2020年暑期衔接训练青岛版数学八年级下册：第9讲 第七章《实数》单元测试

2020年暑期衔接训练青岛版数学八年级下册：第9讲 第七章《实数》单元测试
一、单选题
1．（2020八下·海原月考）已知 ，则 的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】平方根
【解析】【解答】 ，
，
3x=±7，
∴x= .
故答案为：B.
【分析】先移项，再利用直接开平方法，即可求解.
2．（2020八下·南宁期中）将面积为2π的半圆与两个正方形A和正方形B拼接如图所示，这两个正方形面积的和为（　　）
A．4 B．8 C．2π D．16
【答案】D
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：已知半圆的面积为2π，
所以半圆的直径为：2 ＝4，
即如图直角三角形的斜边为：4，
设两个正方形的边长分别为：x，y，
则根据勾股定理得：x2+y2＝42＝16，
即两个正方形面积的和为16.
故答案为：D.
【分析】首先由面积为2π的半圆，可知圆的面积为4π，求出半圆的直径，即直角边的斜边，再根据勾股定理求出两直角边的平方和，即是这两个正方形面积的和.
3．（2020八下·临汾月考）勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古代算书《周髀算经》中早有记载．如图1，以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两张正方形纸片按图2的方式放置在最大的正方形内．若知道图中阴影部分的面积，则一定能求出（　　）
A．直角三角形的面积
B．最大正方形的面积
C．较小两个正方形重叠部分的面积
D．最大正方形与直角三角形的面积和
【答案】C
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：设直角三角形的斜边长为c，较长直角边为b，较短直角边为a。
由勾股定理得c2=a2+b2，
阴影部分的面积=c2-b2-a(c-b)=a2-ac+ab=a(a+b-c)，
较小两个正方形重叠部分的宽=a-(c-b)=a+b-c，长=a，
则较小两个正方形重叠部分的面积=a(a+b-c)，
∴知道图中阴影部分的面积，就一定能求出较小两个正方形重叠部分的面积。
【分析】设直角三角形的斜边长为c，较长直角边为b，较短直角边为a。由勾股定理得c2=a2+b2，
然后根据正方形和长方形的面积公式计算即可。
4．（2020八上·沈阳期末）下列等式成立的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】平方根；算术平方根；立方根及开立方
【解析】【解答】解：A. ，故错误；
B. ，故错误；
C. ，故错误；
D. ，正确；
故答案为：D.
【分析】根据算术平方根的定义、立方根的性质、平方根的定义即可一一判断得出答案.
5．（2019八上·郑州期中）下列说法中正确的有（　　）
①负数没有平方根，但负数有立方根；②一个数的立方根等于它本身，则这个数是0或1；
③无理数与数轴上的点一一对应；④ 的平方根是±2；⑤- 一定是负数
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【知识点】平方根；算术平方根；立方根及开立方；无理数在数轴上表示
【解析】【解答】解：①负数没有平方根，但负数有立方根；说法正确；
②一个数的立方根等于它本身，则这个数是0或1，还有-1，故错误；
③实数与数轴上的点一一对应，故错误；
④ =4的平方根是±2，说法正确；
⑤- 一定是负数，当a=0时，不是负数，故错误；
故答案为：B.
【分析】根据只有非负数才有平方根和算术平方根，可对①作出判断；立方根等于它本身的数有±1，0，可对②作出判断；再根据实数与数轴上的点成一一对应，可对③作出判断；任何数的立方根只有一个，可对④作出判断；- 一定是非正数可对⑤作出判断，综上所述，可得到正确结论的个数。
6．（2020八上·苏州期末）在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别是a、b、c，下列条件中，能判断△ABC是直角三角形（　　）
A．a=2，b=3，c=4 B．a：b：c=
C．∠A+∠B=2∠C D．∠A=2∠B=3∠C
【答案】B
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A、22+32=13<42=16，不是直角三角形，不符合题意；
B、设比的每份为1, 则 ,是直角三角形，符合题意；
C、∵∠A+∠B+∠C=180°，∴3∠C=180°，∴∠C=60°，∴∠A+∠B=120°，∴不一定有角是90°，不符合题意；
D、∵∠A=2∠B=3∠C ，∴∠B=∠A，∠C=∠A，∴∠A+∠A+∠A=180°，解得∠A=≠90°，不符合题意.
故答案为：B.
【分析】已知三边，先求出较小两边的平方和，利用勾股定理即可判断；已知角的关系，则求出最大角，看是否等于90°即可.
7．（2019八上·海港期中）在实数 ，3.14159， ， ，1.010010001···， ，0. 中，无理数的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【知识点】无理数的概念
【解析】【解答】解：因为在实数 ，3.14159， ， ，1.010010001···， ，0. 中， 是开不尽方的数，1.010010001···是无限不循环小数， 也是无限不循环小数，所以 、1.010010001···和 是无理数，所以共有3个无理数；
故答案选C.
【分析】根据无理数的概念以及常见无理数的类型即可做出判断.
