新人教版初中数学八年级下册 第十七章勾股定理 17.1勾股定理 同步测试
一、单选题
1．已知三角形两边长为2和6，要使这个三角形为直角三角形，则第三边的长为（ ）
A． B．2 C．4或2 D．以上都不对
2．三角形的三边长分别为6、8、10，它的最短边上的高为( )
A．6 B．4.5 C．2.4 D．8
3．一块木板如图所示，已知AB＝4，BC＝3，DC＝12，AD＝13，∠B＝90°，木板的面积为（）
A．60 B．30 C．24 D．12
4．一座建筑物发生了火灾，消防车到达现场后，发现最多只能靠近建筑物底端5米，消防车的云梯最大升长为13米，则云梯可以达该建筑物的最大高度是（ ）
A．12米 B．13米 C．14米 D．15米
5．已知直角三角形两边的长为3和4，则此三角形的周长为（ ）．
A．12 B．7＋ C．12或7＋ D．以上都不对
6．如图所示，一场暴雨过后，垂直于地面的一棵树在距地面1米处折断，树尖B 恰好碰到地面，经测量AB=2米，则树高为（ ）
A．米 B．米 C．(米 D．3 米
7．正方形的网格中，每个小正方形的边长为1，则网格中三角形ABC中，边长是无理数的边数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
8．如图，由4个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个大正方形，若大正方形面积是9，小正方形面积是1，直角三角形较长直角边为a，较短直角边为b，则ab的值是（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
9．如图是由“赵爽弦图”变化得到的，它由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNKT的面积分别为S1、S2、S3．若S1+S2+S3=15，则S2的值是（ ）
A．3 B． C．5 D．
10．图1为一个长方体，AD=AB=10，AE=6，M，N为所在棱的中点，图2为图1的表面展开图，则图2中MN的长度为（ ）
A．11 B．10 C．10 D．8
11．图1是边长为1的六个小正方形组成的图形，它可以围成图2的正方体，则图1中正方形顶点A、B在围成的正方体中的距离是（ ）
A．0 B．1 C． D．
12．如图，边长为6的大正方形中有两个小正方形，若两个小正方形的面积分别为S1、S2，则S1+S2的值为（ ）
A．16 B．17 C．18 D．19
13．（2015八上·宝安期末）如图所示：某商场有一段楼梯，高BC=6m，斜边AC是10米，如果在楼梯上铺上地毯，那么需要地毯的长度是（ ）
A．8m B．10m C．14m D．24m
14．如图，直角三角形三边上的半圆面积从小到大依次记为S1、S2、S3，则S1、S2、S3之间的关系是（ ）
A．Sl+S2＞S3 B．Sl+S2＜S3 C．S1+S2=S3 D．S12+S22=S32
15．（2020八下·昌吉期中）一个圆桶底面直径为24cm，高32cm，则桶内所能容下的最长木棒为（ ）
A．20cm B．50cm C．40cm D．45cm
二、填空题
16．如图是“赵爽弦图”，△ABH、△BCG、△CDF和△DAE是四个全等的直角三角形，四边形ABCD和EFGH都是正方形．如果AB=10，EF=2，那么AH等于 .
