初中数学苏科版八年级上册第三章 勾股定理 单元测试卷
一、单选题
1．（2018八上·泗阳期中）下列各组数中，可以构成勾股数的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2018八上·江都期中）下列命题中，是假命题的是（ ）
A．在△ABC中，若∠A：∠B：∠C＝1：2：3，则△ABC是直角三角形
B．在△ABC中，若a2＝(b＋c) (b－c)，则△ABC是直角三角形
C．在△ABC中，若∠B＝∠C＝∠A，则△ABC是直角三角形
D．在△ABC中，若a：b：c＝5：4：3，则△ABC是直角三角形
3．（2017八下·海安期中）下列各组数中，能构成直角三角形的三边的长是（ ）
A．3，5，5 B．3，4，5 C．5，12，15 D．5，24，25
4．如图，某公司举行周年庆典，准备在门口长25米，高7米的台阶上铺设红地毯，已知台阶的宽为3米，则共需购买（ ）m2的红地毯．
A．21 B．75 C．93 D．96
5．如图，王大伯家屋后有一块长12m，宽8m的矩形空地，他在以长边BC为直径的半圆内种菜，他家养的一只羊平时拴在A处的一棵树上，为了不让羊吃到菜，拴羊的绳长可以选用（ ）
A．9m B．7m C．5m D．3m
6．如图，一根垂直于地面的旗杆在离地面5m处撕裂折断，旗杆顶部落在离旗杆底部12m处，旗杆折断之前的高度是（ ）
A．5m B．12m C．13m D．18m
二、填空题
7．（2020八上·东海期中）如图，将一根长12cm的筷子置于底面半径为3cm，高为8cm的圆柱形杯子中，则筷子露在杯子外面的长度h至少为 cm.
8．（2020八上·常州月考）如图，已知圆柱底面的周长为6cm，圆柱高为3cm，在圆柱的侧面上，过点A和点C嵌有一圈金属丝，则这圈金属丝的周长最小为 cm.
9．（2020八上·东台期末）如图所示的一块地，∠ADC=90°，AD=12m，CD=9m，AB=39m，BC=36m，则这块地的面积为 m2.
10．（2019八上·东台期中）如图，在△ABC 中，AC＝BC，∠ACB＝90°，点 D 在 BC 上，BD＝3，DC＝1，点 P 是 AB 上的动点，则 PC+PD 的最小值为
11．（2019八上·东台期中）如图，四边形ABCD中，∠BAD=110°，∠B=∠D=90°，在BC、CD上分别找一点M、N，使△AMN周长最小，此时∠MAN的度数为 °.
12．（2018八上·泗阳期中）如图，每个小正方形的边长为1，A、B、C是小正方形的顶点，则∠ABC的度数为 .
13．（2018八上·江都期中）一直角三角形的三边分别为3，4，x，那么以x为边长的正方形的面积为 ．
14．（2018八上·无锡期中）如图，圆柱形玻璃杯高为14cm，底面周长为32cm，在杯内壁离杯底5cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿3cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短距离为 cm（杯壁厚度不计）．
15．（2018八上·常州期中）如图，是由直角三角形和正方形拼成的图形，正方形A的边长为5，另外四个正方形中的数字4，x，6，y分别表示该正方形面积，则x与y的数量关系是 .
16．（2018八上·宜兴期中）如图，长方体的长为4cm，宽为2cm，高为5cm，若用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B，则所用细线的长度最短为 cm.
三、解答题
17．（2020八上·宿迁期中）如图，已知CD⊥AB，CD＝2，BD＝4，AD＝1，求证：∠ACB是直角.
18．（2020八上·吴江期中）学完勾股定理之后，同学们想利用升旗的绳子、卷尺，测算出学校旗杆的高度.爱动脑筋的小明这样设计了一个方案：将升旗的绳子拉到旗杆底端，并在绳子上打了一个结，然后将绳子拉到离旗杆底端5米处，发现此时绳子底端距离打结处约1米.请你设法帮小明算出旗杆的高度.
19．（2020八下·江苏月考）《九章算术》是中国古代第一部数学专著.全书共收有246个数学问题.其中有一个“折竹抵地”问题:今有竹高一丈,末折抵地,去根六尺.问折高者几何 意思是:一根竹子,原高一丈（一丈=10尺）,一阵风将竹子折断,其竹梢恰好抵地,抵地处离竹子底部6尺远,问折断处离地面的高度是多少 请用本学期我们所学的知识解决这个问题.
