人教新课标A版高中数学必修5 第一章解三角形 1.2应用举例 同步测试
一、单选题
1．在中，，其面积为，则c等于（ ）
A．5 B． C．4 D．3
2．若中，，则A=（ ）
A． B． C． D．
3．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c， 若， 若有两解，则m的范围是( )
A．（1，2） B．（2，3） C．（2，） D．（4，）
4．如图，一条河的两岸平行，河的宽度d=600m，一艘客船从码头A出发匀速驶往河对岸的码头B.已知|AB|=1km，水流速度为2km/h， 若客船行驶完航程所用最短时间为6分钟，则客船在静水中的速度大小为（ ）
A．8km/h B．km/h C．km/h D．10km/h
5．在△ABC中，若a=6，b=9，A=45°，则此三角形有（ ）
A．一解 B．两解
C．无解 D．解的个数不确定
6．（人教新课标A版必修5数学1.2应用举例同步检测）设甲、乙两楼相距 ，从乙楼底望甲楼顶的仰角为60°，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30°，则甲、乙两楼的高分别是（ ）
A． B．
C． D．
7．（人教新课标A版必修5数学1.2应用举例同步检测）在200米高的山顶上，测得山下一塔顶和塔底的俯角分别是30°、60°，则塔高为（ ）
A． 米 B． 米 C． 米 D． 米
8．（人教新课标A版必修5数学1.2应用举例同步检测）太湖中有一小岛，沿太湖有一条正南方向的公路，一辆汽车测得小岛在公路的南偏西15°的方向上，汽车行驶1 km后，又测得小岛在南偏西75°的方向上，则小岛离开公路的距离是（ ）km.
A． B． C． D．
9．（人教新课标A版必修5数学1.2应用举例同步检测）海中有一小岛 ，周围 海里有暗礁，军舰由西向东航行到 ，望见岛在北偏东75°，
航行8海里到 ，望见岛 在北偏东60°，若此舰不改变航向继续前进，有无触礁危险（ ）
A．有触礁危险 B．不会触礁
C．前两种情况都有可能发生 D．不能判断
10．（人教新课标A版必修5数学1.2应用举例同步检测）如图，在倾斜度一定的山坡上的一点A测得山顶上一建筑物顶端C对于山坡的倾斜度为15°，向山顶前进100 m后，又从点B测得倾斜度为45°，假设建筑物高 ，设山坡对于地平面的倾斜度为 ，则 ( ).
A． B． C． D．
11．（人教新课标A版必修5数学1.2应用举例同步检测）如图，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D.测得∠BCD＝15°，∠BDC＝30°，CD＝30米，并在点C测得塔顶A的仰角为60°，则塔高AB＝（ ）
A． B． C． D．
12．一艘轮船从O点正东100海里处的A点处出发，沿直线向O点正北100海里处的B点处航行．若距离O点不超过r海里的区域内都会受到台风的影响，设r是区间[50，100]内的一个随机数，则该轮船在航行途中会遭受台风影响的概率约为（ ）
A．20.7% B．29.3% C．58.6% D．41.4%
13．已知O、A、B三地在同一水平面内，A地在O地正东方向2km处，B地在O地正北方向2km处，某测绘队员在A、B之间的直线公路上任选一点C作为测绘点，用测绘仪进行测绘，O地为一磁场，距离其不超过km的范围内会测绘仪等电子仪器形成干扰，使测量结果不准确，则该测绘队员能够得到准确数据的概率是（ ）
A．1- B． C．1- D．
14．（2021高一下·韩城期末）如图所示，为了测量某湖泊两侧A，B间的距离，某同学首先选定了与A，B不共线的一点C，然后给出了四种测量方案：（△ABC的角A，B，C所对的边分别记为a，b，c）
①测量A，C，b．②测量a，b，C．③测量A，B，a．④测量a，b，B．
则一定能确定A，B间距离的所有方案的序号为（ ）
A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②③④
15．在△ABC中，∠B=，=（2，0），=（﹣sinA，cosA），则角A的大小是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
16．2022年冬奥会高山滑雪项目将在延庆小海坨山举行．小明想测量一下小海坨山的高度，他在延庆城区（海拔约500米）一块平地上仰望小海坨山顶，仰角15度，他向小海坨山方向直行3400米后，再仰望小海坨山顶，此时仰角30度，问小明测的小海坨山海拔约有 米．
17．如图所示，在△ABC中，AD是高线，CE是中线，DC=BE，DG⊥CE于G，EC的长为8，则EG=
18．如图所示，在海岛A上有一座海拔千米的山峰上，山顶上设有一座观察站P，一艘轮船沿一固定方向匀速航行，上午10：00时，测得此船在岛北偏东20°且俯角为30°的B处，到10：10时，又测得该船在岛北偏西40°且俯角为60°的C处，则该船的航行速度为 千米/时．
19．如图，在河的一侧有一塔CD=12m，河宽BC=3m，另一侧有点A，AB=4m，则点A与塔顶D的距离AD=
