初中数学苏科版八年级上册2.5等腰三角形的轴对称性 同步练习
一、单选题
1．（2020八上·徐州期末）在等腰三角形ABC中，∠A=80°.则∠B的度数不可能为（ ）
A．20° B．40° C．50° D．80°
【答案】B
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【解答】当∠A为顶角时,则底角为 ;
当∠A为底角时,∠B为底角则∠B为80°;若∠B为顶角,则为 .
故答案为：B.
【分析】分情况讨论：当∠A为顶角时；当∠A为底角时；若∠B为顶角，利用三角形的内角和定理，分别求出∠B的度数即可。
2．（2020八上·苏州期末）如图，在△ABC中，AB=AC，AD为BC边上的高，点E为AC的中点，连接DE，若△ABC的周长为20，则△CDE的周长为（ ）
A．10 B．12 C．14 D．16
【答案】A
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵AB=AC，AD⊥BC，
∴D为BC的中点，
∵E为AC的中点，
∴DE为△ABC的中位线，
∴DE=AB，
∴△CDE的周长 =DC++DE+EC=(BC+AB+AC)=10.
故答案为：A.
【分析】由等腰三角形的三线合一定理得出D是BC的中点，于是可知DE是△ABC的中位线，结合△ABC的周长即可求出△ABC的周长.
3．（2019八上·海安月考）如图，在 中，DE是AB的垂直平分线，且分别交AB、AC于点D和E， =50°， =60°，则 为（ ）
A．30° B．20° C．25° D．35°
【答案】B
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【解答】∵ =50°， =60°，
∴∠ABC=70°，
∵DE是AB的垂直平分线，
∴AE=BE，
∴∠ABE=∠A=50°，
∴∠ABC=∠EBC+∠ABE=∠EBC+∠A
∴ =∠ABC-∠A=70°-50°=20°，
故答案为：B.
【分析】利用等腰三角形的性质：等边对等角以及三角形的内角和定理以及外角的性质即可求解.
4．（2019八上·丹徒月考）如图，△ABC是等边三角形，BD⊥AB，且AB=BD，则∠ACD的度数为（ ）
A．30° B．35° C．45° D．50°
【答案】C
【知识点】等边三角形的性质
【解析】【解答】解：∵△ABC是等边三角形
∴BA=BC，∠ABC=∠ACB=60°
∵BD⊥AB，且AB=BD
∴∠CBD=∠ABC＋∠ABD=150°，BC=BD
∴∠BCD=∠BDC= （180°－∠CBD）=15°
∴∠ACD=∠ACB－∠BCD=45°
故答案为：C.
【分析】根据等边三角形的性质可得：BA=BC，∠ABC=∠ACB=60°，从而求出∠CBD的度数，然后根据已知条件可得：BC=BD，根据等边对等角和三角形的内角和即可求出∠BCD，从而求出∠ACD的度数.
5．（2019八上·无锡期中）如图，已知Rt△ABC中，∠C＝90 ，∠A＝30 ，在直线BC或AC上取一点P，使得△PAB是等腰三角形，则符合条件的P点有（ ）
A．5个 B．6个 C．7个 D．8个
【答案】B
【知识点】等腰三角形的判定
【解析】【解答】解：如图，第1个点在CA延长线上，取一点P，使BA=AP；
第2个点在CB延长线上，取一点P，使AB=PB；
第3个点在AC延长线上，取一点P，使AB=PB；
第4个点在BC延长线上，取一点P，使AB=PA；
第5个点在AC延长线上，取一点P，使AB=PA；
第6个点在AC上，取一点P，使∠PBA=∠PAB；
∴符合条件的点P有6个点.
故答案为：B.
【分析】根据等腰三角形的两腰相等，分别以AB为腰和∠ABP为两腰的夹角、以AB为腰和∠BAP为两腰的夹角及以AB为底∠BPA为等腰三角形的顶角三种情况考虑即可.
6．（2019八上·海安月考）下列说法中，正确的是（ ）
A．等腰三角形底边上的中线就是底边的垂直平分线
B．等腰三角形的对称轴是底边上的高
C．一条线段可看做是以它的垂直平分线为对称轴的轴对称图形
D．等腰三角形的对称轴就是顶角平分线
【答案】C
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【解答】A、三角形中，中线是连接一个顶点和它所对边的中点的连线段，而线段的垂直平分线是直线，故A错误；
B、三角形的高对应的是线段，而对称轴对应的是直线，故B错误；
C、线段是轴对称图形，对称轴为垂直平分线，故C正确；
D、角平分线对应的是射线，而对称轴对应的是直线，故D错误，
故答案为：C.
【分析】A、等腰三角形底边上的中线是线段，而垂直平分线是直线，据此判断即可；
B、等腰三角形底边上的高是线段，而对称轴是直线，据此判断即可；
C、线段是轴对称图形，对称轴为垂直平分线，据此判断即可；
D、等腰三角形顶角平分线所在的直线是它的对称轴，据此判断即可.
7．（2019八上·沛县期末）等腰三角形的一个外角是100°，则其底角是（ ）
A．80°或20° B．80°或50° C．80° D．50°
【答案】B
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【解答】∵100°＞90°，
∴分两种情况：
（ 1 ）当这个角是底角时，则这个角＝180°﹣100°＝80°；
（ 2 ）当这个角是顶角时，则这个角＝180°﹣100°＝80°.
∴底角＝（180°﹣80°）÷2＝50°.
故答案为：B.
【分析】由于外角大于90°，故应分两种情况：当这个角是底角时和当这个角是顶角时.
8．（2018八上·张家港期中）已知等腰三角形的周长为29，其中一边长为7，则该等腰三角形的底边长为（ ）
A．11 B．7 C．15 D．15或7
【答案】B
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【解答】当腰长为7时，底边长为29-2×7=15，三角形的三边长为7，7，15，7+7=14，不大于15，不能构成三角形，舍去；
当底边长为7时，腰长为（29-7）÷2=11，三角形的三边长为11，11，7，7+11＞11，能构成三角形，
所以等腰三角形的底边为7．
故答案为：B.
【分析】分两种情况讨论：当腰长为7时；当底边长为7时，利用三角形三边关系定理，就可判断得出等腰三角形的底边长。
9．（2018八上·江阴期中）如图，D是△ABC中BC边上一点，AB=AC=BD，则∠1和∠2的关系是（ ）
A．180°+∠2=3∠1 B．∠1+∠2=90°
C．180°－∠1=3∠2 D．∠1=2∠2
【答案】A
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵AB=BD，
∴∠BAD=∠1，
根据外角定理得∠1=∠2+∠C=∠2+∠B，
所以∠B=∠1-∠2，
△ABD中∠B+∠1+∠BAD=∠B+2∠1=180°，
∴∠1-∠2+2∠1=180°，
3∠1-∠2=180°，即180°+∠2=3∠1．
故答案为：A．
【分析】利用等边对等角，易证∠B=∠C，∠BAD=∠1，再利用三角形的外角性质去证明∠B=∠1-∠2，然后在△ABD中，利用三角形的内角和定理，就可证得 ∠1和∠2的关系 。
10．（2018八上·宜兴期中）如图，△ABC中，AB= 4，AC= 7，BD，CD分别平分∠ABC，∠ACB，过点D作直线平行于BC，交AB，AC于E，F，则△AEF的周长为（ ）
A．9 B．11 C．15 D．18
【答案】B
【知识点】等腰三角形的判定
【解析】【解答】解：∵BD平分∠ABC，
∴∠EBD=∠DBC，
∵EF∥BC，
∴∠EDB=∠DBC，
∴∠EDB=∠EBD，
∴BE=DE，
同理DF=CF，
∴△AEF的周长=AE+EF+AF=AE+BE+AF+CF=AB+AC=11，
故答案为：B．
【分析】由平行线的性质和角平分线的性质可证得BE=DE，DF=CF，则三角形AEF的周长=AE+EF+AF=AE+BE+AF+CF=AB+AC即可求解。
二、填空题
11．（2020八上·无锡期中）等腰三角形的两条边长为4和9，则该等腰三角形的周长为 .
【答案】22
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：当等腰三角形的腰为4时，三边为4，4，9， ，不能构成三角形；
当等腰三角形的腰为9时，三边为4，9，9，可以构成三角形，周长为 .
故答案为：22.
【分析】根据腰为4或9，分类讨论，注意根据三角形的三边关系进行判断.