20．（2019八上·东台月考）如图在四边形ABCD中，
AD=1,AB=BC=2,DC=3,AD⊥AB,求
21．（2018八上·惠山月考）如图，小亮将升旗的绳子拉到旗杆底端，绳子末端刚好接触地面，然后将绳子末端拉到距离旗杆8m处，发现此时绳子末端距离地面2m，请你求出旗杆的高度.（滑轮上方的部分忽略不计）
22．（2018八上·张家港期中）已知：如图等腰△ABC中，AB=AC，BC=10，BD⊥AC于D，且BD=8．求△ABC的面积S△ABC．
23．（2018八上·宜兴期中）如图，小巷左右两侧是竖着的墙，两墙相距2.2米。一架梯子斜靠在左墙时，梯子顶端距离地面2.4米．如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2米。梯长多少米？
24．（2018八上·东台期中）如图，在△ABC中，AB=20，AC=15，BC=25，AD⊥BC，垂足为D．求AD，BD的长．
25．（2017八上·高州月考）如图所示，在△ 中，AC=8，BC=6；在△ 中，DE是AB边上的高，DE=7.△ABE的面积是35，求∠C的度数.
26．（2017八下·滨海开学考）计算图中四边形ABCD的面积．
27．省道S226在我县境内某路段实行限速，机动车辆行驶速度不得超过60km/h，如图，一辆小汽车在这段路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪A处的正前方36m的C处，过了3s后，测得小汽车与车速检测仪间距离为60m，这辆小汽车超速了吗？
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】勾股数
【解析】【解答】A.32+42=52，能构成直角三角形，是整数．故符合题意；
B． 不是正整数．故不符合题意；
C． 不是正整数．故不符合题意；
D． ，不能构成直角三角形．故不符合题意．
故答案为：A．
【分析】利用勾股定理的逆定理，分别求出各选项中较小两数的平方和及最大的数的平方，若较小两数的平方和=最大的数的平方，这三个数就是勾股数。据此可判断。
2．【答案】C
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】A、因为∠A+∠B+∠C=180°，∠A：∠B：∠C＝1：2：3，所以∠A=30°，∠B=60°，∠C=90°，△ABC是直角三角形，不符合题意；
B、因为a2＝(b＋c) (b－c)，所以 ，即 ，由勾股定理得，△ABC是直角三角形，不符合题意；
C、因为∠A+∠B+∠C=180°，∠B＝∠C＝∠A，所以∠B＝∠C＝∠A=60°，△ABC是等边三角形，符合题意；
D、因为a：b：c＝5：4：3，设a=5x，b=4x，c=3x，则 ，即 ，由勾股定理得，△ABC是直角三角形，不符合题意；
故答案为：C.
【分析】利用三角形内角和定理或勾股定理判断，分别分析各题设是否能够推出结论，就可得出是假命题的选项。
3．【答案】B
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A. 3，5，5 ，不满足勾股定理，故A不符合题意；
B.3，4，5，满足勾股定理，故B符合题意；
C.5，12，15，不满足勾股定理，故C不符合题意；
D.5，24，25，不满足勾股定理，故D不符合题意.
故答案为：B.
【分析】根据勾股定理的逆定理，较小的两边平方和等于第三边的平方，即可得出答案。
4．【答案】C
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：依题意图中直角三角形一直角边为7米，斜边为25米，
根据勾股定理另一直角边长： =24（米），
则需购买红地毯的长为24+7=31（米），
红地毯的宽则是台阶的宽3米，所以面积是：31×3=93（平方米）．
故选：C．
【分析】首先可利用勾股定理解图中直角三角形得台阶的地面长度为24米，则通过观察梯子可知需买红地毯的总长度为24+7=31米．
5．【答案】D
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：连接OA，交半圆O于E点，
在Rt△OAB中，OB=6，AB=8，
所以OA= =10；
又OE=OB=6，
所以AE=OA﹣OE=4．
因此选用的绳子应该不大于4m，
故选D．
【分析】为了不让羊吃到菜，必须小于等于点A到圆的最小距离．要确定最小距离，连接OA交半圆于点E，即AE是最短距离．在直角三角形AOB中，因为OB=6，AB=8，所以根据勾股定理得OA=10．那么AE的长即可解答．
6．【答案】D
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【分析】先根据勾股定理求得斜边的长，即可得到结果。
【解答】由题意得，斜边的长
则旗杆折断之前的高度是13+5=18m
故选D.
【点评】解答本题的关键是读懂题意，掌握旗杆折断之前的高度包含一条直角边和一条斜边的长。
7．【答案】2
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：如图所示，筷子、圆柱的高、圆柱的直径正好构成直角三角形，
∵圆柱杯子的底面半径为3cm，高为8cm，
∴筷子在圆柱里面的最大长度= cm，
∴筷子露在杯子外面的长度至少为12－10=2cm，
故答案为2.
【分析】利用勾股定理求出筷子在圆柱里面的最大长度= cm，从而求出筷子露在杯子外面的长度至少为12－10=2cm.
8．【答案】
【知识点】勾股定理；平面展开﹣最短路径问题
【解析】【解答】如图,把圆柱的侧面展开,得到矩形,则这圈金属丝的周长最小为2AC的长度
∵圆柱底面的周长为6cm，圆柱高为3cm，
∴AB=3cm,BC=BC′=3cm，
∴AC2=32+32=18，
∴AC= cm，
∴这圈金属丝的周长最小为2AC= cm.
故答案为 .
