8.3 实际问题与二元一次方程组（一）(基础讲解)（含解析）
文档属性
| 名称 | 8.3 实际问题与二元一次方程组（一）(基础讲解)（含解析） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 1.2MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-05-09 19:24:10 | ||
图片预览
文档简介
中小学教育资源及组卷应用平台
8.3 实际问题与二元一次方程组（一）
【学习目标】
1．以含有多个未知数的实际问题为背景，经历 ( http: / / www.21cnjy.com )“分析数量关系，设未知数，列方程组，解方程组和检验结果”的过程，体会方程组是刻画现实世界中含有多个未知数问题的数学模型；21cnjy.com
2. 熟练掌握用方程组解决和差倍分，配套，工程等实际问题.
【知识总结】
一、常见的一些等量关系（一）
1.和差倍分问题：
增长量＝原有量×增长率 较大量＝较小量＋多余量，总量＝倍数×倍量.
2.产品配套问题：
解这类问题的基本等量关系是：加工总量成比例.
3.工程问题：工作量＝工作效率×工作时间，各部分劳动量之和＝总量.
4.利润问题：商品利润＝商品售价－商品进价， .
二、实际问题与二元一次方程组
1.列方程组解应用题的基本思想
列方程组解应用题， ( http: / / www.21cnjy.com )是把“未知”转换成“已知”的重要方法，它的关键是把已知量和未知量联系起来，找出题目中的等量关系．一般来说，有几个未知量就必须列出几个方程，所列方程必须满足：①方程两边表示的是同类量：②同类量的单位要统一；③方程两边的数要相等.www.21-cn-jy.com
2.列二元一次方程组解应用题的一般步骤：
设：用两个字母表示问题中的两个未知数；
列：列出方程组（分析题意，找出两个等量关系，根据等量关系列出方程组）；
解：解方程组，求出未知数的值；
验：检验求得的值是否正确和符合实际情形；
答：写出答案．
【注】：
（1）解实际应用问题必须写“答”，而且在写答案前要根据应用题的实际意义，检查求得的结果是否合理，不符合题意的解应该舍去；2·1·c·n·j·y
（2）“设”、“答”两步，都要写清单位名称；
（3）一般来说，设几个未知数就应该列出几个方程并组成方程组.
【典型例题】
【类型】一、和差倍分问题
例1.某年级学生共有246人，其中男生人数y比女生人数x的2倍少2人，则下面所列的方程组中符合题意的有（ ）【来源：21·世纪·教育·网】
A． B． C． D．
【答案】C
【思路点拨】设女生人数为x，男生人数为y，根据共有学生246人，男生人数y比女生人数x的2倍少2人，列方程组即可．21·世纪*教育网
解：设设女生人数为x，男生人数为y，
由题意得： ，
故选：C．
【总结升华】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出题目所给的等量关系，列方程组．2-1-c-n-j-y
【训练】某商店订购了A，B两种商品， ( http: / / www.21cnjy.com )A商品18元/千克，B商品20元/千克，若B商品的数量比A商品的2倍少10千克，购进两种商品共用了5600元，求两种商品各多少千克．【来源：21cnj*y.co*m】
【答案】该商店购进A商品100千克，购进B商品190千克．
解：设该商店购进A商品x千克，购进B商品y千克，
依题意，得：，
解得：．
答：该商店购进A商品100千克，购进B商品190千克．
【类型】二、配套问题
例2. 某服装厂生产一批 ( http: / / www.21cnjy.com )某种款式的秋装，已知每2米的某种布料可做上衣的衣身3个或衣袖5只. 现计划用132米这种布料生产这批秋装（不考虑布料的损耗），应分别用多少布料才能使做的衣身和衣袖恰好配套？【版权所有：21教育】
【思路点拨】本题的第一个相等 ( http: / / www.21cnjy.com )关系比较容易得出：衣身、衣袖所用布料的和为132米；第二个相等关系的得出要弄清一整件衣服是怎么样配套的，即衣袖的数量等于衣身的数量的2倍（注意：别把2倍的关系写反了）.21教育名师原创作品
【答案与解析】
解：设用米布料做衣身，用米布料做衣袖才能使衣身和衣袖恰好配套.
根据题意，列方程组得
解方程组得
答：用60米布料做衣身，用72米布料做衣袖才能使做的衣身和衣袖恰好配套.
