人教新课标A版必修1数学2.2.2 对数函数及其性质同步测试
一、单选题
1．（2016高一上·邹平期中）函数y= 的定义域是（ ）
A．（1，2] B．（1，2） C．（2，+∞） D．（﹣∞，2）
2．（2016高一上·定州期中）函数 的定义域是（ ）
A．[1，2] B．[1，2） C． D．
3．（2016高一上·湖北期中）已知函数f（x）=|lgx|．若a≠b且，f（a）=f（b），则a+b的取值范围是（ ）
A．（1，+∞） B．[1，+∞） C．（2，+∞） D．[2，+∞）
4．设函数f（x）=|logax|（0＜a＜1）的定义域为[m，n]（m＜n），值域为[0，1]，若n﹣m的最小值为，则实数a的值为（ ）
A． B． C． D．
5．（2017·成安模拟）函数y= 的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2016高一上·公安期中）下列函数中，其定义域和值域分别与函数y=10lgx的定义域和值域相同的是（ ）
A．y=x B．y=lgx C．y=2x D．y=
7．（2016高一上·澄城期中）已知函数f（x）=ax+logax（a＞0且a≠1）在[1，2]上的最大值与最小值之和为（loga2）+6，则a的值为（ ）
A． B． C．2 D．4
8．（2016高一上·昆明期中）为了得到函数y=lg 的图象，只需把函数y=lg x的图象上所有的点（ ）
A．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度
B．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度
C．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度
D．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度
9．（2016高一上·迁西期中）函数y=ax与y=﹣logax（a＞0，且a≠1）在同一坐标系中的图象只可能是（ ）
A． B．
C． D．
10．（2016高一上·蓟县期中）设a＞1，函数f（x）=logax在区间[a，2a]上的最大值与最小值之差为 ，则a=（ ）
A． B．2 C．2 D．4
11．（2017高一上·奉新期末）若函数y=loga（x2﹣ax+1）有最小值，则a的取值范围是（ ）
A．0＜a＜1 B．0＜a＜2，a≠1
C．1＜a＜2 D．a≥2
12．（2016高一上·杭州期末）已知函数f（x）=logsin1（x2﹣ax+3a）在[2，+∞）单调递减，则实数a的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，4] B．[4，+∞）
C．[﹣4，4] D．（﹣4，4]
13．（2017高一上·濉溪期末）已知e是自然对数的底数，函数f（x）=ex+x﹣2的零点为a，函数g（x）=lnx+x﹣2的零点为b，则下列不等式中成立的是（ ）
A．f（a）＜f（1）＜f（b） B．f（a）＜f（b）＜f（1）
C．f（1）＜f（a）＜f（b） D．f（b）＜f（1）＜f（a）
二、填空题
14．（2015高一下·自贡开学考）已知 ， ，c=log32．则a，b，c的大小关系为： ．
15．（2016高一上·黑龙江期中）函数y=loga（3x﹣7）+1的图象恒过定点 ．
16．（2016高一上·饶阳期中）已知f（x）= 是（﹣∞，+∞）上的减函数，那么a的取值范围是 ．
17．若函数f（x）=loga（2x2+x）（a＞0，a≠1）在区间恒有f（x）＞0，则f（x）的单调递增区间是
18．若函数f（x）=loga（x﹣1）+4（a＞0且a≠1）的图象过定点（m，n），则logmn=
三、解答题
19．已知函数f（x）=lg[（m2﹣3m+2）x2+2（m﹣1）x+5]，如果函数f（x）的值域为R，求实数m的取值范围．
20．求函数y=loga（x﹣x2）（a＞0，a≠1）的单调区间及值域．
21．（2016高一上·武邑期中）已知x满足不等式（log2x）2﹣log2x2≤0，求函数 （a∈R）的最小值．
22．（2017高一上·安庆期末）已知函数f（x）=
（1）在下表中画出该函数的草图；
（2）求函数y=f（x）的值域、单调增区间及零点．
23．已知函数f（x）=loga（2x﹣3）（a＞0且a≠1），
（1）求f（x）函数的定义域；
（2）求使f（x）＞0成立的x的取值范围；
