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9.1 不等式与不等式的性质
一、单选题
1．下列不等式变形正确的是( )
A．1≥2－x x≥1 B．－x＜3 x＜－3
C．x＞－6 x＞－2 D．－7x≤8 x≥－
【答案】A
【解析】
A选项：1≥2－x,1－2≥－x,x≥1.故是正确的；
B选项：－x＜3，x>-3,故B选项是错误的；
C选项：x＞－6，x>-18,故C选项是错误的；
D选项：－7x≤8，x≤－.故D选项是错误的；
故选A.
2．若x>y，则下列不等式不一定成立的是( )
A．x＋1>y＋1 B．2x>2y
C．> D．x2>y2
【答案】D
【解析】A选项：两边都加1，不等号的方向不变，故A不符合题意；
B选项：两边都乘以2，不等号的方向不变，故B不符合题意； 21教育网
C选项：两边都除以2，不等号的方向不变，故C不符合题意；
D选项：0＞x＞y时，x2＜y2，故D符合题意；
故选D．2·1·c·n·j·y
3．下列按条件列出的不等式中，正确的是( )
A．a不是负数，则a＞0 B．a与3的差不等于1，则a－3＜1
C．a是不小于0的数，则a＞0 D．a与 b的和是非负数，则a＋b≥0
【答案】D
【解析】
根据a不是负数，则a可能是正数和0，即a≥0，故不正确；
根据a与3的差不等于1，可知a-3≠1，故不正确；
根据a是不小于0的数，即可知a≥0，故不正确；
根据非负数的意义，可知a+b≥0，故正确.
故选D.
4．在数学表达式：－3<0，4x＋2y>0，x＝3，x2＋2xy＋y2，x≠5，x＋2≤y＋3中，是不等式的有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【解析】
根据不等式的概念，用不等号表示不等关系的式子叫不等式，由此可知不等式的个数为4个.
故选D.
5．不等式解集是
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
不等式的两边同时除以2可得，故选C.
6．下列命题正确的是（ ）
A．若a＞b，b＜c，则a＞c
B．若a＞b，则ac＞bc
C．若a＞b，则ac2＞bc2
D．若ac2＞bc2，则a＞b
【答案】D
【解析】
试题分析：根据不等式的基本性质，取特殊值法进行解答．
解：A、可设a=4，b=3，c=4，则a=c．故本选项错误；
B、当c=0或c＜0时，不等式ac＞bc不成立．故本选项错误；
C、当c=0时，不等式ac2＞bc2不成立．故本选项错误；
D、由题意知，c2＞0，则在不等式ac2＞bc2的两边同时除以c2，不等式仍成立，即ac2＞bc2，故本选项正确．
故选D．
考点：不等式的性质；命题与定理．
7．下列不等式中，是一元一次不等式的是（ ）
A．
B．x2－5＜0
C．3x＞2y
D．2x－1≥0
【答案】D
【解析】A选项中不等式的左边不是整式，故A中 ( http: / / www.21cnjy.com )的不等式不是一元一次不等式；B选项中未知数的次数是2，故B中的不等式也不是一元一次不等式；C选项中含有两个未知数，故C中的不等式也不是一元一次不等式；只有D中的不等式符合条件．【来源：21·世纪·教育·网】
8．若3a+2b-1>2a+3b，则a、b的大小关系为（ ）
A．a
b C．a=b D．不能确定
【答案】B
【详解】
试题分析：解不等式3a+2b﹣1＞2a+3b得a﹣b＞1，故可求得a与b的关系．
解：∵3a+2b﹣1＞2a+3b，
∴移项，得：
3a﹣2a﹣1＞3b﹣2b，
即a﹣1＞b，
∴a-b＞1，
则a＞b；
故选B．
点评：解不等式要依据不等式的基本性质，在不等式的两边同时加上或减去同一个数或整式，不等号的方向不变．21*cnjy*com
二、填空题
9．不等式x－3＜0的解集是________．
【答案】x＜3
【解析】
移项得：x＜3．故答案为x＜3．
10．如果关于x的不等式（a＋1）x＞a＋1（a≠－1）可以变形为x＜1，那么a的取值范围是________．
【答案】a＜－1
【解析】
要使关于x的不等式（a＋1 ( http: / / www.21cnjy.com )）x＞a＋1变形为x＜1，则需利用不等式的性质3（因为不等号的方向发生了改变），在原不等式的两边同时除以负数（a＋1），所以a＋1＜0，所以a的取值范围是a＜－1．
11．不等式3x-2>0的解集是__.