8．（2018八上·长兴月考）如图所示的“赵爽弦圈”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形较长直角边长为n，较短直角边长为b．若nb=8，大正方形的面积为25，则小正方形的边长为（　　）
A．9 B．6 C．4 D．3
【答案】D
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：∵ 较长直角边长为n，较短直角边长为b ，大正方形的面积为25
∴n2+b2=25
∴（n-b）2+2nb=25
∵nb=8
∴（n-b）2+2×8=25即（n-b）2=9
∵n＞b
∴n-b=3
∴小正方形的边长为3
故答案为：D
【分析】由题意可知n2+b2=25，再将其转化为（n-b）2+2nb=25，将nb=8代入就可求出小正方形的边长。
9．（2018八上·衢州期中）如图，将两个大小、形状完全相同的△ABC 和△A′B′C′拼在一起，其中点 A′与点 A 重合，点 C′ 落在边 AB 上，连接 B′C．若∠ACB=∠AC′B′=90°，AC=BC=3，则 B′C 的长为（　　）
A． B．6 C． D．
【答案】A
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：∵∠ACB=∠AC′B′=90°，AC=BC=3，
∴由勾股定理得：AB=，
由题意△ABC ≌△A′B′C′
∴AB′=AB=，
在Rt△AB′C中，由勾股定理得：B′C=.
【分析】在直角三角形ABC中，用勾股定理可求得AB的长，由题意知AB=AB′，于是在直角三角形AB′C中，用勾股定理即可求得B′C的长。
10．已知：在△ABC中，三边长a，b，c满足等式a2-16b2-c2+6ab+10bc=0，则（　　）
A．aC．c【答案】B
【知识点】无理数的大小比较
【解析】【分析】首先根据配方法，将原方程变为（a+c-2b)（a-c+8b)=0；又由三角形的三边关系，即可得到答案．
【解答】∵a2-16b2-c2+6ab+10bc=a2+9b2+6ab-25b2-c2+10bc=（a+3b)2-（c-5b)2=0，
∴（a+3b+c-5b)（a+3b-c+5b)=0，
即（a+c-2b)（a-c+8b)=0，
∴a+c-2b=0或a-c+8b=0，
∴a+c=2b或a+8b=c，
∵a+b＞c，
∴a+8b=c不符合题意，舍去，
∴a+c=2b．
故选B．
11．（2019八上·安国期中）把两个同样大小的含45°角的三角尺按如图所示的方式放置，其中一个锐角顶点与另一个的直角顶点重合于点A，且另外三个锐角顶点B，C，D在同一条直线上，若AB= ，则CD的长为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：如图，
过点A作AF⊥BC于F，
在Rt△ABC中，∠B=45°，
∴BC= AB=2，BF=AF= AB=1，
∵两个同样大小的含45°角的三角尺，
∴AD=BC=2，
在Rt△ADF中，根据勾股定理得，DF= =
∴CD=BF+DF-BC=1+ -2= -1，
故答案为：C．
【分析】根据含有45°的直角三角形，可计算出BC的长度，在Rt△ADF中，根据勾股定理可计算出CD=。
12．（2018八上·江都期中）如图，设正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，黑、白两个甲壳虫同时从点A出发，以相同的速度分别沿棱向前爬行，黑甲壳虫爬行的路线是AA1→A1D1→……，白甲壳虫爬行的路线是AB→BB1→……，并且都遵循如下规则：所爬行的第n＋2与第n条棱所在的直线必须是既不平行也不相交（其中n是正整数）．那么当黑、白两个甲壳虫各爬行完第2018条棱分别停止在所到的正方体顶点处时，它们之间的距离是（　　）
A．0 B． C． D．1
【答案】B
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】根据爬行规则，黑、白两个甲壳虫爬行轨迹如下图：
从图中发现，发现周期为6条棱
……2,
即黑棋子在D1处，白棋子在B1处，它们之间的距离为线段D1 B1的长,
由勾股定理得：D1 B1= ，
故答案为：B
【分析】根据爬行规则，黑、白两个甲壳虫爬行轨迹如下图，根据表中找出规律，可知黑棋子在D1处，白棋子在B1处，它们之间的距离为线段D1 B1的长，然后利用勾股定理求解即可。
二、填空题
13．已知的整数部分为a，小数部分为b，则a-b=　 　 .
【答案】
【知识点】平方根；算术平方根
【解析】【解答】∵3＜＜4，
∴a=3，
则b=-3．
∴a-b=6-
【分析】根据3＜＜4首先确定a的值，则小数部分即可确定．
14．（2020八下·岳池期末）在直线l上依次摆放着七个正方形（如图所示）．已知斜放置的三个正方形的面积分别是1，2，3，正放置的四个正方形的面积依次是S1，S2，S3，S4，则S1+S2+S3+S4=　 　
【答案】4
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】
解：观察发现，
∵AB=BE，∠ACB=∠BDE=90°，
∴∠ABC+∠BAC=90°，∠ABC+∠EBD=90°，
∴∠BAC=∠EBD，
∴△ABC≌△BDE（AAS），
∴BC=ED，
∵AB2=AC2+BC2，
∴AB2=AC2+ED2=S1+S2，
即S1+S2=1，
同理S3+S4=3．
则S1+S2+S3+S4=1+3=4．
故答案为：4．
【分析】运用勾股定理可知，每两个相邻的正方形面积和都等于中间斜放的正方形面积，据此即可解答．
15．（2017八下·丰台期中）程大位所著《算法统宗》是一部中国传统数学重要的著作．在《算法统宗》中记载：“平地秋千未起，踏板离地一尺．送行二步与人齐，五尺人高曾记．仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉．良工高士素好奇，算出索长有几？”【注释】1步=5尺．