17．如图，将一根长24cm的筷子，置于底面直径为5cm，高为12cm的圆柱形茶杯中，设筷子露在杯子外面的长为acm（茶杯装满水），则a的取值范围是 ．
18．放学以后，萍萍和晓晓从学校分手，分别沿东南方向和西南方向回家，若萍萍和晓晓行走的速度都是40米/分，萍萍用15分钟到家，晓晓用20分钟到家，萍萍家和晓晓家的距离为 米．
19．要在一个长方体中放入一细直木条，现知长方体的长为2，宽为，高为，则放入木盒的细木条最大长度为 ．
20．学校有一块长方形的花圃如右图所示，有少数的同学为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”，他们仅仅少走了 步（假设1米=2步），却踩伤了花草，所谓“花草无辜，踩之何忍”！
三、综合题
21．如图，正方形网格中的△ABC，若小方格边长为1，
（1）判断△ABC的形状，说明理由．
（2）求A到BC的距离．
四、解答题
22．如图，甲、乙两艘轮船同时从港口O出发，甲轮船以20海里/时的速度向南偏东45°方向航行，乙轮船向南偏西45°方向航行．已知它们离开港口O两小时后，两艘轮船相距50海里，求乙轮船平均每小时航行多少海里？
23．（2015八下·安陆期中）如图，铁路上A、B两点相距25km，C、D为两村庄，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，已知DA=15km，CB=10km，现在要在铁路AB上建一个土特产品收购站E，使得C、D两村到E站的距离相等，则E站应建在距A站多少千米处？
24．一架方梯AB长25米，如图所示，斜靠在一面上：
（1）若梯子底端离墙7米，这个梯子的顶端距地面有多高？
（2）在（1）的条件下，如果梯子的顶端下滑了4米，那么梯子的底端在水平方向滑动了几米？
25．（2016八下·冷水江期末）有两棵树，一棵高10米，另一棵高4米，两树相距8米，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行多什么米？
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】根据勾股定理分两种情况：（1）、当第三边为斜边时，第三边长==2；
（2）、当斜边为10时，第三边长==4；
故选C
【分析】根据勾股定理：分两种情况第三边是斜边和不是斜边的两种结果计算即可．本题利用了勾股定理求解，注意要分类讨论．
2．【答案】D
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【分析】根据已知先根据勾股定理的逆定理判定其形状，再根据高的定义即可求解．
【解答】∵三角形的三边长分别为6，8，10，符合勾股定理的逆定理62+82=102，
∴此三角形为直角三角形，则6为直角三角形的最短边，并且是直角边，
那么这个三角形的最短边上的高为8．
故选：D．
【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，解答此题的关键是先判断出三角形的形状，再根据高的定义解答
3．【答案】C
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【分析】连接AC，利用勾股定理解出直角三角形ABC的斜边，通过三角形ACD的三边关系可确定它为直角三角形，木板面积为这两三角形面积之差．
【解答】连接AC，
∵在△ABC中，AB=4，BC=3，∠B=90°，
∴AC=5，
∵在△ACD中，AC=5，DC=12，AD=13，
∴DC2+AC2=122+52=169，AD2=132=169，∴DC2+AC2=AD2，△ACD为直角三角形，AD为斜边，
∴木板的面积为：S△ACD-S△ABC=×5×12-×3×4=24．
故选C．
【点评】本题考查正确运用勾股定理．善于观察题目的信息画图是解题的关键
4．【答案】A
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【分析】由题意可知消防车的云梯长、地面、建筑物高构成一直角三角形，斜边为消防车的云梯长，根据勾股定理就可求出高度，即（米)。
故选择A。
【点评】此题考查了勾股定理的应用，要引导学生善于利用题目信息构成直角三角形，从而运用勾股定理解题。
5．【答案】C
【知识点】勾股定理
【解析】【分析】要分情况讨论！
当3、4都是直角边时，斜边是5，所以周长为：12 ，
当4为斜边时，第三边为：，所以周长为（7+).
【解答】设的第三边长为x，
当4为直角三角形的直角边时，x为斜边，
由勾股定理得；，此时这个三角形的周长=3+4+5=12；
当4为直角三角形的斜边时，x为直角边，
由勾股定理得，，此时这个三角形的周长=3+4+=7＋.
故答案为： 12或7＋.
选C
【点评】此题是易错题，题干中没有说给出的三角形的两边是不是直角边，要分情况讨论，学生会考虑不周全造成失分。
6．【答案】C
【知识点】勾股定理
【解析】【分析】先根据勾股定理求得BC的长，再根据题中树木的特征即可求得结果。
由图可得.BC==
所以树高为米.
故选C.
