人教新课标A版 高中数学必修5 第一章解三角形 1.1正弦定理和余弦定理 同步测试
一、单选题
1．（2015高一下·万全期中）已知△ABC的三边分别为2，3，4，则此三角形是（ ）
A．锐角三角形 B．钝角三角形
C．直角三角形 D．不能确定
2．（2016高一下·长春期中）在△ABC中，若a=2，b=2，B=60°，则角A的大小为（ ）
A．30° B．60°
C．30°或150° D．60°或 120°
3．边长为5，7，8的三角形的最大角与最小角的和是（ ）
A． B． C． D．
4．在中，已知则
A． B． C． D．
5．在中下列等式总成立的是（ ）
A．a·cosC=c·cosA B．bsinC=csinA
C．absinC=bcsinB D．asinC=csinA
6．锐角△ABC中，若A=2B，则的取值范围是（ ）
A．（1，2） B．（1，） C．（） D．（，）
7．△ABC中，a＝3，b＝，c＝2，那么B等于（ ）
A．30° B．45° C．60° D．120°
8．在
中，若
， 则AC= （ ）
A． B． C． D．
9．在中，，则A等于（）
A．30° B．60° C．60°或120° D．30°或150
10．在中，，则边a的长为（ ）
A． B． C． D．
11．（人教新课标A版必修5数学1.1 正弦定理和余弦定理同步检测）在△ABC中，若 ，则△ABC的形状为（ ）
A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．不能确定
12．（人教新课标A版必修5数学1.1 正弦定理和余弦定理同步检测）如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
13．（人教新课标A版必修5数学1.2应用举例同步检测）在锐角 中， 分别是角 的对边， ， .
求 的值（ ）；
A． B． C． D．
14．（人教新课标A版必修5数学1.2应用举例同步检测）为绘制海底地貌图，测量海底两点C，D间的距离，海底探测仪沿水平方向在 ， 两点进行测量， ， ， ， 在同一个铅垂平面内. 海底探测仪测得
， 两点的距离为 海里，求 的面积( )平方海里。
A． B． C． D．
15．（2015高一下·宜宾期中）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若a=3，b=2，cos（A+B）=，则c=（ ）
A．4 B． C．3 D．
二、填空题
16．若锐角的面积为，且AB=5，AC=8，则BC等于 。
17．如图，树顶A离地面a米，树上另一点B离地面b米，某人站在地面观看A，B两点，眼睛C距离地面高度为c米，且a＞b＞c，要使视角∠ACB最大，则人脚离树根的距离应为
18．（人教新课标A版必修5数学1.1 正弦定理和余弦定理同步检测）如图，在△ABC中，D为BC的中点， ，求
19．（人教新课标A版必修5数学1.2应用举例同步检测）在 中， ， .求角 的大小 。
20．（人教新课标A版必修5数学1.1 正弦定理和余弦定理同步检测）在△ABC中， ，则 的最大值是 。
三、解答题
21．已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，
（1）求A的大小；
（2）若a=7，求△ABC的周长的取值范围
22．在锐角ABC中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c，b=4，c=6，且asinB=2．
（1）求角A的大小；
（2）若D为BC的中点，求线段AD的长．
23．在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别是a，b，c．满足2acosC+ccosA=b．
（Ⅰ）求角C的大小；
（Ⅱ）求sinAcosB+sinB的最大值．
24．在△ABC中，bsinA=acosB．
（Ⅰ）求角B的大小；
（Ⅱ）若b=3，sinC=2sinA，求a，c的值．
25．在△ABC中，角A，B，C对应的边分别是a，b，c且cos2B+3cosB﹣1=0．
（1）求角B的大小；
（2）若a+c=1，求b的最小值．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】余弦定理
【解析】【解答】解：设4所对的角为α，
∵△ABC的三边分别为2，3，4，
∴由余弦定理得：cosα=
则此三角形为钝角三角形．
故选：B．
【分析】根据大边对大角，得到4所对的角最大，设为α，利用余弦定理表示出cosα，将三边长代入求出cosα的值，根据cosα的正负即可确定出三角形形状．
2．【答案】A
【知识点】正弦定理
【解析】【解答】解：∵a=2，b=2，B=60°，
∴由正弦定理
∴sinA=，
又a＜b，∴A=30°．
故选：A．
【分析】利用正弦定理求出sinA，再结合三角形中大边对大角的概念得出答案．
3．【答案】B
【知识点】余弦定理
【解析】【解答】设长为7的边所对的角为θ，根据余弦定理可得cosθ的值，进而可得θ的大小，则由三角形内角和定理可得最大角与最小角的和是180°-θ，即可得答案．根据三角形角边关系可得，最大角与最小角所对的边的长分别为8与5，设长为7的边所对的角为θ，则最大角与最小角的和是180°-θ，有余弦定理可得，cosθ= 易得θ=60°，则最大角与最小角的和是180°-θ=120°，故选B．
【分析】本题考查余弦定理的运用，解本题时注意与三角形内角和定理结合分析题意．
4．【答案】B
【知识点】余弦定理的应用
【解析】【分析】根据余弦定理且又因为可知， ，故选B.
