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编者学科君小注：
本专辑专为2022年初中苏科版数学第二学期研发，供中等及以上学生使用。
思路设计：重在培优训练，分选 ( http: / / www.21cnjy.com )择、填空、解答三种类型题，知识难度层层递进，由中等到压轴，基础差的学生选做每种类型题的前4题；基础中等的学生必做前4题、选做5-8题；尖子生全部题型必做，冲刺压轴题。21世纪教育网版权所有
专题05 数形结合之反比例函数与几何综合专练（原卷版）
错误率：___________易错题号：___________
一、单选题
1．（2021·江苏丹阳·八年级期末）在平面直角坐标系中，已知点A（3，﹣1），点B（1，2），连接AB，将线段AB绕点A顺时针旋转45°后并延长至点C，使得AC＝AB，若反比例函数y＝经过AC的中点，则k的值为（ ）www.21-cn-jy.com
A． B． C． D．
2．（2021·江苏·仪征市第三中学八年级期末）如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点A、D分别在x轴、y轴上，反比例函数的图像经过正方形顶点C，若点A(2，0)、D(0，4)，则k＝（ ）2·1·c·n·j·y
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A．24 B．18 C．20 D．12
3．（2021·江苏省锡山高级中学实验学校八年级期中）如图，点在反比例函数的图象上，点，在反比例函数的图象上，轴，轴于点，交于点．若与的面积之差为4，，则的值为（ ）【来源：21cnj*y.co*m】
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A．-7 B．-8 C．-9 D．-10
4．（2021·江苏宜兴·八年级期末）如图，平行四边形OABC的顶点A在x轴的正半轴上，点D(4，3)在对角线OB上，反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象经过C、D两点．已知平行四边形OABC的面积是，则点B的坐标为（ ）【出处：21教育名师】
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A．(5，) B．(6，) C．(，4) D．(，)
5．（2021·江苏省盐城中学新洋分校八年级月考）如图，一次函数与x轴、y轴分别交于A、B两点，以为一边在第二象限作正方形，反比例函数（）经过点D，则k的值是（ ）
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A．-3 B．-2 C．2 D．3
6．（2021·江苏·常熟市实验中学八年级月考）如图，设点P在函数的图象上，轴于点C，交函数的图象于点A，轴于点D，交函数的图象于点B．，如果四边形的面积为3，则m的值为（ ）21cnjy.com
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A．5 B．6 C．3 D．
7．（2021·江苏·常熟市实验中学八年级月考）如图，平行于x轴的直线分别与反比例函数的图象相交于M，N两点，点P为x轴上的一个动点，若的面积为2．则的值为（ ）【来源：21·世纪·教育·网】
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A．2 B． C．4 D．
8．（2021·江苏·连云港市新海实验中学八年级期末）如图，以矩形的顶点O为坐标原点建立平面直角坐标系，使点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上，双曲线的图象经过的中点D．且与交于点E．过边上一点F，把沿直线翻折，使点C落在点处（点在矩形内部，且，若点的坐标为，则k的值为（ ）21·世纪*教育网
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A． B． C． D．
9．（2022·江苏启东·九年级期末）如图，，，，……是分别以，，，……为直角项点，一条直角边在轴正半轴上的等腰直角三角形，其斜边的中点，，，……，均在反比例函数的图象上，则的值为（ ）
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A． B． C． D．
10．（2021·江苏新吴·八年级期末）如图，在平面直角坐标系中，矩形的对角线的中点与坐标原点重合，点是轴上一点，连接、，若平分，反比例函数的图像经过上的点、，且，的面积为18，则的值为（ ）21·cn·jy·com
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A． B． C． D．
二、填空题
11．（2021·江苏靖江·八年级期末）如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点O与原点重合，顶点A，C分别在x轴，y轴上，反比例函数的图像与正方形的两边，分别交于点M，N，连接，，，若，，则k的值为________．21教育网
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12．（2021·江苏·南京市金陵汇文学校八年级月考）如图，在四边形中，于点，轴，点，点在函数 的图象上．若与的面积之比为1：2，则的面积为________．21*cnjy*com
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13．（2021·江苏·南通田家炳中学一模）如图，双曲线经过Rt△ABC的两个顶点A、C，∠ABC＝90°，AB//x轴，连接OA，将Rt△ABC沿AC翻折后得到△AB′C，点B′刚好落在线段OA上，连接OC，OC恰好平分OA与x轴负半轴的夹角，若Rt△ABC的面积为3，则k的值为______．
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14．（2021·江苏吴江·二模）如图，在平 ( http: / / www.21cnjy.com )面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点A、C分别在x轴和y轴的正半轴上，点A（1，0），点C（0，5），反比例函数的图象经过点B，则k的值为 ___．
