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编者学科君小注：
本专辑专为2022年初中苏科版数学第二学期研发，供中等及以上学生使用。
思路设计：重在培优训练，分选择、填空、 ( http: / / www.21cnjy.com )解答三种类型题，知识难度层层递进，由中等到压轴，基础差的学生选做每种类型题的前4题；基础中等的学生必做前4题、选做5-8题；尖子生全部题型必做，冲刺压轴题。21世纪教育网版权所有
专题04 数形结合之反比例函数与一次函数综合专练（原卷版）
错误率：___________易错题号：___________
一、单选题
1．（2021·江苏·南京市金陵汇文学校八年级月考）反比例函数与一次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）21·cn·jy·com
A． ( http: / / www.21cnjy.com / ) B． ( http: / / www.21cnjy.com / ) C． ( http: / / www.21cnjy.com / ) D． ( http: / / www.21cnjy.com / )
2．（2021·江苏江阴·二模）如图，直线与x轴，y轴分别交于A，B两点，将线段沿轴方向向右平移5个单位长度得到线段，与双曲线（）交于点，点在线段上，连接，，若四边形是菱形，则的值为（ ） www.21-cn-jy.com
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A．32 B．24 C．12 D．8
3．（2021·江苏句容·八年级期末）如图，一次函数与x轴、y轴的交点分别为A、B，△ABC是以AB为斜边的等腰直角三角形，其中，直角顶点C在反比例函数的图象上，则k的值是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．4 B．6 C．8 D．9
4．（2021·江苏无锡·中考真题）一次函数的图象与x轴交于点B，与反比例函数的图象交于点，且的面积为1，则m的值是（ ）【来源：21·世纪·教育·网】
A．1 B．2 C．3 D．4
5．（2021·江苏苏州·八年级期末）设双曲线（k ＞ 0）与直线y＝x交于A，B两点（点A在第三象限），将双曲线在第一象限的一支沿射线BA的方向平移，使其经过点A，将双曲线在第三象限的一支沿射线AB的方向平移，使其经过点B，平移后的两条曲线相交于点P，Q两点，此时我们称平移后的两条曲线所围部分（如图中阴影部分）为双曲线的“眸”，PQ为双曲线的“眸径”．当双曲线（k ＞ 0）的眸径为4时，k的值为（ ）2·1·c·n·j·y
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A． B． C．2 D．4
6．（2021·江苏·苏州市吴江区青云中学八年级月考）在平面直角坐标系中，直线向上平移1个单位长度得到直线l，直线l与反比例函数的图象的一个交点为，则k（ ）
A．2 B．6 C． D．1
7．（2021·江苏·连云港市新海实验中学二模）如图，直线与x轴交于点B，与双曲线(x>0)交于点A，过点B作x轴的垂线，与双曲线交于点C．且AB=AC，则k的值为（ ）
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A．8 B．12 C．10 D．16
8．（2021·江苏南通·中考真题）平面直角坐标系中，直线与双曲线相交于A，B两点，其中点A在第一象限．设为双曲线上一点，直线，分别交y轴于C，D两点，则的值为（ ）21·世纪*教育网
A．2 B．4 C．6 D．8
9．（2021·江苏江都·八年级月考）如图，点A在直线y＝x上，AB⊥x轴于点B，点C在线段AB上，以AC为边做正方形ACDE，点D恰好在反比例函数的图像上，连接AD，若，则k的值为（ ）2-1-c-n-j-y
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A．10 B．8 C．9 D．
二、填空题
10．（2021·江苏鼓楼·八年级期末）若反比例函数的图像与一次函数的图像的交点的横坐标为1和-3，则关于的方程的解是______．【出处：21教育名师】
11．（2021·江苏·扬州市梅岭中学八年级期末）如图，正方形ABCD的顶点B、C在x轴的正半轴上，反比例函数y＝（k≠0）在第一象限的图象经过点A（m，2）和CD边上的点E（n，），过点E作直线l∥BD交y轴于点F，则点F的坐标是______【版权所有：21教育】
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12．（2021·江苏·扬州市梅岭中学八年级月考）已知点P为反比例函数图象上的一点，点P到y轴的距离为3，则经过点P和点A(6，0)的一次函数解析式为_____．【来源：21cnj*y.co*m】
13．（2021·江苏东海·八年级期末）如果函数y＝的图象与直线y＝2x有交点，那么k的取值范围为____．
14．（2021·江苏海门·九年级期末）如图，一次函数，的图象与轴、轴分别交于点、点，与反比例函数，的图象在第一象限内交于点，连接，当的面积为时，则的值为_________．21*cnjy*com
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15．（2021·江苏·如皋市实验初中九年级期末）如图，一次函数的图象与函数的图象交于、两点，与轴，轴分别交于、两点，若的面积是的面积的倍，则的值为__．
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16．（2021·江苏丹阳·八年级期末）如图，在矩形ABCD中，点A（﹣1，1），B（﹣3，1），C（﹣3，2），反比例函数y=（x＜0）的图像经过点D，且与AB相交于点E．将矩形ABCD沿射线CE平移，使得点C与点E重合，则线段BD扫过的面积为 ___．
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17．（2016·江苏宿迁·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一条直线与反比例函数（x＞0）的图象交于两点A、B，与x轴交于点C，且点B是AC的中点，分别过两点A、B作x轴的平行线，与反比例函数（x＞0）的图象交于两点D、E，连接DE，则四边形ABED的面积为____．