【点评】解决该试题的关键是根据题中给定的三边的平方关系可知，角C的值。这一点自然要做到对余弦定理的熟练。
5．【答案】D
【知识点】正弦定理
【解析】【分析】A. a·cosC=c·cosA由余弦定理得，不能从成立；B不符合正弦定理；C. absinC=bcsinB不符合正弦定理；故选D。
【点评】三角形中已知边角，求其它边角问题，往往要利用正弦定理或余弦定理。结合命题，研究正弦定理的变形，判断真假。
6．【答案】D
【知识点】正弦定理
【解析】【分析】利用题意可求得B的范围，进而利用正弦定理把边的比转化成角的正弦的比，利用二倍角公式整理求得sinA和sinB的关系，答案可得．：∵△ABC为锐角三角形，且A=2B，
∴0＜2B<，0＜π-3B＜，∴，∴sinA=sin2B=2sinBcosB，借助于正弦定理可知，
asinB=bsinA，，故选D.
【点评】解决该试题的关键是就是边的问题转化成角的问题来解决．注意借助于二倍角公式来化简求解范围。
7．【答案】C
【知识点】余弦定理
【解析】【分析】由余弦定理得：，因为B为三角形的内角，所以B=60°。选C。
【点评】直接考查余弦定理，属于基础题型。余弦定理通常解决的两类题型：①已知三边解三角形；②已知两边及两边的夹角，解三角形。
8．【答案】B
【知识点】正弦定理
【解析】【解答】由正弦定理得， ， 选B.
【分析】本题考查正弦定理的应用
9．【答案】C
【知识点】正弦定理
【解析】【分析】由正弦定理得：，∴，∴A=60°或120°.
10．【答案】A
【知识点】正弦定理的应用
【解析】【分析】在中，由正弦定理可得 ，选A.
11．【答案】A
【知识点】正弦定理的应用
【解析】 解答：由题意可得 ，由正弦定理可得
所以 ，又 为钝角三角形。
分析：此题考查了正弦定理余弦定理的灵活应用，解决此类题型要注意冷静思考。
12．【答案】D
【知识点】余弦定理的应用
【解析】 解答：由题意可得设顶角为C，
，由余弦定理可得 ，将 代入 化简可得 ，故选D.
分析：先由已知可得到三边之间的关系，再代入余弦定理解此题。
13．【答案】A
【知识点】三角形中的几何计算
【解析】
故选A.
分析：本题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用，解决实际问题的关键是要把实际问题转化为数学问题，然后利用数学知识进行求解.
14．【答案】D
【知识点】解三角形的实际应用
【解析】解答：由题意可知
由正弦定理可得：
则 的面积
分析：本题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用，解决实际问题的关键是要把实际问题转化为数学问题，然后利用数学知识进行求解.