【总结升华】生产中的配套问题很多，如螺钉和 ( http: / / www.21cnjy.com )螺母的配套、盒身与盒底的配套、桌面与桌腿的配套、衣身与衣袖的配套等. 各种配套都有数量比例，依次设未知数，用未知数可把它们之间的数量关系表示出来，从而得到方程组，使问题得以解决，确定等量关系是解题的关键.
【训练】某家具厂生产一种方桌，设计时1的木材可做50个桌面或300条桌腿.现有10的木材，怎样分配桌面和桌腿使用的木材，才能使桌面和桌腿刚好配套，并指出可生产多少张方桌？（提示：一张方桌有一个桌面，4条桌腿）.【出处：21教育名师】
【答案】
解：设有的木材生产桌面，的木材生产桌腿，由题意得，
,
.
∴方桌有50=300（张）.
答：有6的木材生产桌面，4的木材生产桌腿，可生产出300张方桌.
【类型】三、工程问题
例3在凉山州“精准扶贫” ( http: / / www.21cnjy.com )工作中，甲、乙两个工程队先后接力为某扶贫村庄修建一条2100米长的公路袁甲队每天修建150米，乙队每天修建250米，一共用10天完成援求甲、乙工程队各修建了多少天？
【答案】甲、乙工程队各修建了4天，6天
【分析】设甲、乙工程队各修建了天，天，依据甲、乙两个工程队先后接力为某扶贫村庄修建一条2100米长的公路,及一共用10天完成列二元一次方程组求解即可．www-2-1-cnjy-com
解：设甲、乙工程队各修建了天，天，则
解得
甲、乙工程队各修建了4天，6天．
【点拨】本题主要考查二元一次方程组的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组，利用方程的思想解答．21*cnjy*com
【训练】一家商店进行装修，若请甲、乙两 ( http: / / www.21cnjy.com )个装修组同时施工，8天可以完成，需付两组费用共3520元，若先请甲组单独做6天，再请乙组单独做12天可以完成，需付费用3480元，问：甲、乙两组工作一天，商店各应付多少钱？设：甲组工作一天商店应付x元，乙组工作一天商店付y元．列二元一次方程组为__________．
【答案】．
【分析】
（1）设甲组工作一天，商店各 ( http: / / www.21cnjy.com )应付x元，乙组工作一天，商店各应付y元，根据等量关系甲做8天需要的费用＋乙作8天需要的费用＝3520元．甲组6天需付的费用＋乙做12天需付的费用＝3480元，由此可得出方程组．
【详解】
解：设：甲组工作一天商店应付x元，乙组工作一天商店付y元．
由题意得．
故答案为．
【点拨】本题主要考查二元一 ( http: / / www.21cnjy.com )次方程组的实际问题的应用，解题的关键是读懂题目的意思，根据题目给出的条件，设出未知数，分别找出甲组和乙组对应的工作时间，找出合适的等量关系，列出方程组．
【类型】四、利润问题
例4. 金鑫服装店老板到厂家选购A ( http: / / www.21cnjy.com )，B两种型号的服装，若购进A种型号服装3件，B种型号服装2件，需要470元；若购进A种型号服装9件，B种型号服装10件，需要1810元．21*cnjy*com
（1）求A，B两种型号的服装每件进价分别为多少元？
（2）若销售1件A型服装可获利18元 ( http: / / www.21cnjy.com )，销售1件B型服装可获利30元，根据市场需求，服装店老板决定，购进A型服装的数量的7倍与购进B型服装的数量的4倍之和为100件，问有几种进货方案？哪种方案获利最多？
【答案】（1）A，B两种型号的服装每件进价分别为90、100元；（2）有4种方案，见解析；当进货0件A型服装，25件B型服装时，利润最大．
【分析】
（1）设A型服装每件进价x元，B型服装每件进价y元，根据题意列出二元一次方程组即可求解；
（2）设进货A型服装数量为a件，B型服装数量为b件，依题意可得7a+4b=100,由a,b为整数，即可求出a,b的值进行求解 ．
解：（1）设A型服装每件进价x元，B型服装每件进价y元，
根据题意可得
解得
答：A，B两种型号的服装每件进价分别为90、100元；