【答案】
【解析】
移项得：3x＞2，系数化为1得：．故答案为．
12．用“＞”或“＜”号填空．
若a＞b，且c≠0，则：（1）a＋3________b＋3；
（2）a－5________b－5；
（3）3a________3b；
（4）c－a________c－b；
（5）ac2________bc2；
（6）－a|c|________－b|c|．
【答案】 ＞ ＞ ＞ ＜ ＞ ＜
【解析】解：若a＞b，且c≠0，则：（1）a＋3＞b＋3；
（2）a－5＞b－5；
（3）3a＞3b；
（4）c－a＜c－b；
（5）ac2＞bc2；
（6）－a|c|＜－b|c|
故答案为：＞，＞ ，＞，＜，＞，＜．
13．按商品质量规定：商店出售的标明 ( http: / / www.21cnjy.com )500 g的袋装食盐，其实际克数与所标克数相差不能超过5 g．设实际克数为x(g)，则x应满足的不等式是_____．【来源：21cnj*y.co*m】
【答案】495≤x≤505
【解析】根据题意，可知x应满足的不等式是500-5≤x≤500+5，即495≤x≤505.
故答案为：495≤x≤505.
14．(1)若－4x>－3，则x____.
(2)若>(c≠0)，则a____b.
(3)若－<－，则x____y.
【答案】< > >
【解析】
(1)∵－4x>－3,
∴x<(两边同时除以－4，改变不等号方向)；
（2）>(c≠0)，
∴ (两边同时除以正数，不改变不等号方向)；
（3）∵－<－,
∴x>y(两边同时乘以负数，改变不等号方向)；
故答案是：<,>,>.
15．用不等式表示下列各式．
（1）a与1的和是正数：________；
（2）b与a的差是负数：________；
（3）a与b的平方和大于7：________；
（4）x的2倍与3的差小于－5：________．
【答案】 a＋1＞0 b－a＜0 a2＋b2＞7 2x－3＜－5
【解析】解：（1）a与1的和是正数：用不等式表示为：a＋1＞0；
（2）b与a的差是负数：用不等式表示为：b－a＜0；
（3）a与b的平方和大于7：用不等式表示为：a2＋b2＞7；
（4）x的2倍与3的差小于－5：用不等式表示为：2x－3＜－5．
故答案为：（1）a＋1＞0 ；（2）b－a＜0；（3）a2＋b2＞7 ； （4）2x－3＜－5．
16．已知x＝3是方程—2＝x—1的解，那么不等式(2—)x＜的解集是______．
【答案】x＜
【解析】
先根据x=3是方程-2=x-1的解，代入可求出a=-5，再把a的值代入所求不等式(2—)x＜，由不等式的基本性质求出x的取值范围x＜．2-1-c-n-j-y
故答案为：x＜.
17．若关于x的方程的解大于关于x的方程的解，则a的取值范围为________．
【答案】
【分析】
先求出两个方程的解，然后解关于a的一元一次不等式，即可得到答案.
【详解】
解：解方程，
得：，
解方程，
得：．
由题意得：．
解得：．
故答案为：.
【点睛】
本题考查的是解一元一次方程和解一元一次不等式，根据题意列出关于x的不等式是解答此题的关键．
三、解答题
18．利用不等式的基本性质，将下列不等式化为“x>a”或“x(1)x＋2>7.
(2)3x<－12.
(3)－7x>－14.
(4)x<2.
【答案】（1）x>5;(2)x<-4;(3)x<2;(4)x<6
【解析】
试题分析：（1）不等式两边都减去2即可；
（2）两边都除以3即可；
（3）两边都除以－7，改变不等号方向即可；
（4）两边都乘3即可.
试题解析：
（1）两边都减去2，得x>5
（2）两边都除以3，得x<－4.
（3）两边都除以－7，得x<2.
（4）两边都乘3，得x<6.
