人教版数学八年级上册第14章 14.2.1平方差公式 同步练习
一、单选题
1．（2017八上·新会期末）下列运用平方差公式计算，错误的是（ ）
A．（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2 B．（x+1）（x﹣1）=x2﹣1
C．（2x+1）（2x﹣1）=2x2﹣1 D．（﹣3x+2）（﹣3x﹣2）=9x2﹣4
2．（2017·深圳模拟）如图，从边长为（a+4）cm的正方形纸片中剪去一个边长为（a+1）cm的正方形．（a＞0）剩余部分沿虚线又剪拼成一个矩形（不重叠无缝隙）则矩形的面积为（ ）
A．（2a2+5a）cm2 B．（3a+15）cm2
C．（6a+9）cm2 D．（6a+15）cm2
3．（2017八上·沂水期末）下列计算正确的是（ ）
A．（x+y）2=x2+y2 B．（x﹣y）2=x2﹣2xy﹣y2
C．（x+1）（x﹣1）=x2﹣1 D．（x﹣1）2=x2﹣1
4．（2016八上·路北期中）若|x+y﹣5|+（x﹣y﹣3）2=0，则x2﹣y2的结果是（ ）
A．2 B．8 C．15 D．16
5．（2016八上·路北期中）化简（m2+1）（m+1）（m﹣1）﹣（m4+1）的值是（ ）
A．﹣2m2 B．0 C．﹣1 D．﹣2
6．（2016八上·唐山开学考）下列各式能用平方差公式计算的是（ ）
A．（﹣3a﹣b）（﹣3a+b） B．（3a+b）（a﹣b）
C．（3a+b）（﹣3a﹣b） D．（﹣3a+b）（3a﹣b）
7．（2015八上·卢龙期末）在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形（a＞b）（如图甲），把余下的部分拼成一个矩形（如图乙），根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证（ ）
A．（a+b）2=a2+2ab+b2 B．（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2
C．a2﹣b2=（a+b）（a﹣b） D．（a+2b）（a﹣b）=a2+ab﹣2b2
8．下列变形正确的是（ ）
A．（﹣3a3）2=﹣9a5 B．2x2y﹣2xy2=0
C．﹣ ÷2ab=﹣ D．（2x+y）（x﹣2y）=2x2﹣2y2
9．（2017八上·上杭期末）计算（a﹣2）（﹣a﹣2）的结果正确的是（ ）
A．a2﹣4 B．a2﹣4a+4 C．4﹣a2 D．2﹣a2
10．下列各式正确的是（ ）
A．（a+b）2=a2+b2 B．（x+6）（x﹣6）=x2﹣6
C．（x+2）2=x2+2x+4 D．（x﹣y）2=（y﹣x）2
11．下列计算正确的是（ ）
A．（2x﹣3）2=4x2+12x﹣9 B．（4x+1）2=16x2+8x+1
C．（a+b）（a﹣b）=a2+b2 D．（2m+3）（2m﹣3）=4m2﹣3
12．（2017八下·临泽期末）下列多项式中，可以用平方差公式分解因式的是 （ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．（2016八下·市北期中）计算：（ +1）（ ﹣1）= ．
14．（2016七下·港南期中）若a2﹣b2= ，a﹣b= ，则a+b的值为 ．
15．（2017八上·台州期末）如图，在边长为a的正方形中剪去一个边长为b的小正方形（a＞b），把剩下的部分拼成一个梯形，分别计算这两个图形阴影部分的面积，验证了公式 ．
16．（2017八上·顺庆期末）如图，边长为m+4的正方形纸片剪出一个边长为m的正方形之后，剩余部分可剪拼成一个矩形，若拼成的矩形一边长为4，则另一边长为 ．
三、计算题
17．（2017八上·建昌期末）化简：（x+y）（x﹣y）﹣（2x﹣y）（x+3y）
18．（2017八上·无锡开学考）计算
（1）（π﹣2013）0﹣（ ）﹣2+|﹣4|
（2）4（a+2）（a+1）﹣7（a+3）（a﹣3）
四、综合题
19．化简：
（1）﹣（a2﹣b）2+（2a+b）（﹣2a+b）；
（2） ÷（m﹣1﹣ ）．
20．（2017八上·海勃湾期末）从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）．
（1）上述操作能验证的等式是 （填A或B）
A．a2﹣2ab+b2=（a﹣b）2 B．a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）
