AE与CD相交于F，与△CEF相似的三角形有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
6．如图，D为△ABC边BC上一点，要使△ABD∽△CBA，应该具备下列条件中的（ ）
A．= B．= C．= D．=
7．如图，在△ABC中，若DE∥BC，，DE=3cm，则BC的长为（ ）
A．3cm B．6cm C．9cm D．12cm
8．如图，△ABC中，∠A=78°，AB=4，AC=6．将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（ ）
A． B．
C． D．
9．如图，线段CD两个端点的坐标分别为C（3，3），D（4，1），以原点O为位似中心，在第一象限内将线段CD放大为原来的2倍后得到线段AB，则端点B的坐标为（ ）
A．（6，6） B．（6，8） C．（8，6） D．（8，2）
10．关于对位似图形的表述，下列命题正确的有（ ）
①相似图形一定是位似图形，位似图形一定是相似图形；
②位似图形一定有位似中心；
③如果两个图形是相似图形，且每组对应点的连线所在的直线都经过同一个点，那么这两个图形是位似图形；
④位似图形上任意一组对应点P，P′与位似中心O的距离满足OP=k OP′．
A．①②③④ B．②③④ C．②③ D．②④
11．如图，在直角梯形ABCD中，DC∥AB，∠DAB=90°，AC⊥BC，AC=BC，∠ABC的平分线分别交AD、AC于点E，F，则的值是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
12．如图，△OAC和△BAD都是等腰直角三角形，反比例函数在第四象限经过点B，若OA2﹣AB2=8，则k的值为 ．
13．已知线段AB=1，C是线段AB的黄金分割点，且AC＜CB，则AC的长度为 ．
14．）如图，在△ABC中，D、E分别是AB、BC上的点，且DE∥AC，若S△BDE：S△CDE=1：4，则S△BDE：S△ACD= ．
15．一块矩形绸布的宽AB=a m，长AD=1m，按照图中所示的方式将它裁成相同的n面矩形彩旗，且使裁出的每面彩旗的宽与长的比与原绸布的宽与长的比相同，即，那么a的值应当是 ．
16．如图，小亮在晚上由路灯A走向路灯B，当他走到点C时，发现身后他影子的顶部刚好接触到路灯A的底部，当他向前再步行12m到达点D时，发现身前他影子的顶部刚好接触到路灯B的底部．已知小亮的身高是1.5m，两个路灯的高度都是9m．当小亮走到路灯B时，他在路灯A下的影长是 m．
三、解答题
17．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D．
（1）证明：△ACD∽△CBD；
（2）已知AD=2，BD=4，求CD的长．
18．如图，AD是△ABC的高，点E，F在边BC上，点H在边AB上，点G在边AC上，AD=80cm，BC=120cm．
（1）若四边形EFGH是正方形，求正方形的面积．
（2）若四边形EFGH是长方形，长方形的面积为y，设EF=x，则y= ．（含x的代数式），当x= 时，y最大，最大面积是 ．
19．如图，在直角梯形ABCD中，∠ABC=90°，AD∥BC，AD=6，AB=7，BC=8，点P是AB上一个动点．
（1）当AP=3时，△DAP与△CBP相似吗？请说明理由．
（2）求PD+PC的最小值．
20．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，点D为BC边上的点，BE⊥AD于点E，延长
BE交AC于点F．
（1）证明：BE2=AE DE；
（2）若=1，= ；并说明理由．
答案解析
一、选择题
1．已知xy=mn，则把它改写成比例式后，错误的是（ ）
A．= B．= C．= D．=
【考点】比例的性质．
【分析】熟练掌握比例的性质是解题的关键．
【解答】解：A、两边同时乘以最简公分母ny得xy=mn，与原式相等；
B、两边同时乘以最简公分母mx得xy=mn，与原式相等；
C、两边同时乘以最简公分母mn得xn=my，与原式不相等；
D、两边同时乘以最简公分母my得xy=mn，与原式相等；
故选C．
【点评】解答此题应把每一个选项乘以最简公分母后与原式相比较看是否相同．
2．已知，那么的值是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【考点】比例的性质．
【分析】根据和比性质：= =，可得答案．
【解答】解：由=2，得==3．
故选：A．
【点评】本题考查了比例的性质，利用和比性质是解题关键．
3．下列两个图形一定相似的是（ ）
A．两个矩形 B．两个等腰三角形
C．两个五边形 D．两个正方形
【考点】相似多边形的定义．
【分析】根据相似图形的定义，结合选项，用排除法求解．
【解答】解：A、两个矩形，对应角相等，对应边不一定成比例，故不符合题意；
B、两个等腰三角形顶角不一定相等，故不符合题意；
C、两个五边形，对应角相等，对应边不一定成比例，故不符合题意；
D、两个正方形，形状相同，大小不一定相同，符合相似性定义，故符合题意．
故选D．
【点评】本题考查相似形的定义，熟悉各种图形的性质是解题的关键．
4．如果两个相似多边形面积的比是4：9，那么这两个相似多边形对应边的比是（ ）
A．4：9 B．2：3 C．16：81 D．9：4
【考点】相似多边形的性质．
【分析】由两个相似多边形面积的比是4：9，根据相似多边形的面积比等于相似比的平方，即可求得答案．
【解答】解：∵两个相似多边形面积的比是4：9，
∴这两个相似多边形对应边的比是2：3．
故选B．
【点评】此题考查了相似多边形的性质．注意熟记定理是解此题的关键．
5．如图，四边形ABCD是平行四边形，E是BC的延长线上一点，AE与CD相交于F，与△CEF相似的三角形有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
【考点】相似三角形的判定．
【分析】根据已知及相似三角形的判定方法进行分析，从而得到图中与△CEF相似的三角形．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AD∥BC，
∴∠FAE=∠ABE，∠D=∠ECF，∠DAF=∠E，
∴△BEA∽△CEF，△DAF∽△CEF．
故选B．
【点评】本题考查的是相似三角形的判定，熟知有两组角对应相等的两个三角形相似是解答此题的关键．
6．如图，D为△ABC边BC上一点，要使△ABD∽△CBA，应该具备下列条件中的（ ）
A．= B．= C．= D．=
【考点】相似三角形的判定．
【分析】根据相似三角形的判定问题，题中已有一公共角，再添加对应边比值相等即可．
【解答】解：当=时，
又∵∠B=∠B，
∴△ABD∽△CBA．
故选：C．
【点评】此题主要考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定是解题关键．
7．如图，在△ABC中，若DE∥BC，，DE=3cm，则BC的长为（ ）
A．3cm B．6cm C．9cm D．12cm
【考点】相似三角形的判定与性质．
【分析】首先利用平行线判定两三角形相似，然后利用相似三角形对应边的比等于相似比求得线段BC的长即可．
【解答】解：∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∵，
∴，
∵DE=3cm，
∴=，
解得：DE=9cm．
故选C．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，解题的关键是根据平行线判定相似三角形，然后利用相似三角形的对应边的比等于相似比求得相应线段的长．
8．如图，△ABC中，∠A=78°，AB=4，AC=6．将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（ ）
A． B． C． D．
【考点】相似三角形的判定．
【分析】根据相似三角形的判定定理对各选项进行逐一判定即可．
【解答】解：A、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项错误；
B、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项错误；
C、两三角形的对应边不成比例，故两三角形不相似，故本选项正确；
D、两三角形对应边成比例且夹角相等，故两三角形相似，故本选项错误．
故选C．
【点评】本题考查的是相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定定理是解答此题的关键．
9．如图，线段CD两个端点的坐标分别为C（3，3），D（4，1），以原点O为位似中心，在第一象限内将线段CD放大为原来的2倍后得到线段AB，则端点B的坐标为（ ）
