初中数学苏科版八年级上册3.3勾股定理的应用 同步练习

初中数学苏科版八年级上册3.3勾股定理的应用 同步练习
一、单选题
1．（2020八上·盐城期中）如图，在赵爽弦图中，已知直角三角形的短直角边长为a，长直角边长为b，大正方形的面积为20，小正方形的面积为4，则 的值是（　　）
A．10 B．8 C．7 D．5
2．（2020八上·常熟月考）如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底墙到左墙角的距离为1.5m，顶端距离地面2m，如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面0.7m，那么小巷的宽度为（　　）
A．3.2m B．3.5m C．3.9m D．4m
3．（2020八上·无锡月考）如图.在五边形ABCDE中，∠BAE＝136°，∠B＝∠E＝90°，在BC、DE上分别找一点M、N，使得△AMN的周长最小时，则∠AMN＋∠ANM的度数为（　　）
A．84° B．88° C．90° D．96°
4．（2020八上·沭阳月考）如图，直线L是一条河，P，Q是两个村庄.欲在L上的某处修建一个水泵站，向P，Q两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则所需管道最短的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2020八上·沭阳月考）如图，四边形ABCD中，∠BAD＝120°，∠B＝∠D＝90°，在BC，CD上分别找一点M、N，使△AMN周长最小时，则∠AMN＋∠ANM的度数为（　　）
A．130° B．120° C．110° D．100°
6．（2020八上·常熟月考）如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离 为0.7米，梯子顶端到地面的距离 为2.4米，如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，梯子顶端到地面的距离 为1.5米，则小巷的宽为（　　）
A．2.5米 B．2.6米 C．2.7米 D．2.8米
7．（2019八上·海安月考）如图，四边形 中， ，在 、 上分别找一点 ，使 周长最小时，则 的度数为（　　）
A． B． C． D．
8．（2018八上·张家港期中）如图，由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的大正方形图案是某届国际数学大会的会标，如果大正方形的面积为16，小正方形的面积为3，直角三角形的两直角边分别为a和b，那么 的值为（　　）
A．256 B．169 C．29 D．48
9．（2018八上·江都期中）如图，设正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，黑、白两个甲壳虫同时从点A出发，以相同的速度分别沿棱向前爬行，黑甲壳虫爬行的路线是AA1→A1D1→……，白甲壳虫爬行的路线是AB→BB1→……，并且都遵循如下规则：所爬行的第n＋2与第n条棱所在的直线必须是既不平行也不相交（其中n是正整数）．那么当黑、白两个甲壳虫各爬行完第2018条棱分别停止在所到的正方体顶点处时，它们之间的距离是（　　）
A．0 B． C． D．1
10．（2018八上·江阴期中）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若 ，大正方形的面积为13，则小正方形的面积为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
11．（2018八上·扬州月考）如图是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案.已知大正方形面积为49，小正方形面积为4，若用x，y表示直角三角形的两直角边(x>y)，下列四个说法：①x2＋y2＝49；②x－y＝2；③2xy＋4＝49；④x＋y＝9.其中说法正确的是（　　）
A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④
12．（2017八上·高州月考）为了庆祝国庆，八年级（1）班的同学做了许多拉花装饰教室，小玲抬来一架2.5米长的梯子，准备将梯子架到2.4米高的墙上，则梯脚与墙角的距离是（　　）
A．0.6米 B．0.7米 C．0.8米 D．0.9米
13．（2016八下·启东开学考）如图，∠AOB=30°，∠AOB内有一定点P，且OP=10．在OA上有一点Q，OB上有一点R．若△PQR周长最小，则最小周长是（　　）
A．10 B．15 C．20 D．30
14．如图，一根木杆在离地面3m处折断，木杆顶端落在离木杆底端4m处，木杆折断之前的高度是（　　）
A．5m B．6m C．7m D．8m
15．如图所示，有一根高为16米的电线杆A处断裂，电线杆顶部C落在高电线杆底部B点8米远的地方，则电线杆断裂处A离地面的距离AB的长为（　　）
A．6米 B．7米 C．8米 D．9米
二、填空题
16．（2021八上·建邺期末）如图，将两个边长为1的小正方形，沿对角线剪开，重新拼成一个大正方形，则大正方形的边长是　 　.
17．（2021八上·崇川期末）《九章算术》是中国传统数学的重要著作之一，奠定了中国传统数学的基本框架.如图所示是其中记载的一道“折竹”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺，问折者高几何？”题意是：一根竹子原高1丈（1丈=10尺），中部有一处折断，竹梢触地面处离竹根3尺，试问折断处离地面多高？答：折断处离地面　 　尺高.
18．（2021八上·兴化期末）如图，一个池塘，其底面是边长为10尺的正方形，一棵芦苇 生长在它的中央，高出水面的部分 为1尺．如果把这根芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，芦苇的顶部 恰好碰到岸边的 ，则这根芦苇的长度是　 　尺．
19．（2020八上·扬州期中）甲、乙两人同时从同一地点出发，甲往东走了9 km，乙往南走了12 km，这时两人相距　 　km.
20．（2020八上·泰兴期中）如图，△ABC中，∠C=90°，CA=CB，AB=6，点D在射线AB上运动，当AD、CD的长度都为整数时，则AD=　 　.
21．（2020八上·兴化月考）如图，以直角三角形各边向外作正方形，其中两个正方形的面积分别为225和144，则正方形A的面积为　 　.
22．（2020八上·江苏月考）如图，已知∠MON＝40°，P为∠MON内一定点，OM上有一点A，ON上有一点B，当△PAB的周长取最小值时，∠APB的度数是　 　°.
23．（2020八下·海安月考）如右图，一只蚂蚁沿着边长为2的正方体表面从点A出发，经过3个面爬到点B，如果它运动的路径是最短的，则此最短路径的长为　 　.
24．（2019八上·东台期中）如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A、B、C、D的边长分别是2，3，1，2，则最大正方形E的面积是　 　.
25．（2019八上·惠山期中）如图，图中的三角形是直角三角形，所有四边形都是正方形，正方形A的边长为7,另外四个正方形中的数字x, y分别表示该正方形面积，则x与y的数量关系是　 　.
26．（2019八上·宜兴期中）如图，已知所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大正方形的边长为5，则A，B，C，D四个小正方形的面积之和等于　 　 .
27．（2019八上·江阴期中）如图，在一个高为3米，长为5米的楼梯表面铺地毯，则地毯长度为　 　米.
28．（2019八上·泰兴期中）如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪A处的正前方30m的C处，过了2s后，测得小汽车与车速检测仪间的距离为50m，则这辆小汽车的速度是　 　m/s.
29．（2019八上·海州期中）如图，将一根长12厘米的筷子置于底面直径为6厘米，高为8厘米的圆柱形杯子中，则筷子露在杯子外面的长度至少为　 　厘米.
30．（2018八上·灌云月考）如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A、B、C、D的面积分别为2，5，1，2.则最大的正方形E的面积是　 　.
31．（2018八上·大丰期中）小红从旗台出发向正北方向走6米，接着向正东方向走8米，现在她离旗台的距离是　 　米．
三、综合题
32．（2021八上·泰州期末）如图，长7.5m的梯子靠在墙上，梯子的底部离墙的底端4.5m.
（1）求梯子的顶端到地面的距离；
（2）由于地面有水，梯子底部向右滑动1.5m，则梯子顶端向下滑多少米？
33．（2020八上·宿迁期中）某班级在探究“将军饮马问题”时抽象出数学模型：
直线 同旁有两个定点A、B，在直线 上存在点P，使得PA十PB的值最小.解法：如图1，作点A关于直线 的对称点A'，连接A'B， 则A'B与直线 的交点即为P，且PA＋PB的最小值为A'B.
请利用上述模型解决下列问题；
（1）如图2，ΔABC中，∠C=90°，E是AB的中点，P是BC边上的一动点，作出点P，使得PA＋PE的值最小；
（2）如图3，∠AOB=30°，M、N分别为OA、OB上一动点，若OP=5，求ΔPMN的周长的最小值.
34．（2020八上·赣榆期中）如图，在一条东西走向河流的一侧有一村庄 河边原有两个取水点 其中 由于某种原因，由 到 的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点 在同一条直线上），并新修一条路 测得 千米， 千米， 千米.