（2）应用你从（1）中选出的等式，计算：
（1﹣ ）（1﹣ ）（1﹣ ）…（1﹣ ）（1﹣ ）．
21．如果一个自然数能表示为两个自然数的平方差，那么称这个自然数为智慧数，例如：
16=52﹣32，16就是一个智慧数，小明和小王对自然数中的智慧数进行了如下的探索：
小明的方法是一个一个找出来的：
0=02﹣02，1=12﹣02，3=22﹣12，
4=22﹣02，5=32﹣22，7=42﹣32，
8=32﹣22，9=52﹣42，11=62﹣52，…
小王认为小明的方法太麻烦，他想到：
设k是自然数，由于（k+1）2﹣k2=（k+1+k）（k+1﹣k）=2k+1．
所以，自然数中所有奇数都是智慧数．
问题：
（1）根据上述方法，自然数中第12个智慧数是 ；
（2）他们发现0，4，8是智慧数，由此猜测4k（k≥3且k为正整数）都是智慧数，请你参考小王的办法证明4k（k≥3且k为正整数）都是智慧数．
（3）他们还发现2，6，10都不是智慧数，由此猜测4k+2（k为自然数）都不是智慧数，请利用所学的知识判断26是否是智慧数，并说明理由．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：（2x+1）（2x﹣1）=（2x）2﹣1，故C错误．
故选：C．
【分析】根据两数和乘以这两个数的差，等于这两个数的平方差，可得答案．
2．【答案】D
【知识点】平方差公式的几何背景
【解析】【解答】解：长方形的面积为：
（a+4）2﹣（a+1）2
=（a+4+a+1）（a+4﹣a﹣1）
=3（2a+5）
=6a+15（cm2）．
答：矩形的面积是（6a+15）cm2．
故选：D．
【分析】利用大正方形的面积减去小正方形的面积即可，解题时注意平方差公式的运用．
3．【答案】C
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用
【解析】【解答】解：A、（x+y）2=x2+y2+2xy，故此选项错误；
B、（x﹣y）2=x2﹣2xy+y2，故此选项错误；
C、（x+1）（x﹣1）=x2﹣1，正确；
D、（x﹣1）2=x2﹣2x+1，故此选项错误；
故选：C．
【分析】直接利用完全平方公式以及平方差公式分别计算得出答案．
4．【答案】C
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：由题意可知：x+y﹣5=0，x﹣y﹣3=0，
∴
∴原式=（x+y）（x﹣y）=3×5=15
故选（C）
【分析】根据题意绝对值与平方的性质可求出x与y的值．
5．【答案】D
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：（m2+1）（m+1）（m﹣1）﹣（m4+1）
=（m2+1）（m2﹣1）﹣（m4+1）
=m4﹣1﹣m4﹣1
=﹣2，
故选D．
【分析】先根据平方差公式进行计算，再根据平方差公式进行计算，最后去括号后合并即可．
6．【答案】A
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：A、（﹣3a﹣b）（﹣3a+b）中﹣3a是相同的项，互为相反项是﹣b与b，符合平方差公式的要求，故本选项正确；
B、（3a+b）（a﹣b）中不存在互为相同的项，不符合平方差公式的要求，故本选项错误；
C、（3a+b）（﹣3a﹣b）=﹣（3a+b）（3a+b）中不存在互为相反的项，不符合平方差公式的要求，故本选项错误；
D、（﹣3a+b）（3a﹣b）=﹣（3a﹣b）（3a﹣b）中不存在互为相反的项，不符合平方差公式的要求，故本选项错误；
故选：A．
【分析】根据平方差公式，即两数之和与两数之差的积等于两数的平方差，作出判断即可．
7．【答案】C
【知识点】平方差公式的几何背景
【解析】【解答】解：∵图甲中阴影部分的面积=a2﹣b2，图乙中阴影部分的面积=（a+b）（a﹣b），
而两个图形中阴影部分的面积相等，
∴阴影部分的面积=a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）．
故选：C．
【分析】第一个图形中阴影部分的面积计算方法是边长是a的正方形的面积减去边长是b的小正方形的面积，等于a2﹣b2；第二个图形阴影部分是一个长是（a+b），宽是（a﹣b）的长方形，面积是（a+b）（a﹣b）；这两个图形的阴影部分的面积相等．