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15．（2021·江苏·景山中学八年级期末）如图，已知点A是双曲线y=在第一象限的分支上的一个动点，连结AO并延长交另一分支于点B，以AB为边作等边△ABC，点C在第四象限．随着点A的运动，点C的位置也不断变化，则三角形ABC面积最小值等于____．【版权所有：21教育】
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16．（2021·江苏梁溪·八年级期末）如图，矩形的边在轴上，点是对角线的中点，函数的图像经过两点，若，则直线所对应的函数表达式是________________________．
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17．（2021·江苏梁溪·八年级期末）已知点都在函数的图像上，若将这个函数图像向左平行个单位长度，则曲线所扫过的图形的面积是_______________________．
18．（2021·江苏盐城·八年级期末）如图，平行四边形ABCO的对角线AC、OB交于点D，反比例函数y＝（x＞0）的图像经过A、D两点，若平行四边形ABCO的面积是12，则k＝_____．
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19．（2021·江苏扬州·三模）如图所示，已知A（1 ，y1），B（3，y2）为反比例函数图象上的两点，动点P（x，0）在x轴正半轴上运动，当线段AP与线段BP之差达到最大时，点P的坐标是_____．
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20．（2021·江苏·南师附中新城初中八年级期末）如图，已知矩形ABCD的顶点A、B分别落在双曲线上，顶点C、D分别落在y轴、x轴上，双曲线经过AD的中点E，若OC＝3，则k的值为___．
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三、解答题
21．（2021·江苏新吴·八年级期末）如图，在平面直角坐标系中，、两点在轴的正半轴上，以线段为边向上作正方形，顶点在正比例函数的图像上，反比例函数的图像经过点，且与边相交于点．21*cnjy*com
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（1）若，求点的坐标；
（2）连接，．
①若的面积为24，求的值；
②是否存在某一位置使得，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
22．（2021·江苏泗阳·八年级期末）如图，已知反比例函数经过中、两点，直线交轴、轴于、两点．www-2-1-cnjy-com
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（1）若、两点坐标分别为，，则__________，__________；
（2）若是中点且，求的面积．
（3）若，是否存在菱形，其中、两点横纵坐标均为正整数，如果存在，直接写出此时点坐标，如果不存在，简要说明一下理由．2-1-c-n-j-y
23．（2021·江苏徐州·八年级期末）如图，在平面直角坐标系中，正比例函数y1＝2x的图像与反比例函数y2＝的图像交于A（﹣1，n）、B两点．21教育名师原创作品
（1）求k的值；
（2）当y1﹣y2＜0时，x的取值范围是 ；
（3）若x轴的正半轴上存在点P，使得的面积为1，求点P的坐标．
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24．（2021·江苏淮安·八年级期末）如图，菱形OABC的点B在y轴上，点C坐标为（4，3），双曲线的图象经过点A．
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(1)菱形OABC的边长为 ；
(2)求双曲线的函数关系式；
(3)①点B关于点O的对称点为D点， ( http: / / www.21cnjy.com )过D作直线l垂直于x轴，点P是直线l上一个动点，点E在双曲线上，当P、E、A、B四点构成平行四边形时，求点E的坐标；
②将点P绕点A逆时针旋转90°得点Q，当点Q落在双曲线上时，求点Q的坐标．
25．（2021·江苏徐州·八年级期末）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y＝的图像经过点A（3，m）与B（6，m﹣6），过点A作AC⊥x轴，垂足为C，连接AB、BC．
（1）求m的值；
（2）求证：ABC为等腰三角形；
（3）第一象限是否存在D、E，使得D在双曲线上，且以点B、C、D、E为顶点的四边形是正方形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
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编者学科君小注：
本专辑专为2022年初中苏科版数学第二学期研发，供中等及以上学生使用。
思路设计：重在培优训练，分 ( http: / / www.21cnjy.com )选择、填空、解答三种类型题，知识难度层层递进，由中等到压轴，基础差的学生选做每种类型题的前4题；基础中等的学生必做前4题、选做5-8题；尖子生全部题型必做，冲刺压轴题。21教育网
专题05 数形结合之反比例函数与几何综合专练（解析版）
错误率：___________易错题号：___________
一、单选题
1．（2021·江苏丹阳·八年级期末）在平面直角坐标系中，已知点A（3，﹣1），点B（1，2），连接AB，将线段AB绕点A顺时针旋转45°后并延长至点C，使得AC＝AB，若反比例函数y＝经过AC的中点，则k的值为（ ）【出处：21教育名师】
A． B． C． D．
【标准答案】B
【思路指引】
过点B作AB的垂线交AC的延长线于点H，由旋转45°和AC=AB可以推断△ABC是等腰直角三角形，过点B作y轴的平行线，过点C、A分别作x轴的平行线交于点F和点E，由K型全等求出点C的坐标，从而得到点D的坐标，从而求出反比例函数的比例系数k．
【详解详析】
解：如图，记AC的中点为点D，过点B作AB的垂线交AC的延长线于点H，
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵∠ABH=90°，∠BAC=45°，