（1）问 是否为从村庄 到河边的最近路.请通过计算加以说明；
（2）求新路 比原路 少多少千米.
35．（2020八上·常州月考）如图：
（1）四年一度的国际数学大会于2002年8月20日在北京召开.大会会标如图甲.它是由四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形.若大正方形的面积为15，每个三角形两条直角边的和是5，求中间小正方形的面积.
（2）现有一张长为6.5cm、宽为2cm的纸片，如图，请你将它分割成6块，再拼合成一个正方形.(要求：先在图乙中画出分割线,再画出拼成的正方形并标明相应数据)
36．（2020八上·常熟月考）如图，在吴中区上方山动物园里有两只猴子在一棵树CD上的点B 处，且BC=5m，它们都要到池塘A处吃东西，其中一只猴子甲沿树爬至C再沿CA 走到离树24m处的池塘A处，另一只猴子乙先爬到树顶D处后再沿缆绳DA线段滑到A处.已知猴子甲所经过的路程比猴子乙所经过的路程多2m，设BD为xm.
（1）请用含有x的整式表示线段AD的长为　 　m；
（2）求这棵树高有多少米？
37．（2020八下·海安月考）如图，两条公路 、 交予点 ，在公路 旁有一学校 ，与 点的距离为 ，点 （学校）到公路 的距离 为 .一大货车从 点出发，行驶在公路 上，汽车周围 范围内有噪音影响.
（1）货车开过学校是否受噪音影响？为什么？
（2）若汽车速度为 ，则学校受噪音影响多少秒钟？
38．（2019八上·惠山期中）如图，居民楼与马路是平行的，在一楼的点A处测得它到马路的距离为9m，已知在距离载重汽车41m处就可受到噪声影响.
（1）试求在马路上以4m/s速度行驶的载重汽车，能给一楼A处的居民带来多长时间的噪音影响？
（2）若时间超过25秒，则此路禁止该车通行，你认为载重汽车可以在这条路上通行吗？
39．（2018八上·邗江期中）小明剪了两张直角三角形纸片，进行了如下的操作：
操作一：如图1，将Rt△ABC沿某条直线折叠，使斜边的两个端点A与B重合，折痕为DE．
（1）操作一：如图1，将Rt△ABC沿某条直线折叠，使斜边的两个端点A与B重合，折痕为DE．
①如果AC＝6cm，BC＝8cm，则△ACD的周长为cm；　 　
② 如果∠B =35° ，则∠CAD=　 　 度；
（2） 操作二：如图2，小明拿出另一张Rt△ABC纸片，将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，若AC＝9cm，BC＝12cm，请求出CD的长．
40．（2018八上·盐城期中）如图，花果山上有两只猴子在一棵树CD上的点B处，且BC=5m，它们都要到A处吃东西，其中一只猴子甲沿树爬下走到离树10m处的池塘A处，另一只猴子乙先爬到树顶D处后再沿缆绳DA线段滑到A处．已知两只猴子所经过的路程相等，设BD为xm．
（1）请用含有x的整式表示线段AD的长为　 　m；
（2）求这棵树高有多少米？
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：设大正方形的边长为c，则c2＝20，小正方形的面积（a b）2＝4，
∵a2＋b2＝c2＝20，（a b）2＝4，
∴a2＋b2 2ab＝4，即20 2ab＝4.
∴ab＝8.
故答案为：B.
【分析】设大正方形的边长为c，可得c2＝20，根据勾股定理可得a2＋b2＝c2＝20①，由题意得小正方形的面积（a b）2＝4②，联立①②即可求出结论.
2．【答案】C
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：如图，在Rt△ACB中，
∵∠ACB＝90°，BC＝1.5米，AC＝2米，
∴AB2＝1.52+22＝6.25，∴AB=2.5米，
在Rt△A′BD中，∵∠A′DB＝90°，A′D＝0.7米，BD2+A′D2＝A′B2，
∴BD2+0.72＝6.25，
∴BD2＝5.76，
∵BD＞0，
∴BD＝2.4米，
∴CD＝BC+BD＝1.5+2.4＝3.9米.
故答案为：C.
【分析】如图，在Rt△ACB中，先根据勾股定理求出AB，然后在Rt△A′BD中根据勾股定理求出BD，进而可得答案.
3．【答案】B
【知识点】轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：如图示，作 关于 和 的对称点 ， A" ，连接 A'A"，交 于 ，交 于 ，则A'A" 即为 的周长最小值.
延长 ，作 于 点，
，
，
，
， ，
且 ， ，
，
故答案为：B.
【分析】根据要使 的周长最小，即利用点的对称，让三角形的三边在同一直线上，作出 关于BC和ED 的对称点A', A" ,即可得出∠AA'M+∠A"=44°, 进而得出∠ANN+∠ANM=2(∠AA'M+∠A")即可得出答案.
4．【答案】A
【知识点】轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：作点P关于直线L的对称点P′，连接QP′交直线L于M.
根据两点之间，线段最短，可知选项D铺设的管道，则所需管道最短.
故答案为：A.
【分析】利用对称的性质，通过等线段代换，将所求路线长转化为两定点之间的距离.
5．【答案】B
【知识点】轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】根据要使△AMN的周长最小，即利用点的对称，让三角形的三边在同一直线上，作出A关于BC和ED的对称点A′，A″，即可得出∠AA′M＋∠A″＝∠HAA′＝60°，进而得出∠AMN＋∠ANM＝2（∠AA′M＋∠A″）即可得出答案：
如图，作A关于BC和ED的对称点A′，A″，连接A′A″，交BC于M，交CD于N，
则A′A″即为△AMN的周长最小值.作DA延长线AH.
∵∠BAD＝120°，∴∠HAA′＝60°.
∴∠AA′M＋∠A″＝∠HAA′＝60°.
∵∠MA′A＝∠MAA′，∠NAD＝∠A″，
且∠MA′A＋∠MAA′＝∠AMN，
∠NAD＋∠A″＝∠ANM，
∴∠AMN＋∠ANM＝∠MA′A＋∠MAA′＋∠NAD＋∠A″＝2（∠AA′M＋∠A″）＝2×60°＝120°.
故答案为：B.
【分析】 由题意要使△AMN的周长最小，根据轴对称的性质，只需三角形的三边在同一直线上，作出点A关于BC和CD的对称点A′，A″，即可得出∠AA′M＋∠A″＝60°，于是可得∠AMN＋∠ANM＝2（∠AA′M＋∠A″）即可求解．
6．【答案】C
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：在Rt△ABC中，
AB= =2.5（米），
∴A′B=2.5米，
在Rt△A′BD中，
BD= =2（米），
∴BC+BD=2+0.7=2.7（米），
故答案为：C.
【分析】在Rt△ABC中，利用勾股定理计算出AB长，再在Rt△A′BD中利用勾股定理计算出BD长，然后可得CD的长.
7．【答案】C
【知识点】轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】作A关于BC和CD的对称点A′，A″，连接A′A″，交BC于M，交CD于N，则A′A″即为△AMN的周长最小值。
∵∠DAB=120°，
∴∠AA′M+∠A″=180° 120°=60°，
∵∠MA′A=∠MAA′，∠NAD=∠A″，
且∠MA′A+∠MAA′=∠AMN，∠NAD+∠A″=∠ANM，
∴∠AMN+∠ANM=∠MA′A+∠MAA′+∠NAD+∠A″=2(∠AA′M+∠A″)=2×60°=120°，
故答案为：C.
【分析】作A关于BC和CD的对称点A′，A″，连接A′A″，交BC于M，交CD于N，则A′A″即为△AMN的周长最小值，根据三角形的内角和可得∠AA′M+∠A″=180° 120°=60°，根据轴对称的性质及三角形外角的性质可得∠AMN=∠MA′A+∠MAA′=2∠AA′M，∠ANM=∠NAD+∠A″=2∠A″，从而求出结论.
8．【答案】C
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】大正方形的面积为16，得到它的边长为4，
即得a +b =4 =16，
由题意4× ab+3=16，
2ab=13，
所以(a+b) =a +2ab+b =16+13=29.
故答案为：C.