译文：“当秋千静止时，秋千上的踏板离地有1尺高，如将秋千的踏板往前推动两步（10尺）时，踏板就和人一样高，已知这个人身高是5尺．美丽的姑娘和才子们，每天都来争荡秋千，欢声笑语终日不断．好奇的能工巧匠，能算出这秋千的绳索长是多少吗？”
如图，假设秋千的绳索长始终保持直线状态，OA是秋千的静止状态，A是踏板，CD是地面，点B是推动两步后踏板的位置，弧AB是踏板移动的轨迹．已知AC=1尺，CD=EB=10尺，人的身高BD=5尺．设绳索长OA=OB=x尺，则可列方程为　 　．
【答案】102+（x﹣5+1）2=x2
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】设绳索长OA=OB=x尺，由题意得，102+（x﹣5+1）2=x2．
故答案为：102+（x﹣5+1）2=x2．
【分析】设绳索长OA=OB=x尺，则由图形的信息可知：OE=x﹣5+1，BE=CD=10，在直角三角形OBE中，由勾股定理可得：，即+=。
16．已知，如图，四边形ABCD中，AB=3cm，AD=4cm，BC=13cm，CD=12cm，且∠A=90°，则四边形ABCD的面积　 　．
【答案】36cm2
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：连接BD，
∵AB=3cm，AD=4cm，∠A=90°，BC=13cm，CD=12cm，
∴BD= = =5cm．
∵122+52=132，即CD2+BD2=BC2，
∴△BCD是直角三角形，∠BDC=90°，
∴S四边形ABCD=S△ABD+S△BCD= ×3×4+ ×5×12=6+30=36cm2．
故答案为：36cm2．
【分析】连接BD，根据勾股定理求出BD的长，再由勾股定理的逆定理判断出△BCD的形状，由S四边形ABCD=S△ABD+S△BCD即可得出结论．
17．（2016八上·开江期末）如图，在高3米，坡面线段AB长为5米的楼梯表面铺地毯，已知楼梯宽1.5米，地毯售价为40元/平方米，若将楼梯表面铺满地毯，则至少需　 　元．
【答案】420元
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：如图所示：
在Rt△ABC中，由勾股定理可知：BC= =4米．
地毯的总长=BC+AC=4+3=7米．
地毯的面积=7×1.5=10.5平方米．
地毯的总价=40×10.5=420元．
故答案为：420元．
【分析】利用平移法可求地毯的长等于直角三角形的两直角边的和，再乘以宽得面积，乘以单价，得出费用.
18．（2017八下·黄冈期中）如图，要使宽为2米的矩形平板车ABCD通过宽为2 米的等宽的直角通道，平板车的长不能超过　 　米．
【答案】4
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：设平板手推车的长度不能超过x米
则x为最大值，且此时平板手推车所形成的三角形CBP为等腰直角三角形．
连接PO，与BC交于点N．
∵直角走廊的宽为2 m，
∴PO=4m，
∴NP=PO﹣ON=4﹣2=2（m）．
又∵△CBP为等腰直角三角形，
∴AD=BC=2CN=2NP=4（m）．
故答案为：4
【分析】如图，先设平板手推车的长度不能超过x米，则得出x为最大值时，平板手推车所形成的三角形CBP为等腰直角三角形．连接PO，与BC交于点N，利用△CBP为等腰直角三角形即可求得平板手推车的长度不能超过多少米．
19．如图1，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=1，BC=2，将△ABC放置在平面直角坐标系中，使点A与原点重合，点C在x轴正半轴上．将△ABC按如图2方式顺时针滚动（无滑动），则滚动2017次后，点B的坐标为　 　．
【答案】（2019+672 ，0）
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：根据三角形滚动规律得出每3次一循环，
∵2013÷3=671，
∴滚动2013次后，点B的纵坐标与滚动第3次纵坐标相同为2，
∵∠ACB=90°，AC=1，BC=2，
∴OB= = ，
∴三角形三边长的和为：1+2+ =3+ ，
则滚动2017次后，点B的横坐标为：1+2+672（3+ ）=2019+672 ．
故点B的坐标为：（2019+672 ，0）．
故答案为：（2019+672 ，0）．
【分析】根据三角形的滚动规律分别得出B点的横、纵坐标，进而得出答案．
20．分析探索题：细心观察如图，认真分析各式，然后解答问题．
OA22=（）2+1=2 S1=；
OA32=（）2+1=3 S2=；
OA42=（）2+1=4 S3=…
（1）请用含有n（n为正整数）的等式Sn=　 　 ；
（2）推算出OA10=　 　
（3）求出 S12+S22+S32+…+S102的值．
【答案】；
【知识点】算术平方根；勾股定理
【解析】【解答】解：（1）+1=n+1
Sn=（n是正整数）；
故答案是：；
（2）∵OA12=1，
OA22=（）2+1=2，
OA32=（）2+1=3，
OA42=（）2+1=4，
∴OA12=，
OA2=，
OA3=，…
∴OA10=；
故答案是：；
（3）S12+S22+S32+…+S102
=（）2+（）2+（）2+…+（）2
=（1+2+3+…+10）
=．
即：S12+S22+S32+…+S102=．
【分析】（1）此题要利用直角三角形的面积公式，观察上述结论，会发现，第n个图形的一直角边就是，然后利用面积公式可得．
（2）由同述OA2=，0A3=…可知OA10=．
（3）S12+S22+S32+…+S102的值就是把面积的平方相加就可．
三、计算题
21．（2019八上·宜兴月考）求x的值:
（1）（x﹣2）2＝81
（2）（2x﹣1）3+27＝0
（3）计算： ；
【答案】（1）解：（x﹣2）2＝81
或
∴x＝11或x＝﹣7
（2）解：2x﹣1）3+27＝0
x＝﹣1
（3）解： ；
=
=10
【知识点】平方根；立方根及开立方；实数的运算
【解析】【分析】（1）用直接开平方法解方程；（2）用直接开立方法解方程；（3）实数的混合运算，先将绝对值，零指数幂，负整指数幂，立方根分别化简和计算，然后做有理数加减混合运算.
