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第四讲 分式方程
一、单选题
1．已知关于x的方程＝3的解是正数，那么m的取值范围为（ ）
A．m＞﹣6且m≠2 B．m＜6且m≠2 C．m＞﹣6且m≠﹣4 D．m＜6且m≠﹣2
2．若关于x的方程有增根，则m的值为（ ）
A．不存在 B．6 C．12 D．6或12
3．已知关于x的一元一次不等式组的解集为x＞7，且关于y的分式方程﹣1＝的解为正整效，则满足条件的所有整数a的和为（ ）21·cn·jy·com
A．﹣3 B．﹣6 C．﹣8 D．﹣11
4．已知关于x的不等式组有解，且关于y的分式方程有正整数解，则所有满足条件的整数a的值的个数为（ ）21·世纪*教育网
A．2 B．3 C．4 D．5
5．面对疫情，武汉疫情急需建造一座用 ( http: / / www.21cnjy.com )于集中收治新型冠状病毒感染肺炎患者的专科医院——火神山医院，这是一次与疫情竞速的建设．若该工程由甲队单独施工，则恰好在规定时间内完成，若由乙队单独施工，则要超过规定时间3天才能完成；现在甲、乙两队合做2天后，再由乙队单独做，也刚好在规定时间完成．设工程规定的天数为x天，则下列方程正确的是（ ）【来源：21cnj*y.co*m】
A． B．
C． D．
6．民勤六中九年级的几名同学打算去游学 ( http: / / www.21cnjy.com )，包租一辆面包车的租价为360元，出发时又增加了5名同学，结果每个同学比原来少分担了6元钱的车费．原有人数为x，则可列方程为（ ）21教育网
A． B．
C． D．
7．若关于x的方程无解，则（ ）
A． B．1或 C．1 D．或
8．若关于x的方程产生增根，则m是（ ）
A． B．1 C． D．2
9．若关于的分式方程的解是非负数，则的取值范围是（ ）
A．， B．且
C．且 D．
10．若方程﹣2＝会产生增根，则k的值为（ ）
A．6﹣x B．x﹣6 C．﹣3 D．3
11．关于x的方程的解为正整数，且关于x的不等式有解且最多有7个整数解，则满足条件的所有整数a的值为（ ）【出处：21教育名师】
A． B．5 C．1 D．
12．已知关于x的分式方程的解为正数，则k的取值范围是（ ）
A． B．且
C．且 D．且
13．若关于x的方程 有增根，则 a 的值为（ ）
A．1 B．3 C．4 D．5
14．已知关于x的分式方程无解，则k的值为（ ）
A．0 B．0或-1 C．-1 D．0或
15．分式方程的解为（ ）
A． B． C． D．
16．已知是分式方程的解，则的值为（ ）
A． B． C． D．
17．若数使关于的分式方程的解为非负数，且使关于的不等式组的解集为，则符合条件的所有整数的个数为（ ）2-1-c-n-j-y
A．5 B．6 C．7 D．8
18．若关于x的一元一次不等式组恰有3个整数解，且使关于的分式方程有正整数解，则所有满足条件的整数的值之和是（ ）【版权所有：21教育】
A．4 B．5 C．6 D．3
19．关于的分式方程有增根，则的值为（ ）
A． B． C． D．
20．若关于x的分式方程有非负实数解，且关于x的不等式组有解，则满足条件的所有整数m的和为（ ）21教育名师原创作品
A． B． C． D．
21．若关于x的方程无解，则m的值是（ ）
A． B．2 C． D．3
22．若关于x的方程的解为正数，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．且
23．若分式的值等于5，则a的值是（ ）
A．5 B．-5 C． D．
24．若关于x的方分式方程有非负整数解，且关于y的不等式组有且只有2个整数解，则所有符合条件的正整数m的和为（ ）21*cnjy*com
A．5 B．7 C．8 D．9
25．若关于x的分式方程无解，则m的值为（ ）．
A．1 B．1或6 C．1或 D．1、6或
26．如果解关于x的分式方程时出现增根，那么m的值为（ ）
A．-2 B．2 C．4 D．-4
27．下列说法：①解分式方程一定会产生增根；②方程的根为2；③方程的最简公分母为；④是分式方程．其中正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
28．若方程有增根，则（ ）
A． B． C．4 D．
29．把分式方程化成整式方程，去分母后正确的是（ ）
A． B．
C． D．
30．若关于x的方程有增根，则m的值是（ ）
A． B． C．3 D．
31．如果关于x的方程无解，则m的值等于（ ）
A．﹣3 B．﹣2 C．﹣1 D．3
32．A、B两地相距千米，一艘轮船从A地顺流行至B地，又立即从B地逆流返回A地，共用9小时，已知水流速度为千米/时，若设该轮船在静水中的速度为x千米/时，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
33．若关于的方程有增根，则（ ）
A． B． C． D．
34．如果关于的分式方程有正整数解，且关于的不等式组至少有两个整数解，则满足条件的整数的和为（ ）．21世纪教育网版权所有
A．3 B．7 C．8 D．12
35．关于x的方程的解是正数，m的值可能是（ ）
A． B．
C．0 D．-1
36．若解分式方程产生增根，则m的值为（ ）
A．1 B．-4 C．-5 D．-3
37．已知关于的分式方程的解是非负数，那么的取值范围是（ ）
A． B． C．且 D．且
38．若整数使关于的不等式组，有且只有45个整数解，且使关于的方程的解为非正数，则的值为（ ）
A．或 B．或 C．或 D．或或
39．用换元法解方程，设，那么换元后，方程可化为整式方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
40．若数a使关于x的不等式组的解集为x＜﹣2，且使关于y的分式方的解为负数，则符合条件的所有整数a的个数为（ ）【来源：21·世纪·教育·网】
A．4 B．5 C．6 D．7
第II卷（非选择题）
请点击修改第II卷的文字说明
二、填空题
41．若关于的分式方程无解，则的值是______．
42．若关于x的分式方程有增根，则a＝__________．
43．若关于x的分式方程＝2的解为正数，则m的取值范围是_____．
44．已知关于的方程无解，则k的值为________．
45．已知方程，且关于x的不等式组只有3个整数解，那么的取值范围是_______．
46．关于x的分式方程有增根，则m的值为_____．
47．若分式方程＋＝有增根，则实数a的取值是__________．
48．若关于的分式方程有增根，则的值是______．
三、解答题
49．（1）计算：
（2）解方程．
50．解下列方程：
（1）
（2）
51．解分式方程
（1）
（2）＝1﹣
52．解方程：
（1）＝﹣1
（2）﹣3＝
53．（1）先化简，再求值：，其中a＝2020；
（2）解方程：．
54．解分式方程：．
55．解分式方程
（1）
（2）
56．已知关于x的分式方程的解为非负数，求k的取值范围．
57．解方程：﹣＝1
58．阳春三月催新芽，植树造林正当时，为 ( http: / / www.21cnjy.com )提升人们的环保意识，传播普及“植绿、护绿、爱绿”的生态文明意识，同时又为大家创造亲身体验劳动的乐趣，感受美化环境的意义．开心农场在3月初推出了植树活动．农场购入甲、乙两种树苗，购买甲种树苗花费了4000元，购买乙种树苗花费了5400元，已知购买一棵甲种树苗比购买一棵乙种树苗多花4元，且购买的乙种树苗的数量是购买的甲种树苗的数量的1.5倍．