8．【答案】C
【知识点】整式的加减运算；平方差公式及应用；分式的乘除法；积的乘方
【解析】【解答】解：A、原式=9a6，错误；
B、原式不能合并，错误；
C、原式=﹣ ，正确；
D、原式=2x2﹣4xy+xy﹣2y2=2x2﹣3xy﹣2y2，错误．
故选C．
【分析】原式各项计算得到结果，即可作出判断．
9．【答案】C
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：（a﹣2）（﹣a﹣2）=（﹣2）2﹣a2=4﹣a2．
故选C．
【分析】利用平方差公式计算即可．
10．【答案】D
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用
【解析】【解答】解：A、（a+b）2=a2+2ab+b2，故此选项错误；
B、（x+6）（x﹣6）=x2﹣62，故此选项错误；
C、（x+2）2=x2+4x+4，故此选项错误；
D、（x﹣y）2=[﹣（y﹣x）]2=（y﹣x）2，故此选项正确；
故选：D．
【分析】根据完全平方公式和平方差公式依次计算可判断．
11．【答案】B
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用
【解析】【解答】解：A、（2x﹣3）2=4x2﹣12x+9，故A错误；
B、正确；
C、（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2，故C错误；
D、（2m+3）（2m﹣3）=4m2﹣9，故D错误．
故选：B．
【分析】依据平方差公式和完全平方公式进行计算即可做出判断．
12．【答案】C
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：A. a +4两平方项符号相同，不能用平方差公式分解因式，故本选项错误；
B. a 2中，2不能表示成一个有理数的平方，不能在有理数范围内用平方差公式分解因式，故本选项故错误；
C. a +4符合平方差公式的特点，可用平方差公式分解因式，故正确；
D. a -4两平方项符号相同，不能用平方差公式分解因式，故本选项错误。
故选C.
13．【答案】1
【知识点】平方差公式及应用；二次根式的乘除法
【解析】【解答】解：（ +1）（ ﹣1）= =1．
故答案为：1．
【分析】两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数．就可以用平方差公式计算．结果是乘式中两项的平方差（相同项的平方减去相反项的平方）．
14．【答案】
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：∵a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）= ，a﹣b= ，
∴a+b= ．
故答案为： ．
【分析】已知第一个等式左边利用平方差公式化简，将a﹣b的值代入即可求出a+b的值．
15．【答案】a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）
【知识点】平方差公式的几何背景
【解析】【解答】解：a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）．
【分析】左图中阴影部分的面积是a2﹣b2，右图中梯形的面积是（2a+2b）（a﹣b）=（a+b）（a﹣b），根据面积相等即可解答．
16．【答案】2m+4
【知识点】平方差公式的几何背景
【解析】【解答】解：设拼成的矩形的另一边长为x，
则4x=（m+4）2﹣m2=（m+4+m）（m+4﹣m），
解得x=2m+4．
故答案为：2m+4．
【分析】根据拼成的矩形的面积等于大正方形的面积减去小正方形的面积，列式整理即可得解．
17．【答案】解：原式=x2﹣y2﹣（2x2+6xy﹣xy﹣3y2）
=x2﹣y2﹣2x2﹣5xy+3y2
=﹣x2﹣5xy+2y2
【知识点】多项式乘多项式；平方差公式及应用
【解析】【分析】根据整式运算的法则即可求出答案．
18．【答案】（1）解：原式=1﹣9+4=﹣4
（2）解：原式=4（a2+3a+2）﹣7（a2﹣9）=4a2+12a+8﹣7a2+63=﹣3a2+12a+71
【知识点】多项式乘多项式；平方差公式及应用；零指数幂；负整数指数幂