【点评】勾股定理的应用是初中数学的重点，贯穿于整个初中数学的学习，是中考中比较常见的知识点，一般难度不大，需熟练掌握。
7．【答案】C
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【分析】依题意知：
所以边长是无理数的边数是2条；
选C
【点评】此题考查了勾股定理的应用．要注意格点三角形的三边的求解方法：借助于直角三角形，用勾股定理求解．
8．【答案】A
【知识点】勾股定理的证明
【解析】【解答】解：由题意得：大正方形的面积是9，小正方形的面积是1，直角三角形的较长直角边为a，较短直角边为b，
即a2+b2=9，a﹣b=1，
解得a=，b=，
则ab=4．
解法2，4个三角形的面积和为9﹣1=8；
每个三角形的面积为2；
则ab=2；
所以ab=4
故选：A．
【分析】根据小正方形、大正方形的面积可以列出方程组，解方程组即可求得a、b，求ab即可．
9．【答案】C
【知识点】勾股定理的证明
【解析】【解答】解：∵八个直角三角形全等，四边形ABCD，EFGH，MNKT是正方形，
∴CG=NG，CF=DG=NF，
∴S1=（CG+DG）2
=CG2+DG2+2CG DG
=GF2+2CG DG，
S2=GF2，
S3=（NG﹣NF）2=NG2+NF2﹣2NG NF，
∴S1+S2+S3=GF2+2CG DG+GF2+NG2+NF2﹣2NG NF=3GF2=15，
∴GF2=5，
∴S2=5．
故选C．
【分析】根据八个直角三角形全等，四边形ABCD，EFGH，MNKT是正方形，得出CG=NG，CF=DG=NF，再根据S1=（CG+DG）2，S2=GF2，S3=（NG﹣NF）2，S1+S2+S3=15得出3GF2=15，求出GF2的值即可．
10．【答案】A
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：如图2，连接MN，分别延长正方形的边交于点P；
则△MPN为直角三角形，
由题意得：MP=NP=5+6=11，
由勾股定理得．
故选A．
【分析】如图2，作辅助线；运用勾股定理直接求出MN的长度，即可解决问题．
11．【答案】C
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：连接AB，如图所示：
根据题意得：∠ACB=90°，
由勾股定理得：AB=
故选：C．
【分析】由正方形的性质和勾股定理求出AB的长，即可得出结果．
12．【答案】B
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：如图，
设正方形S1的边长为x，
∵△ABC和△CDE都为等腰直角三角形，
∴AB=BC，DE=DC，∠ABC=∠D=90°，
∴sin∠CAB=sin45°=，即AC=BC，同理可得：BC=CE=CD，
∴AC=BC=2CD，
又∵AD=AC+CD=6，
∴CD==2，
∴EC2=22+22，即EC=2；
∴S1的面积为EC2=2×2=8；
∵∠MAO=∠MOA=45°，
∴AM=MO，
∵MO=MN，
∴AM=MN，
∴M为AN的中点，
∴S2的边长为3，
∴S2的面积为3×3=9，
∴S1+S2=8+9=17．
故选B．
【分析】由图可得，S2的边长为3，由AC=BC，BC=CE=CD，可得AC=2CD，CD=2，EC=2；然后，分别算出S1、S2的面积，即可解答．
13．【答案】C
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：∵△ABC是直角三角形，BC=6m，AC=10m
∴AB=（m），
∴如果在楼梯上铺地毯，那么至少需要地毯为AB+BC=8+6=14（米）．
故选：C．
【分析】先根据直角三角形的性质求出AB的长，再根据楼梯高为BC的高=6m，楼梯的宽的和即为AB的长，再把AB、BC的长相加即可．
14．【答案】C
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：设直角三角形三边分别为a，b，c，则三个半圆的半径分别为，，
由勾股定理得a2+b2=c2，即（）2+（）2=（）2
两边同时乘以π得π（）2+π（）2=π（）2
即S1、S2、S3之间的关系是S1+S2=S3
故选C．
【分析】依据半圆的面积公式，以及勾股定理即可解决．
15．【答案】C
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：如图，AC为圆桶底面直径，
∴AC=24cm，CB=32cm，
∴线段AB的长度就是桶内所能容下的最长木棒的长度，
∴AB==40cm．
故桶内所能容下的最长木棒的长度为40cm．
故选C．
