2017-2018学年人教版数学九年级下册28.2 解直角三角形及其应用 同步练习
一、单选题
1．（2017·慈溪模拟）在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA= ，AB=5，则边AC的长是（ ）
A．3 B．4 C． D．
2．（2017·绍兴）如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米，如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2米.则小巷的宽度为（ ）
A．0.7米 B．1.5米 C．2.2米 D．2.4米
3．（2017·河北）如图，码头A在码头B的正西方向，甲、乙两船分别从A，B同时出发，并以等速驶向某海域，甲的航向是北偏东35°，为避免行进中甲、乙相撞，则乙的航向不能是（ ）
A．北偏东55° B．北偏西55° C．北偏东35° D．北偏西35°
4．（2017·益阳）如图，电线杆CD的高度为h，两根拉线AC与BC相互垂直，∠CAB=α，则拉线BC的长度为（A、D、B在同一条直线上）（ ）
A． B． C． D．h cosα
5．（2017·百色）如图，在距离铁轨200米的B处，观察由南宁开往百色的“和谐号”动车，当动车车头在A处时，恰好位于B处的北偏东60°方向上；10秒钟后，动车车头到达C处，恰好位于B处的西北方向上，则这时段动车的平均速度是（ ）米/秒．
A．20（ +1） B．20（ ﹣1）
C．200 D．300
6．（2017·温州）如图，一辆小车沿倾斜角为α的斜坡向上行驶13米，已知cosα= ，则小车上升的高度是（ ）
A．5米 B．6米 C．6.5米 D．12米
7．（2017·烟台）如图，数学实践活动小组要测量学校附近楼房CD的高度，在水平地面A处安置测倾器测得楼房CD顶部点D的仰角为45°，向前走20米到达A′处，测得点D的仰角为67.5°，已知测倾器AB的高度为1.6米，则楼房CD的高度约为（结果精确到0.1米， ≈1.414）（ ）
A．34.14米 B．34.1米 C．35.7米 D．35.74米
8．（2017·肥城模拟）如图，轮船在A处观测灯塔C位于北偏西70°方向上，轮船从A处以每小时20海里的速度沿南偏西50°方向匀速航行，1小时后到达码头B处，此时，观测灯塔C位于北偏西25°方向上，则灯塔C与码头B的距离是（ ）
A．10 海里 B．10 海里 C．10 海里 D．20 海里
9．（2017·槐荫模拟）已知：岛P位于岛Q的正西方，由岛P，Q分别测得船R位于南偏东30°和南偏西45°方向上，符合条件的示意图是（ ）
A． B．
C． D．
10．（2017·苏州模拟）如图，某高楼顶部有一信号发射塔，在矩形建筑物ABCD的A、C两点测得该塔顶端F的仰角分别为45°和60°，矩形建筑物宽度AD=20m，高度DC=30m则信号发射塔顶端到地面的高度（即FG的长）为（ ）
A．（35 +55）m B．（25 +45）m
C．（25 +75）m D．（50+20 ）m
11．（2017·滨州）如图，在△ABC中，AC⊥BC，∠ABC=30°，点D是CB延长线上的一点，且BD=BA，则tan∠DAC的值为（ ）
A．2+ B．2 C．3+ D．3
12．（2016·南山模拟）在湖边高出水面50 m的山顶A处看见一艘飞艇停留在湖面上空某处，观察到飞艇底部标志P处的仰角为45°，又观其在湖中之像的俯角为60°．则飞艇离开湖面的高度（ ）
A．25+75 B．50+50 C．75+75 D．50+100
13．（2016·长沙模拟）如图，小山岗的斜坡AC的坡角α=45°，在与山脚C距离200米的D处，测得山顶A的仰角为26.6°，小山岗的高AB约为（结果取整数，参考数据：sin26.6°=0.45，cos26.6°=0.89，tan26.6°=0.50）（ ）
A．164m B．178m C．200m D．1618m
14．（2014·泰州）如果三角形满足一个角是另一个角的3倍，那么我们称这个三角形为“智慧三角形”．下列各组数据中，能作为一个智慧三角形三边长的一组是（ ）
A．1，2，3 B．1，1， C．1，1， D．1，2，
二、填空题
15．（2017·大连）如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东60°方向，距离灯塔86n mile的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东45°方向上的B处，此时，B处与灯塔P的距离约为 n mile．（结果取整数，参考数据： ≈1.7， ≈1.4）
16．（2017·黄石）如图所示，为了测量出一垂直水平地面的某高大建筑物AB的高度，一测量人员在该建筑物附近C处，测得建筑物顶端A处的仰角大小为45°，随后沿直线BC向前走了100米后到达D处，在D处测得A处的仰角大小为30°，则建筑物AB的高度约为 米．
（注：不计测量人员的身高，结果按四舍五入保留整数，参考数据： ≈1.41， ≈1.73）
17．（2017·鹤岗）△ABC中，AB=12，AC= ，∠B=30°，则△ABC的面积是 ．
18．（2017·天门）为加强防汛工作，某市对一拦水坝进行加固，如图，加固前拦水坝的横断面是梯形ABCD．已知迎水坡面AB=12米，背水坡面CD=12 米，∠B=60°，加固后拦水坝的横断面为梯形ABED，tanE= ，则CE的长为 米．
19．（2017·嘉兴）如图，把 个边长为1的正方形拼接成一排，求得 ， ， ，计算 ，……按此规律，写出 （用含 的代数式表示）．
三、解答题
20．（2017·绍兴）如图，学校的实验楼对面是一幢教学楼，小敏在实验楼的窗口C测得教学楼顶中D的仰角为18°，教学楼底部B的俯角为20°，量得实验楼与教学楼之间的距离AB=30m.