【解析】【分析】（1）原式利用零指数幂、负整数指数幂法则，以及绝对值的代数意义化简，计算即可得到结果；（2）原式利用多项式乘以多项式，以及平方差公式化简，去括号合并即可得到结果．
19．【答案】（1）解：﹣（a2﹣b）2+（2a+b）（﹣2a+b）
=﹣a4+2a2b﹣b2+b2﹣4a2
=﹣a4+2a2b﹣4a2
（2）解： ÷（m﹣1﹣ ）
=
=
=
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；分式的混合运算
【解析】【分析】（1）根据完全平公式和平方差公式将原式展开，然后合并同类项即可解答本题；（2）先化简括号内的式子，然后根据分式的除法可以化简本题．
20．【答案】（1）B
（2）原式=（1+ ）（1﹣ ）（1+ ）（1﹣ ）…（1+ ）（1﹣ ）
= × × × … ×
= ×
=
【知识点】平方差公式的几何背景
【解析】【解答】解：（1）图1中，边长为a的正方形的面积为：a2，
边长为b的正方形的面积为：b2，
∴图1的阴影部分为面积为：a2﹣b2，
图2中长方形的长为：a+b，
长方形的宽为：a﹣b，
∴图2长方形的面积为：（a+b）（a﹣b），
故选B
【分析】（1）根据题意，将前后两个图形的面积表示出来即可．（2）根据平方差公式即可求出答案．
21．【答案】（1）15
（2）解：设k是自然数，由于（k+2）2﹣k2=（k+2+k）（k+2﹣k）=4k+4=4（k+1）．
所以，4k（k≥3且k为正整数）都是智慧数
（3）解：令4k+2=26，解得：k=6．
故26不是智慧数
【知识点】平方差公式及应用；因式分解的应用
【解析】【解答】解：（1.）继续小明的方法，12=42﹣22，13=72﹣62，15=82﹣72，
即第12个智慧数是15．
（2.）设k是自然数，由于（k+2）2﹣k2=（k+2+k）（k+2﹣k）=4k+4=4（k+1）．
所以，4k（k≥3且k为正整数）都是智慧数．
（3.）令4k+2=26，解得：k=6．
故26不是智慧数．
【分析】（1）仿照小明的办法，继续下去，即可得出结论；（2）仿照小王的做法，将（k+2）2﹣k2用平方差公式展开即可得出结论；（3）验证26是否符合4k+2，如果符合，则得出26不是智慧数．
1 / 1人教版数学八年级上册第14章 14.2.1平方差公式 同步练习
一、单选题
1．（2017八上·新会期末）下列运用平方差公式计算，错误的是（ ）
A．（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2 B．（x+1）（x﹣1）=x2﹣1
C．（2x+1）（2x﹣1）=2x2﹣1 D．（﹣3x+2）（﹣3x﹣2）=9x2﹣4
【答案】C
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：（2x+1）（2x﹣1）=（2x）2﹣1，故C错误．
故选：C．
【分析】根据两数和乘以这两个数的差，等于这两个数的平方差，可得答案．
2．（2017·深圳模拟）如图，从边长为（a+4）cm的正方形纸片中剪去一个边长为（a+1）cm的正方形．（a＞0）剩余部分沿虚线又剪拼成一个矩形（不重叠无缝隙）则矩形的面积为（ ）
A．（2a2+5a）cm2 B．（3a+15）cm2
C．（6a+9）cm2 D．（6a+15）cm2
【答案】D
【知识点】平方差公式的几何背景
【解析】【解答】解：长方形的面积为：
（a+4）2﹣（a+1）2
=（a+4+a+1）（a+4﹣a﹣1）
=3（2a+5）
=6a+15（cm2）．
答：矩形的面积是（6a+15）cm2．
故选：D．
【分析】利用大正方形的面积减去小正方形的面积即可，解题时注意平方差公式的运用．
3．（2017八上·沂水期末）下列计算正确的是（ ）
A．（x+y）2=x2+y2 B．（x﹣y）2=x2﹣2xy﹣y2
C．（x+1）（x﹣1）=x2﹣1 D．（x﹣1）2=x2﹣1
【答案】C
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用
【解析】【解答】解：A、（x+y）2=x2+y2+2xy，故此选项错误；
B、（x﹣y）2=x2﹣2xy+y2，故此选项错误；
C、（x+1）（x﹣1）=x2﹣1，正确；
D、（x﹣1）2=x2﹣2x+1，故此选项错误；
故选：C．
【分析】直接利用完全平方公式以及平方差公式分别计算得出答案．