【分析】利用已知大小正方形的面积，可求出a +b =4 ，及4× ab+3=16，就可求出ab的值，然后求出答案。
9．【答案】B
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】根据爬行规则，黑、白两个甲壳虫爬行轨迹如下图：
从图中发现，发现周期为6条棱
……2,
即黑棋子在D1处，白棋子在B1处，它们之间的距离为线段D1 B1的长,
由勾股定理得：D1 B1= ，
故答案为：B
【分析】根据爬行规则，黑、白两个甲壳虫爬行轨迹如下图，根据表中找出规律，可知黑棋子在D1处，白棋子在B1处，它们之间的距离为线段D1 B1的长，然后利用勾股定理求解即可。
10．【答案】C
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】如图所示，∵ ，∴ =21，∵大正方形的面积为13，2ab=21﹣13=8，∴小正方形的面积为13﹣8=5．故答案为：C．
【分析】由勾股定理可得三角形的斜边长的平方为a2+b2；则大正方形的面积a2+b2=13，结合已知条件（a+b）2=21可求得2ab的值，而小正方形的面积=大正方形的面积-4
三角形的面积，代入计算即可求解。
11．【答案】B
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：由题意得： ，①﹣②得2xy=45 ③，∴2xy+4=49，①+③得x2+2xy+y2=94，∴（x+y）2=94，∴①②③正确，④错误.
故答案为：B.
【分析】根据勾股定理及正方形面积的计算方法列出方程 x2＋y2＝49①，结合图形小正方的边长为（ x－y ） ，又小正方形的面积是4，故列出方程（ x－y ）2=4 ②，用①﹣②得2xy=45，故2xy+4=49；用①+③得x2+2xy+y2=94，即（x+y）2=94，故x+Y=，综上所述即可一一判断得出答案。
12．【答案】B
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】依题意得：梯子、地面、墙刚好形成一直角三角形，梯高为斜边，利用勾股定理得：梯脚与墙角距离： =0.7（米）．
故答案为：B．
【分析】先根据题意画出图形，再根据题意相应的标注上各边长度，再根据勾股定理进行计算。
13．【答案】A
【知识点】轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：设∠POA=θ，则∠POB=30°﹣θ，作PM⊥OA与OA相交于M，并将PM延长一倍到E，即ME=PM．
作PN⊥OB与OB相交于N，并将PN延长一倍到F，即NF=PN．
连接EF与OA相交于Q，与OB相交于R，再连接PQ，PR，则△PQR即为周长最短的三角形．
∵OA是PE的垂直平分线，
∴EQ=QP；
同理，OB是PF的垂直平分线，
∴FR=RP，
∴△PQR的周长=EF．
∵OE=OF=OP=10，且∠EOF=∠EOP+∠POF=2θ+2（30°﹣θ）=60°，
∴△EOF是正三角形，∴EF=10，
即在保持OP=10的条件下△PQR的最小周长为10．
故选A．
【分析】先画出图形，作PM⊥OA与OA相交于M，并将PM延长一倍到E，即ME=PM．作PN⊥OB与OB相交于N，并将PN延长一倍到F，即NF=PN．连接EF与OA相交于Q，与OB相交于R，再连接PQ，PR，则△PQR即为周长最短的三角形．再根据线段垂直平分线的性质得出△PQR=EF，再根据三角形各角之间的关系判断出△EOF的形状即可求解．
14．【答案】D
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：∵一根木杆在离地面3m处折断，木杆顶端落在离木杆底端4m处，
∴折断的部分长为 =5，
∴折断前高度为5+3=8（米）．
故选D．
【分析】由题意得，在直角三角形中，知道了两直角边，运用勾股定理即可求出斜边，从而得出这棵树折断之前的高度．
15．【答案】A
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：设AB=x，则AC=16﹣x．
根据勾股定理，得x2+64=（16﹣x）2
∴x2+64=x2﹣32x+256，
∴32x=192，
解之得：x=6．
故选A．
【分析】根据题意，运用勾股定理，列方程求解即可．
16．【答案】
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：∵如图是两个边长为1的小正方形，
∴其对角线的长度 ，
∴大正方形的边长为 ，
故答案为： .
【分析】由题意可知大正方形的边长就是小正方形的对角线，所以用勾股定理可求得小正方形的对角线（即为大正方形的边长）.
17．【答案】
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：设竹子折断处离地面x尺，则斜边为（10-x）尺，
根据勾股定理得：x2+32=（10-x）2，
解得： ；
故答案为： .
【分析】设竹子折断处离地面x尺根据勾股定理建立方程，求解即可.
18．【答案】13
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】设芦苇长AB=AB′=x尺，则水深AC=(x-1)尺，
因为底面是边长为10尺的正方形，所以B'C=5尺
在Rt△AB'C中，52+(x-1)2=x2，
解之得x=13，
即芦苇长13尺．
故答案为：13．
【分析】设芦苇长为x尺，则水深为(x-1)尺，结合底面是正方形，在Rt△AB'C中，利用勾股定理列方程求解即可.
19．【答案】15
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：由题意得，甲乙二人所走路线构成一个直角，即∠C=90°，BC=9hm，AC=12cm，
在Rt△ABC中，
AB= km.
故答案为：15.
【分析】根据题意得甲乙二人所走路线构成一个直角，根据勾股定理即可求解.
20．【答案】3或7
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：过C点作CE⊥AB，
∵∠C=90°，CA=CB，AB=6，
∴AE=BE=CE=3，
设AD=x，则ED=|x-3|
则 ，
∵AD、CD的长度都为整数，
∴当x=3时， ,当x=7时， .
故答案为：3或7.
【分析】过C点作CE⊥AB，设AD=x，则ED=|x-3|，根据勾股定理表示CD，根据AD、CD的长度都为整数即可得出x的值.
21．【答案】81
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：以直角三角形的两直角边为边长所构成的正方形的面积和等于以斜边为边长的正方形的面积
∴正方形A的面积=225-144=81
故答案为：81.
【分析】以直角三角形的两直角边为边长所构成的正方形的面积和等于以斜边为边长的正方形的面积，即可直接计算得出结论.
22．【答案】100
【知识点】轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】分别作点P关于OM、ON的对称点P′、P″，连接OP′、OP″、P′P″，P′P″交OM、ON于点A、B，连接PA、PB，此时△PAB周长的最小值等于P′P″.
由轴对称性质可得，OP′＝OP″＝OP，∠P′OA＝∠POA，∠P″OB＝∠POB，
∴∠P′OP″＝2∠MON＝2×40°＝80°，
∴∠OP′P″＝∠OP″P′＝（180°﹣80°）÷2＝50°，
又∵∠BPO＝∠OP″B＝50°，∠APO＝∠AP′O＝50°，
∴∠APB＝∠APO+∠BPO＝100°.
故答案为100.
【分析】设点P关于OM、ON对称点分别为P′、P″，当点A、B在P′P″上时，△PAB周长为PA+AB+BP=P′P″，此时周长最小.根据轴对称的性质，可求出∠APB的度数.
23．【答案】
【知识点】平面展开﹣最短路径问题
【解析】【解答】如图，将正方体的三个侧面展开，连结AB，则AB最短，
.
【分析】将正方体展开，连接AB，根据两点之间线段最短，可知AB最短，然后利用勾股定理求出AB的长。
24．【答案】18.
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】设中间两个正方形的边长分别为x、y，最大正方形E的边长为z，则由勾股定理得：
x2=22+32=13；
y2=12+22=5；
z2=x2+y2=18；
即最大正方形E的面积为：z2=18.
故答案为：18.
【分析】分别设中间两个正方形和最大正方形的边长为x，y，z，由勾股定理得出x2=22+32，y2=22+12，z2=x2+y2，即最大正方形的面积为z2.
25．【答案】
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】由题意得，三个正方形的边长分别为7， ， ，
则在直角三角形中满足
即
【分析】由面积表示出正方形的边长，在直角三角形中使用勾股定理可得关系式.
26．【答案】50
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：∵所有的三角形都是直角三角形，
∴正方形A和C的面积和就是大正方形的面积，
同理，正方形B和D的面积和等于大正方形的面积，
∴四个小正方形的面积=2×5×5=50.
故答案为：50.