A．（6，6） B．（6，8） C．（8，6） D．（8，2）
【考点】平面直角坐标系中的位似变换．
【专题】数形结合．
【分析】利用位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k可得到答案．
【解答】解：因为以原点O为位似中心，在第一象限内将线段CD放大为原来的2倍后得到线段AB，
所以点B的坐标为（4×2，1×2），即（8，2）．
故选D．
【点评】本题考查了位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k．
10．关于对位似图形的表述，下列命题正确的有（ ）
①相似图形一定是位似图形，位似图形一定是相似图形；
②位似图形一定有位似中心；
③如果两个图形是相似图形，且每组对应点的连线所在的直线都经过同一个点，那么这两个图形是位似图形；
④位似图形上任意一组对应点P，P′与位似中心O的距离满足OP=k OP′．
A．①②③④ B．②③④ C．②③ D．②④
【考点】位似图形的性质．
【分析】由位似图形的定义可知：如果两个图形是相似图形，且每组对应点的连线所在的直线都经过同一个点，那么这两个图形是位似图形；故位似图形一定有位似中心；且位似图形上任意一组对应点P，P′与位似中心O的距离满足OP=k OP′．继而可得位似图形一定是相似图形，但是相似图形不一定是位似图形．
【解答】解：①位似图形一定是相似图形，但是相似图形不一定是位似图形；故错误；
②位似图形一定有位似中心；正确；
③如果两个图形是相似图形，且每组对应点的连线所在的直线都经过同一个点，那么这两个图形是位似图形；正确；
④位似图形上任意一组对应点P，P′与位似中心O的距离满足OP=k OP′；正确．
故选B．
【点评】此题考查了位似图形的性质与定义．注意准确理解位似图形的性质是解此题的关键．
11．如图，在直角梯形ABCD中，DC∥AB，∠DAB=90°，AC⊥BC，AC=BC，∠ABC的平分线分别交AD、AC于点E，F，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【考点】平行线分线段成比例．
【专题】计算题．
【分析】作FG⊥AB于点G，由AE∥FG，得出=，求出Rt△BGF≌Rt△BCF，再由AB=BC求解．
【解答】解：作FG⊥AB于点G，
∵∠DAB=90°，
∴AE∥FG，
∴=，
∵AC⊥BC，
∴∠ACB=90°，
又∵BE是∠ABC的平分线，
∴FG=FC，
在Rt△BGF和Rt△BCF中，
∴Rt△BGF≌Rt△BCF（HL），
∴CB=GB，
∵AC=BC，
∴∠CBA=45°，
∴AB=BC，
∴====+1．
故选：C．
【点评】本题主要考查了平行线分线段成比例，全等三角形及角平分线的知识，解题的关键是找出线段之间的关系，CB=GB，AB=BC再利用比例式求解．
二、填空题
12．如图，△OAC和△BAD都是等腰直角三角形，反比例函数在第四象限经过点B，若OA2﹣AB2=8，则k的值为 ﹣4 ．
【考点】相似三角形的判定与性质．
【分析】设B点坐标为（a，b），根据等腰直角三角形的性质得OA=AC，AB=AD，OC=AC，AD=BD，则OA2﹣AB2=8变形为AC2﹣AD2=4，利用平方差公式得到（AC+AD）（AC﹣AD）=4，所以（OC+BD） CD=4，则有a b=﹣4，根据反比例函数图象上点的坐标特征易得k=﹣4．
【解答】解：设B点坐标为（a，b），
∵△OAC和△BAD都是等腰直角三角形，
∴OA=AC，AB=AD，OC=AC，AD=BD，
∵OA2﹣AB2=8，
∴2AC2﹣2AD2=8，即AC2﹣AD2=4，
∴（AC+AD）（AC﹣AD）=4，
∴（OC+BD） CD=4，
∵点B在第四象限，
∴a b=﹣4，
∴k=﹣4．
故答案为：﹣4．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数y=（k为常数，k≠0）的图象是双曲线，图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy=k．
13．已知线段AB=1，C是线段AB的黄金分割点，且AC＜CB，则AC的长度为 ．
【考点】黄金分割．
【分析】根据黄金分割点的定义，知AC是较短线段；则AC=1﹣=．
【解答】解：由于C为线段AB=1的黄金分割点，
且AC＜CB，
则AC=1﹣=．
故本题答案为：．
【点评】理解黄金分割点的概念．熟记黄金比的值进行计算．
14．如图，在△ABC中，D、E分别是AB、BC上的点，且DE∥AC，若S△BDE：S△CDE=1：4，则S△BDE：S△ACD= 1：20 ．
【考点】相似三角形的判定与性质．
【分析】根据等高三角形面积的比等于底的比和相似三角形面积的比等于相似比的平方即可解出结果．
【解答】解：∵S△BDE：S△DEC=1：4，
∴BE：EC=1：4，
∴BE：BC=1：5，
∵DE∥AC，
∴△BED∽△BCA，
∴==，
设S△BED=k，则S△DEC=4k，S△ABC=25k，
∴S△ADC=20k，
∴S△BDE：S△DCA=1：20．
故答案为：1：20．
【点评】本题考查了相似三角形的性质，相似三角形面积的比等于相似比的平方，注意各三角形面积之间的关系是解题的关键．
15．一块矩形绸布的宽AB=a m，长AD=1m，按照图中所示的方式将它裁成相同的n面矩形彩旗，且使裁出的每面彩旗的宽与长的比与原绸布的宽与长的比相同，即，那么a的值应当是 ．
【考点】相似多边形的性质．
【分析】由裁出的每面彩旗的宽与长的比与原绸布的宽与长的比相同，根据相似多边形的对应边成比例可得：，继而求得答案．
【解答】解：∵使裁出的每面彩旗的宽与长的比与原绸布的宽与长的比相同，
∴，
∴a2=，
∴a=．
故答案为：．
【点评】此题考查了相似多边形的性质．注意相似多边形的对应边成比例．
16．如图，小亮在晚上由路灯A走向路灯B，当他走到点C时，发现身后他影子的顶部刚好接触到路灯A的底部，当他向前再步行12m到达点D时，发现身前他影子的顶部刚好接触到路灯B的底部．已知小亮的身高是1.5m，两个路灯的高度都是9m．当小亮走到路灯B时，他在路灯A下的影长是 3.6 m．
【考点】利用影子测量物体的高度．
【专题】计算题．
【分析】如图，当小亮走到路灯B时，他在路灯A下的影长为BH，CE=DF=BG=1.5m，AM=BN=9m，CD=12m，先证明△ACE∽△ABN得到=，同理可得=，则AC=BD=AB，则AB+12+AB=AB，解得AB=18，接着证明△HBG∽△HAM，然后利用相似比得到=，再利用比例性质求出BH即可．
【解答】解：如图，当小亮走到路灯B时，他在路灯A下的影长为BH，
CE=DF=BG=1.5m，AM=BN=9m，CD=12m，
∵CE∥BN，
∴△ACE∽△ABN，
∴=，即=，
同理可得=，
∴AC=BD，
∴AC=BD=AB，
∵AC+CD+DB=AB，
∴AB+12+AB=AB，解得AB=18，
∵BG∥AM，
∴△HBG∽△HAM，
∴=，即=，解得BH=3.6．
即当小亮走到路灯B时，他在路灯A下的影长是3.6m．
故答案为3.6．
【点评】本题考查了相似三角形的应用：利用视点和盲区的知识构建相似三角形，用相似三角形对应边的比相等的性质求物体的高度．
三、解答题
17．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D．
（1）证明：△ACD∽△CBD；
（2）已知AD=2，BD=4，求CD的长．
【考点】相似三角形的判定与性质．
【分析】（1）求出∠CDA=∠ACB=90°，根据有两个角对应相等的两三角形相似得出△ACD∽△CBD，即可得出答案；
（2）根据相似三角形的性质即可得到结论．
【解答】证明：（1）∵∠ACB=90°，CD⊥AB，
∴∠CDA=∠CDB=90°，
∵∠A+∠ACD=∠ACD+∠BCD=90°，
∴∠A=∠BCD，
∴△ACD∽△CBD；
（2）由（1）知△ACD∽△CBD，
∴，
∴CD2=AD BD=2×4=8，
∴CD=2．
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
18．如图，AD是△ABC的高，点E，F在边BC上，点H在边AB上，点G在边AC上，AD=80cm，BC=120cm．
（1）若四边形EFGH是正方形，求正方形的面积．
（2）若四边形EFGH是长方形，长方形的面积为y，设EF=x，则y= ﹣x2+80x ．（含x的代数式），当x= 60cm 时，y最大，最大面积是 240cm2 ．
【考点】相似三角形的判定与性质．
【分析】（1）根据正方形的对边平行可得HG∥EF，然后得到△AHG与△ABC相似，根据相似三角形对应高的比等于相似比列出比例式，求出HG，即可得出正方形的面积；
（2）证出△AEF∽△ABC，得出比例式得出HE，得出长方形的面积y是x的二次函数，再利用二次函数的最值问题进行求解即可．
