人教新课标A版 高中数学必修3 第二章统计 2.2用样本估计总体 2.2.2用样本的数字特征估计总体 同步测试
一、单选题
1．10名工人某天生产同一种零件，生产的件数是15，17，14，10，15，17，17，16，14，12；设其平均数为a，中位数为b，众数为c，则有（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】用样本的数字特征估计总体的数字特征
【解析】【解答】将10名工人某天生产同一种零件的件数从小到大排列：10，12，14，14，15，15，16，17，17，17；则处在最中间的两个数为15，15，故中位数为15，即，出现次数最多的是17，故，而，所以，选C.
2．某人5次上班途中所花的时间（单位：分钟）分别为x，y，10，11，9。已知这组数据的平均数为10，方差为2，则|x-y|的值为 （ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【知识点】极差、方差与标准差
【解析】【分析】由题意可得：x+y=20，(x-10)2+(y-10)2=8，解这个方程组需要用一些技巧，因为不要直接求出x、y，只要求出，设x="10+t，" y="10-t，" ，选D
3．10名工人某天生产同一零件，生产的件数是15，17，14，10，15，17，17，16，14，12，设其平均数为，中位数为，众数为，则有 ( )
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】众数、中位数、平均数
【解析】【解答】∵生产的件数是15，17，14，10，15，17，17，16，14，12总和为147，
∴a==14.7，
样本数据17分布最广，即频率最大，为众数，c=17；从小到大排列中间二位的平均数，即b=15．
∵17＞15＞14.7，
故选C．
4．若样本数据x1，x2，...，x10的标准差为8，则数据2x1-1，2x2-1，...，2x10-1的标准差为
A．8 B．15 C．16 D．32
【答案】C
【知识点】极差、方差与标准差
【解析】【解答】设样本数据X1，X2，....，X10的标准差为，则=8，即方差DX=64，而数据2X1-1，....2X10-1的方差D（2X-1)=22DX=2264，所以其标准差为=16，故选C
【分析】已知随机变量X的均值、方差，求X的线性函数Y=aX+b的均值、方差和标准差，可直接用X的均值、方差的性质求解
5．已知数据是上海普通职工n个人的年收入，设n个数据的中位数为x，平均数为y，方差为z，如果再加上世界首富的年收入，则这n+1个数据中，下列说法正确的是 ( )
A．年收入平均数大大增加，中位数一定变大，方差可能不变
B．年收入平均数大大增加，中位数可能不变，方差变大
C．年收入平均数大大增加，中位数可能不变，方差也不变
D．年收入平均数可能不变，中位数可能不变，方差可能不变
【答案】B
【知识点】用样本的数字特征估计总体的数字特征
【解析】【解答】解：∵数据x1，x2，x3，…，xn是上海普通职工n（n≥3，n∈N*）个人的年收入，
而xn+1为世界首富的年收入
则xn+1会远大于x1，x2，x3，…，xn，
故这n+1个数据中，年收入平均数大大增大，
但中位数可能不变，也可能稍微变大，
但由于数据的集中程序也受到xn+1比较大的影响，而更加离散，则方差变大
故选B
【分析】由于数据x1，x2，x3，…，xn是上海普通职工n（n≥3，n∈N*）个人的年收入，设这n个数据的中位数为x，平均数为y，方差为z，如果再加上世界首富的年收入xn+1，我们根据平均数的意义，中位数的定义，及方差的意义，分析由于加入xn+1后，数据的变化特征，易得到答案．
6．为考察某种皮鞋的各种尺码的销售情况，以某天销售40双皮鞋为一个样本，按尺码分为5组，第三组的频率为0.25，第1，2，4组的频数为6，7，9，若第5组表示的是40~42的皮鞋，则售出的200双皮鞋中含40~42的皮鞋为（ ）双
A．50 B．40 C．20 D．30
【答案】B
【知识点】随机抽样和样本估计总体的实际应用
【解析】【分析】由频率=频数÷样本数得，第三组频数为40×0.25=10，所以第5组频数为40-（6+7+9+10)=8，所以售出的200双皮鞋中含40~42的皮鞋为=40，故选B。
【点评】频率分布直方图是用样本估计总体的一个基本、常用方法，形象、直观，理解好频数与频率的内在联系。
7．（2016高二上·昌吉期中）一组数据的平均数是2.8，方差是3.6，若将这组数据中的每一个数据都加上60，得到一组新数据，则所得新数据的平均数和方差分别是（ ）
A．57.2，3.6 B．57.2，56.4 C．62.8，63.6 D．62.8，3.6
【答案】D
【知识点】极差、方差与标准差
【解析】【解答】设这组数据分别为x1，x2，xn，则=（x1+x2+…+xn），
方差为s2=[（x1﹣）2+…+（xn﹣）2]，
每一组数据都加60后，
=（x1+x2+…+xn+60n）=+60
=2.8+60=62.8，
方差s′2=+…+（xn+60﹣62.8）2]
=s2=3.6．
故选D．
【分析】首先写出原来数据的平均数表示式和方差的表示式，把数据都加上60以后，再表示出新数据的平均数和方差的表示式，两部分进行比较，得到结果．
8．为了了解某年级500名学生某次测试的体育成绩，从中抽取了30名学生的成绩进行统计分析，在这个问题中“30”是指（ ）
A．总体的个数 B．个体
C．样本容量 D．从总体中抽取的一个样本
【答案】C
【知识点】用样本的数字特征估计总体的数字特征