19．利用不等式的性质解下列不等式，并在数轴上表示其解集．
（1）－3x＋2＞2x＋7；
（2）．
【答案】（1）x＜－1（2）x≥－2
【解析】在利用不等式的性质解不等式时，要特别注意不等式的性质3的运用．另外，在数轴上表示解集时，要注意“空心圆圈”与“实心圆点”的区别．21cnjy.com
（1）由不等式的性质1，得－5x＞5．由不等式的性质3，得x＜－1．所以不等式－3x＋2＞2x＋7的解集是x＜－1．21·cn·jy·com
这个不等式的解集在数轴上表示如图（1）所示．
（2）由不等式的性质1，得x≥－2．
所以不等式的解集为x≥－2．
这个不等式的解集在数轴上表示如图（2）所示．
20．甲地离学校4 km，乙地离学校1 km，记甲、乙两地之间的距离为d(km)，求d的取值范围．
【答案】甲、乙之间的距离在3～5 km之间
【解析】试题分析：甲乙都在学校同侧，且甲乙 ( http: / / www.21cnjy.com )与学校在同一直线上时，甲乙两地的距离最小；甲乙在学校两侧，且甲乙与学校在同一直线上时，甲乙两地的距离最大；当甲乙以及学校不在同一直线上时，甲乙的距离在前面两个距离之间．21世纪教育网版权所有
试题解析：①当甲、乙、学校三者在同一直线上时，
若甲、乙在学校的两侧，则甲、乙相距最远为5 km；
若甲、乙在学校的同侧，则甲、乙相距最近为3 km.
②当甲、乙、学校三者不在同一直线上时，
甲、乙之间的距离在3～5 km之间．
点睛：本题考查的是三角形的三边关系，先分别求出三点同线的情况，即最短距离和最长距离两种情况，则d的取值即在这两者之间．www.21-cn-jy.com
21．(1)若x>y ，请比较2－3x 与 2－3y 的大小，并说明理由．
(2)若x>y，请比较(a－3)x与(a－3)y的大小．
【答案】(1)2－3x<2－3y；（2 ( http: / / www.21cnjy.com )）当a>3时， (a－3)x>(a－3)y；当a＝3时， (a－3)x＝(a－3)y＝0；当a<3时， (a－3)x<(a－3)y.【出处：21教育名师】
【解析】
试题分析：(1) 根据不等式的性质，由x＜y，可得：-x＞-y，据此判断出2-3x与2-3y的大小即可;
(2)分三种情况（a-3>0、a-3=0和a-3<0）讨论，再由不等式性质比较大小.
试题解析：
（1）2－3x<2－3y.理由如下：
∵x>y(已知)，
∴－3x<－3y (不等式的基本性质3)，
∴2－3x<2－3y (不等式的基本性质2)．
（2）当a>3时，
∵ x>y, a－3>0，
∴ (a－3)x>(a－3)y.
当a＝3时，
∵ a－3＝0，
∴ (a－3)x＝(a－3)y＝0.
当a<3时，
∵ x>y, a－3<0，
∴ (a－3)x<(a－3)y.
22．利用不等式的性质解下列不等式，并在数轴上表示解集．
（1）；
（2）．
【答案】（1）x＞－2（2）x≤3
【解析】（1）根据不等式的性质1，得，所以x＞－2．这个不等式的解集在数轴上表示如图（1）所示．
（2）根据不等式的性质2，得x≤6－x， ( http: / / www.21cnjy.com )根据不等式的性质1，得x＋x≤6，即2x≤6，根据不等式的性质2，得x≤3．这个不等式的解集在数轴上表示如图（2）所示．www-2-1-cnjy-com
23．已知：关于x的方程＝m的解为非正数，求m的取值范围．
【答案】.