（3）当x∈[2，5]，求f（x）函数的值域．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】函数的定义域及其求法；对数函数的概念与表示
【解析】【解答】解：∵log2（x﹣1），∴x﹣1＞0，x＞1
根据 ，得出x≤2，又在分母上不等于0，即x≠2
∴函数y= 的定义域是（1，2）
故选B．
【分析】由函数的解析式知，令真数x﹣1＞0，根据 ，得出x≤2，又在分母上不等于0，即x≠2，最后取交集，解出函数的定义域．
2．【答案】C
【知识点】对数函数的概念与表示
【解析】【解答】解：∵log （2x﹣1）≥0
0≤（2x﹣1）≤1，
解得 ＜x≤1，
故选C．
【分析】偶次开方时的被开方数大于0，得到log （2x﹣1）≥0，进而求出x的取值范围．
3．【答案】C
【知识点】函数的值域；函数的图象与图象变化；对数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】解：（方法一）因为f（a）=f（b），所以|lga|=|lgb|，
不妨设0＜a＜b，则0＜a＜1＜b，∴lga=﹣lgb，lga+lgb=0
∴lg（ab）=0
∴ab=1，
又a＞0，b＞0，且a≠b
∴（a+b）2＞4ab=4
∴a+b＞2
故选：C．
（方法二）由对数的定义域，设0＜a＜b，且f（a）=f（b），得： ，
整理得线性规划表达式为： ，
因此问题转化为求z=x+y的取值范围问题，则z=x+y y=﹣x+z，即求函数的截距最值．
根据导数定义， 函数图象过点（1，1）时z有最小为2（因为是开区域，所以取不到2），
∴a+b的取值范围是（2，+∞）．
故选：C．
【分析】由已知条件a≠b，不妨令a＜b，又y=lgx是一个增函数，且f（a）=f（b），故可得，0＜a＜1＜b，则 lga=﹣lgb，再化简整理即可求解；或采用线性规划问题处理也可以．
4．【答案】B
【知识点】对数函数的单调区间
【解析】【解答】①若1≤m＜n，则f（x）=﹣logax，
∵f（x）的值域为[0，1]，∴f（m）=0，f（n）=1，解得m=1，n=，
又∵n﹣m的最小值为，∴，及0＜a＜1，当等号成立时，解得a=．
②若0＜m＜n＜1，则f（x）=logax，
∵f（x）的值域为[0，1]，∴f（m）=1，f（n）=0，解得m=a，n=1，
又∵n﹣m的最小值为，∴，及0＜a＜1，当等号成立时，解得a=．
③若0＜m＜1＜n时，不满足题意．
故选B．
【分析】通过分类讨论和利用对数函数的单调性即可得出．
5．【答案】D
【知识点】函数的图象与图象变化
【解析】【解答】解：∵f（﹣x）=﹣f（x）是奇函数，
所以排除A，B
当x=1时，f（x）=0排除C
故选D
【分析】先由奇偶性来确定是A、B还是C、D选项中的一个，再通过对数函数，当x=1时，函数值为0，可进一步确定选项．
6．【答案】D
【知识点】对数函数的概念与表示；对数函数的值域与最值
【解析】【解答】解：函数y=10lgx的定义域和值域均为（0，+∞），
函数y=x的定义域和值域均为R，不满足要求；
函数y=lgx的定义域为（0，+∞），值域为R，不满足要求；
函数y=2x的定义域为R，值域为R（0，+∞），不满足要求；
函数y= 的定义域和值域均为（0，+∞），满足要求；
故选：D
【分析】分别求出各个函数的定义域和值域，比较后可得答案．
7．【答案】C
【知识点】指数函数单调性的应用；对数函数的值域与最值
【解析】【解答】解：因为函数f（x）=ax+logax（a＞0且a≠1），
所以函数f（x）在a＞1时递增，最大值为f（2）=a2+loga2；最小值为f（1）=a1+loga1，
函数f（x）在0＜a＜1时递减，最大值为f（1）=a1+loga1，最小值为f（2）=a2+loga2；
故最大值和最小值的和为：f（1）+f（2）=a2+loga2+a1+loga1=loga2+6．
∴a2+a﹣6=0 a=2，a=﹣3（舍）．
故选C．
【分析】先对a＞1以及0＜a＜1分别求出其最大值和最小值，发现最大值与最小值之和都是f（1）+f（2）；再结合最大值与最小值之和为（loga2）+6，即可求a的值．
8．【答案】C
【知识点】对数函数的图象与性质
【解析】【解答】解：∵ ，
∴只需把函数y=lgx的图象上所有的点向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度
故选C．
【分析】先根据对数函数的运算法则对函数进行化简，即可选出答案．
9．【答案】A