【分析】要求丝线的长，需将圆柱的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果，在求线段长时，根据勾股定理计算即可.
9．【答案】216
【知识点】勾股定理的逆定理；勾股定理的应用
【解析】【解答】连接AC，
已知，在直角△ACD中，CD=9m，AD=12m，
根据AD +CD =AC ，可以求得AC=15m，
在△ABC中，AB=39m，BC=36m，AC=15m，
∴存在AC +CB =AB ，
∴△ABC为直角三角形，
要求这块地的面积，求△ABC和△ACD的面积之差即可，
S= = AC BC CD AD= ×15×36 ×9×12=270 54=216m ，
答：这块地的面积为216m .
故填：216.
【分析】在Rt△ACD中，利用勾股定理求出AC的长，再利用勾股定理的逆定理证明△ABC是直角三角形，然后利用三角形的面积公式求出△ABC和△ACD的面积之差即可。
10．【答案】5
【知识点】勾股定理；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：过点C作CO⊥AB于O，延长CO到C′，使OC′=OC，连接DC′，交AB于P，
连接CP.此时DP+CP=DP+PC′=DC′的值最小.∵BD=3，DC=1，∴BC=4，∴BD=3，连接BC′，由对称性可知∠C′BA=∠CBA=45°，∴∠CBC′=90°，∴BC′⊥BC，∠BCC′=∠BC′C=45°，∴BC=BC′=4，根据勾股定理可得：DC′= =5.
故答案为：5.
【分析】利用轴对称求最短距离问题，过点C作CO⊥AB于O，延长CO到C′，使OC′=OC，连接DC′，交AB于P，连接CP.此时DP+CP=DP+PC′=DC′的值最小，进而根据等腰直角三角形的性质及轴对称的性质和勾股定理即可算出答案.
11．【答案】40
【知识点】轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：作A关于BC和CD的对称点A′，A″，连接A′A″，交BC于M，交CD于N，则A′A″即为△AMN的周长最小值，如图，
∵∠DAB＝110°，
∴∠HAA′＝70°，
∴∠AA′M＋∠A″＝∠HAA′＝70°，
∵∠MA′A＝∠MAB，∠NAD＝∠A″，
∴∠MAB＋∠NAD＝70°，
∴∠MAN＝110° 70°＝40°，
故答案为40.
【分析】根据要使△AMN的周长最小，即利用点的对称，使三角形的三边在同一直线上，作出A关于BC和CD的对称点A′，A″，即可得出∠AA′M＋∠A″＝∠HAA′＝70°，进而得出∠MAB＋∠NAD＝70°，即可得出答案.
12．【答案】450
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】分别在格点三角形中，根据勾股定理即可得到AC2=12+22=5，BC2=12+22=5，AB2=12+32=10，继而可得出∠ACB=90°，然后根据等腰直角三角形可求得∠BAC=45°．
【分析】利用勾股定理分别求出AC2，BC2，AB2的值，再利用勾股定理的逆定理证明∠ACB=90°，就可证得△ABC是等腰直角三角形，就可求出∠ABC的度数。
13．【答案】7或25
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】当4为斜边时， ,
则以x为边长的正方形的面积为7,
当x为斜边时， ,
则以x为边长的正方形的面积为25.
故答案是：7或25.
【分析】分两种情况讨论：当4为斜边时；当x为斜边时，分别求出x的值，就可得出以x为边长的正方形的面积。
14．【答案】20
【知识点】平面展开﹣最短路径问题
【解析】【解答】解：如图：
将杯子侧面展开，作A关于EF的对称点A′，
连接A′B，则A′B即为最短距离，A′B= （cm）．
故答案为20．
【分析】先把立体图形沿着母线展开，先根据对称性把A,B放在一个平面内，再利用两点之间线段最短即可求出结论。
15．【答案】x＋y＝15
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：∵正方形A的边长为5,
∴SA=25,
根据勾股定理的几何意义，得(4+x)+(6+y)=SA=25，
∴x+y=15，
故答案为x+y=15．
【分析】根据正方形的性质和勾股定理得到(4+x)+(6+y)=SA，求出x与y的数量关系.
16．【答案】13
【知识点】平面展开﹣最短路径问题
【解析】【解答】解：将长方体展开，连接A、B′，
∵AA′=4+2+4+2=12（cm），A′B′=5cm，
根据两点之间线段最短，AB′= =13cm．
∴所用细线最短需要13cm．
故答案为：13.
【分析】根据两点之间线段最短可知，将长方体展开，连接A、B′，线段AB′的长即为所用细线最短距离，在直角三角形中用勾股定理即可求解。
17．【答案】解：∵CD⊥AB交AB于点D，
∴由勾股定理得：
AC2=AD2+CD2=12+22=5，
BC2=CD2+BD2=22+42=20；
而AB2=(4+1)2=25，
∴AB2=AC2+BC2，
∴△ABC是直角三角形，且∠ACB是直角.
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【分析】先利用勾股定理求出AC2=5，BC2=20，故AC2+BC2=AB2，根据勾股定理的逆定理即证结论.