【分析】
本题是于x的不等式，应先只把x看成未知数，求得x的解集，再根据数轴上的解集，来求得m的值．
【详解】
方程，
2x+2m-6x+3=6m，
-4x=4m-3，
．
因为它的解为非正数，即x≤0，
∴，
得m≥．
【点睛】
当题中有两个未知字母时，应 ( http: / / www.21cnjy.com )把关于某个字母的不等式中的字母当成未知数，求得解集，再根据解集进行判断，求得另一个字母的值．本题需注意，在不等式两边都除以一个负数时，应只改变不等号的方向，余下运算不受影响，该怎么算还怎么算．21教育名师原创作品
24．据了解，我区实施阶梯电价制，居民生活用电（一户一表）价格方案如下：
档次 月用电量 电价（单位：元/度）
第1档 月用电量≤200度 0．4983
第2档 200度＜月用电量≤400度 0．5483
第3档 月用电量＞400度 0．7983
例：若某用户2013年9月份的用电量为300度，则需缴交电费为：
200×0．4983＋(300－200)×0．5483＝154．49（元）．
（1）填空：如果小华家2013年9月份的用电量为100度，则需缴交电费____元；
（2）如果小华家2013年10月份的用电量为度（其中200＜≤400），则需缴交电费多少元？（用含的代数式表示，并化简）21·世纪*教育网
（3）如果小华家2013年11、12两个月共用电600度，已知12月份的用电量比11月份多．设11月份的用电量为度，则小华家这两个月共需缴交电费多少元？【版权所有：21教育】
（结果可用含的代数式表示，并化简）
【答案】（1）49.83；（2）0.5483x-10；（3）见解析
【解析】
（1）判断100度电在第1档，求出电费即可；（2）根据题意表示出代数式即可；（3）11
份的用电量为第1档和为第2档两种情况分别列式整理即可得解．
解：（1）根据题意得：100×0.4983=49.83（元），
则需缴交电费49.83元；
（2）根据题意得：
200×0.4983+0.5483（x-200）=99.66+0.5483x-109.66=0.5483x-10（元）； 21*cnjy*com
（3）由于两个月共用电600度，设12月份达到第3档，所以11月不可能达到第3档，
要分两种情况解答：
第一种情况：当11月用电量为第1档时，
共需缴交电费：0.4983a+200×0.4983+0.5483×200+0.7983(600-a-400)
=-0.3a+368.98（元）；
第二种情况：当11月份用电量为第2档时，12月份用电量也在第2档，
共需缴交电费：200×0.4983+0. ( http: / / www.21cnjy.com )5483（a-200）+200×0.4983+0.5483×（600-a-200）=308.98（元）.
“点睛“本题考查了列代数式，读懂图表信息是解题的关键，难点在于要根据各档次的电价的不同列式，（3）要注意分情况讨论．
25．用不等式表示下列语句：
（1）a的3倍与b的的和不大于3；
（2）x2是非负数；
（3）x的相反数与1的差不小于2；
（4）x与17的和比它的5倍小．
【答案】（1）；（2）x2≥0；（3）－x－1≥2；（4）x＋17＜5x．
【解析】（1）中不大于就是 ( http: / / www.21cnjy.com )小于或等于，即“≤”；（2）中的非负数就是大于或等于零，即“≥0”；（3）中不小于就是大于或等于，即“≥”；（4）中关键词为“小”，即“＜”．
26．有甲、乙两种型号的铁丝，每根甲 ( http: / / www.21cnjy.com )型铁丝长度比每根乙型铁丝少3厘米，现取这两种型号的铁丝各两根分别做长方形的长和宽，焊接成周长大于2.1米的长方形铁丝框．
（1）设每根乙型铁丝长为x厘米，按题意列出不等式．
（2）如果每根乙型铁丝的长度有以下四种选择：45厘米、50厘米、55厘米、58厘米，那么哪些合适？
【答案】（1）2x＋2（x－3）＞210 （2）55厘米、58厘米合适
【解析】（1）2x＋2（x－3）＞210．
（2）当x＝45时，2x＋2（x－3）＝2×45＋2×（45－3）＝90＋84＝174＜210．
当x＝50时，2x＋2（x－3）＝2×50＋2×（50－3）＝100＋94＝194＜210．
当x＝55时，2x＋2（x－3）＝2×55＋2×（55－3）＝110＋104＝214＞210．
当x＝58时，2x＋2（x－3）＝2×58＋2×（58－3）＝116＋110＝226＞210．
故55厘米、58厘米合适．
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9.1 不等式与不等式的性质
一、单选题
1．下列不等式变形正确的是( )
A．1≥2－x x≥1 B．－x＜3 x＜－3
C．x＞－6 x＞－2 D．－7x≤8 x≥－
2．若x>y，则下列不等式不一定成立的是( )
A．x＋1>y＋1 B．2x>2y
C．> D．x2>y2
3．下列按条件列出的不等式中，正确的是( )
A．a不是负数，则a＞0 B．a与3的差不等于1，则a－3＜1
C．a是不小于0的数，则a＞0 D．a与 b的和是非负数，则a＋b≥0
4．在数学表达式：－3<0，4x＋2y>0，x＝3，x2＋2xy＋y2，x≠5，x＋2≤y＋3中，是不等式的有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．不等式解集是
A． B． C． D．
6．下列命题正确的是（ ）
A．若a＞b，b＜c，则a＞c
B．若a＞b，则ac＞bc
C．若a＞b，则ac2＞bc2
D．若ac2＞bc2，则a＞b
7．下列不等式中，是一元一次不等式的是（ ）
A．
B．x2－5＜0
C．3x＞2y
D．2x－1≥0
8．若3a+2b-1>2a+3b，则a、b的大小关系为（ ）
A．ab C．a=b D．不能确定
二、填空题
9．不等式x－3＜0的解集是________．
10．如果关于x的不等式（a＋1）x＞a＋1（a≠－1）可以变形为x＜1，那么a的取值范围是________．
11．不等式3x-2>0的解集是__.