12．（2020八上·南京期中）已知△ABC的三边长分别为4、4、6，在△ABC所在平面内画一条直线，将△ABC分割成两个三角形，使其中的一个是等腰三角形，则这样的直线最多可画 条.
【答案】4
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：如图所示：
当AC=CD，AB=BG，AF=CF，AE=BE时，都能得到符合题意的等腰三角形（AD，AE，AF，AG分别为分割线）.
故答案为：4.
【分析】根据等腰三角形的性质，可根据长为4的边为底或腰两种情况考虑，即可做出符合题意的图形.
13．（2020八上·东台期末）如图，△ABC中，∠B、∠C的平分线交于点O，过O点作EF∥BC交AB、AC于E、F，EF=5，BE=2，则CF= .
【答案】3
【知识点】等腰三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵BO平分∠ABC，
∴∠ABO=∠CBO；
∵EO∥BC，
∴∠EOB=∠OBC，
∴∠EOB=∠EBO，
∴BE=OE；
同理可证CF=OF；
∵EF=5，BE=2，
∴OF=EF-OE=EF-BE=3，
∴CF=OF=3，
故答案为：3.
【分析】根据角平分线的定义得到∠ABO=∠CBO；由平行线的性质得到∠EOB=∠OBC，等量代换得到∠EOB=∠EBO，根据等腰三角形的判定得到BE=OE；同理可证CF=OF；于是得到结论.
14．（2020八上·邳州期末）如图，在 中， ， ，则 的度数为 .
【答案】68°
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵AD=BD，
∴∠BAD=∠B=28°，
∴∠ADC=∠B+∠BAD=28°+28°=56°，
∵AD=AC，
∴∠C=∠ADC=56°，
∴∠CAD=180°-∠ADC-∠C=180°-56°-56°=68°，
故答案为：68°.
【分析】由在△ABC中，AC=AD=BD，∠B=28°，根据等腰三角形的性质，即可求得∠ADC的度数，接着求得∠C的度数，可得结论.
15．（2020八上·赣榆期末）等腰三角形的一个外角是80°，则其底角是 度.
【答案】40
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【解答】与80°角相邻的内角度数为100°；
当100°角是底角时，100°+100°＞180°，不符合三角形内角和定理，此种情况不成立；
当100°角是顶角时，底角的度数=80°÷2=40°；
故此等腰三角形的底角为40°.
故答案为：40.
【分析】首先判断出与80°角相邻的内角是底角还是顶角，然后再结合等腰三角形的性质及三角形内角和定理进行计算.
16．（2019八上·扬州期末）若等腰三角形的一个角为110°，则它的底角为 度.
【答案】35
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【解答】①当这个角是顶角时，底角=(180° 110°)÷2=35°；
②当这个角是底角时，另一个底角为110°，因为110°+110°=240°，不符合三角形内角和定理，所以舍去.
故答案为：35.
【分析】题中没有指明已知的角是顶角还是底角，故应该分情况进行分析，从而求解.
17．（2019八上·海安月考）如图，在△PAB中,PA=PB,M、N、K分别是PA、PB、AB上的点，且AM= BK ,BN=AK.若∠MKN=50°,则∠P的度数为 .
【答案】80°
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【解答】因为AM= BK ,BN=AK，而且在△PAB中，PA=PB，所以∠A=∠B，所以△MAK和△KBN全等，所以∠AKM=∠BNK，因为∠AKN=∠BNK+∠B，即∠AKM+∠MKN=∠BNK+∠B，则∠B=∠MKN=50°，所以∠P=180°-2×50°=80°.
【分析】本题通过先证明△MAK和△KBN全等，再根据两三角形之间角的关系解答此题.
18．（2019八上·丹徒月考）在△ABC中，AB=AC，其周长为20cm，若AB=8cm，则BC= cm.
【答案】4
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵AB=AC=8cm
∴BC=20－8－8=4cm
故答案为：4
【分析】根据周长公式计算BC即可.
19．（2019八上·江阴月考）如图，等边△ABC的边长为2，BD为高，延长BC到点E，使CE＝CD，则DE长为 .
【答案】
【知识点】等边三角形的性质
【解析】【解答】∵△ABC为等边三角形，BD是高，
∴∠ABC=∠ACB=60°，BD平分∠ABC，AC=BC=2，
∠DBE= ∠ABC=30°，CD= AC= ×2=1，
∵CD=CE，
∴∠CDE=∠E.
∵∠ACB=60°，且∠ACB为△CDE的外角，
∴∠CDE+∠E=60°.
∴∠CDE=∠E=30°，
∴∠DBE=∠DEB=30°，
∴BD=DE，
在Rt△BCD中，∠BDC=90°，
∴BD= = ，
∴DE= ，
故答案为： .
【分析】先证明BD=DE，然后在Rt△BCD中，利用勾股定理求出BD的长即可求得答案.
20．（2019八上·海州期中）如图，△ABC为等边三角形，BD⊥AB，BD=AB，则∠DCB= .
【答案】15°
【知识点】等腰三角形的性质；等边三角形的性质
【解析】【解答】解：∵△ABC为等边三角形，BD⊥AB，
∴∠DBC=90°+60°=150°，
∵BD=AB，
∴DB=CB，
∴∠DCB= （180°﹣150°）=15°，
故答案为：15°.
【分析】利用等边三角形的性质及垂直的定义可得∠ABD=90°，∠ABC=60°，BD=AB=CB，从而可得∠DBC=150°，利用三角形内角和求出∠DCB的度数.
三、解答题
21．（2020八上·南京月考）如图，四边形 中， ， ，求证： .
【答案】证明：连接 ，如图，
∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ .
【知识点】等腰三角形的判定与性质
【解析】【分析】连接BC，利用等腰三角形的等边对等角证得 ，进而证得 ，再根据等腰三角形的等角对等边即可得证.
22．（2020八上·沭阳月考）如图，Rt△ABC中，∠CAB＝90°，∠ACB＝30°，D是AB上一点（不与A、B重合），DE⊥BC于E，若P是CD的中点，请判断△PAE的形状，并说明理由.
【答案】解：△PAE是等边三角形，理由如下：
∵Rt△CAD中，∠CAB＝90°，P是CD的中点，
，
，
.
同理，在Rt△CAD中， ， ，
.
即△PAE是等腰三角形，
，
∴△PAE是等边三角形.
【知识点】等腰三角形的判定与性质；等边三角形的判定
【解析】【分析】首先根据直角三角形斜边中线的性质和三角形外角的性质得出 ， ， ，然后根据角的和即可得出 ，从而证明△PAE是等边三角形.
23．（2019八上·睢宁月考）如图，在 ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，BE⊥AC于点E.
求证：∠CBE=∠BAD.
【答案】证明：∵AB=AC，AD是BC边上的中线，∴AD⊥BC，
又∵BE⊥AC，∴∠ADC=∠BEC=90°，
∴∠CBE+∠C=∠CAD+∠C=90°，∴∠CBE=∠CAD.
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【分析】根据等腰三角形的性质得出∠ADC=∠BEC=90°，再根据∠C为公共角即可得∠CBE=∠CAD.
24．（2018八上·东台期中）如图，等边△ABC中，D是AC的中点，E是BC延长线上的一点，且CE=CD，DF⊥BE，垂足是F，求证：BF=EF．
【答案】解：∵在等边△ABC，且D是AC的中点，
∴∠DBC= ∠ABC= ×60°=30°，∠ACB=60°，
∵CE=CD，
∴∠CDE=∠E，
∵∠ACB=∠CDE+∠E，
∴∠E=30°，
∴∠DBC=∠E=30°，
∴BD=ED，△BDE为等腰三角形，
又∵DF⊥BE，
∴F是BE的中点，
∴BF=EF．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；等边三角形的性质
【解析】【分析】由等边三角形的三线合一可得
∠DBC=
∠ABC，30°，∠ACB=60°， 由三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和可得∠ACB=∠E+∠EDC，由等边对等角可得∠E=∠EDC，所以可得∠E=
∠ACB，则∠E=∠DBC，根据等角对等边可得DB=DE，再根据等腰三角形的三线合一可得BF=EF。
25．（2018八上·东台期中）如图，△ABC是等边三角形，AD为中线，AD=AE，E在AC上，求∠EDC的度数．
【答案】解：∵△ABC是等边三角形，AD为中线，∴AD⊥BC，∠CAD=30°∵AD=AE，∴∠ADE=∠AED= = =75°，∴∠EDC=∠ADC﹣∠ADE=90°﹣75°=15°．
【知识点】等腰三角形的性质；等边三角形的性质
【解析】【分析】由等边三角形的内角为60°及三线合一可得AD⊥BC，∠CAD=30°，由等边对等角与三角形内角和为180°可得∠ADE=∠AED =75°，从而可得∠EDC=15°.