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18．（2021·江苏·苏州工业园区东沙湖实验中学八年级期中）如图，一次函数的图象与轴交于两点，与反比例的图象交于两点，分别过两点作轴的垂线，垂足为，连接，有下列结论：①与面积相等；②；③；④．中正确的结论是______（把你认为正确结论的序号都填上）．
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19．（2021·江苏南通·一模）已知A、B两点为反比例函数的图像上的动点，他们关于y轴的对称点恰好落在直线上，若点A、B的坐标分别为且，则________．21教育网
三、解答题
20．（2022·江苏通州·九年级期末）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于和两点．21教育名师原创作品
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(1)______，_______；
(2)结合图象直接写出不等式的解集．
21．（2022·江苏·靖江外国语学校模拟预测）直线和双曲线交于点，．
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(1)求，，的值；
(2)在坐标轴上有一点，使的值最小，直接写出点的坐标．
22．（2021·江苏省锡山高级中学实验学校八年级期中）如图1，动点在函数的图象上，过点分别作轴和轴的平行线，交函数的图象于点、，作直线，设直线的函数表达式为．
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（1）若点的坐标为．
①点坐标为______，点坐标为______，直线的函数表达式为______；
②点在轴上，点在轴上，且以点、、、为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点、的坐标；
（2）连接、．
①当时，求的长度；
②如图2，试证明的面积是个定值．
23．（2021·江苏·无锡市天一实验学校八年级期中）如图在平面直角坐标系中，O为原点，A、B两点分别在y轴、x轴的正半轴上，△AOB的一条内角平分线、一条外角平分线交于点P，P在反比例函数的图象上．
（1）求点P的坐标；
（2）若OA=OB，则：
①∠P的度数为 ．
②求出此时直线AB的函数关系式； ．
（3）如果直线AB的关系式为，且，作反比例函数，过点（0，1）作x轴的平行线与的图象交于点M，与的图象交于点N，过点N作y轴的平行线与的图象交于点Q，是否存在k的值，使得MN+ON的和始终是一个定值d，若存在，求出k的值及定值d；若不存在，请说明理由．21cnjy.com
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24．（2021·江苏·高港实验学校八年级月考）如图在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数在第一象限交于点，点的横坐标为是反比例函数图像上的一点，轴交反比例函数于点．21*cnjy*com
（1）求出的值；
（2）用含的代数式表示线段的长；
（3）是否存在点，使是以为底的等腰三角形，若存在求出，若不存在说明理由；
（4）以为边长，在的下方作正方形，判断边与反比例函数图像是否有交点，若有求出交点坐标，若没有请说明理由．www-2-1-cnjy-com
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本专辑专为2022年初中苏科版数学第二学期研发，供中等及以上学生使用。
思路设计：重在培优训练，分选择、填空、解答三 ( http: / / www.21cnjy.com )种类型题，知识难度层层递进，由中等到压轴，基础差的学生选做每种类型题的前4题；基础中等的学生必做前4题、选做5-8题；尖子生全部题型必做，冲刺压轴题。21教育名师原创作品
专题04 数形结合之反比例函数与一次函数综合专练（解析版）
错误率：___________易错题号：___________
一、单选题
1．（2021·江苏·南京市金陵汇文学校八年级月考）反比例函数与一次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A． ( http: / / www.21cnjy.com / ) B． ( http: / / www.21cnjy.com / ) C． ( http: / / www.21cnjy.com / ) D． ( http: / / www.21cnjy.com / )
【标准答案】D
【思路指引】
由图象结合性质判断反比例函数中的k和一次函数中的k的值是否一致即可判断．
【详解详析】
A、反比例函数图象在第一、三象限，则k＞0，一次函数图象经过二、三、四象限，则k＜0，k的取值不同，故此选项错误；
B、反比例函数图象在第一、三象限，则k＞0，一次函数图象与y轴交于正半轴，则-k＞0，即k＜0，k的取值不同，故此选项错误；
C、反比例函数图象在第二、四象限，则k＜0，一次函数图象经过一、二、三象限，则k＞0， k的取值不同，故此选项错误；
D、反比例函数图象在第二 ( http: / / www.21cnjy.com )、四象限，则k＜0，一次函数图象经过一、二、四象限，则k＜0，与y轴交于正半轴，则-k＞0，即k＜0，k的取值相同，故此选项正确；
故选：D．
【名师指路】
本题主要考查了反比例函数与一次函数的图象，解题时注意：系数k的符号决定直线的方向以及双曲线的位置．
2．（2021·江苏江阴·二模）如图，直线与x轴，y轴分别交于A，B两点，将线段沿轴方向向右平移5个单位长度得到线段，与双曲线（）交于点，点在线段上，连接，，若四边形是菱形，则的值为（ ）
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A．32 B．24 C．12 D．8
【标准答案】A
【思路指引】
设M的坐标为（，），由求出点M的坐标，即可求解.