【分析】如图，AC为圆桶底面直径，所以AC=24cm，CB=32cm，那么线段AB的长度就是桶内所能容下的最长木棒的长度，在直角三角形ABC中利用勾股定理可以求出AB，也就求出了桶内所能容下的最长木棒的长度．
16．【答案】6
【知识点】勾股定理的证明
【解析】【解答】解：∵AB=10，EF=2，
∴大正方形的面积是100，小正方形的面积是4，
∴四个直角三角形面积和为100﹣4=96，设AE为a，DE为b，即4×ab=96，
∴2ab=96，a2+b2=100，
∴（a+b）2=a2+b2+2ab=100+96=196，
∴a+b=14，
∵a﹣b=2，
解得：a=8，b=6，
∴AE=8，DE=6，
∴AH=8﹣2=6．
故答案为：6．
【分析】根据面积的差得出a+b的值，再利用a﹣b=2，解得a，b的值代入即可．
17．【答案】11cm≤a≤12cm
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：当筷子与杯底垂直时h最大，h最大=24﹣12=12cm．
当筷子与杯底及杯高构成直角三角形时a最小，
如图所示：此时， AB===13cm，
故a=24﹣13=11cm．
所以a的取值范围是：11cm≤a≤12cm．
故答案是：11cm≤a≤12cm．
【分析】先根据题意画出图形，再根据勾股定理解答即可．
18．【答案】1000
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：所示题意如下图：
OA=40×20=800m，OB=40×15=600m．
在直角△OAB中，AB==1000米．
故答案为：1000米．
【分析】两人的方向分别是东南方向和西南方向，因而两人的家所在点与学校的连线正好互相垂直，根据勾股定理即可求解．
19．【答案】3
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：由题意可知FG=、EF=2、CG=，连接EG、CE，
在直角△EFG中，
EG=
在Rt△EGC中，EG=，CG=，
由勾股定理得CE==3，
故答案为：3．
【分析】根据题意构建直角三角形，直角边分别为木箱的高、底面的对角线，据此根据勾股定理求出木条的最大长度．
20．【答案】4
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：在Rt△ABC中，AB2=BC2+AC2，
则AB= =5（m），
少走了2×（3+4﹣5）=4（步）．
故答案为：4．
【分析】根据勾股定理求得AB的长，再进一步求得少走的路的米数，即（AC+BC）﹣AB．
21．【答案】（1）解：
△ABC是直角三角形．理由如下：
∵在△ABC中，
AC=
BC=
AB=
∴AC2+AB2=BC2，
∴∠A=90°，△ABC是直角三角形；
（2）解：
设BC边上的高为h．
∵S△ABC=BC h=AB AC，
∴h=
【知识点】勾股定理
【解析】【分析】（1）根据勾股定理分别求出AB、BC、AC的长，再根据勾股定理的逆定理判断出三角形ABC的形状；
（2）设BC边上的高为h．根据△ABC的面积不变列出方程BC h= AB AC，得出h=，代入数值计算即可．
22．【答案】解：∵甲轮船以20海里/时的速度向南偏东45°方向航行，乙轮船向南偏西45°方向航行，
∴AO⊥BO，
∵甲以20海里/时的速度向南偏东45°方向航行，
∴OB=20×2=40（海里），
∵AB=50海里，
在Rt△AOB中，AO===30，
∴乙轮船平均每小时航行30÷2=15海里．
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【分析】根据方位角可知两船所走的方向正好构成了直角．然后根据路程=速度×时间，根据勾股定理解答即可．
23．【答案】解：设AE=xkm，
∵C、D两村到E站的距离相等，∴DE=CE，即DE2=CE2，
由勾股定理，得152+x2=102+（25﹣x）2，x=10．
故：E点应建在距A站10千米处
【知识点】勾股定理
【解析】关键描述语：产品收购站E，使得C、D两村到E站的距离相等，在Rt△DAE和Rt△CBE中，设出AE的长，可将DE和CE的长表示出来，列出等式进行求解即可．
24．【答案】解：（1）在Rt△AOB中，AB=25米，OB=7米，
OA===24（米）．
答：梯子的顶端距地面24米；
（2）在Rt△AOB中，A′O=24﹣4=20米，
OB′===15（米），
BB′=15﹣7=8米．
答：梯子的底端在水平方向滑动了8米．
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【分析】（1）利用勾股定理可得OA==，再计算即可；
（2）在直角三角形A′OB′中计算出OB′的长度，再计算BB′即可．
25．【答案】解：如图，设大树高为AB=10m，
