山东省济宁市微山一中2012-2013学年高二上学期期末考试 数学理

微山一中2012—2013学年高二上学期期末考试
数学（理）
一．选择题：（本大题共12小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）[来源:21世纪教育网]
1．如果直线x＋2y－1＝0和y＝kx互相平行，则实数k的值为( )．
A．2 B． C．－2 D．－
2．半径为的半圆卷成一个圆锥，则它的体积为（ ）.
A． B． C． D．
3.对于平面直角坐标系内的任意两点，定义它们之间的一种“距离”：．给出下列三个命题：
①若点C在线段AB上，则;
②在中，若∠C=90°，则；
③在中，．
其中真命题的个数为( )
A．0 B．1 C．2 D．3
4．若点在圆C:的外部，则直线与圆C的位置关系是（　　）
A．相切 B．相离 C．相交 D．相交或相切
5．已知圆的方程为.设该圆过点（3，5）的两条弦分别为AC和BD，且.则四边形ABCD的面积最大值为（ ）
A．20　　　 B．30　　　　 C．49　　　 D．50
6. 等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为Sn和Tn，且，则 （ ）
A． B . C. D.
7. 已知双曲线的渐近线为，焦点坐标为（-4，0），（4，0），则双曲线方程为（ ）
A． B． C． D．
8.已知P在抛物线上，那么点P到点Q（2，1）的距离与点P到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P的坐标为（ ）
A. B. C. D.
9．如图所示，正方体的棱长为1，O是平面
的中心，则O到平面的距离是（ ）
A. B. C. D.
10. 已知双曲线与抛物线有一个公共的焦
点，且两曲线的一个交点为，若，则双曲线的渐近线方程为.
A． B． C． D．
11．若过定点且斜率为的直线与圆
在第一象限内的部分有交点，则的取值范围是（ ）.
A． B.
C． D.
12.设P是双曲线＝1(a＞0 ,b＞0)上的点，F1、F2是焦点，双曲线的离心
率是，且∠F1PF2＝90°，△F1PF2面积是9，则a + b＝（ ）
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
二、填空题：（共4个小题，每小题5分,共20分.）
13．图中的三视图表示的实物为_____________.
14. 过点，且在两坐标轴上截距相等的直线方程是_________________．
15．已知，则的最小值等于.
16．若连续掷两次骰子，第一次掷得的点数为m，第二次掷得的点数为n，则点落在圆x2＋y2＝16内的概率是.
三、解答题：（共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（本小题满分10分）
求直线被圆所截得的弦长.
[来源:21世纪教育网]
18．（本小题满分12分）
已知直线l经过点(0，－2)，其倾斜角是60°．
(1)求直线l的方程；
(2)求直线l与两坐标轴围成三角形的面积．
[来源:21世纪教育网]
19. （本小题满分12分）
已知在平面直角坐标系中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为,右顶点为,设点.
（1）求该椭圆的标准方程；
（2）若是椭圆上的动点，求线段中点的轨迹方程；
（3）过原点的直线交椭圆于点，求面积的最大值。
20.（本小题满分12分）
在平面直角坐标系O中，直线与抛物线＝2相交于A、B两点。
（1）求证：命题“如果直线过点T（3，0），那么＝3”是真命题；
（2）写出（1）中命题的逆命题，判断它是真命题还是假命题，并说明理由。
21. （本小题满分12分）
在直角梯形PBCD中，，A为PD的中点，如下左图。将沿AB折到的位置，使，点E在SD上，且，如下图。
（1）求证：平面ABCD；
（2）求二面角E—AC—D的正切值．
22．（本题满分12分）
已知椭圆中心在原点，焦点在y轴上，焦距为4，21世纪教育网
离心率为．
（1）求椭圆方程；
（2）设椭圆在y轴的正半轴上的焦点为M，
又点A和点B在椭圆上，且M分有向线段所成的比为2，
求线段AB所在直线的方程．
21世纪教育网
参考答案：
1-5 DABCC 6-10 BDBBB 11-12 AD
13. 圆锥 14. y=x或x+y=6 15. 16.
17．解：圆心为，则圆心到直线的距离为，半径为
得弦长的一半为，即弦长为.
18．解：(1)因为直线l的倾斜角的大小为60°,故其斜率为tan 60°＝，又直线l经过点
(0，－2)，所以其方程为x－y－2＝0．
(2)由直线l的方程知它在x轴、y轴上的截距分别是，－2，所以直线l与两坐标轴围成三角形的面积S＝··2＝． 　　
19．解：(1)由已知得椭圆的半长轴a=2,半焦距c=,则半短轴b=1.
又椭圆的焦点在x轴上, ∴椭圆的标准方程为
(2)设线段PA的中点为M(x,y) ,点P的坐标是(x0,y0),
由[来源:21世纪教育网]
x=
得[来源:21世纪教育网][来源:21世纪教育网]
21世纪教育网
x0=2x－1
y=
y0=2y－
又点P在椭圆上,得,
∴线段PA中点M的轨迹方程是
(3)当直线BC垂直于x轴时,BC=2,因此△ABC的面积S△ABC=1.
当直线BC不垂直于x轴时,设该直线方程为y=kx,代入,
解得B(,),C(－,－),
则,又点A到直线BC的距离d=,
∴△ABC的面积S△ABC=
于是S△ABC=
由≥－1,得S△ABC≤,其中,当k=－时,等号成立.
∴S△ABC的最大值是
20.（1）设过点T(3,0)的直线l交抛物线=2x于点A(x1,y1)、B(x2,y2).
当直线l的斜率不存在时,直线l的方程为x=3,此时,直线l与抛物线相交于A(3,)、B(3,－)，∴
当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y=k(x－3),其中k≠0.
得ky2－2y－6k=0,则y1y2=－6. 又∵x1=y12, x2=y22,
∴=x1x2+y1y2==3.
综上所述, 命题“......”是真命题.
（2）逆命题是：“设直线l交抛物线y2=2x于A、B两点,如果,那么该直线过点T(3,0).”…10分，该命题是假命题. 例如：取抛物线上的点A(2,2),B(,1),此时=3,直线AB的方程为y = (x+1),而T(3,0)不在直线AB上.
21.解：（1）证明：在图中，由题意可知，
为正方形，所以在图中，，
四边形ABCD是边长为2的正方形，
因为， ABBC，
所以BC平面SAB，
又平面SAB，所以BCSA，又SAAB，
所以SA平面ABCD，
（2）解法一： 在AD上取一点O，使，连接EO。
因为，所以EO//SA
所以EO平面ABCD，过O作OHAC交AC于H，连接EH，
则AC平面EOH，所以ACEH。
所以为二面角E—AC—D的平面角，
在中，…11分
，即二面角E—AC—D的正切值为
22.解：（1），，，．
所以，所求椭圆方程为
（2）设，，
由题意可知直线AB的斜率存在，设过A，B的直线方程为
则由 得
故 ，
由M分有向线段所成的比为2，得，……8分
消 x2得
解得 ，
所以，