【知识点】指数函数单调性的应用；对数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】解：根据y=﹣logax的定义域为（0，+∞）可排除选项B，
选项C，根据y=ax的图象可知0＜a＜1，y=﹣logax的图象应该为单调增函数，故不正确
选项D，根据y=ax的图象可知a＞1，y=﹣logax的图象应该为单调减函数，故不正确
故选A
【分析】本题是选择题，采用逐一排除法进行判定，再根据指对数函数图象的特征进行判定．
10．【答案】D
【知识点】对数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】解．∵a＞1，∴函数f（x）=logax在区间[a，2a]上的最大值与最小值之分别为loga2a，logaa，
∴loga2a﹣logaa= ，∴ ，a=4，
故选D
【分析】因为a＞1，函数f（x）=logax是单调递增函数，最大值与最小值之分别为loga2a、logaa=1，所以loga2a﹣logaa= ，即可得答案．
11．【答案】C
【知识点】对数函数的值域与最值
【解析】【解答】令g（x）=x2﹣ax+1（a＞0，且a≠1），g（x）开口向上；
①当a＞1时，g（x）在R上恒为正；∴△=a2﹣4＜0，解得1＜a＜2；
②当0＜a＜1时，x2﹣ax+1没有最大值，从而不能使得函数y=loga（x2﹣ax+1）有最小值，不符合题意．
综上所述：1＜a＜2；故选C．
【分析】先根据复合函数的单调性确定函数g（x）=x2﹣ax+1的单调性，进而分a＞1和0＜a＜1两种情况讨论：①当a＞1时，考虑地函数的图象与性质得到x2﹣ax+1的函数值恒为正；②当0＜a＜1时，x2﹣ax+1没有最大值，从而不能使得函数y=loga（x2﹣ax+1）有最小值．最后取这两种情形的并集即可．
12．【答案】D
【知识点】对数函数的图象与性质
【解析】【解答】解：令t=x2﹣ax+3a，
∵sin1∈（0，1），
∴函数y=logsin1t是关于t的减函数，
结合题意，得t=x2﹣ax+3a是区间[2，+∞）上的增函数，
又∵在[2，+∞）上t＞0总成立
∴，解之得﹣4＜a≤4．
∴实数a的取值范围是（﹣4，4]．
故选：D．
【分析】令t=x2﹣ax+3a，函数y=logsin1t是关于t的减函数，由此能求出实数a的取值范围．
13．【答案】A
【知识点】对数函数图象与性质的综合应用
【解析】【解答】解：∵函数f（x）=ex+x﹣2的零点为a，f（0）=﹣1＜0，f（1）=e﹣1＞0，∴0＜a＜1．
∵函数g（x）=lnx+x﹣2的零点为b，g（1）=﹣1＜0，g（2）=ln2＞0，∴1＜b＜2．
综上可得，0＜a＜1＜b＜2．
再由函数f（x）=ex+x﹣2在（0，+∞）上是增函数，可得 f（a）＜f（1）＜f（b），
故选A．
【分析】根据函数的零点的判定定理，可得0＜a＜1＜b＜2，再由函数f（x）=ex+x﹣2在（0，+∞）上是增函数，可得结论．
14．【答案】b＜a＜c
【知识点】利用对数函数的单调性比较大小
【解析】【解答】解： =﹣log23＜0，
由 ，得 ＜0，
且﹣log25＜﹣log23，
c=log32＞0．
则b＜a＜c．
故答案为：b＜a＜c．
【分析】化指数式为对数式得到b，再与a化为同底数比较大小，由a，b为负数，c为正数即可得到答案．
15．【答案】（ ，1）
【知识点】对数函数的图象与性质
【解析】【解答】解：∵loga1=0，
∴3x﹣7=1，即x= 时，y=1，
∴定点的坐标是P（ ，1）．
故答案为：（ ，1）．
【分析】由loga1=0，知3x﹣7=1，即x= 时，y=1，由此能求出定点的坐标．
16．【答案】 ≤a＜
【知识点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数单调性的性质；对数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】解：∵当x≥1时，y=logax单调递减，
∴0＜a＜1；
而当x＜1时，f（x）=（3a﹣1）x+4a单调递减，
∴a＜ ；
又函数在其定义域内单调递减，
故当x=1时，（3a﹣1）x+4a≥logax，得a≥ ，
综上可知， ≤a＜ ．
故答案为： ≤a＜
【分析】由分段函数的性质，若f（x）= 是（﹣∞，+∞）上的减函数，则分段函数在每一段上的图象都是下降的，且在分界点即x=1时，第一段函数的函数值应大于等于第二段函数的函数值．由此不难判断a的取值范围．