22．（2019八上·泰兴期中）已知2是 的平方根， 是 的立方根，求 的平方根.
【答案】解：由题意得 ,解得 ,
∴ ,∴ 的平方根是±1.
【知识点】平方根；立方根及开立方
【解析】【分析】根据平方根、立方根，可得3x-2=4,y-2x=-27，据此联立方程组，求出x、y的值，然后代入12x+y中，求出其值，最后求出平方根即可.
23．课堂上老师讲解了比较 和 的方法，观察发现11-10＝15-14＝1，于是比较这两个数的倒数：
因为 ，所以 ，则有 ，
请你设计一种方法比较 与 的大小，
【答案】解：
【知识点】无理数的大小比较
【解析】【分析】比较二者的大小可以分别求出和的平方，根据二次根式的性质进行大小比较，得到和的大小比较。
四、作图题
24．（2019八下·杭锦旗期中）如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫格点．
（1）在图1中以格点为顶点画一个直角三角形，使它的三边长都为整数；
（2）在图2中以格点为顶点画一个直角三角形，使它的三边长都为无理数；
（3）在图3中以格点为顶点画一个面积为10的正方形．
【答案】（1）解：如图1所示，Rt△ABC即为所求，
（2）解：如图所示，Rt△DEF即为所求，
（3）解：如图所示，正方形GHIJ即为所求，
【知识点】勾股定理
【解析】【分析】（1）画一个边长3，4，5的三角形即可；（2）利用勾股定理，找长为 、2 、 的线段，画三角形即可；（3）利用勾股定理作一个边长为 的正方形即可得．
五、解答题
25．（2019八下·鹿邑期中）如图所示，北部湾海面有一艘解放军军舰正在基地 的正东方向且距 地40海里的 处训练，突然接到基地命令，要该舰前往 岛接送一名患病的渔民到基地 的医院救治.已知 岛在基地 的北偏东58°方向且距基地 32海里，在 处的北偏西32°的方向上.军舰从 处出发，平均每小时行驶40海里，问至少需要多长时间能把患病渔民送到基地医院？
【答案】解：∵ ，∴ ，∵ ，∴
∴在 中， ， 为直角三角形，
在 中， ， ，
∴
航程： （海里），时间：56÷40=1.4（小时）
至少需要1.4小时能把患病渔民送到基地医院.
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【分析】根据题意知应求（BC+AC）的长，根据方向角及三角形内角和求出 为直角三角形，根据勾股定理求出BC的长即可.
26．（2017八上·德惠期末）如图，在离水面高度为5米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子BC的长为13米，此人以0.5米每秒的速度收绳，10秒后船移动到点D的位置，问船向岸边移动了多少米？（假设绳子是直的，结果保留根号）
【答案】解：在Rt△ABC中：
∵∠CAB=90°，BC=13米，AC=5米，
∴AB= =12（米），
∵此人以0.5米每秒的速度收绳，10秒后船移动到点D的位置，
∴CD=13﹣0.5×10=8（米），
∴AD= = = （米），
∴BD=AB﹣AD=12﹣ （米），
答：船向岸边移动了（12﹣ ）米
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【分析】在Rt△ABC中，利用勾股定理计算出AB长，再根据题意可得CD长，然后再次利用勾股定理计算出AD长，再利用AB=AD可得BD长．
27．（2019八上·凤翔期中）如图，折叠长方形的一边 ，使点 落在 边上的点 处， ， .
（1）求 的长；
（2）求 的长.
【答案】（1）解：由题意可得，
在 中，∵ ，
∴
（2）解：∵
由题意可得 ，设 的长为 cm
则在 中，
解得
则 的长为
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【分析】（1）由折叠可知AF的长为10cm，已知AB=8cm，即可利用勾股定理求出BF;(2)根据（1）可求得FC的长，由折叠知EF=DE，所以设EF=xcm可表示出CE=（8-x）cm，就可运用勾股定理求得EC的长.