15．【答案】D
【知识点】余弦定理
【解析】【解答】∵cos（A+B）=，
∴cosC=﹣，
在△ABC中，a=3，b=2，cosC=﹣，
∴c2=a2+b2﹣2abcosC=9+4﹣
∴c=．
故选：D．
【分析】由题意求出cosC，利用余弦定理求出c即可．
16．【答案】7
【知识点】余弦定理
【解析】【解答】由已知得的面积为，所以，所以.由余弦定理得
【分析】本题考查余弦定理，余弦定理是揭示三角形边角关系的重要定理，直接运用它可解决一类已知三角形两边及夹角求第三边或者是已知三个边求角的问题；知道两边和其中一边的对角，利用余弦定理可以快捷求第三边，属于基础题．
17．【答案】
【知识点】解三角形的实际应用
【解析】【解答】过点C作CD⊥AB，则AD=a﹣c，BD=b﹣c，设CD=x．
则tan∠ACD=，tanBCD=，
tan∠ACB=tan（∠ACD﹣∠BCD）=
=
当且仅当x=时，tan∠ACB取得最大值，即∠ACB最大．
故答案为：．
【分析】过点C作CD⊥AB，设CD=x，易求出tan∠ACB，即tan（∠ACD﹣∠BCD）的表达式，进而根据基本不等式，求出tan∠ACB的范围及tan∠ACB取最大值时x的值，进而得到答案．
18．【答案】
【知识点】正弦定理的应用
【解析】【解答】在△ABC中，延长AD至E点，使AD=DE，在△ABE中， ，
，
由正弦定理得 ， .
∴AD的长为 .
【分析】构造直角三角形，根据正弦定理公式 ，代入已知式子可得．
19．【答案】
【知识点】三角形中的几何计算
【解析】【解答】 ， .
又 ， .
【分析】本题主要考查了应用举例，把已知代入正切公式即可。
20．【答案】
【知识点】正弦定理的应用
【解析】【解答】在△ABC中，
【分析】根据正弦定理公式 ，代入已知式子可得．
21．【答案】解：（1）∵，
∴由正弦定理可得，
∴sinAcosC+sinAsinC=sin（A+C）+sinC，
∴sinA﹣cosA=1，
∴sin（A﹣30°）=，
∴A﹣30°=30°，∴A=60°；
（2）由题意，b＞0，c＞0，b+c＞a=7，
∴由余弦定理49==（b+c）2﹣3bc≥（b+c）2（当且仅当b=c时取等号），
∴b+c≤14，
∵b+c＞7，
∴7＜b+c≤14，
∴△ABC的周长的取值范围为（14，21]．
【知识点】解三角形的实际应用
【解析】【分析】（1）利用正弦定理，结合和差的正弦公式，化简可得结论；
（2）利用余弦定理结合基本不等式，可求△ABC的周长的取值范围．
22．【答案】解：（1）根据正弦定理得，，
所以，asinB=bsinA=2，
因为，b=4，所以，sinA=，
且三角形为锐角三角形，
所以，A=；
（2）由（1）得，cosA=，
根据余弦定理，a2=b2+c2﹣2bccosA，
所以，a2=42+62﹣2×4×6×=28，
解得a=2，
因为D为BC的中点，则AD为BC边的中线，
因此，根据三角形中线长公式：
|AD|=ma==，
即线段AD的长度为．
【知识点】三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）根据正弦定理得出asinB=bsinA，从而求出sinA；
（2）先根据余弦定理求出边长a，再用中线长公式得出AD的长．
23．【答案】解：（Ⅰ）由正弦定理及2acosC+ccosA=b．
得2sinAcosC+sinCcosA=sinB
在△ABC中，A+B+C=π，
∴A+C=π﹣B，即sin（A+C）=sinB．
∴2sinAcosC+sinCcosA=sin（A+C）+sinAcosC=sinB+sinAcosC=sinB
∴sinAcosC=0
又∵0＜A＜π，0＜C＜π，
∴sinA＞0．
∴cosC=0
∴C=
（Ⅱ）由（Ⅰ）得C=，
∴A+B=，即B=-A．
∵sinAcosB+sinB=cos2B+sinB=﹣sin2B+sinB+1=﹣
∵0，