（结果精确到0.1m。参考数据：tan20°≈0.36,tan18°≈0.32）
（1）求∠BCD的度数.
（2）求教学楼的高BD
21．（2017·荆门）金桥学校“科技体艺节”期间，八年级数学活动小组的任务是测量学校旗杆AB的高，他们在旗杆正前方台阶上的点C处，测得旗杆顶端A的仰角为45°，朝着旗杆的方向走到台阶下的点F处，测得旗杆顶端A的仰角为60°，已知升旗台的高度BE为1米，点C距地面的高度CD为3米，台阶CF的坡角为30°，且点E、F、D在同一条直线上，求旗杆AB的高度（计算结果精确到0.1米，参考数据： ≈1.41， ≈1.73）
22．（2017·埇桥模拟）如图，从点A看一山坡上的电线杆PQ，观测点P的仰角是45°，向前走6m到达B点，测得顶端点P和杆底端点Q的仰角分别是60°和30°，求该电线杆PQ的高度．
23．（2017·安徽模拟）某中学广场上有旗杆如图1所示，在学习解直角三角形以后，数学兴趣小组测量了旗杆的长度．如图2，在某一时刻，光线与水平面的夹角为72°，旗杆AB的影子一部分落在平台上，另一部分落在斜坡上，测得落在平台上的影长BC为4米，落在斜坡上的影长CD为3米，AB⊥BC，同一时刻，若1米的竖立标杆PQ在斜坡上的影长QR为2米，求旗杆AB的长度．（结果精确到0.1米．参考数据：sin72°≈0.95，cos72°≈0.31，tan72°≈3.08）．
24．（2017·荆州）如图，某数学活动小组为测量学校旗杆AB的高度，沿旗杆正前方2 米处的点C出发，沿斜面坡度i=1： 的斜坡CD前进4米到达点D，在点D处安置测角仪，测得旗杆顶部A的仰角为37°，量得仪器的高DE为1.5米．已知A、B、C、D、E在同一平面内，AB⊥BC，AB∥DE．求旗杆AB的高度．（参考数据：sin37°≈ ，cos37°≈ ，tan37°≈ ．计算结果保留根号）
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA= ，
∴sinA= ，
∵AB=5，
∴BC= ，
∴AC= ，
故选D．
【分析】根据题意，利用锐角三角函数可以求得BC的长，然后根据勾股定理即可求得AC的长．
2．【答案】C
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【解答】解：设梯子斜靠在右墙时，底端到右墙角的距离为x米，
由勾股定理可得
梯子的长度2=0.72+2.42=x2+22,
可解得x=1.5,
则小巷的宽度为0.7+1.5=2.2（米）.
故选C.
【分析】当梯子斜靠在右墙时，梯子的长度并不改变，而且墙与水平面是垂直的，则可运用勾股定理构造方程解出底端到右墙角的距离.再求小巷的宽度.
3．【答案】D
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣方向角问题
【解析】【解答】解：∵甲的航向是北偏东35°，为避免行进中甲、乙相撞，
∴乙的航向不能是北偏西35°，
故选D．
【分析】根据已知条件即可得到结论．
4．【答案】B
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【解答】解：∵∠CAD+∠ACD=90°，∠ACD+∠BCD=90°，
∴∠CAD=∠BCD，
在Rt△BCD中，∵cos∠BCD= ，
∴BC= = ，
故选：B．
【分析】根据同角的余角相等得∠CAD=∠BCD，由cos∠BCD= 知BC= = ．
5．【答案】A
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣方向角问题
【解析】【解答】解：作BD⊥AC于点D．
∵在Rt△ABD中，∠ABD=60°，
∴AD=BD tan∠ABD=200 （米），
同理，CD=BD=200（米）．
则AC=200+200 （米）．
则平均速度是 =20（ +1）米/秒．
故选A．
【分析】作BD⊥AC于点D，在Rt△ABD中利用三角函数求得AD的长，在Rt△BCD中，利用三角函数求得CD的长，则AC即可求得，进而求得速度．
6．【答案】A
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题
【解析】【解答】解：如图AC=13，作CB⊥AB，
∵cosα= = ，
∴AB=12，
∴BC= ==5，
∴小车上升的高度是5m．
故选A．
【分析】在Rt△ABC中，先求出AB，再利用勾股定理求出BC即可．
7．【答案】C
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：过B作BF⊥CD于F，
∴AB=A′B′=CF=1.6米，
在Rt△DFB′中，B′F= ，
在Rt△DFB中，BF=DF，
∵BB′=AA′=20，
∴BF﹣B′F=DF﹣ =20，
∴DF≈34.1米，
∴CD=DF+CF=35.7米，
答：楼房CD的高度约为35.7米，
故选C．
【分析】过B作BF⊥CD于F，于是得到AB=A′B′=CF=1.6米，解直角三角形即可得到结论．
8．【答案】C
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣方向角问题
【解析】【解答】解：作BD⊥AC于点D．
∵∠CBA=25°+50°=75°，
∴∠CAB=（90°﹣70°）+（90°﹣50°）=20°+40°=60°，
∠ABD=30°，
∴∠CBD=75°﹣30°=45°．
在直角△ABD中，BD=AB sin∠CAB=20×sin60°=20× =10 ．
在直角△BCD中，∠CBD=45°，
则BC= BD=10 × =10 （海里）．
故选C．
【分析】作BD⊥AC于点D，在直角△ABD中，利用三角函数求得BD的长，然后在直角△BCD中，利用三角函数即可求得BC的长．
9．【答案】D
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣方向角问题
【解析】【解答】解：根据岛P，Q分别测得船R位于南偏东30°和南偏西45°方向上，故D符合．
故选：D．
【分析】根据方向角的定义，即可解答．
10．【答案】C
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：设CG=xm，
由图可知：EF=（x+20） tan45°，FG=x tan60°，
则（x+20）tan45°+30=xtan60°，
解得x= =25（ +1），
则FG=x tan60°=25（ +1）× =（75+25 ）m．
故选C．
【分析】将题目中所涉及到的仰角转换为直角三角形的内角，利用解直角三角形的知识表示出线段CG的长，根据三角函数值求得CG的长，代入FG=x tanβ即可求得．
11．【答案】A
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：如图，∵在△ABC中，AC⊥BC，∠ABC=30°，
