广东省梅州市梅江区梅州中学2020-2021高二下学期数学周练（10）（PDF版，含答案）

2021 年梅州中学高二下学期第十周周练试卷
一、选择题（每小题 5 分，共 8 小题 40 分）
1. 直线 被圆 截得的弦长为( )
A. B. C. D.
2. 已知复数 , 是它的共轭复数,则 ( )
A. B. C. D.
3. 在 的展开式中,含 项的系数是( )
A. B. C. D.
4. “ ”是“方程 表示双曲线”的( )
A. 充分但不必要条件 B. 必要但不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
5. 已知函数 ,其图象可能是( )
A. B. C. D.
6. 已知集合 , ,若 ,则实数 的取值范围是( )
A. B. C. D.
7. 已知平面图形 , 为矩形, , 是以 为顶点
的等腰直角三角形,如图所示,将 沿着 翻折至 ,当四棱锥
体积的最大值为 ,此时四棱锥 外接球的表面积
为( ) A. B. C. D.
8. 如图,在 中, 是边 上的点,且 , , ,则 的值为
( )
1
A. B.
C. D.
二、多选题（每小题 4 分，共 4 小题 16 分）
9. 已知函数 , ,则下列结论正确的是( )
A. 函数 的图象关于原点对称 B. 在区间 上, 的最大值为
C. 将 的图象向左平移 个单位,得到 的图象,若 , , 为两个函数的交点,则 面
积的最小值为
D. 若将函数 的图象上的各点的横坐标伸长为原来的 倍得到函数 的图象,则函数
零点的个数为
10. 关于 的展开式,下列结论正确的是( )
A. 奇数项的系数和为 B. 所有项的系数和为
C. 只有第 项的二项式系数最大 D. 含 项的系数为
11. 下列命题中,正确的命题是( )
A. 已知随机变量服从二项分布 ,若 , ,则
B. 已知 ,则
C. 设随机变量 服从正态分布 ,若 ,则
D. 某人在 次射击中,击中目标的次数为 , ,则当 时概率最大
2
12. 已知函数 ,下列是关于函数 的零点个数的 个判断,正确的是( )
A. 当 时,有 个零点 B. 当 时,有 个零点
C. 当 时,有 个零点 D. 当 时,有 个零点
三、填空题（每小题 5 分，共 4 小题 20 分）
13. 设等差数列 的前 项和为 ,若 ,则 __________.
14. 函数 在 上的最大值为__________.
15. 设随机变量 ,随机变量 ,若 ,则 ______________.
16. 《中国诗词大会》(第三季)亮点颇多,在“人生自有诗意”的主题下,十场比赛每场都有一首特别设计的
开场诗词在声光舞美的配合下,百人团齐声朗读,别有韵味.若《沁园春 长沙》、《蜀道难》、《敕勒歌》、
《游子吟》、《关山月》、《清平乐 六盘山》排在后六场,且《蜀道难》排在《游子吟》的前面,《沁园春
长沙》与《清平乐 六盘山》不相邻且均不排在最后,则后六场的排法有__________种.(用数字作答)
三、解答题
17．（10分）在① ac 3，② c sin A 3，③ c 3b这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题
中的三角形存在，求 c的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．

问题：是否存在△ABC，它的内角 A,B,C的对边分别为 a,b,c，且 sin A 3 sin B，C ，________ 6
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
18.(12分)已知正项等差数{an}中，a1a5=33 2， a2 =25.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2) a N b 4n 2若 n∈ ， n 3an ，求{bn}的前 n项和 Tn.
19. 某超市计划按月订购一种酸奶,每天进货量相同,进货成本每瓶 元,售价每瓶 元,未售出的酸奶降
价处理,以每瓶 元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验,每天需求量与当天最高气温(单位: )有
关.如果最高气温不低于 ,需求量为 瓶;如果最高气温位于区间 ,需求量为 瓶;如果最
高气温低于 ,需求量为 瓶.为了确定六月份的订购计划,统计了前三年六月份各天的最高气温数据,
3
得下面的频数分布
表:
以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率. (1)求六月份这种酸奶一天的需求量 (单
位:瓶)的分布列; (2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为 (单位:元),当六月份这种酸奶一天的进货量
(单位:瓶)为多少时, 的数学期望达到最大值
20（12 分）
21 已知椭圆 : 的离心率为 ,点 , 是椭圆 的左右焦点,点 是 上
任意一点,若 面积的最大值为 . (1)求椭圆 的标准方程; (2)直线 : 与椭圆 在第
一象限的交点为 ,直线 : 与椭圆 交于 , 两点,连接 , ,与 轴分别
交于 , 两点,求证: 始终为等腰三角形.
22. 已知函数 . (1)若函数 在 上为单调函数,求 的取值范围; (2)已知
, ,求证: .
4
2021 年梅州中学高二下学期第十周周练答卷
班级 姓名 座号 分数
一、单选题
1 2 3 4 5 6 7 8
二、多选题
9 10 11 12
三、填空题
13 14 15 16
三、解答题
17、
5
18、
19、
6
20（12 分）
7
21、
22、
8
2021 年梅州中学高二下学期第十周周练答卷
一、单选题
1 2 3 4 5 6 7 8
C D C A A B C D
二、多选题
9 10 11 12
BC BD BCD CD
三、填空题
13 24 14 15 6 16 144
17．解：
方案一：选条件①． 方案二：选条件②． 方案三：选条件③．
由C

