广东省梅州市梅江区梅州中学2020-2021高二下学期数学周练（5）（含答案）

2021年梅州中学高二下学期第五周周练试卷
一、选择题（每小题5分，共8小题40分）
1. 设集合,,则( )
A. B. C. 或 D.
2. 已知复数(其中为虚数单位),则的共轭复数的虚部为( ) A. B. C. D.
3. 据《孙子算经》中记载,中国古代诸侯的等级从低到高分为:男 子 伯,侯 公,共五级.若给有巨大贡献的人进行封爵,假设每种封爵的可能性相等,则人中恰好有两人被封同一等级的概率为( )
A. B. C. D.
4. 在中,内角,,所对的边分别为,,,已知,,成等差数列,则的最小值为( )
A. B. C. D.
5. 音乐与数学有着密切的联系,我国春秋时期有个著名的“三分损益法”:以“宫”为基本音,“宫”经过一次“损”,频率变为原来的,得到“徵”;“徵”经过一次“益”,频率变为原来的,得到“商”;…….依次损益交替变化,获得了“宫、徵、商、羽、角”五个音阶.据此可推得( )
A. “宫、商、角”的频率成等比数列 B. “宫、徵、商”的频率成等比数列
C. “商、羽、角”的频率成等比数列 D. “徵、商、羽”的频率成等比数列
6. 《九章算术》中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马,将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳌臑.在鳌臑中,平面,,,鳌臑的四个顶点都在同一个球上,则该球的表面积是( ) A. B. C. D.
7. 已知双曲线(,)的左、右焦点分别为,,过的直线与双曲线的左、右两支分别交于,两点,若为等边三角形,则双曲线的离心率为( ) A. B. C. D.
8. 设函数是定义在上的可导函数,其导函数为,且有,则不等式的解集为( )
A. B. C. D.
二、多选题（每小题5分，共4小题20分）
9. 下列有关命题的说法不正确的是( )
A. 命题“若,则”的否命题为:“若,则”
B. 若为真命题,为假命题,则均为假命题
C. 命题“若成等比数列,则”的逆命题为真命题
D. 命题“若,则”的逆否命题为真命题
10. 下列说法错误的是（ ）
A. 客运列车在哈尔滨与A站之间运行，沿途要停靠5个车站，那么哈尔滨与A站之间需要安排42种不同的车票。B. 将4个不同的小球放入3个不同的盒子，其中有的盒子可能没有放球，则总的方法共有36种
C. 某公共汽车上有名乘客,沿途有个车站,乘客下车的可能方式有种
D. 3个班分别从5个风景点中选择一处游览，不同选法的种数是
11. (2020德州一模)某市教体局对全市高三年级的学生身高进行抽样调查,随机抽取了名学生,他们的身高都处在五个层次内,根据抽样结果得到统计图表,则下面叙述正确的是( )
A. 样本中女生人数多于男生人数 B. 样本中层人数最多
C. 样本中层次男生人数为人
D. 样本中层次男生人数多于女生人数
12. 己知函数()的零点构成一个公差为的等差数列,把函数的图像沿轴向左平移个单位,得到函数的图像,关于函数,下列说法不正确的是( )
A. 在上是增函数 B. 其图像关于直线对称
C. 函数是奇函数 D. 在区间上的值域为
三、填空题（每小题5分，共4小题20分）
13. 若,且,则与的夹角为__________.
14. 每年的9月初是高校新生到校报道的时间,此时学生会将组织师兄师姐做好迎接接待工作,若某学院只有3位师兄在迎新现场,突然来了4位新生,要求一次性派发完迎新指引工作(可以有1位师兄接待2位新生),则安排方案有__________种.(用数字作答)
15. 若圆与直线相切,则双曲线的离心率为__________.
16. 如图是函数的大致图象,则等于__________.
四、解答题（共6小题70分）
17. 若,,分别为内角,,的对边,且.
(1)求角;
(2)若,________,求. 在①,②,③,这三个条件中,任选一个,补充在问题中,并加以解答.
18. 已知是等差数列,且,. (1)求数列的通项公式; (2)若,,是等比数列的前项,求的值及数列的前项和.
19. 共享单车是指由企业在校园、公交站点、商业区、公共服务区等场所提供的自行车单车共享服务,由于其依托“互联网+”,符合“低碳出行”的理念,已越来越多地引起了人们的关注某部门为了对该城市共享单车加强监管,随机选取了人就该城市共享单车的推行情况进行问卷调查,并将问卷中的这人根据其满意度评分值百分制按照,,,分成组,制成如图所示频率分直方图.
(1)求图中的值;
(2)求这组数据的平均数和中位数;
(3)已知满意度评分值在内的男生数与女生数的比为,若在满意度评分值为的人中随机抽取人进行座谈,求恰有名女生的概率.
20. 如图,在三棱柱中,平面,,点分别在棱和棱上,且为棱的中点.
(1)求证:;
(2)求二面角的正弦值;
(3)求直线与平面所成角的正弦值.
21. 若、分别是椭圆的左、右焦点,是该椭圆上的一个动点,且,.
(1)求椭圆的方程.
(2)是否存在过定点的直线与椭圆交于不同的两点、,使(其中为坐标原点) 若存在,求出直线的斜率;若不存在,说明理由.
22. 已知函数.
(1)求的单调区间与极值；
(2)若在上有解,求的取值范围.
2021年梅州中学高二下学期第五周周练答卷
班级 姓名 座号 分数
单选题
1 2 3 4 5 6 7 8
多选题
9 10 11 12
填空题
13 14 15 16
解答题
17. 若,,分别为内角,,的对边,且.
(1)求角;
(2)若,________,求. 在①,②,③,这三个条件中,任选一个,补充在问题中,并加以解答.