【详解详析】
解：∵点B是直线与y轴的交点
∴点B的坐标为（0，8）
∵将线段AB沿x轴方向向右平移5个单位长度得到线段CD与双曲线交于点N且四边形BMNC是菱形
∴BC=MN=BM=5，MN∥AD
设M的坐标为（，）
∴
解得或（舍去）
∴M的坐标为（3，4）
∴N的坐标为（8，4）
将N点坐标代入双曲线解析式中得：
解得
故选A.
【名师指路】
本题考查了反比例函数与一次函数的交点、菱形的性质，平移的性质，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.【来源：21·世纪·教育·网】
3．（2021·江苏句容·八年级期末）如图，一次函数与x轴、y轴的交点分别为A、B，△ABC是以AB为斜边的等腰直角三角形，其中，直角顶点C在反比例函数的图象上，则k的值是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．4 B．6 C．8 D．9
【标准答案】A
【思路指引】
作于D，于E，根据一次函数性质求出A、B，证明，得到CD＝OD，即可得到结果．
【详解详析】
( http: / / www.21cnjy.com / )
解：作于D，于E，
∵一次函数与x轴、y轴的交点分别为B、A，
∴B（5，0），A（0，﹣1），
∴，，
∵是以AB为斜边的等腰直角三角形，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
设C（m，m），则，，
∴，
∴，
∴C（2，2），
∵直角顶点C在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，
∴k＝2×2＝4，
故选：A．
【名师指路】
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征， ( http: / / www.21cnjy.com )等腰直角三角形的性质，一次函数图象上点的坐标特征，三角形全等的判定和性质，求得C的坐标是解题的关键．【来源：21cnj*y.co*m】
4．（2021·江苏无锡·中考真题）一次函数的图象与x轴交于点B，与反比例函数的图象交于点，且的面积为1，则m的值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【标准答案】B
【思路指引】
先求出B的坐标，结合的面积为1和，列出方程，再根据在一次函数图像上，得到另一个方程，进而即可求解．21*cnjy*com
【详解详析】
∵一次函数的图象与x轴交于点B，
∴B(-n，0)，
∵的面积为1，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，
∴，
∴或，解得：n=-2或n=1或无解，
∴m=2或-1（舍去），
故选B．
【名师指路】
本题主要考查一次函数与反比例函数的综合，掌握函数图像上点的坐标特征，是解题的关键．
5．（2021·江苏苏州·八年级期末）设双曲线（k ＞ 0）与直线y＝x交于A，B两点（点A在第三象限），将双曲线在第一象限的一支沿射线BA的方向平移，使其经过点A，将双曲线在第三象限的一支沿射线AB的方向平移，使其经过点B，平移后的两条曲线相交于点P，Q两点，此时我们称平移后的两条曲线所围部分（如图中阴影部分）为双曲线的“眸”，PQ为双曲线的“眸径”．当双曲线（k ＞ 0）的眸径为4时，k的值为（ ）
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A． B． C．2 D．4
【标准答案】A
【思路指引】
以为边，作矩形交双曲线于点、，联立直线及双曲线解析式成方程组，通过解方程组可求出点、的坐标，由的长度可得出点的坐标（点在直线上找出点的坐标），由图形的对称性结合点、和的坐标可得出点的坐标，再利用反比例函数图象上点的坐标特征即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论．
【详解详析】
解：以为边，作矩形交双曲线于点、，如图所示．
联立直线及双曲线解析式成方程组，，
解得：，，
点的坐标为，，点的坐标为，．
，
，点的坐标为，．
根据图形的对称性可知：，
点的坐标为，．
又点在双曲线上，
，
解得：．
故选：A．
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【名师指路】
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、反比例函数图象上点的坐标特征、矩形的性质以及解一元一次方程，利用矩形的性质结合函数图象找出点的坐标是解题的关键．
6．（2021·江苏·苏州市吴江区青云中学八年级月考）在平面直角坐标系中，直线向上平移1个单位长度得到直线l，直线l与反比例函数的图象的一个交点为，则k（ ）
A．2 B．6 C． D．1
【标准答案】A
【思路指引】
由直线平移性质求出一次函数解析式，再求出A的坐标，再代入反比例函数解析式可得．
【详解详析】
y=x向上平移1个单位长度可知直线l为y=x+1，因为点A(a，2)在y=x+1上，所以a+1=2，解得a=1.即点A（1，2），把（1，2）代入反比例函数的得，解得k=2．
故选A
【名师指路】