4．（2016八上·路北期中）若|x+y﹣5|+（x﹣y﹣3）2=0，则x2﹣y2的结果是（ ）
A．2 B．8 C．15 D．16
【答案】C
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：由题意可知：x+y﹣5=0，x﹣y﹣3=0，
∴
∴原式=（x+y）（x﹣y）=3×5=15
故选（C）
【分析】根据题意绝对值与平方的性质可求出x与y的值．
5．（2016八上·路北期中）化简（m2+1）（m+1）（m﹣1）﹣（m4+1）的值是（ ）
A．﹣2m2 B．0 C．﹣1 D．﹣2
【答案】D
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：（m2+1）（m+1）（m﹣1）﹣（m4+1）
=（m2+1）（m2﹣1）﹣（m4+1）
=m4﹣1﹣m4﹣1
=﹣2，
故选D．
【分析】先根据平方差公式进行计算，再根据平方差公式进行计算，最后去括号后合并即可．
6．（2016八上·唐山开学考）下列各式能用平方差公式计算的是（ ）
A．（﹣3a﹣b）（﹣3a+b） B．（3a+b）（a﹣b）
C．（3a+b）（﹣3a﹣b） D．（﹣3a+b）（3a﹣b）
【答案】A
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：A、（﹣3a﹣b）（﹣3a+b）中﹣3a是相同的项，互为相反项是﹣b与b，符合平方差公式的要求，故本选项正确；
B、（3a+b）（a﹣b）中不存在互为相同的项，不符合平方差公式的要求，故本选项错误；
C、（3a+b）（﹣3a﹣b）=﹣（3a+b）（3a+b）中不存在互为相反的项，不符合平方差公式的要求，故本选项错误；
D、（﹣3a+b）（3a﹣b）=﹣（3a﹣b）（3a﹣b）中不存在互为相反的项，不符合平方差公式的要求，故本选项错误；
故选：A．
【分析】根据平方差公式，即两数之和与两数之差的积等于两数的平方差，作出判断即可．
7．（2015八上·卢龙期末）在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形（a＞b）（如图甲），把余下的部分拼成一个矩形（如图乙），根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证（ ）
A．（a+b）2=a2+2ab+b2 B．（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2
C．a2﹣b2=（a+b）（a﹣b） D．（a+2b）（a﹣b）=a2+ab﹣2b2
【答案】C
【知识点】平方差公式的几何背景
【解析】【解答】解：∵图甲中阴影部分的面积=a2﹣b2，图乙中阴影部分的面积=（a+b）（a﹣b），
而两个图形中阴影部分的面积相等，
∴阴影部分的面积=a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）．
故选：C．
【分析】第一个图形中阴影部分的面积计算方法是边长是a的正方形的面积减去边长是b的小正方形的面积，等于a2﹣b2；第二个图形阴影部分是一个长是（a+b），宽是（a﹣b）的长方形，面积是（a+b）（a﹣b）；这两个图形的阴影部分的面积相等．
8．下列变形正确的是（ ）
A．（﹣3a3）2=﹣9a5 B．2x2y﹣2xy2=0
C．﹣ ÷2ab=﹣ D．（2x+y）（x﹣2y）=2x2﹣2y2
【答案】C
【知识点】整式的加减运算；平方差公式及应用；分式的乘除法；积的乘方
【解析】【解答】解：A、原式=9a6，错误；
B、原式不能合并，错误；
C、原式=﹣ ，正确；
D、原式=2x2﹣4xy+xy﹣2y2=2x2﹣3xy﹣2y2，错误．
故选C．
【分析】原式各项计算得到结果，即可作出判断．
9．（2017八上·上杭期末）计算（a﹣2）（﹣a﹣2）的结果正确的是（ ）
A．a2﹣4 B．a2﹣4a+4 C．4﹣a2 D．2﹣a2
【答案】C
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：（a﹣2）（﹣a﹣2）=（﹣2）2﹣a2=4﹣a2．
故选C．
【分析】利用平方差公式计算即可．
10．下列各式正确的是（ ）
A．（a+b）2=a2+b2 B．（x+6）（x﹣6）=x2﹣6
C．（x+2）2=x2+2x+4 D．（x﹣y）2=（y﹣x）2
