人教版数学七年级上册第4章 4.3.3余角和补角 同步练习
一、单选题
1．在直线AB上取一点O，过点O作射线OC，OD，使OC⊥OD，当∠AOC=30°时，∠BOD的度数（ ）
A．60° B．90° C．120° D．60°或120°
【答案】D
【知识点】余角、补角及其性质；垂线
【解析】【解答】解：由OC⊥OD，可得∠DOC=90°，
如图1，当∠AOC=30°时，∠BOD=180°﹣30°﹣90°=60°；
如图2，当∠AOC=30°时，∠AOD=90°﹣30°=60°，此时，∠BOD=180°﹣∠AOD=120°．
故选D
【分析】根据题意可知，射线OC、OD可能在直线AB的同侧，也可能在直线AB的异侧，分两种情况进行讨论即可．
2．如图，已知∠BAC=90°，AD⊥BC于D，则图中互余的角有（ ）对．
A．4对 B．5对 C．6对 D．7对
【答案】B
【知识点】余角、补角及其性质；垂线
【解析】【解答】解：图中互余的角有：∠B与∠BAD，∠BAD与∠CAD，∠ACD与∠DAC，∠E与∠F，∠B与∠ACB，共5对。
故选B
【分析】根据直角三角形两锐角互余和同角的余角相等写出相等的角即可．
3．（2018七上·宁城期末）下列各图中，∠1与∠2互为余角的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】余角、补角及其性质
【解析】【解答】A.∠1与∠2无特定的数量关系，故不正确；
B.∵直角三角形两锐角互余，∴∠1与∠2互余，故正确；
C. ∵∠1与∠2是对顶角，∴∠1=∠2，故不正确；
D. ∵∠1与∠2是邻补角，∴∠1+∠2=180°，故不正确；
故答案为：B.
【分析】根据互为余角的概念，只要两角相加等于90°，A.∠1与∠2无特定的数量关系 ；B.直角三角形两锐角互余 ；C. ∠1与∠2是对顶角，对顶角只能保证相等；D. ∠1与∠2是邻补角，它们相加等于180° 。
4．（2017七上·红山期末）下列说法：①35=3×3×3×3×3；②﹣1是单项式，且它的次数为1；③若∠1=90°﹣∠2，则∠1与∠2互为余角；④对于有理数n、x、y（其中xy≠0），若 = ，则x=y．其中不正确的有（ ）
A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
【答案】B
【知识点】单项式的概念；等式的性质；余角、补角及其性质；有理数的乘方法则
【解析】【解答】解：35=3×3×3×3×3，①说法正确，不符合题意；
﹣1是单项式，且它的次数为0，②说法错误，符合题意；
若∠1=90°﹣∠2，则∠1与∠2互为余角，③说法正确，不符合题意；
对于有理数n、x、y（其中xy≠0），若 = ，则x与y不一定相等，④说法错误，符合题意，
故选：B．
【分析】根据有理数的乘方的意义、单项式的概念、余角的定义、等式的性质进行判断即可．
5．（2014·成都）如图，把三角板的直角顶点放在直尺的一边上，若∠1=30°，则∠2的度数为（ ）
A．60° B．50° C．40° D．30°
【答案】A
【知识点】余角、补角及其性质；平行线的性质
【解析】【解答】解：∵∠1=30°，
∴∠3=180°﹣90°﹣30°=60°，
∵直尺两边互相平行，
∴∠2=∠3=60°．
故选：A．
【分析】根据平角等于180°求出∠3，再根据两直线平行，同位角相等可得∠2=∠3．
6．（2017七下·巨野期中）时钟显示为9：30时，时针与分针所夹角度是（ ）
A．90° B．100° C．105° D．110°
【答案】C
【知识点】钟面角、方位角
【解析】【解答】解：9：30时，时针与分针所夹角度是30× =105°，
故选：C．
【分析】根据时针与分针相距的份数乘以每份的度数，可得答案．
7．（2017七下·寿光期中）如图，直线AB⊥CD于点O，EF为过点O的一条直线，则∠1与∠2的关系一定成立的是（ ）
A．互为余角 B．互为补角 C．互为对顶角 D．互为邻补角