28．（2020八上·遂宁期末）为了积极响应国家新农村建设，遂宁市某镇政府采用了移动宣讲的形式进行宣传动员．如图，笔直公路MN的一侧点A处有一村庄，村庄A到公路MN的距离为600米，假使宣讲车P周围1000米以内能听到广播宣传，宣讲车P在公路MN上沿PN方向行驶时：
（1）请问村庄能否听到宣传，请说明理由；
（2）如果能听到，已知宣讲车的速度是200米/分钟，那么村庄总共能听到多长时间的宣传？
【答案】（1）解：村庄能听到宣传，
理由：∵村庄A到公路MN的距离为600米＜1000米
∴村庄能听到宣传
（2）解：如图：假设当宣讲车行驶到P点开始影响村庄，行驶QD点结束对村庄的影响
则AP＝AQ＝1000米，AB＝600米
∴BP＝BQ＝ 米
∴PQ＝1600米
∴影响村庄的时间为：1600÷200＝8分钟
∴村庄总共能听到8分钟的宣传．
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【分析】（1）根据村庄A到公路MN的距离为600米＜1000米，于是得到结论；（2）根据勾股定理得到BP＝BQ＝800米，求得PQ＝1600米，于是得到结论．
1 / 12020年暑期衔接训练青岛版数学八年级下册：第9讲 第七章《实数》单元测试
一、单选题
1．（2020八下·海原月考）已知 ，则 的值为（　　）
A． B． C． D．
2．（2020八下·南宁期中）将面积为2π的半圆与两个正方形A和正方形B拼接如图所示，这两个正方形面积的和为（　　）
A．4 B．8 C．2π D．16
3．（2020八下·临汾月考）勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古代算书《周髀算经》中早有记载．如图1，以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两张正方形纸片按图2的方式放置在最大的正方形内．若知道图中阴影部分的面积，则一定能求出（　　）
A．直角三角形的面积
B．最大正方形的面积
C．较小两个正方形重叠部分的面积
D．最大正方形与直角三角形的面积和
4．（2020八上·沈阳期末）下列等式成立的是（　　）
A． B．
C． D．
5．（2019八上·郑州期中）下列说法中正确的有（　　）
①负数没有平方根，但负数有立方根；②一个数的立方根等于它本身，则这个数是0或1；
③无理数与数轴上的点一一对应；④ 的平方根是±2；⑤- 一定是负数
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．（2020八上·苏州期末）在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别是a、b、c，下列条件中，能判断△ABC是直角三角形（　　）
A．a=2，b=3，c=4 B．a：b：c=
C．∠A+∠B=2∠C D．∠A=2∠B=3∠C
7．（2019八上·海港期中）在实数 ，3.14159， ， ，1.010010001···， ，0. 中，无理数的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
8．（2018八上·长兴月考）如图所示的“赵爽弦圈”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形较长直角边长为n，较短直角边长为b．若nb=8，大正方形的面积为25，则小正方形的边长为（　　）
A．9 B．6 C．4 D．3
9．（2018八上·衢州期中）如图，将两个大小、形状完全相同的△ABC 和△A′B′C′拼在一起，其中点 A′与点 A 重合，点 C′ 落在边 AB 上，连接 B′C．若∠ACB=∠AC′B′=90°，AC=BC=3，则 B′C 的长为（　　）
A． B．6 C． D．
10．已知：在△ABC中，三边长a，b，c满足等式a2-16b2-c2+6ab+10bc=0，则（　　）
A．aC．c11．（2019八上·安国期中）把两个同样大小的含45°角的三角尺按如图所示的方式放置，其中一个锐角顶点与另一个的直角顶点重合于点A，且另外三个锐角顶点B，C，D在同一条直线上，若AB= ，则CD的长为（　　）
A． B． C． D．
12．（2018八上·江都期中）如图，设正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，黑、白两个甲壳虫同时从点A出发，以相同的速度分别沿棱向前爬行，黑甲壳虫爬行的路线是AA1→A1D1→……，白甲壳虫爬行的路线是AB→BB1→……，并且都遵循如下规则：所爬行的第n＋2与第n条棱所在的直线必须是既不平行也不相交（其中n是正整数）．那么当黑、白两个甲壳虫各爬行完第2018条棱分别停止在所到的正方体顶点处时，它们之间的距离是（　　）
A．0 B． C． D．1
二、填空题
13．已知的整数部分为a，小数部分为b，则a-b=　 　 .
14．（2020八下·岳池期末）在直线l上依次摆放着七个正方形（如图所示）．已知斜放置的三个正方形的面积分别是1，2，3，正放置的四个正方形的面积依次是S1，S2，S3，S4，则S1+S2+S3+S4=　 　
15．（2017八下·丰台期中）程大位所著《算法统宗》是一部中国传统数学重要的著作．在《算法统宗》中记载：“平地秋千未起，踏板离地一尺．送行二步与人齐，五尺人高曾记．仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉．良工高士素好奇，算出索长有几？”【注释】1步=5尺．
译文：“当秋千静止时，秋千上的踏板离地有1尺高，如将秋千的踏板往前推动两步（10尺）时，踏板就和人一样高，已知这个人身高是5尺．美丽的姑娘和才子们，每天都来争荡秋千，欢声笑语终日不断．好奇的能工巧匠，能算出这秋千的绳索长是多少吗？”
如图，假设秋千的绳索长始终保持直线状态，OA是秋千的静止状态，A是踏板，CD是地面，点B是推动两步后踏板的位置，弧AB是踏板移动的轨迹．已知AC=1尺，CD=EB=10尺，人的身高BD=5尺．设绳索长OA=OB=x尺，则可列方程为　 　．
16．已知，如图，四边形ABCD中，AB=3cm，AD=4cm，BC=13cm，CD=12cm，且∠A=90°，则四边形ABCD的面积　 　．
17．（2016八上·开江期末）如图，在高3米，坡面线段AB长为5米的楼梯表面铺地毯，已知楼梯宽1.5米，地毯售价为40元/平方米，若将楼梯表面铺满地毯，则至少需　 　元．
18．（2017八下·黄冈期中）如图，要使宽为2米的矩形平板车ABCD通过宽为2 米的等宽的直角通道，平板车的长不能超过　 　米．
19．如图1，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=1，BC=2，将△ABC放置在平面直角坐标系中，使点A与原点重合，点C在x轴正半轴上．将△ABC按如图2方式顺时针滚动（无滑动），则滚动2017次后，点B的坐标为　 　．
20．分析探索题：细心观察如图，认真分析各式，然后解答问题．
OA22=（）2+1=2 S1=；
OA32=（）2+1=3 S2=；
OA42=（）2+1=4 S3=…
（1）请用含有n（n为正整数）的等式Sn=　 　 ；
（2）推算出OA10=　 　
（3）求出 S12+S22+S32+…+S102的值．
三、计算题
21．（2019八上·宜兴月考）求x的值:
（1）（x﹣2）2＝81
（2）（2x﹣1）3+27＝0
（3）计算： ；
22．（2019八上·泰兴期中）已知2是 的平方根， 是 的立方根，求 的平方根.