【答案】D
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用
【解析】【解答】解：A、（a+b）2=a2+2ab+b2，故此选项错误；
B、（x+6）（x﹣6）=x2﹣62，故此选项错误；
C、（x+2）2=x2+4x+4，故此选项错误；
D、（x﹣y）2=[﹣（y﹣x）]2=（y﹣x）2，故此选项正确；
故选：D．
【分析】根据完全平方公式和平方差公式依次计算可判断．
11．下列计算正确的是（ ）
A．（2x﹣3）2=4x2+12x﹣9 B．（4x+1）2=16x2+8x+1
C．（a+b）（a﹣b）=a2+b2 D．（2m+3）（2m﹣3）=4m2﹣3
【答案】B
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用
【解析】【解答】解：A、（2x﹣3）2=4x2﹣12x+9，故A错误；
B、正确；
C、（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2，故C错误；
D、（2m+3）（2m﹣3）=4m2﹣9，故D错误．
故选：B．
【分析】依据平方差公式和完全平方公式进行计算即可做出判断．
12．（2017八下·临泽期末）下列多项式中，可以用平方差公式分解因式的是 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：A. a +4两平方项符号相同，不能用平方差公式分解因式，故本选项错误；
B. a 2中，2不能表示成一个有理数的平方，不能在有理数范围内用平方差公式分解因式，故本选项故错误；
C. a +4符合平方差公式的特点，可用平方差公式分解因式，故正确；
D. a -4两平方项符号相同，不能用平方差公式分解因式，故本选项错误。
故选C.
二、填空题
13．（2016八下·市北期中）计算：（ +1）（ ﹣1）= ．
【答案】1
【知识点】平方差公式及应用；二次根式的乘除法
【解析】【解答】解：（ +1）（ ﹣1）= =1．
故答案为：1．
【分析】两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数．就可以用平方差公式计算．结果是乘式中两项的平方差（相同项的平方减去相反项的平方）．
14．（2016七下·港南期中）若a2﹣b2= ，a﹣b= ，则a+b的值为 ．
【答案】
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：∵a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）= ，a﹣b= ，
∴a+b= ．
故答案为： ．
【分析】已知第一个等式左边利用平方差公式化简，将a﹣b的值代入即可求出a+b的值．
15．（2017八上·台州期末）如图，在边长为a的正方形中剪去一个边长为b的小正方形（a＞b），把剩下的部分拼成一个梯形，分别计算这两个图形阴影部分的面积，验证了公式 ．
【答案】a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）
【知识点】平方差公式的几何背景
【解析】【解答】解：a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）．
【分析】左图中阴影部分的面积是a2﹣b2，右图中梯形的面积是（2a+2b）（a﹣b）=（a+b）（a﹣b），根据面积相等即可解答．
16．（2017八上·顺庆期末）如图，边长为m+4的正方形纸片剪出一个边长为m的正方形之后，剩余部分可剪拼成一个矩形，若拼成的矩形一边长为4，则另一边长为 ．
【答案】2m+4
【知识点】平方差公式的几何背景
【解析】【解答】解：设拼成的矩形的另一边长为x，
则4x=（m+4）2﹣m2=（m+4+m）（m+4﹣m），
解得x=2m+4．
故答案为：2m+4．
【分析】根据拼成的矩形的面积等于大正方形的面积减去小正方形的面积，列式整理即可得解．
三、计算题
17．（2017八上·建昌期末）化简：（x+y）（x﹣y）﹣（2x﹣y）（x+3y）
【答案】解：原式=x2﹣y2﹣（2x2+6xy﹣xy﹣3y2）
=x2﹣y2﹣2x2﹣5xy+3y2
=﹣x2﹣5xy+2y2
【知识点】多项式乘多项式；平方差公式及应用
【解析】【分析】根据整式运算的法则即可求出答案．