∴△ABH是等腰直角三角形，且AB=BH，
∴AH=AB，
∵AC=AB，
∴点C和点H重合，AB=BC，
过点B作y轴的平行线，过点C、A分别作x轴的平行线交于点F和点E，
∴∠FBC+∠ABE=90°，∠FBC+∠FCB=90°，
∴∠FCB=∠ABE，
又∵AB=BC，∠F=∠E=90°，
∴△FCB≌△EBA（AAS），
∴FC=BE，BF=AE，
∵A（3，-1），B（1，2），
∴AE=2，BE=3，
∴CF=3，BF=2，
∴C（4，4），
∴AC的中点D为（，），
∴反比例函数y=经过AC的中点D，
∴k=×=．
故选：B．
【名师指路】
本题考查了等腰直角三角形的判定和三角形全等模型“K”型全等，以及反比例函数比例系数k的几何意义，本题的关键是要学会由旋转45°和AC=AB证明三角形ABC是等腰直角三角形，然后利用K型全等得到点C的坐标．21*cnjy*com
2．（2021·江苏·仪征市第三中学八年级期末）如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点A、D分别在x轴、y轴上，反比例函数的图像经过正方形顶点C，若点A(2，0)、D(0，4)，则k＝（ ）【来源：21cnj*y.co*m】
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A．24 B．18 C．20 D．12
【标准答案】A
【思路指引】
根据全等三角形的判定方法可得△AOD≌△DMC求出C的坐标，代入 ，利用待定系数法求出k．
【详解详析】
作CM⊥y轴于M， 如图，
( http: / / www.21cnjy.com / )
由正方形的性质可知AD=CD，∠ADC=90°，
∴∠ADO+∠DAO=∠ADO+∠CDM，
∴∠DAO=∠CDM，
在△AOD和△DMC中，
∵∠DAO＝∠CDM，∠AOD＝∠DMC＝90°， AD＝CD ，
∴△AOD≌△DMC（AAS），
∴OA=DM，OD=CM，
∵点A（2，0）、D（0，4），
∴OA=2，OD=4，
∴CM=OD=4，OM=2+4=6，
∴C（4，6），
∵反比例函数的图象经过正方形顶点C，
∴k=4×6=24．
故选A．
【名师指路】
本题主要考查了正方形的性质和反比例函数图象上点的坐标特征，三角形全等的判定和性质等知识，求出C点坐标是解题的关键．
3．（2021·江苏省锡山高级中学实验学校八年级期中）如图，点在反比例函数的图象上，点，在反比例函数的图象上，轴，轴于点，交于点．若与的面积之差为4，，则的值为（ ）
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A．-7 B．-8 C．-9 D．-10
【标准答案】D
【思路指引】
设CE＝4t，则DE＝5t，利用反比例函数图象上点的坐标特征得到C（，9t），B（，5t），A（，5t），再根据三角形面积公式得到×（ ）×4t ×9t（ ）＝4，然后化简后可得到的值．
【详解详析】
解：设CE＝4t，则DE＝5t，
∵点B，C在反比例函数的图象上，AB∥x轴，CD⊥x轴，
∴C（，9t），B（，5t），
∴A（，5t），
∵△ABC与△DBC的面积之差为4，
∴×（ ）×4t ×9t（ ）＝4，
∴k1＝ 10．
故选：D．
【名师指路】
本题考查了反比例函数反比例系数k的几何意义：在反比例函数图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．也考查了反比例函数图象上点的坐标特征．
4．（2021·江苏宜兴·八年级期末）如图，平行四边形OABC的顶点A在x轴的正半轴上，点D(4，3)在对角线OB上，反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象经过C、D两点．已知平行四边形OABC的面积是，则点B的坐标为（ ）2·1·c·n·j·y
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A．(5，) B．(6，) C．(，4) D．(，)
【标准答案】C
【思路指引】
根据点D(4，3)先分别求出反比例函数y＝，直线OB的解析式为y＝x，设C（a，），且a＞0，由平行四边形的性质得BCOA， S平行四边形OABC＝2S△OBC，则B（，），BC＝﹣a，代入面积公式即可得出结果．
【详解详析】
解：∵反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象经过点D（4，3），
∴3＝，
∴k＝12，
∴反比例函数y＝，
∵OB经过原点O，
∴设OB的解析式为y＝mx，
∵OB经过点D（4，3），
则3＝4m，
∴m＝，
∴OB的解析式为y＝x，
∵反比例函数y＝经过点C，
∴设C（a，），且a＞0，
∵四边形OABC是平行四边形，
∴BCOA，S平行四边形OABC＝2S△OBC＝，
∴点B的纵坐标为，S△OBC＝，
∵OB的解析式为y＝x，
∴将y＝代入y＝x，得：
＝x，
解得：x＝，
∴B（，），
∴BC＝﹣a，
∴S△OBC＝××（﹣a）＝，
解得：a＝3或a＝﹣3（舍去），
∴B（，4），
故选：C．
【名师指路】
本题考查了反比例函数图象上 ( http: / / www.21cnjy.com )点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式、平行四边形的性质、三角形面积计算等知识，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．
5．（2021·江苏省盐城中学新洋分校八年级月考）如图，一次函数与x轴、y轴分别交于A、B两点，以为一边在第二象限作正方形，反比例函数（）经过点D，则k的值是（ ）
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A．-3 B．-2 C．2 D．3
【标准答案】A
【思路指引】
作DF⊥x轴于点F，先求出A、B两点的坐 ( http: / / www.21cnjy.com )标，故可得出OB＝2，OA＝1，再根据AAS定理得出△OAB≌△FDA可得出OF的长，进而得出D点坐标，把D点坐标代入反比例函数的解析式求出k的值即可．
【详解详析】
解：作DF⊥x轴于点F．
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在y＝2x＋2中，令x＝0，则y＝2，即B（0，2），
令y＝0，则x＝-1，即A（-1，0），则OB＝2，OA＝1，