∴AB=2AC，BC= = AC．
∵BD=BA，
∴DC=BD+BC=（2+ ）AC，
∴tan∠DAC= = =2+ ．
故选：A．
【分析】通过解直角△ABC得到AC与BC、AB间的数量关系，然后利用锐角三角函数的定义求tan∠DAC的值．
12．【答案】D
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：设AE=xm，在Rt△AEP中∠PAE=45°，则∠P=45°，
∴PE=AE=x，
∵山顶A处高出水面50m，
∴OE=50m，
∴OP′=OP=PE+OE=x+50，
∵∠P′AE=60°，
∴P′E=tan60° AE=x，
∴OP′=P′E﹣OE=x﹣50，
∴x+50=x﹣50，
解得：x=50（+1）（m），
∴PO=PE+OE=50（+1+50=50+100（m），
即飞艇离开湖面的高度是（50+100）m；
故选：D．
【分析】设AE=x，则PE=AE=x，根据山顶A处高出水面50m，得出OE=50，OP′=x+50，根据∠P′AE=60°，得出P′E=x，从而列出方程，求出x的值即可．
13．【答案】C
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题；解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：∵在直角三角形ABC中， =tanα=1，
∴BC=AB，
∵在直角三角形ADB中，
∴ =tan26.6°=0.50，
即：BD=2AB，
∵BD﹣BC=CD=200，
∴2AB﹣AB=200，
解得：AB=200米，
答：小山岗的高度为200米；
故选C．
【分析】首先在直角三角形ABC中根据坡角的正切值用AB表示出BC，然后在直角三角形DBA中用BA表示出BD，根据BD与BC之间的关系列出方程求解即可．
14．【答案】D
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：A、∵1+2=3，不能构成三角形，故选项错误；
B、∵12+12=（ ）2，是等腰直角三角形，故选项错误；
C、底边上的高是 = ，可知是顶角120°，底角30°的等腰三角形，故选项错误；
D、解直角三角形可知是三个角分别是90°，60°，30°的直角三角形，其中90°÷30°=3，符合“智慧三角形”的定义，故选项正确．
故选：D．
【分析】A、根据三角形三边关系可知，不能构成三角形，依此即可作出判定；
B、根据勾股定理的逆定理可知是等腰直角三角形，依此即可作出判定；
C、解直角三角形可知是顶角120°，底角30°的等腰三角形，依此即可作出判定；
D、解直角三角形可知是三个角分别是90°，60°，30°的直角三角形，依此即可作出判定．
15．【答案】102
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣方向角问题
【解析】【解答】解：过P作PD⊥AB，垂足为D，
∵一艘海轮位于灯塔P的北偏东60°方向，距离灯塔86n mile的A处，
∴∠MPA=∠PAD=60°，
∴PD=AP sin∠PAD=86× =43 ，
∵∠BPD=45°，
∴∠B=45°．
在Rt△BDP中，由勾股定理，得
BP= = =43 × ≈102（n mile）．
故答案为：102．
【分析】根据题意得出∠MPA=∠PAD=60°，从而知PD=AP sin∠PAD=43 ，由∠BPD=∠PBD=45°根据BP= ，即可求出即可．
16．【答案】137
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：设AB=x米，
在Rt△ABC中，∵∠ACB=45°，
∴BC=AB=x米，
则BD=BC+CD=x+100（米），
在Rt△ABD中，∵∠ADB=30°，
∴tan∠ADB= = ，即 = ，
解得：x=50+50 ≈137，
即建筑物AB的高度约为137米
故答案为：137．
【分析】设AB=x米，由∠ACB=45°得BC=AB=x、BD=BC+CD=x+100，根据tan∠ADB= 可得关于x的方程，解之可得答案．
17．【答案】21 或15
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：①如图1，作AD⊥BC，垂足为点D，
在Rt△ABD中，∵AB=12、∠B=30°，
∴AD= AB=6，BD=ABcosB=12× =6 ，
在Rt△ACD中，CD= = = ，
∴BC=BD+CD=6 + =7 ，
则S△ABC= ×BC×AD= ×7 ×6=21 ；②如图2，作AD⊥BC，交BC延长线于点D，
由①知，AD=6、BD=6 、CD= ，
则BC=BD﹣CD=5 ，
∴S△ABC= ×BC×AD= ×5 ×6=15 ，
故答案为：21 或15 ．
【分析】过A作AD⊥BC于D（或延长线于D），根据含30度角的直角三角形的性质得到AD的长，再根据勾股定理得到BD，CD的长，再分两种情况：如图1，当AD在△ABC内部时、如图2，当AD在△ABC外部时，进行讨论即可求解．
18．【答案】8
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题
【解析】【解答】解：分别过A、D作AF⊥BC，DG⊥BC，垂点分别为F、G，如图所示．
∵在Rt△ABF中，AB=12米，∠B=60°，
∴sin∠B= ，
∴AF=12× =6 ，
∴DG=6 ．
∵在Rt△DGC中，CD=12 ，DG=6 米，
∴GC= =18．
∵在Rt△DEG中，tanE= ，
∴ = ，
∴GE=26，
∴CE=GE﹣CG=26﹣18=8．
即CE的长为8米．
故答案为8．
【分析】分别过A、D作下底的垂线，设垂足为F、G．在Rt△ABF中，已知坡面长和坡角的度数，可求得铅直高度AF的值，也就得到了DG的长；在Rt△CDG中，由勾股定理求CG的长，在Rt△DEG中，根据正切函数定义得到GE的长；根据CE=GE﹣CG即可求解．
19．【答案】；
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：如图，过点C作CE⊥A4B于E，易得∠A4BC=∠BA4A1，
故tan∠A4BC=tan∠BA4A1= ，
在Rt△BCE中，由tan∠A4BC= ，得BE=4CE，而BC=1，
则BE=
，CE=
，
而A4B= ，
所以A4E=A4B-BE=
，
在Rt△A4EC中，tan∠BA4C=
。
根据前面的规律，不能得出tan∠ BA1C= ，tan∠ BA2C= ，tan∠ BA3C= ，tan∠ BA4C=
则可得规律tan∠ BAnC=
=
。
故答案为 ；
【分析】过C作CE⊥A4B于E，即构造直角三角形，求出CE，A4即可.