26．（2017八上·常州期末）如图：已知等边△ABC中，D是AC的中点，E是BC延长线上的一点，且CE=CD，DM⊥BC，垂足为M，求证：M是BE的中点．
【答案】证明：连接BD，
∵在等边△ABC，且D是AC的中点，
∴∠DBC= ∠ABC= ×60°=30°，∠ACB=60°，
∵CE=CD，
∴∠CDE=∠E，
∵∠ACB=∠CDE+∠E，
∴∠E=30°，
∴∠DBC=∠E=30°，
∴BD=ED，△BDE为等腰三角形，
又∵DM⊥BC，
∴M是BE的中点．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；等边三角形的性质
【解析】【分析】要证M是BE的中点，根据题意可知，证明△BDE△为等腰三角形，利用等腰三角形三线合一的性质即可得证。
四、作图题
27．如图，△ABC和△DCE都是等边三角形，且点C是线段AD的中点，请仅用无刻度直尺完成以下作图：
（1）作BC的中点P；
（2）过点C作AD的垂线．
【答案】解：（1）如图1所示：点P即为所求；
；
（2）如图2所示：CQ即为所求．
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【分析】（1）直接利用等腰三角形的性质，得出BC的中点；
（2）连接BD，AE，进而得出其交点，进而得出答案．
五、综合题
28．（2019八上·东台期中）如图，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点O，过点O作DE∥BC，分别交AB、AC于点D、E.
（1）△BDO是等腰三角形吗？请说明理由.
（2）若AB=10，AC=6，求△ADE的周长.
【答案】（1）解：△BDO是等腰三角形，理由如下：
∵∠ABC与∠ACB的平分线交于点O，
∴∠DBO=∠CBO，
∵DE∥BC，
∴∠DOB=∠OBC，
∴∠DBO=∠DOB，
∴△BDO为等腰三角形；
（2）解：同理可得△EOC为等腰三角形，
∴BD=DO，EC=EO，
则△ADE的周长为AD+DO+OE+EA即AB+AC=16，
所以△ADE的周长为16.
【知识点】等腰三角形的判定
【解析】【分析】（1）根据角平分线的定义及平行线的性质证明△BDO是等腰三角形，（2）由等腰三角形的性质得BD=DO，CE=EO，则△ADE的周长=AB+AC，从而得出答案.
29．（2019八上·扬州月考）如图，在△ABC中，AE是∠BAC的角平分线，交BC于点E，DE∥AB交AC于点D.
（1）求证AD=ED；
（2）若AC=AB，DE=3，求AC的长.
【答案】（1）证明：∵AE是∠BAC的角平分线
∴∠DAE=∠BAE，
∵DE∥AB
∴∠DEA=∠EAB，
∴∠DAE=∠DEA，
∴AD=DE-
（2）证明：∵AB=AC，AE是∠BAC的角平分线
∴AE⊥BC
∴∠C+∠CAE=90°，∠CED+∠DEA=90°，
∵∠CAE=∠DEA，
∴∠C=∠CED-
∴DE=CD
∴AD=DE=CD=3
∴AC=6.
【知识点】等腰三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）由角平分线的定义和平行线的性质可得∠DAE=∠DEA，由等角对等边可求解；
（2）由等腰三角形的三线合一可得AE⊥BC，由等角的余角相等可得 ∠C=∠CED， 由等角对等边可得DE=CD，结合（1）的结论得 AD=DE=CD，则根据AC=2CD=2DE可求解.
30．（2019八上·扬州月考）已知等腰三角形的周长为16,
（1）若腰长为6,求它的底边长.
（2）若一边长为6,求它的另外两边的长.
【答案】（1）解：∵等腰三角形的周长为16，腰长为6，
∴底边长为：16－6－6＝4
（2）解：当腰为6时，底边长＝16 6 6＝4；6，6，4能构成三角形，所以其他两边长为6，4；
当底边为6时，三角形的腰＝（16 6）÷2＝5；6，5，5能构成三角形，所以其他两边长为5，5.
综上所述，另外两边长为6、4或5、5
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【分析】（1）根据等腰三角形的性质和三角形的周长=三角形三边之和可求解；
（2）由题意可分两种情况讨论求解：① 当腰为6时，根据等腰三角形的性质和三角形的周长=三角形三边之和可求得其余两边长，再根据三角形的三边关系定理可判断求解；
② 当底边为6时， 根据等腰三角形的性质和三角形的周长=三角形三边之和可求得其余两边长，再根据三角形的三边关系定理可判断求解.
31．（2018八上·泗阳期中）如图，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点O，过点O作DE//BC分别交AB，AC于点D，E．
（1）求证：OD=DB．
（2）若DE=5，求DB+CE的值．
【答案】（1）解：∵BO平分∠ABC，∴∠DBO=∠OBC．
∵DE∥BC，∴∠DOB=∠OBC，∴∠DOB=∠DBO，∴OD=DB．
（2）解：根据（1）得：OD=DB，
同理可证：OE=EC，
∴BD+EC=DO+OE=DE=5．
【知识点】等腰三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）利用角平分线的定义可得出∠DBO=∠OBC，再利用平行线的性质易证∠DOB=∠OBC，就可得出∠DOB=∠DBO，然后利用等角对等边，可证得结论。
（2）由（1）可知OD=BD，同理可证OE=CE，因此要求BD+CE的长，就转化为求DE的长。
32．（2016八上·江宁期中）如图，在等腰△ABC中，AB=AC，BD为高．（从下列问题中任选一问作答）
（1）若∠ABD+∠C=120°，求∠A的度数；
（2）若CD=3，BC=5，求△ABC的面积．
【答案】（1）解：∵AB=AC，∴∠ABC=∠C，
设∠ABD=x°，
则∠A=（90﹣x）°，∠C=（120﹣x）°，
在△ABC中：∠A+∠C+∠ABC=180°，
即90﹣x+2（120﹣x）=180，
解得x=50°，
则∠A=90﹣x=40°；
（2）解：∵BD为高．∴△ADC为直角三角形，
∵BD=4，BC=5，
∴CD=3，
设AD为x，则AB=AC=3+x，
在直角三角形△ADB中，AD2+BD2=AB2，
即，x2+42=（x+3）2，
解得x= ，
S△ABC=AC×BD× = ．
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【分析】（1）设∠ABD=x°，则∠A=（90﹣x）°，∠C=（120﹣x）°，根据三角形的内角和即可得到结论；（2）根据直角三角形的性质得到BD=4，BC=5，求得CD=3，设AD为x，则AB=AC=3+x，根据勾股定理即可得到结论．
33．（2015八上·哈尔滨期中）如图，△ABD是等腰三角形，AB=AD，将△ABD沿BD翻折得△CBD，点P是线段BD上一点，
（1）如图1，连接PA、PC，求证：CP=AP；
（2）如图2，连接PA，若∠BAP=90°时，作∠DPF=45°，线段PF交线段CD于F，求证：AD=AP+DF；
（3）如图3，∠ABD=30°，连接AP并延长交CD于M，若∠BAM=90°，在BD上取一点Q，且DQ=3BQ，连BM、CQ，当BM= 时，求CQ的长．
【答案】（1）证明：由翻折有，AD=CD，∠ADP=∠CDP，
在△ADP和△CDP中，
∴△ADP≌△CDP，
∴CP=AP
（2）证明：连接PC，由（1）有，AP=CP，
由翻折有∠BCP=∠BAP=90°，
∴∠CBP+∠BPC=90°，
∵AD=AB=CB=CD，
∴∠CBP=∠CDP，
∴∠CDP+∠BPC=90°，
∵∠DPF=45°，
∴∠BPC+∠CPF=135°，
∴∠CPF=∠CDP+45°，
∵∠CFP=∠CDP+∠BPF=∠CDP+45°，
∴∠CPF=∠CFP，
∴CP=CF，
∴AD=CB=CF+FD=CP+FD=AP+FD
（3）证明：如图，连接AQ，AC，
由（1）有，AQ=CQ，AP=CP，由翻折有AB=BC，AD=CD，
∵AB=AD，
∴AB=BC=CD=AD，
∴四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OB=OD，OA=OC，∠BAD=120°，
∵DQ=3BQ，
∴BQ=OQ，
∴四边形CPAQ也是菱形，
∵∠BAM=90°，∠BAD=120°，
∴∠BAQ=∠DAM=30°，
∴∠ABD=∠CBD=∠ADB=∠CDB=30°，
∵∠ADM=60°，
∴∠AMD=90°，
∵△ACD等边三角形，
∴CD=2DM．
设DM=x，
∴CD=AD=AB=2DM=2x，AM= x，
在Rt△ABM中，BM= ，
∴AB2+AM2=BM2，
∴（2x）2+（ x）2=（ ）2，
∴x= 或x=﹣ （舍），
在Rt△AOB中，∠ABD=30°，
∴OA= AB=x，OB= x，
∵OQ=BQ= OB= x，
在Rt△AOQ中，AQ= = x= ，
∴CQ=AQ= ．
【知识点】等腰三角形的性质；等腰三角形的判定