17．【答案】
【知识点】对数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】解：函数f（x）=loga（2x2+x）（a＞0，a≠1）在区间恒有f（x）＞0，
由于x∈，得2x2+x∈（0，1），又在区间恒有f（x）＞0，故有a∈（0，1）
对复合函数的形式进行，结合复合函数的单调性的判断规则知，
函数的单调递增区间为（﹣∞，﹣）
故应填（﹣∞，﹣）
【分析】本题要根据题设中所给的条件解出f（x）的底数a的值，由x∈，得2x2+x∈（0，1），至此可由恒有f（x）＞0，得出底数a的取值范围，再利用复合函数单调性求出其单调区间即可．
18．【答案】2
【知识点】对数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】解：令x﹣1=1，可得x=2，且y=4，故函数f（x）=loga（x﹣1）+4（a＞0且a≠1）的图象过定点（2，4），
再由函数f（x）=loga（x﹣1）+4（a＞0且a≠1）的图象过定点（m，n），可得m=2、n=4，
故logmn=2，
故答案为 2．
【分析】令x﹣1=1，可得x=2，且y=4，故函数f（x）=loga（x﹣1）+4（a＞0且a≠1）的图象过定点（2，4），结合条件求得m、n的值，可得logmn的值．
19．【答案】解：令g（x）=（m2﹣3m+2）x2+2（m﹣1）x+5，
如果函数f（x）的值域为R，则x去任何值都要g（x）能取到任意的正数．即g（x）＞0．
当m2﹣3m+2=0时，即m=1或2．
经验证当m=1时，g（x）=5＞0恒成立，故m=1．
当m2﹣3m+2≠0时，根据二次函数性质，要使的函数值取得所有正在值，只需 ，
解得： ．
综上可得：满足题意的实数m的取值范围为：m=1或
【知识点】对数函数的图象与性质
【解析】【分析】根据对数函数的图象及性质即可求解．
20．【答案】解：函数y=loga（x﹣x2）（a＞0，a≠1）
∴x﹣x2＞0，解得：0＜x＜1，
所以函数y=loga（x﹣x2）的定义域是（0，1）．
∴0＜x﹣x2=﹣（x﹣ ）2+ ≤ ，
所以，当0＜a＜1时，loga（x﹣x2）≥loga ，函数y=loga（x﹣x2）的值域为[loga ，+∞），
当a＞1时，loga（x﹣x2）≤loga ，函数y=loga（x﹣x2）的值域为（﹣∞，loga ]，
当0＜a＜1时，函数y=loga（x﹣x2）在（0， ]上是减函数，在[ ，1）是增函数．
当a＞1时，函数y=loga（x﹣x2）在（0， ]上是增函数，在[ ，1）是减函数
【知识点】对数函数的图象与性质
【解析】【分析】根据复合函数的单调性“同增异减”可得单调区间，利用对数函数的性质和二次函数的性质可得函数y的值域．
21．【答案】解：解不等式 （log2x）2﹣log2x2≤0，
得 1≤x≤4，
所以 2≤2x≤16
当a＜2时， ；
当2≤a≤16时，ymin=1
当a＞16时，
【知识点】对数函数图象与性质的综合应用
【解析】【分析】根据指数的运算性质，我们可将函数 （a∈R）的解析式化为 ，由x满足不等式（log2x）2﹣log2x2≤0，我们求出满足条件的x的取值范围，结合二次函数在定区间了最小值的确定方法，我们易求出函数 （a∈R）的最小值．
22．【答案】（1）解：函数草图，如图所示：
f（x）=x2﹣1（x＜1）过点（0，﹣1），（﹣1，0），
显然f（x）=x2﹣1（x＜1）与 都过点（1，0），
且 过点（2，﹣1）
（2）解：y=f（x）的值域为R，y=f（x）的单调增区间：[0，1]，
y=f（x）的零点为x1=﹣1，x2=1
【知识点】对数函数图象与性质的综合应用
【解析】【分析】（1）根据函数的解析式画出函数的图象．（2）结合函数的图象求出的值域、单调增区间及零点．
23．【答案】（1）解：要使f（x）=loga（2x﹣3）有意义，只要
2x﹣3＞0，解得x＞log23，
故f（x）的定义域为（log23，+∞）
（2）解：当a＞1时，有2x﹣3＞1，解得x＞2；
当0＜a＜1时，有0＜2x﹣3＜1，解得log23＜x＜2
（3）解：当x∈[2，5]时，
∴1≤2x﹣3≤29，
当a＞1时，f（x）函数的值域为：[0，loga29]，
当0＜a＜1时，f（x）函数的值域：[loga29，0]
【知识点】对数函数的图象与性质
【解析】【分析】（1）求定义域只有满足2x﹣3＞0即可；（2）分a＞1或0＜a＜1来分别求解，（3）根据x的取值范围，先求2x﹣3的取值范围，然后在讨论a求函数的值域．
