5.1 认识分式(基础讲解)（含解析）

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第一讲 认识分式
【学习目标】
1. 理解分式的概念，明确一个代数式是分式的条件；
2. 能求出使分式有意义、分式无意义、分式值为0的条件.
【知识总结】
一、分式的概念
一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式.其中A叫做分子，B叫做分母.
分式与分数的类比理解：
1、分式的形式和分数类似，但它们是有区别的.分数是整式，不是分式，分式是两个
整式相除的商.分式的分母中含有字母；分数的分子、分母中都不含字母.
2、分式与分数是相互联系的：由于分式中的字母可以表示不同的数，所以分式比分数
更具有一般性；分数是分式中字母取特定值后的特殊情况.
3、分母中含有字母是分式的一个重要标志，判断一个代数式是否是分式不能先化简，如是分式，与有区别，是整式，即只看形式，21世纪教育网版权所有
二、分式有意义，无意义或等于零的条件
1.分式有意义的条件：分母不等于零.
2.分式无意义的条件：分母等于零.
3.分式的值为零的条件：分子等于零且分母不等于零.
特别指出
（1）分式有无意义与分母有关但与分子无关，分式要明确其是否有意义，就必须分析、
讨论分母中所含字母不能取哪些值，以避免分母的值为零.
（2）本章中如果没有特殊说明，所遇到的分式都是有意义的，也就是说分式中分母的
值不等于零.
（3）必须在分式有意义的前提下，才能讨论分式的值.
【典型例题】
【类型】一、分式的概念
例1、下列各式：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦，是分式的有______________，是整式的有_____________．（只填序号）www.21-cn-jy.com
【答案】①③⑤⑥ ②④⑦
【分析】判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则是整式．
解：是分式的有：，，，，
是整式的有：，，．
故答案为：①③⑤⑥，②④⑦．
【点拨】本题主要考查分式和整式的定义，注意π不是字母，是常数，所以不是分式，是整式．
【训练】在，0,，，，中，是整式的有__________；是分式的有__________．
【答案】，0，， ，
【分析】根据整式和分式的定义即可解答.形如，A、B是整式，B中含有字母，这样的式子叫分式．注意不是字母．www-2-1-cnjy-com
解：整式有，0，，；
分式有，.
故答案是: ，0，，；，．
【点拨】本题主要考查的是分式和整式的定义，掌握分式和整式的定义是解题的关键．
【类型】二、分式有意义，分式值为0，分式无意义
例2．分式的值为0，则______________．
【答案】3
【分析】要使分式的值为0，必须分式分子的值为0并且分母的值不为0．
解：要使分式由分子．解得：或3；
而时，分母；
当时分母，分式没有意义．
所以的值为3．
故答案为：3．
【点拨】本题主要考查了分式的值为零的条件，要注意分母的值一定不能为0，分母的值是0时分式没有意义．
【训练】若分式的值为零，则x的值为__________．
【答案】-3
【分析】根据分式的值为零的条件，分子为0且分母不为0即可求出x的值．
解：由分式的值为零的条件得，，
∴x=±3且x≠3且x≠-1，
∴x=-3时，分式的值为0．
故答案为：-3．
【点拨】本题考查了分式值为0的条件，若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0．这两个条件缺一不可．【版权所有：21教育】
例3．要使式子有意义，则x的取值范围为________．
【答案】且
【分析】根据分式有意义的条件列式求解即可．
解：∵式子有意义，
∴
∴且
∴且
故答案为：且．
【点拨】此题主要考查了分式有意义的条件，掌握分式有意义的条件是解答此题的关键．
【训练】要使分式有意义，则x的取值范围为_____．
【答案】且
根据分式的分母不能为0，可得答案．
解：1+x≠0，1+≠0，
x≠﹣1，x≠﹣2
故答案为：x≠﹣1且x≠﹣2．
【点拨】本题考查了分式有意义的条件，掌握分式有意义的条件是解题的关键．
例4．若分式的值不存在，则__________．
【答案】-1
【分析】根据分式无意义的条件列出关于x的方程，求出x的值即可．
解：∵分式的值不存在，
∴x+1=0，
解得：x=-1，
故答案为：-1．
【点拨】本题考查的是分式无意义的条件，熟知分式无意义的条件是分母等于零是解答此题的关键．
【训练】已知当x=-2时，分式无意义，当x=4时，此分式的值为0，则的值为____．
【答案】16
【分析】根据分式无意义时分母的值为0，分式的值为0时，分式分子的值为0并且分母的值不为0求解即可
解：∵当x=-2时，分式无意义，
∴分母x-a=-2-a=0则a=-2．
∵当x=4时，此分式的值为0，
∴分子x-b=0得4-b=0解得：b=4．
∴；
故答案为16．
【点拨】分式分母的值为0时分式没有意义，要使分式的值为0，必须分式分子的值为0并且分母的值不为0
【类型】三、求分式的值
例5、已知，则________．
【答案】13
【分析】把已知等式两边分别平方适当变形后，再将所求代数式展开整体代入求解．
解：∵，
∴，即，
∴，
故答案为：13．
【点拨】此题主要考查了分式的求值以及完全平方公式，正确运用公式是解题关键．
【训练】已知，那么的值为_______________．
【答案】
【分析】根据已知得到，代入所求式子中计算即可．
解：∵，
∴ ，
∴：
故答案为：-3．
【点拨】本题考查了求分式的值，利用已知得到后再整体代入是解题的关键．
例6、已知，则=____．
【答案】22
【分析】根据m2﹣5m+1=0可得m+=5，5m=m2+1，然后将原分式适当变形后整体代入计算即可．
解：∵m2﹣5m+1=0，
∴m﹣5+=0，5m=m2+1，
∴m+=5，
∴2m2﹣5m+
=2m2﹣m2﹣1+
=m2+﹣1
=（m+）2﹣3
=52﹣3
=25﹣3
=22．
故答案为：22．
【点拨】本题考查分式的求值．掌握整体代入思想是解题关键．在本题中还需理解．
【类型】四、分式的值为正、负时求参数的取值范围
例7、若分式的值为正，则的取值范围是__________．
【答案】
【分析】根据分式的性质即可求出答案．
解：，
，
，
故答案为：.