【解析】【解答】解：根据题意可得，在这个问题中，30名学生的成绩是从总体中抽取的一个样本容量．
故选C．
【分析】根据样本、样本容量、总体、个体的定义，作出判断．
9．下列说法错误的是（ ）
A．在统计里，把所需考察对象的全体叫作总体
B．一组数据的平均数一定大于这组数据中的每个数据
C．平均数、众数与中位数从不同的角度描述了一组数据的集中趋势
D．一组数据的方差越大，说明这组数据的波动越大
【答案】B
【知识点】分布的意义和作用
【解析】【解答】解：对于A：总体：考察对象的全体，故A对；对于C：在统计里，一组数据的集中趋势可以用平均数、众数与中位数，故C对．∵平均数不大于最大值，不小于最小值．比如：1、2、3的平均数是2，它小于3．故B不对；∵从方差角度看，方差最小，成绩较稳定．故D正确．故选B．
【分析】平均数与每一个样本的数据有关，与众数、中位数比较起来，平均数可以反映出更多的关于样本数据全体的信息，但是一组数据的平均数不一定大于这组数据中的每个数据．
10．要了解全市高一学生身高在某一身高范围的学生所占比例的大小，需知道相应样本的（ ）
A．平均数 B．方差 C．众数 D．频率分布
【答案】D
【知识点】分布的意义和作用
【解析】【解答】解：频率分步直方图是用来显示样本在某一范围所占的比例大小，
故选D
【分析】平均数是表示样本的平均水平，方差表示的是学生身高波动的大小，众数则表示哪一个身高的学生最多，只有频率分步直方图可以清晰地揭示各个身高的学生所占的比例．
11．已知数据x1，x2，x3，…，x50，500（单位：公斤），其中x1，x2，x3，…，x50，是某班50个学生的体重，设这50个学生体重的平均数为x，中位数为y，则x1，x2，x3，…，x50，500这51个数据的平均数、中位数分别与x、y比较，下列说法正确的是（ ）
A．平均数增大，中位数一定变大
B．平均数增大，中位数可能不变
C．平均数可能不变，中位数可能不变
D．平均数可能不变，中位数可能变小
【答案】B
【知识点】众数、中位数、平均数
【解析】【解答】解：根据题意得，数据x1，x2，x3，…，x50，是某班50个学生的体重，其平均数应在50公斤左右，再增加一个数据500，这51个数据的平均数一定增大，
而中位数有可能不变，如：按大小顺序排列后，第25、26个数据相等时，其中位数相等．
故选：B．
【分析】根据平均数与中位数的定义，分析这组数据，即可得出正确的结论．
12．气象意义上从春季进入夏季的标志为：“连续5天的日平均温度均不低于22℃”．现有甲、乙、丙三地连续5天的日平均温度的记录数据（记录数据都是正整数，单位℃）：
①甲地：5个数据的中位数为24，众数为22；
②乙地：5个数据的中位数为27，总体均值为24；
③丙地：5个数据中有一个数据是32，总体均值为26，总体方差为10.2．
则肯定进入夏季的地区有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】C
【知识点】众数、中位数、平均数
【解析】【解答】解：①甲地：5个数据的中位数为24，众数为22，
根据数据得出：甲地连续5天的日平均温度的记录数据可能为：22，22，24，25，26．
其连续5天的日平均温度均不低于22．
②乙地：5个数据的中位数为27，总体均值为24．当5个数据为19，20，27，27，27可知其连续5天的日平均温度有低于22，故不确定．
③丙地：5个数据中有一个数据是32，总体均值为26，若有低于22，则取21，此时方差就超出了10.8，可知其连续5天的日平均温度均不低于22．
则肯定进入夏季的地区有甲、丙三地．
故选：C．
【分析】根据数据的特点进行估计出甲、乙、丙三地连续5天的日平均温度的记录数据，分析数据的可能性进行解答即可得出答案．
13．关于统计数据的分析，有以下几个结论，其中正确的个数为（ ）
①将一组数据中的每个数据都减去同一个数后，平均数与方差均没有变化；
②在线性回归分析中，相关系数r越小，表明两个变量相关性越弱；
③某单位有职工750人，其中青年职工350人，中年职工250人，老年职工150人．为了了解该单位职工的健康情况，用分层抽样的方法从中抽取样本，若样本中的青年职工为7人，则样本容量为15人．
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【知识点】众数、中位数、平均数
【解析】【解答】解：（1）将一组数据中的每个数据都减去同一个数a后，平均数为原平均数减去a，其标准差没有变化，故（1）错误；
（2）在线性回归分析中，相关系数r接近﹣1，表明两个变量负相关越强，故（2）错误；
（3）某单位有职工750人，其中青年职工350人，中年职工250人，老年职工150人，为了了解该单位职工的健康情况，用分层抽样的方法从中抽取样本，若样本中的青年职工为7人，设样本容量为n，则=，解得n=15，故（3）正确．
故正确结论的个数为1个，
故选：B．
【分析】（1）将一组数据中的每个数据都减去同一个数后，平均数发生变化，标准差均没有变化，可判断（1）；
（2）在线性回归分析中，相关系数r→﹣1，表明两个变量负相关越强，可判断（2）；
（3）利用分层抽样的概念及运算公式可求得样本容量为n的值，从而可判断（3）．
14．（2016高二下·海南期中）如图所示，样本A和B分别取自两个不同的总体，它们的样本平均数分别为 、 ，样本标准差分别为SA，SB，则（ ）
A．＞ ，SA＞SB B．＜ ，SA＞SB
C．＞ ，SA＜SB D．＜ ，SA＜SB
【答案】B
【知识点】频率分布折线图、密度曲线；极差、方差与标准差；用样本的数字特征估计总体的数字特征
【解析】【解答】解：∵样本A的数据均不大于10，
而样本B的数据均不小于10，
显然 ＜ ，