【答案】A
【知识点】余角、补角及其性质；垂线；对顶角及其性质
【解析】【解答】解：图中，∠2=∠COE（对顶角相等），
又∵AB⊥CD，
∴∠1+∠COE=90°，
∴∠1+∠2=90°．
故选：A．
【分析】根据图形可看出，∠2的对顶角∠COE与∠1互余，那么∠1与∠2就互余，从而求解．
8．（2016七下·泰兴开学考）如果∠α与∠β是邻补角，且∠α＞∠β，那么∠β的余角是（ ）
A． B．
C． D．不能确定
【答案】C
【知识点】余角、补角及其性质；邻补角
【解析】【解答】解：∵∠α与∠β是邻补角，
∴∠α+∠β=180°，
∴ （∠α+∠β）=90°，
∴∠β的余角是：90°﹣∠β= （∠α+∠β）﹣∠β= （∠α﹣∠β），
故选：C．
【分析】根据补角定义可得∠α+∠β=180°，进而得到 （∠α+∠β）=90°，然后根据余角定义可得∠β的余角是：90°﹣∠β再利用等量代换可得 （∠α+∠β）﹣∠β，然后计算即可．
9．（2017七下·长安期中）已知：如图，AB⊥CD，垂足为O，EF为过点O的一条直线，则∠1与∠2的关系一定成立的是（ ）
A．相等 B．互余 C．互补 D．互为对顶角
【答案】B
【知识点】余角、补角及其性质；垂线；对顶角及其性质
【解析】【解答】解：图中，∠2=∠COE（对顶角相等），
又∵AB⊥CD，
∴∠1+∠COE=90°，
∴∠1+∠2=90°，
∴两角互余．
故选：B．
【分析】根据图形可看出，∠2的对顶角∠COE与∠1互余，那么∠1与∠2就互余．
10．（2016七下·莒县期中）如果一个角的两边和另一个角的两边互相平行，那么这两个角之间关系为（ ）
A．相等 B．互补 C．相等或互补 D．不能确定
【答案】C
【知识点】余角、补角及其性质；平行线的性质
【解析】【解答】解：两个角的两边互相平行，
如图（1）所示，∠1和∠2是相等关系，
如图（2）所示，则∠3和∠4是互补关系．
故选：C．
【分析】根据两个角的两边互相平行及平行线的性质，判断两角的关系即可，注意不要漏解．
11．如图，AB∥CD，CE⊥BD，则图中与∠1互余的角有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】余角、补角及其性质；垂线；平行线的性质
【解析】【解答】解：∵CE⊥BD，
∴∠CBD=∠EBD=90°，
∴∠ABC+∠1=90°，∠1+∠EBF=90°，
即∠ABC、∠EBF与∠1互余；
∵AB∥CD，
∴∠1=∠D，
∵∠C+∠D=90°，
∴∠C+∠1=90°，
即∠C与∠1互余；
图中与∠1互余的角有3个，
故选：C．
【分析】由垂线的定义得出∠ABC+∠1=90°，∠1+∠EBF=90°，得出∠ABC、∠EBF与∠1互余；由平行线的性质和余角关系得出∠C+∠1=90°，得出∠C与∠1互余．
12．（2017七下·磴口期中）已知下列命题：①相等的角是对顶角；②互补的角就是平角；③互补的两个角一定是一个锐角，另一个为钝角；④平行于同一条直线的两条直线平行；⑤邻补角的平分线互相垂直．其中真命题的个数为（ ）
A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
【答案】B
【知识点】余角、补角及其性质；平行公理及推论；对顶角及其性质；邻补角；真命题与假命题
【解析】【解答】解：①对顶角既要考虑大小，还要考虑位置，相等的角不一定是对顶角，故①错误；②互补的角不一定是邻补角，所以不一定是平角，故②错误；③互补的两个角也可以是两个直角，故③错误；④平行于同一条直线的两条直线平行，是平行公理，故④正确；⑤邻补角的平分线的夹角正好是平角的一半，是直角，所以互相垂直，故⑤正确．
所以真命题有④⑤两个．
故选：B．
【分析】根据所学的公理定理对各小题进行分析判断，然后再计算真命题的个数．
二、填空题
13．（2017七上·新会期末）如果两个角互补，并且它们的差是30°，那么较大的角是 ．
【答案】
【知识点】余角、补角及其性质