【点拨】本题考查分式的性质，解题的关键是熟练运用分式的性质，本题属于基础题型．
【训练】若分式的值为负数，则的取值范围是_________．
【答案】
【分析】由分式的值为负数，而分母为正数，则分子，再解不等式即可得解．
解：∵的值为负数
∴
∵
∴
∴．
故答案是：
【点拨】本题考查了分式的值，从分式的整体先判断，再到局部，解题的关键是得到关于的不等式．
【训练】若分式值为正，应满足的条件：__________．
【答案】x＞5或x＜-3.
【分析】由分式值为正可知分子和分母同号，有两种情况：同正或同负，据此列出不等式组，解不等式组即可求出答案．21教育网
解：由题意可知：
或，
∴x＞5或x＜-3
故答案为：x＞5或x＜-3.
【点拨】本题考查分式的值的正负问题及一元一次不等式组的应用，解题的关键是根据题意列出不等式组，本题属于基础题型．2·1·c·n·j·y
【类型】五、分式的值为整数
例8、若分式的值为正整数，则_____________．
【答案】0
【分析】先把分式进行因式分解，然后约分，再根据分式的值是正整数，得出的取值，从而得出的值．
解：，
要使的值是正整数，则分母必须是2的约数，
即或，
则或1(舍去)，
故答案为：．
【点拨】本题考查了分式的化简、分式的值；掌握分式的化简，根据分式的值为正整数．利用约数的方法进行分析是解决问题的关键．21cnjy.com
【训练】已知为整数，且分式的值为整数，则可取的值为________．
【答案】或或或
【分析】先化简得到原式＝，然后利用整数的整除性得到 3只能被 1，1，3， 3这几个整数整除，从而得到m的值．【来源：21·世纪·教育·网】
解：．
为整数，且的值为整数，
，．
当时，；
当时，；
当时，；
当时，．
故答案为：0或2或 2或 4．
【点拨】此题主要考查了分式的化简求值问题，注意化简时不能跨度太大，而缺少必要的步骤，解答此题的关键是判断出m 1可以取的值有哪些．21·cn·jy·com
【类型】六、分式中的规律题
例9、观察给定的分式，探索规律：
（1），，，，…其中第6个分式是__________；
（2），，，，…其中第6个分式是__________；
（3），，，，…其中第n个分式是__________（n为正整数）．
【答案】
【分析】
（1）分子是连续正整数，分母是以x为底，指数是连续正整数，第六个分式的分子是6，分母是 x6
（2）分子是以x为底，指数是连续偶数，分母 ( http: / / www.21cnjy.com )是以y为底，指数是连续奇数，第奇数个分式符号是正，第偶数个分式符号为负，第六个分式是负号，分子是x12，分母是 y11,21·世纪*教育网
（3）分子是以b为底，第一个指数 ( http: / / www.21cnjy.com )是2，以后依次加3，所以第n个指数是3n-1；分母是以a为底，指数是连续正整数，第奇数个分式符号是负，第偶数个分式符号为正，第n个分式的符号是（-1）n, 分子是b3n-1，分母是 an,2-1-c-n-j-y
解：（1）分子是连续正整数，分母是以x为底，指数是连续正整数，所以，第六个分式是，
（2）分子是以x为底，指数是连续偶数，分母是以y为底，指数是连续奇数，第奇数个分式符号是正，第偶数个分式符号为负，所以，第六个分式是，21*cnjy*com
（3）分子是以b为底，第一个指数是2，以后依次加3，所以第n个指数是3n-1；分母是以a为底，指数是连续正整数，第奇数个分式符号是负，第偶数个分式符号为正，第n个符号为（-1）n，所以，第六个分式是【来源：21cnj*y.co*m】
【点拨】本题考查了数字之间的规律，连续正整数、奇数、偶数和依次递增3的数字规律，包括符号依次变化规律，熟练掌握特殊数字之间的规律是解题关键【出处：21教育名师】
【训练】已知一列分式，，，，,,…，观察其规律，则第n个分式是_______．
【答案】
【分析】分别找出符号，分母，分子的规律，从而得出第n个分式的式子．
解：观察发现符号规律为：正负间或出现，故第n项的符号为：
分母规律为：y的次序依次增加2、3、4等等，故第n项为：=
分子规律为：x的次数为对应项的平方加1，故第n项为：
故答案为：．
【点拨】本题考查找寻规律，需要注意，除了寻找数字规律外，我们还要寻找符号规律．
【训练】已知，·……，(即当为大于的奇数时，；当为大于的偶数时，），按此规律，_______________________．
【答案】
【分析】根据Sn数的变化找出Sn的值每6个一循环，结合2020＝336×6+4，即可得出S2020＝S4，此题得解．
解：S1＝，
S2＝﹣S1﹣1＝﹣﹣1＝﹣，
S3＝＝﹣，
S4＝﹣S3﹣1＝﹣1＝﹣，
S5＝＝﹣（a+1），
S6＝﹣S5﹣1＝（a+1）﹣1＝a，
S7＝＝，
…，
∴Sn的值每6个一循环．
∵2020＝336×6+4，
∴S2020＝S4＝﹣
故答案为：﹣
【点拨】本题考查了规律型中数字的变化类，根据数值的变化找出Sn的值，每6个一循环是解题的关键．
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