【解析】【分析】（1）由翻折得到条件，直接判断出△ADP≌△CDP，即可；（2）由（1）结论CP=AP，用三角形的外角等于与它不相邻的两内角的和及平角的定义判断出∠CPF=∠CFP，得到CP=CF，即可；（3）由（1）的结论判断出四边形ABCD是菱形，继而判断出四边形AQCP也是菱形，利用勾股定理求出MN即可．
34．如图，在△ABC中，BC=10cm，BP、CP分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，PD∥AB，PE∥AC．
（1）求证：BD=PD
（2）求△PDE的周长．
【答案】（1）证明：∵BP分别是∠ABC的角平分线，
∴∠ABP=∠PBD，
又∵PD∥AB，
∴∠ABP=∠BPD，
∴∠PBD=∠BPD，
∴BD=PD．
（2）解：由（1）知BD=PD，同理CE=PE，
∴△PDE的周长=PD+DE+PE
=BD+DE+EC
=BC
=10（cm），
即△PDE的周长是10cm．
【知识点】等腰三角形的判定
【解析】【分析】（1）根据角平分线定义得出∠ABP=∠PBD，根据平行线性质得出∠ABP=∠BPD，推出∠PBD=∠BPD即可；
（2）求出BD=DP，CE=PE，求出△PDE的周长是BC，代入即可求出答案．
35．如图，AD∥BC，∠BAC=70°，DE⊥AC于点E，∠D=20°．
（1）求∠B的度数，并判断△ABC的形状
（2）若延长线段DE恰好过点B，试说明DB是∠ABC的平分线．
【答案】（1）解：∵DE⊥AC于点E，∠D=20°，
∴∠CAD=70°，
∵AD∥BC，
∴∠C=∠CAD=70°，
∵∠BAC=70°，
∴∠B=40°，AB=AC，
∴△ABC是等腰三角形；
（2）解：
∵延长线段DE恰好过点B，DE⊥AC，
∴BD⊥AC，
∵△ABC是等腰三角形，
∴DB是∠ABC的平分线．
【知识点】等腰三角形的判定
【解析】【分析】（1）根据三角形内角和定理求得∠CAD=70°，根据平行线的性质求得∠C=∠CAD=70°，即可求得∠B的度数，根据等角对等边求得△ABC是等腰三角形；
（2）根据等腰三角形三线合一的性质即可证得；
36．如图，△ABC中，∠A=36°，∠C=72°，∠DBC=36°．
（1）求∠1的度数
（2）求证：BC=BD=AD．
【答案】（1）解：在△ABC中，
∠ABC=180°﹣∠A﹣∠C=72°，
∴∠1=∠ABC﹣∠DBC=36°
（2）证明： 在△BCD中，
∠2=180°﹣∠DBC﹣∠C=72°，
∴∠2=∠C，
∴BD=BC，
又∠ABD=∠A，
∴BD=AD，
∴BC=BD=AD．
【知识点】等腰三角形的判定
【解析】【分析】（1）由∠C=72゜，∠A=∠DBC=36゜，根据三角形内角和定理，可求得∠ABD=∠A=36°；
（2）进一步求出∠ABC=∠BCD=∠BDC=72°，得出BD=BC，再由∠ABD=∠A得出BD=AD，继而求得答案．
37．已知：如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为点D，BE⊥AC，垂足为点E，M为AB边的中点，连接ME、MD、ED．
（1）求证：△MED为等腰三角形
（2）求证：∠EMD=2∠DAC．
【答案】（1）证明：∵M为AB边的中点，AD⊥BC，BE⊥AC，
∴ME=AB，MD=AB，
∴ME=MD，
∴△MED为等腰三角形；
（2）∵ME=AB=MA，
∴∠MAE=∠MEA，
∴∠BME=2∠MAE，
同理，MD=AB=MA，
∴∠MAD=∠MDA，
∴∠BMD=2∠MAD，
∴∠EMD=∠BME﹣∠BMD=2∠MAE﹣2∠MAD=2∠DAC．
【知识点】等腰三角形的判定
【解析】【分析】（1）由于AD⊥BC，BE⊥AC，所以△ADB和△ABE是直角三角形，又因为M为AB边的中点，所以ME=MD= AB，所以△MED为等腰三角形；
（2）利用三角形的外角等于和它不相邻两个内角的和这样推论，可知∠BME=2∠MAE，∠BMD=2∠MAD，作差即可证得结论．
38．（2021八上·衢江月考）如图，△ABC中，AC=BC，点D在BC上，作∠ADF=∠B，DF交外角∠ACE的平分线CF于点F．
（1）求证：CF∥AB
（2）若∠CAD=20°，求∠CFD的度数．
【答案】（1）证明：∵AC=BC，∴∠B=∠BAC，∵∠ACE=∠B+∠BAC，∴∠BAC=∠ACE，∵CF平分∠ACE，
∴∠ACF=∠ECF=∠ACE，
∴∠BAC=∠ACF，∴CF∥AB；
（2）解：∵∠BAC=∠ACF，∠B=∠BAC，∠ADF=∠B，
∴∠ACF=∠ADF，
∵∠ADF+∠CAD+∠AGD=180°，∠ACF+∠F+∠CGF=180°，
又∵∠AGD=∠CGF，
∴∠F=∠CAD=20°．
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【分析】（1）根据三角形的性质得到∠B=∠BAC，由三角形外角的性质得到∠ACE=∠B+∠BAC，求得∠BAC=
∠ACE，，由角平分线的定义得到∠ACF=∠ECF=
∠ACE，，等量代换得到∠BAC=∠ACF，根据平行线的判定定理即可得到结论；
（2）由等量代换得到∠ACF=∠ADF，根据三角形的内角和得到∠ADF+∠CAD+∠AGD=180°，∠ACF+∠F+∠CGF=180°，由于∠AGD=∠CGF，即可得到结论．
39．已知一个等腰三角形的两边长a、b满足方程组
（1）求a、b的值．
（2）求这个等腰三角形的周长．
【答案】（1）解：
②×2﹣①得5b=15，解得b=3，
把b=3代入②得2a+3=13，解得a=5；
（2）若a=5为腰长，5+5＞3满足，此时三角形周长为：5×2+3=13；
若b=3为腰长，3+3＞5满足，此时三角形周长为：3×2+5=11．
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【分析】（1）根据加减消元法解二元一次方程组，即可求得a、b的值．
（2）讨论腰长的大小，再根据三角形三边关系即可得出答案．
40．已知：如图，△ABC中，AB=AC，点D为BC的中点，连接AD．
（1）请你写出两个正确结论：
（2）当∠B=60°时，还可以得出正确结论：
【答案】（1）BD=CD，△ABD≌△ACD，
（2）△ABC是等边三角形
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：（1）①BD=CD；②△ABD≌△ACD；
故答案为：BD=CD，△ABD≌△ACD，
（2）∵AB=AC，∠B=60°，
∴△ABC是等边三角形．
故答案为：△ABC是等边三角形．
【分析】（1）根据中点的性质及全等三角形的判定，写出两个结论即可；
（2）根据等边三角形的判定定理可得△ABC是等边三角形．
1 / 1初中数学苏科版八年级上册2.5等腰三角形的轴对称性 同步练习
一、单选题
1．（2020八上·徐州期末）在等腰三角形ABC中，∠A=80°.则∠B的度数不可能为（ ）
A．20° B．40° C．50° D．80°
2．（2020八上·苏州期末）如图，在△ABC中，AB=AC，AD为BC边上的高，点E为AC的中点，连接DE，若△ABC的周长为20，则△CDE的周长为（ ）
A．10 B．12 C．14 D．16
3．（2019八上·海安月考）如图，在 中，DE是AB的垂直平分线，且分别交AB、AC于点D和E， =50°， =60°，则 为（ ）
A．30° B．20° C．25° D．35°
4．（2019八上·丹徒月考）如图，△ABC是等边三角形，BD⊥AB，且AB=BD，则∠ACD的度数为（ ）
A．30° B．35° C．45° D．50°
5．（2019八上·无锡期中）如图，已知Rt△ABC中，∠C＝90 ，∠A＝30 ，在直线BC或AC上取一点P，使得△PAB是等腰三角形，则符合条件的P点有（ ）
A．5个 B．6个 C．7个 D．8个
6．（2019八上·海安月考）下列说法中，正确的是（ ）
A．等腰三角形底边上的中线就是底边的垂直平分线
B．等腰三角形的对称轴是底边上的高
C．一条线段可看做是以它的垂直平分线为对称轴的轴对称图形
D．等腰三角形的对称轴就是顶角平分线
7．（2019八上·沛县期末）等腰三角形的一个外角是100°，则其底角是（ ）
A．80°或20° B．80°或50° C．80° D．50°
8．（2018八上·张家港期中）已知等腰三角形的周长为29，其中一边长为7，则该等腰三角形的底边长为（ ）
A．11 B．7 C．15 D．15或7
9．（2018八上·江阴期中）如图，D是△ABC中BC边上一点，AB=AC=BD，则∠1和∠2的关系是（ ）
A．180°+∠2=3∠1 B．∠1+∠2=90°
C．180°－∠1=3∠2 D．∠1=2∠2
10．（2018八上·宜兴期中）如图，△ABC中，AB= 4，AC= 7，BD，CD分别平分∠ABC，∠ACB，过点D作直线平行于BC，交AB，AC于E，F，则△AEF的周长为（ ）
A．9 B．11 C．15 D．18
二、填空题
11．（2020八上·无锡期中）等腰三角形的两条边长为4和9，则该等腰三角形的周长为 .