【解答】解：（1）∵四边形EFGH是正方形，
∴HG∥EF，GH=HE=ID，
∴△AHG∽△ABC，
∴AI：AD=HG：BC，
∵BC=120cm，AD=80cm，
∴，
解得：HG=48cm，
∴正方形EFGH的面积=HG2=482=2304（cm2）；
（2）∵四边形EFGH是长方形，
∴HG∥EF，
∴△AEF∽△ABC，
∴AI：AD=HG：BC，
即，
解得：HE=﹣x+80，
∴长方形EFGH的面积y=x（﹣x+80）=﹣x2+80x=﹣（x﹣60）2+240，
∵﹣＜0，
∴当x=60，即EF=60cm时，长方形EFGH有最大面积，最大面积是240cm2；
故答案为：﹣x2+80x，60cm，240cm2．
【点评】本题考查了长方形的性质、正方形的性质、相似三角形的判定与性质以及二次函数的最值问题；根据相似三角形对应高的比等于相似比列出比例式求出长方形的边长是解决问题（2）的关键．
19．如图，在直角梯形ABCD中，∠ABC=90°，AD∥BC，AD=6，AB=7，BC=8，点P是AB上一个动点．
（1）当AP=3时，△DAP与△CBP相似吗？请说明理由．
（2）求PD+PC的最小值．
【考点】相似三角形的判定与性质．
【分析】（1）由题意可知∠A=∠B=90°，AP=3，PB=4，故此，从而可证明△DAP与△CBP相似；
（2）作点D关于AB的对称点D′，连接D′C交BA于点P．过点D′作D′E⊥BC，垂足为E．依据勾股定理求得D′C的长即可．
【解答】解：（1）∵∠ABC=90°，AD∥BC，
∴∠BAD=90°．
∴∠A=∠B=90°．
∵AP=3，AB=7，
∴PB=4．
∴，．
∴．
∴△DAP∽△CBP．
（2）如图所示：点D关于AB的对称点D′，连接D′C交BA于点P，过点D′作D′E⊥BC，垂足为E．
∵点D与点D′关于AB对称，
∴PD=D′P．
∴PD+PC=D′P+PC=D′C．
在Rt△D′EC中，由勾股定理得：D′C===7．
∴PD+PC的最小值为7．
【点评】本题主要考查的相似三角形的判定、轴对称最短路径问题，掌握本题的辅助线的作法是解题的关键．
20．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，点D为BC边上的点，BE⊥AD于点E，延长
BE交AC于点F．
（1）证明：BE2=AE DE；
（2）若=1，= 2 ；并说明理由．
【考点】相似三角形的判定与性质．
【分析】（1）根据同角的余角相等可证明∠BAE=∠DBE，根据题意可知∠AEB=∠DEB，从而可证明△ABE∽△BDE，由相似三角形的性质可证明BE2=AE DE；
（2）过点C作CG⊥AD，交AD的延长线于点G，由题意可知BE∥CG，故此△BDE∽△CDG，由BD=CD，可知DE=DG，设AB=2λ，则BD=λ，依据锐角三角函数的定义可求得AE=，AD=，从而可求得DE=DG=，故此EG=λ，由EF∥CG，可知：．
【解答】解：（1）∵BE⊥AD，
∴∠AEB=∠BED=90°．
∴∠BAE+ABE=90°．
∵∠ABC=90°，
∴∠DBE+∠ABE=90°．
∴∠BAE=∠DBE．
∴△ABE∽△BDE．
∴．
∴BE2=AE DE．
（2）如图所示：过点C作CG⊥AD，交AD的延长线于点G．
∵BE⊥AD，CG⊥AD，
∴BE∥CG．
∴△BDE∽△CDG．
∴．
∵BD=CD，
∴DE=DG．
设AB=2λ，则BD=λ；
∵∠ABD=90°，BE⊥AD，
∴AD==．
∵cos∠BAD==，
∴．
∴AE=．
∴DE=AD﹣AE==．
∴EG=．
∵EF∥CG，
∴=2．
故答案为：2．
【点评】本题主要考查的是相似三角形的性质和判定、勾股定理的应用、锐角三角函数的定义，掌握本题的辅助线的作法是解题的关键．单元测试卷
一、选择题
1．如图，A，B，C，D，E，G，H，M，N都是方格纸中的格点（即小正方形的顶点），要使△DEF与△ABC相似，则点F应是G，H，M，N四点中的（ ）
A．H或N B．G或H C．M或N D．G或M
2．△ABC与△DEF的相似比为1：4，则△ABC与△DEF的周长比为（ ）
A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．1：16
3．如图，在△ABC中，DE∥BC，若=，则=（ ）
A． B． C． D．
4．在研究相似问题时，甲、乙同学的观点如下：
甲：将边长为3、4、5的三角形按图1的方式向外扩张，得到新三角形，它们的对应边间距为1，则新三角形与原三角形相似．
乙：将邻边为3和5的矩形按图2的方式向外扩张，得到新的矩形，它们的对应边间距均为1，则新矩形与原矩形不相似．
对于两人的观点，下列说法正确的是（ ）
A．两人都对 B．两人都不对 C．甲对，乙不对 D．甲不对，乙对
5．如图，△ABC中，P为AB上的一点，在下列四个条件中：①∠ACP=∠B；②∠APC=∠ACB；③AC2=AP AB；④AB CP=AP CB，能满足△APC和△ACB相似的条件是（ ）
A．①②④ B．①③④ C．②③④ D．①②③
6．如图，在 ABCD中，点E是边AD的中点，EC交对角线BD于点F，则EF：FC等于（ ）
A．3：2 B．3：1 C．1：1 D．1：2
7．四边形ABCD与四边形A′B′C′D′位似，O为位似中心，若OA：OA′=1：3，则S四边形ABCD：S四边形A B C D =（ ）
A．1：9 B．1：3 C．1：4 D．1：5
8．小刚身高1.7m，测得他站立在阳光下的影长为0.85m，紧接着他把手臂竖直举起，测得影长为1.1m，那么小刚举起手臂超出头顶（ ）
A．0.5 m B．0.55 m C．0.6 m D．2.2 m
9．如图，在△ABC中，DE∥BC，=，则下列结论中正确的是（ ）
A．= B．=
C．= D．=
10．如图，已知AB、CD、EF都与BD垂直，垂足分别是B、D、F，且AB=1，CD=3，那么EF的长是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．若，则= ．
12．如果===k（b+d+f≠0），且a+c+e=3（b+d+f），那么k= ．
13．已知一个三角形的三边长分别为6，8和10，与其相似的一个三角形的最短边长为18，则较小三角形与较大三角形的相似比k= ．
14．在△ABC中，AB=12cm，BC=18cm，AC=24cm，另一个与它相似的△A′B′C′的周长为18cm，则△A′B′C各边长分别为 ．
15．如图，一束光线从点A（3，3）出发，经过y轴上点C反射后经过点B（1，0），则光线从点A到点B经过的路径长为 ．
16．如图，AB、CD相交于点O，OC=2，OD=3，AC∥BD，EF是△ODB的中位线，且EF=2，则AC的长为 ．
17．如图，在△ABC中，DE∥BC，=，△ADE的面积是8，则△ABC的面积为 ．
18．如图，在正方形ABCD中，点E是BC边上一点，且BE：EC=2：1，AE与BD交于点F，则△AFD与四边形DEFC的面积之比是 ．
三、解答题
19．已知线段a，b，c，d成比例，且a=6dm，b=3dm，d=dm，求线段c的长度．
20．（6分）若=，求的值．
21．已知a、b、c是△ABC的三边，且满足，且a+b+c=12，请你探索△ABC的形状．
22．如图，△ABC中，CD是边AB上的高，且=．
（1）求证：△ACD∽△CBD；
（2）求∠ACB的大小．
23．如图，在正方形ABCD中，E、F分别是边AD、CD上的点，AE=ED，DF=DC，连接EF并延长交BC的延长线于点G．
（1）求证：△ABE∽△DEF；
（2）若正方形的边长为4，求BG的长．
24．某小区居民筹集资金1600元，计划在两底分别为10m、20m梯形空地上种植种植花木，如图：
（1）他们在△AMD和△BMC地带上种植太阳花，单价为8元/m2，当△AMD地带种满花后（图中阴影部分），共花了160元，计算种满△BMC地带所需费用．
（2）若其余地带有玫瑰、茉莉两种可供选择，单价分别为12元/m2、10元/m2，应选哪种花木，刚好用完所筹资金？
25．如图，已知在△ABC和△EBD中，．
（1）若△ABC与△EBD的周长之差为60cm，求这两个三角形的周长．
（2）若△ABC与△EBD的面积之和为812cm2，求这两个三角形的面积．
26．某一天，小明和小亮来到一河边，想用遮阳帽和皮尺测量这条河的大致宽度，两人在确保无安全隐患的情况下，先在河岸边选择了一点B（点B与河对岸岸边上的一棵树的底部点D所确定的直线垂直于河岸）．
①小明在B点面向树的方向站好，调整帽檐，使视线通过帽檐正好落在树的底部点D处，如图所示，这时小亮测得小明眼睛距地面的距离AB=1.7米；
②小明站在原地转动180°后蹲下，并保持原来的观察姿态（除身体重心下移外，其他姿态均不变），这时视线通过帽檐落在了DB延长线上的点E处，此时小亮测得BE=9.6米，小明的眼睛距地面的距离CB=1.2米．