20．【答案】（1）解：过点C作CD⊥BD于点E，
则∠DCE=18°，∠BCE=20°，
所以∠BCD=∠DCE+∠BCE=18°+20°=38°.
（2）解：由已知得CE=AB=30（m）,
在Rt△CBE中，BE=CE×tan20°≈30×0.36=10.80(m)，
在Rt△CDE中，DE=CE×tan18°≈30×0.32=9.60(m)，
∴教学楼的高BD=BE+DE=10.80+9.60≈20.4（m）.
答：教学楼的高为20.4m.
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】（1）C观测D的仰角应为CD与水平面的较小的夹角，即∠DCE；C观测B的俯角应为CB与水平线的较小的夹角，即为∠BCE，不难得出∠BCD=∠DCE+∠BCE；（2）易得CE=AB，则由直角三角形的锐角函数值即可分别求得BE和DE，求和即可.
21．【答案】解：过点C作CM⊥AB于M．则四边形MEDC是矩形，
∴ME=DC=3．CM=ED，
在Rt△AEF中，∠AFE=60°，设EF=x，则AF=2x，AE= x，
在Rt△FCD中，CD=3，∠CFD=30°，
∴DF=3 ，
在Rt△AMC中，∠ACM=45°，
∴∠MAC=∠ACM=45°，
∴MA=MC，
∵ED=CM，
∴AM=ED，
∵AM=AE﹣ME，ED=EF+DF，
∴ x﹣3=x+3 ，
∴x=6+3 ，
∴AE= （6+3 ）=6 +9，
∴AB=AE﹣BE=9+6 ﹣1≈18.4米．
答：旗杆AB的高度约为18.4米．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】过点C作CM⊥AB于M．则四边形MEDC是矩形，设EF=x，根据AM=DE，列出方程即可解决问题．
22．【答案】解：延长PQ交直线AB于点E，设PE=x米．
在直角△APE中，∠A=45°，
则AE=PE=x米；
∵∠PBE=60°
∴∠BPE=30°
在直角△BPE中，BE= PE= x米，
∵AB=AE﹣BE=6米，
则x﹣ x=6，
解得：x=9+3 ．
则BE=（3 +3）米．
在直角△BEQ中，QE= BE= （3 +3）=（3+ ）米．
∴PQ=PE﹣QE=9+3 ﹣（3+ ）=6+2 （米）．
答：电线杆PQ的高度是6+2 米．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】延长PQ交直线AB于点E，设PE=x米，在直角△APE和直角△BPE中，根据三角函数利用x表示出AE和BE，根据AB=AE﹣BE即可列出方程求得x的值，再在直角△BQE中利用三角函数求得QE的长，则PQ的长度即可求解．
23．【答案】解：如图，作CM∥AB交AD于点M，MN⊥AB于点N．
由题意 = ，即 = ，
∴CM=（米），
在Rt△AMN中，∵∠ANM=90°，MN=BC=4米，∠AMN=72°，
∴tan 72°= ，
∴AN=MN tan 72°≈4×3.08≈12.3（米）．
∵MN∥BC，AB∥CM，
∴四边形MNBC是平行四边形，
∴BN=CM=米，
∴AB=AN+BN=13.8米．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题
【解析】【分析】如图作CM∥AB交AD于M，MN⊥AB于N，根据 = ，求出CM，在Rt△AMN中利用tan72°= ，求出AN即可解决问题．
24．【答案】解：如图，延长ED交BC延长线于点F，则∠CFD=90°，
∵tan∠DCF=i= = ，
∴∠DCF=30°，
∵CD=4，
∴DF= CD=2，CF=CDcos∠DCF=4× =2 ，
∴BF=BC+CF=2 +2 =4 ，
过点E作EG⊥AB于点G，
则GE=BF=4 ，GB=EF=ED+DF=1.5+2=3.5，
又∵∠AED=37°，
∴AG=GEtan∠AEG=4 tan37°，
则AB=AG+BG=4 tan37°+3.5=3 +3.5，
故旗杆AB的高度为（3 +3.5）米
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣方向角问题
【解析】【分析】延长ED交BC延长线于点F，则∠CFD=90°，Rt△CDF中求得CF=CDcos∠DCF=2 、DF= CD=2，作EG⊥AB，可得GE=BF=4 、GB=EF=3.5，再求出AG=GEtan∠AEG=4 tan37°可得答案．
1 / 12017-2018学年人教版数学九年级下册28.2 解直角三角形及其应用 同步练习
一、单选题
1．（2017·慈溪模拟）在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA= ，AB=5，则边AC的长是（ ）
A．3 B．4 C． D．
【答案】D
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA= ，
∴sinA= ，
∵AB=5，
∴BC= ，
∴AC= ，
故选D．
【分析】根据题意，利用锐角三角函数可以求得BC的长，然后根据勾股定理即可求得AC的长．
2．（2017·绍兴）如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米，如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2米.则小巷的宽度为（ ）
A．0.7米 B．1.5米 C．2.2米 D．2.4米
【答案】C
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【解答】解：设梯子斜靠在右墙时，底端到右墙角的距离为x米，
由勾股定理可得
梯子的长度2=0.72+2.42=x2+22,
可解得x=1.5,
则小巷的宽度为0.7+1.5=2.2（米）.