12．（2020八上·南京期中）已知△ABC的三边长分别为4、4、6，在△ABC所在平面内画一条直线，将△ABC分割成两个三角形，使其中的一个是等腰三角形，则这样的直线最多可画 条.
13．（2020八上·东台期末）如图，△ABC中，∠B、∠C的平分线交于点O，过O点作EF∥BC交AB、AC于E、F，EF=5，BE=2，则CF= .
14．（2020八上·邳州期末）如图，在 中， ， ，则 的度数为 .
15．（2020八上·赣榆期末）等腰三角形的一个外角是80°，则其底角是 度.
16．（2019八上·扬州期末）若等腰三角形的一个角为110°，则它的底角为 度.
17．（2019八上·海安月考）如图，在△PAB中,PA=PB,M、N、K分别是PA、PB、AB上的点，且AM= BK ,BN=AK.若∠MKN=50°,则∠P的度数为 .
18．（2019八上·丹徒月考）在△ABC中，AB=AC，其周长为20cm，若AB=8cm，则BC= cm.
19．（2019八上·江阴月考）如图，等边△ABC的边长为2，BD为高，延长BC到点E，使CE＝CD，则DE长为 .
20．（2019八上·海州期中）如图，△ABC为等边三角形，BD⊥AB，BD=AB，则∠DCB= .
三、解答题
21．（2020八上·南京月考）如图，四边形 中， ， ，求证： .
22．（2020八上·沭阳月考）如图，Rt△ABC中，∠CAB＝90°，∠ACB＝30°，D是AB上一点（不与A、B重合），DE⊥BC于E，若P是CD的中点，请判断△PAE的形状，并说明理由.
23．（2019八上·睢宁月考）如图，在 ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，BE⊥AC于点E.
求证：∠CBE=∠BAD.
24．（2018八上·东台期中）如图，等边△ABC中，D是AC的中点，E是BC延长线上的一点，且CE=CD，DF⊥BE，垂足是F，求证：BF=EF．
25．（2018八上·东台期中）如图，△ABC是等边三角形，AD为中线，AD=AE，E在AC上，求∠EDC的度数．
26．（2017八上·常州期末）如图：已知等边△ABC中，D是AC的中点，E是BC延长线上的一点，且CE=CD，DM⊥BC，垂足为M，求证：M是BE的中点．
四、作图题
27．如图，△ABC和△DCE都是等边三角形，且点C是线段AD的中点，请仅用无刻度直尺完成以下作图：
（1）作BC的中点P；
（2）过点C作AD的垂线．
五、综合题
28．（2019八上·东台期中）如图，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点O，过点O作DE∥BC，分别交AB、AC于点D、E.
（1）△BDO是等腰三角形吗？请说明理由.
（2）若AB=10，AC=6，求△ADE的周长.
29．（2019八上·扬州月考）如图，在△ABC中，AE是∠BAC的角平分线，交BC于点E，DE∥AB交AC于点D.
（1）求证AD=ED；
（2）若AC=AB，DE=3，求AC的长.
30．（2019八上·扬州月考）已知等腰三角形的周长为16,
（1）若腰长为6,求它的底边长.
（2）若一边长为6,求它的另外两边的长.
31．（2018八上·泗阳期中）如图，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点O，过点O作DE//BC分别交AB，AC于点D，E．
（1）求证：OD=DB．
（2）若DE=5，求DB+CE的值．
32．（2016八上·江宁期中）如图，在等腰△ABC中，AB=AC，BD为高．（从下列问题中任选一问作答）
（1）若∠ABD+∠C=120°，求∠A的度数；
（2）若CD=3，BC=5，求△ABC的面积．
33．（2015八上·哈尔滨期中）如图，△ABD是等腰三角形，AB=AD，将△ABD沿BD翻折得△CBD，点P是线段BD上一点，
（1）如图1，连接PA、PC，求证：CP=AP；
（2）如图2，连接PA，若∠BAP=90°时，作∠DPF=45°，线段PF交线段CD于F，求证：AD=AP+DF；
（3）如图3，∠ABD=30°，连接AP并延长交CD于M，若∠BAM=90°，在BD上取一点Q，且DQ=3BQ，连BM、CQ，当BM= 时，求CQ的长．
34．如图，在△ABC中，BC=10cm，BP、CP分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，PD∥AB，PE∥AC．
（1）求证：BD=PD
（2）求△PDE的周长．
35．如图，AD∥BC，∠BAC=70°，DE⊥AC于点E，∠D=20°．
（1）求∠B的度数，并判断△ABC的形状
（2）若延长线段DE恰好过点B，试说明DB是∠ABC的平分线．
36．如图，△ABC中，∠A=36°，∠C=72°，∠DBC=36°．
（1）求∠1的度数
（2）求证：BC=BD=AD．
37．已知：如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为点D，BE⊥AC，垂足为点E，M为AB边的中点，连接ME、MD、ED．
（1）求证：△MED为等腰三角形
（2）求证：∠EMD=2∠DAC．
38．（2021八上·衢江月考）如图，△ABC中，AC=BC，点D在BC上，作∠ADF=∠B，DF交外角∠ACE的平分线CF于点F．
（1）求证：CF∥AB
（2）若∠CAD=20°，求∠CFD的度数．
39．已知一个等腰三角形的两边长a、b满足方程组
（1）求a、b的值．
（2）求这个等腰三角形的周长．
40．已知：如图，△ABC中，AB=AC，点D为BC的中点，连接AD．
（1）请你写出两个正确结论：
（2）当∠B=60°时，还可以得出正确结论：
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【解答】当∠A为顶角时,则底角为 ;
当∠A为底角时,∠B为底角则∠B为80°;若∠B为顶角,则为 .
故答案为：B.
【分析】分情况讨论：当∠A为顶角时；当∠A为底角时；若∠B为顶角，利用三角形的内角和定理，分别求出∠B的度数即可。
2．【答案】A
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵AB=AC，AD⊥BC，
∴D为BC的中点，
∵E为AC的中点，
∴DE为△ABC的中位线，
∴DE=AB，
∴△CDE的周长 =DC++DE+EC=(BC+AB+AC)=10.