根据以上测量过程及测量数据，请你求出河宽BD是多少米？
答案解析
一、选择题
1．如图，A，B，C，D，E，G，H，M，N都是方格纸中的格点（即小正方形的顶点），要使△DEF与△ABC相似，则点F应是G，H，M，N四点中的（ ）
A．H或N B．G或H C．M或N D．G或M
【考点】相似三角形的判定．
【专题】压轴题；网格型；数形结合．
【分析】根据两三角形三条边对应成比例，两三角形相似进行解答．
【解答】解：设小正方形的边长为1，则△ABC的各边分别为3、、，只能F是M或N时，其各边是6、2，2．与△ABC各边对应成比例，故选C．
【点评】此题考查三边对应成比例，两三角形相似判定定理的应用．
2．△ABC与△DEF的相似比为1：4，则△ABC与△DEF的周长比为（ ）
A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．1：16
【考点】相似三角形的性质．
【分析】由相似三角形周长的比等于相似比即可得出结果．
【解答】解：∵△ABC与△DEF的相似比为1：4，
∴△ABC与△DEF的周长比为1：4；
故选：C．
【点评】本题考查了相似三角形的性质；熟记相似三角形周长的比等于相似比是解决问题的关键．
3．如图，在△ABC中，DE∥BC，若=，则=（ ）
A． B． C． D．
【考点】平行线分线段成比例．
【分析】直接利用平行线分线段成比例定理写出答案即可．
【解答】解：∵DE∥BC，
∴==，
故选C．
【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理，了解定理的内容是解答本题的关键，属于基础定义或定理，难度不大．
4．在研究相似问题时，甲、乙同学的观点如下：
甲：将边长为3、4、5的三角形按图1的方式向外扩张，得到新三角形，它们的对应边间距为1，则新三角形与原三角形相似．
乙：将邻边为3和5的矩形按图2的方式向外扩张，得到新的矩形，它们的对应边间距均为1，则新矩形与原矩形不相似．
对于两人的观点，下列说法正确的是（ ）
A．两人都对 B．两人都不对 C．甲对，乙不对 D．甲不对，乙对
【考点】相似三角形的判定；相似多边形的性质．
【专题】数形结合．
【分析】甲：根据题意得：AB∥A′B′，AC∥A′C′，BC∥B′C′，即可证得∠A=∠A′，∠B=∠B′，可得△ABC∽△A′B′C′；
乙：根据题意得：AB=CD=3，AD=BC=5，则A′B′=C′D′=3+2=5，A′D′=B′C′=5+2=7，则可得，即新矩形与原矩形不相似．
【解答】解：甲：根据题意得：AB∥A′B′，AC∥A′C′，BC∥B′C′，
∴∠A=∠A′，∠B=∠B′，
∴△ABC∽△A′B′C′，
∴甲说法正确；
乙：∵根据题意得：AB=CD=3，AD=BC=5，则A′B′=C′D′=3+2=5，A′D′=B′C′=5+2=7，
∴，，
∴，
∴新矩形与原矩形不相似．
∴乙说法正确．
故选：A．
【点评】此题考查了相似三角形以及相似多边形的判定．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．
5．如图，△ABC中，P为AB上的一点，在下列四个条件中：①∠ACP=∠B；②∠APC=∠ACB；③AC2=AP AB；④AB CP=AP CB，能满足△APC和△ACB相似的条件是（ ）
A．①②④ B．①③④ C．②③④ D．①②③
【考点】相似三角形的判定．
【分析】根据有两组角对应相等的两个三角形相似可对①②进行判断；根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似可对③④进行判断．
【解答】解：当∠ACP=∠B，
∠A公共，
所以△APC∽△ACB；
当∠APC=∠ACB，
∠A公共，
所以△APC∽△ACB；
当AC2=AP AB，
即AC：AB=AP：AC，
∠A公共，
所以△APC∽△ACB；
当AB CP=AP CB，即=，
而∠PAC=∠CAB，
所以不能判断△APC和△ACB相似．
故选D．
【点评】本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；有两组角对应相等的两个三角形相似．
6．如图，在 ABCD中，点E是边AD的中点，EC交对角线BD于点F，则EF：FC等于（ ）
A．3：2 B．3：1 C．1：1 D．1：2
【考点】相似三角形的判定与性质．
【专题】几何图形问题．
【分析】根据题意得出△DEF∽△BCF，进而得出=，利用点E是边AD的中点得出答案即可．
【解答】解：∵ ABCD，故AD∥BC，
∴△DEF∽△BCF，
∴=，
∵点E是边AD的中点，
∴AE=DE=AD，
∴=．
故选：D．
【点评】此题主要考查了平行四边形的性质以及相似三角形的判定与性质等知识，得出△DEF∽△BCF是解题关键．
7．四边形ABCD与四边形A′B′C′D′位似，O为位似中心，若OA：OA′=1：3，则S四边形ABCD：S四边形A B C D =（ ）
A．1：9 B．1：3 C．1：4 D．1：5
【考点】位似图形的性质．
【分析】四边形ABCD与四边形A′B′C′D′位似，四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′，可知AD∥A′D′，△OAD∽△OA′D′，求出相似比从而求得S四边形ABCD：S四边形A B C D 的值．
【解答】解：∵四边形ABCD与四边形A′B′C′D′位似，
∴四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′，
∴AD∥A′D′，
∴△OAD∽△OA′D′，
∴OA：O′A′=AD：A′D′=1：3，
∴S四边形ABCD：S四边形A B C D =1：9．
故选：A．
【点评】本题考查了位似的相关知识，位似是相似的特殊形式，位似比等于相似比，其对应的面积比等于相似比的平方．
8．小刚身高1.7m，测得他站立在阳光下的影长为0.85m，紧接着他把手臂竖直举起，测得影长为1.1m，那么小刚举起手臂超出头顶（ ）
A．0.5 m B．0.55 m C．0.6 m D．2.2 m
【考点】利用影子测量物体的高度．
【分析】根据在同一时物体的高度和影长成正比，设出手臂竖直举起时总高度x，即可列方程解出x的值，再减去身高即可得出小刚举起的手臂超出头顶的高度．
【解答】解：设手臂竖直举起时总高度xm，列方程得：
=，
解得x=2.2，
2.2﹣1.7=0.5m，
所以小刚举起的手臂超出头顶的高度为0.5m．
故选：A．
【点评】本题考查了相似三角形的应用，解答此题的关键是明确在同一时刻物体的高度和影长成正比．
9．如图，在△ABC中，DE∥BC，=，则下列结论中正确的是（ ）
A．= B．=
C．= D．=
【考点】相似三角形的判定与性质．
【分析】由DE∥BC，可得△ADE∽△ABC，然后由相似三角形的对应边成比例可得，然后由=，即可判断A、B的正误，然后根据相似三角形的周长之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方即可判断C、D的正误．
【解答】解：∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴，
∵=，
∵=，
故A、B选项均错误；
∵△ADE∽△ABC，
∴==，=（）2=，
故C选项正确，D选项错误．
故选C．
【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质，解题的关键是：熟记相似三角形的对应边之比等于相似比；相似三角形的周长之比等于相似比；相似三角形的面积之比等于相似比的平方．
10．如图，已知AB、CD、EF都与BD垂直，垂足分别是B、D、F，且AB=1，CD=3，那么EF的长是（ ）
A． B． C． D．
【考点】相似三角形的判定与性质．
【分析】易证△DEF∽△DAB，△BEF∽△BCD，根据相似三角形的性质可得=，=，从而可得+=+=1．然后把AB=1，CD=3代入即可求出EF的值．
【解答】解：∵AB、CD、EF都与BD垂直，
∴AB∥CD∥EF，
∴△DEF∽△DAB，△BEF∽△BCD，
∴=，=，
∴+=+==1．
∵AB=1，CD=3，
∴+=1，
∴EF=．
故选C．
【点评】本题主要考查的是相似三角形的判定与性质，发现+=1是解决本题的关键．
二、填空题
11．若，则= ．
【考点】比例的性质．
【专题】常规题型．
【分析】根据比例的性质求出的值，然后两边加1进行计算即可得解．
【解答】解：∵，
∴﹣2=，
=2+=，
∴+1=+1，
即=．
故答案为：．
【点评】本题考查了比例的性质，根据已知条件求出的值是解题的关键．
12．如果===k（b+d+f≠0），且a+c+e=3（b+d+f），那么k= 3 ．
【考点】比例的性质．