考核知识点：一次函数和反比例函数．理解反比例函数和一次函数一般性质是关键．
7．（2021·江苏·连云港市新海实验中学二模）如图，直线与x轴交于点B，与双曲线(x>0)交于点A，过点B作x轴的垂线，与双曲线交于点C．且AB=AC，则k的值为（ ）
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A．8 B．12 C．10 D．16
【标准答案】D
【思路指引】
作AD⊥BC于D，根据等腰三角形的性质得BD=CD，再利用一次函数解析式确定B(4，0)，则可设C(4，)，利用A点的纵坐标为得到A(8，)，然后把A(8，)代入得，从而解关于k的方程即可得到k的值．2-1-c-n-j-y
【详解详析】
解：作AD⊥BC于D，如图，
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∵AB=AC，
∴BD=CD，
当y=0时，，解得x=4，则B(4，0)，
设C(4，)，则A(8，)，
把A(8，)代入得，
∴k=16．
故选：D．
【名师指路】
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题 ( http: / / www.21cnjy.com )：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点.也考查了等腰三角形的性质．
8．（2021·江苏南通·中考真题）平面直角坐标系中，直线与双曲线相交于A，B两点，其中点A在第一象限．设为双曲线上一点，直线，分别交y轴于C，D两点，则的值为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【标准答案】B
【思路指引】
根据直线与双曲线相交于A，B两点，其中点A在第一象限求得，，再根据为双曲线上一点求得；根据点A与点M的坐标求得直线AM解析式为，进而求得，根据点B与点M的坐标求得直线BM解析式为，进而求得，最后计算即可．
【详解详析】
解：∵直线与双曲线相交于A，B两点，
∴联立可得：
解得：或
∵点A在第一象限，
∴，．
∵为双曲线上一点，
∴．
解得：．
∴．
设直线AM的解析式为，
将点与点代入解析式可得：
解得：
∴直线AM的解析式为．
∵直线AM与y轴交于C点，
∴．
∴．
∴．
∵，
∴．
设直线BM的解析式为，
将点与点代入解析式可得：
解得：
∴直线BM的解析式为．
∵直线BM与y轴交于D点，
∴．
∴．
∴．
∵，
∴．
∴
=4．
故选：B．
【名师指路】
本题考查了一次函数和反比例函数的综合应用，涉及到分式方程，一元二次方程和二元一次方程组的求解，正确求出点的坐标和直线解析式是解题关键．
9．（2021·江苏江都·八年级月考）如图，点A在直线y＝x上，AB⊥x轴于点B，点C在线段AB上，以AC为边做正方形ACDE，点D恰好在反比例函数的图像上，连接AD，若，则k的值为（ ）
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A．10 B．8 C．9 D．
【标准答案】A
【思路指引】
设正方形的边长为a，A（t，t），则OB=AB=t，AC=CD=a，于是可表示出C（t，t-a），D（t+a，t-a），再利用等腰直角三角形的性质可得OA=t，AD=a；由OA2-AD2=20可得t2-a2=10，最后根据反比例函数图象的性质即可解答．
【详解详析】
解：设设正方形的边长为a，A（t，t），则OB=AB=t，AC=CD=a，
∴C（t，t-a），D（t+a，t-a）
∵等腰直角三角OAB和正方形ACDE
∴OA=t，AD=a
∵OA2-AD2=20
∴（t）2-（a）2=20，即t2-a2=10
∵点D在反比例函数的图象上，
∴k=（t+a）（t-a）=t2-a2=10．
故选A．
【名师指路】
本题主要考查了反比例函数与一 ( http: / / www.21cnjy.com )次函数的综合问题、正方形的性质、反比例函数的性质等知识点，求正确设出未知数、根据题意表示出所需的量和等式是解答本题的关键．
二、填空题
10．（2021·江苏鼓楼·八年级期末）若反比例函数的图像与一次函数的图像的交点的横坐标为1和-3，则关于的方程的解是______．
【标准答案】，
【思路指引】
根据两函数图象的交点横坐标就是方程的解求解即可．
【详解详析】
解：∵反比例函数的图象与一次函数的图象的交点的横坐标为1和-3，
∴关于x的方程的解为x1=1，x2=-3，
故答案为x1=1，x2=-3．
【名师指路】
此题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，关键是掌握方程的解就是两函数图象的交点的横坐标．
11．（2021·江苏·扬州市梅岭中学八年级期末）如图，正方形ABCD的顶点B、C在x轴的正半轴上，反比例函数y＝（k≠0）在第一象限的图象经过点A（m，2）和CD边上的点E（n，），过点E作直线l∥BD交y轴于点F，则点F的坐标是______www.21-cn-jy.com
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【标准答案】
【思路指引】
结合题意，得正方形ABCD边长；根据反比例函数图像和正方形的性质，通过列一元一次方程并求解，得，从而得点E坐标；设直线l为：，根据正方形和平行线的性质，得，再结合直线l过点E，从而计算得；根据一次函数的性质计算，即可得到答案．