故答案为：A.
【分析】由等腰三角形的三线合一定理得出D是BC的中点，于是可知DE是△ABC的中位线，结合△ABC的周长即可求出△ABC的周长.
3．【答案】B
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【解答】∵ =50°， =60°，
∴∠ABC=70°，
∵DE是AB的垂直平分线，
∴AE=BE，
∴∠ABE=∠A=50°，
∴∠ABC=∠EBC+∠ABE=∠EBC+∠A
∴ =∠ABC-∠A=70°-50°=20°，
故答案为：B.
【分析】利用等腰三角形的性质：等边对等角以及三角形的内角和定理以及外角的性质即可求解.
4．【答案】C
【知识点】等边三角形的性质
【解析】【解答】解：∵△ABC是等边三角形
∴BA=BC，∠ABC=∠ACB=60°
∵BD⊥AB，且AB=BD
∴∠CBD=∠ABC＋∠ABD=150°，BC=BD
∴∠BCD=∠BDC= （180°－∠CBD）=15°
∴∠ACD=∠ACB－∠BCD=45°
故答案为：C.
【分析】根据等边三角形的性质可得：BA=BC，∠ABC=∠ACB=60°，从而求出∠CBD的度数，然后根据已知条件可得：BC=BD，根据等边对等角和三角形的内角和即可求出∠BCD，从而求出∠ACD的度数.
5．【答案】B
【知识点】等腰三角形的判定
【解析】【解答】解：如图，第1个点在CA延长线上，取一点P，使BA=AP；
第2个点在CB延长线上，取一点P，使AB=PB；
第3个点在AC延长线上，取一点P，使AB=PB；
第4个点在BC延长线上，取一点P，使AB=PA；
第5个点在AC延长线上，取一点P，使AB=PA；
第6个点在AC上，取一点P，使∠PBA=∠PAB；
∴符合条件的点P有6个点.
故答案为：B.
【分析】根据等腰三角形的两腰相等，分别以AB为腰和∠ABP为两腰的夹角、以AB为腰和∠BAP为两腰的夹角及以AB为底∠BPA为等腰三角形的顶角三种情况考虑即可.
6．【答案】C
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【解答】A、三角形中，中线是连接一个顶点和它所对边的中点的连线段，而线段的垂直平分线是直线，故A错误；
B、三角形的高对应的是线段，而对称轴对应的是直线，故B错误；
C、线段是轴对称图形，对称轴为垂直平分线，故C正确；
D、角平分线对应的是射线，而对称轴对应的是直线，故D错误，
故答案为：C.
【分析】A、等腰三角形底边上的中线是线段，而垂直平分线是直线，据此判断即可；
B、等腰三角形底边上的高是线段，而对称轴是直线，据此判断即可；
C、线段是轴对称图形，对称轴为垂直平分线，据此判断即可；
D、等腰三角形顶角平分线所在的直线是它的对称轴，据此判断即可.
7．【答案】B
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【解答】∵100°＞90°，
∴分两种情况：
（ 1 ）当这个角是底角时，则这个角＝180°﹣100°＝80°；
（ 2 ）当这个角是顶角时，则这个角＝180°﹣100°＝80°.
∴底角＝（180°﹣80°）÷2＝50°.
故答案为：B.
【分析】由于外角大于90°，故应分两种情况：当这个角是底角时和当这个角是顶角时.
8．【答案】B
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【解答】当腰长为7时，底边长为29-2×7=15，三角形的三边长为7，7，15，7+7=14，不大于15，不能构成三角形，舍去；
当底边长为7时，腰长为（29-7）÷2=11，三角形的三边长为11，11，7，7+11＞11，能构成三角形，
所以等腰三角形的底边为7．
故答案为：B.
【分析】分两种情况讨论：当腰长为7时；当底边长为7时，利用三角形三边关系定理，就可判断得出等腰三角形的底边长。
9．【答案】A
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵AB=BD，
∴∠BAD=∠1，
根据外角定理得∠1=∠2+∠C=∠2+∠B，
所以∠B=∠1-∠2，
△ABD中∠B+∠1+∠BAD=∠B+2∠1=180°，
∴∠1-∠2+2∠1=180°，
3∠1-∠2=180°，即180°+∠2=3∠1．
故答案为：A．
【分析】利用等边对等角，易证∠B=∠C，∠BAD=∠1，再利用三角形的外角性质去证明∠B=∠1-∠2，然后在△ABD中，利用三角形的内角和定理，就可证得 ∠1和∠2的关系 。
10．【答案】B
【知识点】等腰三角形的判定
【解析】【解答】解：∵BD平分∠ABC，
∴∠EBD=∠DBC，
∵EF∥BC，
∴∠EDB=∠DBC，
∴∠EDB=∠EBD，
∴BE=DE，
同理DF=CF，
∴△AEF的周长=AE+EF+AF=AE+BE+AF+CF=AB+AC=11，
故答案为：B．
【分析】由平行线的性质和角平分线的性质可证得BE=DE，DF=CF，则三角形AEF的周长=AE+EF+AF=AE+BE+AF+CF=AB+AC即可求解。
11．【答案】22
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：当等腰三角形的腰为4时，三边为4，4，9， ，不能构成三角形；
当等腰三角形的腰为9时，三边为4，9，9，可以构成三角形，周长为 .
故答案为：22.
【分析】根据腰为4或9，分类讨论，注意根据三角形的三边关系进行判断.
12．【答案】4
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：如图所示：
当AC=CD，AB=BG，AF=CF，AE=BE时，都能得到符合题意的等腰三角形（AD，AE，AF，AG分别为分割线）.
故答案为：4.
【分析】根据等腰三角形的性质，可根据长为4的边为底或腰两种情况考虑，即可做出符合题意的图形.
13．【答案】3
【知识点】等腰三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵BO平分∠ABC，
∴∠ABO=∠CBO；
∵EO∥BC，
∴∠EOB=∠OBC，
∴∠EOB=∠EBO，
∴BE=OE；
同理可证CF=OF；
∵EF=5，BE=2，
∴OF=EF-OE=EF-BE=3，
∴CF=OF=3，
故答案为：3.
【分析】根据角平分线的定义得到∠ABO=∠CBO；由平行线的性质得到∠EOB=∠OBC，等量代换得到∠EOB=∠EBO，根据等腰三角形的判定得到BE=OE；同理可证CF=OF；于是得到结论.
14．【答案】68°
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵AD=BD，
∴∠BAD=∠B=28°，
∴∠ADC=∠B+∠BAD=28°+28°=56°，
∵AD=AC，
∴∠C=∠ADC=56°，
∴∠CAD=180°-∠ADC-∠C=180°-56°-56°=68°，
故答案为：68°.
【分析】由在△ABC中，AC=AD=BD，∠B=28°，根据等腰三角形的性质，即可求得∠ADC的度数，接着求得∠C的度数，可得结论.
15．【答案】40
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【解答】与80°角相邻的内角度数为100°；
当100°角是底角时，100°+100°＞180°，不符合三角形内角和定理，此种情况不成立；
当100°角是顶角时，底角的度数=80°÷2=40°；
故此等腰三角形的底角为40°.
故答案为：40.
【分析】首先判断出与80°角相邻的内角是底角还是顶角，然后再结合等腰三角形的性质及三角形内角和定理进行计算.
16．【答案】35
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【解答】①当这个角是顶角时，底角=(180° 110°)÷2=35°；
②当这个角是底角时，另一个底角为110°，因为110°+110°=240°，不符合三角形内角和定理，所以舍去.
故答案为：35.
【分析】题中没有指明已知的角是顶角还是底角，故应该分情况进行分析，从而求解.
17．【答案】80°
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【解答】因为AM= BK ,BN=AK，而且在△PAB中，PA=PB，所以∠A=∠B，所以△MAK和△KBN全等，所以∠AKM=∠BNK，因为∠AKN=∠BNK+∠B，即∠AKM+∠MKN=∠BNK+∠B，则∠B=∠MKN=50°，所以∠P=180°-2×50°=80°.
【分析】本题通过先证明△MAK和△KBN全等，再根据两三角形之间角的关系解答此题.
18．【答案】4
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵AB=AC=8cm
∴BC=20－8－8=4cm
故答案为：4
【分析】根据周长公式计算BC即可.