【解析】【解答】解：设较大角为x，则其补角为180°﹣x，
由题意得：x﹣（180°﹣x）=30°，
解得：x=105°．
故答案为：105°．
【分析】设较大角为x，则其补角为180°﹣x，根据它们的差是30°可列出方程，解出即可．
14．（2017七上·红山期末）若一个角的3倍比这个角补角的2倍还少2°，则这个角等于 ．
【答案】71.6°
【知识点】余角、补角及其性质
【解析】【解答】解：设这个角为x，
由题意得，3x=2（180°﹣x）﹣2°，
解得，x=71.6°
故答案为：71.6°．
【分析】设这个角为x，根据题意和补角的概念列出方程，解方程即可．
15．（2016八上·东莞开学考）如图，已知a∥b，小亮把三角板的直角顶点放在直线b上．若∠1=40°，则∠2的度数为 ．
【答案】50°
【知识点】余角、补角及其性质；平行线的性质
【解析】【解答】解：∵∠1=40°，
∴∠3=180°﹣∠1﹣90°=180°﹣40°﹣90°=50°，
∵a∥b，
∴∠2=∠3=50°．
故答案为：50°．
【分析】由直角三角板的性质可知∠3=180°﹣∠1﹣90°，再根据平行线的性质即可得出结论．
16．（2016七下·宝丰期中）如果∠1+∠2=90°，而∠2与∠3互余，那么∠1与∠3的数量关系是 ．
【答案】相等
【知识点】余角、补角及其性质
【解析】【解答】解：∵∠2与∠3互余，
∴∠2+∠3=90°，
∵∠1+∠2=90°，∠2+∠3=90°，
∴∠1=∠3．
故答案为：相等．
【分析】根据同角的余角相等解答．
17．（2016七下·临沭期中）看图填空，并在括号内说明理由：
如图，已知∠BAP与∠APD互补，∠1=∠2，说明∠E=∠F．
∵∠BAP与∠APD互补，
∴∠E=∠F． ．
【答案】已知；同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，内错角相等；已知；等量代换；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等
【知识点】余角、补角及其性质；平行线的判定与性质
【解析】【解答】证明：∵∠BAP与∠APD互补（已知），
∴AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行），
∴∠BAP=∠APC（ 两直线平行，内错角相等）．
又∵∠1=∠2（已知），
∴∠BAP﹣∠1=∠APC﹣∠2（等量代换），即∠3=∠4，
∴AE∥PF，（内错角相等，两直线平行），
∴∠E=∠F（ 两直线平行，内错角相等）．
故答案为：已知；同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，内错角相等；已知；等量代换；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等．
【分析】先根据题意得出AB∥CD，再由平行线的性质得出∠BAP=∠APC，根据∠1=∠2可得出∠3=∠4，进而得出AE∥PF，据此可得出结论．
三、解答题
18．（2017七下·寿光期中）一个锐角的补角等于这个锐角的余角的3倍，求这个锐角？
【答案】解：设这个角的度数为x°，
则根据题意得：180﹣x=3（90﹣x），
解得：x=45，
即这个锐角为45°．
【知识点】余角、补角及其性质
【解析】【分析】设这个角的度数为x°，则根据题意得出180﹣x=3（90﹣x），求出方程的解即可．
19．（2017七下·武进期中）如图，在四边形ABCD中，∠A=∠C=90°，∠ABC，∠ADC的平分线分别与AD，BC相交于E，F两点，FG⊥BE于点G，∠1与∠2之间有怎样的数量关系？为什么？
【答案】解： 又∵ 四边形 的内角和为： 平分 ， 平分
【知识点】余角、补角及其性质；多边形内角与外角
【解析】【分析】根据四边形内角和是360°和角平分线的性质，再根据同角的余角相等，得到∠ 1 = ∠ 2.