18．【答案】解：设旗杆长为x米，则绳长为（x+1）米，则由勾股定理可得：
，
解得x=12，
答：旗杆的高度为12米.
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【分析】设旗杆长为x米，则绳长为（x+1）米，根据勾股定理即可列方程求解.
19．【答案】解：设竹子折断处离地面x尺，则斜边为（10-x）尺，
根据勾股定理得： ，
解得：x=3.2，
答：折断处离地面的高度是3.2尺.
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【分析】竹子折断后恰好构成一个直角三角形，设竹子折断处离地面x尺，则斜边为（10-x）尺，利用勾股定理解题即可.
20．【答案】解：连接BD，
在直角△ABD中，AC为斜边，且AB=BC=2，AD=1则BD= = ,，∴BC2+BD2=CD2，
即△ACD为直角三角形，且∠DAC=90°，
四边形ABCD的面积=S△ABD+S△BCD= AB×AD+ BD×BC
= .
=1+
答：四边形ABCD的面积为1+ .
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【分析】连接BD，则可以计算△ABD的面积，根据AB、BD可以计算BD的长，根据CD，BC，BD可以判定△BCD为直角三角形，根据BC，BD可以计算△BCD的面积，四边形ABCD的面积为△ABD和△BCD面积之和.
21．【答案】解：设旗杆高度为x，则AC=AD=x，AB=（x﹣2）m，BC=8m， 在Rt△ABC中，AB2+BC2=AC2 ， 即（x﹣2）2+82=x2 ，
解得：x=17，
即旗杆的高度为17米.
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【分析】由题意可知绳子和旗杆的高度相等，因此设AD=x，则AC=x，AB=x-2，利用勾股定理建立关于x的方程，解方程求出x的值，即可求解。
22．【答案】解：∵BD⊥AC， 在Rt△BCD中，BD＝8，BC＝10， ∴CD＝6， 设AB＝AC＝x， 则AD＝x﹣6， 在Rt△ABD中，AD2＋BD2＝AB2， ∴（x﹣6）2＋82＝x2， ∴x＝ ， ∴S△ABC＝ AC BD＝ ．
【知识点】勾股定理
【解析】【分析】利用勾股定理，在Rt△BDC中，求出CD，设AB=AC=x，用含x的代数式表示出AD，再在△ADB中，利用勾股定理建立关于x的方程，解方程求出x的值，然后利用三角形的面积公式求解。
23．【答案】解：设CB=x，则BD=2.2-x． 由题意，∠ACB=∠BDA′=90°，∴AC2+BC2=BD2+A′D2 ，∴2.42+ x2=(2.2-x)2+22 解得：x= 0.7． AB= =2.5． 答：梯长2.5米．
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【分析】由梯子的长度不变可知AB=
A′B，在直角三角形ABC和直角三角形
A′BC中，用勾股定理即可求解。
24．【答案】解：（1）∵ ， ，
∴ ，
∴ΔABC是直角三角形.
∵S△ACB= ×AB×AC= ×BC×AD，
∴15×20=25×AD，
∴AD=12.
（ 2 ）利用勾股定理得：BD= =16.
【知识点】勾股定理的逆定理；勾股定理的应用
【解析】【分析】（1）由题意计算AB2+AC2、BC2，用勾股定理的逆定理可判断三角形ABC是直角三角形再用面积法可求得AD的长；
（2）由（1）可知AD的长，在直角三角形ABD中，用勾股定理可求得BD的长。
25．【答案】解：∵DE=7，S△ABE= DE AB=35，∴AB=10，∵AC=8，BC=6，62+82=102，∴AC2+BC2=AB2∴△ABC是直角三角形．∴∠C=90°
【知识点】勾股定理的逆定理；勾股定理的应用
【解析】【分析】已知S△ABE =35，DEAB，DE=7，所以根据三角形面积公式S△ABE= DE AB得AB=10.又因为AC=8，BC=6，所以△ABC是直角三角形，所以∠C=90°。
26．【答案】解：在Rt△ABD中，BD为斜边，
AD=12，AB=16，
则BD= ，
故四边形ABCD的面积为S△ABD+S△BCD= ×12×16+ ×15×20=96+150=246．
答：四边形ABCD的面积为246．
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【分析】先需利用勾股定理计算BD，再利用勾股定理逆定理判定△CBD是直角三角形，再求出两个直角三角形面积之和即可.