【分析】根据等比性质，可得答案．
【解答】解：由等比性质，得k===3，
故答案为：3．
【点评】本题考查了比例的性质，利用了等比性质：===k k==．
13．已知一个三角形的三边长分别为6，8和10，与其相似的一个三角形的最短边长为18，则较小三角形与较大三角形的相似比k= ．
【考点】相似三角形的性质．
【分析】由一个三角形的三边长分别为6，8和10，与其相似的一个三角形的最短边长为18，根据相似比等于对应边的比，即可求得答案．
【解答】解：∵一个三角形的三边长分别为6，8和10，与其相似的一个三角形的最短边长为18，
∴较小三角形与较大三角形的相似比k==．
故答案为：．
【点评】此题考查了相似比的定义．此题比较简单，解题的关键是熟记定义．
14．在△ABC中，AB=12cm，BC=18cm，AC=24cm，另一个与它相似的△A′B′C′的周长为18cm，则△A′B′C各边长分别为 4cm，6cm，8cm ．
【考点】相似三角形的性质．
【分析】由△A′B′C′∽△ABC，根据相似三角形周长的比等于相似比，即可求得答案．
【解答】解：∵△A′B′C′∽△ABC，
∴△A′B′C′的周长：△ABC的周长=A′B′：AB，
∵在△ABC中，AB=12cm，BC=18cm，AC=24cm，
∴△ABC的周长为：54cm，
∵△A′B′C′的周长为18cm，
∴A′B′：AB=A′C′：AC=B′C′：BC=，
∴A′B′=4cm，B′C′=6cm，A′C′=8cm．
故答案为：4cm，6cm，8cm．
【点评】此题考查了相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键．
15．如图，一束光线从点A（3，3）出发，经过y轴上点C反射后经过点B（1，0），则光线从点A到点B经过的路径长为 5 ．
【考点】利用镜子的反射原理．
【专题】计算题；压轴题．
【分析】延长AC交x轴于B′．根据光的反射原理，点B、B′关于y轴对称，CB=CB′．路径长就是AB′的长度．结合A点坐标，运用勾股定理求解．
【解答】解：如图所示，
延长AC交x轴于B′．则点B、B′关于y轴对称，CB=CB′．
作AD⊥x轴于D点．则AD=3，DB′=3+1=4．
∴AB′=AC+CB′=AC+CB=5．
即光线从点A到点B经过的路径长为5．
【点评】本题考查了直角三角形的有关知识，同时渗透光学中反射原理，构造直角三角形是解决本题关键．
16．如图，AB、CD相交于点O，OC=2，OD=3，AC∥BD，EF是△ODB的中位线，且EF=2，则AC的长为 ．
【考点】相似三角形的性质．
【分析】根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半求出DB，再根据相似三角形对应边成比例列式计算即可得解．
【解答】解：∵EF是△ODB的中位线，
∴DB=2EF=2×2=4，
∵AC∥BD，
∴△AOC∽△BOD，
∴=，
即=，
解得AC=．
故答案为：．
【点评】本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，相似三角形的判定与性质，熟记定理与性质是解题的关键．
17．如图，在△ABC中，DE∥BC，=，△ADE的面积是8，则△ABC的面积为 18 ．
【考点】相似三角形的判定与性质．
【分析】根据相似三角形的判定，可得△ADE∽△ABC，根据相似三角形的性质，可得答案．
【解答】解；∵在△ABC中，DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC．
∵=，
∴=（）2=，
，
∴S△ABC=18，
故答案为：18．
【点评】本题考查了相似三角形判定与性质，利用了相似三角形的判定与性质．
18．如图，在正方形ABCD中，点E是BC边上一点，且BE：EC=2：1，AE与BD交于点F，则△AFD与四边形DEFC的面积之比是 9：11 ．
【考点】相似三角形的判定与性质．
【专题】压轴题．
【分析】根据题意，先设CE=x，S△BEF=a，再求出S△ADF的表达式，利用四部分的面积和等于正方形的面积，得到x与a的关系，那么两部分的面积比就可以求出来．
【解答】解：设CE=x，S△BEF=a，
∵CE=x，BE：CE=2：1，
∴BE=2x，AD=BC=CD=AD=3x；
∵BC∥AD∴∠EBF=∠ADF，
又∵∠BFE=∠DFA；
∴△EBF∽△ADF
∴S△BEF：S△ADF===，那么S△ADF=a．
∵S△BCD﹣S△BEF=S四边形EFDC=S正方形ABCD﹣S△ABE﹣S△ADF，
∴x2﹣a=9x2﹣×3x 2x﹣，
化简可求出x2=；
∴S△AFD：S四边形DEFC=：=：=9：11，故答案为9：11．
【点评】此题运用了相似三角形的判定和性质，还用到了相似三角形的面积比等于相似比的平方．
三、解答题
19．已知线段a，b，c，d成比例，且a=6dm，b=3dm，d=dm，求线段c的长度．
【考点】成比例线段．
【分析】根据比例线段的定义得出=，即=，解之可得c．
【解答】解：根据题意，=，即=，
解得：c=3，
答：线段c的长度为3dm．
【点评】本题主要考查比例线段，掌握比例线段的定义是关键．
20．若=，求的值．
【考点】比例的性质．
【分析】首先由已知条件可得x=，然后再代入即可求值．
【解答】解：∵=，
∴8x﹣6y=x﹣y，
x=，
∴==．
【点评】此题主要考查了比例的性质，关键是掌握内项之积等于外项之积．
21．已知a、b、c是△ABC的三边，且满足，且a+b+c=12，请你探索△ABC的形状．
【考点】比例的性质．
【专题】探究型．
【分析】令=k．根据a+b+c=12，得到关于k的方程，求得k值，再进一步求得a，b，c的值，从而判定三角形的形状．
【解答】解：令=k．
∴a+4=3k，b+3=2k，c+8=4k，
∴a=3k﹣4，b=2k﹣3，c=4k﹣8．
又∵a+b+c=12，
∴（3k﹣4）+（2k﹣3）+（4k﹣8）=12，
∴k=3．
∴a=5，b=3，c=4．
∴△ABC是直角三角形．
【点评】此题能够利用方程求得k的值，进一步求得三角形的三边长，根据勾股定理的逆定理判定三角形的形状．
22．如图，△ABC中，CD是边AB上的高，且=．
（1）求证：△ACD∽△CBD；
（2）求∠ACB的大小．
【考点】相似三角形的判定与性质．
【分析】（1）由两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，即可证明△ACD∽△CBD；
（2）由（1）知△ACD∽△CBD，然后根据相似三角形的对应角相等可得：∠A=∠BCD，然后由∠A+∠ACD=90°，可得：∠BCD+∠ACD=90°，即∠ACB=90°．
【解答】（1）证明：∵CD是边AB上的高，
∴∠ADC=∠CDB=90°，
∵=．
∴△ACD∽△CBD；
（2）解：∵△ACD∽△CBD，
∴∠A=∠BCD，
在△ACD中，∠ADC=90°，
∴∠A+∠ACD=90°，
∴∠BCD+∠ACD=90°，
即∠ACB=90°．
【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质，解题的关键是：熟记相似三角形的判定定理与性质定理．
23．如图，在正方形ABCD中，E、F分别是边AD、CD上的点，AE=ED，DF=DC，连接EF并延长交BC的延长线于点G．
（1）求证：△ABE∽△DEF；
（2）若正方形的边长为4，求BG的长．
【考点】相似三角形的判定；平行线分线段成比例．
【专题】计算题；证明题．
【分析】（1）利用正方形的性质，可得∠A=∠D，根据已知可得，根据有两边对应成比例且夹角相等三角形相似，可得△ABE∽△DEF；
（2）根据平行线分线段成比例定理，可得CG的长，即可求得BG的长．
【解答】（1）证明：∵ABCD为正方形，
∴AD=AB=DC=BC，∠A=∠D=90°，
∵AE=ED，
∴，
∵DF=DC，
∴，
∴，
∴△ABE∽△DEF；
（2）解：∵ABCD为正方形，
∴ED∥BG，
∴，
又∵DF=DC，正方形的边长为4，
∴ED=2，CG=6，
∴BG=BC+CG=10．
【点评】此题考查了相似三角形的判定（有两边对应成比例且夹角相等三角形相似）、正方形的性质、平行线分线段成比例定理等知识的综合应用．解题的关键是数形结合思想的应用．
24．某小区居民筹集资金1600元，计划在两底分别为10m、20m梯形空地上种植种植花木，如图：
（1）他们在△AMD和△BMC地带上种植太阳花，单价为8元/m2，当△AMD地带种满花后（图中阴影部分），共花了160元，计算种满△BMC地带所需费用．
（2）若其余地带有玫瑰、茉莉两种可供选择，单价分别为12元/m2、10元/m2，应选哪种花木，刚好用完所筹资金？
【考点】相似三角形的性质．
【专题】应用题．
【分析】（1）易得△AMD∽△BMC，根据BC=2AD可得S△BMC=4S△AMD，据此可得种满△BMC的花费；