故选C.
【分析】当梯子斜靠在右墙时，梯子的长度并不改变，而且墙与水平面是垂直的，则可运用勾股定理构造方程解出底端到右墙角的距离.再求小巷的宽度.
3．（2017·河北）如图，码头A在码头B的正西方向，甲、乙两船分别从A，B同时出发，并以等速驶向某海域，甲的航向是北偏东35°，为避免行进中甲、乙相撞，则乙的航向不能是（ ）
A．北偏东55° B．北偏西55° C．北偏东35° D．北偏西35°
【答案】D
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣方向角问题
【解析】【解答】解：∵甲的航向是北偏东35°，为避免行进中甲、乙相撞，
∴乙的航向不能是北偏西35°，
故选D．
【分析】根据已知条件即可得到结论．
4．（2017·益阳）如图，电线杆CD的高度为h，两根拉线AC与BC相互垂直，∠CAB=α，则拉线BC的长度为（A、D、B在同一条直线上）（ ）
A． B． C． D．h cosα
【答案】B
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【解答】解：∵∠CAD+∠ACD=90°，∠ACD+∠BCD=90°，
∴∠CAD=∠BCD，
在Rt△BCD中，∵cos∠BCD= ，
∴BC= = ，
故选：B．
【分析】根据同角的余角相等得∠CAD=∠BCD，由cos∠BCD= 知BC= = ．
5．（2017·百色）如图，在距离铁轨200米的B处，观察由南宁开往百色的“和谐号”动车，当动车车头在A处时，恰好位于B处的北偏东60°方向上；10秒钟后，动车车头到达C处，恰好位于B处的西北方向上，则这时段动车的平均速度是（ ）米/秒．
A．20（ +1） B．20（ ﹣1）
C．200 D．300
【答案】A
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣方向角问题
【解析】【解答】解：作BD⊥AC于点D．
∵在Rt△ABD中，∠ABD=60°，
∴AD=BD tan∠ABD=200 （米），
同理，CD=BD=200（米）．
则AC=200+200 （米）．
则平均速度是 =20（ +1）米/秒．
故选A．
【分析】作BD⊥AC于点D，在Rt△ABD中利用三角函数求得AD的长，在Rt△BCD中，利用三角函数求得CD的长，则AC即可求得，进而求得速度．
6．（2017·温州）如图，一辆小车沿倾斜角为α的斜坡向上行驶13米，已知cosα= ，则小车上升的高度是（ ）
A．5米 B．6米 C．6.5米 D．12米
【答案】A
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题
【解析】【解答】解：如图AC=13，作CB⊥AB，
∵cosα= = ，
∴AB=12，
∴BC= ==5，
∴小车上升的高度是5m．
故选A．
【分析】在Rt△ABC中，先求出AB，再利用勾股定理求出BC即可．
7．（2017·烟台）如图，数学实践活动小组要测量学校附近楼房CD的高度，在水平地面A处安置测倾器测得楼房CD顶部点D的仰角为45°，向前走20米到达A′处，测得点D的仰角为67.5°，已知测倾器AB的高度为1.6米，则楼房CD的高度约为（结果精确到0.1米， ≈1.414）（ ）
A．34.14米 B．34.1米 C．35.7米 D．35.74米
【答案】C
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：过B作BF⊥CD于F，
∴AB=A′B′=CF=1.6米，
在Rt△DFB′中，B′F= ，
在Rt△DFB中，BF=DF，
∵BB′=AA′=20，
∴BF﹣B′F=DF﹣ =20，
∴DF≈34.1米，
∴CD=DF+CF=35.7米，
答：楼房CD的高度约为35.7米，
故选C．
【分析】过B作BF⊥CD于F，于是得到AB=A′B′=CF=1.6米，解直角三角形即可得到结论．
8．（2017·肥城模拟）如图，轮船在A处观测灯塔C位于北偏西70°方向上，轮船从A处以每小时20海里的速度沿南偏西50°方向匀速航行，1小时后到达码头B处，此时，观测灯塔C位于北偏西25°方向上，则灯塔C与码头B的距离是（ ）
A．10 海里 B．10 海里 C．10 海里 D．20 海里
【答案】C
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣方向角问题
【解析】【解答】解：作BD⊥AC于点D．
∵∠CBA=25°+50°=75°，
∴∠CAB=（90°﹣70°）+（90°﹣50°）=20°+40°=60°，
∠ABD=30°，
∴∠CBD=75°﹣30°=45°．
在直角△ABD中，BD=AB sin∠CAB=20×sin60°=20× =10 ．
在直角△BCD中，∠CBD=45°，
则BC= BD=10 × =10 （海里）．
故选C．
【分析】作BD⊥AC于点D，在直角△ABD中，利用三角函数求得BD的长，然后在直角△BCD中，利用三角函数即可求得BC的长．
9．（2017·槐荫模拟）已知：岛P位于岛Q的正西方，由岛P，Q分别测得船R位于南偏东30°和南偏西45°方向上，符合条件的示意图是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣方向角问题
【解析】【解答】解：根据岛P，Q分别测得船R位于南偏东30°和南偏西45°方向上，故D符合．
故选：D．
【分析】根据方向角的定义，即可解答．