（2）设A型服装数量为a件，B型服装数量为b件，依题意可得7a+4b=100,
由a,b为整数，故可得4种情况：
当a=0时，b=25，即进货0件A型服装，25件B型服装，利润为18×0+25×30=750（元）
当a=4时，b=18，即进货4件A型服装，18件B型服装，利润为18×4+18×30=612（元）；
当a=8时，b=11，即进货8件A型服装，11件B型服装，利润为18×8+11×30=474（元）；
当a=12时，b=4，即进货12件A型服装，4件B型服装，利润为18×12+4×30=336（元）；
故进货0件A型服装，25件B型服装时，利润最大．
【点拨】此题主要考查二元一次方程组的应用，解题的关键是根据题意找到数量关系列方程求解．
【训练】随着中国传统节日“端午 ( http: / / www.21cnjy.com )节”的临近，东方红商场决定开展“欢度端午，回馈顾客”的让利促销活动，对部分品牌粽子进行打折销售，其中甲品牌粽子打八折，乙品牌粽子打七五折，已知打折前，买6盒甲品牌粽子和3盒乙品牌粽子需660元；打折后，买50盒甲品牌粽子和40盒乙品牌粽子需要5200元．
（1）打折前甲、乙两种品牌粽子每盒分别为多少元？
（2）阳光敬老院需购买甲品牌粽子80盒，乙品牌粽子100盒，问打折后购买这批粽子比不打折节省了多少钱？21教育网
【答案】（1）打折前甲品牌粽子每盒70元，乙品牌粽子每盒80元；（2）3120元．
【分析】
（1）设打折前甲品牌粽子每盒元，乙品牌粽子每盒元；然后根据“买6盒甲品牌粽子和3盒乙品牌粽子需660元”和“打折后，买50盒甲品牌粽子和40盒乙品牌粽子需要5200元”两个等量关系列二元一次方程组并求解即可；21·cn·jy·com
（2）根据“总价=售价×数量”列式计算即可．
解：（1）设打折前甲品牌粽子每盒元，乙品牌粽子每盒元，
根据题意得：，
解得：．
答：打折前甲品牌粽子每盒70元，乙品牌粽子每盒80元．
（2）（元）．
答：打折后购买这批粽子比不打折节省了3120元．
【点拨】本题主要考查了二元一次方程组的应用以及列式计算，审清题意、列出二元一次方程组是解答本题的关键．21世纪教育网版权所有
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)
8.3 实际问题与二元一次方程组（一）
【学习目标】
1．以含有多个未知数的实际问题为背景，经历 ( http: / / www.21cnjy.com )“分析数量关系，设未知数，列方程组，解方程组和检验结果”的过程，体会方程组是刻画现实世界中含有多个未知数问题的数学模型；21cnjy.com
2. 熟练掌握用方程组解决和差倍分，配套，工程等实际问题.
【知识总结】
一、常见的一些等量关系（一）
1.和差倍分问题：
增长量＝原有量×增长率 较大量＝较小量＋多余量，总量＝倍数×倍量.
2.产品配套问题：
解这类问题的基本等量关系是：加工总量成比例.
3.工程问题：工作量＝工作效率×工作时间，各部分劳动量之和＝总量.
4.利润问题：商品利润＝商品售价－商品进价， .
二、实际问题与二元一次方程组
1.列方程组解应用题的基本思想
列方程组解应用题， ( http: / / www.21cnjy.com )是把“未知”转换成“已知”的重要方法，它的关键是把已知量和未知量联系起来，找出题目中的等量关系．一般来说，有几个未知量就必须列出几个方程，所列方程必须满足：①方程两边表示的是同类量：②同类量的单位要统一；③方程两边的数要相等.www.21-cn-jy.com
2.列二元一次方程组解应用题的一般步骤：
设：用两个字母表示问题中的两个未知数；
列：列出方程组（分析题意，找出两个等量关系，根据等量关系列出方程组）；
解：解方程组，求出未知数的值；
验：检验求得的值是否正确和符合实际情形；
答：写出答案．
【注】：
（1）解实际应用问题必须写“答”，而且在写答案前要根据应用题的实际意义，检查求得的结果是否合理，不符合题意的解应该舍去；2·1·c·n·j·y
（2）“设”、“答”两步，都要写清单位名称；
（3）一般来说，设几个未知数就应该列出几个方程并组成方程组.