12．用“＞”或“＜”号填空．
若a＞b，且c≠0，则：（1）a＋3________b＋3；
（2）a－5________b－5；
（3）3a________3b；
（4）c－a________c－b；
（5）ac2________bc2；
（6）－a|c|________－b|c|．
13．按商品质量规定：商 ( http: / / www.21cnjy.com )店出售的标明500 g的袋装食盐，其实际克数与所标克数相差不能超过5 g．设实际克数为x(g)，则x应满足的不等式是_____．21世纪教育网版权所有
14．(1)若－4x>－3，则x____.
(2)若>(c≠0)，则a____b.
(3)若－<－，则x____y.
15．用不等式表示下列各式．
（1）a与1的和是正数：________；
（2）b与a的差是负数：________；
（3）a与b的平方和大于7：________；
（4）x的2倍与3的差小于－5：________．
16．已知x＝3是方程—2＝x—1的解，那么不等式(2—)x＜的解集是______．
17．若关于x的方程的解大于关于x的方程的解，则a的取值范围为________．
三、解答题
18．利用不等式的基本性质，将下列不等式化为“x>a”或“x(1)x＋2>7.
(2)3x<－12.
(3)－7x>－14.
(4)x<2.
19．利用不等式的性质解下列不等式，并在数轴上表示其解集．
（1）－3x＋2＞2x＋7；
（2）．
20．甲地离学校4 km，乙地离学校1 km，记甲、乙两地之间的距离为d(km)，求d的取值范围．
21．(1)若x>y ，请比较2－3x 与 2－3y 的大小，并说明理由．
(2)若x>y，请比较(a－3)x与(a－3)y的大小．
22．利用不等式的性质解下列不等式，并在数轴上表示解集．
（1）；
（2）．
23．已知：关于x的方程＝m的解为非正数，求m的取值范围．
24．据了解，我区实施阶梯电价制，居民生活用电（一户一表）价格方案如下：
档次 月用电量 电价（单位：元/度）
第1档 月用电量≤200度 0．4983
第2档 200度＜月用电量≤400度 0．5483
第3档 月用电量＞400度 0．7983
例：若某用户2013年9月份的用电量为300度，则需缴交电费为：
200×0．4983＋(300－200)×0．5483＝154．49（元）．
（1）填空：如果小华家2013年9月份的用电量为100度，则需缴交电费____元；
（2）如果小华家2013年10月份的用电量为度（其中200＜≤400），则需缴交电费多少元？（用含的代数式表示，并化简）21教育网
（3）如果小华家2013年11、12两个月共用电600度，已知12月份的用电量比11月份多．设11月份的用电量为度，则小华家这两个月共需缴交电费多少元？21cnjy.com
（结果可用含的代数式表示，并化简）
25．用不等式表示下列语句：
（1）a的3倍与b的的和不大于3；
（2）x2是非负数；
（3）x的相反数与1的差不小于2；
（4）x与17的和比它的5倍小．
26．有甲、乙两种型号的铁丝 ( http: / / www.21cnjy.com )，每根甲型铁丝长度比每根乙型铁丝少3厘米，现取这两种型号的铁丝各两根分别做长方形的长和宽，焊接成周长大于2.1米的长方形铁丝框．21·cn·jy·com
（1）设每根乙型铁丝长为x厘米，按题意列出不等式．
（2）如果每根乙型铁丝的长度有以下四种选择：45厘米、50厘米、55厘米、58厘米，那么哪些合适？
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