10．（2017·苏州模拟）如图，某高楼顶部有一信号发射塔，在矩形建筑物ABCD的A、C两点测得该塔顶端F的仰角分别为45°和60°，矩形建筑物宽度AD=20m，高度DC=30m则信号发射塔顶端到地面的高度（即FG的长）为（ ）
A．（35 +55）m B．（25 +45）m
C．（25 +75）m D．（50+20 ）m
【答案】C
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：设CG=xm，
由图可知：EF=（x+20） tan45°，FG=x tan60°，
则（x+20）tan45°+30=xtan60°，
解得x= =25（ +1），
则FG=x tan60°=25（ +1）× =（75+25 ）m．
故选C．
【分析】将题目中所涉及到的仰角转换为直角三角形的内角，利用解直角三角形的知识表示出线段CG的长，根据三角函数值求得CG的长，代入FG=x tanβ即可求得．
11．（2017·滨州）如图，在△ABC中，AC⊥BC，∠ABC=30°，点D是CB延长线上的一点，且BD=BA，则tan∠DAC的值为（ ）
A．2+ B．2 C．3+ D．3
【答案】A
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：如图，∵在△ABC中，AC⊥BC，∠ABC=30°，
∴AB=2AC，BC= = AC．
∵BD=BA，
∴DC=BD+BC=（2+ ）AC，
∴tan∠DAC= = =2+ ．
故选：A．
【分析】通过解直角△ABC得到AC与BC、AB间的数量关系，然后利用锐角三角函数的定义求tan∠DAC的值．
12．（2016·南山模拟）在湖边高出水面50 m的山顶A处看见一艘飞艇停留在湖面上空某处，观察到飞艇底部标志P处的仰角为45°，又观其在湖中之像的俯角为60°．则飞艇离开湖面的高度（ ）
A．25+75 B．50+50 C．75+75 D．50+100
【答案】D
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：设AE=xm，在Rt△AEP中∠PAE=45°，则∠P=45°，
∴PE=AE=x，
∵山顶A处高出水面50m，
∴OE=50m，
∴OP′=OP=PE+OE=x+50，
∵∠P′AE=60°，
∴P′E=tan60° AE=x，
∴OP′=P′E﹣OE=x﹣50，
∴x+50=x﹣50，
解得：x=50（+1）（m），
∴PO=PE+OE=50（+1+50=50+100（m），
即飞艇离开湖面的高度是（50+100）m；
故选：D．
【分析】设AE=x，则PE=AE=x，根据山顶A处高出水面50m，得出OE=50，OP′=x+50，根据∠P′AE=60°，得出P′E=x，从而列出方程，求出x的值即可．
13．（2016·长沙模拟）如图，小山岗的斜坡AC的坡角α=45°，在与山脚C距离200米的D处，测得山顶A的仰角为26.6°，小山岗的高AB约为（结果取整数，参考数据：sin26.6°=0.45，cos26.6°=0.89，tan26.6°=0.50）（ ）
A．164m B．178m C．200m D．1618m
【答案】C
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题；解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：∵在直角三角形ABC中， =tanα=1，
∴BC=AB，
∵在直角三角形ADB中，
∴ =tan26.6°=0.50，
即：BD=2AB，
∵BD﹣BC=CD=200，
∴2AB﹣AB=200，
解得：AB=200米，
答：小山岗的高度为200米；
故选C．
【分析】首先在直角三角形ABC中根据坡角的正切值用AB表示出BC，然后在直角三角形DBA中用BA表示出BD，根据BD与BC之间的关系列出方程求解即可．
14．（2014·泰州）如果三角形满足一个角是另一个角的3倍，那么我们称这个三角形为“智慧三角形”．下列各组数据中，能作为一个智慧三角形三边长的一组是（ ）
A．1，2，3 B．1，1， C．1，1， D．1，2，
【答案】D
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：A、∵1+2=3，不能构成三角形，故选项错误；
B、∵12+12=（ ）2，是等腰直角三角形，故选项错误；
C、底边上的高是 = ，可知是顶角120°，底角30°的等腰三角形，故选项错误；
D、解直角三角形可知是三个角分别是90°，60°，30°的直角三角形，其中90°÷30°=3，符合“智慧三角形”的定义，故选项正确．
故选：D．
【分析】A、根据三角形三边关系可知，不能构成三角形，依此即可作出判定；
B、根据勾股定理的逆定理可知是等腰直角三角形，依此即可作出判定；
C、解直角三角形可知是顶角120°，底角30°的等腰三角形，依此即可作出判定；
D、解直角三角形可知是三个角分别是90°，60°，30°的直角三角形，依此即可作出判定．
二、填空题
15．（2017·大连）如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东60°方向，距离灯塔86n mile的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东45°方向上的B处，此时，B处与灯塔P的距离约为 n mile．（结果取整数，参考数据： ≈1.7， ≈1.4）
【答案】102
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣方向角问题
【解析】【解答】解：过P作PD⊥AB，垂足为D，