【详解详析】
∵点A（m，2）
∴正方形ABCD边长为：2
∵反比例函数y＝（k≠0）在第一象限的图象经过点A（m，2）和CD边上的点E（n，）
∴，
∴，
∵正方形ABCD边长为：2
∴
∴
∴，
∴点E（3，）
设直线l为：
∵正方形ABCD
∴
∵直线l∥BD
∴
∵直线l过点E
∴
∴
∴直线l为：
当时，
∴点F的坐标是：
故答案为：．
【名师指路】
本题考查了反比例函数、一次函数 ( http: / / www.21cnjy.com )、平行线、正方形、一元一次方程的知识；解题的关键是熟练掌握比例函数、一次函数、平行线、正方形的性质，从而完成求解．21教育网
12．（2021·江苏·扬州市梅岭中学八年级月考）已知点P为反比例函数图象上的一点，点P到y轴的距离为3，则经过点P和点A(6，0)的一次函数解析式为_____．
【标准答案】，
【思路指引】
由点P到y轴的距离为3，可得P点坐标，则可求经过点P和点A（6，0）的一次函数解析式．
【详解详析】
∵点P到y轴的距离为3
∴
当x=3时，，P（3，2）
当x=-3时，，P(-3,-2)
设AP：
把P（3，2）和A（6，0）代入
∴
把P（-3，-2）和A（6，0）代入
∴
综上所述：一次函数的解析式为：或
故答案为：或
【名师指路】
本题是反比例函数和一次函数的综合题，关键是确定好公共点的坐标．
13．（2021·江苏东海·八年级期末）如果函数y＝的图象与直线y＝2x有交点，那么k的取值范围为____．
【标准答案】k≤1．
【思路指引】
联立两解析式，消去y可得到关于x的一元二次方程，由题意可知该方程有实数解，可得到关于k的不等式，可求得答案．
【详解详析】
联立两函数解析式可得，消去y可得＝2x，
整理可得2x2＝1﹣k，
∵函数y＝的图象与直线y＝2x有交点，
∴2x2＝1﹣k有实数解，
∴1﹣k≥0，解得k≤1，
故答案为：k≤1．
【名师指路】
本题主要考查函数图象的交点问题，掌握函数图象的交点坐标即为联立解析式构成的方程组的解是解题的关键，注意一元二次方程有实数解的条件．
14．（2021·江苏海门·九年级期末）如图，一次函数，的图象与轴、轴分别交于点、点，与反比例函数，的图象在第一象限内交于点，连接，当的面积为时，则的值为_________．
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【标准答案】
【思路指引】
由一次函数的解析式求得的坐标，根据三角形的面积公式求得，将代入直线解析式求得，根据反比例函数的定义求得．
【详解详析】
一次函数，的图象与轴、轴分别交于点、点，
令，则，，
令，则，，
，即，
解得，
将代入，解得，
，
的图象在第一象限内交于点，
，
解得．
故答案为．
【名师指路】
本题考查的是一次函数与反比例函数的性质，掌握反比例函数中的几何意义，求得一次函数与坐标轴交点是解题的关键．21cnjy.com
15．（2021·江苏·如皋市实验初中九年级期末）如图，一次函数的图象与函数的图象交于、两点，与轴，轴分别交于、两点，若的面积是的面积的倍，则的值为__．
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【标准答案】
【思路指引】
根据一次函数的特点求出C，D的坐标，由一 ( http: / / www.21cnjy.com )次函数和反比例函数的结合求出A，B的坐标，将三角形COD的面积减去三角形AOD的面积减去三角形BOC的面积，从而列出方程，计算即可．
【详解详析】
把y＝kx+6代入y＝，得kx+6＝，
整理，得kx2+6x﹣m＝0，
解得x＝，
所以B（，3-），A（，3+）．
∵一次函数y＝kx+6的图象与x轴，y轴分别交于C、D两点，
∴C（﹣，0），D（0，6）．
∵S=×6×=，
SAOB=－×6×（-）－××（3-），
∴=×[+×6×－××（3-）]，
即：=×[+3×-（3-）]，
=×（+-），
18=×（18-18+6），
18=6，
=3，
18+2km=9，
km=－，
故答案为：-．
【名师指路】
本题考查反比例函数和一次函数的图象和性质，利用函数图像特点求出A，B，C，D的坐标，用面积等量关系计算是解题的关键．
16．（2021·江苏丹阳·八年级期末）如图，在矩形ABCD中，点A（﹣1，1），B（﹣3，1），C（﹣3，2），反比例函数y=（x＜0）的图像经过点D，且与AB相交于点E．将矩形ABCD沿射线CE平移，使得点C与点E重合，则线段BD扫过的面积为 ___．
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【标准答案】3
【思路指引】
依据AD=CB=1，A（-1，1），可得点D的坐标为（-1，2），即可得到反比例函数的解析式；然后求得E（-2，1），设直线CE的解析式为y=kx+b，利用待定系数法可得直线CE的解析式为y=-x-1；再根据矩形ABCD沿着CE平移，使得点C与点E重合，可得点D'（0，1），B'（-2，0），进而得出S四边形BDD'B'=2S△BD'D=2××3×1=3．
【详解详析】
解：由题可得，AD=CB=1，A（-1，1），
∴点D的坐标为（-1，2），
∵反比例函数y=（x＜0）的图象经过点D，