∴当sinB=，即B=时，sinAcosB+sinB取得最大值．
【知识点】正弦定理的应用
【解析】【分析】（Ⅰ）由已知及正弦定理可得2sinAcosC+sinCcosA=sinB，结合三角形的内角和定理及两角和的三角公式可求C
（Ⅱ）由（Ⅰ）得C=，B=-A，代入sinAcosB+sinB，利用同角平方关系及二次函数的性质可求最大值
24．【答案】解：（Ⅰ）在△ABC中，∵bsinA=acosB，
由正弦定理可得 sinBsinA=sinAcosB，
故有tanB=，
∴B=．
（Ⅱ）∵sinC=2sinA，∴c=2a，
由余弦定理b2=a2+c2﹣2ac cosB，即9=a2+4a2﹣2a 2a cos，
解得a=，c=2a=2．
【知识点】正弦定理
【解析】【分析】（Ⅰ）在△ABC中，由条件利用正弦定理求得tanB=，由此求得 B 的值．
（Ⅱ）由条件利用正弦定理得c=2a，再由余弦定理b2=a2+c2﹣2ac cosB，求得a的值，可得c=2a的值，求解即可．
25．【答案】解：（1）在△ABC中，∵cos2B+3cosB﹣1=0，∴2cos2B+3cosB﹣2=0，∴cosB=或cosB=﹣2（舍去），∴B=．（2）∵a+c=1，由余弦定理，得b2=a2+c2﹣2accosB=（a+c）2﹣3ac=1﹣3a（1﹣a）=3a2﹣3a+1，其中0＜a＜1，∵f（a）=3a2﹣3a+1在上递减，在上递增，∴，又0＜b＜1，∴．
【知识点】余弦定理
【解析】【分析】（1）利用二倍角的余弦函数公式化简已知可得2cos2B+3cosB﹣2=0，解得cosB，从而可求B的值．
（2）由已知及余弦定理可得b2=3a2﹣3a+1，其中0＜a＜1，由于二次函数f（a）=3a2﹣3a+1在上递减，在上递增，从而可求b2的最小值，进而得解b的最小值．
1 / 1人教新课标A版 高中数学必修5 第一章解三角形 1.1正弦定理和余弦定理 同步测试
一、单选题
1．（2015高一下·万全期中）已知△ABC的三边分别为2，3，4，则此三角形是（ ）
A．锐角三角形 B．钝角三角形
C．直角三角形 D．不能确定
【答案】B
【知识点】余弦定理
【解析】【解答】解：设4所对的角为α，
∵△ABC的三边分别为2，3，4，
∴由余弦定理得：cosα=
则此三角形为钝角三角形．
故选：B．
【分析】根据大边对大角，得到4所对的角最大，设为α，利用余弦定理表示出cosα，将三边长代入求出cosα的值，根据cosα的正负即可确定出三角形形状．
2．（2016高一下·长春期中）在△ABC中，若a=2，b=2，B=60°，则角A的大小为（ ）
A．30° B．60°
C．30°或150° D．60°或 120°
【答案】A
【知识点】正弦定理
【解析】【解答】解：∵a=2，b=2，B=60°，
∴由正弦定理
∴sinA=，
又a＜b，∴A=30°．
故选：A．
【分析】利用正弦定理求出sinA，再结合三角形中大边对大角的概念得出答案．
3．边长为5，7，8的三角形的最大角与最小角的和是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】余弦定理
【解析】【解答】设长为7的边所对的角为θ，根据余弦定理可得cosθ的值，进而可得θ的大小，则由三角形内角和定理可得最大角与最小角的和是180°-θ，即可得答案．根据三角形角边关系可得，最大角与最小角所对的边的长分别为8与5，设长为7的边所对的角为θ，则最大角与最小角的和是180°-θ，有余弦定理可得，cosθ= 易得θ=60°，则最大角与最小角的和是180°-θ=120°，故选B．
【分析】本题考查余弦定理的运用，解本题时注意与三角形内角和定理结合分析题意．
4．在中，已知则
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】余弦定理的应用
【解析】【分析】根据余弦定理且又因为可知， ，故选B.