【典型例题】
【类型】一、和差倍分问题
例1.某年级学生共有246人，其中男生人数y比女生人数x的2倍少2人，则下面所列的方程组中符合题意的有（ ）【来源：21·世纪·教育·网】
A． B． C． D．
【答案】C
【思路点拨】设女生人数为x，男生人数为y，根据共有学生246人，男生人数y比女生人数x的2倍少2人，列方程组即可．21·世纪*教育网
解：设设女生人数为x，男生人数为y，
由题意得： ，
故选：C．
【总结升华】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出题目所给的等量关系，列方程组．2-1-c-n-j-y
【训练】某商店订购了A，B两种商品， ( http: / / www.21cnjy.com )A商品18元/千克，B商品20元/千克，若B商品的数量比A商品的2倍少10千克，购进两种商品共用了5600元，求两种商品各多少千克．【来源：21cnj*y.co*m】
【答案】该商店购进A商品100千克，购进B商品190千克．
解：设该商店购进A商品x千克，购进B商品y千克，
依题意，得：，
解得：．
答：该商店购进A商品100千克，购进B商品190千克．
【类型】二、配套问题
例2. 某服装厂生产一批 ( http: / / www.21cnjy.com )某种款式的秋装，已知每2米的某种布料可做上衣的衣身3个或衣袖5只. 现计划用132米这种布料生产这批秋装（不考虑布料的损耗），应分别用多少布料才能使做的衣身和衣袖恰好配套？【版权所有：21教育】
【思路点拨】本题的第一个相等 ( http: / / www.21cnjy.com )关系比较容易得出：衣身、衣袖所用布料的和为132米；第二个相等关系的得出要弄清一整件衣服是怎么样配套的，即衣袖的数量等于衣身的数量的2倍（注意：别把2倍的关系写反了）.21教育名师原创作品
【答案与解析】
解：设用米布料做衣身，用米布料做衣袖才能使衣身和衣袖恰好配套.
根据题意，列方程组得
解方程组得
答：用60米布料做衣身，用72米布料做衣袖才能使做的衣身和衣袖恰好配套.
【总结升华】生产中的配套问题很多，如螺钉和 ( http: / / www.21cnjy.com )螺母的配套、盒身与盒底的配套、桌面与桌腿的配套、衣身与衣袖的配套等. 各种配套都有数量比例，依次设未知数，用未知数可把它们之间的数量关系表示出来，从而得到方程组，使问题得以解决，确定等量关系是解题的关键.
【训练】某家具厂生产一种方桌，设计时1的木材可做50个桌面或300条桌腿.现有10的木材，怎样分配桌面和桌腿使用的木材，才能使桌面和桌腿刚好配套，并指出可生产多少张方桌？（提示：一张方桌有一个桌面，4条桌腿）.【出处：21教育名师】
【答案】
解：设有的木材生产桌面，的木材生产桌腿，由题意得，
,
.
∴方桌有50=300（张）.
答：有6的木材生产桌面，4的木材生产桌腿，可生产出300张方桌.
【类型】三、工程问题
例3在凉山州“精准扶贫” ( http: / / www.21cnjy.com )工作中，甲、乙两个工程队先后接力为某扶贫村庄修建一条2100米长的公路袁甲队每天修建150米，乙队每天修建250米，一共用10天完成援求甲、乙工程队各修建了多少天？
【答案】甲、乙工程队各修建了4天，6天
【分析】设甲、乙工程队各修建了天，天，依据甲、乙两个工程队先后接力为某扶贫村庄修建一条2100米长的公路,及一共用10天完成列二元一次方程组求解即可．www-2-1-cnjy-com
解：设甲、乙工程队各修建了天，天，则
解得
甲、乙工程队各修建了4天，6天．
【点拨】本题主要考查二元一次方程组的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组，利用方程的思想解答．21*cnjy*com
【训练】一家商店进行装修，若请甲、乙两 ( http: / / www.21cnjy.com )个装修组同时施工，8天可以完成，需付两组费用共3520元，若先请甲组单独做6天，再请乙组单独做12天可以完成，需付费用3480元，问：甲、乙两组工作一天，商店各应付多少钱？设：甲组工作一天商店应付x元，乙组工作一天商店付y元．列二元一次方程组为__________．
【答案】．
【分析】