27．【答案】解：在Rt△ABC中，AC=36m，AB=60m；
据勾股定理可得：
BC===48（m）
∴小汽车的速度为v==16（m/s）=16×3.6（km/h）=57.6（km/h）；
∵60（km/h）＞57.6（km/h）；
∴这辆小汽车没有超速行驶．
答：这辆小汽车没有超速、．
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【分析】本题求小汽车是否超速，其实就是求BC的距离，直角三角形ABC中，有斜边AB的长，有直角边AC的长，那么BC的长就很容易求得，根据小汽车用2s行驶的路程为BC，那么可求出小汽车的速度，然后再判断是否超速了．
1 / 1初中数学苏科版八年级上册第三章 勾股定理 单元测试卷
一、单选题
1．（2018八上·泗阳期中）下列各组数中，可以构成勾股数的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】勾股数
【解析】【解答】A.32+42=52，能构成直角三角形，是整数．故符合题意；
B． 不是正整数．故不符合题意；
C． 不是正整数．故不符合题意；
D． ，不能构成直角三角形．故不符合题意．
故答案为：A．
【分析】利用勾股定理的逆定理，分别求出各选项中较小两数的平方和及最大的数的平方，若较小两数的平方和=最大的数的平方，这三个数就是勾股数。据此可判断。
2．（2018八上·江都期中）下列命题中，是假命题的是（ ）
A．在△ABC中，若∠A：∠B：∠C＝1：2：3，则△ABC是直角三角形
B．在△ABC中，若a2＝(b＋c) (b－c)，则△ABC是直角三角形
C．在△ABC中，若∠B＝∠C＝∠A，则△ABC是直角三角形
D．在△ABC中，若a：b：c＝5：4：3，则△ABC是直角三角形
【答案】C
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】A、因为∠A+∠B+∠C=180°，∠A：∠B：∠C＝1：2：3，所以∠A=30°，∠B=60°，∠C=90°，△ABC是直角三角形，不符合题意；
B、因为a2＝(b＋c) (b－c)，所以 ，即 ，由勾股定理得，△ABC是直角三角形，不符合题意；
C、因为∠A+∠B+∠C=180°，∠B＝∠C＝∠A，所以∠B＝∠C＝∠A=60°，△ABC是等边三角形，符合题意；
D、因为a：b：c＝5：4：3，设a=5x，b=4x，c=3x，则 ，即 ，由勾股定理得，△ABC是直角三角形，不符合题意；
故答案为：C.
【分析】利用三角形内角和定理或勾股定理判断，分别分析各题设是否能够推出结论，就可得出是假命题的选项。
3．（2017八下·海安期中）下列各组数中，能构成直角三角形的三边的长是（ ）
A．3，5，5 B．3，4，5 C．5，12，15 D．5，24，25
【答案】B
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A. 3，5，5 ，不满足勾股定理，故A不符合题意；
B.3，4，5，满足勾股定理，故B符合题意；
C.5，12，15，不满足勾股定理，故C不符合题意；
D.5，24，25，不满足勾股定理，故D不符合题意.
故答案为：B.
【分析】根据勾股定理的逆定理，较小的两边平方和等于第三边的平方，即可得出答案。
4．如图，某公司举行周年庆典，准备在门口长25米，高7米的台阶上铺设红地毯，已知台阶的宽为3米，则共需购买（ ）m2的红地毯．
A．21 B．75 C．93 D．96
【答案】C
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：依题意图中直角三角形一直角边为7米，斜边为25米，
根据勾股定理另一直角边长： =24（米），
则需购买红地毯的长为24+7=31（米），
红地毯的宽则是台阶的宽3米，所以面积是：31×3=93（平方米）．
故选：C．
【分析】首先可利用勾股定理解图中直角三角形得台阶的地面长度为24米，则通过观察梯子可知需买红地毯的总长度为24+7=31米．
5．如图，王大伯家屋后有一块长12m，宽8m的矩形空地，他在以长边BC为直径的半圆内种菜，他家养的一只羊平时拴在A处的一棵树上，为了不让羊吃到菜，拴羊的绳长可以选用（ ）
A．9m B．7m C．5m D．3m
【答案】D
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：连接OA，交半圆O于E点，
在Rt△OAB中，OB=6，AB=8，
所以OA= =10；
又OE=OB=6，
所以AE=OA﹣OE=4．
因此选用的绳子应该不大于4m，
故选D．
【分析】为了不让羊吃到菜，必须小于等于点A到圆的最小距离．要确定最小距离，连接OA交半圆于点E，即AE是最短距离．在直角三角形AOB中，因为OB=6，AB=8，所以根据勾股定理得OA=10．那么AE的长即可解答．
6．如图，一根垂直于地面的旗杆在离地面5m处撕裂折断，旗杆顶部落在离旗杆底部12m处，旗杆折断之前的高度是（ ）
A．5m B．12m C．13m D．18m
【答案】D
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【分析】先根据勾股定理求得斜边的长，即可得到结果。
【解答】由题意得，斜边的长
则旗杆折断之前的高度是13+5=18m
故选D.
【点评】解答本题的关键是读懂题意，掌握旗杆折断之前的高度包含一条直角边和一条斜边的长。
二、填空题
7．（2020八上·东海期中）如图，将一根长12cm的筷子置于底面半径为3cm，高为8cm的圆柱形杯子中，则筷子露在杯子外面的长度h至少为 cm.
【答案】2
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：如图所示，筷子、圆柱的高、圆柱的直径正好构成直角三角形，
∵圆柱杯子的底面半径为3cm，高为8cm，
∴筷子在圆柱里面的最大长度= cm，
∴筷子露在杯子外面的长度至少为12－10=2cm，
故答案为2.