小树高为CD=4m，
过C点作CE⊥AB于E，则四边形EBDC是矩形，连接AC，
∴EB=4m，EC=8m，AE=AB﹣EB=10﹣4=6m，
在Rt△AEC中，AC= = =10m，
故小鸟至少飞行10m．
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【分析】根据“两点之间线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的树梢进行直线飞行，所行的路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出．
1 / 1新人教版初中数学八年级下册 第十七章勾股定理 17.1勾股定理 同步测试
一、单选题
1．已知三角形两边长为2和6，要使这个三角形为直角三角形，则第三边的长为（ ）
A． B．2 C．4或2 D．以上都不对
【答案】C
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】根据勾股定理分两种情况：（1）、当第三边为斜边时，第三边长==2；
（2）、当斜边为10时，第三边长==4；
故选C
【分析】根据勾股定理：分两种情况第三边是斜边和不是斜边的两种结果计算即可．本题利用了勾股定理求解，注意要分类讨论．
2．三角形的三边长分别为6、8、10，它的最短边上的高为( )
A．6 B．4.5 C．2.4 D．8
【答案】D
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【分析】根据已知先根据勾股定理的逆定理判定其形状，再根据高的定义即可求解．
【解答】∵三角形的三边长分别为6，8，10，符合勾股定理的逆定理62+82=102，
∴此三角形为直角三角形，则6为直角三角形的最短边，并且是直角边，
那么这个三角形的最短边上的高为8．
故选：D．
【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，解答此题的关键是先判断出三角形的形状，再根据高的定义解答
3．一块木板如图所示，已知AB＝4，BC＝3，DC＝12，AD＝13，∠B＝90°，木板的面积为（）
A．60 B．30 C．24 D．12
【答案】C
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【分析】连接AC，利用勾股定理解出直角三角形ABC的斜边，通过三角形ACD的三边关系可确定它为直角三角形，木板面积为这两三角形面积之差．
【解答】连接AC，
∵在△ABC中，AB=4，BC=3，∠B=90°，
∴AC=5，
∵在△ACD中，AC=5，DC=12，AD=13，
∴DC2+AC2=122+52=169，AD2=132=169，∴DC2+AC2=AD2，△ACD为直角三角形，AD为斜边，
∴木板的面积为：S△ACD-S△ABC=×5×12-×3×4=24．
故选C．
【点评】本题考查正确运用勾股定理．善于观察题目的信息画图是解题的关键
4．一座建筑物发生了火灾，消防车到达现场后，发现最多只能靠近建筑物底端5米，消防车的云梯最大升长为13米，则云梯可以达该建筑物的最大高度是（ ）
A．12米 B．13米 C．14米 D．15米
【答案】A
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【分析】由题意可知消防车的云梯长、地面、建筑物高构成一直角三角形，斜边为消防车的云梯长，根据勾股定理就可求出高度，即（米)。
故选择A。
【点评】此题考查了勾股定理的应用，要引导学生善于利用题目信息构成直角三角形，从而运用勾股定理解题。
5．已知直角三角形两边的长为3和4，则此三角形的周长为（ ）．
A．12 B．7＋ C．12或7＋ D．以上都不对
【答案】C
【知识点】勾股定理
【解析】【分析】要分情况讨论！
当3、4都是直角边时，斜边是5，所以周长为：12 ，
当4为斜边时，第三边为：，所以周长为（7+).
【解答】设的第三边长为x，
当4为直角三角形的直角边时，x为斜边，
由勾股定理得；，此时这个三角形的周长=3+4+5=12；
当4为直角三角形的斜边时，x为直角边，
由勾股定理得，，此时这个三角形的周长=3+4+=7＋.
故答案为： 12或7＋.
选C
【点评】此题是易错题，题干中没有说给出的三角形的两边是不是直角边，要分情况讨论，学生会考虑不周全造成失分。
6．如图所示，一场暴雨过后，垂直于地面的一棵树在距地面1米处折断，树尖B 恰好碰到地面，经测量AB=2米，则树高为（ ）
A．米 B．米 C．(米 D．3 米
【答案】C
【知识点】勾股定理
【解析】【分析】先根据勾股定理求得BC的长，再根据题中树木的特征即可求得结果。
由图可得.BC==
所以树高为米.
故选C.