19．【答案】
【知识点】等边三角形的性质
【解析】【解答】∵△ABC为等边三角形，BD是高，
∴∠ABC=∠ACB=60°，BD平分∠ABC，AC=BC=2，
∠DBE= ∠ABC=30°，CD= AC= ×2=1，
∵CD=CE，
∴∠CDE=∠E.
∵∠ACB=60°，且∠ACB为△CDE的外角，
∴∠CDE+∠E=60°.
∴∠CDE=∠E=30°，
∴∠DBE=∠DEB=30°，
∴BD=DE，
在Rt△BCD中，∠BDC=90°，
∴BD= = ，
∴DE= ，
故答案为： .
【分析】先证明BD=DE，然后在Rt△BCD中，利用勾股定理求出BD的长即可求得答案.
20．【答案】15°
【知识点】等腰三角形的性质；等边三角形的性质
【解析】【解答】解：∵△ABC为等边三角形，BD⊥AB，
∴∠DBC=90°+60°=150°，
∵BD=AB，
∴DB=CB，
∴∠DCB= （180°﹣150°）=15°，
故答案为：15°.
【分析】利用等边三角形的性质及垂直的定义可得∠ABD=90°，∠ABC=60°，BD=AB=CB，从而可得∠DBC=150°，利用三角形内角和求出∠DCB的度数.
21．【答案】证明：连接 ，如图，
∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ .
【知识点】等腰三角形的判定与性质
【解析】【分析】连接BC，利用等腰三角形的等边对等角证得 ，进而证得 ，再根据等腰三角形的等角对等边即可得证.
22．【答案】解：△PAE是等边三角形，理由如下：
∵Rt△CAD中，∠CAB＝90°，P是CD的中点，
，
，
.
同理，在Rt△CAD中， ， ，
.
即△PAE是等腰三角形，
，
∴△PAE是等边三角形.
【知识点】等腰三角形的判定与性质；等边三角形的判定
【解析】【分析】首先根据直角三角形斜边中线的性质和三角形外角的性质得出 ， ， ，然后根据角的和即可得出 ，从而证明△PAE是等边三角形.
23．【答案】证明：∵AB=AC，AD是BC边上的中线，∴AD⊥BC，
又∵BE⊥AC，∴∠ADC=∠BEC=90°，
∴∠CBE+∠C=∠CAD+∠C=90°，∴∠CBE=∠CAD.
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【分析】根据等腰三角形的性质得出∠ADC=∠BEC=90°，再根据∠C为公共角即可得∠CBE=∠CAD.
24．【答案】解：∵在等边△ABC，且D是AC的中点，
∴∠DBC= ∠ABC= ×60°=30°，∠ACB=60°，
∵CE=CD，
∴∠CDE=∠E，
∵∠ACB=∠CDE+∠E，
∴∠E=30°，
∴∠DBC=∠E=30°，
∴BD=ED，△BDE为等腰三角形，
又∵DF⊥BE，
∴F是BE的中点，
∴BF=EF．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；等边三角形的性质
【解析】【分析】由等边三角形的三线合一可得
∠DBC=
∠ABC，30°，∠ACB=60°， 由三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和可得∠ACB=∠E+∠EDC，由等边对等角可得∠E=∠EDC，所以可得∠E=
∠ACB，则∠E=∠DBC，根据等角对等边可得DB=DE，再根据等腰三角形的三线合一可得BF=EF。
25．【答案】解：∵△ABC是等边三角形，AD为中线，∴AD⊥BC，∠CAD=30°∵AD=AE，∴∠ADE=∠AED= = =75°，∴∠EDC=∠ADC﹣∠ADE=90°﹣75°=15°．
【知识点】等腰三角形的性质；等边三角形的性质
【解析】【分析】由等边三角形的内角为60°及三线合一可得AD⊥BC，∠CAD=30°，由等边对等角与三角形内角和为180°可得∠ADE=∠AED =75°，从而可得∠EDC=15°.
26．【答案】证明：连接BD，
∵在等边△ABC，且D是AC的中点，
∴∠DBC= ∠ABC= ×60°=30°，∠ACB=60°，
∵CE=CD，
∴∠CDE=∠E，
∵∠ACB=∠CDE+∠E，
∴∠E=30°，
∴∠DBC=∠E=30°，
∴BD=ED，△BDE为等腰三角形，
又∵DM⊥BC，
∴M是BE的中点．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；等边三角形的性质
【解析】【分析】要证M是BE的中点，根据题意可知，证明△BDE△为等腰三角形，利用等腰三角形三线合一的性质即可得证。
27．【答案】解：（1）如图1所示：点P即为所求；
；
（2）如图2所示：CQ即为所求．
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【分析】（1）直接利用等腰三角形的性质，得出BC的中点；
（2）连接BD，AE，进而得出其交点，进而得出答案．
28．【答案】（1）解：△BDO是等腰三角形，理由如下：
∵∠ABC与∠ACB的平分线交于点O，
∴∠DBO=∠CBO，
∵DE∥BC，
∴∠DOB=∠OBC，
∴∠DBO=∠DOB，
∴△BDO为等腰三角形；
（2）解：同理可得△EOC为等腰三角形，
∴BD=DO，EC=EO，
则△ADE的周长为AD+DO+OE+EA即AB+AC=16，
所以△ADE的周长为16.
【知识点】等腰三角形的判定
【解析】【分析】（1）根据角平分线的定义及平行线的性质证明△BDO是等腰三角形，（2）由等腰三角形的性质得BD=DO，CE=EO，则△ADE的周长=AB+AC，从而得出答案.
29．【答案】（1）证明：∵AE是∠BAC的角平分线
∴∠DAE=∠BAE，
∵DE∥AB
∴∠DEA=∠EAB，
∴∠DAE=∠DEA，
∴AD=DE-
（2）证明：∵AB=AC，AE是∠BAC的角平分线
∴AE⊥BC
∴∠C+∠CAE=90°，∠CED+∠DEA=90°，
∵∠CAE=∠DEA，
∴∠C=∠CED-
∴DE=CD
∴AD=DE=CD=3
∴AC=6.
【知识点】等腰三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）由角平分线的定义和平行线的性质可得∠DAE=∠DEA，由等角对等边可求解；
（2）由等腰三角形的三线合一可得AE⊥BC，由等角的余角相等可得 ∠C=∠CED， 由等角对等边可得DE=CD，结合（1）的结论得 AD=DE=CD，则根据AC=2CD=2DE可求解.
30．【答案】（1）解：∵等腰三角形的周长为16，腰长为6，
∴底边长为：16－6－6＝4
（2）解：当腰为6时，底边长＝16 6 6＝4；6，6，4能构成三角形，所以其他两边长为6，4；
当底边为6时，三角形的腰＝（16 6）÷2＝5；6，5，5能构成三角形，所以其他两边长为5，5.
综上所述，另外两边长为6、4或5、5
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【分析】（1）根据等腰三角形的性质和三角形的周长=三角形三边之和可求解；
（2）由题意可分两种情况讨论求解：① 当腰为6时，根据等腰三角形的性质和三角形的周长=三角形三边之和可求得其余两边长，再根据三角形的三边关系定理可判断求解；
② 当底边为6时， 根据等腰三角形的性质和三角形的周长=三角形三边之和可求得其余两边长，再根据三角形的三边关系定理可判断求解.