【分析】利用勾股定理求出筷子在圆柱里面的最大长度= cm，从而求出筷子露在杯子外面的长度至少为12－10=2cm.
8．（2020八上·常州月考）如图，已知圆柱底面的周长为6cm，圆柱高为3cm，在圆柱的侧面上，过点A和点C嵌有一圈金属丝，则这圈金属丝的周长最小为 cm.
【答案】
【知识点】勾股定理；平面展开﹣最短路径问题
【解析】【解答】如图,把圆柱的侧面展开,得到矩形,则这圈金属丝的周长最小为2AC的长度
∵圆柱底面的周长为6cm，圆柱高为3cm，
∴AB=3cm,BC=BC′=3cm，
∴AC2=32+32=18，
∴AC= cm，
∴这圈金属丝的周长最小为2AC= cm.
故答案为 .
【分析】要求丝线的长，需将圆柱的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果，在求线段长时，根据勾股定理计算即可.
9．（2020八上·东台期末）如图所示的一块地，∠ADC=90°，AD=12m，CD=9m，AB=39m，BC=36m，则这块地的面积为 m2.
【答案】216
【知识点】勾股定理的逆定理；勾股定理的应用
【解析】【解答】连接AC，
已知，在直角△ACD中，CD=9m，AD=12m，
根据AD +CD =AC ，可以求得AC=15m，
在△ABC中，AB=39m，BC=36m，AC=15m，
∴存在AC +CB =AB ，
∴△ABC为直角三角形，
要求这块地的面积，求△ABC和△ACD的面积之差即可，
S= = AC BC CD AD= ×15×36 ×9×12=270 54=216m ，
答：这块地的面积为216m .
故填：216.
【分析】在Rt△ACD中，利用勾股定理求出AC的长，再利用勾股定理的逆定理证明△ABC是直角三角形，然后利用三角形的面积公式求出△ABC和△ACD的面积之差即可。
10．（2019八上·东台期中）如图，在△ABC 中，AC＝BC，∠ACB＝90°，点 D 在 BC 上，BD＝3，DC＝1，点 P 是 AB 上的动点，则 PC+PD 的最小值为
【答案】5
【知识点】勾股定理；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：过点C作CO⊥AB于O，延长CO到C′，使OC′=OC，连接DC′，交AB于P，
连接CP.此时DP+CP=DP+PC′=DC′的值最小.∵BD=3，DC=1，∴BC=4，∴BD=3，连接BC′，由对称性可知∠C′BA=∠CBA=45°，∴∠CBC′=90°，∴BC′⊥BC，∠BCC′=∠BC′C=45°，∴BC=BC′=4，根据勾股定理可得：DC′= =5.
故答案为：5.
【分析】利用轴对称求最短距离问题，过点C作CO⊥AB于O，延长CO到C′，使OC′=OC，连接DC′，交AB于P，连接CP.此时DP+CP=DP+PC′=DC′的值最小，进而根据等腰直角三角形的性质及轴对称的性质和勾股定理即可算出答案.
11．（2019八上·东台期中）如图，四边形ABCD中，∠BAD=110°，∠B=∠D=90°，在BC、CD上分别找一点M、N，使△AMN周长最小，此时∠MAN的度数为 °.
【答案】40
【知识点】轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：作A关于BC和CD的对称点A′，A″，连接A′A″，交BC于M，交CD于N，则A′A″即为△AMN的周长最小值，如图，
∵∠DAB＝110°，
∴∠HAA′＝70°，
∴∠AA′M＋∠A″＝∠HAA′＝70°，
∵∠MA′A＝∠MAB，∠NAD＝∠A″，
∴∠MAB＋∠NAD＝70°，
∴∠MAN＝110° 70°＝40°，
故答案为40.
【分析】根据要使△AMN的周长最小，即利用点的对称，使三角形的三边在同一直线上，作出A关于BC和CD的对称点A′，A″，即可得出∠AA′M＋∠A″＝∠HAA′＝70°，进而得出∠MAB＋∠NAD＝70°，即可得出答案.
12．（2018八上·泗阳期中）如图，每个小正方形的边长为1，A、B、C是小正方形的顶点，则∠ABC的度数为 .
【答案】450
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】分别在格点三角形中，根据勾股定理即可得到AC2=12+22=5，BC2=12+22=5，AB2=12+32=10，继而可得出∠ACB=90°，然后根据等腰直角三角形可求得∠BAC=45°．
【分析】利用勾股定理分别求出AC2，BC2，AB2的值，再利用勾股定理的逆定理证明∠ACB=90°，就可证得△ABC是等腰直角三角形，就可求出∠ABC的度数。
13．（2018八上·江都期中）一直角三角形的三边分别为3，4，x，那么以x为边长的正方形的面积为 ．
【答案】7或25
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】当4为斜边时， ,
则以x为边长的正方形的面积为7,
当x为斜边时， ,
则以x为边长的正方形的面积为25.