20．已知，如图，AC⊥BC，HF⊥AB，CD⊥AB，∠1与∠2互补．求证：DE⊥AC．
【答案】证明：如图所示，∵HF⊥AB，CD⊥AB，
∴CD∥HF，
∴∠2+∠3=180°，
又∵∠1与∠2互补，
∴∠2+∠1=180°，
∴∠1=∠3，
∴DE∥BC，
∵AC⊥BC，
∴DE⊥AC．
【知识点】余角、补角及其性质；平行线的判定与性质
【解析】【分析】根据AC⊥BC，DE⊥AC，易证DE∥BC，那么∠2+∠3=180°，而∠1与∠2互补，从而可证∠1=∠3，即可得出DE∥BC，结合AC⊥BC，易得DE⊥AC．
四、综合题
21．（2017七下·濮阳期中）如图，若直线AB与直线CD交于点O，OA平分∠COF，OE⊥CD．
（1）写出图中与∠EOB互余的角；
（2）若∠AOF=30°，求∠BOE和∠DOF的度数．
【答案】（1）解：∵OA平分∠COF，
∴∠COA=∠FOA=∠BOD，
∵OE⊥CD，
∴∠EOB+∠BOD=90°，
∴∠COA+∠EOB=90°，∠FOA+∠EOB=90°，
∴与∠EOB互余的角是：∠COA，∠FOA，∠BOD
（2）解：∵∠AOF=30°，由（1）知∠COA=∠FOA=∠BOD=30°，
∴∠DOF=180°﹣∠FOA﹣∠BOD=120°，
∵OE⊥CD，
∴∠BOE=90°﹣30°=60°
【知识点】余角、补角及其性质；垂线；对顶角及其性质；角平分线的定义
【解析】【分析】（1）由于OA平分∠COF和∠COA与∠BOD是对顶角，得到∠COA=∠FOA=∠BOD，根据垂直定义有∠EOB+∠BOD=90°，根据互为余角的定义即可得到结论；（2）由（1）知∠COA=∠FOA=∠BOD=30°，由平角的意义可求得∠DOF，根据垂直定义可求得∠BOE．
22．（2016七下·重庆期中）如图，∠AGF=∠ABC，∠1+∠2=180°．
（1）试判断BF与DE的位置关系，并说明理由；
（2）若BF⊥AC，∠2=150°，求∠AFG的度数．
【答案】（1）解：（1）BF∥DE，理由如下：
∵∠AGF=∠ABC，
∴GF∥BC，
∴∠1=∠3，
∵∠1+∠2=180°，
∴∠3+∠2=180°，
∴BF∥DE；
（2）解：∵BF∥DE，BF⊥AC，
∴DE⊥AC，
∵∠1+∠2=180°，∠2=150°，
∴∠1=30°，
∴∠AFG=90°﹣30°=60°．
【知识点】余角、补角及其性质；垂线
【解析】【分析】（1）由于∠AGF=∠ABC，可判断GF∥BC，则∠1=∠3，由∠1+∠2=180°得出∠3+∠2=180°判断出BF∥DE；（2）由BF∥DE，BF⊥AC得到DE⊥AC，由∠2=150°得出∠1=30°，得出∠AFG的度数
23．（2017七下·金牛期中）已知AM∥CN，点B为平面内一点，AB⊥BC于B．
（1）如图1，直接写出∠A和∠C之间的数量关系 ；
（2）如图2，过点B作BD⊥AM于点D，求证：∠ABD=∠C；
（3）如图3，在（2）问的条件下，点E、F在DM上，连接BE、BF、CF，BF平分∠DBC，BE平分∠ABD，若∠FCB+∠NCF=180°，∠BFC=3∠DBE，求∠EBC的度数．
【答案】（1）∠A+∠C=90°；
（2）解：如图2，过点B作BG∥DM，
∵BD⊥AM，
∴DB⊥BG，即∠ABD+∠ABG=90°，
又∵AB⊥BC，
∴∠CBG+∠ABG=90°，
∴∠ABD=∠CBG，
∵AM∥CN，
∴∠C=∠CBG，
∴∠ABD=∠C；
（3）解：如图3，过点B作BG∥DM，
∵BF平分∠DBC，BE平分∠ABD，
∴∠DBF=∠CBF，∠DBE=∠ABE，
由（2）可得∠ABD=∠CBG，
∴∠ABF=∠GBF，
设∠DBE=α，∠ABF=β，则
∠ABE=α，∠ABD=2α=∠CBG，∠GBF=β=∠AFB，∠BFC=3∠DBE=3α，
∴∠AFC=3α+β，
∵∠AFC+∠NCF=180°，∠FCB+∠NCF=180°，
∴∠FCB=∠AFC=3α+β，
△BCF中，由∠CBF+∠BFC+∠BCF=180°，可得
（2α+β）+3α+（3α+β）=180°，①
由AB⊥BC，可得
β+β+2α=90°，②
由①②联立方程组，解得α=15°，
∴∠ABE=15°，
∴∠EBC=∠ABE+∠ABC=15°+90°=105°．