1 / 1人教新课标A版必修1数学2.2.2 对数函数及其性质同步测试
一、单选题
1．（2016高一上·邹平期中）函数y= 的定义域是（ ）
A．（1，2] B．（1，2） C．（2，+∞） D．（﹣∞，2）
【答案】B
【知识点】函数的定义域及其求法；对数函数的概念与表示
【解析】【解答】解：∵log2（x﹣1），∴x﹣1＞0，x＞1
根据 ，得出x≤2，又在分母上不等于0，即x≠2
∴函数y= 的定义域是（1，2）
故选B．
【分析】由函数的解析式知，令真数x﹣1＞0，根据 ，得出x≤2，又在分母上不等于0，即x≠2，最后取交集，解出函数的定义域．
2．（2016高一上·定州期中）函数 的定义域是（ ）
A．[1，2] B．[1，2） C． D．
【答案】C
【知识点】对数函数的概念与表示
【解析】【解答】解：∵log （2x﹣1）≥0
0≤（2x﹣1）≤1，
解得 ＜x≤1，
故选C．
【分析】偶次开方时的被开方数大于0，得到log （2x﹣1）≥0，进而求出x的取值范围．
3．（2016高一上·湖北期中）已知函数f（x）=|lgx|．若a≠b且，f（a）=f（b），则a+b的取值范围是（ ）
A．（1，+∞） B．[1，+∞） C．（2，+∞） D．[2，+∞）
【答案】C
【知识点】函数的值域；函数的图象与图象变化；对数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】解：（方法一）因为f（a）=f（b），所以|lga|=|lgb|，
不妨设0＜a＜b，则0＜a＜1＜b，∴lga=﹣lgb，lga+lgb=0
∴lg（ab）=0
∴ab=1，
又a＞0，b＞0，且a≠b
∴（a+b）2＞4ab=4
∴a+b＞2
故选：C．
（方法二）由对数的定义域，设0＜a＜b，且f（a）=f（b），得： ，
整理得线性规划表达式为： ，
因此问题转化为求z=x+y的取值范围问题，则z=x+y y=﹣x+z，即求函数的截距最值．
根据导数定义， 函数图象过点（1，1）时z有最小为2（因为是开区域，所以取不到2），
∴a+b的取值范围是（2，+∞）．
故选：C．
【分析】由已知条件a≠b，不妨令a＜b，又y=lgx是一个增函数，且f（a）=f（b），故可得，0＜a＜1＜b，则 lga=﹣lgb，再化简整理即可求解；或采用线性规划问题处理也可以．
4．设函数f（x）=|logax|（0＜a＜1）的定义域为[m，n]（m＜n），值域为[0，1]，若n﹣m的最小值为，则实数a的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】对数函数的单调区间
【解析】【解答】①若1≤m＜n，则f（x）=﹣logax，
∵f（x）的值域为[0，1]，∴f（m）=0，f（n）=1，解得m=1，n=，
又∵n﹣m的最小值为，∴，及0＜a＜1，当等号成立时，解得a=．
②若0＜m＜n＜1，则f（x）=logax，
∵f（x）的值域为[0，1]，∴f（m）=1，f（n）=0，解得m=a，n=1，
又∵n﹣m的最小值为，∴，及0＜a＜1，当等号成立时，解得a=．
③若0＜m＜1＜n时，不满足题意．
故选B．
【分析】通过分类讨论和利用对数函数的单调性即可得出．
5．（2017·成安模拟）函数y= 的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】函数的图象与图象变化
【解析】【解答】解：∵f（﹣x）=﹣f（x）是奇函数，
所以排除A，B
当x=1时，f（x）=0排除C
故选D
【分析】先由奇偶性来确定是A、B还是C、D选项中的一个，再通过对数函数，当x=1时，函数值为0，可进一步确定选项．
6．（2016高一上·公安期中）下列函数中，其定义域和值域分别与函数y=10lgx的定义域和值域相同的是（ ）
A．y=x B．y=lgx C．y=2x D．y=
【答案】D
【知识点】对数函数的概念与表示；对数函数的值域与最值
【解析】【解答】解：函数y=10lgx的定义域和值域均为（0，+∞），
函数y=x的定义域和值域均为R，不满足要求；
函数y=lgx的定义域为（0，+∞），值域为R，不满足要求；
函数y=2x的定义域为R，值域为R（0，+∞），不满足要求；
函数y= 的定义域和值域均为（0，+∞），满足要求；
故选：D
【分析】分别求出各个函数的定义域和值域，比较后可得答案．
7．（2016高一上·澄城期中）已知函数f（x）=ax+logax（a＞0且a≠1）在[1，2]上的最大值与最小值之和为（loga2）+6，则a的值为（ ）