由图可知A中数据波动程度较大，
B中数据较稳定，
∴sA＞sB．
故选：B．
【分析】从图形中可以看出样本A的数据均不大于10，而样本B的数据均不小于10，由图可知A中数据波动程度较大，B中数据较稳定，得到结论．
15．（2016高一下·大连期中）样本a1，a2，a3，…，a10的平均数为 ，样本b1，b2，b3，…，b10的平均数为 ，那么样本a1，b1，a2，b2，…，a10，b10的平均数为（ ）
A．+ B．（ + ）
C．2（ + ） D．（ + ）
【答案】B
【知识点】众数、中位数、平均数
【解析】【解答】解：样本a1，a2，a3，a10中ai的概率为Pi，
样本b1，b2，b3，b10中bi的概率为Pi′，
样本a1，b1，a2，b2，a3，b3，a10，
b10中ai的概率为qi，bi的概率为qi′，则Pi=2qi，
故样本a1，b1，a2，b2，a3，b3，a10，
b10的平均数为a1q1+b1q1′+a2q2+b2q2′++a10q10+b10q10′
= （a1P1++a10P10）+ （b1P1′+ b2P2′++ b10P10′）
= （ + ）．
故选B
【分析】根据计算平均数的公式，把两组数据求和再除以数字的个数，借助于两组数据的平均数，得到结果．
二、填空题
16．若数a1，a2，a3，a4，a5的标准差为2，则数3a1﹣2，3a2﹣2，3a3﹣2，3a4﹣2，3a5﹣2的方差为
【答案】36
【知识点】极差、方差与标准差
【解析】【解答】数a1，a2，a3，a4，a5的标准差为2，
则数a1，a2，a3，a4，a5的方差为4，
∴数3a1﹣2，3a2﹣2，3a3﹣2，3a4﹣2，3a5﹣2的方差为4×32=36，
故答案为：36．
【分析】根据方差是标准差的平方，数据增加a，方差不变，数据扩大a，方差扩大a2倍，可得答案。
17．若一组样本数据9，8，x，10，11的平均数为10，则该组样本数据的方差为
【答案】2
【知识点】极差、方差与标准差
【解析】【解答】∵一组样本数据9，8，x，10，11的平均数为10，
∴（9+8+x+10+11）=10，
解得x=12，
∴该组样本数据的方差S2=[（9﹣10）2+（8﹣10）2+（12﹣10）2+（10﹣10）2+（11﹣10）2]=2．
故答案为：2．
【分析】由已知条件先求出x，再利用方差公式求出该组样本数据的方差。
18．如图是甲、乙两名篮球运动员2012年赛季每场比赛得分的茎叶图，则甲、乙两人比赛得分的中位数之和是
【答案】54
【知识点】茎叶图
【解析】【解答】由茎叶图得到甲运动员的得分数据为：17，22，28，34，35，36．
由茎叶图得到乙运动员的得分数据为：12，16，21，23，29，31，32．
由此可得甲运动员得分数据的中位数是．
乙运动员得分数据的中位数是23．
所以甲、乙两人比赛得分的中位数之和是54．
故答案为54．
【分析】由茎叶图得到甲乙运动员的得分数据，由小到大排列后得到两组数据的中位数，则甲、乙两人比赛得分的中位数之和可求。
19．（人教新课标A版必修3数学2.2.2用样本的数字特征估计总体同步检测）用一组样本数据8，x，10，11，9来估计总体的标准差，若该组样本数据的平均数为10，则总体标准差s=
【答案】
【知识点】用样本的数字特征估计总体的数字特征
【解析】【解答】解：∵该组样本数据的平均数为10，
∴（8+x+10+11+9）÷5=10，
∴x=12，
∴
∴s=，
故答案为：．
【分析】由题意知本题是包含五个数字的求平均数问题，其中一个数字未知，首先根据平均数做出未知数据，再根据方差公式，代入数据求出结果，注意本题求的是标准差，最后要把方差开方．
20．如图是2008年北京奥运会上，七位评委为某奥运项目打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数为 ；方差为 ．
【答案】85；
【知识点】众数、中位数、平均数
【解析】【解答】解：由茎叶图知，去掉一个最高分93和一个最低分79后，
所剩数据84，84，86，84，87的平均数为；
方差为．
故答案为：85；．
【分析】根据所给的茎叶图，看出七个数据，根据分数处理方法，去掉一个最高分93和一个最低分79后，把剩下的五个数字求出平均数和方差．
三、解答题
21．教育部，体育总局和共青团中央号召全国各级各类学校要广泛，深入地开展全国亿万大，中学生阳光体育运动，为此，某校学生会对高二年级2014年9月与10月这两个月内参加体育运动的情况进行统计，随机抽取了100名学生作为样本，得到这100名学生在该月参加体育运动总时间的小时数，根据此数据作出了如下的频数和频率的统计表和 频率分布直方图：
（I）求a，p的值，并补全频率分布直方图；
（Ⅱ）根据上述数据和直方图，试估计运动时间在[25，55]小时的学生体育运动的平均时间；
【答案】解：（Ⅰ）因为随机抽取了100名学生作为样本，
所以a=100﹣20﹣20﹣15﹣10﹣5=30；
b==0.3；
频率分布直方图如下：
（Ⅱ）根据表格数据和直方图得到运动时间在[25，55]小时的学生体育运动的平均时间为27.5×0.2+32.5×0.3+37.5×0.2+42.5×0.15+47.5×0.1+52.5×0.05=5.5+9.75+7.5+6.375+4.75+2.625=36.5（小时）；
【知识点】散点图
【解析】【分析】（Ⅰ）根据频数总和是样本容量求出a，然后利用频数与样本容量的比是频率求p；
（Ⅱ）利用各矩形底边中点的横坐标乘以矩形的面积之和解得平均数。
22．某校高一学生共有500人，为了了解学生的历史学习情况，随机抽取了50名学生，对他们一年来4次考试的历史平均成绩进行统计，得到频率分布直方图如图所示，后三组频数成等比数列．