（1）求购买一棵甲种树苗、一棵乙种树苗各需要多少元？
（2）适逢植树节在周末，且天气晴好，不 ( http: / / www.21cnjy.com )断有客户预约参加植树活动，于是农场决定第二次购入甲、乙两种树苗共300棵．在第二次购买中，一棵甲种树苗的价格比第一次购买时的价格降低了12.5%，一棵乙种树苗的价格比第一次购买时的价格减少了4元．如果第二次购买甲、乙两种树苗的总费用不超过10000元，那么该农场第二次最多可购买甲种树苗多少棵？www-2-1-cnjy-com
59．开学初，南开中学在某旗舰店购 ( http: / / www.21cnjy.com )进一定数量的连通管与机械天平，购买连通管花费了1200元，购买机械天平花费了900元，且购买连通管数量是购买机械天平数量的2倍，已知购买一个机械天平比购买一个连通管多花10元．21*cnjy*com
（1）求购买一个连通管、一个机械天平各需多少元？（请列分式方程作答）
（2）学期末，为了补充实验器材 ( http: / / www.21cnjy.com )的损耗，学校决定再次购进连通管与机械天平共50个，恰逢原旗舰店对两种商品的售价进行调整，其中连通管售价比第一次购买时提高了10%，机械天平按第一次购买时售价的9折出售，若此次购买连通管与机械天平的总费用不超过1262元，则此次最多可购买多少个机械天平？
60．解方程：
（1）
（2）
61．已知：．
（1）化简A；
（2）若点与点关于y轴对称，求A的值；
（3）关于x的方程的解为正数，求k的取值范围．
62．解方程：=1．
63．计算下列各题：
（1）-|-3|+(- 8) × 2-1；
（2）．
（3） (分式方程)
（4）
64．解方程：
65．解方程：
66．若关于x的方程有增根，则增根是多少？并求方程产生增根时m的值．
67．每年的6,7月，各种夏季水果相 ( http: / / www.21cnjy.com )继成熟，也是水果销售的旺季，某商家抓住商机，在6月份主推甲、乙两种水果的销售．已知6月份甲种水果的销售总额为12000元，乙种水果的销售总额为9000元，乙种水果的售价是甲种水果售价的1.5倍，乙种水果的销售数量比甲种水果的销售数量少1000㎏．
（1）求6月份甲种水果的售价是多少元？
（2）7月份，该商家准备销售甲、乙两种 ( http: / / www.21cnjy.com )水果共5000kg．为了加大推销力度，将甲种水果的售价在6月份的基础上下调了30％，乙种水果在6月份的基础上打六折销售．要使7月份的总销售额不低于23400元，则商家至多要卖出甲种水果多少kg？21cnjy.com
（3）在（2）的条件下，若甲种水果进价为2.7元/kg，乙种水果的进价为3.5元/kg，7月份，该商家可获利多少元？www.21-cn-jy.com
68．探索发现：
……
根据你发现的规律，回答下列问题：
（1）＝ ，＝ ；
（2）利用你发现的规律计算：
（3）利用规律解方程：
69．以诗育德，以诗启智，以诗怡情，以诗塑美，万州区某中学开展诗歌创作比赛，积极营造诗韵书香学生生活．年级决定购买两种笔记本奖励在此次创作比赛中的优秀学生，已知种笔记本的单价比种笔记本的单价便宜元，已知用元购买种笔记本的数量是用元购买种笔记本的数量的倍．
求种笔记本的单价；
根据需要，年级组准备购买两种笔记本共本，其中购买种笔记本的数量不超过种笔记本的二倍．设购买种笔记本本，所需经费为元，试写出与的函数关系式，并请你根据函数关系式求所需的最少经费．2·1·c·n·j·y
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第四讲 分式方程
一、单选题
1．已知关于x的方程＝3的解是正数，那么m的取值范围为（ ）
A．m＞﹣6且m≠2 B．m＜6且m≠2 C．m＞﹣6且m≠﹣4 D．m＜6且m≠﹣2
【答案】C
【分析】
先求得分式方程的解（含m的 ( http: / / www.21cnjy.com )式子），然后根据解是正数可知m+6＞0，从而可求得m＞-6，然后根据分式的分母不为0，可知x≠2，即m+6≠2，由此即可求解．
【详解】
将分式方程转化为整式方程得：2x+m=3x-6
解得：x=m+6．
∵方程得解为正数，所以m+6＞0，解得：m＞-6．
∵分式的分母不能为0，
∴x-2≠0，
∴x≠2，即m+6≠2．
∴m≠-4．
故m＞-6且m≠-4．
故选C．
【点睛】
本题主要考查的是解分式方程和一元一次不等式的应用，求得方程的解，从而得到关于m的不等式是解题的关键．21cnjy.com
2．若关于x的方程有增根，则m的值为（ ）
A．不存在 B．6 C．12 D．6或12
【答案】D
【分析】
根据增根的定义确定x的值，把分式方程去分母后，代入即可求m的值．
【详解】
解：，
去分母得，
∵方程有增根，
当时，；
当时，，；
故选：D．
【点睛】
本题考查了分式方程的增根，解题关键是明确增根的意义，确定未知数的值．
3．已知关于x的一元一次不等式组的解集为x＞7，且关于y的分式方程﹣1＝的解为正整效，则满足条件的所有整数a的和为（ ）
A．﹣3 B．﹣6 C．﹣8 D．﹣11
【答案】C
【分析】
不等式组整理后，根据已知解集确定出a的范围，分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有正整数解，确定出a的值，求出之和即可．
【详解】
解：不等式组整理得：，
由解集为x＞7，得到2﹣a≤7，
解得a≥﹣5，
分式方程去分母得：ay+5﹣y +3＝﹣4，
解得：y＝，
∵y为正整数解，且y≠3，
∴a＝0，﹣1，﹣2，﹣5，﹣11，
又∵a≥﹣5，
∴a＝0，﹣1，﹣2，﹣5，
∴满足条件的整数a的和为﹣8．
故选：C．
【点睛】
此题考查了分式方程的解，以及解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
4．已知关于x的不等式组有解，且关于y的分式方程有正整数解，则所有满足条件的整数a的值的个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】A
【分析】
根据分式方程的解为正整数即可得出a＞，且a≠3，根据不等式组有解，即可得a＜9，找出所有符合条件的正整数，a的个数为2．
【详解】
解：解方程得：，
∵分式方程的解为正整数，
∴2a＋3＞0，即a＞－，
又y≠3，
∴≠3，即a≠3，
则a＞，且a≠3，
，
解不等式①，得x＜2，
解不等式②，得x≥，
∵此不等式组有解，
∴＜2，
解得a＜9，
综上，a的取值范围是＜a＜9，且a≠3，
则符合题意的整数a的值有0，6共2个，
故选：A．
【点睛】
本题考查了分式方程的解以及解一元一次不等式组，根据分式方程的解为正整数结合不等式组有解，找出＜a＜9，且a≠3是解题的关键．
5．面对疫情，武汉疫情急 ( http: / / www.21cnjy.com )需建造一座用于集中收治新型冠状病毒感染肺炎患者的专科医院——火神山医院，这是一次与疫情竞速的建设．若该工程由甲队单独施工，则恰好在规定时间内完成，若由乙队单独施工，则要超过规定时间3天才能完成；现在甲、乙两队合做2天后，再由乙队单独做，也刚好在规定时间完成．设工程规定的天数为x天，则下列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】