【分析】 由于所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，根据正方形的面积计算方法及勾股定理即可得出： 正方形A和C的面积和就是大正方形的面积，正方形B和D的面积和等于大正方形的面积，从而即可解决问题.
27．【答案】7
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：由勾股定理得： ，所以地毯的长度为4+3=7米.
故答案为：7.
【分析】根据平移的性质可知：地毯的总长度就是该直角三角形两直角边的和，故用勾股定理算出该直角三角形的另一条直角边长即可解决问题.
28．【答案】20
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】在Rt△ABC中，AC=30m，AB=50m；
据勾股定理可得：BC= =40（m），
故小汽车的速度为v= =20m/s.
【分析】在Rt△ABC中,利用勾股定理可求出BC=40m，利用速度=路程÷时间即可求出结论.
29．【答案】2
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：如图所示，筷子，圆柱的高，圆柱的直径正好构成直角三角形，
∴筷子在圆柱里面的最大长度= =10cm，
∴筷子露在杯子外面的长度至少为12-10=2cm，
故答案为2.
【分析】利用勾股定理求出筷子在圆柱里面的最大长度，从而求出筷子露在杯子外面的长度的最小值.
30．【答案】10
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：如图，根据勾股定理的几何意义，可得A、B的面积和为S1，C、D的面积和为S2，S1+S2=S3，
∵正方形A、B、C、D的面积分别为2，5，1，2，
∵最大的正方形E的面积S3=S1+S2=2+5+1+2=10。
故答案为：10.
【分析】如图，根据勾股定理的几何意义，可得A、B的面积和为S1，C、D的面积和为S2，S1+S2=S3，从而即可得出答案。
31．【答案】10
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：根据题意画出图形，如图，
如图：OA=6米，AB=8米，
根据勾股定理得： .
故答案是：10.
【分析】由题意用勾股定理即可求解。
32．【答案】（1）解：如图，
在 中， ，
∵
∴ .
答：梯子的顶端到地面的距离为 .
（2）解：如图， ，
，
∴ ，
∴ .答：梯子顶端向下滑 米.
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【分析】（1）在Rt△ABC中利用勾股定理计算出AC长即可；
（2）在Rt△ECF中，计算出EC长，利用AC减去EC即可.
33．【答案】（1）解：作点A关于直线BC的对称点 ，连接 ，交BC于P，
如图所示，点P即为所求；
（2）解：作点P关于直线OA的对称点 ，作点这P关于直线OB的对称点 ，连接 ，分别交OA、OB于M、N，如图：
根据“将军饮马问题”得到ΔPMN的周长的最小值为 ，
由轴对称的性质得：∠FOA=∠AOP，∠POB=∠GOB，OP=OF，OP=OG，
∵∠AOP+∠POB=∠AOB=30 ，OP= 5，
∴∠FOG=∠FOA+∠AOP+∠POB+∠GOB=2 ，OF=OG=5，
∴△FOG为边长为5的等边三角形，
，
答：ΔPMN的周长的最小值为 .
【知识点】轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【分析】（1） 作点A关于直线BC的对称点 ，连接 ，交BC于P， 则点P即为所求；
（2） 作点P关于直线OA的对称点 ，作点这P关于直线OB的对称点 ，连接 ，分别交OA、OB于M、N，根据“将军饮马问题”得到ΔPMN的周长的最小值为 ， 利用等边三角形的判定与性质求出FG即可.
34．【答案】（1）解：是，理由如下：
在△CHB中，∵CH2+BH2=1.22+0.92=2.25=1.52=BC2，
即CH2+BH2=BC2，
∴△CHB为直角三角形，且∠CHB=90°，
∴CH⊥AB，
由点到直线的距离垂线段最短可知，CH是从村庄C到河边AB的最近路；
（2）解：设AC=x千米，
在Rt△ACH中，由已知得AC=x，AH=x-0.9，CH=1.2，
由勾股定理得：AC2=AH2+CH2
∴x2=(x-0.9)2+1.22，
解得x=1.25，即AC=1.25，
故AC-CH=1.25-1.2=0.05（千米）
答：新路CH比原路CA少0.05千米.
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【分析】（1）是，理由：根据勾股定理的逆定理可得△CHB为直角三角形，且∠CHB=90°，据此即得结论；
（2）设AC=x千米，在Rt△ACH中，由已知得AC=x，AH=x-0.9，CH=1.2，利用勾股定理可得x2=(x-0.9)2+1.22， 解出x的值，即得AC，利用AC-CH即得结论.
35．【答案】（1）设直角三角形的两条边分别为 、 ( ＞ )，
则依题意有： ，
∵
∴
可得： ；
答：中间小正方形的面积为5
（2）如图所示：
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【分析】(1)设直角三角形的两条边分别为 、 ( ＞ )，根据题意得到 ，求出 ，再求出 即可；(2)由长为6.5cm、宽为2cm可知长方形的面积为13cm2，得到正方形的边长为 cm，故将长方形分割出四个全等的直角边长为2cm、3cm的直角三角形，剩余部分分割出两个长为1cm，宽为0.5cm的长方形.
36．【答案】（1）27-x
（2）解：∵∠C=90°，
∴AD2=AC2+DC2,
∴（27-x）2=（x+5）2+242,
∴x=2，
∴CD=5+2=7，
答：树高7米.
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：（1）∵BD为x米，且BD+AD=BC+CA-2，
∴x+AD=5+24-2，
∴AD=27-x，
故答案为：27-x；
【分析】（1）根据两只猴子经过路程的数量关系，可表示出AD；
（2）在 中根据勾股定理列出方程即可求解.
37．【答案】（1）解：∵
∴货车开过学校会受噪音影响.
（2）解：以点A为圆心，半径为 画圆，与直线 交于B、C两点，连接AB、AC.
∵
∴
∴ ，
∴
∵
∴
故若汽车速度为 ，则学校受噪音影响 .
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【分析】（1）根据 ，即可判断货车开过学校会受噪音影响.（2）以点A为圆心，半径为 画圆，与直线 交于B、C两点，连接AB、AC，根据勾股定理求出CM、BM的长，即可得到BC的长，即可求解学校受噪音影响的时间.
38．【答案】（1）解：∵由题意得AC=9，AB=AD=41，AC⊥BD，
∴Rt△ACB中，BC= ，
Rt△ACD中，DC= ，
∴BD=80，
∴80÷4=20（s），
∴受影响时间为20s
（2）解：∵20＜25，
∴可以通行
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【分析】（1）先根据勾股定理求出BC及DC的长，进而可得出BD的长，根据载重汽车的速度是4m/s即可得出受噪音影响的时间；（2）根据（1）中得出的时间与25秒相比较即可得出结论.
39．【答案】（1）解：由折叠可得，DE垂直平分AB，∴AD=BD，∴△ACD的周长为AD+CD+AC=BD+CD+AC=BC+AC=8+6=14(cm)；20°
（2）解：∵AC=9cm，BC=12cm，
∴ （cm），
根据折叠性质可得AC=AE=9cm，
∴BE=AB﹣AE=6cm，
设CD=x，则BD=12﹣x，DE=x，
在Rt△BDE中，由题意可得方程x2+62=（12﹣x）2，
解之得x=4.5，
∴CD=4.5cm．
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】（1）②解：由折叠可得，DE垂直平分AB，
∴AD=BD，
∴
又∵Rt△ABC中,
∴
【分析】（1）由
折叠可得，DE垂直平分AB，根据线段的垂直平分线的性质可得BD=AD，则△ACD的周长=AD+CD+AC=BD+CD+AC=BC+AC可求解；
（2）由（1）可得
AD=BD， 根据等边对等角可得∠B=∠BAD，在直角三角形ABC中，用三角形内角和定理可求得∠BAC的度数，则由图得∠CAD=∠BAC-∠BAD即可求解；
（3）在 操作二 中，用勾股定理可求得AB的长， 根据折叠的性质可得AC=AE，则BE=AB﹣AE ， 在Rt△BDE中， 用勾股定理可得关于DE的长的方程，解方程即可求解。
40．【答案】（1）15-x
（2）解：在 中，AD为斜边，
则
即
解得 米，
故树高 米，
答：树高为7.5米.