∴m=-1×2=-2，
∴反比例函数的解析式为y=-，
当y=1时，1=-，
∴x=-2，
∴E（-2，1），
设直线CE的解析式为y=kx+b，依题意得，
，
解得，
∴直线CE的解析式为y=-x-1；
如图，
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∵矩形ABCD沿着CE平移，使得点C与点E重合，
∴点D'（0，1），B'（-2，0），
∴S四边形BDD'B′=2S△BD'D=2××3×1=3．
故答案为：3．
【名师指路】
本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解决问题的关键是掌握待定系数法求一次函数解析式与反比例函数解析式．21世纪教育网版权所有
17．（2016·江苏宿迁·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一条直线与反比例函数（x＞0）的图象交于两点A、B，与x轴交于点C，且点B是AC的中点，分别过两点A、B作x轴的平行线，与反比例函数（x＞0）的图象交于两点D、E，连接DE，则四边形ABED的面积为____．
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【标准答案】．
【详解详析】
∵点A、B在反比例函数（x＞0）的图象上，设点B的坐标为（，m），
∵点B为线段AC的中点，且点C在x轴上，
∴点A的坐标为（，2m）．
∵AD∥x轴、BE∥x轴，且点D、E在反比例函数（x＞0）的图象上，
∴点D的坐标为（，2m），点E的坐标为（，m），
∴S梯形ABED==．
故答案为．
18．（2021·江苏·苏州工业园区东沙湖实验中学八年级期中）如图，一次函数的图象与轴交于两点，与反比例的图象交于两点，分别过两点作轴的垂线，垂足为，连接，有下列结论：①与面积相等；②；③；④．中正确的结论是______（把你认为正确结论的序号都填上）．
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【标准答案】①②④
【思路指引】
设点D的坐标为（，），则F（，0），根据三角形面积公式得到S△DFE＝S△CEF＝k，再根据面积相等的两个三角形若同底，则它们的高相同，即E、F到AD的距离相等，由此可证得CD∥EF；要判断△DCE≌△CDF，则四边形CEFD为等腰梯形，△OAB为等腰直角三角形，而a的值不确定，所以△DCE和△CDF不一定全等；易得四边形ACEF，四边形BDFE都是平行四边形，则AC＝EF＝BD，所以BD＝AC．
【详解详析】
解：设点D的坐标为（，），则F（x，0）．
∵由函数的图象可知：x＞0，k＞0．
∴S△DFE＝DF OF＝ ＝，
同理可得S△CEF＝，
∴S△DEF＝S△CEF，故①正确；
若两个三角形以EF为底，则EF边上的高相等，故CD∥EF．故②正确；
③条件不足，无法得到判定两三角形全等的条件，故③错误；
∵四边形ACEF，四边形BDEF都是平行四边形，
∴AC＝EF＝BD，
∴BD＝AC，故④正确．
故答案为：①②④．
【名师指路】
本题考查了反比例函数的综合题：反比例函数图象上点的满足其解析式；熟练由运用三角形面积公式和平行四边形的判定与性质解决线段相等的关键．21*cnjy*com
19．（2021·江苏南通·一模）已知A、B两点为反比例函数的图像上的动点，他们关于y轴的对称点恰好落在直线上，若点A、B的坐标分别为且，则________．【出处：21教育名师】
【标准答案】1
【思路指引】
设点，关于y轴得对称点，设点，关于y轴得对称点，代入，求出k，再求即可．
【详解详析】
解：A、B两点为反比例函数的图像上，点A、B的坐标分别为，
则点，关于y轴得对称点，设点，关于y轴得对称点，
把A′、B′坐标分别代入得，
和，
两式相减得，，解得，
则，
，
故答案为1．
【名师指路】
本题考查了一次函数和反比例函数的综合，解题关键是熟练运用一次函数和反比例函数知识，通过设坐标建立等量关系，表示出比例系数．2·1·c·n·j·y
三、解答题
20．（2022·江苏通州·九年级期末）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于和两点．
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(1)______，_______；
(2)结合图象直接写出不等式的解集．
【标准答案】(1)，
(2)或
【思路指引】
（1）把A（-1，m），B（n，-1）分别代入反比例函数解析式可求出m、n；
（2）确定A点坐标为（-1，2），B点坐标为（2，-1），然后根据图象即可求得．
(1)
把A（-1，m），B（n，-1）分别代入得-m=-2，-n=-2，
解得m=2，n=2，
故答案为：2，2
(2)
∵m=2，n=2，
∴A点坐标为（-1，2），B点坐标为（2，-1），
根据图象可得，不等式的解集为或．
【名师指路】
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：反比例函数与一次函数图象的交点坐标满足两函数解析式．也考查了待定系数法求函数解析式．
21．（2022·江苏·靖江外国语学校模拟预测）直线和双曲线交于点，．