23．课堂上老师讲解了比较 和 的方法，观察发现11-10＝15-14＝1，于是比较这两个数的倒数：
因为 ，所以 ，则有 ，
请你设计一种方法比较 与 的大小，
四、作图题
24．（2019八下·杭锦旗期中）如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫格点．
（1）在图1中以格点为顶点画一个直角三角形，使它的三边长都为整数；
（2）在图2中以格点为顶点画一个直角三角形，使它的三边长都为无理数；
（3）在图3中以格点为顶点画一个面积为10的正方形．
五、解答题
25．（2019八下·鹿邑期中）如图所示，北部湾海面有一艘解放军军舰正在基地 的正东方向且距 地40海里的 处训练，突然接到基地命令，要该舰前往 岛接送一名患病的渔民到基地 的医院救治.已知 岛在基地 的北偏东58°方向且距基地 32海里，在 处的北偏西32°的方向上.军舰从 处出发，平均每小时行驶40海里，问至少需要多长时间能把患病渔民送到基地医院？
26．（2017八上·德惠期末）如图，在离水面高度为5米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子BC的长为13米，此人以0.5米每秒的速度收绳，10秒后船移动到点D的位置，问船向岸边移动了多少米？（假设绳子是直的，结果保留根号）
27．（2019八上·凤翔期中）如图，折叠长方形的一边 ，使点 落在 边上的点 处， ， .
（1）求 的长；
（2）求 的长.
28．（2020八上·遂宁期末）为了积极响应国家新农村建设，遂宁市某镇政府采用了移动宣讲的形式进行宣传动员．如图，笔直公路MN的一侧点A处有一村庄，村庄A到公路MN的距离为600米，假使宣讲车P周围1000米以内能听到广播宣传，宣讲车P在公路MN上沿PN方向行驶时：
（1）请问村庄能否听到宣传，请说明理由；
（2）如果能听到，已知宣讲车的速度是200米/分钟，那么村庄总共能听到多长时间的宣传？
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】平方根
【解析】【解答】 ，
，
3x=±7，
∴x= .
故答案为：B.
【分析】先移项，再利用直接开平方法，即可求解.
2．【答案】D
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：已知半圆的面积为2π，
所以半圆的直径为：2 ＝4，
即如图直角三角形的斜边为：4，
设两个正方形的边长分别为：x，y，
则根据勾股定理得：x2+y2＝42＝16，
即两个正方形面积的和为16.
故答案为：D.
【分析】首先由面积为2π的半圆，可知圆的面积为4π，求出半圆的直径，即直角边的斜边，再根据勾股定理求出两直角边的平方和，即是这两个正方形面积的和.
3．【答案】C
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：设直角三角形的斜边长为c，较长直角边为b，较短直角边为a。
由勾股定理得c2=a2+b2，
阴影部分的面积=c2-b2-a(c-b)=a2-ac+ab=a(a+b-c)，
较小两个正方形重叠部分的宽=a-(c-b)=a+b-c，长=a，
则较小两个正方形重叠部分的面积=a(a+b-c)，
∴知道图中阴影部分的面积，就一定能求出较小两个正方形重叠部分的面积。
【分析】设直角三角形的斜边长为c，较长直角边为b，较短直角边为a。由勾股定理得c2=a2+b2，
然后根据正方形和长方形的面积公式计算即可。
4．【答案】D
【知识点】平方根；算术平方根；立方根及开立方
【解析】【解答】解：A. ，故错误；
B. ，故错误；
C. ，故错误；
D. ，正确；
故答案为：D.
【分析】根据算术平方根的定义、立方根的性质、平方根的定义即可一一判断得出答案.
5．【答案】B
【知识点】平方根；算术平方根；立方根及开立方；无理数在数轴上表示
【解析】【解答】解：①负数没有平方根，但负数有立方根；说法正确；
②一个数的立方根等于它本身，则这个数是0或1，还有-1，故错误；
③实数与数轴上的点一一对应，故错误；
④ =4的平方根是±2，说法正确；
⑤- 一定是负数，当a=0时，不是负数，故错误；
故答案为：B.
【分析】根据只有非负数才有平方根和算术平方根，可对①作出判断；立方根等于它本身的数有±1，0，可对②作出判断；再根据实数与数轴上的点成一一对应，可对③作出判断；任何数的立方根只有一个，可对④作出判断；- 一定是非正数可对⑤作出判断，综上所述，可得到正确结论的个数。
6．【答案】B
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A、22+32=13<42=16，不是直角三角形，不符合题意；
B、设比的每份为1, 则 ,是直角三角形，符合题意；
C、∵∠A+∠B+∠C=180°，∴3∠C=180°，∴∠C=60°，∴∠A+∠B=120°，∴不一定有角是90°，不符合题意；
D、∵∠A=2∠B=3∠C ，∴∠B=∠A，∠C=∠A，∴∠A+∠A+∠A=180°，解得∠A=≠90°，不符合题意.
故答案为：B.
【分析】已知三边，先求出较小两边的平方和，利用勾股定理即可判断；已知角的关系，则求出最大角，看是否等于90°即可.