∵一艘海轮位于灯塔P的北偏东60°方向，距离灯塔86n mile的A处，
∴∠MPA=∠PAD=60°，
∴PD=AP sin∠PAD=86× =43 ，
∵∠BPD=45°，
∴∠B=45°．
在Rt△BDP中，由勾股定理，得
BP= = =43 × ≈102（n mile）．
故答案为：102．
【分析】根据题意得出∠MPA=∠PAD=60°，从而知PD=AP sin∠PAD=43 ，由∠BPD=∠PBD=45°根据BP= ，即可求出即可．
16．（2017·黄石）如图所示，为了测量出一垂直水平地面的某高大建筑物AB的高度，一测量人员在该建筑物附近C处，测得建筑物顶端A处的仰角大小为45°，随后沿直线BC向前走了100米后到达D处，在D处测得A处的仰角大小为30°，则建筑物AB的高度约为 米．
（注：不计测量人员的身高，结果按四舍五入保留整数，参考数据： ≈1.41， ≈1.73）
【答案】137
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：设AB=x米，
在Rt△ABC中，∵∠ACB=45°，
∴BC=AB=x米，
则BD=BC+CD=x+100（米），
在Rt△ABD中，∵∠ADB=30°，
∴tan∠ADB= = ，即 = ，
解得：x=50+50 ≈137，
即建筑物AB的高度约为137米
故答案为：137．
【分析】设AB=x米，由∠ACB=45°得BC=AB=x、BD=BC+CD=x+100，根据tan∠ADB= 可得关于x的方程，解之可得答案．
17．（2017·鹤岗）△ABC中，AB=12，AC= ，∠B=30°，则△ABC的面积是 ．
【答案】21 或15
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：①如图1，作AD⊥BC，垂足为点D，
在Rt△ABD中，∵AB=12、∠B=30°，
∴AD= AB=6，BD=ABcosB=12× =6 ，
在Rt△ACD中，CD= = = ，
∴BC=BD+CD=6 + =7 ，
则S△ABC= ×BC×AD= ×7 ×6=21 ；②如图2，作AD⊥BC，交BC延长线于点D，
由①知，AD=6、BD=6 、CD= ，
则BC=BD﹣CD=5 ，
∴S△ABC= ×BC×AD= ×5 ×6=15 ，
故答案为：21 或15 ．
【分析】过A作AD⊥BC于D（或延长线于D），根据含30度角的直角三角形的性质得到AD的长，再根据勾股定理得到BD，CD的长，再分两种情况：如图1，当AD在△ABC内部时、如图2，当AD在△ABC外部时，进行讨论即可求解．
18．（2017·天门）为加强防汛工作，某市对一拦水坝进行加固，如图，加固前拦水坝的横断面是梯形ABCD．已知迎水坡面AB=12米，背水坡面CD=12 米，∠B=60°，加固后拦水坝的横断面为梯形ABED，tanE= ，则CE的长为 米．
【答案】8
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题
【解析】【解答】解：分别过A、D作AF⊥BC，DG⊥BC，垂点分别为F、G，如图所示．
∵在Rt△ABF中，AB=12米，∠B=60°，
∴sin∠B= ，
∴AF=12× =6 ，
∴DG=6 ．
∵在Rt△DGC中，CD=12 ，DG=6 米，
∴GC= =18．
∵在Rt△DEG中，tanE= ，
∴ = ，
∴GE=26，
∴CE=GE﹣CG=26﹣18=8．
即CE的长为8米．
故答案为8．
【分析】分别过A、D作下底的垂线，设垂足为F、G．在Rt△ABF中，已知坡面长和坡角的度数，可求得铅直高度AF的值，也就得到了DG的长；在Rt△CDG中，由勾股定理求CG的长，在Rt△DEG中，根据正切函数定义得到GE的长；根据CE=GE﹣CG即可求解．
19．（2017·嘉兴）如图，把 个边长为1的正方形拼接成一排，求得 ， ， ，计算 ，……按此规律，写出 （用含 的代数式表示）．
【答案】；
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：如图，过点C作CE⊥A4B于E，易得∠A4BC=∠BA4A1，
故tan∠A4BC=tan∠BA4A1= ，
在Rt△BCE中，由tan∠A4BC= ，得BE=4CE，而BC=1，
则BE=
，CE=
，
而A4B= ，
所以A4E=A4B-BE=
，
在Rt△A4EC中，tan∠BA4C=
。
根据前面的规律，不能得出tan∠ BA1C= ，tan∠ BA2C= ，tan∠ BA3C= ，tan∠ BA4C=
则可得规律tan∠ BAnC=
=
。
故答案为 ；
【分析】过C作CE⊥A4B于E，即构造直角三角形，求出CE，A4即可.
三、解答题
20．（2017·绍兴）如图，学校的实验楼对面是一幢教学楼，小敏在实验楼的窗口C测得教学楼顶中D的仰角为18°，教学楼底部B的俯角为20°，量得实验楼与教学楼之间的距离AB=30m.
（结果精确到0.1m。参考数据：tan20°≈0.36,tan18°≈0.32）
（1）求∠BCD的度数.
（2）求教学楼的高BD
【答案】（1）解：过点C作CD⊥BD于点E，
则∠DCE=18°，∠BCE=20°，
所以∠BCD=∠DCE+∠BCE=18°+20°=38°.
（2）解：由已知得CE=AB=30（m）,
在Rt△CBE中，BE=CE×tan20°≈30×0.36=10.80(m)，
在Rt△CDE中，DE=CE×tan18°≈30×0.32=9.60(m)，
∴教学楼的高BD=BE+DE=10.80+9.60≈20.4（m）.
答：教学楼的高为20.4m.