根据题意列出方程即可．
【详解】
解：根据题意列方程得，；
故选：A．
【点睛】
本题考查了方程方程的应用，解题关键是找准题目中的等量关系，正确列出方程．
6．民勤六中九年级的几名同学打算 ( http: / / www.21cnjy.com )去游学，包租一辆面包车的租价为360元，出发时又增加了5名同学，结果每个同学比原来少分担了6元钱的车费．原有人数为x，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】
设原有人数为x人，根据增加之后的人数为（x+5）人，根据增加人数之后每个同学比原来少分担了6元车费，列方程．
【详解】
解：设原有人数为x人，根据则增加之后的人数为（x+5）人，
由题意得，．
即．
故选：A．
【点睛】
本题考查了由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程即可．
7．若关于x的方程无解，则（ ）
A． B．1或 C．1 D．或
【答案】B
【分析】
方程无解，说明原方程分母为零或化为整式方程后，x的系数为0，分别解出m的值即可．
【详解】
解：
去分母，方程两边同时乘以（x﹣1），得
2﹣x＝﹣mx
∵方程无解，
∴原分式方程分母为零或整式方程无解，
①当x﹣1＝0时，则x＝1是方程的增根，
∴2﹣1＝﹣m，
∴m＝﹣1；
②当整式方程2﹣x＝﹣mx无解时，
﹣x+mx+ 2＝0，
（m-1）x＝-2，
m-1＝0，
m＝1，
∴m的值为1或．
故选：B．
【点睛】
本题主要考查了分式方程的增根问题，计算时要小心，容易丢解，明确增根是令分母等于0的值．
8．若关于x的方程产生增根，则m是（ ）
A． B．1 C． D．2
【答案】D
【分析】
先把分式化为整式方程x+2=m+1，由于原分式方程有增根，则有x 1=0，得到x=1，即增根为1，然后把x=1代入整式方程即可得到m的值．
【详解】
方程两边同时乘以（x-1）得：x+2=m+1，
∵关于x的方程产生增根，
∴x 1=0，得到x=1，
∴1+2=m+1，
解得：m=2，
故选：D．
【点睛】
考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
9．若关于的分式方程的解是非负数，则的取值范围是（ ）
A．， B．且
C．且 D．
【答案】B
【分析】
先去分母得到整式方程m+3＝x﹣1，再 ( http: / / www.21cnjy.com )由整式方程的解为非负数得到m+4≥0，由整式方程的解不能使分式方程的分母为0得到m+4≠1，然后求出不等式的公共部分得到m的取值范围．
【详解】
解：去分母得m+3＝x﹣1，
整理得x＝m+4，
因为关于x的分式方程1的解是非负数，
所以m+4≥0且m+4≠1，
解得m≥﹣4且m≠﹣3，
故选：B．
【点睛】
本题考查了分式方程的解：求出使分式方 ( http: / / www.21cnjy.com )程中令等号左右两边相等且分母不等于0的未知数的值，这个值叫方程的解．在解方程的过程中因为在把分式方程化为整式方程的过程中，可能产生增根，增根是令分母等于0的值，不是原分式方程的解．
10．若方程﹣2＝会产生增根，则k的值为（ ）
A．6﹣x B．x﹣6 C．﹣3 D．3
【答案】D
【分析】
由于方程﹣2＝会产生增根，故x＝3，所以把x＝3代入x-2（x 3）＝k，求得k的值即可．
【详解】
解：∵所给的关于x的方程有增根，即有x 3＝0，
∴增根是x＝3，
而x＝3一定是整式方程x-2（x 3）＝k的解，将其代入，
得3-2（3 3）＝k，
解得：k＝3．
故选：D．
【点睛】
本题考查对分式方程增根的理解，因 ( http: / / www.21cnjy.com )为增根是使方程分母为零的数值，所以在解关于增根的方程时会形成一个关于另一个字母的整式方程，要注意体会二者之间的联系．
11．关于x的方程的解为正整数，且关于x的不等式有解且最多有7个整数解，则满足条件的所有整数a的值为（ ）
A． B．5 C．1 D．
【答案】A
【分析】
表示出分式方程的解，由分式方程的解为正整数确定出a的值，表示出不等式组的解集，由不等式组最多有7个整数解，得到a的值相加即可．
【详解】
解：由分式方程，去分母可得
（3+a）x=8，
当a≠-3时，x=，
∵该分式方程的解为正整数，且x≠2，
∴a=-2，-1或5，
不等式组整理得：，
解得：a≤x＜5，
由不等式组有解且最多有7个整数解，得到整数解为4，3，2，1，0，-1，-2，
∴-3＜a≤-2，
则满足题意a的值只能为-2，
故选：A．
【点睛】
此题考查了分式方程的解，以及一元一次不等式组的整数解，熟练掌握各自的解法是解本题的关键．
12．已知关于x的分式方程的解为正数，则k的取值范围是（ ）
A． B．且
C．且 D．且
【答案】B
【分析】
令分母等于0解出增根，去分母后，把增根代入求出k值；去分母解出x，因为解为正数，从而求出k的范围
【详解】
解：令x-2=0，解得分式方程的增根是2
去分母得： 代入增根2，解得k= 2
去分母解得x=
∵分式方程解为正数
∴ 解得
综合所述k的取值范围是：且
故答案选B
【点睛】
本题主要考察了分式方程的增根，一元一次不等式等知识点，准确记住增根的解题步骤是解题关键．
13．若关于x的方程 有增根，则 a 的值为（ ）
A．1 B．3 C．4 D．5
【答案】A
【分析】
分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根，得到x+3=0，求出x的值，代入整式方程求出a的值即可．
【详解】
解：分式方程去分母得：，
由分式方程有增根，得到x+3=0，即x=-3，
把x=-3代入整式方程得：，解得
故选：A．
【点睛】
本题主要考查了分式方程的增根，牢牢掌握增根的概念是解答本题的重难点．
14．已知关于x的分式方程无解，则k的值为（ ）
A．0 B．0或-1 C．-1 D．0或
【答案】D
【分析】
此题考查了分式方程的解，始终注意分母不为0这个条件，分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程无解确定出k的值即可．
【详解】
解：分式方程去分母得： ，即 ，
当，即 时，方程无解；
当x=-1时，-3k+1=-3k，此时k无解；
当x=0时，0=-3k，k=0，方程无解；
综上，k的值为0或 ．
故答案为：D．
【点睛】
本题考查了根据分式方程的无 ( http: / / www.21cnjy.com )解求参数的值，是需要识记的内容．分式方程无解的条件是：去分母后所得整式方程无解，或解这个整式方程得到的解使原方程的分母等于0．
15．分式方程的解为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
首先分式两边同时乘以最简公分母去分母，再移项合并同类项即可得到x的值，然后要检验；
【详解】
两边同时乘以，
得： ，
解得：x=3，
检验：将x=3代入，
∴方程的解为x=3．
故选：C．
【点睛】
本题考查了分式方程的解法，关键是找到最简公分母去分母，注意不要忘记检验；
16．已知是分式方程的解，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
先将分式方程化为整式方程，再将代入求解即可．
【详解】
解：原式化简为，
将代入
得
解得.