（2）根据每平方米8元来看，△AMD面积为20平米方米，△BMC面积为80平方米，因此可以得出梯形的高也就是两三角形高的和为12米，那么可得梯形面积为180平方米，还有80平方米未种，800元未用，所以要选择每平方米十元的茉莉花．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是梯形，
∴AD∥BC，
∴∠MAD=∠MCB，∠MDA=∠MBC，
∴△AMD∽△CMB，
∴S△AMD：S△BMC=（10：20 ）2=1：4．
∵种植△AMD地带花费160元，单价为8元/m2，
∴S△AMD=20m2，
∴S△CMB=80m2，
∴△BMC地带所需的费用为8×80=640（元）；
（2）设△AMD的高为h1，△BMC的高为h2，梯形ABCD的高为h．
∵S△AMD=×10h1=20，
∴h1=4，
∵S△BCM=×20h2=80，
∴h2=8，
∴S梯形ABCD=（AD+BC） h
=×（10+20）×（4+8）
=180．
∴S△AMB+S△DMC=180﹣20﹣80=80（m2），
∵160+640+80×12=1760（元），
160+640+80×10=1600（元），
∴应种植茉莉花刚好用完所筹集的资金．
【点评】此题主要考查了相似三角形的性质以及应用；求得梯形的高是解决本题的难点；用到的知识点为：相似三角形的面积比等于相似比的平方．
25．如图，已知在△ABC和△EBD中，．
（1）若△ABC与△EBD的周长之差为60cm，求这两个三角形的周长．
（2）若△ABC与△EBD的面积之和为812cm2，求这两个三角形的面积．
【考点】相似三角形的判定与性质．
【分析】（1）根据已知条件得到△ABC∽△DBE，根据相似三角形的性质：相似三角形周长的比等于相似比即可得到结论；
（2）根据已知条件得到△ABC∽△DBE，根据相似三角形的性质：相似三角形面积的比等于相似比的平方即可得到结论；
【解答】解：（1）∵，
∴△ABC∽△DBE，
∴△ABC的周长：△EBD的周长=，
设△ABC的周长为5k，△EBD的周长为2k，
∴5k﹣2k=60，
∴k=20，
∴△ABC的周长=100cm，△EBD的周长=40cm；
（2）∵，
∴△ABC∽△DBE，
∴=（）2=，
∵△ABC与△EBD的面积之和为812cm2，
∴S△ABC=812×=700．
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，三角形的面积和周长，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
26．某一天，小明和小亮来到一河边，想用遮阳帽和皮尺测量这条河的大致宽度，两人在确保无安全隐患的情况下，先在河岸边选择了一点B（点B与河对岸岸边上的一棵树的底部点D所确定的直线垂直于河岸）．
①小明在B点面向树的方向站好，调整帽檐，使视线通过帽檐正好落在树的底部点D处，如图所示，这时小亮测得小明眼睛距地面的距离AB=1.7米；
②小明站在原地转动180°后蹲下，并保持原来的观察姿态（除身体重心下移外，其他姿态均不变），这时视线通过帽檐落在了DB延长线上的点E处，此时小亮测得BE=9.6米，小明的眼睛距地面的距离CB=1.2米．
根据以上测量过程及测量数据，请你求出河宽BD是多少米？
【考点】相似三角形的性质与判定．
【专题】几何图形问题．
【分析】根据题意求出∠BAD=∠BCE，然后根据两组角对应相等，两三角形相似求出△BAD和△BCE相似，再根据相似三角形对应边成比例列式求解即可．
【解答】解：由题意得，∠BAD=∠BCE，
∵∠ABD=∠CBE=90°，
∴△BAD∽△BCE，
∴=，
∴=，
解得BD=13.6．
答：河宽BD是13.6米．
【点评】本题考查了相似三角形的应用，读懂题目信息得到两三角形相等的角并确定出相似三角形是解题的关键，也是本题的难点．单元测试卷
一．选择题
1．若a：b=2：3，则下列各式中正确的式子是（ ）
A．2a=3b B．3a=2b C． D．
2．若x：y=1：3，2y=3z，则的值是（ ）
A．﹣5 B．﹣ C． D．5
3．如图，在△ABC中，DE∥BC，若=，则=（ ）
A． B． C． D．
4．如图，直线l1∥l2∥l3，一等腰直角三角形ABC的三个顶点A，B，C分别在l1，l2，l3上，∠ACB=90°，AC交l2于点D，已知l1与l2的距离为1，l2与l3的距离为3，则的值为（ ）
A． B． C． D．
5．若两个相似多边形的面积之比为1：4，则它们的周长之比为（ ）
A．1：4 B．1：2 C．2：1 D．4：1
6．）已知矩形ABCD中，AB=1，在BC上取一点E，沿AE将△ABE向上折叠，使B点落在AD上的F点，若四边形EFDC与矩形ABCD相似，则AD=（ ）
A． B． C． D．2
7．如图，点F在平行四边形ABCD的边AB上，射线CF交DA的延长线于点E，在不添加辅助线的情况下，与△AEF相似的三角形有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
8．如图，点P在△ABC的边AC上，要判断△ABP∽△ACB，添加一个条件，不正确的是（ ）
A．∠ABP=∠C B．∠APB=∠ABC C．= D．=
9．如图，在△ABC中，BF平分∠ABC，AF⊥BF于点F，D为AB的中点，连接DF延长交AC于点E．若AB=10，BC=16，则线段EF的长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
10．△ABC与△DEF的相似比为1：4，则△ABC与△DEF的周长比为（ ）
A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．1：16
11．如图是由边长相同的小正方形组成的网格，A，B，P，Q四点均在正方形网格的格点上，线段AB，PQ相交于点M，则图中∠QMB的正切值是（ ）
A． B．1 C． D．2
12．如图，在直角坐标系中，有两点A（6，3），B（6，0），以原点O位似中心，相似比为，在第一象限内把线段AB缩小后得到线段CD，则点C的坐标为（ ）
A．（2，1） B．（2，0） C．（3，3） D．（3，1）
二．填空题
13．如果===k（b+d+f≠0），且a+c+e=3（b+d+f），那么k= ．
14．如图，AB∥CD∥EF，AF与BE相交于点G，且AG=2，GD=1，DF=5，那么的值等于 ．
15．如图，在△ABC中，D是AB边上的一点，连接CD，请添加一个适当的条件 ，使△ABC∽△ACD．（只填一个即可）
16．已知矩形ABCD中，AB=1，在BC上取一点E，将△ABE沿AE向上折叠，使B点落在AD上的F点．若四边形EFDC与矩形ABCD相似，则AD= ．
三．解答题
17．如图，在△ABC中，AB=AC=1，BC=，在AC边上截取AD=BC，连接BD．
（1）通过计算，判断AD2与AC CD的大小关系；
（2）求∠ABD的度数．
18．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD为角平分线，DE⊥AB，垂足为E．
（1）写出图中一对全等三角形和一对相似比不为1的相似三角形；
（2）选择（1）中一对加以证明．
19．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=﹣x+3与x轴交于点C，与直线AD交于点A（，），点D的坐标为（0，1）
（1）求直线AD的解析式；
（2）直线AD与x轴交于点B，若点E是直线AD上一动点（不与点B重合），当△BOD与△BCE相似时，求点E的坐标．
20．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D．点E、F分别在边AB、AC上，且BE=AF，FG∥AB交线段AD于点G，连接BG、EF．
（1）求证：四边形BGFE是平行四边形；
（2）若△ABG∽△AGF，AB=10，AG=6，求线段BE的长．
21．如图，某校数学兴趣小组利用自制的直角三角形硬纸板DEF来测量操场旗杆AB的高度，他们通过调整测量位置，使斜边DF与地面保持平行，并使边DE与旗杆顶点A在同一直线上，已知DE=0.5米，EF=0.25米，目测点D到地面的距离DG=1.5米，到旗杆的水平距离DC=20米，求旗杆的高度．
22．如图，是一个照相机成像的示意图．
（1）如果像高MN是35mm，焦距是50mm，拍摄的景物高度AB是4.9m，拍摄点离景物有多远？
（2）如果要完整的拍摄高度是2m的景物，拍摄点离景物有4m，像高不变，则相机的焦距应调整为多少？
答案解析
一．选择题
1．若a：b=2：3，则下列各式中正确的式子是（ ）
A．2a=3b B．3a=2b C． D．
【考点】比例的性质．
【分析】根据比例的性质，对选项一一分析，选择正确答案．