【点评】勾股定理的应用是初中数学的重点，贯穿于整个初中数学的学习，是中考中比较常见的知识点，一般难度不大，需熟练掌握。
7．正方形的网格中，每个小正方形的边长为1，则网格中三角形ABC中，边长是无理数的边数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【分析】依题意知：
所以边长是无理数的边数是2条；
选C
【点评】此题考查了勾股定理的应用．要注意格点三角形的三边的求解方法：借助于直角三角形，用勾股定理求解．
8．如图，由4个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个大正方形，若大正方形面积是9，小正方形面积是1，直角三角形较长直角边为a，较短直角边为b，则ab的值是（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
【答案】A
【知识点】勾股定理的证明
【解析】【解答】解：由题意得：大正方形的面积是9，小正方形的面积是1，直角三角形的较长直角边为a，较短直角边为b，
即a2+b2=9，a﹣b=1，
解得a=，b=，
则ab=4．
解法2，4个三角形的面积和为9﹣1=8；
每个三角形的面积为2；
则ab=2；
所以ab=4
故选：A．
【分析】根据小正方形、大正方形的面积可以列出方程组，解方程组即可求得a、b，求ab即可．
9．如图是由“赵爽弦图”变化得到的，它由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNKT的面积分别为S1、S2、S3．若S1+S2+S3=15，则S2的值是（ ）
A．3 B． C．5 D．
【答案】C
【知识点】勾股定理的证明
【解析】【解答】解：∵八个直角三角形全等，四边形ABCD，EFGH，MNKT是正方形，
∴CG=NG，CF=DG=NF，
∴S1=（CG+DG）2
=CG2+DG2+2CG DG
=GF2+2CG DG，
S2=GF2，
S3=（NG﹣NF）2=NG2+NF2﹣2NG NF，
∴S1+S2+S3=GF2+2CG DG+GF2+NG2+NF2﹣2NG NF=3GF2=15，
∴GF2=5，
∴S2=5．
故选C．
【分析】根据八个直角三角形全等，四边形ABCD，EFGH，MNKT是正方形，得出CG=NG，CF=DG=NF，再根据S1=（CG+DG）2，S2=GF2，S3=（NG﹣NF）2，S1+S2+S3=15得出3GF2=15，求出GF2的值即可．
10．图1为一个长方体，AD=AB=10，AE=6，M，N为所在棱的中点，图2为图1的表面展开图，则图2中MN的长度为（ ）
A．11 B．10 C．10 D．8
【答案】A
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：如图2，连接MN，分别延长正方形的边交于点P；
则△MPN为直角三角形，
由题意得：MP=NP=5+6=11，
由勾股定理得．
故选A．
【分析】如图2，作辅助线；运用勾股定理直接求出MN的长度，即可解决问题．
11．图1是边长为1的六个小正方形组成的图形，它可以围成图2的正方体，则图1中正方形顶点A、B在围成的正方体中的距离是（ ）
A．0 B．1 C． D．
【答案】C
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：连接AB，如图所示：
根据题意得：∠ACB=90°，
由勾股定理得：AB=
故选：C．
【分析】由正方形的性质和勾股定理求出AB的长，即可得出结果．
12．如图，边长为6的大正方形中有两个小正方形，若两个小正方形的面积分别为S1、S2，则S1+S2的值为（ ）
A．16 B．17 C．18 D．19
【答案】B
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：如图，
设正方形S1的边长为x，
∵△ABC和△CDE都为等腰直角三角形，
∴AB=BC，DE=DC，∠ABC=∠D=90°，
∴sin∠CAB=sin45°=，即AC=BC，同理可得：BC=CE=CD，
∴AC=BC=2CD，
又∵AD=AC+CD=6，
∴CD==2，
∴EC2=22+22，即EC=2；
∴S1的面积为EC2=2×2=8；
∵∠MAO=∠MOA=45°，
∴AM=MO，
∵MO=MN，
∴AM=MN，
∴M为AN的中点，
∴S2的边长为3，
∴S2的面积为3×3=9，
∴S1+S2=8+9=17．
故选B．
【分析】由图可得，S2的边长为3，由AC=BC，BC=CE=CD，可得AC=2CD，CD=2，EC=2；然后，分别算出S1、S2的面积，即可解答．
13．（2015八上·宝安期末）如图所示：某商场有一段楼梯，高BC=6m，斜边AC是10米，如果在楼梯上铺上地毯，那么需要地毯的长度是（ ）