故答案是：7或25.
【分析】分两种情况讨论：当4为斜边时；当x为斜边时，分别求出x的值，就可得出以x为边长的正方形的面积。
14．（2018八上·无锡期中）如图，圆柱形玻璃杯高为14cm，底面周长为32cm，在杯内壁离杯底5cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿3cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短距离为 cm（杯壁厚度不计）．
【答案】20
【知识点】平面展开﹣最短路径问题
【解析】【解答】解：如图：
将杯子侧面展开，作A关于EF的对称点A′，
连接A′B，则A′B即为最短距离，A′B= （cm）．
故答案为20．
【分析】先把立体图形沿着母线展开，先根据对称性把A,B放在一个平面内，再利用两点之间线段最短即可求出结论。
15．（2018八上·常州期中）如图，是由直角三角形和正方形拼成的图形，正方形A的边长为5，另外四个正方形中的数字4，x，6，y分别表示该正方形面积，则x与y的数量关系是 .
【答案】x＋y＝15
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：∵正方形A的边长为5,
∴SA=25,
根据勾股定理的几何意义，得(4+x)+(6+y)=SA=25，
∴x+y=15，
故答案为x+y=15．
【分析】根据正方形的性质和勾股定理得到(4+x)+(6+y)=SA，求出x与y的数量关系.
16．（2018八上·宜兴期中）如图，长方体的长为4cm，宽为2cm，高为5cm，若用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B，则所用细线的长度最短为 cm.
【答案】13
【知识点】平面展开﹣最短路径问题
【解析】【解答】解：将长方体展开，连接A、B′，
∵AA′=4+2+4+2=12（cm），A′B′=5cm，
根据两点之间线段最短，AB′= =13cm．
∴所用细线最短需要13cm．
故答案为：13.
【分析】根据两点之间线段最短可知，将长方体展开，连接A、B′，线段AB′的长即为所用细线最短距离，在直角三角形中用勾股定理即可求解。
三、解答题
17．（2020八上·宿迁期中）如图，已知CD⊥AB，CD＝2，BD＝4，AD＝1，求证：∠ACB是直角.
【答案】解：∵CD⊥AB交AB于点D，
∴由勾股定理得：
AC2=AD2+CD2=12+22=5，
BC2=CD2+BD2=22+42=20；
而AB2=(4+1)2=25，
∴AB2=AC2+BC2，
∴△ABC是直角三角形，且∠ACB是直角.
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【分析】先利用勾股定理求出AC2=5，BC2=20，故AC2+BC2=AB2，根据勾股定理的逆定理即证结论.
18．（2020八上·吴江期中）学完勾股定理之后，同学们想利用升旗的绳子、卷尺，测算出学校旗杆的高度.爱动脑筋的小明这样设计了一个方案：将升旗的绳子拉到旗杆底端，并在绳子上打了一个结，然后将绳子拉到离旗杆底端5米处，发现此时绳子底端距离打结处约1米.请你设法帮小明算出旗杆的高度.
【答案】解：设旗杆长为x米，则绳长为（x+1）米，则由勾股定理可得：
，
解得x=12，
答：旗杆的高度为12米.
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【分析】设旗杆长为x米，则绳长为（x+1）米，根据勾股定理即可列方程求解.
19．（2020八下·江苏月考）《九章算术》是中国古代第一部数学专著.全书共收有246个数学问题.其中有一个“折竹抵地”问题:今有竹高一丈,末折抵地,去根六尺.问折高者几何 意思是:一根竹子,原高一丈（一丈=10尺）,一阵风将竹子折断,其竹梢恰好抵地,抵地处离竹子底部6尺远,问折断处离地面的高度是多少 请用本学期我们所学的知识解决这个问题.
【答案】解：设竹子折断处离地面x尺，则斜边为（10-x）尺，
根据勾股定理得： ，
解得：x=3.2，
答：折断处离地面的高度是3.2尺.
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【分析】竹子折断后恰好构成一个直角三角形，设竹子折断处离地面x尺，则斜边为（10-x）尺，利用勾股定理解题即可.
20．（2019八上·东台月考）如图在四边形ABCD中，
AD=1,AB=BC=2,DC=3,AD⊥AB,求
【答案】解：连接BD，
在直角△ABD中，AC为斜边，且AB=BC=2，AD=1则BD= = ,，∴BC2+BD2=CD2，
即△ACD为直角三角形，且∠DAC=90°，
四边形ABCD的面积=S△ABD+S△BCD= AB×AD+ BD×BC
= .
=1+
答：四边形ABCD的面积为1+ .
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【分析】连接BD，则可以计算△ABD的面积，根据AB、BD可以计算BD的长，根据CD，BC，BD可以判定△BCD为直角三角形，根据BC，BD可以计算△BCD的面积，四边形ABCD的面积为△ABD和△BCD面积之和.