【点评】解决该试题的关键是根据题中给定的三边的平方关系可知，角C的值。这一点自然要做到对余弦定理的熟练。
5．在中下列等式总成立的是（ ）
A．a·cosC=c·cosA B．bsinC=csinA
C．absinC=bcsinB D．asinC=csinA
【答案】D
【知识点】正弦定理
【解析】【分析】A. a·cosC=c·cosA由余弦定理得，不能从成立；B不符合正弦定理；C. absinC=bcsinB不符合正弦定理；故选D。
【点评】三角形中已知边角，求其它边角问题，往往要利用正弦定理或余弦定理。结合命题，研究正弦定理的变形，判断真假。
6．锐角△ABC中，若A=2B，则的取值范围是（ ）
A．（1，2） B．（1，） C．（） D．（，）
【答案】D
【知识点】正弦定理
【解析】【分析】利用题意可求得B的范围，进而利用正弦定理把边的比转化成角的正弦的比，利用二倍角公式整理求得sinA和sinB的关系，答案可得．：∵△ABC为锐角三角形，且A=2B，
∴0＜2B<，0＜π-3B＜，∴，∴sinA=sin2B=2sinBcosB，借助于正弦定理可知，
asinB=bsinA，，故选D.
【点评】解决该试题的关键是就是边的问题转化成角的问题来解决．注意借助于二倍角公式来化简求解范围。
7．△ABC中，a＝3，b＝，c＝2，那么B等于（ ）
A．30° B．45° C．60° D．120°
【答案】C
【知识点】余弦定理
【解析】【分析】由余弦定理得：，因为B为三角形的内角，所以B=60°。选C。
【点评】直接考查余弦定理，属于基础题型。余弦定理通常解决的两类题型：①已知三边解三角形；②已知两边及两边的夹角，解三角形。
8．在
中，若
， 则AC= （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】正弦定理
【解析】【解答】由正弦定理得， ， 选B.
【分析】本题考查正弦定理的应用
9．在中，，则A等于（）
A．30° B．60° C．60°或120° D．30°或150
【答案】C
【知识点】正弦定理
【解析】【分析】由正弦定理得：，∴，∴A=60°或120°.
10．在中，，则边a的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】正弦定理的应用
【解析】【分析】在中，由正弦定理可得 ，选A.
11．（人教新课标A版必修5数学1.1 正弦定理和余弦定理同步检测）在△ABC中，若 ，则△ABC的形状为（ ）
A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．不能确定
【答案】A
【知识点】正弦定理的应用
【解析】 解答：由题意可得 ，由正弦定理可得
所以 ，又 为钝角三角形。
分析：此题考查了正弦定理余弦定理的灵活应用，解决此类题型要注意冷静思考。
12．（人教新课标A版必修5数学1.1 正弦定理和余弦定理同步检测）如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】余弦定理的应用
【解析】 解答：由题意可得设顶角为C，
，由余弦定理可得 ，将 代入 化简可得 ，故选D.
分析：先由已知可得到三边之间的关系，再代入余弦定理解此题。
13．（人教新课标A版必修5数学1.2应用举例同步检测）在锐角 中， 分别是角 的对边， ， .
求 的值（ ）；
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】三角形中的几何计算
【解析】
故选A.
分析：本题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用，解决实际问题的关键是要把实际问题转化为数学问题，然后利用数学知识进行求解.
14．（人教新课标A版必修5数学1.2应用举例同步检测）为绘制海底地貌图，测量海底两点C，D间的距离，海底探测仪沿水平方向在 ， 两点进行测量， ， ， ， 在同一个铅垂平面内. 海底探测仪测得
， 两点的距离为 海里，求 的面积( )平方海里。
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】解三角形的实际应用
【解析】解答：由题意可知
由正弦定理可得：
则 的面积
分析：本题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用，解决实际问题的关键是要把实际问题转化为数学问题，然后利用数学知识进行求解.