（1）求第五、六组的频数，补全频率分布直方图；
（2）若每组数据用该组区间中点值（例如区间[70，80）的中点值是
75作为代表，试估计该校高一学生历史成绩的平均分；
（3）估计该校高一学生历史成绩在70～100分范围内的人数．
【答案】解：（1）设第五、六组的频数分别为x，y
由题设得，
第四组的频数是0.024×10×50=12
则x2=12y
又x+y=50﹣（0.012+0.016+0.03+0.024）×10×50即x+y=9
∴x=6，
y=3
补全频率分布直方图
（2）该校高一学生历史成绩的平均分
=(45x0.012+55x0.016+65x0.03+75x0.024+95x0.006)=67.6
（3）该校高一学生历史成绩在70～100分范围内的人数：
500×（0.024+0.012+0.006）×10=210
【知识点】用样本的数字特征估计总体的数字特征
【解析】【分析】（1）利用频率分布直方图中利用纵坐标乘以组距求出第四组的频率，利用频率乘以样本容量求出频数，利用等比数列的中项列出方程求出第五、六组的频数．
（2）利用各个小矩形的中点乘以各个矩形的面积求出高一学生历史成绩在70～100分范围内的人数．
23．某化肥厂甲、乙两个车间包装肥料，在自动包装传送带上每隔30分钟抽取一包产品，称其重量，分别记录抽查数据如下：
甲 102 101 99 98 103 98 99
乙 110 115 90 85 75 115 110
（1）这种抽样方法是哪一种？
（2）将两组数据用茎叶图表示．
（3）将两组数据进行比较，说明哪个车间产品较稳定．
【答案】解：（1）根据系统抽样的定义可知，每隔30分钟抽取一包产品，抽取的时间间隔相同，满足系统抽样的定义，
∴这种抽样方法是系统抽样．
（2）将两组数据用茎叶图表示如图：．
（3）甲的平均数为(102+101+99+98+103+98+99)=100．
乙的平均数为(110+115+90+85+75+115+110)=100．
由茎叶图中的数据可知甲的成绩主要集中在90和100附近，乙的成绩比较分散，
∴甲比乙稳定．
【知识点】用样本的数字特征估计总体的数字特征
【解析】【分析】（1）根据抽样方法的定义进行判断．
（2）利用茎叶图的定义将两组数据用茎叶图表示．
（3）根据茎叶图中的数据的分布，即可判断两组数据的稳定性．
24．某试验田分别种植了甲乙两种水稻，为了研究这两种水稻的产量，抽检了甲、乙两种水稻的谷穗各1000株．经统计，得到每株谷穗的粒数的频率分布直方图如图：
（Ⅰ）求乙种水稻谷穗的粒数落在[325，375）之间的频率，并将频率分布直方图补齐；
（Ⅱ）试根据频率分布直方图估计甲种水稻谷穗粒数的中位数与平均数（精确到0.1）；
（Ⅲ）根据频率分布直方图，请至少从两方面对甲乙两种水稻谷穗的粒数作出评价．
【答案】解：（Ⅰ）乙种水稻谷穗的粒数落在[325，375）之间的频率为1﹣50×（0.002+0.004+0.008+0.002）=0.2，
频率分布直方图如图所示．
（Ⅱ）设中位数估计值为x，则有 50×（0.004+0.002）+（x﹣275）×0.006=0.5，解得x=308.3
由直方图得平均数的估计值为50×0.004×200+50×0.002×250+50×0.006×300+50×0.003×350+50×0.005×400=307.5，
答：中位数和平均数的估计值分别为308.3和307.5，
（Ⅲ）由于乙稻谷谷穗粒数平均值的估计值为300＜307.5
故可得出结论：乙稻谷谷穗粒数总体上少于甲种水稻，又从频率分布直方图可看出乙稻谷谷穗粒数比甲种水稻要整齐．
【知识点】用样本的数字特征估计总体的数字特征
【解析】【分析】（I）根据频率分布直方图的小矩形的面积和为1，可求落在[325，375）内的频率，利用组距为50，求出小矩形的高；
（II）根据中位数的左右两边小矩形的面积和相等，求得从左开始面积和为0.5的小矩形底边横坐标值，即为中位数；计算各个小矩形的底边中间值乘以其面积之和，即为数据的平均数；
（III）根据甲、乙两种水稻谷粒的平均数大小和频率分布情况说明．
25．据报道，某公司的33名职工的月工资（以元为单位）如下：
职务 董事长 副董事长 董事 总经理 经理 管理员 职员
人数 1 1 2 1 5 3 20
工资 5 500 5 000 3 500 3 000 2 500 2 000 1 500
（1）求该公司职工月工资的平均数、中位数、众数；
（2）假设副董事长的工资从5000元提升到20000元，董事长的工资从5500元提升到30000元，那么新的平均数、中位数、众数又是什么？（精确到元）
（3）你认为哪个统计量更能反映这个公司员工的工资水平？结合此问题谈一谈你的看法．
【答案】解：（1）平均数是=1500+
≈1500+591=2091（元）
中位数为1500，众数是1500
（2）平均数是=1500+
=1500+1788=3288（元）
中位数为1500，众数是1500
（3）在这个问题中，中位数或众数均能反应该公司员工的工资水平，因为公司中少数人的工资额与大多数人的工资额差别较大，这样导致平均数与中位数偏差较大，所以平均数不能反映这个公司员工的工资水平
【知识点】用样本的数字特征估计总体的数字特征
【解析】【分析】（1）将33个人的工资相加除以33，即可得公司职工月工资的平均数，将这些数从小到大排列，位于中间的数即为中位数，出现次数最多的数即为众数；（2）同（1）的算法；（3）显然平均数不能反映这个公司员工的工资水平，用中位数或众数均能反应该公司员工的工资水平
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一、单选题