当a=-3时a-x=-3-1=-4≠0
∴a=-3
故选则：D．
【点睛】
本题考查分式方程的解．会将分式方程化为整式方程，解题关键将方程的解代入转化为的方程．
17．若数使关于的分式方程的解为非负数，且使关于的不等式组的解集为，则符合条件的所有整数的个数为（ ）21·世纪*教育网
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】C
【分析】
根据分式方程的解为非负数求得a>5，根据不等式组的解集为，求得，利用分式的分母不等于0得到x1，即可得到a的取值范围，且x1，根据整数的意义得到a的整数值．
【详解】
解分式方程，得，
∵分式方程的解为非负数，
∴，
解得a5，
∵关于的不等式组，得，
∵不等式组的解集为，
∴，
∵x-10，
∴x1，
∴，且x1，
∴整数a为：-2、-1、0、1、3、4、5，共有7个，
故选：C．
【点睛】
此题考查根据分式方程的解的情况求未知数的取 ( http: / / www.21cnjy.com )值范围，根据不等式组的解集情况求未知数的取值范围，确定不等式的整数解，正确理解题意并计算是解题的关键．
18．若关于x的一元一次不等式组恰有3个整数解，且使关于的分式方程有正整数解，则所有满足条件的整数的值之和是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．3
【答案】A
【分析】
不等式组整理后，根据已知解集确定出a的范围，分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有正整数解，确定出a的值，求出之和即可．
【详解】
关于x的一元一次不等式组整理得：，
∵恰有3个整数解，
∴，即：，
关于的分式方程，整理得：，
∵有正整数解且，
∴满足条件的整数的值为：1，3
∴所有满足条件的整数的值之和是4，
故选A．
【点睛】
此题考查了分式方程的解，以及解一元一次不等式组，熟练掌握求一元一次不等式组的解以及解分式方程的步骤，是解题的关键．
19．关于的分式方程有增根，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
先把分式方程化为整式方程，再把增根代入整式方程，即可求解．
【详解】
去分母得：，
∵关于的分式方程有增根，且增根x=2，
∴把x=2代入得，，即：m=-5，
故选D．
【点睛】
本题主要考查分式方程的增根，掌握分式方程增根的定义：使分式方程的分母为零的根，叫做分式方程的增根，是解题的关键．
20．若关于x的分式方程有非负实数解，且关于x的不等式组有解，则满足条件的所有整数m的和为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
先根据方程有非负实数解，求得，由不等式组有解求得，得到m的取值范围，再根据得，写出所有整数解计算其和即可．
【详解】
解：
解得：，
∵方程有非负实数解，
∴即，
得；
∵不等式组有解，
∴，
∴，
得，
∴，
∵，即，
∴，
∴满足条件的所有整数m为：-5，-4，-2，-1,0,1,2,3，
其和为：-6，
故选：D．
【点睛】
此题考查利用分式方程解的情况求参数，根据不等式组的解的情况求参数，正确掌握方程及不等式组的解的情况确定m的取值范围是解题的关键．
21．若关于x的方程无解，则m的值是（ ）
A． B．2 C． D．3
【答案】D
【分析】
根据方程无解，得出方程有增根，利用增根的定义可求得x＝4，并把x＝4代入转化后的整式方程m＋1 x＝0，即可求出m的值．
【详解】
解：去分母得：m＋1 x＝0，
∵方程无解，
∴x＝4是方程的增根，
∴m＝3．
故选：D．
【点睛】
本题考查了分式方程无解问题，解题的关键是理解增根的定义，并能准确求出增根．
22．若关于x的方程的解为正数，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．且
【答案】D
【分析】
分式方程去分母转化为整式方程，表示出解，由解为正数确定出m的范围即可．
【详解】
去分母得：m-1=2x-2，
解得：x=，
由方程的解为正数，得到＞0，且≠1，
解得：且，
故答案为：且
【点睛】
此题考查了分式方程的解，以及解一元一次不等式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
23．若分式的值等于5，则a的值是（ ）
A．5 B．-5 C． D．
【答案】C
【分析】
先进行分式除法，化简后得到关于a的式子，列方程即可求解．
【详解】
解：
，
，
根据题意，，
解得，，
经检验，是原方程的解，
故选C
【点睛】
本题考查了分式的除法和分式方程的解法，正确化简分式，列出分式方程，是解决问题的关键．
24．若关于x的方分式方程有非负整数解，且关于y的不等式组有且只有2个整数解，则所有符合条件的正整数m的和为（ ）
A．5 B．7 C．8 D．9
【答案】B
【分析】
由题意根据分式方程去分母转化为整式方程，由解为非负整数以及不等式组只有2个整数解，确定出符合条件m的值，求出它们的和即可．
【详解】
解：去分母得：，
解得：，
由解为非负整数解，得到且
解得：且，
不等式组整理得：，
由不等式组只有2个整数解，得到y=-2，-1，即，
解得：2≤m＜6，
综上：2＜m≤4
则符合题意m=3，4，它们的和为7．
故选：B．
【点睛】
本题考查分式方程的解以及一元一次不等式组的整数解，熟练掌握相关运算法则是解答本题的关键．
25．若关于x的分式方程无解，则m的值为（ ）．
A．1 B．1或6 C．1或 D．1、6或
【答案】D
【分析】
分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程无解，得到最简公分母为0求出x的值，代入整式方程计算即可求出m的值．2-1-c-n-j-y
【详解】
方程两边乘，得，
当时，方程化简为，无解，符合题意；
由分式方程无解，得到，即，
把代入整式方程，得，解得；
把代入整式方程，得，解得．
故m的值为或6或1．
故选：D．
【点睛】
本题考查了分式方程的解，本题中分式方程无解即为最简公分母为0，将分式方程化为整式方程是解本题的关键．
26．如果解关于x的分式方程时出现增根，那么m的值为（ ）
A．-2 B．2 C．4 D．-4
【答案】D
【分析】
分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根求出x的值，代入整式方程计算即可求出m的值．
【详解】
解：，
去分母，得m＋2x＝x 2，
∵分式方程有增根，则x 2＝0，
∴x＝2，
把x＝2代入整式方程得：m＋4＝0，
解得：m＝ 4．
故选：D．
【点睛】
此题考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
27．下列说法：①解分式方程一定会产生增根；②方程的根为2；③方程的最简公分母为；④是分式方程．其中正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】
根据分式方程的定义、解分式方程、增根的概念及最简公分母的定义解答．
【详解】
解：分式方程不一定会产生增根，故①错误；
方程的根为x=2，故②正确；
方程的最简公分母为2x(x-2)，故③错误；
是分式方程，故④正确；
故选：B．
【点睛】
此题考查分式方程的定义、解分式方程、增根的概念及最简公分母的定义，熟记各定义及正确解方程是解题的关键．
28．若方程有增根，则（ ）
A． B． C．4 D．
【答案】B
【分析】
先根据题意对原分式方程去分母，化为整式方程，然后根据增根的情况代入整式方程求解即可．
【详解】
去分母得：，
整理得：，
∵原分式方程有增根，
∴，解得增根即为：，
当时，代入整式方程得：，解得： ，
当时，代入整式方程无意义，
∴
故选：B
【点睛】
本题考查分式方程的增根，熟记增根是使最简公分母为零的数同时是对应整式方程的解，两者缺一不可．
29．把分式方程化成整式方程，去分母后正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】
分式方程两边乘以最简公分母去分母即可得到结果．
【详解】
分式方程去分母得：，
故选：B．
【点睛】
本题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．
30．若关于x的方程有增根，则m的值是（ ）
A． B． C．3 D．
【答案】A
【分析】
先将方程化为整式方程，由分式方程有增根可求解值，再将值代入计算即可求解值．