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解： BD为x，且存在BD+DA=BC+CA，
即
【分析】（1）由线段的构成可知BD+DA=BC+CA，则AD可求解；
（2）在直角三角形ACD中，用勾股定理可得关于x的方程，解方程可得x的值，则树高CD=BC+BD可求解。
1 / 1初中数学苏科版八年级上册3.3勾股定理的应用 同步练习
一、单选题
1．（2020八上·盐城期中）如图，在赵爽弦图中，已知直角三角形的短直角边长为a，长直角边长为b，大正方形的面积为20，小正方形的面积为4，则 的值是（　　）
A．10 B．8 C．7 D．5
【答案】B
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：设大正方形的边长为c，则c2＝20，小正方形的面积（a b）2＝4，
∵a2＋b2＝c2＝20，（a b）2＝4，
∴a2＋b2 2ab＝4，即20 2ab＝4.
∴ab＝8.
故答案为：B.
【分析】设大正方形的边长为c，可得c2＝20，根据勾股定理可得a2＋b2＝c2＝20①，由题意得小正方形的面积（a b）2＝4②，联立①②即可求出结论.
2．（2020八上·常熟月考）如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底墙到左墙角的距离为1.5m，顶端距离地面2m，如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面0.7m，那么小巷的宽度为（　　）
A．3.2m B．3.5m C．3.9m D．4m
【答案】C
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：如图，在Rt△ACB中，
∵∠ACB＝90°，BC＝1.5米，AC＝2米，
∴AB2＝1.52+22＝6.25，∴AB=2.5米，
在Rt△A′BD中，∵∠A′DB＝90°，A′D＝0.7米，BD2+A′D2＝A′B2，
∴BD2+0.72＝6.25，
∴BD2＝5.76，
∵BD＞0，
∴BD＝2.4米，
∴CD＝BC+BD＝1.5+2.4＝3.9米.
故答案为：C.
【分析】如图，在Rt△ACB中，先根据勾股定理求出AB，然后在Rt△A′BD中根据勾股定理求出BD，进而可得答案.
3．（2020八上·无锡月考）如图.在五边形ABCDE中，∠BAE＝136°，∠B＝∠E＝90°，在BC、DE上分别找一点M、N，使得△AMN的周长最小时，则∠AMN＋∠ANM的度数为（　　）
A．84° B．88° C．90° D．96°
【答案】B
【知识点】轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：如图示，作 关于 和 的对称点 ， A" ，连接 A'A"，交 于 ，交 于 ，则A'A" 即为 的周长最小值.
延长 ，作 于 点，
，
，
，
， ，
且 ， ，
，
故答案为：B.
【分析】根据要使 的周长最小，即利用点的对称，让三角形的三边在同一直线上，作出 关于BC和ED 的对称点A', A" ,即可得出∠AA'M+∠A"=44°, 进而得出∠ANN+∠ANM=2(∠AA'M+∠A")即可得出答案.
4．（2020八上·沭阳月考）如图，直线L是一条河，P，Q是两个村庄.欲在L上的某处修建一个水泵站，向P，Q两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则所需管道最短的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：作点P关于直线L的对称点P′，连接QP′交直线L于M.
根据两点之间，线段最短，可知选项D铺设的管道，则所需管道最短.
故答案为：A.
【分析】利用对称的性质，通过等线段代换，将所求路线长转化为两定点之间的距离.
5．（2020八上·沭阳月考）如图，四边形ABCD中，∠BAD＝120°，∠B＝∠D＝90°，在BC，CD上分别找一点M、N，使△AMN周长最小时，则∠AMN＋∠ANM的度数为（　　）
A．130° B．120° C．110° D．100°
【答案】B
【知识点】轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】根据要使△AMN的周长最小，即利用点的对称，让三角形的三边在同一直线上，作出A关于BC和ED的对称点A′，A″，即可得出∠AA′M＋∠A″＝∠HAA′＝60°，进而得出∠AMN＋∠ANM＝2（∠AA′M＋∠A″）即可得出答案：
如图，作A关于BC和ED的对称点A′，A″，连接A′A″，交BC于M，交CD于N，
则A′A″即为△AMN的周长最小值.作DA延长线AH.
∵∠BAD＝120°，∴∠HAA′＝60°.
∴∠AA′M＋∠A″＝∠HAA′＝60°.
∵∠MA′A＝∠MAA′，∠NAD＝∠A″，
且∠MA′A＋∠MAA′＝∠AMN，
∠NAD＋∠A″＝∠ANM，
∴∠AMN＋∠ANM＝∠MA′A＋∠MAA′＋∠NAD＋∠A″＝2（∠AA′M＋∠A″）＝2×60°＝120°.
故答案为：B.
【分析】 由题意要使△AMN的周长最小，根据轴对称的性质，只需三角形的三边在同一直线上，作出点A关于BC和CD的对称点A′，A″，即可得出∠AA′M＋∠A″＝60°，于是可得∠AMN＋∠ANM＝2（∠AA′M＋∠A″）即可求解．
6．（2020八上·常熟月考）如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离 为0.7米，梯子顶端到地面的距离 为2.4米，如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，梯子顶端到地面的距离 为1.5米，则小巷的宽为（　　）
A．2.5米 B．2.6米 C．2.7米 D．2.8米
【答案】C
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：在Rt△ABC中，
AB= =2.5（米），
∴A′B=2.5米，
在Rt△A′BD中，
BD= =2（米），
∴BC+BD=2+0.7=2.7（米），
故答案为：C.
【分析】在Rt△ABC中，利用勾股定理计算出AB长，再在Rt△A′BD中利用勾股定理计算出BD长，然后可得CD的长.
7．（2019八上·海安月考）如图，四边形 中， ，在 、 上分别找一点 ，使 周长最小时，则 的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】作A关于BC和CD的对称点A′，A″，连接A′A″，交BC于M，交CD于N，则A′A″即为△AMN的周长最小值。
∵∠DAB=120°，
∴∠AA′M+∠A″=180° 120°=60°，
∵∠MA′A=∠MAA′，∠NAD=∠A″，
且∠MA′A+∠MAA′=∠AMN，∠NAD+∠A″=∠ANM，
∴∠AMN+∠ANM=∠MA′A+∠MAA′+∠NAD+∠A″=2(∠AA′M+∠A″)=2×60°=120°，
故答案为：C.
【分析】作A关于BC和CD的对称点A′，A″，连接A′A″，交BC于M，交CD于N，则A′A″即为△AMN的周长最小值，根据三角形的内角和可得∠AA′M+∠A″=180° 120°=60°，根据轴对称的性质及三角形外角的性质可得∠AMN=∠MA′A+∠MAA′=2∠AA′M，∠ANM=∠NAD+∠A″=2∠A″，从而求出结论.
8．（2018八上·张家港期中）如图，由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的大正方形图案是某届国际数学大会的会标，如果大正方形的面积为16，小正方形的面积为3，直角三角形的两直角边分别为a和b，那么 的值为（　　）
A．256 B．169 C．29 D．48
【答案】C
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】大正方形的面积为16，得到它的边长为4，
即得a +b =4 =16，
由题意4× ab+3=16，
2ab=13，
所以(a+b) =a +2ab+b =16+13=29.
故答案为：C.