【解答】解：A、2a=3b a：b=3：2，故选项错误；
B、3a=2b a：b=2：3，故选项正确；
C、= b：a=2：3，故选项错误；
D、= a：b=4：3，故选项错误．
故选B．
【点评】考查了比例的性质．在比例里，两个外项的乘积等于两个内项的乘积．
2．若x：y=1：3，2y=3z，则的值是（ ）
A．﹣5 B．﹣ C． D．5
【考点】比例的性质．
【专题】计算题．
【分析】根据比例设x=k，y=3k，再用k表示出z，然后代入比例式进行计算即可得解．
【解答】解：∵x：y=1：3，
∴设x=k，y=3k，
∵2y=3z，
∴z=2k，
∴==﹣5．
故选：A．
【点评】本题考查了比例的性质，利用“设k法”分别表示出x、y、z可以使计算更加简便．
3．如图，在△ABC中，DE∥BC，若=，则=（ ）
A． B． C． D．
【考点】平行线分线段成比例．
【分析】直接利用平行线分线段成比例定理写出答案即可．
【解答】解：∵DE∥BC，
∴==，
故选C．
【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理，了解定理的内容是解答本题的关键，属于基础定义或定理，难度不大．
4．（2016 淄博）如图，直线l1∥l2∥l3，一等腰直角三角形ABC的三个顶点A，B，C分别在l1，l2，l3上，∠ACB=90°，AC交l2于点D，已知l1与l2的距离为1，l2与l3的距离为3，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【考点】平行线分线段成比例．
【专题】线段、角、相交线与平行线．
【分析】先作出作BF⊥l3，AE⊥l3，再判断△ACE≌△CBF，求出CE=BF=3，CF=AE=4，然后由l2∥l3，求出DG，即可．
【解答】解：如图，作BF⊥l3，AE⊥l3，
∵∠ACB=90°，
∴∠BCF+∠ACE=90°，
∵∠BCF+∠CFB=90°，
∴∠ACE=∠CBF，
在△ACE和△CBF中，
，
∴△ACE≌△CBF，
∴CE=BF=3，CF=AE=4，
∵l1与l2的距离为1，l2与l3的距离为3，
∴AG=1，BG=EF=CF+CE=7
∴AB==5，
∵l2∥l3，
∴=
∴DG=CE=，
∴BD=BG﹣DG=7﹣=，
∴=．
故选A．
【点评】此题是平行线分线段成比例试题，主要考查了全等三角形的性质和判定，平行线分线段成比例定理，勾股定理，解本题的关键是构造全等三角形．
5．若两个相似多边形的面积之比为1：4，则它们的周长之比为（ ）
A．1：4 B．1：2 C．2：1 D．4：1
【考点】相似多边形的性质．
【分析】根据相似多边形的面积之比等于相似比的平方，周长之比等于相似比，就可求解．
【解答】解：∵两个相似多边形面积比为1：4，
∴周长之比为=1：2．
故选：B．
【点评】本题考查相似多边形的性质．相似多边形对应边之比、周长之比等于相似比，而面积之比等于相似比的平方．
6．已知矩形ABCD中，AB=1，在BC上取一点E，沿AE将△ABE向上折叠，使B点落在AD上的F点，若四边形EFDC与矩形ABCD相似，则AD=（ ）
A． B． C． D．2
【考点】相似多边形的性质．
【分析】可设AD=x，根据四边形EFDC与矩形ABCD相似，可得比例式，求解即可．
【解答】解：∵沿AE将△ABE向上折叠，使B点落在AD上的F点，
∴四边形ABEF是正方形，
∵AB=1，
设AD=x，则FD=x﹣1，FE=1，
∵四边形EFDC与矩形ABCD相似，
∴=，
=，
解得x1=，x2=（负值舍去），
经检验x1=是原方程的解．
故选B．
【点评】考查了翻折变换（折叠问题），相似多边形的性质，本题的关键是根据四边形EFDC与矩形ABCD相似得到比例式．
7．如图，点F在平行四边形ABCD的边AB上，射线CF交DA的延长线于点E，在不添加辅助线的情况下，与△AEF相似的三角形有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【考点】相似三角形的判定．
【分析】直接利用平行四边形的性质得出AD∥BC，AB∥DC，再结合相似三角形的判定方法得出答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥DC，
∴△AEF∽△CBF，△AEF∽△DEC，
∴与△AEF相似的三角形有2个．
故选：C．
【点评】此题主要考查了相似三角形的判定以及平行四边形的性质，正确掌握相似三角形的判定方法是解题关键．
8．如图，点P在△ABC的边AC上，要判断△ABP∽△ACB，添加一个条件，不正确的是（ ）
A．∠ABP=∠C B．∠APB=∠ABC C．= D．=
【考点】相似三角形的判定．
【分析】分别利用相似三角形的判定方法判断得出即可．
【解答】解：A、当∠ABP=∠C时，又∵∠A=∠A，∴△ABP∽△ACB，故此选项错误；
B、当∠APB=∠ABC时，又∵∠A=∠A，∴△ABP∽△ACB，故此选项错误；
C、当=时，又∵∠A=∠A，∴△ABP∽△ACB，故此选项错误；
D、无法得到△ABP∽△ACB，故此选项正确．
故选：D．
【点评】此题主要考查了相似三角形的判定，正确把握判定方法是解题关键．
9．如图，在△ABC中，BF平分∠ABC，AF⊥BF于点F，D为AB的中点，连接DF延长交AC于点E．若AB=10，BC=16，则线段EF的长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【考点】相似三角形的判定与性质．
【分析】根据直角三角形斜边上中线是斜边的一半可得DF=AB=AD=BD=5且∠ABF=∠BFD，结合角平分线可得∠CBF=∠DFB，即DE∥BC，进而可得DE=8，由EF=DE﹣DF可得答案．
【解答】解：∵AF⊥BF，
∴∠AFB=90°，
∵AB=10，D为AB中点，
∴DF=AB=AD=BD=5，
∴∠ABF=∠BFD，
又∵BF平分∠ABC，
∴∠ABF=∠CBF，
∴∠CBF=∠DFB，
∴DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴=，即，
解得：DE=8，
∴EF=DE﹣DF=3，
故选：B．
【点评】本题主要考查直角三角形的性质和相似三角形的判定与性质，熟练运用其判定与性质是解题的关键．
10．△ABC与△DEF的相似比为1：4，则△ABC与△DEF的周长比为（ ）
A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．1：16
【考点】相似三角形的性质．
【分析】由相似三角形周长的比等于相似比即可得出结果．
【解答】解：∵△ABC与△DEF的相似比为1：4，
∴△ABC与△DEF的周长比为1：4；
故选：C．
【点评】本题考查了相似三角形的性质；熟记相似三角形周长的比等于相似比是解决问题的关键．
11．如图是由边长相同的小正方形组成的网格，A，B，P，Q四点均在正方形网格的格点上，线段AB，PQ相交于点M，则图中∠QMB的正切值是（ ）
A． B．1 C． D．2
【考点】相似三角形的性质．
【专题】网格型．
【分析】根据题意平移AB使A点与P点重合，进而得出，△QPB′是直角三角形，再利用tan∠QMB=tan∠P=，进而求出答案．
【解答】解：如图所示：平移AB使A点与P点重合，连接B′Q，
可得∠QMB=∠P，
∵PB′=2，PQ=2，B′Q=4，
∴PB′2+PB′2=B′Q2，
∴△QPB′是直角三角形，
∴tan∠QMB=tan∠P===2．
故选：D．
【点评】此题主要考查了勾股定理以及锐角三角函数关系，正确得出△QPB′是直角三角形是解题关键．
12．如图，在直角坐标系中，有两点A（6，3），B（6，0），以原点O位似中心，相似比为，在第一象限内把线段AB缩小后得到线段CD，则点C的坐标为（ ）
A．（2，1） B．（2，0） C．（3，3） D．（3，1）
【考点】平面直角坐标系中的位似变换．
【分析】根据位似变换的性质可知，△ODC∽△OBA，相似比是，根据已知数据可以求出点C的坐标．
【解答】解：由题意得，△ODC∽△OBA，相似比是，
∴=，又OB=6，AB=3，
∴OD=2，CD=1，
∴点C的坐标为：（2，1），
故选：A．
【点评】本题考查的是位似变换，掌握位似变换与相似的关系是解题的关键，注意位似比与相似比的关系的应用．
二．填空题
13．如果===k（b+d+f≠0），且a+c+e=3（b+d+f），那么k= 3 ．
【考点】比例的性质．
【分析】根据等比性质，可得答案．
【解答】解：由等比性质，得k===3，
故答案为：3．
【点评】本题考查了比例的性质，利用了等比性质：===k k==．
14．（2016 济宁）如图，AB∥CD∥EF，AF与BE相交于点G，且AG=2，GD=1，DF=5，那么的值等于 ．
【考点】平行线分线段成比例．