和余弦定理 由C 和余弦定理 由C 和余弦定理
6 6 6
a2 b2 c2 3 a2 b2 c2 3 a2 b2 c2 3
得 ． 得 ． 得 ．
2ab 2 2ab 2 2ab 2
由 sin A 3 sin B及 由 sin A 3sin B及 由 sin A 3 sin B及
正弦定理得 a 3b． 正弦定理得 a 3b． 正弦定理得 a 3b．
于是 于是 于是
3b2 b2 c2 3 3b2 b2 c2 3 3b2 b2 c2 3

2 3b2
，由此可 ，由此可 ，由此可
2 2 3b2 2 2 3b2 2
得 b c． B C 2 得 b c， ，A ． 得b c．
6 3
由① ac 3，解得 由② csin A 3，所以 由③ c 3b，与
a 3,b c 1． c b 2 3,a 6． b c矛盾．
因此，选条件③时问题中
因此，选条件①时问 因此，选条件②时问
的三角形不存在．
题中的三角形存在，此时 题中的三角形存在，此时
c 1． c 2 3．
18、【解析】（1）设正项等差数列 an 的公差为 d ，
因为 a22 25，所以 a2 5，所以a1 d 5， （1分）
9
又 a1a5 33
4
，所以 a1(a1 4d ) 33，得 d 2或 d （2分）3
当 d 2时， a1 3，此时 an 3 2(n 1) 2n 1； （4分）
当 d 4 11 11 4 4 7 时， a1 ，此时 an (n 1) n . （6分）3 3 3 3 3 3
注：得到 d的两个值得 2分，只算出一个的扣 1分；这一问整体只得到一个正确的通项公式的得 3分。
（2）因为an N ，所以 an 2n 1. （8分）
因为b n 2n 4 3an，所以bn 4
n 2 3(2n 1)， （9分）
所以T 4 1 3 3 40 3 5 41n 3 7 4
n 2 3(2n 1)
(4 1 40 41 4n 2 ) 3[3 5 7 (2n 1)]
1 (1 4n )
4 3 (3 2n 1)n
4n 1 3n2 6n 1 .
1 4 2 3 12
（12分）
注：1、没有写出 an 2n 1直接得到bn 4
n 2 3(2n 1)
不扣分。
2、若求和是分步求解的，每一个和式各 1分，最后答案合并 1分
19. 【解析】(1)需求量 可取
. ; ; . 则分
布列为:
(2) ①当 时: ,此时 ,当 时取到.
②当 时: , 此时
,当 时取到.③当
时, , 此时
. ④当 时,易知 一定小于③的情况. 综上所述:当 时, 取到最大值为 .
20（12 分）
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21. 已知椭圆 : 的离心率为 ,点 , 是椭圆 的左右焦点,点 是 上
任意一点,若 面积的最大值为 . (1)求椭圆 的标准方程; (2)直线 : 与椭圆 在第一
象限的交点为 ,直线 : 与椭圆 交于 , 两点,连接 , ,与 轴分别交于
, 两点,求证: 始终为等腰三角形.
【解析】(1)由 , 可得 ,由 面积的最大值为
知, ,解得 , , ,∴椭圆 的方程为 . (2)证明:联立
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,解得 . 联立 得 , ∵直线 与椭圆 交于
, 两点, ∴ ,∴ ,且 , 设直线 , 的斜率分
别为 , , 设 , ,则 , . 又
, , , , 则
,
∴ ,从而 始终为等腰三角形.
22、【解析】(1)由题意,函数 ,则 , 若 为单调递增,则
在 上恒成立,则 ; 若 为单调递减,则
在 上恒成立,则 . 所以, 的取值范围是 .
(2)由题意,要证 ,即证 ,即证 , 令
,可得 , 当 , ,函数 单调
递减, 当 , ,函数 单调递增. 所以 , 因为 ,所以
, 故当 时,对于任意 , .
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