∵∠BAD＝90°，
∴∠BAO＋∠DAF＝90°，
∵Rt△ABO中，∠BAO＋∠OBA＝90°，
∴∠DAF＝∠OBA，
在△OAB与△FDA中，
，
∴△OAB≌△FDA（AAS），
∴AF＝OB＝2，DF＝OA＝1，
∴OF＝3，
∴D（-3，1），
∵点D在反比例函数y＝（k≠0）的图象上，
∴1＝-，解得k＝-3；
故选：A．
【名师指路】
本题考查的是反比例函数综合题 ( http: / / www.21cnjy.com )，涉及到的知识点有全等三角形判定与性质以及一次函数图像与坐标轴的交点问题，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
6．（2021·江苏·常熟市实验中学八年级月考）如图，设点P在函数的图象上，轴于点C，交函数的图象于点A，轴于点D，交函数的图象于点B．，如果四边形的面积为3，则m的值为（ ）
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A．5 B．6 C．3 D．
【标准答案】A
【思路指引】
设点的坐标为，从而可得，再根据求出点的坐标为，从而可得，然后求出点的坐标，最后根据可求出的值，由此即可得出答案．
【详解详析】
解：由题意得：四边形是矩形，
，
设点的坐标为，则，
，
，
，，
将点代入得：，
对于函数，
当时，，即，
，且四边形的面积为3，
，
解得，
将点代入得：，
故选：A．
【名师指路】
本题考查了反比例函数与几何综合，熟练掌握反比例函数的性质是解题关键．
7．（2021·江苏·常熟市实验中学八年级月考）如图，平行于x轴的直线分别与反比例函数的图象相交于M，N两点，点P为x轴上的一个动点，若的面积为2．则的值为（ ）
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A．2 B． C．4 D．
【标准答案】C
【思路指引】
设点的坐标为，从而可得点的坐标和的长，再利用三角形的面积公式即可得．
【详解详析】
解：由题意得：，
设点的坐标为，则点的纵坐标为，
对于函数，
当时，，解得，
，，
轴，点为轴上的一个动点，
的边上的高为，
又的面积为2，
，
解得，
故选：C．
【名师指路】
本题考查了反比例函数与几何综合，熟练掌握反比例函数的性质是解题关键．
8．（2021·江苏·连云港市新海实验中学八年级期末）如图，以矩形的顶点O为坐标原点建立平面直角坐标系，使点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上，双曲线的图象经过的中点D．且与交于点E．过边上一点F，把沿直线翻折，使点C落在点处（点在矩形内部，且，若点的坐标为，则k的值为（ ）
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A． B． C． D．
【标准答案】D
【思路指引】
首先证明点E是线段AB的中 ( http: / / www.21cnjy.com )点，设BC=BC′=m，则EC′=m-2．在Rt△BEC′中，根据BC′2=BE2+EC′2，构建方程求出m即可解决问题．
【详解详析】
解：连接OD、OE．设BC=BC′=m，则EC′=m-2．
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∵CD=BD，
∴S△CDO=S矩形ABCD，
∵S△AOE==S△CDO=S矩形ABCD，
∴AE=EB，
∵C′（2，3），
∴AE=EB=3，
在Rt△BEC′中，∵BC′2=BE2+EC′2，
∴m2=32+（m-2）2，
∴m=，
∴E（，3），
∵点E在上，
∴k=，
故选：D．
【名师指路】
本题考查了反比例函数综合题，涉及待定系数法求函数解析式、翻折变换、勾股定理等知识，综合性较强，学会利用参数构建方程解决问题．
9．（2022·江苏启东·九年级期末）如图，，，，……是分别以，，，……为直角项点，一条直角边在轴正半轴上的等腰直角三角形，其斜边的中点，，，……，均在反比例函数的图象上，则的值为（ ）
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A． B． C． D．
【标准答案】B
【思路指引】
根据点C1的坐标，确定y1，可求 ( http: / / www.21cnjy.com )反比例函数关系式，由点C1是等腰直角三角形的斜边中点，可以得到OA1的长，然后再设未知数，表示点C2的坐标，确定y2，代入反比例函数的关系式，建立方程解出未知数，表示点C3的坐标，确定y3，……然后再求和．
【详解详析】
解：如图，过C1、C2、C3……分别作x轴的垂线，垂足分别为D1、D2、D3……
则
是等腰直角三角形
其斜边的中点在反比例函数中
即
设则
此时将代入得
解得即
同理
故选：B．
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【名师指路】
考查反比例函数的图象和性质、反比例函数图象上点的坐标特征、等腰直角三角形的性质等知识，通过计算有一定的规律，推断出一般性的结论，得出答案．21教育名师原创作品
10．（2021·江苏新吴·八年级期末）如图，在平面直角坐标系中，矩形的对角线的中点与坐标原点重合，点是轴上一点，连接、，若平分，反比例函数的图像经过上的点、，且，的面积为18，则的值为（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B． C． D．
【标准答案】B
【思路指引】
连接BD，OF，过点A作 ( http: / / www.21cnjy.com )AN⊥OE于N，过点F作FM⊥OE于M．证明BD∥AE，推出S△ABE＝S△AOE＝18，推出S△EOF＝S△AOE＝9，可得S△FME＝3，由此即可解决问题．
【详解详析】
解：如图，连接BD，OF，过点A作AN⊥OE于N，过点F作FM⊥OE于M．
∵AN∥FM，AF＝FE，
∴MN＝ME，
∴FM＝AN，
∵A，F在反比例函数的图象上，
∴S△AON＝S△FOM，
∴ON AN＝ OM FM，
∴ON＝OM，
∴ON＝MN＝EM，
∴ME＝OE，
∴S△FME＝S△FOE，
∵AD平分∠OAE，
∴∠OAD＝∠EAD，
∵四边形ABCD是矩形，
∴OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ODA＝∠DAE，
∴AE∥BD，
∴S△ABE＝S△AOE，
∴S△AOE＝18，
∵AF＝EF，
∴S△EOF＝S△AOF＝9，