1．10名工人某天生产同一种零件，生产的件数是15，17，14，10，15，17，17，16，14，12；设其平均数为a，中位数为b，众数为c，则有（ ）
A． B． C． D．
2．某人5次上班途中所花的时间（单位：分钟）分别为x，y，10，11，9。已知这组数据的平均数为10，方差为2，则|x-y|的值为 （ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
3．10名工人某天生产同一零件，生产的件数是15，17，14，10，15，17，17，16，14，12，设其平均数为，中位数为，众数为，则有 ( )
A． B． C． D．
4．若样本数据x1，x2，...，x10的标准差为8，则数据2x1-1，2x2-1，...，2x10-1的标准差为
A．8 B．15 C．16 D．32
5．已知数据是上海普通职工n个人的年收入，设n个数据的中位数为x，平均数为y，方差为z，如果再加上世界首富的年收入，则这n+1个数据中，下列说法正确的是 ( )
A．年收入平均数大大增加，中位数一定变大，方差可能不变
B．年收入平均数大大增加，中位数可能不变，方差变大
C．年收入平均数大大增加，中位数可能不变，方差也不变
D．年收入平均数可能不变，中位数可能不变，方差可能不变
6．为考察某种皮鞋的各种尺码的销售情况，以某天销售40双皮鞋为一个样本，按尺码分为5组，第三组的频率为0.25，第1，2，4组的频数为6，7，9，若第5组表示的是40~42的皮鞋，则售出的200双皮鞋中含40~42的皮鞋为（ ）双
A．50 B．40 C．20 D．30
7．（2016高二上·昌吉期中）一组数据的平均数是2.8，方差是3.6，若将这组数据中的每一个数据都加上60，得到一组新数据，则所得新数据的平均数和方差分别是（ ）
A．57.2，3.6 B．57.2，56.4 C．62.8，63.6 D．62.8，3.6
8．为了了解某年级500名学生某次测试的体育成绩，从中抽取了30名学生的成绩进行统计分析，在这个问题中“30”是指（ ）
A．总体的个数 B．个体
C．样本容量 D．从总体中抽取的一个样本
9．下列说法错误的是（ ）
A．在统计里，把所需考察对象的全体叫作总体
B．一组数据的平均数一定大于这组数据中的每个数据
C．平均数、众数与中位数从不同的角度描述了一组数据的集中趋势
D．一组数据的方差越大，说明这组数据的波动越大
10．要了解全市高一学生身高在某一身高范围的学生所占比例的大小，需知道相应样本的（ ）
A．平均数 B．方差 C．众数 D．频率分布
11．已知数据x1，x2，x3，…，x50，500（单位：公斤），其中x1，x2，x3，…，x50，是某班50个学生的体重，设这50个学生体重的平均数为x，中位数为y，则x1，x2，x3，…，x50，500这51个数据的平均数、中位数分别与x、y比较，下列说法正确的是（ ）
A．平均数增大，中位数一定变大
B．平均数增大，中位数可能不变
C．平均数可能不变，中位数可能不变
D．平均数可能不变，中位数可能变小
12．气象意义上从春季进入夏季的标志为：“连续5天的日平均温度均不低于22℃”．现有甲、乙、丙三地连续5天的日平均温度的记录数据（记录数据都是正整数，单位℃）：
①甲地：5个数据的中位数为24，众数为22；
②乙地：5个数据的中位数为27，总体均值为24；
③丙地：5个数据中有一个数据是32，总体均值为26，总体方差为10.2．
则肯定进入夏季的地区有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
13．关于统计数据的分析，有以下几个结论，其中正确的个数为（ ）
①将一组数据中的每个数据都减去同一个数后，平均数与方差均没有变化；
②在线性回归分析中，相关系数r越小，表明两个变量相关性越弱；
③某单位有职工750人，其中青年职工350人，中年职工250人，老年职工150人．为了了解该单位职工的健康情况，用分层抽样的方法从中抽取样本，若样本中的青年职工为7人，则样本容量为15人．
A．0 B．1 C．2 D．3
14．（2016高二下·海南期中）如图所示，样本A和B分别取自两个不同的总体，它们的样本平均数分别为 、 ，样本标准差分别为SA，SB，则（ ）
A．＞ ，SA＞SB B．＜ ，SA＞SB
C．＞ ，SA＜SB D．＜ ，SA＜SB
15．（2016高一下·大连期中）样本a1，a2，a3，…，a10的平均数为 ，样本b1，b2，b3，…，b10的平均数为 ，那么样本a1，b1，a2，b2，…，a10，b10的平均数为（ ）
A．+ B．（ + ）
C．2（ + ） D．（ + ）
二、填空题
16．若数a1，a2，a3，a4，a5的标准差为2，则数3a1﹣2，3a2﹣2，3a3﹣2，3a4﹣2，3a5﹣2的方差为
17．若一组样本数据9，8，x，10，11的平均数为10，则该组样本数据的方差为
18．如图是甲、乙两名篮球运动员2012年赛季每场比赛得分的茎叶图，则甲、乙两人比赛得分的中位数之和是
19．（人教新课标A版必修3数学2.2.2用样本的数字特征估计总体同步检测）用一组样本数据8，x，10，11，9来估计总体的标准差，若该组样本数据的平均数为10，则总体标准差s=
20．如图是2008年北京奥运会上，七位评委为某奥运项目打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数为 ；方差为 ．
三、解答题