【分析】利用已知大小正方形的面积，可求出a +b =4 ，及4× ab+3=16，就可求出ab的值，然后求出答案。
9．（2018八上·江都期中）如图，设正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，黑、白两个甲壳虫同时从点A出发，以相同的速度分别沿棱向前爬行，黑甲壳虫爬行的路线是AA1→A1D1→……，白甲壳虫爬行的路线是AB→BB1→……，并且都遵循如下规则：所爬行的第n＋2与第n条棱所在的直线必须是既不平行也不相交（其中n是正整数）．那么当黑、白两个甲壳虫各爬行完第2018条棱分别停止在所到的正方体顶点处时，它们之间的距离是（　　）
A．0 B． C． D．1
【答案】B
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】根据爬行规则，黑、白两个甲壳虫爬行轨迹如下图：
从图中发现，发现周期为6条棱
……2,
即黑棋子在D1处，白棋子在B1处，它们之间的距离为线段D1 B1的长,
由勾股定理得：D1 B1= ，
故答案为：B
【分析】根据爬行规则，黑、白两个甲壳虫爬行轨迹如下图，根据表中找出规律，可知黑棋子在D1处，白棋子在B1处，它们之间的距离为线段D1 B1的长，然后利用勾股定理求解即可。
10．（2018八上·江阴期中）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若 ，大正方形的面积为13，则小正方形的面积为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】如图所示，∵ ，∴ =21，∵大正方形的面积为13，2ab=21﹣13=8，∴小正方形的面积为13﹣8=5．故答案为：C．
【分析】由勾股定理可得三角形的斜边长的平方为a2+b2；则大正方形的面积a2+b2=13，结合已知条件（a+b）2=21可求得2ab的值，而小正方形的面积=大正方形的面积-4
三角形的面积，代入计算即可求解。
11．（2018八上·扬州月考）如图是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案.已知大正方形面积为49，小正方形面积为4，若用x，y表示直角三角形的两直角边(x>y)，下列四个说法：①x2＋y2＝49；②x－y＝2；③2xy＋4＝49；④x＋y＝9.其中说法正确的是（　　）
A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④
【答案】B
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：由题意得： ，①﹣②得2xy=45 ③，∴2xy+4=49，①+③得x2+2xy+y2=94，∴（x+y）2=94，∴①②③正确，④错误.
故答案为：B.
【分析】根据勾股定理及正方形面积的计算方法列出方程 x2＋y2＝49①，结合图形小正方的边长为（ x－y ） ，又小正方形的面积是4，故列出方程（ x－y ）2=4 ②，用①﹣②得2xy=45，故2xy+4=49；用①+③得x2+2xy+y2=94，即（x+y）2=94，故x+Y=，综上所述即可一一判断得出答案。
12．（2017八上·高州月考）为了庆祝国庆，八年级（1）班的同学做了许多拉花装饰教室，小玲抬来一架2.5米长的梯子，准备将梯子架到2.4米高的墙上，则梯脚与墙角的距离是（　　）
A．0.6米 B．0.7米 C．0.8米 D．0.9米
【答案】B
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】依题意得：梯子、地面、墙刚好形成一直角三角形，梯高为斜边，利用勾股定理得：梯脚与墙角距离： =0.7（米）．
故答案为：B．
【分析】先根据题意画出图形，再根据题意相应的标注上各边长度，再根据勾股定理进行计算。
13．（2016八下·启东开学考）如图，∠AOB=30°，∠AOB内有一定点P，且OP=10．在OA上有一点Q，OB上有一点R．若△PQR周长最小，则最小周长是（　　）
A．10 B．15 C．20 D．30
【答案】A
【知识点】轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：设∠POA=θ，则∠POB=30°﹣θ，作PM⊥OA与OA相交于M，并将PM延长一倍到E，即ME=PM．
作PN⊥OB与OB相交于N，并将PN延长一倍到F，即NF=PN．
连接EF与OA相交于Q，与OB相交于R，再连接PQ，PR，则△PQR即为周长最短的三角形．
∵OA是PE的垂直平分线，
∴EQ=QP；
同理，OB是PF的垂直平分线，
∴FR=RP，
∴△PQR的周长=EF．
∵OE=OF=OP=10，且∠EOF=∠EOP+∠POF=2θ+2（30°﹣θ）=60°，
∴△EOF是正三角形，∴EF=10，
即在保持OP=10的条件下△PQR的最小周长为10．
故选A．
【分析】先画出图形，作PM⊥OA与OA相交于M，并将PM延长一倍到E，即ME=PM．作PN⊥OB与OB相交于N，并将PN延长一倍到F，即NF=PN．连接EF与OA相交于Q，与OB相交于R，再连接PQ，PR，则△PQR即为周长最短的三角形．再根据线段垂直平分线的性质得出△PQR=EF，再根据三角形各角之间的关系判断出△EOF的形状即可求解．
14．如图，一根木杆在离地面3m处折断，木杆顶端落在离木杆底端4m处，木杆折断之前的高度是（　　）
A．5m B．6m C．7m D．8m
【答案】D
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：∵一根木杆在离地面3m处折断，木杆顶端落在离木杆底端4m处，
∴折断的部分长为 =5，
∴折断前高度为5+3=8（米）．
故选D．
【分析】由题意得，在直角三角形中，知道了两直角边，运用勾股定理即可求出斜边，从而得出这棵树折断之前的高度．
15．如图所示，有一根高为16米的电线杆A处断裂，电线杆顶部C落在高电线杆底部B点8米远的地方，则电线杆断裂处A离地面的距离AB的长为（　　）
A．6米 B．7米 C．8米 D．9米
【答案】A
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：设AB=x，则AC=16﹣x．
根据勾股定理，得x2+64=（16﹣x）2
∴x2+64=x2﹣32x+256，
∴32x=192，
解之得：x=6．
故选A．
【分析】根据题意，运用勾股定理，列方程求解即可．
二、填空题
16．（2021八上·建邺期末）如图，将两个边长为1的小正方形，沿对角线剪开，重新拼成一个大正方形，则大正方形的边长是　 　.
【答案】
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：∵如图是两个边长为1的小正方形，
∴其对角线的长度 ，
∴大正方形的边长为 ，
故答案为： .
【分析】由题意可知大正方形的边长就是小正方形的对角线，所以用勾股定理可求得小正方形的对角线（即为大正方形的边长）.
17．（2021八上·崇川期末）《九章算术》是中国传统数学的重要著作之一，奠定了中国传统数学的基本框架.如图所示是其中记载的一道“折竹”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺，问折者高几何？”题意是：一根竹子原高1丈（1丈=10尺），中部有一处折断，竹梢触地面处离竹根3尺，试问折断处离地面多高？答：折断处离地面　 　尺高.
【答案】
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：设竹子折断处离地面x尺，则斜边为（10-x）尺，
根据勾股定理得：x2+32=（10-x）2，
解得： ；
故答案为： .
【分析】设竹子折断处离地面x尺根据勾股定理建立方程，求解即可.
18．（2021八上·兴化期末）如图，一个池塘，其底面是边长为10尺的正方形，一棵芦苇 生长在它的中央，高出水面的部分 为1尺．如果把这根芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，芦苇的顶部 恰好碰到岸边的 ，则这根芦苇的长度是　 　尺．
【答案】13
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】设芦苇长AB=AB′=x尺，则水深AC=(x-1)尺，
因为底面是边长为10尺的正方形，所以B'C=5尺
在Rt△AB'C中，52+(x-1)2=x2，
解之得x=13，
即芦苇长13尺．
故答案为：13．
【分析】设芦苇长为x尺，则水深为(x-1)尺，结合底面是正方形，在Rt△AB'C中，利用勾股定理列方程求解即可.
19．（2020八上·扬州期中）甲、乙两人同时从同一地点出发，甲往东走了9 km，乙往南走了12 km，这时两人相距　 　km.
【答案】15
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：由题意得，甲乙二人所走路线构成一个直角，即∠C=90°，BC=9hm，AC=12cm，
在Rt△ABC中，
AB= km.
故答案为：15.
【分析】根据题意得甲乙二人所走路线构成一个直角，根据勾股定理即可求解.
20．（2020八上·泰兴期中）如图，△ABC中，∠C=90°，CA=CB，AB=6，点D在射线AB上运动，当AD、CD的长度都为整数时，则AD=　 　.
【答案】3或7
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：过C点作CE⊥AB，
∵∠C=90°，CA=CB，AB=6，
∴AE=BE=CE=3，
设AD=x，则ED=|x-3|
则 ，
∵AD、CD的长度都为整数，
∴当x=3时， ,当x=7时， .
故答案为：3或7.
【分析】过C点作CE⊥AB，设AD=x，则ED=|x-3|，根据勾股定理表示CD，根据AD、CD的长度都为整数即可得出x的值.
21．（2020八上·兴化月考）如图，以直角三角形各边向外作正方形，其中两个正方形的面积分别为225和144，则正方形A的面积为　 　.
【答案】81
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：以直角三角形的两直角边为边长所构成的正方形的面积和等于以斜边为边长的正方形的面积
∴正方形A的面积=225-144=81
故答案为：81.
【分析】以直角三角形的两直角边为边长所构成的正方形的面积和等于以斜边为边长的正方形的面积，即可直接计算得出结论.