A． B． C．2 D．4
【答案】C
【知识点】指数函数单调性的应用；对数函数的值域与最值
【解析】【解答】解：因为函数f（x）=ax+logax（a＞0且a≠1），
所以函数f（x）在a＞1时递增，最大值为f（2）=a2+loga2；最小值为f（1）=a1+loga1，
函数f（x）在0＜a＜1时递减，最大值为f（1）=a1+loga1，最小值为f（2）=a2+loga2；
故最大值和最小值的和为：f（1）+f（2）=a2+loga2+a1+loga1=loga2+6．
∴a2+a﹣6=0 a=2，a=﹣3（舍）．
故选C．
【分析】先对a＞1以及0＜a＜1分别求出其最大值和最小值，发现最大值与最小值之和都是f（1）+f（2）；再结合最大值与最小值之和为（loga2）+6，即可求a的值．
8．（2016高一上·昆明期中）为了得到函数y=lg 的图象，只需把函数y=lg x的图象上所有的点（ ）
A．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度
B．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度
C．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度
D．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度
【答案】C
【知识点】对数函数的图象与性质
【解析】【解答】解：∵ ，
∴只需把函数y=lgx的图象上所有的点向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度
故选C．
【分析】先根据对数函数的运算法则对函数进行化简，即可选出答案．
9．（2016高一上·迁西期中）函数y=ax与y=﹣logax（a＞0，且a≠1）在同一坐标系中的图象只可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】指数函数单调性的应用；对数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】解：根据y=﹣logax的定义域为（0，+∞）可排除选项B，
选项C，根据y=ax的图象可知0＜a＜1，y=﹣logax的图象应该为单调增函数，故不正确
选项D，根据y=ax的图象可知a＞1，y=﹣logax的图象应该为单调减函数，故不正确
故选A
【分析】本题是选择题，采用逐一排除法进行判定，再根据指对数函数图象的特征进行判定．
10．（2016高一上·蓟县期中）设a＞1，函数f（x）=logax在区间[a，2a]上的最大值与最小值之差为 ，则a=（ ）
A． B．2 C．2 D．4
【答案】D
【知识点】对数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】解．∵a＞1，∴函数f（x）=logax在区间[a，2a]上的最大值与最小值之分别为loga2a，logaa，
∴loga2a﹣logaa= ，∴ ，a=4，
故选D
【分析】因为a＞1，函数f（x）=logax是单调递增函数，最大值与最小值之分别为loga2a、logaa=1，所以loga2a﹣logaa= ，即可得答案．
11．（2017高一上·奉新期末）若函数y=loga（x2﹣ax+1）有最小值，则a的取值范围是（ ）
A．0＜a＜1 B．0＜a＜2，a≠1
C．1＜a＜2 D．a≥2
【答案】C
【知识点】对数函数的值域与最值
【解析】【解答】令g（x）=x2﹣ax+1（a＞0，且a≠1），g（x）开口向上；
①当a＞1时，g（x）在R上恒为正；∴△=a2﹣4＜0，解得1＜a＜2；
②当0＜a＜1时，x2﹣ax+1没有最大值，从而不能使得函数y=loga（x2﹣ax+1）有最小值，不符合题意．
综上所述：1＜a＜2；故选C．
【分析】先根据复合函数的单调性确定函数g（x）=x2﹣ax+1的单调性，进而分a＞1和0＜a＜1两种情况讨论：①当a＞1时，考虑地函数的图象与性质得到x2﹣ax+1的函数值恒为正；②当0＜a＜1时，x2﹣ax+1没有最大值，从而不能使得函数y=loga（x2﹣ax+1）有最小值．最后取这两种情形的并集即可．
12．（2016高一上·杭州期末）已知函数f（x）=logsin1（x2﹣ax+3a）在[2，+∞）单调递减，则实数a的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，4] B．[4，+∞）