【知识点】余角、补角及其性质；平行线的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据平行线的性质以及直角三角形的性质进行证明即可；（2）先过点B作BG∥DM，根据同角的余角相等，得出∠ABD=∠CBG，再根据平行线的性质，得出∠C=∠CBG，即可得到∠ABD=∠C；（3）先过点B作BG∥DM，根据角平分线的定义，得出∠ABF=∠GBF，再设∠DBE=α，∠ABF=β，根据∠CBF+∠BFC+∠BCF=180°，可得（2α+β）+3α+（3α+β）=180°，根据AB⊥BC，可得β+β+2α=90°，最后解方程组即可得到∠ABE=15°，进而得出∠EBC=∠ABE+∠ABC=15°+90°=105°．
1 / 1人教版数学七年级上册第4章 4.3.3余角和补角 同步练习
一、单选题
1．在直线AB上取一点O，过点O作射线OC，OD，使OC⊥OD，当∠AOC=30°时，∠BOD的度数（ ）
A．60° B．90° C．120° D．60°或120°
2．如图，已知∠BAC=90°，AD⊥BC于D，则图中互余的角有（ ）对．
A．4对 B．5对 C．6对 D．7对
3．（2018七上·宁城期末）下列各图中，∠1与∠2互为余角的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2017七上·红山期末）下列说法：①35=3×3×3×3×3；②﹣1是单项式，且它的次数为1；③若∠1=90°﹣∠2，则∠1与∠2互为余角；④对于有理数n、x、y（其中xy≠0），若 = ，则x=y．其中不正确的有（ ）
A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
5．（2014·成都）如图，把三角板的直角顶点放在直尺的一边上，若∠1=30°，则∠2的度数为（ ）
A．60° B．50° C．40° D．30°
6．（2017七下·巨野期中）时钟显示为9：30时，时针与分针所夹角度是（ ）
A．90° B．100° C．105° D．110°
7．（2017七下·寿光期中）如图，直线AB⊥CD于点O，EF为过点O的一条直线，则∠1与∠2的关系一定成立的是（ ）
A．互为余角 B．互为补角 C．互为对顶角 D．互为邻补角
8．（2016七下·泰兴开学考）如果∠α与∠β是邻补角，且∠α＞∠β，那么∠β的余角是（ ）
A． B．
C． D．不能确定
9．（2017七下·长安期中）已知：如图，AB⊥CD，垂足为O，EF为过点O的一条直线，则∠1与∠2的关系一定成立的是（ ）
A．相等 B．互余 C．互补 D．互为对顶角
10．（2016七下·莒县期中）如果一个角的两边和另一个角的两边互相平行，那么这两个角之间关系为（ ）
A．相等 B．互补 C．相等或互补 D．不能确定
11．如图，AB∥CD，CE⊥BD，则图中与∠1互余的角有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
12．（2017七下·磴口期中）已知下列命题：①相等的角是对顶角；②互补的角就是平角；③互补的两个角一定是一个锐角，另一个为钝角；④平行于同一条直线的两条直线平行；⑤邻补角的平分线互相垂直．其中真命题的个数为（ ）
A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
二、填空题
13．（2017七上·新会期末）如果两个角互补，并且它们的差是30°，那么较大的角是 ．
14．（2017七上·红山期末）若一个角的3倍比这个角补角的2倍还少2°，则这个角等于 ．
15．（2016八上·东莞开学考）如图，已知a∥b，小亮把三角板的直角顶点放在直线b上．若∠1=40°，则∠2的度数为 ．
16．（2016七下·宝丰期中）如果∠1+∠2=90°，而∠2与∠3互余，那么∠1与∠3的数量关系是 ．
17．（2016七下·临沭期中）看图填空，并在括号内说明理由：
如图，已知∠BAP与∠APD互补，∠1=∠2，说明∠E=∠F．
∵∠BAP与∠APD互补，
∴∠E=∠F． ．
三、解答题
18．（2017七下·寿光期中）一个锐角的补角等于这个锐角的余角的3倍，求这个锐角？
19．（2017七下·武进期中）如图，在四边形ABCD中，∠A=∠C=90°，∠ABC，∠ADC的平分线分别与AD，BC相交于E，F两点，FG⊥BE于点G，∠1与∠2之间有怎样的数量关系？为什么？
20．已知，如图，AC⊥BC，HF⊥AB，CD⊥AB，∠1与∠2互补．求证：DE⊥AC．
四、综合题
21．（2017七下·濮阳期中）如图，若直线AB与直线CD交于点O，OA平分∠COF，OE⊥CD．
（1）写出图中与∠EOB互余的角；
（2）若∠AOF=30°，求∠BOE和∠DOF的度数．