18．（2017八上·无锡开学考）计算
（1）（π﹣2013）0﹣（ ）﹣2+|﹣4|
（2）4（a+2）（a+1）﹣7（a+3）（a﹣3）
【答案】（1）解：原式=1﹣9+4=﹣4
（2）解：原式=4（a2+3a+2）﹣7（a2﹣9）=4a2+12a+8﹣7a2+63=﹣3a2+12a+71
【知识点】多项式乘多项式；平方差公式及应用；零指数幂；负整数指数幂
【解析】【分析】（1）原式利用零指数幂、负整数指数幂法则，以及绝对值的代数意义化简，计算即可得到结果；（2）原式利用多项式乘以多项式，以及平方差公式化简，去括号合并即可得到结果．
四、综合题
19．化简：
（1）﹣（a2﹣b）2+（2a+b）（﹣2a+b）；
（2） ÷（m﹣1﹣ ）．
【答案】（1）解：﹣（a2﹣b）2+（2a+b）（﹣2a+b）
=﹣a4+2a2b﹣b2+b2﹣4a2
=﹣a4+2a2b﹣4a2
（2）解： ÷（m﹣1﹣ ）
=
=
=
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；分式的混合运算
【解析】【分析】（1）根据完全平公式和平方差公式将原式展开，然后合并同类项即可解答本题；（2）先化简括号内的式子，然后根据分式的除法可以化简本题．
20．（2017八上·海勃湾期末）从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）．
（1）上述操作能验证的等式是 （填A或B）
A．a2﹣2ab+b2=（a﹣b）2 B．a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）
（2）应用你从（1）中选出的等式，计算：
（1﹣ ）（1﹣ ）（1﹣ ）…（1﹣ ）（1﹣ ）．
【答案】（1）B
（2）原式=（1+ ）（1﹣ ）（1+ ）（1﹣ ）…（1+ ）（1﹣ ）
= × × × … ×
= ×
=
【知识点】平方差公式的几何背景
【解析】【解答】解：（1）图1中，边长为a的正方形的面积为：a2，
边长为b的正方形的面积为：b2，
∴图1的阴影部分为面积为：a2﹣b2，
图2中长方形的长为：a+b，
长方形的宽为：a﹣b，
∴图2长方形的面积为：（a+b）（a﹣b），
故选B
【分析】（1）根据题意，将前后两个图形的面积表示出来即可．（2）根据平方差公式即可求出答案．
21．如果一个自然数能表示为两个自然数的平方差，那么称这个自然数为智慧数，例如：
16=52﹣32，16就是一个智慧数，小明和小王对自然数中的智慧数进行了如下的探索：
小明的方法是一个一个找出来的：
0=02﹣02，1=12﹣02，3=22﹣12，
4=22﹣02，5=32﹣22，7=42﹣32，
8=32﹣22，9=52﹣42，11=62﹣52，…
小王认为小明的方法太麻烦，他想到：
设k是自然数，由于（k+1）2﹣k2=（k+1+k）（k+1﹣k）=2k+1．
所以，自然数中所有奇数都是智慧数．
问题：
（1）根据上述方法，自然数中第12个智慧数是 ；
（2）他们发现0，4，8是智慧数，由此猜测4k（k≥3且k为正整数）都是智慧数，请你参考小王的办法证明4k（k≥3且k为正整数）都是智慧数．
（3）他们还发现2，6，10都不是智慧数，由此猜测4k+2（k为自然数）都不是智慧数，请利用所学的知识判断26是否是智慧数，并说明理由．
【答案】（1）15
（2）解：设k是自然数，由于（k+2）2﹣k2=（k+2+k）（k+2﹣k）=4k+4=4（k+1）．
所以，4k（k≥3且k为正整数）都是智慧数
（3）解：令4k+2=26，解得：k=6．
故26不是智慧数
【知识点】平方差公式及应用；因式分解的应用
【解析】【解答】解：（1.）继续小明的方法，12=42﹣22，13=72﹣62，15=82﹣72，
即第12个智慧数是15．
（2.）设k是自然数，由于（k+2）2﹣k2=（k+2+k）（k+2﹣k）=4k+4=4（k+1）．
所以，4k（k≥3且k为正整数）都是智慧数．
（3.）令4k+2=26，解得：k=6．
故26不是智慧数．
【分析】（1）仿照小明的办法，继续下去，即可得出结论；（2）仿照小王的做法，将（k+2）2﹣k2用平方差公式展开即可得出结论；（3）验证26是否符合4k+2，如果符合，则得出26不是智慧数．
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