7．【答案】C
【知识点】无理数的概念
【解析】【解答】解：因为在实数 ，3.14159， ， ，1.010010001···， ，0. 中， 是开不尽方的数，1.010010001···是无限不循环小数， 也是无限不循环小数，所以 、1.010010001···和 是无理数，所以共有3个无理数；
故答案选C.
【分析】根据无理数的概念以及常见无理数的类型即可做出判断.
8．【答案】D
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：∵ 较长直角边长为n，较短直角边长为b ，大正方形的面积为25
∴n2+b2=25
∴（n-b）2+2nb=25
∵nb=8
∴（n-b）2+2×8=25即（n-b）2=9
∵n＞b
∴n-b=3
∴小正方形的边长为3
故答案为：D
【分析】由题意可知n2+b2=25，再将其转化为（n-b）2+2nb=25，将nb=8代入就可求出小正方形的边长。
9．【答案】A
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：∵∠ACB=∠AC′B′=90°，AC=BC=3，
∴由勾股定理得：AB=，
由题意△ABC ≌△A′B′C′
∴AB′=AB=，
在Rt△AB′C中，由勾股定理得：B′C=.
【分析】在直角三角形ABC中，用勾股定理可求得AB的长，由题意知AB=AB′，于是在直角三角形AB′C中，用勾股定理即可求得B′C的长。
10．【答案】B
【知识点】无理数的大小比较
【解析】【分析】首先根据配方法，将原方程变为（a+c-2b)（a-c+8b)=0；又由三角形的三边关系，即可得到答案．
【解答】∵a2-16b2-c2+6ab+10bc=a2+9b2+6ab-25b2-c2+10bc=（a+3b)2-（c-5b)2=0，
∴（a+3b+c-5b)（a+3b-c+5b)=0，
即（a+c-2b)（a-c+8b)=0，
∴a+c-2b=0或a-c+8b=0，
∴a+c=2b或a+8b=c，
∵a+b＞c，
∴a+8b=c不符合题意，舍去，
∴a+c=2b．
故选B．
11．【答案】C
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：如图，
过点A作AF⊥BC于F，
在Rt△ABC中，∠B=45°，
∴BC= AB=2，BF=AF= AB=1，
∵两个同样大小的含45°角的三角尺，
∴AD=BC=2，
在Rt△ADF中，根据勾股定理得，DF= =
∴CD=BF+DF-BC=1+ -2= -1，
故答案为：C．
【分析】根据含有45°的直角三角形，可计算出BC的长度，在Rt△ADF中，根据勾股定理可计算出CD=。
12．【答案】B
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】根据爬行规则，黑、白两个甲壳虫爬行轨迹如下图：
从图中发现，发现周期为6条棱
……2,
即黑棋子在D1处，白棋子在B1处，它们之间的距离为线段D1 B1的长,
由勾股定理得：D1 B1= ，
故答案为：B
【分析】根据爬行规则，黑、白两个甲壳虫爬行轨迹如下图，根据表中找出规律，可知黑棋子在D1处，白棋子在B1处，它们之间的距离为线段D1 B1的长，然后利用勾股定理求解即可。
13．【答案】
【知识点】平方根；算术平方根
【解析】【解答】∵3＜＜4，
∴a=3，
则b=-3．
∴a-b=6-
【分析】根据3＜＜4首先确定a的值，则小数部分即可确定．
14．【答案】4
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】
解：观察发现，
∵AB=BE，∠ACB=∠BDE=90°，
∴∠ABC+∠BAC=90°，∠ABC+∠EBD=90°，
∴∠BAC=∠EBD，
∴△ABC≌△BDE（AAS），
∴BC=ED，
∵AB2=AC2+BC2，
∴AB2=AC2+ED2=S1+S2，
即S1+S2=1，
同理S3+S4=3．
则S1+S2+S3+S4=1+3=4．
故答案为：4．
【分析】运用勾股定理可知，每两个相邻的正方形面积和都等于中间斜放的正方形面积，据此即可解答．
15．【答案】102+（x﹣5+1）2=x2
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】设绳索长OA=OB=x尺，由题意得，102+（x﹣5+1）2=x2．
故答案为：102+（x﹣5+1）2=x2．
【分析】设绳索长OA=OB=x尺，则由图形的信息可知：OE=x﹣5+1，BE=CD=10，在直角三角形OBE中，由勾股定理可得：，即+=。
16．【答案】36cm2
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：连接BD，
∵AB=3cm，AD=4cm，∠A=90°，BC=13cm，CD=12cm，
∴BD= = =5cm．
∵122+52=132，即CD2+BD2=BC2，
∴△BCD是直角三角形，∠BDC=90°，
∴S四边形ABCD=S△ABD+S△BCD= ×3×4+ ×5×12=6+30=36cm2．
故答案为：36cm2．
【分析】连接BD，根据勾股定理求出BD的长，再由勾股定理的逆定理判断出△BCD的形状，由S四边形ABCD=S△ABD+S△BCD即可得出结论．
17．【答案】420元
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：如图所示：
在Rt△ABC中，由勾股定理可知：BC= =4米．
地毯的总长=BC+AC=4+3=7米．
地毯的面积=7×1.5=10.5平方米．
地毯的总价=40×10.5=420元．
故答案为：420元．
【分析】利用平移法可求地毯的长等于直角三角形的两直角边的和，再乘以宽得面积，乘以单价，得出费用.