【详解】
解：由得，
关于的方程有增根，
，
当时，，
解得，
故选：A．
【点睛】
本题主要考查分式方程的增根，掌握增根的定义是解题的关键．
31．如果关于x的方程无解，则m的值等于（ ）
A．﹣3 B．﹣2 C．﹣1 D．3
【答案】B
【分析】
分式方程无解的条件是：去分母后所得整式方程无解，或解这个整式方程得到的解使原方程的分母等于0．
【详解】
解：方程去分母得，，
解得，，
当分母即时方程无解，
也就是时方程无解，
则，
故选：B．
【点睛】
本题考查了分式方程无解的条件．注意：分式方程无解分两种情况①整式方程本身无解；②分式方程产生增根．
32．A、B两地相距千米，一艘轮船从A地顺流行至B地，又立即从B地逆流返回A地，共用9小时，已知水流速度为千米/时，若设该轮船在静水中的速度为x千米/时，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】
分别表示出顺水航行时间和逆水航行的时间，根据“顺水航行时间+逆水航行时间=9”列方程即可求解．
【详解】
解：设该轮船在静水中的速度为x千米/时，列方程得
．
故选：A
【点睛】
本题考查了列分式方程解应用题，熟知“顺水速=静水速+水速”，“逆水速=静水速-水速”是解题关键．
33．若关于的方程有增根，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
根据增根的意义可得关于a的方程，解之可得a的值．
【详解】
有增根，即
，
．
故选
【点睛】
本题考查分式方程无解问题，熟练掌握增根的意义是解题关键 ．
34．如果关于的分式方程有正整数解，且关于的不等式组至少有两个整数解，则满足条件的整数的和为（ ）．
A．3 B．7 C．8 D．12
【答案】A
【分析】
根据分式方程的解为非负整数解 ( http: / / www.21cnjy.com )，即可得出a＝0，1，2，5，11，根据不等式组的解集为a 1＜4，即可得出a＜5，找出a的所有的整数，将其相加即可得出结论．
【详解】
解：∵分式方程有正整数解，
∴解分式方程得x＝，
∵x≠3，
∴≠3，即a≠3，
又∵分式方程有正整数解，
∴a＝0，1，2，5，11，
又∵不等式组至少有2个整数解，
∴解不等式组得，
∴a 1＜4，
解得，a＜5，
∴a＝0，1，2，
∴0＋1＋2＝3，
故选：A．
【点睛】
本题考查了一元一次不等式组的整数解、分式方程的解，有一定难度，注意分式方程中的解要满足分母不为0的情况．2·1·c·n·j·y
35．关于x的方程的解是正数，m的值可能是（ ）
A． B．
C．0 D．-1
【答案】B
【分析】
将分式方程化为整式方程，解出x，再根据解是正数以及解不等于1列不等式，求出m的范围，选出正确答案即可．
【详解】
，
，
，
由题意可得：且，
m>且m≠．
故选：B．
【点睛】
本题主要考查分式方程的解法，熟练地掌握解分式方程的步骤是解题关键，需要注意的是分式的分母不能为0．
36．若解分式方程产生增根，则m的值为（ ）
A．1 B．-4 C．-5 D．-3
【答案】C
【分析】
增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的分母为0的根．把增根代入化为整式方程的方程即可求出m的值．
【详解】
方程两边都乘(x+4)，得x 1=m，
∵原方程增根为x= 4，
∴把x= 4代入整式方程，得m= 5，
故选：C．
【点睛】
本题考查分式方程无解的情况，掌握分式方程增根产生的条件为解题关键．
37．已知关于的分式方程的解是非负数，那么的取值范围是（ ）
A． B． C．且 D．且
【答案】C
【分析】
先解分式方程，再根据方程的解为非负数，列不等式组可以求得a的取值范围．
【详解】
解：，
方程两边同乘2（x﹣2），得2（x﹣a）＝x﹣2，
去括号，得2x﹣2a＝x﹣2，
移项、合并同类项，得x＝2a﹣2，
∵关于x的分式方程的解为非负数，x﹣2≠0，
∴，
解得a≥1且a≠2．
故选：C．
【点睛】
本题考查解一元一次不等式组、分式方程的解，解答本题的关键是明确解分式方程的方法，注意：分式方程分母不能为0．
38．若整数使关于的不等式组，有且只有45个整数解，且使关于的方程的解为非正数，则的值为（ ）
A．或 B．或 C．或 D．或或
【答案】B
【分析】
先解不等式组，根据不等式组的整数解确定的范围，结合为整数，再确定的值，再解分式方程，根据分式方程的解为非正数，得到的范围，注意结合分式方程有意义的条件，从而可得答案．
【详解】
解：
由①得：
由②得：＞，
因为不等式组有且只有45个整数解，
＜
＜
＜
＜
为整数，
为
，
而 且
又
综上：的值为：
故选B．
【点睛】
本题考查的是由不等式组的整数解求参数系数的问题，考查分式方程的解为非正数，易错点是疏忽分式方程有意义，掌握以上知识是解题的关键．www.21-cn-jy.com
39．用换元法解方程，设，那么换元后，方程可化为整式方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】
由，则，然后将其代入原方程即可.
【详解】
解：∵
∴
∴可化为，即．
故答案为D．
【点睛】
本题考查了用换元法解分式方程，掌握换元法和解分式方程的去分母是解答本题的关键．
40．若数a使关于x的不等式组的解集为x＜﹣2，且使关于y的分式方的解为负数，则符合条件的所有整数a的个数为（ ）【来源：21cnj*y.co*m】
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】C
【分析】
表示出不等式组的解集，由不等 ( http: / / www.21cnjy.com )式组的解集为x＜﹣2确定出a的范围，再由分式方程的解为负数以及分式有意义的条件求出满足题意整数a的值，进而求出符合条件的a的个数．
【详解】
解：解不等式组，得：，
由不等式组的解集为x＜﹣2，得到2a+4≥﹣2，
解得：a≥﹣3；
分式方程去分母得：1﹣y﹣a＝﹣3（y+1），
解得：y＝，
由分式方程的解为负数以及分式有意义的条件，得，
解得：a＜4且a≠2；
∴﹣3≤a＜4且a≠2，
∴a＝﹣3，﹣2，﹣1，0，1，3，
∴符合条件的所有整数a的个数为6个；
故选：C．
【点睛】
此题主要考查分式方程与不等式组的求解运用，解题的关键是熟知分式方程与不等式组的解法．
二、填空题
41．若关于的分式方程无解，则的值是______．
【答案】2或-4
【分析】
按照解分式方程的步骤，把方程两边乘最简公分母，化为关于x的一元一次方程，把增根代入一元一次方程中，可求得a的值．www-2-1-cnjy-com
【详解】
方程两边同乘(x+1)(x-1)，得a-2(x-1)=x+1
由于分式方程在增根x=1和x=-1
把x=1代入a-2(x-1)=x+1中，得a=2
把x=-1代入a-2(x-1)=x+1中，得a=-4
所以a的取值为2或-4
故答案为：2或-4
【点睛】
本题考查了分式方程有增根时参数的取值问题，关键要根据分式方程的分母确定方程的增根．
42．若关于x的分式方程有增根，则a＝__________．
【答案】2
【分析】
先将分式方程去分母转化为整式方程，根据分式方程有增根求出x的值，代入整式方程计算即可求出a的值．
【详解】
解：，
去分母，得 a＝2＋x 1，
∵分式方程有增根，
∴x 1＝0，
解得x＝1，
将x＝1代入整式方程，得a＝2，
故答案为：2．
【点睛】
此题考查了分式方程无解问题，解答此类问题可 ( http: / / www.21cnjy.com )按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②确定增根；③把增根代入整式方程，计算后即可求得相关字母的值．
43．若关于x的分式方程＝2的解为正数，则m的取值范围是_____．
【答案】m＜7且m≠3
【分析】
根据解分式方程的一般步骤，可得分式方程的解，根据解为正数，可得不等式，解不等式即可得答案．
【详解】
解：解方程=2可得：，
∵关于方程的解为正数，
∴且，
解得m＜7且m≠3．
故答案是：m＜7且m≠3．
【点睛】
此题主要考查了分式方程的解，解出分式方程，根据解为正数列出不等式是解题关键．
44．已知关于的方程无解，则k的值为________．
【答案】或
【分析】
根据分式方程无解的条件是：去分母后所得整式方程无解，或解这个整式方程得到的解使原方程的分母等于0求解即可．
【详解】
解：原方程去分母后整理为，由于方程无解，故有两种情况：
(1)若整式方程无实根，则且
；
(2)若整式方程的根是原方程的增根，则，
经检验, 是方程的解.