（1）设甲组工作一天，商店各 ( http: / / www.21cnjy.com )应付x元，乙组工作一天，商店各应付y元，根据等量关系甲做8天需要的费用＋乙作8天需要的费用＝3520元．甲组6天需付的费用＋乙做12天需付的费用＝3480元，由此可得出方程组．
【详解】
解：设：甲组工作一天商店应付x元，乙组工作一天商店付y元．
由题意得．
故答案为．
【点拨】本题主要考查二元一 ( http: / / www.21cnjy.com )次方程组的实际问题的应用，解题的关键是读懂题目的意思，根据题目给出的条件，设出未知数，分别找出甲组和乙组对应的工作时间，找出合适的等量关系，列出方程组．
【类型】四、利润问题
例4. 金鑫服装店老板到厂家选购A ( http: / / www.21cnjy.com )，B两种型号的服装，若购进A种型号服装3件，B种型号服装2件，需要470元；若购进A种型号服装9件，B种型号服装10件，需要1810元．21*cnjy*com
（1）求A，B两种型号的服装每件进价分别为多少元？
（2）若销售1件A型服装可获利18元 ( http: / / www.21cnjy.com )，销售1件B型服装可获利30元，根据市场需求，服装店老板决定，购进A型服装的数量的7倍与购进B型服装的数量的4倍之和为100件，问有几种进货方案？哪种方案获利最多？
【答案】（1）A，B两种型号的服装每件进价分别为90、100元；（2）有4种方案，见解析；当进货0件A型服装，25件B型服装时，利润最大．
【分析】
（1）设A型服装每件进价x元，B型服装每件进价y元，根据题意列出二元一次方程组即可求解；
（2）设进货A型服装数量为a件，B型服装数量为b件，依题意可得7a+4b=100,由a,b为整数，即可求出a,b的值进行求解 ．
解：（1）设A型服装每件进价x元，B型服装每件进价y元，
根据题意可得
解得
答：A，B两种型号的服装每件进价分别为90、100元；
（2）设A型服装数量为a件，B型服装数量为b件，依题意可得7a+4b=100,
由a,b为整数，故可得4种情况：
当a=0时，b=25，即进货0件A型服装，25件B型服装，利润为18×0+25×30=750（元）
当a=4时，b=18，即进货4件A型服装，18件B型服装，利润为18×4+18×30=612（元）；
当a=8时，b=11，即进货8件A型服装，11件B型服装，利润为18×8+11×30=474（元）；
当a=12时，b=4，即进货12件A型服装，4件B型服装，利润为18×12+4×30=336（元）；
故进货0件A型服装，25件B型服装时，利润最大．
【点拨】此题主要考查二元一次方程组的应用，解题的关键是根据题意找到数量关系列方程求解．
【训练】随着中国传统节日“端午 ( http: / / www.21cnjy.com )节”的临近，东方红商场决定开展“欢度端午，回馈顾客”的让利促销活动，对部分品牌粽子进行打折销售，其中甲品牌粽子打八折，乙品牌粽子打七五折，已知打折前，买6盒甲品牌粽子和3盒乙品牌粽子需660元；打折后，买50盒甲品牌粽子和40盒乙品牌粽子需要5200元．
（1）打折前甲、乙两种品牌粽子每盒分别为多少元？
（2）阳光敬老院需购买甲品牌粽子80盒，乙品牌粽子100盒，问打折后购买这批粽子比不打折节省了多少钱？21教育网
【答案】（1）打折前甲品牌粽子每盒70元，乙品牌粽子每盒80元；（2）3120元．
【分析】
（1）设打折前甲品牌粽子每盒元，乙品牌粽子每盒元；然后根据“买6盒甲品牌粽子和3盒乙品牌粽子需660元”和“打折后，买50盒甲品牌粽子和40盒乙品牌粽子需要5200元”两个等量关系列二元一次方程组并求解即可；21·cn·jy·com
（2）根据“总价=售价×数量”列式计算即可．
解：（1）设打折前甲品牌粽子每盒元，乙品牌粽子每盒元，
根据题意得：，
解得：．
答：打折前甲品牌粽子每盒70元，乙品牌粽子每盒80元．
（2）（元）．
答：打折后购买这批粽子比不打折节省了3120元．
【点拨】本题主要考查了二元一次方程组的应用以及列式计算，审清题意、列出二元一次方程组是解答本题的关键．21世纪教育网版权所有
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)