A．8m B．10m C．14m D．24m
【答案】C
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：∵△ABC是直角三角形，BC=6m，AC=10m
∴AB=（m），
∴如果在楼梯上铺地毯，那么至少需要地毯为AB+BC=8+6=14（米）．
故选：C．
【分析】先根据直角三角形的性质求出AB的长，再根据楼梯高为BC的高=6m，楼梯的宽的和即为AB的长，再把AB、BC的长相加即可．
14．如图，直角三角形三边上的半圆面积从小到大依次记为S1、S2、S3，则S1、S2、S3之间的关系是（ ）
A．Sl+S2＞S3 B．Sl+S2＜S3 C．S1+S2=S3 D．S12+S22=S32
【答案】C
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：设直角三角形三边分别为a，b，c，则三个半圆的半径分别为，，
由勾股定理得a2+b2=c2，即（）2+（）2=（）2
两边同时乘以π得π（）2+π（）2=π（）2
即S1、S2、S3之间的关系是S1+S2=S3
故选C．
【分析】依据半圆的面积公式，以及勾股定理即可解决．
15．（2020八下·昌吉期中）一个圆桶底面直径为24cm，高32cm，则桶内所能容下的最长木棒为（ ）
A．20cm B．50cm C．40cm D．45cm
【答案】C
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：如图，AC为圆桶底面直径，
∴AC=24cm，CB=32cm，
∴线段AB的长度就是桶内所能容下的最长木棒的长度，
∴AB==40cm．
故桶内所能容下的最长木棒的长度为40cm．
故选C．
【分析】如图，AC为圆桶底面直径，所以AC=24cm，CB=32cm，那么线段AB的长度就是桶内所能容下的最长木棒的长度，在直角三角形ABC中利用勾股定理可以求出AB，也就求出了桶内所能容下的最长木棒的长度．
二、填空题
16．如图是“赵爽弦图”，△ABH、△BCG、△CDF和△DAE是四个全等的直角三角形，四边形ABCD和EFGH都是正方形．如果AB=10，EF=2，那么AH等于 .
【答案】6
【知识点】勾股定理的证明
【解析】【解答】解：∵AB=10，EF=2，
∴大正方形的面积是100，小正方形的面积是4，
∴四个直角三角形面积和为100﹣4=96，设AE为a，DE为b，即4×ab=96，
∴2ab=96，a2+b2=100，
∴（a+b）2=a2+b2+2ab=100+96=196，
∴a+b=14，
∵a﹣b=2，
解得：a=8，b=6，
∴AE=8，DE=6，
∴AH=8﹣2=6．
故答案为：6．
【分析】根据面积的差得出a+b的值，再利用a﹣b=2，解得a，b的值代入即可．
17．如图，将一根长24cm的筷子，置于底面直径为5cm，高为12cm的圆柱形茶杯中，设筷子露在杯子外面的长为acm（茶杯装满水），则a的取值范围是 ．
【答案】11cm≤a≤12cm
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：当筷子与杯底垂直时h最大，h最大=24﹣12=12cm．
当筷子与杯底及杯高构成直角三角形时a最小，
如图所示：此时， AB===13cm，
故a=24﹣13=11cm．
所以a的取值范围是：11cm≤a≤12cm．
故答案是：11cm≤a≤12cm．
【分析】先根据题意画出图形，再根据勾股定理解答即可．
18．放学以后，萍萍和晓晓从学校分手，分别沿东南方向和西南方向回家，若萍萍和晓晓行走的速度都是40米/分，萍萍用15分钟到家，晓晓用20分钟到家，萍萍家和晓晓家的距离为 米．
【答案】1000
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：所示题意如下图：
OA=40×20=800m，OB=40×15=600m．
在直角△OAB中，AB==1000米．
故答案为：1000米．
【分析】两人的方向分别是东南方向和西南方向，因而两人的家所在点与学校的连线正好互相垂直，根据勾股定理即可求解．
19．要在一个长方体中放入一细直木条，现知长方体的长为2，宽为，高为，则放入木盒的细木条最大长度为 ．
【答案】3
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：由题意可知FG=、EF=2、CG=，连接EG、CE，
在直角△EFG中，
EG=
在Rt△EGC中，EG=，CG=，
由勾股定理得CE==3，
故答案为：3．
【分析】根据题意构建直角三角形，直角边分别为木箱的高、底面的对角线，据此根据勾股定理求出木条的最大长度．