∴S△FME＝3，
∴S△FOM＝S△FOE﹣S△FME＝9﹣3＝6，
，
∵点F在第二象限，
∴k＝-12．
故选：B．
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【名师指路】
本题考查反比例函数的性质，矩形的性质，平行线的判断和性质，解题的关键是证明BD∥AE，利用等积法求出三角形面积．
二、填空题
11．（2021·江苏靖江·八年级期末）如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点O与原点重合，顶点A，C分别在x轴，y轴上，反比例函数的图像与正方形的两边，分别交于点M，N，连接，，，若，，则k的值为________．
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【标准答案】
【思路指引】
由反比例函数的图象与正方形的两边、分别交于点、，易证得，即可得，可得，然后作于点，易得为等腰直角三角形，设，则，由勾股定理可求得的值，继而可设正方形的边长为，则，，则可得到点的坐标，继而求得答案．www.21-cn-jy.com
【详解详析】
解：点、都在反比例函数的图象上，
，即，
四边形为正方形，
，，
，
在和中，
，
；
，
作于点，如图，
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，
为等腰直角三角形，
，
设，则，
，
，
在中，，
，即，
，
，
，，
，
为等腰直角三角形，
，
设正方形的边长为，则，，
在中，，
，
解得，（舍去），
，
，
，
点坐标为，，
将点代入反比例函数，得：，
故答案为：．
【名师指路】
本题考查了反比例函数的综合题，解 ( http: / / www.21cnjy.com )题的关键是掌握反比例函数图象上点的坐标特征、比例系数的几何意义和正方形的性质；熟练运用勾股定理和等腰直角三角形的性质进行几何计算．21·cn·jy·com
12．（2021·江苏·南京市金陵汇文学校八年级月考）如图，在四边形中，于点，轴，点，点在函数 的图象上．若与的面积之比为1：2，则的面积为________．
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【标准答案】3
【思路指引】
根据题意设，BE=c,然后将△ABE与△CDE的面积表示出来，然后利用整体思想进行求解△ABC的面积即可．
【详解详析】
解：由AC⊥BD，BD∥x轴，点A，点D在函数（x>0）的图象上，
设，BE=c,则有：
，
∵△ABE与△CDE的面积之比为1：2，
∴，解得：，
∴．
故填3．
【名师指路】
本题主要考查反比例函数与几何的综合，设出点坐标、表示出三角形的面积、求出是解答本题的关键．
13．（2021·江苏·南通田家炳中学一模）如图，双曲线经过Rt△ABC的两个顶点A、C，∠ABC＝90°，AB//x轴，连接OA，将Rt△ABC沿AC翻折后得到△AB′C，点B′刚好落在线段OA上，连接OC，OC恰好平分OA与x轴负半轴的夹角，若Rt△ABC的面积为3，则k的值为______．
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【标准答案】﹣12
【思路指引】
过点C作CD⊥x轴于点D，根据折叠的性质可 ( http: / / www.21cnjy.com )得CD＝CB′＝CB，设B（x，2y）（x＜0），则C（x，y），AB＝a，则A点坐标为：（x+a，2y），带入到解析式中求解即可；
【详解详析】
解：过点C作CD⊥x轴于点D，
∵将Rt△ABC沿AC翻折后得到△AB′C，点B′刚好落在线段OA上，连接OC，OC恰好平分OA与x轴负半轴的夹角，
∴∠CB′A＝90°，CB＝CB′，
∴CD＝CB′＝CB，
设B（x，2y）（x＜0），则C（x，y），AB＝a，则A点坐标为：（x+a，2y），
∴2y（x+a）＝xy，
整理得出：a＝﹣x，
∴x+a＝x，
∴AB＝﹣x，BC＝y，
∴×（﹣xy）＝3，
∴﹣xy＝12，
∴k＝﹣12．
故答案为：﹣12．
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【名师指路】
本题主要考查了反比例函数的图象性质，结合折叠的性质求解是解题的关键．
14．（2021·江苏吴江·二模）如图， ( http: / / www.21cnjy.com )在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点A、C分别在x轴和y轴的正半轴上，点A（1，0），点C（0，5），反比例函数的图象经过点B，则k的值为 ___．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【标准答案】9．
【思路指引】
过B作BE⊥x轴于E，BF⊥y轴于F， ( http: / / www.21cnjy.com )则∠EBF＝90°，根据正方形的性质得到AB＝BC，∠ABC＝90°，根据全等三角形的性质得到 BE＝BF，AE＝CF，从而证得四边形OEBF是正方形，设正方形OEBF的边长为m，则AE＝m﹣1，CF＝5﹣m，由 m﹣1＝5﹣m，求得m的值，求得B的坐标，即可得出结论．
【详解详析】
过B作BE⊥x轴于E，BF⊥y轴于F，则∠EBF＝90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠ABC＝90°，
∴∠EBF＝∠ABC＝90°，
∴∠ABE＝∠CBF，
在△ABE和△CBF中，
，
∴△ABE≌△CBF(AAS)，
∴BE＝BF，AE＝CF，
∴四边形OEBF是正方形，
设正方形OEBF的边长为m，
∵点A(1，0)，点C(0，5)，
∴OA＝1，OC＝5，
∴AE＝m﹣1，CF＝5﹣m，
∴m﹣1＝5﹣m，
∴m＝3，
∴B(3，3)，
∵反比例函数的图象经过点B，
∴k＝3×3＝9，
故答案为9．
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【名师指路】
本题考查了反比例函数图像上点的坐标特征，全等三角形的判定和性质，解题的关键是正确的作出辅助线．
15．（2021·江苏·景山中学八年级期末）如图，已知点A是双曲线y=在第一象限的分支上的一个动点，连结AO并延长交另一分支于点B，以AB为边作等边△ABC，点C在第四象限．随着点A的运动，点C的位置也不断变化，则三角形ABC面积最小值等于____．