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】（1）C观测D的仰角应为CD与水平面的较小的夹角，即∠DCE；C观测B的俯角应为CB与水平线的较小的夹角，即为∠BCE，不难得出∠BCD=∠DCE+∠BCE；（2）易得CE=AB，则由直角三角形的锐角函数值即可分别求得BE和DE，求和即可.
21．（2017·荆门）金桥学校“科技体艺节”期间，八年级数学活动小组的任务是测量学校旗杆AB的高，他们在旗杆正前方台阶上的点C处，测得旗杆顶端A的仰角为45°，朝着旗杆的方向走到台阶下的点F处，测得旗杆顶端A的仰角为60°，已知升旗台的高度BE为1米，点C距地面的高度CD为3米，台阶CF的坡角为30°，且点E、F、D在同一条直线上，求旗杆AB的高度（计算结果精确到0.1米，参考数据： ≈1.41， ≈1.73）
【答案】解：过点C作CM⊥AB于M．则四边形MEDC是矩形，
∴ME=DC=3．CM=ED，
在Rt△AEF中，∠AFE=60°，设EF=x，则AF=2x，AE= x，
在Rt△FCD中，CD=3，∠CFD=30°，
∴DF=3 ，
在Rt△AMC中，∠ACM=45°，
∴∠MAC=∠ACM=45°，
∴MA=MC，
∵ED=CM，
∴AM=ED，
∵AM=AE﹣ME，ED=EF+DF，
∴ x﹣3=x+3 ，
∴x=6+3 ，
∴AE= （6+3 ）=6 +9，
∴AB=AE﹣BE=9+6 ﹣1≈18.4米．
答：旗杆AB的高度约为18.4米．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】过点C作CM⊥AB于M．则四边形MEDC是矩形，设EF=x，根据AM=DE，列出方程即可解决问题．
22．（2017·埇桥模拟）如图，从点A看一山坡上的电线杆PQ，观测点P的仰角是45°，向前走6m到达B点，测得顶端点P和杆底端点Q的仰角分别是60°和30°，求该电线杆PQ的高度．
【答案】解：延长PQ交直线AB于点E，设PE=x米．
在直角△APE中，∠A=45°，
则AE=PE=x米；
∵∠PBE=60°
∴∠BPE=30°
在直角△BPE中，BE= PE= x米，
∵AB=AE﹣BE=6米，
则x﹣ x=6，
解得：x=9+3 ．
则BE=（3 +3）米．
在直角△BEQ中，QE= BE= （3 +3）=（3+ ）米．
∴PQ=PE﹣QE=9+3 ﹣（3+ ）=6+2 （米）．
答：电线杆PQ的高度是6+2 米．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】延长PQ交直线AB于点E，设PE=x米，在直角△APE和直角△BPE中，根据三角函数利用x表示出AE和BE，根据AB=AE﹣BE即可列出方程求得x的值，再在直角△BQE中利用三角函数求得QE的长，则PQ的长度即可求解．
23．（2017·安徽模拟）某中学广场上有旗杆如图1所示，在学习解直角三角形以后，数学兴趣小组测量了旗杆的长度．如图2，在某一时刻，光线与水平面的夹角为72°，旗杆AB的影子一部分落在平台上，另一部分落在斜坡上，测得落在平台上的影长BC为4米，落在斜坡上的影长CD为3米，AB⊥BC，同一时刻，若1米的竖立标杆PQ在斜坡上的影长QR为2米，求旗杆AB的长度．（结果精确到0.1米．参考数据：sin72°≈0.95，cos72°≈0.31，tan72°≈3.08）．
【答案】解：如图，作CM∥AB交AD于点M，MN⊥AB于点N．
由题意 = ，即 = ，
∴CM=（米），
在Rt△AMN中，∵∠ANM=90°，MN=BC=4米，∠AMN=72°，
∴tan 72°= ，
∴AN=MN tan 72°≈4×3.08≈12.3（米）．
∵MN∥BC，AB∥CM，
∴四边形MNBC是平行四边形，
∴BN=CM=米，
∴AB=AN+BN=13.8米．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题
【解析】【分析】如图作CM∥AB交AD于M，MN⊥AB于N，根据 = ，求出CM，在Rt△AMN中利用tan72°= ，求出AN即可解决问题．
24．（2017·荆州）如图，某数学活动小组为测量学校旗杆AB的高度，沿旗杆正前方2 米处的点C出发，沿斜面坡度i=1： 的斜坡CD前进4米到达点D，在点D处安置测角仪，测得旗杆顶部A的仰角为37°，量得仪器的高DE为1.5米．已知A、B、C、D、E在同一平面内，AB⊥BC，AB∥DE．求旗杆AB的高度．（参考数据：sin37°≈ ，cos37°≈ ，tan37°≈ ．计算结果保留根号）
【答案】解：如图，延长ED交BC延长线于点F，则∠CFD=90°，
∵tan∠DCF=i= = ，
∴∠DCF=30°，
∵CD=4，
∴DF= CD=2，CF=CDcos∠DCF=4× =2 ，
∴BF=BC+CF=2 +2 =4 ，
过点E作EG⊥AB于点G，
则GE=BF=4 ，GB=EF=ED+DF=1.5+2=3.5，
又∵∠AED=37°，
∴AG=GEtan∠AEG=4 tan37°，
则AB=AG+BG=4 tan37°+3.5=3 +3.5，
故旗杆AB的高度为（3 +3.5）米
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣方向角问题
【解析】【分析】延长ED交BC延长线于点F，则∠CFD=90°，Rt△CDF中求得CF=CDcos∠DCF=2 、DF= CD=2，作EG⊥AB，可得GE=BF=4 、GB=EF=3.5，再求出AG=GEtan∠AEG=4 tan37°可得答案．
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