21．教育部，体育总局和共青团中央号召全国各级各类学校要广泛，深入地开展全国亿万大，中学生阳光体育运动，为此，某校学生会对高二年级2014年9月与10月这两个月内参加体育运动的情况进行统计，随机抽取了100名学生作为样本，得到这100名学生在该月参加体育运动总时间的小时数，根据此数据作出了如下的频数和频率的统计表和 频率分布直方图：
（I）求a，p的值，并补全频率分布直方图；
（Ⅱ）根据上述数据和直方图，试估计运动时间在[25，55]小时的学生体育运动的平均时间；
22．某校高一学生共有500人，为了了解学生的历史学习情况，随机抽取了50名学生，对他们一年来4次考试的历史平均成绩进行统计，得到频率分布直方图如图所示，后三组频数成等比数列．
（1）求第五、六组的频数，补全频率分布直方图；
（2）若每组数据用该组区间中点值（例如区间[70，80）的中点值是
75作为代表，试估计该校高一学生历史成绩的平均分；
（3）估计该校高一学生历史成绩在70～100分范围内的人数．
23．某化肥厂甲、乙两个车间包装肥料，在自动包装传送带上每隔30分钟抽取一包产品，称其重量，分别记录抽查数据如下：
甲 102 101 99 98 103 98 99
乙 110 115 90 85 75 115 110
（1）这种抽样方法是哪一种？
（2）将两组数据用茎叶图表示．
（3）将两组数据进行比较，说明哪个车间产品较稳定．
24．某试验田分别种植了甲乙两种水稻，为了研究这两种水稻的产量，抽检了甲、乙两种水稻的谷穗各1000株．经统计，得到每株谷穗的粒数的频率分布直方图如图：
（Ⅰ）求乙种水稻谷穗的粒数落在[325，375）之间的频率，并将频率分布直方图补齐；
（Ⅱ）试根据频率分布直方图估计甲种水稻谷穗粒数的中位数与平均数（精确到0.1）；
（Ⅲ）根据频率分布直方图，请至少从两方面对甲乙两种水稻谷穗的粒数作出评价．
25．据报道，某公司的33名职工的月工资（以元为单位）如下：
职务 董事长 副董事长 董事 总经理 经理 管理员 职员
人数 1 1 2 1 5 3 20
工资 5 500 5 000 3 500 3 000 2 500 2 000 1 500
（1）求该公司职工月工资的平均数、中位数、众数；
（2）假设副董事长的工资从5000元提升到20000元，董事长的工资从5500元提升到30000元，那么新的平均数、中位数、众数又是什么？（精确到元）
（3）你认为哪个统计量更能反映这个公司员工的工资水平？结合此问题谈一谈你的看法．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】用样本的数字特征估计总体的数字特征
【解析】【解答】将10名工人某天生产同一种零件的件数从小到大排列：10，12，14，14，15，15，16，17，17，17；则处在最中间的两个数为15，15，故中位数为15，即，出现次数最多的是17，故，而，所以，选C.
2．【答案】D
【知识点】极差、方差与标准差
【解析】【分析】由题意可得：x+y=20，(x-10)2+(y-10)2=8，解这个方程组需要用一些技巧，因为不要直接求出x、y，只要求出，设x="10+t，" y="10-t，" ，选D
3．【答案】C
【知识点】众数、中位数、平均数
【解析】【解答】∵生产的件数是15，17，14，10，15，17，17，16，14，12总和为147，
∴a==14.7，
样本数据17分布最广，即频率最大，为众数，c=17；从小到大排列中间二位的平均数，即b=15．
∵17＞15＞14.7，
故选C．
4．【答案】C
【知识点】极差、方差与标准差
【解析】【解答】设样本数据X1，X2，....，X10的标准差为，则=8，即方差DX=64，而数据2X1-1，....2X10-1的方差D（2X-1)=22DX=2264，所以其标准差为=16，故选C
【分析】已知随机变量X的均值、方差，求X的线性函数Y=aX+b的均值、方差和标准差，可直接用X的均值、方差的性质求解
5．【答案】B
【知识点】用样本的数字特征估计总体的数字特征
【解析】【解答】解：∵数据x1，x2，x3，…，xn是上海普通职工n（n≥3，n∈N*）个人的年收入，
而xn+1为世界首富的年收入
则xn+1会远大于x1，x2，x3，…，xn，
故这n+1个数据中，年收入平均数大大增大，
但中位数可能不变，也可能稍微变大，
但由于数据的集中程序也受到xn+1比较大的影响，而更加离散，则方差变大
故选B
【分析】由于数据x1，x2，x3，…，xn是上海普通职工n（n≥3，n∈N*）个人的年收入，设这n个数据的中位数为x，平均数为y，方差为z，如果再加上世界首富的年收入xn+1，我们根据平均数的意义，中位数的定义，及方差的意义，分析由于加入xn+1后，数据的变化特征，易得到答案．
6．【答案】B
【知识点】随机抽样和样本估计总体的实际应用
【解析】【分析】由频率=频数÷样本数得，第三组频数为40×0.25=10，所以第5组频数为40-（6+7+9+10)=8，所以售出的200双皮鞋中含40~42的皮鞋为=40，故选B。
【点评】频率分布直方图是用样本估计总体的一个基本、常用方法，形象、直观，理解好频数与频率的内在联系。
7．【答案】D
【知识点】极差、方差与标准差
【解析】【解答】设这组数据分别为x1，x2，xn，则=（x1+x2+…+xn），
方差为s2=[（x1﹣）2+…+（xn﹣）2]，
每一组数据都加60后，
=（x1+x2+…+xn+60n）=+60
=2.8+60=62.8，
方差s′2=+…+（xn+60﹣62.8）2]
=s2=3.6．
故选D．
【分析】首先写出原来数据的平均数表示式和方差的表示式，把数据都加上60以后，再表示出新数据的平均数和方差的表示式，两部分进行比较，得到结果．
8．【答案】C
【知识点】用样本的数字特征估计总体的数字特征