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【标准答案】
【思路指引】
根据等边三角形的面积求解公式可知当AB最小时，三角形ABC面积最小，即AB在一、三象限角平分线上时为所求，故可求解．
【详解详析】
依题意可得当AB最小时，三角形ABC面积最小，
此时AB在一、三象限角平分线上，即y=x
联立，解得或
∴A（，），B（-，-）
∴AB=
∴三角形ABC面积为
故答案为：．
【名师指路】
此题主要考查反比例函数与几何综合，解题的关键是熟知等边三角形的性质、一次函数与反比例函数的特点．
16．（2021·江苏梁溪·八年级期末）如图，矩形的边在轴上，点是对角线的中点，函数的图像经过两点，若，则直线所对应的函数表达式是________________________．
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【标准答案】
【思路指引】
当时，，设点坐标为，则，，，即可得到点，，代入即可得到，解得，即可得到、的坐标，然后根据待定系数法即可求得直线的表达式．
【详解详析】
解：时，，
矩形是正方形，
设点坐标为，则，，，
是对角线的中点，
点，，
函数的图像经过、两点，
，
解得（负数舍去），
，，
设直线的解析式为，
，解得，
直线的表达式为，
故答案为．
【名师指路】
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，待定系数法求一次函数的解析式，正方形的判定和性质，表示出点的坐标是解题的关键．【来源：21·世纪·教育·网】
17．（2021·江苏梁溪·八年级期末）已知点都在函数的图像上，若将这个函数图像向左平行个单位长度，则曲线所扫过的图形的面积是_______________________．
【标准答案】
【思路指引】
将、两点代入函数解析式，求出、、，根据平移法则求出平移后、，求出平行四边形的面积即是曲线所扫过的图形的面积．
【详解详析】
解：将、两点代入函数解析式，
得：，，
、、，
向左平行3个单位长度后 的对应点，的对应点．
平行四边形的底，高，
平行四边形的面积，
曲线所扫过的图形的面积平行四边形的面积．
故答案为：9．
【名师指路】
本题考查的是反比例函数的图象和性质、平行四边形的面积计算和图形的平移，解题的关键是：将所求图形的面积转化为平行四边形的面积．
18．（2021·江苏盐城·八年级期末）如图，平行四边形ABCO的对角线AC、OB交于点D，反比例函数y＝（x＞0）的图像经过A、D两点，若平行四边形ABCO的面积是12，则k＝_____．
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【标准答案】4
【思路指引】
过A作AE⊥OC于E，过D作DF⊥OC于F，如图，设A（x，），C（a，0），根据平行四边形的性质得到AD＝CD，根据三角形的中位线得到DF＝AE＝，得到EF＝（a x），进而求出D点坐标，根据平行四边形的面积是12，于是得到结论．
【详解详析】
解：过A作AE⊥OC于E，过D作DF⊥OC于F，如图，
设A（x，），C（a，0），
∵四边形AOCB为平行四边形，
∴AD＝CD，
∴DF为△ACE的中位线，
∴DF＝AE＝，
∴EF＝（a x），OF＝OE＋EF＝，
∴D（，），
∵D点在双曲线上，
∴×＝k，
∴a＝3x，
∵平行四边形的面积是12，
∴AE OC＝12，
即 a＝12，
∴ 3x＝12，
∴k＝4．
故答案为：4．
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【名师指路】
本题考查了反比例函数的比例系数k的几何意义：在反比例函数y＝图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．也考查了平行四边形的性质．
19．（2021·江苏扬州·三模）如图所示，已知A（1 ，y1），B（3，y2）为反比例函数图象上的两点，动点P（x，0）在x轴正半轴上运动，当线段AP与线段BP之差达到最大时，点P的坐标是_____．
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【标准答案】（4，0）
【思路指引】
先求出A、B的坐标，设直线AB的解析式是y ( http: / / www.21cnjy.com )=kx+b，把A、B的坐标代入求出直线AB的解析式，根据三角形的三边关系定理得出在△ABP中，|AP-BP|＜AB，延长AB交x轴于P′，当P在P′点时，PA-PB=AB，此时线段AP与线段BP之差达到最大，求出直线AB于x轴的交点坐标即可．
【详解详析】
解：∵把A（1，y1），B（3，y2）代入反比例函数得：y1=1，y2=，
∴A（1，1），B（3，）．
在△ABP中，由三角形的三边关系定理得：|AP-BP|＜AB，
( http: / / www.21cnjy.com / )
∴延长AB交x轴于P′，当P在P′点时，PA-PB=AB，
即此时线段AP与线段BP之差达到最大，
设直线AB的解析式是y=kx+b（a≠0）
把A、B的坐标代入得：
，
解得：，
∴直线AB的解析式是，
当y=0时，x=4，
∴P（4，0）；
故答案为：（4，0）．
【名师指路】
本题考查了三角形的三边关系定理和用待定系数法求一次函数的解析式的应用，解此题的关键是确定P点的位置，有一定的难度．
20．（2021·江苏·南师附中新城初中八年级期末）如图，已知矩形ABCD的顶点A、B分别落在双曲线上，顶点C、D分别落在y轴、x轴上，双曲线经过AD的中点E，若OC＝3，则k的值为___．
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【标准答案】2
【思路指引】
设点坐标为，则，用、的代数式表示、、坐标，根据双曲线经过的中点，列方程求出，再由矩形对角线相等列方程求出，即可得坐标，从而求出．
【详解详析】
解：设点坐标为，则，，如图，
过点作轴于点，过点作轴于点，过点作轴于点，
四边形是矩形，
，，，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，，
，
，即，且在图象上，
，，
，
点是的中点，
，，，
，，
双曲线经过的中点，
，解得，
，，，，
而，且矩形有，
，
解得或（舍去），
，代入得：．
故答案为：2．
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【名师指路】