22．（2016七下·重庆期中）如图，∠AGF=∠ABC，∠1+∠2=180°．
（1）试判断BF与DE的位置关系，并说明理由；
（2）若BF⊥AC，∠2=150°，求∠AFG的度数．
23．（2017七下·金牛期中）已知AM∥CN，点B为平面内一点，AB⊥BC于B．
（1）如图1，直接写出∠A和∠C之间的数量关系 ；
（2）如图2，过点B作BD⊥AM于点D，求证：∠ABD=∠C；
（3）如图3，在（2）问的条件下，点E、F在DM上，连接BE、BF、CF，BF平分∠DBC，BE平分∠ABD，若∠FCB+∠NCF=180°，∠BFC=3∠DBE，求∠EBC的度数．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】余角、补角及其性质；垂线
【解析】【解答】解：由OC⊥OD，可得∠DOC=90°，
如图1，当∠AOC=30°时，∠BOD=180°﹣30°﹣90°=60°；
如图2，当∠AOC=30°时，∠AOD=90°﹣30°=60°，此时，∠BOD=180°﹣∠AOD=120°．
故选D
【分析】根据题意可知，射线OC、OD可能在直线AB的同侧，也可能在直线AB的异侧，分两种情况进行讨论即可．
2．【答案】B
【知识点】余角、补角及其性质；垂线
【解析】【解答】解：图中互余的角有：∠B与∠BAD，∠BAD与∠CAD，∠ACD与∠DAC，∠E与∠F，∠B与∠ACB，共5对。
故选B
【分析】根据直角三角形两锐角互余和同角的余角相等写出相等的角即可．
3．【答案】B
【知识点】余角、补角及其性质
【解析】【解答】A.∠1与∠2无特定的数量关系，故不正确；
B.∵直角三角形两锐角互余，∴∠1与∠2互余，故正确；
C. ∵∠1与∠2是对顶角，∴∠1=∠2，故不正确；
D. ∵∠1与∠2是邻补角，∴∠1+∠2=180°，故不正确；
故答案为：B.
【分析】根据互为余角的概念，只要两角相加等于90°，A.∠1与∠2无特定的数量关系 ；B.直角三角形两锐角互余 ；C. ∠1与∠2是对顶角，对顶角只能保证相等；D. ∠1与∠2是邻补角，它们相加等于180° 。
4．【答案】B
【知识点】单项式的概念；等式的性质；余角、补角及其性质；有理数的乘方法则
【解析】【解答】解：35=3×3×3×3×3，①说法正确，不符合题意；
﹣1是单项式，且它的次数为0，②说法错误，符合题意；
若∠1=90°﹣∠2，则∠1与∠2互为余角，③说法正确，不符合题意；
对于有理数n、x、y（其中xy≠0），若 = ，则x与y不一定相等，④说法错误，符合题意，
故选：B．
【分析】根据有理数的乘方的意义、单项式的概念、余角的定义、等式的性质进行判断即可．
5．【答案】A
【知识点】余角、补角及其性质；平行线的性质
【解析】【解答】解：∵∠1=30°，
∴∠3=180°﹣90°﹣30°=60°，
∵直尺两边互相平行，
∴∠2=∠3=60°．
故选：A．
【分析】根据平角等于180°求出∠3，再根据两直线平行，同位角相等可得∠2=∠3．
6．【答案】C
【知识点】钟面角、方位角
【解析】【解答】解：9：30时，时针与分针所夹角度是30× =105°，
故选：C．
【分析】根据时针与分针相距的份数乘以每份的度数，可得答案．
7．【答案】A
【知识点】余角、补角及其性质；垂线；对顶角及其性质
【解析】【解答】解：图中，∠2=∠COE（对顶角相等），
又∵AB⊥CD，
∴∠1+∠COE=90°，
∴∠1+∠2=90°．
故选：A．
【分析】根据图形可看出，∠2的对顶角∠COE与∠1互余，那么∠1与∠2就互余，从而求解．
8．【答案】C
【知识点】余角、补角及其性质；邻补角
【解析】【解答】解：∵∠α与∠β是邻补角，
∴∠α+∠β=180°，
∴ （∠α+∠β）=90°，
∴∠β的余角是：90°﹣∠β= （∠α+∠β）﹣∠β= （∠α﹣∠β），
故选：C．
【分析】根据补角定义可得∠α+∠β=180°，进而得到 （∠α+∠β）=90°，然后根据余角定义可得∠β的余角是：90°﹣∠β再利用等量代换可得 （∠α+∠β）﹣∠β，然后计算即可．
9．【答案】B
【知识点】余角、补角及其性质；垂线；对顶角及其性质
【解析】【解答】解：图中，∠2=∠COE（对顶角相等），
又∵AB⊥CD，
∴∠1+∠COE=90°，
∴∠1+∠2=90°，
∴两角互余．
故选：B．
【分析】根据图形可看出，∠2的对顶角∠COE与∠1互余，那么∠1与∠2就互余．
10．【答案】C
【知识点】余角、补角及其性质；平行线的性质
【解析】【解答】解：两个角的两边互相平行，
如图（1）所示，∠1和∠2是相等关系，