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(1)求，，的值；
(2)在坐标轴上有一点，使的值最小，直接写出点的坐标．
【标准答案】(1)，；
(2)
【思路指引】
（1）将A、B两点坐标分别代入，即可解出m、n的值；
（2）线段和的最短距离问 ( http: / / www.21cnjy.com )题，首先想到的是利用“将军饮马”模型进行解决，做A点关于坐标轴的对称点，在之后再进行计算，需要注意的是，本题需要进行分情况进行讨论，最终确定最短距离下的M坐标．
(1)
解：点，在直线上，
，，
，
，，
点在双曲线上，
；
(2)
如图，作点关于轴的对称点，连接交轴与，
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则，
设直线的解析式为，
，，
直线的解析式为，
；
；
如图，作点关于轴的对称点，连接交轴与，
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则，
设直线的解析式为，
，，
直线的解析式为，
当时，，
．
，
．
【名师指路】
本题考查了反比例函数与一次函数的交点，坐标与图形变化-轴对称、最短路线问题，注意待定系数法求直线解析式的运用．
22．（2021·江苏省锡山高级中学实验学校八年级期中）如图1，动点在函数的图象上，过点分别作轴和轴的平行线，交函数的图象于点、，作直线，设直线的函数表达式为．
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（1）若点的坐标为．
①点坐标为______，点坐标为______，直线的函数表达式为______；
②点在轴上，点在轴上，且以点、、、为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点、的坐标；
（2）连接、．
①当时，求的长度；
②如图2，试证明的面积是个定值．
【标准答案】（1）①(1，4)；（2，2）；y＝ 2x＋6；②D(1，0)，E(0，2)或D（ 1，0），E（0，2）；（2）①；②见详解【版权所有：21教育】
【思路指引】
（1）①把x＝2代入中，求得C点的纵坐标，进而得C点坐标，把y＝4代入中，求得B点的横坐标，进而得B点坐标，再用待定系数法求得BC的解析式；
②设D（m，0），E（0，n）， ( http: / / www.21cnjy.com )显然BC为平行四边形的对角线时不存在，则BC必为平行四边形的边，分别两种情况BE∥CD或BD∥CE，求出结果便可；
（2）①设M（m，），则B（，），C（m，），由OB＝OC列出方程求得m2，由两点距离公式求得OB；②延长MC与x轴交于点A，设M（m，），则B（，），C（m，），A（m，0），根据梯形面积公式和三角形的面积公式计算便可得答案．
【详解详析】
解：（1）①∵点M的坐标为（2，4），BM∥x轴，CM∥y轴，
∴xC＝2，yB＝4，
把y＝4代入中，得x＝1，
∴B(1，4)，
把x＝2代入中，得y＝2，
∴C（2，2），
把B、C的坐标都代入y＝kx＋b中，得，
解得：，
∴直线BC的解析式为：y＝ 2x＋6．
故答案为：(1，4)；（2，2）；y＝ 2x＋6；
②设D（m，0），E（0，n），
当四边形BEDC为平行四边形时，
∵B(1，4)，C（2，2），BE∥CD，BE＝CD，
∴1 0＝2 m，4 n＝2 0，
∴m＝1，n＝2，
∴D(1，0)，E(0，2)，
当四边形BDEC为平行四边形时，
∵B(1，4)，C（2，2），BD∥CE，BD＝CE，
∴1 m＝2 0，4 0＝2 n，
∴m＝ 1，n＝ 2，
∴D（ 1，0），E（0，2），
综上所述：D(1，0)，E(0，2)或D（ 1，0），E（0，2）；
（2）①设M（m，），则B（，），C（m，），
∵OB＝OC，
∴OB2＝OC2，
∴()2＋()2＝m2＋()2，解得，m2＝8，
∴OB＝；
②延长MC与x轴交于点A，
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设M（m，），则B（，），C（m，），A（m，0），
∴BM＝，MA＝，AC＝，CM＝，OA＝m，
∴S△OBC＝S梯形OAMB S△BCM S△OAC
＝(＋m) × m ＝3，
∴△BOC的面积是个定值．
【名师指路】
本题主要考查了反比例函数图象与性质 ( http: / / www.21cnjy.com )，一次函数的性质，待定系数法，平行四边形的性质，等腰三角形的性质，三角形的面积，关键在于分情况讨论，数形结合正确根据点的坐标特点表示线段长度．
23．（2021·江苏·无锡市天一实验学校八年级期中）如图在平面直角坐标系中，O为原点，A、B两点分别在y轴、x轴的正半轴上，△AOB的一条内角平分线、一条外角平分线交于点P，P在反比例函数的图象上．21·cn·jy·com
（1）求点P的坐标；
（2）若OA=OB，则：
①∠P的度数为 ．
②求出此时直线AB的函数关系式； ．
（3）如果直线AB的关系式为，且，作反比例函数，过点（0，1）作x轴的平行线与的图象交于点M，与的图象交于点N，过点N作y轴的平行线与的图象交于点Q，是否存在k的值，使得MN+ON的和始终是一个定值d，若存在，求出k的值及定值d；若不存在，请说明理由．