31．【答案】（1）解：∵BO平分∠ABC，∴∠DBO=∠OBC．
∵DE∥BC，∴∠DOB=∠OBC，∴∠DOB=∠DBO，∴OD=DB．
（2）解：根据（1）得：OD=DB，
同理可证：OE=EC，
∴BD+EC=DO+OE=DE=5．
【知识点】等腰三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）利用角平分线的定义可得出∠DBO=∠OBC，再利用平行线的性质易证∠DOB=∠OBC，就可得出∠DOB=∠DBO，然后利用等角对等边，可证得结论。
（2）由（1）可知OD=BD，同理可证OE=CE，因此要求BD+CE的长，就转化为求DE的长。
32．【答案】（1）解：∵AB=AC，∴∠ABC=∠C，
设∠ABD=x°，
则∠A=（90﹣x）°，∠C=（120﹣x）°，
在△ABC中：∠A+∠C+∠ABC=180°，
即90﹣x+2（120﹣x）=180，
解得x=50°，
则∠A=90﹣x=40°；
（2）解：∵BD为高．∴△ADC为直角三角形，
∵BD=4，BC=5，
∴CD=3，
设AD为x，则AB=AC=3+x，
在直角三角形△ADB中，AD2+BD2=AB2，
即，x2+42=（x+3）2，
解得x= ，
S△ABC=AC×BD× = ．
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【分析】（1）设∠ABD=x°，则∠A=（90﹣x）°，∠C=（120﹣x）°，根据三角形的内角和即可得到结论；（2）根据直角三角形的性质得到BD=4，BC=5，求得CD=3，设AD为x，则AB=AC=3+x，根据勾股定理即可得到结论．
33．【答案】（1）证明：由翻折有，AD=CD，∠ADP=∠CDP，
在△ADP和△CDP中，
∴△ADP≌△CDP，
∴CP=AP
（2）证明：连接PC，由（1）有，AP=CP，
由翻折有∠BCP=∠BAP=90°，
∴∠CBP+∠BPC=90°，
∵AD=AB=CB=CD，
∴∠CBP=∠CDP，
∴∠CDP+∠BPC=90°，
∵∠DPF=45°，
∴∠BPC+∠CPF=135°，
∴∠CPF=∠CDP+45°，
∵∠CFP=∠CDP+∠BPF=∠CDP+45°，
∴∠CPF=∠CFP，
∴CP=CF，
∴AD=CB=CF+FD=CP+FD=AP+FD
（3）证明：如图，连接AQ，AC，
由（1）有，AQ=CQ，AP=CP，由翻折有AB=BC，AD=CD，
∵AB=AD，
∴AB=BC=CD=AD，
∴四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OB=OD，OA=OC，∠BAD=120°，
∵DQ=3BQ，
∴BQ=OQ，
∴四边形CPAQ也是菱形，
∵∠BAM=90°，∠BAD=120°，
∴∠BAQ=∠DAM=30°，
∴∠ABD=∠CBD=∠ADB=∠CDB=30°，
∵∠ADM=60°，
∴∠AMD=90°，
∵△ACD等边三角形，
∴CD=2DM．
设DM=x，
∴CD=AD=AB=2DM=2x，AM= x，
在Rt△ABM中，BM= ，
∴AB2+AM2=BM2，
∴（2x）2+（ x）2=（ ）2，
∴x= 或x=﹣ （舍），
在Rt△AOB中，∠ABD=30°，
∴OA= AB=x，OB= x，
∵OQ=BQ= OB= x，
在Rt△AOQ中，AQ= = x= ，
∴CQ=AQ= ．
【知识点】等腰三角形的性质；等腰三角形的判定
【解析】【分析】（1）由翻折得到条件，直接判断出△ADP≌△CDP，即可；（2）由（1）结论CP=AP，用三角形的外角等于与它不相邻的两内角的和及平角的定义判断出∠CPF=∠CFP，得到CP=CF，即可；（3）由（1）的结论判断出四边形ABCD是菱形，继而判断出四边形AQCP也是菱形，利用勾股定理求出MN即可．
34．【答案】（1）证明：∵BP分别是∠ABC的角平分线，
∴∠ABP=∠PBD，
又∵PD∥AB，
∴∠ABP=∠BPD，
∴∠PBD=∠BPD，
∴BD=PD．
（2）解：由（1）知BD=PD，同理CE=PE，
∴△PDE的周长=PD+DE+PE
=BD+DE+EC
=BC
=10（cm），
即△PDE的周长是10cm．
【知识点】等腰三角形的判定
【解析】【分析】（1）根据角平分线定义得出∠ABP=∠PBD，根据平行线性质得出∠ABP=∠BPD，推出∠PBD=∠BPD即可；
（2）求出BD=DP，CE=PE，求出△PDE的周长是BC，代入即可求出答案．
35．【答案】（1）解：∵DE⊥AC于点E，∠D=20°，
∴∠CAD=70°，
∵AD∥BC，
∴∠C=∠CAD=70°，
∵∠BAC=70°，
∴∠B=40°，AB=AC，
∴△ABC是等腰三角形；
（2）解：
∵延长线段DE恰好过点B，DE⊥AC，
∴BD⊥AC，
∵△ABC是等腰三角形，
∴DB是∠ABC的平分线．
【知识点】等腰三角形的判定
【解析】【分析】（1）根据三角形内角和定理求得∠CAD=70°，根据平行线的性质求得∠C=∠CAD=70°，即可求得∠B的度数，根据等角对等边求得△ABC是等腰三角形；
（2）根据等腰三角形三线合一的性质即可证得；
36．【答案】（1）解：在△ABC中，
∠ABC=180°﹣∠A﹣∠C=72°，
∴∠1=∠ABC﹣∠DBC=36°
（2）证明： 在△BCD中，
∠2=180°﹣∠DBC﹣∠C=72°，
∴∠2=∠C，
∴BD=BC，
又∠ABD=∠A，
∴BD=AD，
∴BC=BD=AD．
【知识点】等腰三角形的判定
【解析】【分析】（1）由∠C=72゜，∠A=∠DBC=36゜，根据三角形内角和定理，可求得∠ABD=∠A=36°；
（2）进一步求出∠ABC=∠BCD=∠BDC=72°，得出BD=BC，再由∠ABD=∠A得出BD=AD，继而求得答案．
37．【答案】（1）证明：∵M为AB边的中点，AD⊥BC，BE⊥AC，
∴ME=AB，MD=AB，
∴ME=MD，
∴△MED为等腰三角形；
（2）∵ME=AB=MA，
∴∠MAE=∠MEA，
∴∠BME=2∠MAE，
同理，MD=AB=MA，
∴∠MAD=∠MDA，
∴∠BMD=2∠MAD，
∴∠EMD=∠BME﹣∠BMD=2∠MAE﹣2∠MAD=2∠DAC．
【知识点】等腰三角形的判定
【解析】【分析】（1）由于AD⊥BC，BE⊥AC，所以△ADB和△ABE是直角三角形，又因为M为AB边的中点，所以ME=MD= AB，所以△MED为等腰三角形；
（2）利用三角形的外角等于和它不相邻两个内角的和这样推论，可知∠BME=2∠MAE，∠BMD=2∠MAD，作差即可证得结论．
38．【答案】（1）证明：∵AC=BC，∴∠B=∠BAC，∵∠ACE=∠B+∠BAC，∴∠BAC=∠ACE，∵CF平分∠ACE，
∴∠ACF=∠ECF=∠ACE，
∴∠BAC=∠ACF，∴CF∥AB；
（2）解：∵∠BAC=∠ACF，∠B=∠BAC，∠ADF=∠B，
∴∠ACF=∠ADF，
∵∠ADF+∠CAD+∠AGD=180°，∠ACF+∠F+∠CGF=180°，
又∵∠AGD=∠CGF，
∴∠F=∠CAD=20°．
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【分析】（1）根据三角形的性质得到∠B=∠BAC，由三角形外角的性质得到∠ACE=∠B+∠BAC，求得∠BAC=
∠ACE，，由角平分线的定义得到∠ACF=∠ECF=
∠ACE，，等量代换得到∠BAC=∠ACF，根据平行线的判定定理即可得到结论；
（2）由等量代换得到∠ACF=∠ADF，根据三角形的内角和得到∠ADF+∠CAD+∠AGD=180°，∠ACF+∠F+∠CGF=180°，由于∠AGD=∠CGF，即可得到结论．
39．【答案】（1）解：
②×2﹣①得5b=15，解得b=3，
把b=3代入②得2a+3=13，解得a=5；
（2）若a=5为腰长，5+5＞3满足，此时三角形周长为：5×2+3=13；
若b=3为腰长，3+3＞5满足，此时三角形周长为：3×2+5=11．
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【分析】（1）根据加减消元法解二元一次方程组，即可求得a、b的值．
（2）讨论腰长的大小，再根据三角形三边关系即可得出答案．
40．【答案】（1）BD=CD，△ABD≌△ACD，
（2）△ABC是等边三角形
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：（1）①BD=CD；②△ABD≌△ACD；
故答案为：BD=CD，△ABD≌△ACD，
（2）∵AB=AC，∠B=60°，
∴△ABC是等边三角形．
故答案为：△ABC是等边三角形．
【分析】（1）根据中点的性质及全等三角形的判定，写出两个结论即可；
（2）根据等边三角形的判定定理可得△ABC是等边三角形．
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