20．学校有一块长方形的花圃如右图所示，有少数的同学为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”，他们仅仅少走了 步（假设1米=2步），却踩伤了花草，所谓“花草无辜，踩之何忍”！
【答案】4
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：在Rt△ABC中，AB2=BC2+AC2，
则AB= =5（m），
少走了2×（3+4﹣5）=4（步）．
故答案为：4．
【分析】根据勾股定理求得AB的长，再进一步求得少走的路的米数，即（AC+BC）﹣AB．
三、综合题
21．如图，正方形网格中的△ABC，若小方格边长为1，
（1）判断△ABC的形状，说明理由．
（2）求A到BC的距离．
【答案】（1）解：
△ABC是直角三角形．理由如下：
∵在△ABC中，
AC=
BC=
AB=
∴AC2+AB2=BC2，
∴∠A=90°，△ABC是直角三角形；
（2）解：
设BC边上的高为h．
∵S△ABC=BC h=AB AC，
∴h=
【知识点】勾股定理
【解析】【分析】（1）根据勾股定理分别求出AB、BC、AC的长，再根据勾股定理的逆定理判断出三角形ABC的形状；
（2）设BC边上的高为h．根据△ABC的面积不变列出方程BC h= AB AC，得出h=，代入数值计算即可．
四、解答题
22．如图，甲、乙两艘轮船同时从港口O出发，甲轮船以20海里/时的速度向南偏东45°方向航行，乙轮船向南偏西45°方向航行．已知它们离开港口O两小时后，两艘轮船相距50海里，求乙轮船平均每小时航行多少海里？
【答案】解：∵甲轮船以20海里/时的速度向南偏东45°方向航行，乙轮船向南偏西45°方向航行，
∴AO⊥BO，
∵甲以20海里/时的速度向南偏东45°方向航行，
∴OB=20×2=40（海里），
∵AB=50海里，
在Rt△AOB中，AO===30，
∴乙轮船平均每小时航行30÷2=15海里．
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【分析】根据方位角可知两船所走的方向正好构成了直角．然后根据路程=速度×时间，根据勾股定理解答即可．
23．（2015八下·安陆期中）如图，铁路上A、B两点相距25km，C、D为两村庄，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，已知DA=15km，CB=10km，现在要在铁路AB上建一个土特产品收购站E，使得C、D两村到E站的距离相等，则E站应建在距A站多少千米处？
【答案】解：设AE=xkm，
∵C、D两村到E站的距离相等，∴DE=CE，即DE2=CE2，
由勾股定理，得152+x2=102+（25﹣x）2，x=10．
故：E点应建在距A站10千米处
【知识点】勾股定理
【解析】关键描述语：产品收购站E，使得C、D两村到E站的距离相等，在Rt△DAE和Rt△CBE中，设出AE的长，可将DE和CE的长表示出来，列出等式进行求解即可．
24．一架方梯AB长25米，如图所示，斜靠在一面上：
（1）若梯子底端离墙7米，这个梯子的顶端距地面有多高？
（2）在（1）的条件下，如果梯子的顶端下滑了4米，那么梯子的底端在水平方向滑动了几米？
【答案】解：（1）在Rt△AOB中，AB=25米，OB=7米，
OA===24（米）．
答：梯子的顶端距地面24米；
（2）在Rt△AOB中，A′O=24﹣4=20米，
OB′===15（米），
BB′=15﹣7=8米．
答：梯子的底端在水平方向滑动了8米．
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【分析】（1）利用勾股定理可得OA==，再计算即可；
（2）在直角三角形A′OB′中计算出OB′的长度，再计算BB′即可．
25．（2016八下·冷水江期末）有两棵树，一棵高10米，另一棵高4米，两树相距8米，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行多什么米？
【答案】解：如图，设大树高为AB=10m，
小树高为CD=4m，
过C点作CE⊥AB于E，则四边形EBDC是矩形，连接AC，
∴EB=4m，EC=8m，AE=AB﹣EB=10﹣4=6m，
在Rt△AEC中，AC= = =10m，
故小鸟至少飞行10m．
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【分析】根据“两点之间线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的树梢进行直线飞行，所行的路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出．
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