22．（2020八上·江苏月考）如图，已知∠MON＝40°，P为∠MON内一定点，OM上有一点A，ON上有一点B，当△PAB的周长取最小值时，∠APB的度数是　 　°.
【答案】100
【知识点】轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】分别作点P关于OM、ON的对称点P′、P″，连接OP′、OP″、P′P″，P′P″交OM、ON于点A、B，连接PA、PB，此时△PAB周长的最小值等于P′P″.
由轴对称性质可得，OP′＝OP″＝OP，∠P′OA＝∠POA，∠P″OB＝∠POB，
∴∠P′OP″＝2∠MON＝2×40°＝80°，
∴∠OP′P″＝∠OP″P′＝（180°﹣80°）÷2＝50°，
又∵∠BPO＝∠OP″B＝50°，∠APO＝∠AP′O＝50°，
∴∠APB＝∠APO+∠BPO＝100°.
故答案为100.
【分析】设点P关于OM、ON对称点分别为P′、P″，当点A、B在P′P″上时，△PAB周长为PA+AB+BP=P′P″，此时周长最小.根据轴对称的性质，可求出∠APB的度数.
23．（2020八下·海安月考）如右图，一只蚂蚁沿着边长为2的正方体表面从点A出发，经过3个面爬到点B，如果它运动的路径是最短的，则此最短路径的长为　 　.
【答案】
【知识点】平面展开﹣最短路径问题
【解析】【解答】如图，将正方体的三个侧面展开，连结AB，则AB最短，
.
【分析】将正方体展开，连接AB，根据两点之间线段最短，可知AB最短，然后利用勾股定理求出AB的长。
24．（2019八上·东台期中）如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A、B、C、D的边长分别是2，3，1，2，则最大正方形E的面积是　 　.
【答案】18.
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】设中间两个正方形的边长分别为x、y，最大正方形E的边长为z，则由勾股定理得：
x2=22+32=13；
y2=12+22=5；
z2=x2+y2=18；
即最大正方形E的面积为：z2=18.
故答案为：18.
【分析】分别设中间两个正方形和最大正方形的边长为x，y，z，由勾股定理得出x2=22+32，y2=22+12，z2=x2+y2，即最大正方形的面积为z2.
25．（2019八上·惠山期中）如图，图中的三角形是直角三角形，所有四边形都是正方形，正方形A的边长为7,另外四个正方形中的数字x, y分别表示该正方形面积，则x与y的数量关系是　 　.
【答案】
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】由题意得，三个正方形的边长分别为7， ， ，
则在直角三角形中满足
即
【分析】由面积表示出正方形的边长，在直角三角形中使用勾股定理可得关系式.
26．（2019八上·宜兴期中）如图，已知所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大正方形的边长为5，则A，B，C，D四个小正方形的面积之和等于　 　 .
【答案】50
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：∵所有的三角形都是直角三角形，
∴正方形A和C的面积和就是大正方形的面积，
同理，正方形B和D的面积和等于大正方形的面积，
∴四个小正方形的面积=2×5×5=50.
故答案为：50.
【分析】 由于所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，根据正方形的面积计算方法及勾股定理即可得出： 正方形A和C的面积和就是大正方形的面积，正方形B和D的面积和等于大正方形的面积，从而即可解决问题.
27．（2019八上·江阴期中）如图，在一个高为3米，长为5米的楼梯表面铺地毯，则地毯长度为　 　米.
【答案】7
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：由勾股定理得： ，所以地毯的长度为4+3=7米.
故答案为：7.
【分析】根据平移的性质可知：地毯的总长度就是该直角三角形两直角边的和，故用勾股定理算出该直角三角形的另一条直角边长即可解决问题.
28．（2019八上·泰兴期中）如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪A处的正前方30m的C处，过了2s后，测得小汽车与车速检测仪间的距离为50m，则这辆小汽车的速度是　 　m/s.
【答案】20
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】在Rt△ABC中，AC=30m，AB=50m；
据勾股定理可得：BC= =40（m），
故小汽车的速度为v= =20m/s.
【分析】在Rt△ABC中,利用勾股定理可求出BC=40m，利用速度=路程÷时间即可求出结论.
29．（2019八上·海州期中）如图，将一根长12厘米的筷子置于底面直径为6厘米，高为8厘米的圆柱形杯子中，则筷子露在杯子外面的长度至少为　 　厘米.
【答案】2
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：如图所示，筷子，圆柱的高，圆柱的直径正好构成直角三角形，
∴筷子在圆柱里面的最大长度= =10cm，
∴筷子露在杯子外面的长度至少为12-10=2cm，
故答案为2.
【分析】利用勾股定理求出筷子在圆柱里面的最大长度，从而求出筷子露在杯子外面的长度的最小值.
30．（2018八上·灌云月考）如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A、B、C、D的面积分别为2，5，1，2.则最大的正方形E的面积是　 　.
【答案】10
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：如图，根据勾股定理的几何意义，可得A、B的面积和为S1，C、D的面积和为S2，S1+S2=S3，
∵正方形A、B、C、D的面积分别为2，5，1，2，
∵最大的正方形E的面积S3=S1+S2=2+5+1+2=10。
故答案为：10.
【分析】如图，根据勾股定理的几何意义，可得A、B的面积和为S1，C、D的面积和为S2，S1+S2=S3，从而即可得出答案。
31．（2018八上·大丰期中）小红从旗台出发向正北方向走6米，接着向正东方向走8米，现在她离旗台的距离是　 　米．
【答案】10
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：根据题意画出图形，如图，
如图：OA=6米，AB=8米，
根据勾股定理得： .
故答案是：10.
【分析】由题意用勾股定理即可求解。
三、综合题
32．（2021八上·泰州期末）如图，长7.5m的梯子靠在墙上，梯子的底部离墙的底端4.5m.
（1）求梯子的顶端到地面的距离；
（2）由于地面有水，梯子底部向右滑动1.5m，则梯子顶端向下滑多少米？
【答案】（1）解：如图，
在 中， ，
∵
∴ .
答：梯子的顶端到地面的距离为 .
（2）解：如图， ，
，
∴ ，
∴ .答：梯子顶端向下滑 米.
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【分析】（1）在Rt△ABC中利用勾股定理计算出AC长即可；
（2）在Rt△ECF中，计算出EC长，利用AC减去EC即可.
33．（2020八上·宿迁期中）某班级在探究“将军饮马问题”时抽象出数学模型：
直线 同旁有两个定点A、B，在直线 上存在点P，使得PA十PB的值最小.解法：如图1，作点A关于直线 的对称点A'，连接A'B， 则A'B与直线 的交点即为P，且PA＋PB的最小值为A'B.
请利用上述模型解决下列问题；
（1）如图2，ΔABC中，∠C=90°，E是AB的中点，P是BC边上的一动点，作出点P，使得PA＋PE的值最小；
（2）如图3，∠AOB=30°，M、N分别为OA、OB上一动点，若OP=5，求ΔPMN的周长的最小值.
【答案】（1）解：作点A关于直线BC的对称点 ，连接 ，交BC于P，
如图所示，点P即为所求；
（2）解：作点P关于直线OA的对称点 ，作点这P关于直线OB的对称点 ，连接 ，分别交OA、OB于M、N，如图：
根据“将军饮马问题”得到ΔPMN的周长的最小值为 ，
由轴对称的性质得：∠FOA=∠AOP，∠POB=∠GOB，OP=OF，OP=OG，
∵∠AOP+∠POB=∠AOB=30 ，OP= 5，
∴∠FOG=∠FOA+∠AOP+∠POB+∠GOB=2 ，OF=OG=5，
∴△FOG为边长为5的等边三角形，
，
答：ΔPMN的周长的最小值为 .
【知识点】轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【分析】（1） 作点A关于直线BC的对称点 ，连接 ，交BC于P， 则点P即为所求；
（2） 作点P关于直线OA的对称点 ，作点这P关于直线OB的对称点 ，连接 ，分别交OA、OB于M、N，根据“将军饮马问题”得到ΔPMN的周长的最小值为 ， 利用等边三角形的判定与性质求出FG即可.
34．（2020八上·赣榆期中）如图，在一条东西走向河流的一侧有一村庄 河边原有两个取水点 其中 由于某种原因，由 到 的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点 在同一条直线上），并新修一条路 测得 千米， 千米， 千米.