如图（2）所示，则∠3和∠4是互补关系．
故选：C．
【分析】根据两个角的两边互相平行及平行线的性质，判断两角的关系即可，注意不要漏解．
11．【答案】C
【知识点】余角、补角及其性质；垂线；平行线的性质
【解析】【解答】解：∵CE⊥BD，
∴∠CBD=∠EBD=90°，
∴∠ABC+∠1=90°，∠1+∠EBF=90°，
即∠ABC、∠EBF与∠1互余；
∵AB∥CD，
∴∠1=∠D，
∵∠C+∠D=90°，
∴∠C+∠1=90°，
即∠C与∠1互余；
图中与∠1互余的角有3个，
故选：C．
【分析】由垂线的定义得出∠ABC+∠1=90°，∠1+∠EBF=90°，得出∠ABC、∠EBF与∠1互余；由平行线的性质和余角关系得出∠C+∠1=90°，得出∠C与∠1互余．
12．【答案】B
【知识点】余角、补角及其性质；平行公理及推论；对顶角及其性质；邻补角；真命题与假命题
【解析】【解答】解：①对顶角既要考虑大小，还要考虑位置，相等的角不一定是对顶角，故①错误；②互补的角不一定是邻补角，所以不一定是平角，故②错误；③互补的两个角也可以是两个直角，故③错误；④平行于同一条直线的两条直线平行，是平行公理，故④正确；⑤邻补角的平分线的夹角正好是平角的一半，是直角，所以互相垂直，故⑤正确．
所以真命题有④⑤两个．
故选：B．
【分析】根据所学的公理定理对各小题进行分析判断，然后再计算真命题的个数．
13．【答案】
【知识点】余角、补角及其性质
【解析】【解答】解：设较大角为x，则其补角为180°﹣x，
由题意得：x﹣（180°﹣x）=30°，
解得：x=105°．
故答案为：105°．
【分析】设较大角为x，则其补角为180°﹣x，根据它们的差是30°可列出方程，解出即可．
14．【答案】71.6°
【知识点】余角、补角及其性质
【解析】【解答】解：设这个角为x，
由题意得，3x=2（180°﹣x）﹣2°，
解得，x=71.6°
故答案为：71.6°．
【分析】设这个角为x，根据题意和补角的概念列出方程，解方程即可．
15．【答案】50°
【知识点】余角、补角及其性质；平行线的性质
【解析】【解答】解：∵∠1=40°，
∴∠3=180°﹣∠1﹣90°=180°﹣40°﹣90°=50°，
∵a∥b，
∴∠2=∠3=50°．
故答案为：50°．
【分析】由直角三角板的性质可知∠3=180°﹣∠1﹣90°，再根据平行线的性质即可得出结论．
16．【答案】相等
【知识点】余角、补角及其性质
【解析】【解答】解：∵∠2与∠3互余，
∴∠2+∠3=90°，
∵∠1+∠2=90°，∠2+∠3=90°，
∴∠1=∠3．
故答案为：相等．
【分析】根据同角的余角相等解答．
17．【答案】已知；同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，内错角相等；已知；等量代换；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等
【知识点】余角、补角及其性质；平行线的判定与性质
【解析】【解答】证明：∵∠BAP与∠APD互补（已知），
∴AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行），
∴∠BAP=∠APC（ 两直线平行，内错角相等）．
又∵∠1=∠2（已知），
∴∠BAP﹣∠1=∠APC﹣∠2（等量代换），即∠3=∠4，
∴AE∥PF，（内错角相等，两直线平行），
∴∠E=∠F（ 两直线平行，内错角相等）．
故答案为：已知；同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，内错角相等；已知；等量代换；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等．
【分析】先根据题意得出AB∥CD，再由平行线的性质得出∠BAP=∠APC，根据∠1=∠2可得出∠3=∠4，进而得出AE∥PF，据此可得出结论．
18．【答案】解：设这个角的度数为x°，
则根据题意得：180﹣x=3（90﹣x），
解得：x=45，
即这个锐角为45°．
【知识点】余角、补角及其性质
【解析】【分析】设这个角的度数为x°，则根据题意得出180﹣x=3（90﹣x），求出方程的解即可．
19．【答案】解： 又∵ 四边形 的内角和为： 平分 ， 平分
【知识点】余角、补角及其性质；多边形内角与外角
【解析】【分析】根据四边形内角和是360°和角平分线的性质，再根据同角的余角相等，得到∠ 1 = ∠ 2.