C．[﹣4，4] D．（﹣4，4]
【答案】D
【知识点】对数函数的图象与性质
【解析】【解答】解：令t=x2﹣ax+3a，
∵sin1∈（0，1），
∴函数y=logsin1t是关于t的减函数，
结合题意，得t=x2﹣ax+3a是区间[2，+∞）上的增函数，
又∵在[2，+∞）上t＞0总成立
∴，解之得﹣4＜a≤4．
∴实数a的取值范围是（﹣4，4]．
故选：D．
【分析】令t=x2﹣ax+3a，函数y=logsin1t是关于t的减函数，由此能求出实数a的取值范围．
13．（2017高一上·濉溪期末）已知e是自然对数的底数，函数f（x）=ex+x﹣2的零点为a，函数g（x）=lnx+x﹣2的零点为b，则下列不等式中成立的是（ ）
A．f（a）＜f（1）＜f（b） B．f（a）＜f（b）＜f（1）
C．f（1）＜f（a）＜f（b） D．f（b）＜f（1）＜f（a）
【答案】A
【知识点】对数函数图象与性质的综合应用
【解析】【解答】解：∵函数f（x）=ex+x﹣2的零点为a，f（0）=﹣1＜0，f（1）=e﹣1＞0，∴0＜a＜1．
∵函数g（x）=lnx+x﹣2的零点为b，g（1）=﹣1＜0，g（2）=ln2＞0，∴1＜b＜2．
综上可得，0＜a＜1＜b＜2．
再由函数f（x）=ex+x﹣2在（0，+∞）上是增函数，可得 f（a）＜f（1）＜f（b），
故选A．
【分析】根据函数的零点的判定定理，可得0＜a＜1＜b＜2，再由函数f（x）=ex+x﹣2在（0，+∞）上是增函数，可得结论．
二、填空题
14．（2015高一下·自贡开学考）已知 ， ，c=log32．则a，b，c的大小关系为： ．
【答案】b＜a＜c
【知识点】利用对数函数的单调性比较大小
【解析】【解答】解： =﹣log23＜0，
由 ，得 ＜0，
且﹣log25＜﹣log23，
c=log32＞0．
则b＜a＜c．
故答案为：b＜a＜c．
【分析】化指数式为对数式得到b，再与a化为同底数比较大小，由a，b为负数，c为正数即可得到答案．
15．（2016高一上·黑龙江期中）函数y=loga（3x﹣7）+1的图象恒过定点 ．
【答案】（ ，1）
【知识点】对数函数的图象与性质
【解析】【解答】解：∵loga1=0，
∴3x﹣7=1，即x= 时，y=1，
∴定点的坐标是P（ ，1）．
故答案为：（ ，1）．
【分析】由loga1=0，知3x﹣7=1，即x= 时，y=1，由此能求出定点的坐标．
16．（2016高一上·饶阳期中）已知f（x）= 是（﹣∞，+∞）上的减函数，那么a的取值范围是 ．
【答案】 ≤a＜
【知识点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数单调性的性质；对数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】解：∵当x≥1时，y=logax单调递减，
∴0＜a＜1；
而当x＜1时，f（x）=（3a﹣1）x+4a单调递减，
∴a＜ ；
又函数在其定义域内单调递减，
故当x=1时，（3a﹣1）x+4a≥logax，得a≥ ，
综上可知， ≤a＜ ．
故答案为： ≤a＜
【分析】由分段函数的性质，若f（x）= 是（﹣∞，+∞）上的减函数，则分段函数在每一段上的图象都是下降的，且在分界点即x=1时，第一段函数的函数值应大于等于第二段函数的函数值．由此不难判断a的取值范围．
17．若函数f（x）=loga（2x2+x）（a＞0，a≠1）在区间恒有f（x）＞0，则f（x）的单调递增区间是
【答案】
【知识点】对数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】解：函数f（x）=loga（2x2+x）（a＞0，a≠1）在区间恒有f（x）＞0，
由于x∈，得2x2+x∈（0，1），又在区间恒有f（x）＞0，故有a∈（0，1）
对复合函数的形式进行，结合复合函数的单调性的判断规则知，
函数的单调递增区间为（﹣∞，﹣）
故应填（﹣∞，﹣）
【分析】本题要根据题设中所给的条件解出f（x）的底数a的值，由x∈，得2x2+x∈（0，1），至此可由恒有f（x）＞0，得出底数a的取值范围，再利用复合函数单调性求出其单调区间即可．
18．若函数f（x）=loga（x﹣1）+4（a＞0且a≠1）的图象过定点（m，n），则logmn=
【答案】2