18．【答案】4
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：设平板手推车的长度不能超过x米
则x为最大值，且此时平板手推车所形成的三角形CBP为等腰直角三角形．
连接PO，与BC交于点N．
∵直角走廊的宽为2 m，
∴PO=4m，
∴NP=PO﹣ON=4﹣2=2（m）．
又∵△CBP为等腰直角三角形，
∴AD=BC=2CN=2NP=4（m）．
故答案为：4
【分析】如图，先设平板手推车的长度不能超过x米，则得出x为最大值时，平板手推车所形成的三角形CBP为等腰直角三角形．连接PO，与BC交于点N，利用△CBP为等腰直角三角形即可求得平板手推车的长度不能超过多少米．
19．【答案】（2019+672 ，0）
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：根据三角形滚动规律得出每3次一循环，
∵2013÷3=671，
∴滚动2013次后，点B的纵坐标与滚动第3次纵坐标相同为2，
∵∠ACB=90°，AC=1，BC=2，
∴OB= = ，
∴三角形三边长的和为：1+2+ =3+ ，
则滚动2017次后，点B的横坐标为：1+2+672（3+ ）=2019+672 ．
故点B的坐标为：（2019+672 ，0）．
故答案为：（2019+672 ，0）．
【分析】根据三角形的滚动规律分别得出B点的横、纵坐标，进而得出答案．
20．【答案】；
【知识点】算术平方根；勾股定理
【解析】【解答】解：（1）+1=n+1
Sn=（n是正整数）；
故答案是：；
（2）∵OA12=1，
OA22=（）2+1=2，
OA32=（）2+1=3，
OA42=（）2+1=4，
∴OA12=，
OA2=，
OA3=，…
∴OA10=；
故答案是：；
（3）S12+S22+S32+…+S102
=（）2+（）2+（）2+…+（）2
=（1+2+3+…+10）
=．
即：S12+S22+S32+…+S102=．
【分析】（1）此题要利用直角三角形的面积公式，观察上述结论，会发现，第n个图形的一直角边就是，然后利用面积公式可得．
（2）由同述OA2=，0A3=…可知OA10=．
（3）S12+S22+S32+…+S102的值就是把面积的平方相加就可．
21．【答案】（1）解：（x﹣2）2＝81
或
∴x＝11或x＝﹣7
（2）解：2x﹣1）3+27＝0
x＝﹣1
（3）解： ；
=
=10
【知识点】平方根；立方根及开立方；实数的运算
【解析】【分析】（1）用直接开平方法解方程；（2）用直接开立方法解方程；（3）实数的混合运算，先将绝对值，零指数幂，负整指数幂，立方根分别化简和计算，然后做有理数加减混合运算.
22．【答案】解：由题意得 ,解得 ,
∴ ,∴ 的平方根是±1.
【知识点】平方根；立方根及开立方
【解析】【分析】根据平方根、立方根，可得3x-2=4,y-2x=-27，据此联立方程组，求出x、y的值，然后代入12x+y中，求出其值，最后求出平方根即可.
23．【答案】解：
【知识点】无理数的大小比较
【解析】【分析】比较二者的大小可以分别求出和的平方，根据二次根式的性质进行大小比较，得到和的大小比较。
24．【答案】（1）解：如图1所示，Rt△ABC即为所求，
（2）解：如图所示，Rt△DEF即为所求，
（3）解：如图所示，正方形GHIJ即为所求，
【知识点】勾股定理
【解析】【分析】（1）画一个边长3，4，5的三角形即可；（2）利用勾股定理，找长为 、2 、 的线段，画三角形即可；（3）利用勾股定理作一个边长为 的正方形即可得．
25．【答案】解：∵ ，∴ ，∵ ，∴
∴在 中， ， 为直角三角形，
在 中， ， ，
∴
航程： （海里），时间：56÷40=1.4（小时）
至少需要1.4小时能把患病渔民送到基地医院.
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【分析】根据题意知应求（BC+AC）的长，根据方向角及三角形内角和求出 为直角三角形，根据勾股定理求出BC的长即可.
26．【答案】解：在Rt△ABC中：
∵∠CAB=90°，BC=13米，AC=5米，
∴AB= =12（米），
∵此人以0.5米每秒的速度收绳，10秒后船移动到点D的位置，
∴CD=13﹣0.5×10=8（米），
∴AD= = = （米），
∴BD=AB﹣AD=12﹣ （米），
答：船向岸边移动了（12﹣ ）米
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【分析】在Rt△ABC中，利用勾股定理计算出AB长，再根据题意可得CD长，然后再次利用勾股定理计算出AD长，再利用AB=AD可得BD长．
27．【答案】（1）解：由题意可得，
在 中，∵ ，
∴
（2）解：∵
由题意可得 ，设 的长为 cm
则在 中，
解得
则 的长为
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【分析】（1）由折叠可知AF的长为10cm，已知AB=8cm，即可利用勾股定理求出BF;(2)根据（1）可求得FC的长，由折叠知EF=DE，所以设EF=xcm可表示出CE=（8-x）cm，就可运用勾股定理求得EC的长.
28．【答案】（1）解：村庄能听到宣传，
理由：∵村庄A到公路MN的距离为600米＜1000米
∴村庄能听到宣传
（2）解：如图：假设当宣讲车行驶到P点开始影响村庄，行驶QD点结束对村庄的影响
则AP＝AQ＝1000米，AB＝600米
∴BP＝BQ＝ 米
∴PQ＝1600米
∴影响村庄的时间为：1600÷200＝8分钟
∴村庄总共能听到8分钟的宣传．
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【分析】（1）根据村庄A到公路MN的距离为600米＜1000米，于是得到结论；（2）根据勾股定理得到BP＝BQ＝800米，求得PQ＝1600米，于是得到结论．
1 / 1