15．（2015高一下·宜宾期中）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若a=3，b=2，cos（A+B）=，则c=（ ）
A．4 B． C．3 D．
【答案】D
【知识点】余弦定理
【解析】【解答】∵cos（A+B）=，
∴cosC=﹣，
在△ABC中，a=3，b=2，cosC=﹣，
∴c2=a2+b2﹣2abcosC=9+4﹣
∴c=．
故选：D．
【分析】由题意求出cosC，利用余弦定理求出c即可．
二、填空题
16．若锐角的面积为，且AB=5，AC=8，则BC等于 。
【答案】7
【知识点】余弦定理
【解析】【解答】由已知得的面积为，所以，所以.由余弦定理得
【分析】本题考查余弦定理，余弦定理是揭示三角形边角关系的重要定理，直接运用它可解决一类已知三角形两边及夹角求第三边或者是已知三个边求角的问题；知道两边和其中一边的对角，利用余弦定理可以快捷求第三边，属于基础题．
17．如图，树顶A离地面a米，树上另一点B离地面b米，某人站在地面观看A，B两点，眼睛C距离地面高度为c米，且a＞b＞c，要使视角∠ACB最大，则人脚离树根的距离应为
【答案】
【知识点】解三角形的实际应用
【解析】【解答】过点C作CD⊥AB，则AD=a﹣c，BD=b﹣c，设CD=x．
则tan∠ACD=，tanBCD=，
tan∠ACB=tan（∠ACD﹣∠BCD）=
=
当且仅当x=时，tan∠ACB取得最大值，即∠ACB最大．
故答案为：．
【分析】过点C作CD⊥AB，设CD=x，易求出tan∠ACB，即tan（∠ACD﹣∠BCD）的表达式，进而根据基本不等式，求出tan∠ACB的范围及tan∠ACB取最大值时x的值，进而得到答案．
18．（人教新课标A版必修5数学1.1 正弦定理和余弦定理同步检测）如图，在△ABC中，D为BC的中点， ，求
【答案】
【知识点】正弦定理的应用
【解析】【解答】在△ABC中，延长AD至E点，使AD=DE，在△ABE中， ，
，
由正弦定理得 ， .
∴AD的长为 .
【分析】构造直角三角形，根据正弦定理公式 ，代入已知式子可得．
19．（人教新课标A版必修5数学1.2应用举例同步检测）在 中， ， .求角 的大小 。
【答案】
【知识点】三角形中的几何计算
【解析】【解答】 ， .
又 ， .
【分析】本题主要考查了应用举例，把已知代入正切公式即可。
20．（人教新课标A版必修5数学1.1 正弦定理和余弦定理同步检测）在△ABC中， ，则 的最大值是 。
【答案】
【知识点】正弦定理的应用
【解析】【解答】在△ABC中，
【分析】根据正弦定理公式 ，代入已知式子可得．
三、解答题
21．已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，
（1）求A的大小；
（2）若a=7，求△ABC的周长的取值范围
【答案】解：（1）∵，
∴由正弦定理可得，
∴sinAcosC+sinAsinC=sin（A+C）+sinC，
∴sinA﹣cosA=1，
∴sin（A﹣30°）=，
∴A﹣30°=30°，∴A=60°；
（2）由题意，b＞0，c＞0，b+c＞a=7，
∴由余弦定理49==（b+c）2﹣3bc≥（b+c）2（当且仅当b=c时取等号），
∴b+c≤14，
∵b+c＞7，
∴7＜b+c≤14，
∴△ABC的周长的取值范围为（14，21]．
【知识点】解三角形的实际应用
【解析】【分析】（1）利用正弦定理，结合和差的正弦公式，化简可得结论；
（2）利用余弦定理结合基本不等式，可求△ABC的周长的取值范围．
22．在锐角ABC中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c，b=4，c=6，且asinB=2．
（1）求角A的大小；
（2）若D为BC的中点，求线段AD的长．
【答案】解：（1）根据正弦定理得，，