【知识点】对数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】解：令x﹣1=1，可得x=2，且y=4，故函数f（x）=loga（x﹣1）+4（a＞0且a≠1）的图象过定点（2，4），
再由函数f（x）=loga（x﹣1）+4（a＞0且a≠1）的图象过定点（m，n），可得m=2、n=4，
故logmn=2，
故答案为 2．
【分析】令x﹣1=1，可得x=2，且y=4，故函数f（x）=loga（x﹣1）+4（a＞0且a≠1）的图象过定点（2，4），结合条件求得m、n的值，可得logmn的值．
三、解答题
19．已知函数f（x）=lg[（m2﹣3m+2）x2+2（m﹣1）x+5]，如果函数f（x）的值域为R，求实数m的取值范围．
【答案】解：令g（x）=（m2﹣3m+2）x2+2（m﹣1）x+5，
如果函数f（x）的值域为R，则x去任何值都要g（x）能取到任意的正数．即g（x）＞0．
当m2﹣3m+2=0时，即m=1或2．
经验证当m=1时，g（x）=5＞0恒成立，故m=1．
当m2﹣3m+2≠0时，根据二次函数性质，要使的函数值取得所有正在值，只需 ，
解得： ．
综上可得：满足题意的实数m的取值范围为：m=1或
【知识点】对数函数的图象与性质
【解析】【分析】根据对数函数的图象及性质即可求解．
20．求函数y=loga（x﹣x2）（a＞0，a≠1）的单调区间及值域．
【答案】解：函数y=loga（x﹣x2）（a＞0，a≠1）
∴x﹣x2＞0，解得：0＜x＜1，
所以函数y=loga（x﹣x2）的定义域是（0，1）．
∴0＜x﹣x2=﹣（x﹣ ）2+ ≤ ，
所以，当0＜a＜1时，loga（x﹣x2）≥loga ，函数y=loga（x﹣x2）的值域为[loga ，+∞），
当a＞1时，loga（x﹣x2）≤loga ，函数y=loga（x﹣x2）的值域为（﹣∞，loga ]，
当0＜a＜1时，函数y=loga（x﹣x2）在（0， ]上是减函数，在[ ，1）是增函数．
当a＞1时，函数y=loga（x﹣x2）在（0， ]上是增函数，在[ ，1）是减函数
【知识点】对数函数的图象与性质
【解析】【分析】根据复合函数的单调性“同增异减”可得单调区间，利用对数函数的性质和二次函数的性质可得函数y的值域．
21．（2016高一上·武邑期中）已知x满足不等式（log2x）2﹣log2x2≤0，求函数 （a∈R）的最小值．
【答案】解：解不等式 （log2x）2﹣log2x2≤0，
得 1≤x≤4，
所以 2≤2x≤16
当a＜2时， ；
当2≤a≤16时，ymin=1
当a＞16时，
【知识点】对数函数图象与性质的综合应用
【解析】【分析】根据指数的运算性质，我们可将函数 （a∈R）的解析式化为 ，由x满足不等式（log2x）2﹣log2x2≤0，我们求出满足条件的x的取值范围，结合二次函数在定区间了最小值的确定方法，我们易求出函数 （a∈R）的最小值．
22．（2017高一上·安庆期末）已知函数f（x）=
（1）在下表中画出该函数的草图；
（2）求函数y=f（x）的值域、单调增区间及零点．
【答案】（1）解：函数草图，如图所示：
f（x）=x2﹣1（x＜1）过点（0，﹣1），（﹣1，0），
显然f（x）=x2﹣1（x＜1）与 都过点（1，0），
且 过点（2，﹣1）
（2）解：y=f（x）的值域为R，y=f（x）的单调增区间：[0，1]，
y=f（x）的零点为x1=﹣1，x2=1
【知识点】对数函数图象与性质的综合应用
【解析】【分析】（1）根据函数的解析式画出函数的图象．（2）结合函数的图象求出的值域、单调增区间及零点．
23．已知函数f（x）=loga（2x﹣3）（a＞0且a≠1），
（1）求f（x）函数的定义域；
（2）求使f（x）＞0成立的x的取值范围；
（3）当x∈[2，5]，求f（x）函数的值域．
【答案】（1）解：要使f（x）=loga（2x﹣3）有意义，只要
2x﹣3＞0，解得x＞log23，
故f（x）的定义域为（log23，+∞）
（2）解：当a＞1时，有2x﹣3＞1，解得x＞2；
当0＜a＜1时，有0＜2x﹣3＜1，解得log23＜x＜2
（3）解：当x∈[2，5]时，
∴1≤2x﹣3≤29，
当a＞1时，f（x）函数的值域为：[0，loga29]，
当0＜a＜1时，f（x）函数的值域：[loga29，0]
【知识点】对数函数的图象与性质
【解析】【分析】（1）求定义域只有满足2x﹣3＞0即可；（2）分a＞1或0＜a＜1来分别求解，（3）根据x的取值范围，先求2x﹣3的取值范围，然后在讨论a求函数的值域．
1 / 1