综上所述：或．
故答案为：或．
【点睛】
此题考查了分式方程无解的条件，分式方程无解，有两种情况，①整式方程本身无解；②整式方程有解，但使得分式方程的最简公分母为零（即为增根）．
45．已知方程，且关于x的不等式组只有3个整数解，那么的取值范围是_______．
【答案】3≤b＜4
【分析】
首先解分式方程求得a的值，然后根据不等式组的解集确定x的范围，再根据只有3个整数解，确定b的范围．
【详解】
解：解方程，
两边同时乘以a得：2-a＋2a=3，
解得：a=1，
∴关于x的不等式组，
则解集是1≤x≤b，
∵不等式组只有3个整数解，则整数解是1，2，3，
∴3≤b＜4．
故答案是：3≤b＜4．
【点睛】
此题考查的是一元一次不等式组的解法和解分式方程，求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．
46．关于x的分式方程有增根，则m的值为_____．
【答案】
【分析】
由分式方程有增根，得到最简公分母为0，确定出m的值即可．
【详解】
解：
分式方程去分母得：，
由分式方程有增根，得到，即，
把代入整式方程得：，
解得：．
故答案为：．
【点睛】
此题考查了分式方程的增根，增根问题 ( http: / / www.21cnjy.com )可按如下步骤进行：①让最简公分母为0确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．21世纪教育网版权所有
47．若分式方程＋＝有增根，则实数a的取值是__________．
【答案】4或8
【分析】
化为整式方程2x＝a﹣4，当x＝0或x＝2时，分式方程有增根，分别求出a的值即可．
【详解】
解：∵ ，
去分母得，3x﹣a+x＝2x﹣4，
整理得，2x＝a﹣4，
∵分式方程有增根，
∴x＝0或x＝2，
当x＝0时，a＝4；
当x＝2时，a＝8．
故答案是4或8．
【点睛】
本题主要考查分式方程的增根，掌握分式方程的增根使其分母为0是解题的关键．
48．若关于的分式方程有增根，则的值是______．
【答案】1
【分析】
分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根，确定出m的值即可
【详解】
解：去分母得：3﹣x﹣m＝x﹣2，
由分式方程有增根，得到x﹣2＝0，即x＝2，
把x＝2代入整式方程得：3﹣2﹣m＝0，
解得：m＝1，
故答案：1．
【点睛】
此题考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
三、解答题
49．（1）计算：
（2）解方程．
【答案】（1）；（2）x=
【分析】
（1）先根据绝对值的意义，负整数指数幂，立方根，零指数幂、算术平方根的意义进行计算，然后再加减；
（2）解分式方程的步骤：①去分母；②求出整式方程的解；③检验；④得出结论，据此求出方程的解是多少即可．【来源：21·世纪·教育·网】
【详解】
解：（1）
（2）解方程
去分母，方程两边乘得：
去括号得：
移项得：
合并同类项得：
系数化为1：
检验：当时，，
所以，是分式方程的解．
【点睛】
此题主要考查了解分式方程的 ( http: / / www.21cnjy.com )方法，以及实数的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．解分式方程时，注意转化，注意要检验．
50．解下列方程：
（1）
（2）
【答案】（1）；（2）原方程无解．
【分析】
（1）、（2）两分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【详解】
解：（1），
去分母，得，
去括号，得，
移项，得，
经检验，是原分式方程的根．
（2），
去分母，得，
去括号，得，
移项，合并，得，
系数化为1，得，
经检验，是增根，原分式方程无解．
【点睛】
本题考查了解分式方程，掌握解分式方程的基本方法及一般步骤是解题的关键．
51．解分式方程
（1）
（2）＝1﹣
【答案】（1）是该方程的根；（2）是该方程的增根．
【分析】
（1）去分母将分式方程化为整式方程，求解后验根即可；
（2）去分母将分式方程化为整式方程，求解后验根即可．
【详解】
解：（1）去分母，两边同乘以得，
，
去括号得：，
移项合并得：，
解得，
经检验，是该方程的根；
（2）去分母两边同时乘以得
，
去括号得：，
移项合并得：，
解得，
经检验，是该方程的增根；
【点睛】
本题考查解分式方程．注意解分式方程一定要验根．
52．解方程：
（1）＝﹣1
（2）﹣3＝
【答案】(1) 无解，(2) x＝3．
【分析】
(1)去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
(2)去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【详解】
解：(1) ＝﹣1，
方程两边同乘以3（x﹣2），得3（3x﹣12）＝﹣（4x+10）﹣3（x﹣2），
解得：x＝2，
检验：把x＝2代入公分母，3（x﹣2）=0，
所以，x＝2是原方程的增根，原分式方程无解．
(2)﹣3＝，
方程两边同乘以（x﹣2），得1﹣3（x﹣2）＝1﹣x，
解这个整式方程得x＝3，
检验：把x＝3代入（x﹣2），得3﹣2≠0，
所以，x＝3是原方程的解．
【点睛】
本题主要考查分式方程的解法，解题的关键是找准最简公分母，将原分式方程化为整式方程．解分式方程注意要检验．【版权所有：21教育】
53．（1）先化简，再求值：，其中a＝2020；
（2）解方程：．
【答案】（1），；（2）x＝﹣1
【分析】
（1）先算括号内的减法，把除法变成乘法，算乘法，最后求出答案即可；
（2）先方程两边同时乘以（x﹣2）得出2x＝x﹣2+1，求出方程的解，再进行检验即可．
【详解】
（1）原式＝
＝，
当a＝2020时，原式＝；
（2）两边同时乘以（x﹣2）得：
2x＝x﹣2+1，
解得：x＝﹣1，
检验：把x＝﹣1代入x﹣2≠0，
所以x＝﹣1是原方程的解，
即原方程解为x＝﹣1．
【点睛】
本题考查了分式的运算及解分式方程，分式运算要注意运算顺序，分式方程最后要检验．
54．解分式方程：．
【答案】无解
【分析】
去分母将分式方程化为整式方程，再解整式方程，检验根即可．
【详解】
解：去分母，两边同时乘以得
，
即
即
即．
检验：当x=1时，（x-1）(x+2)=0
∴x=1不是原方程的解．
∴原方程无解．
【点睛】
本题考查解分式否方程．注意解分式方程一定要验根．
55．解分式方程
（1）
（2）
【答案】（1）；（2）．
【分析】
（1）先找出方程的最简公分母，方程的两边都乘以各自的最简公分母，化分式方程为整式方程，求解验根即可；
（2）先找出方程的最简公分母，方程的两边都乘以各自的最简公分母，化分式方程为整式方程，求解验根即可．
【详解】
解：（1），
去分母得：，
解得：，
当时，
∴是分式方程的解．
（2），
两边都乘以，得：，
解得，
当-时，，
所以是原方程的根，
【点睛】
本题考查了分式方程的解法．题目相对简单．求解本题需要注意：（1）分式方程需检验；（2）去分母时勿漏乘不含分母的项．21教育名师原创作品
56．已知关于x的分式方程的解为非负数，求k的取值范围．
【答案】且．
【分析】
先解分式方程，再建立不等式求解即可．
【详解】
解：解分式方程，得，
根据题意，得：且，
解得：且．
【点睛】
本题考查了分式方程与不等式，熟练掌握分式方程及不等式的解法是解题的关键，注意不要遗漏条件：最简公分母不能为0．
57．解方程：﹣＝1
【答案】无解
【分析】
因式分解得最简公分母（x+3）(x-3)，同乘以最简公分母求解即可．
【详解】
两边同乘以（x+3）(x-3)，得
(x-3)（x+1）-12=,
∴-12=,
∴，
解得x=-3,
经检验，x=-3是原方程的增根，
∴原方程无解．
【点睛】
本题考查了分式方程，寻找最简公分母和验根是解题的关键．