本题考查反比例函数、矩形的性质及应用，解题的关键是设，用、的代数式表示、、坐标列方程．
三、解答题
21．（2021·江苏新吴·八年级期末）如图，在平面直角坐标系中，、两点在轴的正半轴上，以线段为边向上作正方形，顶点在正比例函数的图像上，反比例函数的图像经过点，且与边相交于点．21·世纪*教育网
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（1）若，求点的坐标；
（2）连接，．
①若的面积为24，求的值；
②是否存在某一位置使得，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
【标准答案】（1）点的坐标为；（2）①；（3）②不存在．理由见解析．
【思路指引】
（1）先求出A点的坐标，然后代入反比例函数中求出k，再求出，代入反比例函数解析式即可；
（2）①设，则可推出，然后由得到，即可求出，从而求解；
②当，可证，得到，则由①可知，，则点则，，得，由此求解即可．
【详解详析】
（1）∵在正方形中，，
∴A点的纵坐标为4，
∵A在直线上，
∴，
∴，
∴，
∴OB=2，
∵在的图像上，
∴，
∴，
∴反比例函数解析式为，
∵，
∴，
∴将代入中，得：，
∴点的坐标为；
（2）①设，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴
解得，
∴；
②不存在，
理由：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，
∵，
∴，
∵，
∴
∴，
∴，
由①可知，，则点
∴，
∴得
∴，
∵，
∴不符合题意，不存在．
【名师指路】
本题主要考查了正方形的性质，一次函数，反比例函数，全等三角形的性质与判定，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
22．（2021·江苏泗阳·八年级期末）如图，已知反比例函数经过中、两点，直线交轴、轴于、两点．
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（1）若、两点坐标分别为，，则__________，__________；
（2）若是中点且，求的面积．
（3）若，是否存在菱形，其中、两点横纵坐标均为正整数，如果存在，直接写出此时点坐标，如果不存在，简要说明一下理由．21*cnjy*com
【标准答案】（1），；；（3），，
【思路指引】
（1）使用待定系数法，先求出反比例函数k，再求b，
（2）先利用两点间中点坐标公式，求出对应点坐标，再利用反比例函数k的几何意义，
（3）分别确定两点坐标，再利用坐标系内菱形坐标的特点代入求解．
【详解详析】
解：（1）将A（2，3）代入反比例函数得，
即3＝，
解得：k＝6，
∴y＝，
将B（6，b），代入y＝得，
b＝＝1，
故答案为：6，1．
（2）设B点坐标为（xB，），D点坐标为（0，b），A点坐标（xA，），
∵点A是BD的中点，
∴xA＝，＝，
得xA＝，b＝，
∴S△OAD＝×xA×yD
＝××
＝6，
∵A为线段BD的中点，
∴S△OAD＝S△OAB＝6，
∴S平行四边形OACB＝2×S△OAB＝12．
（3）当k＝12时，且A、B两点横纵坐标均为正整数，
∵12＝1×12，12＝2×6，12＝3×4，
∴有以下可能：
①A（1，12），B（12，1），
此时C点坐标为，即（13，13），
②A（2，6），B（6，2），
此时C点坐标为，即（8，8），
③A（3，4），B（4，3），
此时C点坐标为，即（7，7）．
【名师指路】
本题主要考查反比例函数k的几何意义和坐标系内中点坐标，解题关键是能够数形结合．
23．（2021·江苏徐州·八年级期末）如图，在平面直角坐标系中，正比例函数y1＝2x的图像与反比例函数y2＝的图像交于A（﹣1，n）、B两点．www-2-1-cnjy-com
（1）求k的值；
（2）当y1﹣y2＜0时，x的取值范围是 ；
（3）若x轴的正半轴上存在点P，使得的面积为1，求点P的坐标．
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【标准答案】（1）；（2）或；（3）
【思路指引】
（1）把代入，可得，把代入，即可求得；
（2）根据点与点关于原点对称，即可得到的坐标，观察函数图象即可求解；
（3）设，，根据得到，即可求得，由此可求得，．
【详解详析】
解：（1）把代入，
得，
，
把代入，
得，
；
（2）∵正比例函数的图象与反比例函数的图象关于原点对称，
∴点A与点B关于原点对称，
∵，
∴，
由图象可知，当或时，，
当时，的取值范围是或，
故答案为：或；
（3）设，，
则
，
的面积为1，
，
，
，．
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【名师指路】
本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了待定系数法求反比例函数的解析式，三角形的面积，数形结合是解题的关键．21cnjy.com
24．（2021·江苏淮安·八年级期末）如图，菱形OABC的点B在y轴上，点C坐标为（4，3），双曲线的图象经过点A．2-1-c-n-j-y
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(1)菱形OABC的边长为 ；
(2)求双曲线的函数关系式；
(3)①点B关于点O的对称点 ( http: / / www.21cnjy.com )为D点，过D作直线l垂直于x轴，点P是直线l上一个动点，点E在双曲线上，当P、E、A、B四点构成平行四边形时，求点E的坐标；【版权所有：21教育】
②将点P绕点A逆时针旋转90°得点Q，当点Q落在双曲线上时，求点Q的坐标．
【标准答案】(1)5
(2)
(3)①当E点坐标为（，15）或（4，-3）或（，-9）时，以P、E、A、B四点构成的四边形是平行四边形；②点Q的坐标为（5，）
【思路指引】
（1）如图所示，连接AC交y轴于J，根据菱形的性质可得AC⊥OB，AJ=JC，OJ=BJ，由点C的坐标为（4，3），得到AJ=JC=4，OJ=BJ=3，则；
（2）先求出A点坐标，然后用待定系数法求出反比例函数解析式即可；
（3）①分AB为以P、E、A ( http: / / www.21cnjy.com )、B四点构成平行四边形的边和对角线两种情况讨论求解即可；②过点A作AT⊥PD于T，过点Q作QR⊥AT于R，先求出AT=9，然后证明△APT≌△QRA得到AT=RQ=9，则Q点的横坐标为5，由此求解即可．21世纪教育网版权所有