所以，asinB=bsinA=2，
因为，b=4，所以，sinA=，
且三角形为锐角三角形，
所以，A=；
（2）由（1）得，cosA=，
根据余弦定理，a2=b2+c2﹣2bccosA，
所以，a2=42+62﹣2×4×6×=28，
解得a=2，
因为D为BC的中点，则AD为BC边的中线，
因此，根据三角形中线长公式：
|AD|=ma==，
即线段AD的长度为．
【知识点】三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）根据正弦定理得出asinB=bsinA，从而求出sinA；
（2）先根据余弦定理求出边长a，再用中线长公式得出AD的长．
23．在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别是a，b，c．满足2acosC+ccosA=b．
（Ⅰ）求角C的大小；
（Ⅱ）求sinAcosB+sinB的最大值．
【答案】解：（Ⅰ）由正弦定理及2acosC+ccosA=b．
得2sinAcosC+sinCcosA=sinB
在△ABC中，A+B+C=π，
∴A+C=π﹣B，即sin（A+C）=sinB．
∴2sinAcosC+sinCcosA=sin（A+C）+sinAcosC=sinB+sinAcosC=sinB
∴sinAcosC=0
又∵0＜A＜π，0＜C＜π，
∴sinA＞0．
∴cosC=0
∴C=
（Ⅱ）由（Ⅰ）得C=，
∴A+B=，即B=-A．
∵sinAcosB+sinB=cos2B+sinB=﹣sin2B+sinB+1=﹣
∵0，
∴当sinB=，即B=时，sinAcosB+sinB取得最大值．
【知识点】正弦定理的应用
【解析】【分析】（Ⅰ）由已知及正弦定理可得2sinAcosC+sinCcosA=sinB，结合三角形的内角和定理及两角和的三角公式可求C
（Ⅱ）由（Ⅰ）得C=，B=-A，代入sinAcosB+sinB，利用同角平方关系及二次函数的性质可求最大值
24．在△ABC中，bsinA=acosB．
（Ⅰ）求角B的大小；
（Ⅱ）若b=3，sinC=2sinA，求a，c的值．
【答案】解：（Ⅰ）在△ABC中，∵bsinA=acosB，
由正弦定理可得 sinBsinA=sinAcosB，
故有tanB=，
∴B=．
（Ⅱ）∵sinC=2sinA，∴c=2a，
由余弦定理b2=a2+c2﹣2ac cosB，即9=a2+4a2﹣2a 2a cos，
解得a=，c=2a=2．
【知识点】正弦定理
【解析】【分析】（Ⅰ）在△ABC中，由条件利用正弦定理求得tanB=，由此求得 B 的值．
（Ⅱ）由条件利用正弦定理得c=2a，再由余弦定理b2=a2+c2﹣2ac cosB，求得a的值，可得c=2a的值，求解即可．
25．在△ABC中，角A，B，C对应的边分别是a，b，c且cos2B+3cosB﹣1=0．
（1）求角B的大小；
（2）若a+c=1，求b的最小值．
【答案】解：（1）在△ABC中，∵cos2B+3cosB﹣1=0，∴2cos2B+3cosB﹣2=0，∴cosB=或cosB=﹣2（舍去），∴B=．（2）∵a+c=1，由余弦定理，得b2=a2+c2﹣2accosB=（a+c）2﹣3ac=1﹣3a（1﹣a）=3a2﹣3a+1，其中0＜a＜1，∵f（a）=3a2﹣3a+1在上递减，在上递增，∴，又0＜b＜1，∴．
【知识点】余弦定理
【解析】【分析】（1）利用二倍角的余弦函数公式化简已知可得2cos2B+3cosB﹣2=0，解得cosB，从而可求B的值．
（2）由已知及余弦定理可得b2=3a2﹣3a+1，其中0＜a＜1，由于二次函数f（a）=3a2﹣3a+1在上递减，在上递增，从而可求b2的最小值，进而得解b的最小值．
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