58．阳春三月催新芽，植树造 ( http: / / www.21cnjy.com )林正当时，为提升人们的环保意识，传播普及“植绿、护绿、爱绿”的生态文明意识，同时又为大家创造亲身体验劳动的乐趣，感受美化环境的意义．开心农场在3月初推出了植树活动．农场购入甲、乙两种树苗，购买甲种树苗花费了4000元，购买乙种树苗花费了5400元，已知购买一棵甲种树苗比购买一棵乙种树苗多花4元，且购买的乙种树苗的数量是购买的甲种树苗的数量的1.5倍．
（1）求购买一棵甲种树苗、一棵乙种树苗各需要多少元？
（2）适逢植树节在周末，且天气晴好 ( http: / / www.21cnjy.com )，不断有客户预约参加植树活动，于是农场决定第二次购入甲、乙两种树苗共300棵．在第二次购买中，一棵甲种树苗的价格比第一次购买时的价格降低了12.5%，一棵乙种树苗的价格比第一次购买时的价格减少了4元．如果第二次购买甲、乙两种树苗的总费用不超过10000元，那么该农场第二次最多可购买甲种树苗多少棵？21教育网
【答案】（1）购买一棵甲种树苗需要40元，购买一棵乙种树苗需要36元；（2）该农场第二次最多可购买甲种树苗133棵．
【分析】
（1）设购买一棵乙种树苗需要x元，则购买 ( http: / / www.21cnjy.com )一棵甲种树苗需要(x＋4)元，根据“购买的乙种树苗的数量是购买的甲种树苗的数量的1.5倍”，即可得出关于x的分式方程，解之即可得出结论；
（2）设设该农场第二次购买甲种树苗y棵，则购买乙种树苗（300－y）棵，根据总价＝单价×数量结合总费用不超过10000元，即可得出关于y的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论．
【详解】
解：（1）设购买一棵乙种树苗需要x元，则购买一棵甲种树苗需要(x＋4)元，
由题意，得：，
解得：x＝36，
经检验：x＝36是原方程的解，
∴x＋4＝40，
答：购买一棵甲种树苗需要40元，购买一棵乙种树苗需要36元；
（2）40×（1－12.5%）＝35（元），
36－4＝32（元），
设该农场第二次可购买甲种树苗y棵，
由题意，得：35y＋32（300－y）≤10000，
解得：y≤，
∴y的最大整数值为133，
答：该农场第二次最多可购买甲种树苗133棵．
【点睛】
本题考查了分式方程的应用以及一元一次不 ( http: / / www.21cnjy.com )等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
59．开学初，南开中学在 ( http: / / www.21cnjy.com )某旗舰店购进一定数量的连通管与机械天平，购买连通管花费了1200元，购买机械天平花费了900元，且购买连通管数量是购买机械天平数量的2倍，已知购买一个机械天平比购买一个连通管多花10元．
（1）求购买一个连通管、一个机械天平各需多少元？（请列分式方程作答）
（2）学期末，为了补充实验器材的损耗，学校 ( http: / / www.21cnjy.com )决定再次购进连通管与机械天平共50个，恰逢原旗舰店对两种商品的售价进行调整，其中连通管售价比第一次购买时提高了10%，机械天平按第一次购买时售价的9折出售，若此次购买连通管与机械天平的总费用不超过1262元，则此次最多可购买多少个机械天平？
【答案】（1）购买连通管需20元，一个机械天平需30元；（2）南开中学此次最多可以购买32个机械天平．
【分析】
（1）设购买连通管需x元，一个机械天平需(x+10)元，根据“购买连通管数量是购买机械天平数量的2倍”列出分式方程即可求出结论；
（2）设南开中学此次最多购买a个 ( http: / / www.21cnjy.com )机械天平，则购买（50-a）个连通管，根据“连通管售价比第一次购买时提高了10%，机械天平按第一次购买时售价的9折出售，若此次购买连通管与机械天平的总费用不超过1262元”列出一元一次不等式即可求出结论．
【详解】
解：（1）设购买连通管需x元，一个机械天平需(x+10)元，根据题意得，
解得，x=20
经检验，x=20是原方程的根，
∴x+10=20+10=30
答：购买连通管需20元，一个机械天平需30元；
（2）设南开中学此次购买a个机械天平，则购买（50-a）个连通管，根据题意得，
解得：
∵a是整数，
∴a的最大值为32，
答：南开中学此次最多可以购买32个机械天平．
【点睛】
此题考查 的是分式方程的应用和一元一次不等式的应用，掌握实际问题中的等量关系和不等关系是解答此题的关键．
60．解方程：
（1）
（2）
【答案】（1）；（2）该方程无解．
【分析】
（1）先将方程两边同时乘以最简公分母，得到整式方程，解整式方程后检验即可；
（2）先去分母，两边同时乘以，得到整式方程，解整式方程后检验，发现原分式方程的分母为0，因此得出该分式方程无解．
【详解】
解：（1）
方程两边同时乘以，得：
移项得：
合并同类项得：
系数化为1得：
检验：当时，，
所以 是该方程的解．
（2）
方程两边同时乘以，得：
去括号得：
移项，合并同类项得：
解得
检验：当时，，所以 不是该方程得解，
所以该方程无解．
【点睛】
本题考查了分式方程的解法，解分 ( http: / / www.21cnjy.com )式方程的第一步是将它化为整式方程，因此要先确定最简公分母，化为整式方程后再按照去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤解整式方程，最后不要忘记检验，因此解题关键是将方程两边同时乘以最简公分母，化为整式方程求解，考查了学生对解分式方程步骤的掌握与应用．21·cn·jy·com
61．已知：．
（1）化简A；
（2）若点与点关于y轴对称，求A的值；
（3）关于x的方程的解为正数，求k的取值范围．
【答案】（1）；（2）；（3）且．
【分析】
（1）先通分化简，用平方差公式、完全平方和公式因式分解，再根据分式的乘除运算化简即可；
（2）根据点关于坐标轴对称的规律可求得x，再代入求值即可；
（3）由（1）可得，可解得，根据分式有意义的条件，则可得结论．
【详解】
解：（1）原式=
=
=；
（2）点关于y轴对称，纵坐标不变，横坐标变为相反数，
，
将代入原式：；
（3）由题：（），
，
（），
解得且．
【点睛】
本题考查了分式的化简求值，点关于坐标轴对称的 ( http: / / www.21cnjy.com )规律，解分式方程、一元一次不等式，分式有意义的条件；本题关键在于能熟练地进行分式运算，并且注意到分式有意义的条件．
62．解方程：=1．
【答案】x=4．
【分析】
先去分母化为一元一次方程，解方程并检验即可．
【详解】
解：去分母得4﹣1=x﹣1，
解得：x=4，
经检验x=4是分式方程的解．
【点睛】
此题考查解分式方程，掌握解分式方程的步骤及正确去分母是解题的关键．
63．计算下列各题：
（1）-|-3|+(- 8) × 2-1；
（2）．
（3） (分式方程)
（4）
【答案】（1）-3；（2）1；（3）x=-12；（4）．
【分析】
（1）分别计算算术平方根，绝对值和负整数指数幂，再计算乘法，最后依次相加减；
（2）先将除法化为乘法，并分别给分子和分母因式分解，再约分即可；
（3）去分母，解整式方程后验根即可；
（4）通分后相加，再约分即可．
【详解】
（1）原式
（2） 原式
（3）去分母得：
解得
经检验x=12是原方程的解；
（4）原式
【点睛】
本题考查实数的混合运算，分式的混合运算和解分式方程．注意解分式方程一定要验根．
64．解方程：
【答案】
【分析】
方程两边同时乘以，化分式方程为整式方程求解，注意验根．
【详解】
解：去分母，得：
，
去括号，移项，得
，
解得
，
经检验，是原分式方程的根，
所以原分式方程的根为．
【点睛】
本题考查了分式方程的解法，准确确定最简公分母是解题的关键，注意验根是解题的易错点．
65．解方程：
【答案】x=-3
【分析】
先两边同时乘以去分母，将分式方程转化为一元一次方程，求解并检验即可．
【详解】
解：去分母得，，
去括号整理得，，即，
解得，
检验：当时，，
∴原方程的解为．
【点睛】
本题考查解分式方程，掌握分式方程的求解方法是解题的关键，注意一定要验根．
66．若关于x的方程有增根，则增根是多少？并求方程产生增根时m的值．
【答案】x＝3或－3是原方程的增根；m＝6或12.