【分析】首先求出AD的长度，然后根据平行线分线段成比例定理，列出比例式即可得到结论．
【解答】解：∵AG=2，GD=1，
∴AD=3，
∵AB∥CD∥EF，
∴=，
故答案为：．
【点评】该题主要考查了平行线分线段成比例定理及其应用问题；解题的关键是准确找出图形中的对应线段，正确列出比例式求解、计算．
15．如图，在△ABC中，D是AB边上的一点，连接CD，请添加一个适当的条件 ∠ACD=∠ABC（答案不唯一） ，使△ABC∽△ACD．（只填一个即可）
【考点】相似三角形的判定．
【专题】开放型．
【分析】相似三角形的判定有三种方法：
①三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似；
②两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；
③两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似．
由此可得出可添加的条件．
【解答】解：由题意得，∠A=∠A（公共角），
则可添加：∠ACD=∠ABC，利用两角法可判定△ABC∽△ACD．
故答案可为：∠ACD=∠ABC．
【点评】本题考查了相似三角形的判定，解答本题的关键是熟练掌握三角形相似的三种判定方法，本题答案不唯一．
16．已知矩形ABCD中，AB=1，在BC上取一点E，将△ABE沿AE向上折叠，使B点落在AD上的F点．若四边形EFDC与矩形ABCD相似，则AD= ．
【考点】相似多边形的性质．
【专题】压轴题．
【分析】可设AD=x，由四边形EFDC与矩形ABCD相似，根据相似多边形对应边的比相等列出比例式，求解即可．
【解答】解：∵AB=1，
设AD=x，则FD=x﹣1，FE=1，
∵四边形EFDC与矩形ABCD相似，
∴=，=，
解得x1=，x2=（不合题意舍去），
经检验x1=是原方程的解．
故答案为．
【点评】本题考查了翻折变换（折叠问题），相似多边形的性质，本题的关键是根据四边形EFDC与矩形ABCD相似得到比例式．
三．解答题（共52分）
17．（2016 福州）如图，在△ABC中，AB=AC=1，BC=，在AC边上截取AD=BC，连接BD．
（1）通过计算，判断AD2与AC CD的大小关系；
（2）求∠ABD的度数．
【考点】相似三角形的判定．
【分析】（1）先求得AD、CD的长，然后再计算出AD2与AC CD的值，从而可得到AD2与AC CD的关系；
（2）由（1）可得到BD2=AC CD，然后依据对应边成比例且夹角相等的两三角形相似证明△BCD∽△ABC，依据相似三角形的性质可知∠DBC=∠A，DB=CB，然后结合等腰三角形的性质和三角形的内角和定理可求得∠ABD的度数．
【解答】解：（1）∵AD=BC，BC=，
∴AD=，DC=1﹣=．
∴AD2==，AC CD=1×=．
∴AD2=AC CD．
（2）∵AD=BC，AD2=AC CD，
∴BC2=AC CD，即．
又∵∠C=∠C，
∴△BCD∽△ACB．
∴，∠DBC=∠A．
∴DB=CB=AD．
∴∠A=∠ABD，∠C=∠BDC．
设∠A=x，则∠ABD=x，∠DBC=x，∠C=2x．
∵∠A+∠ABC+∠C=180°，
∴x+2x+2x=180°．
解得：x=36°．
∴∠ABD=36°．
【点评】本题主要考查的是相似三角形的性质和判定、等腰三角形的性质、三角形内角和定理的应用，证得△BCD∽△ABC是解题的关键．
18．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD为角平分线，DE⊥AB，垂足为E．
（1）写出图中一对全等三角形和一对相似比不为1的相似三角形；
（2）选择（1）中一对加以证明．
【考点】相似三角形的判定．
【分析】（1）利用相似三角形的判定以及全等三角形的判定方法得出符合题意的答案；
（2）利用相似三角形的判定以及全等三角形的判定方法分别得出即可．
【解答】解：（1）△ADE≌△BDE，△ABC∽△BCD；
（2）证明：∵AB=AC，∠A=36°，
∴∠ABC=∠C=72°，
∵BD为角平分线，
∴∠ABD=∠ABC=36°=∠A，
在△ADE和△BDE中
∵，
∴△ADE≌△BDE（AAS）；
证明：∵AB=AC，∠A=36°，
∴∠ABC=∠C=72°，
∵BD为角平分线，
∴∠DBC=∠ABC=36°=∠A，
∵∠C=∠C，
∴△ABC∽△BCD．
【点评】此题主要考查了相似三角形以及全等三角形的判定，正确把握判定方法是解题关键．
19．（2016 广州）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=﹣x+3与x轴交于点C，与直线AD交于点A（，），点D的坐标为（0，1）
（1）求直线AD的解析式；
（2）直线AD与x轴交于点B，若点E是直线AD上一动点（不与点B重合），当△BOD与△BCE相似时，求点E的坐标．
【考点】相似三角形的性质．
【分析】（1）设直线AD的解析式为y=kx+b，用待定系数法将A（，），D（0，1）的坐标代入即可；
（2）由直线AD与x轴的交点为（﹣2，0），得到OB=2，由点D的坐标为（0，1），得到OD=1，求得BC=5，根据相似三角形的性质得到或，代入数据即可得到结论．
【解答】解：（1）设直线AD的解析式为y=kx+b，
将A（，），D（0，1）代入得：，
解得：．
故直线AD的解析式为：y=x+1；
（2）∵直线AD与x轴的交点为（﹣2，0），
∴OB=2，
∵点D的坐标为（0，1），
∴OD=1，
∵y=﹣x+3与x轴交于点C（3，0），
∴OC=3，
∴BC=5
∵△BOD与△BEC相似，
∴或，
∴==或，
∴BE=2，CE=，或CE=，
∵BC EF=BE CE，
∴EF=2，CF==1，
∴E（2，2），或（3，）．
【点评】本题考查了相似三角形的性质，待定系数法求函数的解析式，正确的作出图形是解题的关键．
20．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D．点E、F分别在边AB、AC上，且BE=AF，FG∥AB交线段AD于点G，连接BG、EF．
（1）求证：四边形BGFE是平行四边形；
（2）若△ABG∽△AGF，AB=10，AG=6，求线段BE的长．
【考点】相似三角形的性质．
【专题】综合题．
【分析】（1）根据FG∥AB，又AD平分∠BAC，可证得，∠AGF=∠GAF，从而得：AF=FG=BE，又因为FG∥AB，所以可知四边形BGFE是平行四边形；
（2）根据△ABG∽△AGF，可得，求出AF的长，再由（1）的结论：AF=FG=BE，即可得BE的长．
【解答】（1）证明：∵FG∥AB，
∴∠BAD=∠AGF．
∵∠BAD=∠GAF，
∴∠AGF=∠GAF，AF=GF．
∵BE=AF，∴FG=BE，
又∵FG∥BE，
∴四边形BGFE为平行四边形．（4分）
（2）解：△ABG∽△AGF，
∴，
即，
∴AF=3.6，
∵BE=AF，
∴BE=3.6．
【点评】解决此类题目，要掌握平行四边形的判定及相似三角形的性质．
21．如图，某校数学兴趣小组利用自制的直角三角形硬纸板DEF来测量操场旗杆AB的高度，他们通过调整测量位置，使斜边DF与地面保持平行，并使边DE与旗杆顶点A在同一直线上，已知DE=0.5米，EF=0.25米，目测点D到地面的距离DG=1.5米，到旗杆的水平距离DC=20米，求旗杆的高度．
【考点】利用标杆测量物体的高度．
【分析】根据题意可得：△DEF∽△DCA，进而利用相似三角形的性质得出AC的长，即可得出答案．
【解答】解：由题意可得：△DEF∽△DCA，
则=，
∵DE=0.5米，EF=0.25米，DG=1.5m，DC=20m，
∴=，
解得：AC=10，
故AB=AC+BC=10+1.5=11.5（m），
答：旗杆的高度为11.5m．
【点评】此题主要考查了相似三角形的应用，得出△DEF∽△DCA是解题关键．
22．如图，是一个照相机成像的示意图．
（1）如果像高MN是35mm，焦距是50mm，拍摄的景物高度AB是4.9m，拍摄点离景物有多远？
（2）如果要完整的拍摄高度是2m的景物，拍摄点离景物有4m，像高不变，则相机的焦距应调整为多少？
【考点】利用镜子测量物体的高度．
【分析】（1）利用相似三角形对应边上的高等于相似比即可列出比例式求解；
（2）和上题一样，利用物体的高和拍摄点距离物体的距离及像高表示求相机的焦距即可．
【解答】解：根据物体成像原理知：△LMN∽△LBA，
∴．
（1）∵像高MN是35mm，焦距是50mm，拍摄的景物高度AB是4.9m，
∴，
解得：LD=7，
∴拍摄点距离景物7米；
（2）拍摄高度是2m的景物，拍摄点离景物有4m，像高不变，
∴，
解得：LC=70，
∴相机的焦距应调整为70mm．
【点评】本题考查了相似三角形的应用，解题的关键是根据题意得到相似三角形，并熟知相似三角形对应边上的高的比等于相似比．