20．【答案】证明：如图所示，∵HF⊥AB，CD⊥AB，
∴CD∥HF，
∴∠2+∠3=180°，
又∵∠1与∠2互补，
∴∠2+∠1=180°，
∴∠1=∠3，
∴DE∥BC，
∵AC⊥BC，
∴DE⊥AC．
【知识点】余角、补角及其性质；平行线的判定与性质
【解析】【分析】根据AC⊥BC，DE⊥AC，易证DE∥BC，那么∠2+∠3=180°，而∠1与∠2互补，从而可证∠1=∠3，即可得出DE∥BC，结合AC⊥BC，易得DE⊥AC．
21．【答案】（1）解：∵OA平分∠COF，
∴∠COA=∠FOA=∠BOD，
∵OE⊥CD，
∴∠EOB+∠BOD=90°，
∴∠COA+∠EOB=90°，∠FOA+∠EOB=90°，
∴与∠EOB互余的角是：∠COA，∠FOA，∠BOD
（2）解：∵∠AOF=30°，由（1）知∠COA=∠FOA=∠BOD=30°，
∴∠DOF=180°﹣∠FOA﹣∠BOD=120°，
∵OE⊥CD，
∴∠BOE=90°﹣30°=60°
【知识点】余角、补角及其性质；垂线；对顶角及其性质；角平分线的定义
【解析】【分析】（1）由于OA平分∠COF和∠COA与∠BOD是对顶角，得到∠COA=∠FOA=∠BOD，根据垂直定义有∠EOB+∠BOD=90°，根据互为余角的定义即可得到结论；（2）由（1）知∠COA=∠FOA=∠BOD=30°，由平角的意义可求得∠DOF，根据垂直定义可求得∠BOE．
22．【答案】（1）解：（1）BF∥DE，理由如下：
∵∠AGF=∠ABC，
∴GF∥BC，
∴∠1=∠3，
∵∠1+∠2=180°，
∴∠3+∠2=180°，
∴BF∥DE；
（2）解：∵BF∥DE，BF⊥AC，
∴DE⊥AC，
∵∠1+∠2=180°，∠2=150°，
∴∠1=30°，
∴∠AFG=90°﹣30°=60°．
【知识点】余角、补角及其性质；垂线
【解析】【分析】（1）由于∠AGF=∠ABC，可判断GF∥BC，则∠1=∠3，由∠1+∠2=180°得出∠3+∠2=180°判断出BF∥DE；（2）由BF∥DE，BF⊥AC得到DE⊥AC，由∠2=150°得出∠1=30°，得出∠AFG的度数
23．【答案】（1）∠A+∠C=90°；
（2）解：如图2，过点B作BG∥DM，
∵BD⊥AM，
∴DB⊥BG，即∠ABD+∠ABG=90°，
又∵AB⊥BC，
∴∠CBG+∠ABG=90°，
∴∠ABD=∠CBG，
∵AM∥CN，
∴∠C=∠CBG，
∴∠ABD=∠C；
（3）解：如图3，过点B作BG∥DM，
∵BF平分∠DBC，BE平分∠ABD，
∴∠DBF=∠CBF，∠DBE=∠ABE，
由（2）可得∠ABD=∠CBG，
∴∠ABF=∠GBF，
设∠DBE=α，∠ABF=β，则
∠ABE=α，∠ABD=2α=∠CBG，∠GBF=β=∠AFB，∠BFC=3∠DBE=3α，
∴∠AFC=3α+β，
∵∠AFC+∠NCF=180°，∠FCB+∠NCF=180°，
∴∠FCB=∠AFC=3α+β，
△BCF中，由∠CBF+∠BFC+∠BCF=180°，可得
（2α+β）+3α+（3α+β）=180°，①
由AB⊥BC，可得
β+β+2α=90°，②
由①②联立方程组，解得α=15°，
∴∠ABE=15°，
∴∠EBC=∠ABE+∠ABC=15°+90°=105°．
【知识点】余角、补角及其性质；平行线的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据平行线的性质以及直角三角形的性质进行证明即可；（2）先过点B作BG∥DM，根据同角的余角相等，得出∠ABD=∠CBG，再根据平行线的性质，得出∠C=∠CBG，即可得到∠ABD=∠C；（3）先过点B作BG∥DM，根据角平分线的定义，得出∠ABF=∠GBF，再设∠DBE=α，∠ABF=β，根据∠CBF+∠BFC+∠BCF=180°，可得（2α+β）+3α+（3α+β）=180°，根据AB⊥BC，可得β+β+2α=90°，最后解方程组即可得到∠ABE=15°，进而得出∠EBC=∠ABE+∠ABC=15°+90°=105°．
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