18. 已知是等差数列,且,.
(1)求数列的通项公式;
(2)若,,是等比数列的前项,求的值及数列的前项和.
19. 共享单车是指由企业在校园、公交站点、商业区、公共服务区等场所提供的自行车单车共享服务,由于其依托“互联网+”,符合“低碳出行”的理念,已越来越多地引起了人们的关注某部门为了对该城市共享单车加强监管,随机选取了人就该城市共享单车的推行情况进行问卷调查,并将问卷中的这人根据其满意度评分值百分制按照,,,分成组,制成如图所示频率分直方图.
(1)求图中的值;
(2)求这组数据的平均数和中位数;
(3)已知满意度评分值在内的男生数与女生数的比为,若在满意度评分值为的人中随机抽取人进行座谈,求恰有名女生的概率.
20. 如图,在三棱柱中,平面,,点分别在棱和棱上,且为棱的中点.
(1)求证:;
(2)求二面角的正弦值;
(3)求直线与平面所成角的正弦值.
21. 若、分别是椭圆的左、右焦点,是该椭圆上的一个动点,且,.
(1)求椭圆的方程.
(2)是否存在过定点的直线与椭圆交于不同的两点、,使(其中为坐标原点) 若存在,求出直线的斜率;若不存在,说明理由.
22. 已知函数.
(1)求的单调区间与极值； (2)若在上有解,求的取值范围.
2021年梅州中学高二下学期第五周周练答案
1 2 3 4 5 6 7 8
B C D A A C C C
多选题
9 10 11 12
ABC BC ABC ABC
填空题
13 14 36 15 、 16、
第3题： 【解析】由题意,每个人被封爵都有5种情况,因此对3人封爵,共有种, 3人中恰好有两人被封同一等级共有种情况; 则3人中恰好有两人被封同一等级的概率为.
第5题：【解析】设“宫”的频率为,由题意经过一次“损”,可得“徵”的频率是; “徵”经过一次“益”,可得“商”的频率是, “商”经过一次“损”,可得“羽”的频率是; 最后“羽”经过一次“益”,可得“角”的频率是, 由于,,成等比数列,所以“宫、商、角”的频率成等比数列.
第6题： 【解析】四棱锥的四个面都是直角三角形, ∵,∴,又平面,∴,∴平面∴,取中点,则是外接球球心. 由得,又,则,, 所以球表面积为.
第7题： 【解析】取的中点,连结,设,则,,因为,所以,,,从而,.
第8题： 【解析】由, 得:,即, 令,则当时, 得,即在上是减函数,
∴,, 即不等式等价为, ∵在是减函数, ∴由得,, 即,又,解得:, 故.
第10题： 【解析】A选项、个站之间的线路共有条，所以需要安排种不同的车票. B选项、对于四个小球放入三个盒子的可能与机会是均等的，故每个都可能放入三个盒子中的任意一个之中，由分步计数原理可得所有方法种数为：， C选项、由分步乘法计数原理知:有(种)方法. D选项、因为每个班只能选择一处游览，所以按班分成3步，而每个班都只能从5个风景点中任选一个，则共有种．
第12题： 【解析】,函数图象与轴交点的横坐标构成一个公差为的等差数列,故函数的最小正周期为,所以,函数图象沿轴向左平移个单位得,,故为偶函数,并在区间上为减函数,所以A、C错误;,所以B错误;因为,所以,,所以D正确.故选ABC.
第15题：【解析】本题考查直线与圆的位置关系,双曲线离心率的求法.圆的方程化为标准方程是,圆心为,半径,由题意,圆心到直线的距离为,得,∴双曲线的离心率为.
第16题： 【解析】根据图象知的根为,,解得:,,令,是的两个根,,,.
第17题：
【解析】(1)∵,∴,
∴,∵,∴, ∵,∴.
(2)①选条件,∴,解得. ②选条件,∴,解得. ③选条件,∴,由余弦定理, 可得,解得.
第18题：【解析】(1)数列是等差数列,设公差为,且,. 则:, 解得:, 所以. (2)若,,是等比数列的前项, 则,根据等差数列的通项公式得, 代入上式解得;,,是等比数列的前项,,, 所以根据等比数列的通项公式可得. 则, 故:,,.
第19题：
【解析】(1)由,解得.
(2)这组数据的平均数为,中位数设为,则,解得.
(3)满意度评分值在内有人,其中男生人,女生人.记为,,,,,记为满意度评分值在的人中随机抽取人进行座谈,恰有名女生”为事件,通过列举知总基本事件个数为个,包含的基本事件个数为个,利用古典概型概率公式可知.
第20题：
【解析】依题意,以为原点,分别以、、的方向为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系(如图),可得,,,,,,,,. (1)依题意,,, 从而,所以;
(2)依题意,是平面的一个法向量,,. 设为平面的一个法向量, 则,即, 不妨设,可得, ∴,. 所以,二面角的正弦值为; (3)依题意,. 由(2)知为平面的一个法向量,于是. 所以,直线与平面所成角的正弦值为.
第21题： 【解析】(1)依题意,得,,∴,,∴. ∴椭圆的方程为. (2)存在.理由如下: 显然当直线的斜率不存在,即时,不满足条件. 故由题意可设的方程为. 由、是直线与椭圆的两个不同的交点, 设,,由消去,并整理,得, 则,.,解得. ∵,∴, 即, ∴.∴. ∴存在斜率的直线与椭圆交于不同的两点、,使.
第22题： 【解析】(1), 令得或；令得, ∴在上递减,在和上递增, ∴在处取极大值,且极大值为,在处取极小值,且极小值为.
(2)当时,不等式无解. 当时,,设, 当时,,∴在上递减,∴, 当时,,令,得；令,得, ∴,∴, 综上,的取值范围为.