(1)
解：如图所示，连接AC交y轴于J，
∵四边形OABC是菱形，
∴AC⊥OB，AJ=JC，OJ=BJ，
∵点C的坐标为（4，3），
∴AJ=JC=4，OJ=BJ=3，
∴，
故答案为：5； ( http: / / www.21cnjy.com / )
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(2)
解：∵AJ=JC=4，OJ=BJ=3，
∴点A的坐标为（-4，3），
∵反比例函数经过点A（-4，3），
∴，
∴，
∴反比例函数解析式为；
(3)
解：①设E点坐标为（m，），
∵OJ=BJ=3，
∴OB=6，
∴B点坐标为（0，6），
∴D点坐标为（0，-6），
∴直线l为，
设P点坐标为（a，-6）
当AB是以P、E、A、B四点构成平行四边形的对角线时，
∵线段AB与线段PE的中点坐标相同，
∴，
∴，
∴点E的坐标为（，15）；
如图所示，当AB为平行四边形的边时，即以P、E、A、B四点构成平行四边形为时，
∵与的中点坐标相同，
∴，
∴，
∴的坐标为（4，-3）；
同理可以求出当AB为平行四边形的边时，即以P、E、A、B四点构成平行四边形为时，点的坐标为（，-9）；
综上所述，当E点坐标为（，15）或（4，-3）或（，-9）时，以P、E、A、B四点构成的四边形是平行四边形；
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②如图所示，过点A作AT⊥PD于T，过点Q作QR⊥AT于R，
∵点A的坐标为（-4，3），直线l为，
∴AT=9，
∵∠ATP=∠QRA=∠PAQ=90°，
∴∠PAT+∠APT=90°，∠PAT+∠QAR=90°，
∴∠APT=∠QAR，
又∵AP=QA，
∴△APT≌△QRA（AAS），
∴AT=RQ=9，
∴Q点的横坐标为5，
∵Q在反比例函数上，
∴，
∴点Q的坐标为（5，）．
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【名师指路】
本题主要考查了反比例函数与几何综合，菱形的性质，勾股定理，全等三角形的性质与判定，平行四边形的性质，坐标与图形，熟知相关知识是解题的关键．
25．（2021·江苏徐州·八年级期末）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y＝的图像经过点A（3，m）与B（6，m﹣6），过点A作AC⊥x轴，垂足为C，连接AB、BC．
（1）求m的值；
（2）求证：ABC为等腰三角形；
（3）第一象限是否存在D、E，使得D在双曲线上，且以点B、C、D、E为顶点的四边形是正方形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
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【标准答案】（1）；（2）见解析；（3）不存在符合题意的点D，E，理由见解析
【思路指引】
（1）把与分别代入，解方程即可得到结论；
（2）过作于点，由（1）得到点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，推出，得到垂直平分，根据等腰三角形的判定定理即可得到结论；
（3）分三种情况逐个讨论即可：以为边在右侧作正方形，过作于点，根据全等三角形的判定与性质得到，，求得，进而求得点E（9，－3）在第四象限，于是得到结论；再以为对角线作正方形，过点E作x轴的垂线，垂足为点H，过点B作BF⊥EH，垂足为点F，根据全等三角形的判定与性质求得，进而求得点D（7.5，1.5），进而可判断此时的这两点都不在反比例函数图象上，由此可得结论；最后以为边在左侧作正方形，过B作于点F，过E作于点H，根据全等三角形的判定与性质求得在第二象限，由此可得结论．
【详解详析】
解：（1）反比例函数的图象经过点与，
且，
，
解得：；
（2）如图，过作于点，
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，
点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，
点纵的坐标为6，
即，
的纵坐标为12，
则，
，
，
垂直平分，
，
为等腰三角形；
（3）不存在，理由如下：
如图，以为边在右侧作正方形，过作于点，
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，，
，
在与中，
，
，
，，
，
，
，，
∴，，
又∵，，，
∴，，
解得：，，
∴点E的坐标为（9，－3），
点在第四象限，不合题意；
如图，以为对角线作正方形，过点E作x轴的垂线，垂足为点H，过点B作BF⊥EH，垂足为点F，
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∵四边形为正方形，
∴，，
∴，
∵BF⊥EH，EH⊥CH，
∴，
∴，
∴，
在与中，
，
，
∴，，
设，，
∵，，
∴，，
∴，
解得：，
∴，
∴点E的坐标为（1.5，4.5），
∵正方形的对角线互相平分，
∴，，
∴，，
∴，，
解得：，，
∴点D的坐标为（7.5，1.5），
∵反比例函数y＝的图像经过点B（6， 6），
∴k＝6×6＝36，
∵7.5×1.5≠36，1.5×4.5≠36，
∴点D、E均不在反比例函数的图象上，
∴此时不存在符合题意的点D，E，
如图，以为边在左侧作正方形，过B作于点F，过E作于点H，
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∵四边形为正方形，
∴，，
∴，
∵BF⊥OC，EH⊥OC，
∴，
∴，
∴，
在与中，
，
，
∴，，
∵，，
∴，，
∴，，
∴，
∴点E的坐标为（－3，3），
点在第二象限，不合题意，
综上所述，在第一象限不存在D、E，使得D在双曲线上，且以点B、C、D、E为顶点的四边形是正方形．
【名师指路】
本题是一道反比例函数与几何图形的综合题， ( http: / / www.21cnjy.com )考查了反比例的图象与性质，全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的判定和性质，正方形的性质，正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．
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