（1）问 是否为从村庄 到河边的最近路.请通过计算加以说明；
（2）求新路 比原路 少多少千米.
【答案】（1）解：是，理由如下：
在△CHB中，∵CH2+BH2=1.22+0.92=2.25=1.52=BC2，
即CH2+BH2=BC2，
∴△CHB为直角三角形，且∠CHB=90°，
∴CH⊥AB，
由点到直线的距离垂线段最短可知，CH是从村庄C到河边AB的最近路；
（2）解：设AC=x千米，
在Rt△ACH中，由已知得AC=x，AH=x-0.9，CH=1.2，
由勾股定理得：AC2=AH2+CH2
∴x2=(x-0.9)2+1.22，
解得x=1.25，即AC=1.25，
故AC-CH=1.25-1.2=0.05（千米）
答：新路CH比原路CA少0.05千米.
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【分析】（1）是，理由：根据勾股定理的逆定理可得△CHB为直角三角形，且∠CHB=90°，据此即得结论；
（2）设AC=x千米，在Rt△ACH中，由已知得AC=x，AH=x-0.9，CH=1.2，利用勾股定理可得x2=(x-0.9)2+1.22， 解出x的值，即得AC，利用AC-CH即得结论.
35．（2020八上·常州月考）如图：
（1）四年一度的国际数学大会于2002年8月20日在北京召开.大会会标如图甲.它是由四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形.若大正方形的面积为15，每个三角形两条直角边的和是5，求中间小正方形的面积.
（2）现有一张长为6.5cm、宽为2cm的纸片，如图，请你将它分割成6块，再拼合成一个正方形.(要求：先在图乙中画出分割线,再画出拼成的正方形并标明相应数据)
【答案】（1）设直角三角形的两条边分别为 、 ( ＞ )，
则依题意有： ，
∵
∴
可得： ；
答：中间小正方形的面积为5
（2）如图所示：
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【分析】(1)设直角三角形的两条边分别为 、 ( ＞ )，根据题意得到 ，求出 ，再求出 即可；(2)由长为6.5cm、宽为2cm可知长方形的面积为13cm2，得到正方形的边长为 cm，故将长方形分割出四个全等的直角边长为2cm、3cm的直角三角形，剩余部分分割出两个长为1cm，宽为0.5cm的长方形.
36．（2020八上·常熟月考）如图，在吴中区上方山动物园里有两只猴子在一棵树CD上的点B 处，且BC=5m，它们都要到池塘A处吃东西，其中一只猴子甲沿树爬至C再沿CA 走到离树24m处的池塘A处，另一只猴子乙先爬到树顶D处后再沿缆绳DA线段滑到A处.已知猴子甲所经过的路程比猴子乙所经过的路程多2m，设BD为xm.
（1）请用含有x的整式表示线段AD的长为　 　m；
（2）求这棵树高有多少米？
【答案】（1）27-x
（2）解：∵∠C=90°，
∴AD2=AC2+DC2,
∴（27-x）2=（x+5）2+242,
∴x=2，
∴CD=5+2=7，
答：树高7米.
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：（1）∵BD为x米，且BD+AD=BC+CA-2，
∴x+AD=5+24-2，
∴AD=27-x，
故答案为：27-x；
【分析】（1）根据两只猴子经过路程的数量关系，可表示出AD；
（2）在 中根据勾股定理列出方程即可求解.
37．（2020八下·海安月考）如图，两条公路 、 交予点 ，在公路 旁有一学校 ，与 点的距离为 ，点 （学校）到公路 的距离 为 .一大货车从 点出发，行驶在公路 上，汽车周围 范围内有噪音影响.
（1）货车开过学校是否受噪音影响？为什么？
（2）若汽车速度为 ，则学校受噪音影响多少秒钟？
【答案】（1）解：∵
∴货车开过学校会受噪音影响.
（2）解：以点A为圆心，半径为 画圆，与直线 交于B、C两点，连接AB、AC.
∵
∴
∴ ，
∴
∵
∴
故若汽车速度为 ，则学校受噪音影响 .
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【分析】（1）根据 ，即可判断货车开过学校会受噪音影响.（2）以点A为圆心，半径为 画圆，与直线 交于B、C两点，连接AB、AC，根据勾股定理求出CM、BM的长，即可得到BC的长，即可求解学校受噪音影响的时间.
38．（2019八上·惠山期中）如图，居民楼与马路是平行的，在一楼的点A处测得它到马路的距离为9m，已知在距离载重汽车41m处就可受到噪声影响.
（1）试求在马路上以4m/s速度行驶的载重汽车，能给一楼A处的居民带来多长时间的噪音影响？
（2）若时间超过25秒，则此路禁止该车通行，你认为载重汽车可以在这条路上通行吗？
【答案】（1）解：∵由题意得AC=9，AB=AD=41，AC⊥BD，
∴Rt△ACB中，BC= ，
Rt△ACD中，DC= ，
∴BD=80，
∴80÷4=20（s），
∴受影响时间为20s
（2）解：∵20＜25，
∴可以通行
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【分析】（1）先根据勾股定理求出BC及DC的长，进而可得出BD的长，根据载重汽车的速度是4m/s即可得出受噪音影响的时间；（2）根据（1）中得出的时间与25秒相比较即可得出结论.
39．（2018八上·邗江期中）小明剪了两张直角三角形纸片，进行了如下的操作：
操作一：如图1，将Rt△ABC沿某条直线折叠，使斜边的两个端点A与B重合，折痕为DE．
（1）操作一：如图1，将Rt△ABC沿某条直线折叠，使斜边的两个端点A与B重合，折痕为DE．
①如果AC＝6cm，BC＝8cm，则△ACD的周长为cm；　 　
② 如果∠B =35° ，则∠CAD=　 　 度；
（2） 操作二：如图2，小明拿出另一张Rt△ABC纸片，将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，若AC＝9cm，BC＝12cm，请求出CD的长．
【答案】（1）解：由折叠可得，DE垂直平分AB，∴AD=BD，∴△ACD的周长为AD+CD+AC=BD+CD+AC=BC+AC=8+6=14(cm)；20°
（2）解：∵AC=9cm，BC=12cm，
∴ （cm），
根据折叠性质可得AC=AE=9cm，
∴BE=AB﹣AE=6cm，
设CD=x，则BD=12﹣x，DE=x，
在Rt△BDE中，由题意可得方程x2+62=（12﹣x）2，
解之得x=4.5，
∴CD=4.5cm．
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】（1）②解：由折叠可得，DE垂直平分AB，
∴AD=BD，
∴
又∵Rt△ABC中,
∴
【分析】（1）由
折叠可得，DE垂直平分AB，根据线段的垂直平分线的性质可得BD=AD，则△ACD的周长=AD+CD+AC=BD+CD+AC=BC+AC可求解；
（2）由（1）可得
AD=BD， 根据等边对等角可得∠B=∠BAD，在直角三角形ABC中，用三角形内角和定理可求得∠BAC的度数，则由图得∠CAD=∠BAC-∠BAD即可求解；
（3）在 操作二 中，用勾股定理可求得AB的长， 根据折叠的性质可得AC=AE，则BE=AB﹣AE ， 在Rt△BDE中， 用勾股定理可得关于DE的长的方程，解方程即可求解。
40．（2018八上·盐城期中）如图，花果山上有两只猴子在一棵树CD上的点B处，且BC=5m，它们都要到A处吃东西，其中一只猴子甲沿树爬下走到离树10m处的池塘A处，另一只猴子乙先爬到树顶D处后再沿缆绳DA线段滑到A处．已知两只猴子所经过的路程相等，设BD为xm．
（1）请用含有x的整式表示线段AD的长为　 　m；
（2）求这棵树高有多少米？
【答案】（1）15-x
（2）解：在 中，AD为斜边，
则
即
解得 米，
故树高 米，
答：树高为7.5米.
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解： BD为x，且存在BD+DA=BC+CA，
即
【分析】（1）由线段的构成可知BD+DA=BC+CA，则AD可求解；
（2）在直角三角形ACD中，用勾股定理可得关于x的方程，解方程可得x的值，则树高CD=BC+BD可求解。
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