【解析】【解答】解：根据题意可得，在这个问题中，30名学生的成绩是从总体中抽取的一个样本容量．
故选C．
【分析】根据样本、样本容量、总体、个体的定义，作出判断．
9．【答案】B
【知识点】分布的意义和作用
【解析】【解答】解：对于A：总体：考察对象的全体，故A对；对于C：在统计里，一组数据的集中趋势可以用平均数、众数与中位数，故C对．∵平均数不大于最大值，不小于最小值．比如：1、2、3的平均数是2，它小于3．故B不对；∵从方差角度看，方差最小，成绩较稳定．故D正确．故选B．
【分析】平均数与每一个样本的数据有关，与众数、中位数比较起来，平均数可以反映出更多的关于样本数据全体的信息，但是一组数据的平均数不一定大于这组数据中的每个数据．
10．【答案】D
【知识点】分布的意义和作用
【解析】【解答】解：频率分步直方图是用来显示样本在某一范围所占的比例大小，
故选D
【分析】平均数是表示样本的平均水平，方差表示的是学生身高波动的大小，众数则表示哪一个身高的学生最多，只有频率分步直方图可以清晰地揭示各个身高的学生所占的比例．
11．【答案】B
【知识点】众数、中位数、平均数
【解析】【解答】解：根据题意得，数据x1，x2，x3，…，x50，是某班50个学生的体重，其平均数应在50公斤左右，再增加一个数据500，这51个数据的平均数一定增大，
而中位数有可能不变，如：按大小顺序排列后，第25、26个数据相等时，其中位数相等．
故选：B．
【分析】根据平均数与中位数的定义，分析这组数据，即可得出正确的结论．
12．【答案】C
【知识点】众数、中位数、平均数
【解析】【解答】解：①甲地：5个数据的中位数为24，众数为22，
根据数据得出：甲地连续5天的日平均温度的记录数据可能为：22，22，24，25，26．
其连续5天的日平均温度均不低于22．
②乙地：5个数据的中位数为27，总体均值为24．当5个数据为19，20，27，27，27可知其连续5天的日平均温度有低于22，故不确定．
③丙地：5个数据中有一个数据是32，总体均值为26，若有低于22，则取21，此时方差就超出了10.8，可知其连续5天的日平均温度均不低于22．
则肯定进入夏季的地区有甲、丙三地．
故选：C．
【分析】根据数据的特点进行估计出甲、乙、丙三地连续5天的日平均温度的记录数据，分析数据的可能性进行解答即可得出答案．
13．【答案】B
【知识点】众数、中位数、平均数
【解析】【解答】解：（1）将一组数据中的每个数据都减去同一个数a后，平均数为原平均数减去a，其标准差没有变化，故（1）错误；
（2）在线性回归分析中，相关系数r接近﹣1，表明两个变量负相关越强，故（2）错误；
（3）某单位有职工750人，其中青年职工350人，中年职工250人，老年职工150人，为了了解该单位职工的健康情况，用分层抽样的方法从中抽取样本，若样本中的青年职工为7人，设样本容量为n，则=，解得n=15，故（3）正确．
故正确结论的个数为1个，
故选：B．
【分析】（1）将一组数据中的每个数据都减去同一个数后，平均数发生变化，标准差均没有变化，可判断（1）；
（2）在线性回归分析中，相关系数r→﹣1，表明两个变量负相关越强，可判断（2）；
（3）利用分层抽样的概念及运算公式可求得样本容量为n的值，从而可判断（3）．
14．【答案】B
【知识点】频率分布折线图、密度曲线；极差、方差与标准差；用样本的数字特征估计总体的数字特征
【解析】【解答】解：∵样本A的数据均不大于10，
而样本B的数据均不小于10，
显然 ＜ ，
由图可知A中数据波动程度较大，
B中数据较稳定，
∴sA＞sB．
故选：B．
【分析】从图形中可以看出样本A的数据均不大于10，而样本B的数据均不小于10，由图可知A中数据波动程度较大，B中数据较稳定，得到结论．
15．【答案】B
【知识点】众数、中位数、平均数
【解析】【解答】解：样本a1，a2，a3，a10中ai的概率为Pi，
样本b1，b2，b3，b10中bi的概率为Pi′，
样本a1，b1，a2，b2，a3，b3，a10，
b10中ai的概率为qi，bi的概率为qi′，则Pi=2qi，
故样本a1，b1，a2，b2，a3，b3，a10，
b10的平均数为a1q1+b1q1′+a2q2+b2q2′++a10q10+b10q10′
= （a1P1++a10P10）+ （b1P1′+ b2P2′++ b10P10′）
= （ + ）．
故选B
【分析】根据计算平均数的公式，把两组数据求和再除以数字的个数，借助于两组数据的平均数，得到结果．
16．【答案】36
【知识点】极差、方差与标准差
【解析】【解答】数a1，a2，a3，a4，a5的标准差为2，
则数a1，a2，a3，a4，a5的方差为4，
∴数3a1﹣2，3a2﹣2，3a3﹣2，3a4﹣2，3a5﹣2的方差为4×32=36，
故答案为：36．
【分析】根据方差是标准差的平方，数据增加a，方差不变，数据扩大a，方差扩大a2倍，可得答案。
17．【答案】2
【知识点】极差、方差与标准差
【解析】【解答】∵一组样本数据9，8，x，10，11的平均数为10，
∴（9+8+x+10+11）=10，
解得x=12，
∴该组样本数据的方差S2=[（9﹣10）2+（8﹣10）2+（12﹣10）2+（10﹣10）2+（11﹣10）2]=2．
故答案为：2．
【分析】由已知条件先求出x，再利用方差公式求出该组样本数据的方差。
18．【答案】54
【知识点】茎叶图
【解析】【解答】由茎叶图得到甲运动员的得分数据为：17，22，28，34，35，36．
由茎叶图得到乙运动员的得分数据为：12，16，21，23，29，31，32．
由此可得甲运动员得分数据的中位数是．
乙运动员得分数据的中位数是23．