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【标准答案】（1）P（2，2）；（2）①22.5°；②y＝ x＋4 2；（3）故不存在k的值，使得MN＋QN的和始终是一个定值d．www-2-1-cnjy-com
【思路指引】
（1）过P作PC⊥x轴于C，作PD⊥y轴于点D，PE⊥AB于E，根据角平分线性质得PC＝PD，再根据反比例函数的解析求得P点坐标；
（2）①由等三角形的外角定理求得∠BAD的度数，再由角平分线求得∠PAD和∠POA的度数，进而由三角形外角定理求得结果；
②过P作PD⊥y轴于点D，由角平分线得PH＝PD，进而求得OH，OA，得出A、B两点坐标，再用待定系数法求得AB的解析式；
（3）由已知点P的坐标，根据已知条件求出M、N、Q的坐标，再求得MN＋NQ的解析式，根据解析式的特点进行解答便可．
【详解详析】
解：（1）过P作PC⊥x轴于C，作PD⊥y轴于点D，PE⊥AB于E，如图1，
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∵AP和OP分别是∠BAF和∠ABC的平分线，
∴PC＝PE＝PD，
设PC＝a，则P（a，a），
把P（a，a）代入中得，a2＝4，
∴a＝＝2，
∴P（2，2）；
（2）①∵OA＝OB，∠AOB＝90°，
∴∠OAB＝45°，
∴∠BAD＝135°，
∵AP和BP分别是∠BAF和∠ABC的平分线，
∴∠PAD＝67.5°，∠POA＝45°，
∴∠APO＝∠PAD ∠POA＝22.5°，
故答案为：22.5°；
②解：过P作PD⊥y轴于点D，如图2，
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∵OA＝OB，OP平分∠AOB，
∴OP⊥AB，
∵AP平分∠BAD，
∴PH＝PD，
由（1）知P（2，2），
∴PH＝PD＝OD＝2，OP＝2，
∴OH＝2 2，
∴OB＝OA＝OH＝4 2，
∴A（0，4 2），B（4 2，0），
设直线AB的解析式为：y＝mx＋n（m≠0），则
，
解得，，
∴直线AB的解析式为：y＝ x＋4 2；
（3）把y＝1代入中，得x＝4，
∴M（4，1），
把y＝1代入中，得x＝ n，
∴N（ n，1）．
把x＝ n代入 y＝kx＋n 中，得y＝ kn＋n，
∴Q（ n， kn＋n），
∴MN＋QN＝（4＋n）＋| kn＋n 1|，
当MN＋QN＝4＋n kn＋n 1＝ kn＋2n＋3＝（ k＋2）n＋3时，
∵0＜n＜2，
∴当k＝2时，MN＋QN为定值，定值d＝3．（∵k＜0，不合题意，舍去）；
当MN＋QN＝4＋n＋kx n＋1＝kn＋5时，
∵0＜n＜2，
∴当k＝0时，MN＋QN为定值，定值d＝5．（∵k＜0，不合题意，舍去）；
综上，不论k为何值时，MN＋NQ都不能为定值．
故不存在k的值，使得MN＋QN的和始终是一个定值d．
【名师指路】
本题主要考查了一次函数图象 ( http: / / www.21cnjy.com )与性质，反比例函数的图象与性质，角平分线的性质，直角三角形的性质，三角形的外角性质，第（2）题关键是求出OA的长度，第（3）题关键是用k、n的代数式表示MN＋NQ．
24．（2021·江苏·高港实验学校八年级月考）如图在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数在第一象限交于点，点的横坐标为是反比例函数图像上的一点，轴交反比例函数于点．
（1）求出的值；
（2）用含的代数式表示线段的长；
（3）是否存在点，使是以为底的等腰三角形，若存在求出，若不存在说明理由；
（4）以为边长，在的下方作正方形，判断边与反比例函数图像是否有交点，若有求出交点坐标，若没有请说明理由．
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【标准答案】（1）16；（2）；（3）不存在，理由见解析；（4）没有交点，理由见解析
【思路指引】
（1）先求出点坐标代入解析式可求解；
（2）由（1）得到反比例函数表达式，可得点M坐标，根据MN∥x轴得到点N坐标，结合点M坐标得到MN；
（3）先求出点坐标代入解析式，可求的值，与题意相矛盾；
（4）求出点A坐标，判断出点A在双曲线的上方，即可求解．
【详解详析】
解：（1）一次函数的图象过点，
，
点，
反比例函数过点，
；
（2）由（1）可知：反比例函数的解析式为，
点，
轴，
点，，
；
（3）不存在，
理由如下：若是以为底的等腰三角形，
点在的垂直平分线上，
点，
点在直线上，
，
∴，
，
不合题意舍去，
不存在点，使是以为底的等腰三角形；
（4）没有交点，
理由如下：四边形是正方形，
，，
点，，
当时，，
，
，
点在双曲线的上方，
与反比例函数图象没有交点．
【名师指路】
本题是反比例函数综合题，考查了待定系数法求解析式，等腰三角形的性质，正方形的性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．21·世纪*教育网
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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