21．（2018八上·惠山月考）如图，小亮将升旗的绳子拉到旗杆底端，绳子末端刚好接触地面，然后将绳子末端拉到距离旗杆8m处，发现此时绳子末端距离地面2m，请你求出旗杆的高度.（滑轮上方的部分忽略不计）
【答案】解：设旗杆高度为x，则AC=AD=x，AB=（x﹣2）m，BC=8m， 在Rt△ABC中，AB2+BC2=AC2 ， 即（x﹣2）2+82=x2 ，
解得：x=17，
即旗杆的高度为17米.
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【分析】由题意可知绳子和旗杆的高度相等，因此设AD=x，则AC=x，AB=x-2，利用勾股定理建立关于x的方程，解方程求出x的值，即可求解。
22．（2018八上·张家港期中）已知：如图等腰△ABC中，AB=AC，BC=10，BD⊥AC于D，且BD=8．求△ABC的面积S△ABC．
【答案】解：∵BD⊥AC， 在Rt△BCD中，BD＝8，BC＝10， ∴CD＝6， 设AB＝AC＝x， 则AD＝x﹣6， 在Rt△ABD中，AD2＋BD2＝AB2， ∴（x﹣6）2＋82＝x2， ∴x＝ ， ∴S△ABC＝ AC BD＝ ．
【知识点】勾股定理
【解析】【分析】利用勾股定理，在Rt△BDC中，求出CD，设AB=AC=x，用含x的代数式表示出AD，再在△ADB中，利用勾股定理建立关于x的方程，解方程求出x的值，然后利用三角形的面积公式求解。
23．（2018八上·宜兴期中）如图，小巷左右两侧是竖着的墙，两墙相距2.2米。一架梯子斜靠在左墙时，梯子顶端距离地面2.4米．如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2米。梯长多少米？
【答案】解：设CB=x，则BD=2.2-x． 由题意，∠ACB=∠BDA′=90°，∴AC2+BC2=BD2+A′D2 ，∴2.42+ x2=(2.2-x)2+22 解得：x= 0.7． AB= =2.5． 答：梯长2.5米．
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【分析】由梯子的长度不变可知AB=
A′B，在直角三角形ABC和直角三角形
A′BC中，用勾股定理即可求解。
24．（2018八上·东台期中）如图，在△ABC中，AB=20，AC=15，BC=25，AD⊥BC，垂足为D．求AD，BD的长．
【答案】解：（1）∵ ， ，
∴ ，
∴ΔABC是直角三角形.
∵S△ACB= ×AB×AC= ×BC×AD，
∴15×20=25×AD，
∴AD=12.
（ 2 ）利用勾股定理得：BD= =16.
【知识点】勾股定理的逆定理；勾股定理的应用
【解析】【分析】（1）由题意计算AB2+AC2、BC2，用勾股定理的逆定理可判断三角形ABC是直角三角形再用面积法可求得AD的长；
（2）由（1）可知AD的长，在直角三角形ABD中，用勾股定理可求得BD的长。
25．（2017八上·高州月考）如图所示，在△ 中，AC=8，BC=6；在△ 中，DE是AB边上的高，DE=7.△ABE的面积是35，求∠C的度数.
【答案】解：∵DE=7，S△ABE= DE AB=35，∴AB=10，∵AC=8，BC=6，62+82=102，∴AC2+BC2=AB2∴△ABC是直角三角形．∴∠C=90°
【知识点】勾股定理的逆定理；勾股定理的应用
【解析】【分析】已知S△ABE =35，DEAB，DE=7，所以根据三角形面积公式S△ABE= DE AB得AB=10.又因为AC=8，BC=6，所以△ABC是直角三角形，所以∠C=90°。
26．（2017八下·滨海开学考）计算图中四边形ABCD的面积．
【答案】解：在Rt△ABD中，BD为斜边，
AD=12，AB=16，
则BD= ，
故四边形ABCD的面积为S△ABD+S△BCD= ×12×16+ ×15×20=96+150=246．
答：四边形ABCD的面积为246．
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【分析】先需利用勾股定理计算BD，再利用勾股定理逆定理判定△CBD是直角三角形，再求出两个直角三角形面积之和即可.
27．省道S226在我县境内某路段实行限速，机动车辆行驶速度不得超过60km/h，如图，一辆小汽车在这段路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪A处的正前方36m的C处，过了3s后，测得小汽车与车速检测仪间距离为60m，这辆小汽车超速了吗？
【答案】解：在Rt△ABC中，AC=36m，AB=60m；
据勾股定理可得：
BC===48（m）
∴小汽车的速度为v==16（m/s）=16×3.6（km/h）=57.6（km/h）；
∵60（km/h）＞57.6（km/h）；
∴这辆小汽车没有超速行驶．
答：这辆小汽车没有超速、．
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【分析】本题求小汽车是否超速，其实就是求BC的距离，直角三角形ABC中，有斜边AB的长，有直角边AC的长，那么BC的长就很容易求得，根据小汽车用2s行驶的路程为BC，那么可求出小汽车的速度，然后再判断是否超速了．
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