【解析】
试题分析：先根据方程有增根，可让最简公分母为0，且把分式方程化为整式方程，分别代入求解即可.
试题解析：因为原方程有增根，且增根必定使最简公分母(x＋3)(x－3)＝0，
所以x＝3或x＝－3是原方程的增根．
原方程两边同乘(x＋3)(x－3)，得m＋2(x－3)＝x＋3.
当x＝3时，m＋2×(3－3)＝3＋3，解得m＝6；
当x＝－3时，m＋2×(－3－3)＝－3＋3，
解得m＝12.
综上所述，原方程的增根是x＝3或x＝－3.
当x＝3时，m＝6；
当x＝－3时，m＝12.
点睛：只要令最简公分母等于零，就可以求出分式方程的增根，再将增根代入分式方程化成的整式方程，就能求出相应的m的值．21*cnjy*com
67．每年的6,7月，各种夏季水果相继 ( http: / / www.21cnjy.com )成熟，也是水果销售的旺季，某商家抓住商机，在6月份主推甲、乙两种水果的销售．已知6月份甲种水果的销售总额为12000元，乙种水果的销售总额为9000元，乙种水果的售价是甲种水果售价的1.5倍，乙种水果的销售数量比甲种水果的销售数量少1000㎏．
（1）求6月份甲种水果的售价是多少元？
（2）7月份，该商家准备 ( http: / / www.21cnjy.com )销售甲、乙两种水果共5000kg．为了加大推销力度，将甲种水果的售价在6月份的基础上下调了30％，乙种水果在6月份的基础上打六折销售．要使7月份的总销售额不低于23400元，则商家至多要卖出甲种水果多少kg？【出处：21教育名师】
（3）在（2）的条件下，若甲种水果进价为2.7元/kg，乙种水果的进价为3.5元/kg，7月份，该商家可获利多少元？21*cnjy*com
【答案】（1）6月份甲水果的售价是6元；（2）该商店至多要卖出甲水果3000kg；（3）8300元
【分析】
（1）本题首先假设甲水果售价为x，继而用含x的式子表示乙种水果的售价，最后利用两种水果销售量之差列方程求解．
（2）本题首先假设甲水果的销售量为m，继而用含m的式子表示乙水果的数量，最后利用总销售额不低于23400列不等式求解．
（3）本题根据前两问的结论，利用利润公式列式求解．
【详解】
（1）假设6月份甲水果售价是元，则6月份乙种水果的售价是元．
根据题意得：，
解得：，
经检验符合题意．
答：6月份甲水果的售价是6元．
（2）假设该商家至多要卖出甲水果kg，则商家至少卖出乙水果kg．
由题意得：，
解得：．
答：该商店至多要卖出甲水果3000kg．
（3）．
答：该商家至少获利8300元．
【点睛】
本题考查分式方程的实际应用，解题关键在于理清题目中的数量关系，按照对应的数学逻辑关系式列式，其次计算时注意仔细即可．
68．探索发现：
……
根据你发现的规律，回答下列问题：
（1）＝ ，＝ ；
（2）利用你发现的规律计算：
（3）利用规律解方程：
【答案】（1）；（2）；（3）见解析．
【分析】
（1）根据简单的分式可得，相邻两个数的积的倒数等于它们的倒数之差，即可得到和
（2）根据（1）规律将乘法写成减法的形式，可以观察出前一项的减数等于后一项的被减数，因此可得它们的和.
（3）首先利用（2）的和的结果将左边化简，再利用分式方程的解法求解即可.
【详解】
解：（1）， ；
故答案为
（2）原式＝ ;
（3）已知等式整理得：
所以，原方程即： ，
方程的两边同乘x（x+5），得：x+5﹣x＝2x﹣1，
解得：x＝3，
检验：把x＝3代入x（x+5）＝24≠0，
∴原方程的解为：x＝3．
【点睛】
本题主要考查学生的归纳总结能力，关键在于根据简单的数的运算寻找规律,是考试的热点.
69．以诗育德，以诗启智，以诗怡情，以诗塑美，万州区某中学开展诗歌创作比赛，积极营造诗韵书香学生生活．年级决定购买两种笔记本奖励在此次创作比赛中的优秀学生，已知种笔记本的单价比种笔记本的单价便宜元，已知用元购买种笔记本的数量是用元购买种笔记本的数量的倍．
求种笔记本的单价；
根据需要，年级组准备购买两种笔记本共本，其中购买种笔记本的数量不超过种笔记本的二倍．设购买种笔记本本，所需经费为元，试写出与的函数关系式，并请你根据函数关系式求所需的最少经费．
【答案】（1）种笔记本的单价为6元．（2）所需经费最少为702元．
【分析】
设种笔记本的单价为元，则种笔记本的单价为元．根据题意列出分式方程，求解即可；
由知种笔记本的单价为元，得到：，由于，所以W随的增大而减小．再根据A种笔记本的数量不超过B种笔记本数量的2倍，得到，解之可得m的取值范围，最后取值代入可得．
【详解】
解： 设种笔记本的单价为元，则种笔记本的单价为元．
解得；
经检验：是原方程的解，且符合题意．
答：种笔记本的单价为元．
由知种笔记本的单价为元，
又∵
∴W随的增大而减小．
又∵A种笔记本的数量不超过B种笔记本数量的2倍
∴；
解得：；
∵m为正整数
∴当时，取得最小值，最小值为702元．
答：所需最少经费为702元．
【点睛】
本题考查了分式方程的应用及其解法；一元一次 ( http: / / www.21cnjy.com )不等式的应用及其解法；其中将分式方程化为整式方程并求出其解以后，必须进行检验以判断是否为增根，如为增根则必须舍去；一元一次不等式在得到解集之后也要根据题目当中的已知条件进得取值．
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