所以甲、乙两人比赛得分的中位数之和是54．
故答案为54．
【分析】由茎叶图得到甲乙运动员的得分数据，由小到大排列后得到两组数据的中位数，则甲、乙两人比赛得分的中位数之和可求。
19．【答案】
【知识点】用样本的数字特征估计总体的数字特征
【解析】【解答】解：∵该组样本数据的平均数为10，
∴（8+x+10+11+9）÷5=10，
∴x=12，
∴
∴s=，
故答案为：．
【分析】由题意知本题是包含五个数字的求平均数问题，其中一个数字未知，首先根据平均数做出未知数据，再根据方差公式，代入数据求出结果，注意本题求的是标准差，最后要把方差开方．
20．【答案】85；
【知识点】众数、中位数、平均数
【解析】【解答】解：由茎叶图知，去掉一个最高分93和一个最低分79后，
所剩数据84，84，86，84，87的平均数为；
方差为．
故答案为：85；．
【分析】根据所给的茎叶图，看出七个数据，根据分数处理方法，去掉一个最高分93和一个最低分79后，把剩下的五个数字求出平均数和方差．
21．【答案】解：（Ⅰ）因为随机抽取了100名学生作为样本，
所以a=100﹣20﹣20﹣15﹣10﹣5=30；
b==0.3；
频率分布直方图如下：
（Ⅱ）根据表格数据和直方图得到运动时间在[25，55]小时的学生体育运动的平均时间为27.5×0.2+32.5×0.3+37.5×0.2+42.5×0.15+47.5×0.1+52.5×0.05=5.5+9.75+7.5+6.375+4.75+2.625=36.5（小时）；
【知识点】散点图
【解析】【分析】（Ⅰ）根据频数总和是样本容量求出a，然后利用频数与样本容量的比是频率求p；
（Ⅱ）利用各矩形底边中点的横坐标乘以矩形的面积之和解得平均数。
22．【答案】解：（1）设第五、六组的频数分别为x，y
由题设得，
第四组的频数是0.024×10×50=12
则x2=12y
又x+y=50﹣（0.012+0.016+0.03+0.024）×10×50即x+y=9
∴x=6，
y=3
补全频率分布直方图
（2）该校高一学生历史成绩的平均分
=(45x0.012+55x0.016+65x0.03+75x0.024+95x0.006)=67.6
（3）该校高一学生历史成绩在70～100分范围内的人数：
500×（0.024+0.012+0.006）×10=210
【知识点】用样本的数字特征估计总体的数字特征
【解析】【分析】（1）利用频率分布直方图中利用纵坐标乘以组距求出第四组的频率，利用频率乘以样本容量求出频数，利用等比数列的中项列出方程求出第五、六组的频数．
（2）利用各个小矩形的中点乘以各个矩形的面积求出高一学生历史成绩在70～100分范围内的人数．
23．【答案】解：（1）根据系统抽样的定义可知，每隔30分钟抽取一包产品，抽取的时间间隔相同，满足系统抽样的定义，
∴这种抽样方法是系统抽样．
（2）将两组数据用茎叶图表示如图：．
（3）甲的平均数为(102+101+99+98+103+98+99)=100．
乙的平均数为(110+115+90+85+75+115+110)=100．
由茎叶图中的数据可知甲的成绩主要集中在90和100附近，乙的成绩比较分散，
∴甲比乙稳定．
【知识点】用样本的数字特征估计总体的数字特征
【解析】【分析】（1）根据抽样方法的定义进行判断．
（2）利用茎叶图的定义将两组数据用茎叶图表示．
（3）根据茎叶图中的数据的分布，即可判断两组数据的稳定性．
24．【答案】解：（Ⅰ）乙种水稻谷穗的粒数落在[325，375）之间的频率为1﹣50×（0.002+0.004+0.008+0.002）=0.2，
频率分布直方图如图所示．
（Ⅱ）设中位数估计值为x，则有 50×（0.004+0.002）+（x﹣275）×0.006=0.5，解得x=308.3
由直方图得平均数的估计值为50×0.004×200+50×0.002×250+50×0.006×300+50×0.003×350+50×0.005×400=307.5，
答：中位数和平均数的估计值分别为308.3和307.5，
（Ⅲ）由于乙稻谷谷穗粒数平均值的估计值为300＜307.5
故可得出结论：乙稻谷谷穗粒数总体上少于甲种水稻，又从频率分布直方图可看出乙稻谷谷穗粒数比甲种水稻要整齐．
【知识点】用样本的数字特征估计总体的数字特征
【解析】【分析】（I）根据频率分布直方图的小矩形的面积和为1，可求落在[325，375）内的频率，利用组距为50，求出小矩形的高；
（II）根据中位数的左右两边小矩形的面积和相等，求得从左开始面积和为0.5的小矩形底边横坐标值，即为中位数；计算各个小矩形的底边中间值乘以其面积之和，即为数据的平均数；
（III）根据甲、乙两种水稻谷粒的平均数大小和频率分布情况说明．
25．【答案】解：（1）平均数是=1500+
≈1500+591=2091（元）
中位数为1500，众数是1500
（2）平均数是=1500+
=1500+1788=3288（元）
中位数为1500，众数是1500
（3）在这个问题中，中位数或众数均能反应该公司员工的工资水平，因为公司中少数人的工资额与大多数人的工资额差别较大，这样导致平均数与中位数偏差较大，所以平均数不能反映这个公司员工的工资水平
【知识点】用样本的数字特征估计总体的数字特征
【解析】【分析】（1）将33个人的工资相加除以33，即可得公司职工月工资的平均数，将这些数从小到大排列，位于中间的数即为中位数，出现次数最多的数即为众数；（2）同（1）的算法；（3）显然平均数不能反映这个公司员工的工资水平，用中位数或众数均能反应该公司员工的工资水平
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