20．如图，树顶A离地面a米，树上另一点B离地面b米，某人站在地面观看A，B两点，眼睛C距离地面高度为c米，且a＞b＞c，要使视角∠ACB最大，则人脚离树根的距离应为
三、解答题
21．海上某货轮在A处看灯塔B在货轮的北偏东75°，距离为12海里；在A处看灯塔C在货轮的北偏西30°，距离为8海里；货轮向正北由A处行驶到D处时看灯塔B在货轮的北偏东120°．（要画图）
（1）A处与D处之间的距离；
（2）灯塔C与D处之间的距离．
22．如图，已知海岛A到海岸公路BC的距离AB=50km，B，C间的距离为100km，从A到C必须先坐船到BC上的某一点D，航速为25km/h，再乘汽车到C，车速为50km/h，记∠BDA=θ
（1）试将由A到C所用的时间t表示为θ的函数t（θ）；
（2）问θ为多少时，由A到C所用的时间t最少？
23．如图所示，在四边形ABCD中，∠D=2∠B，且AD=1，CD=3，cos∠B=
（1）求△ACD的面积；
（2）若BC=2，求AB的长．
四、综合题
24．（2016高二下·温州期中）如图所示，在四边形ABCD中，∠D=2∠B，且AD=1，CD=3，cos∠B=
（1）求△ACD的面积；
（2）若BC=2 ，求AB的长．
25．（2016高一下·蓟县期中）某货轮在A处看灯塔B在货轮北偏东75°，距离为 海里；在A处看灯塔C在货轮的北偏西30°，距离为 海里．货轮由A处向正北航行到D处时，再看灯塔B在北偏东120°，求：
（1）A处与D处之间的距离；
（2）灯塔C与D处之间的距离．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】三角形中的几何计算
【解析】【分析】由三角形的面积公式得选C。
【点评】直接代入公式求解即可，比较简单.
2．【答案】A
【知识点】解三角形
【解析】【解答】，
【分析】解三角形时常用正余弦定理实现边与角的互相转化，本题中用到了余弦定理的变形求角及正弦定理将角化为边.
3．【答案】C
【知识点】解三角形
【解析】【解答】根据三角形中的余弦定理可知
得到关于c的方程，则可知判别式大于等于零，即，得到参数m的范围是（2，)，选C.
【分析】解决该试题的关键是利用三角形有两解，得到关于余弦定理中方程有两个不等的实数根，进而得到结论。
4．【答案】B
【知识点】解三角形的实际应用
【解析】【解答】河宽0.6km， |AB|=1km，船航行的和速度为，和速度在垂直河岸的方向上的分速度为，沿河岸方向的分速度为，因为水速为2，所以穿在静水中的速度
【分析】正确理解本题中船的航行方向即速度方向是前提条件，然后将速度分解到河流方向与垂直河岸方向，因此就能得到静水中沿河流方向与垂直河流方向的分速度各为多少，从而求得静水中的航速，学生对本题的题意理解有一定困难。
5．【答案】C
【知识点】解三角形
【解析】【解答】解：∵在△ABC中，若a=6，b=9，A=45°，
∴bsinA=9×=6=a，
∴三角形无解．
故选：C
【分析】由题意比较bsinA和a的大小，可得三角形解得个数．
6．【答案】A
【知识点】三角形中的几何计算
【解析】解答：
根据题意得：
在
， ，
，
，故选A.
分析：根据题意构造出直角三角即可。
7．【答案】A
【知识点】三角形中的几何计算
【解析】解答： 如图，在 中， ，则
，又 由
，
得 （米）；
分析：本题考查正弦定理等解三角形的知识，在三角形中，已知两角和一边可求第三个角以及利用正弦定理求其它两边.
8．【答案】C
【知识点】三角形中的几何计算
【解析】解答：
如图
设 到直线 的距离为 ，
则 。
分析：本题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用，解决实际问题的关键是要把实际问题转化为数学问题，然后利用数学知识进行求解.
9．【答案】B
【知识点】三角形中的几何计算
【解析】解答：由B向AC的延长线作垂线，垂足为D，依题意可知∠BAC=15°， ∠BCD=30°，
，故可知无触礁危险，故选B.
分析：本题主要考查了应用举例
10．【答案】A
【知识点】解三角形的实际应用
【解析】【解答】在 △中，
由正弦定理得
在 中，
由正弦定理得 。
【分析】本题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用，解决实际问题的关键是要把实际问题转化为数学问题，然后利用数学知识进行求解.
11．【答案】A
【知识点】解三角形的实际应用
【解析】解答：由题意可知：在 中，
，则
由正弦定理可得： .
又在 中，
。
分析：本题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用，解决实际问题的关键是要把实际问题转化为数学问题，然后利用数学知识进行求解.
12．【答案】B
【知识点】解三角形的实际应用
【解析】【解答】解：AB==100．∴点O到直线AB的距离d==50．
∴轮船会遭受台风影响的概率P==1﹣≈29.3%．
故选：B．
【分析】当r大于O点到直线AB的距离时，轮船会受到台风影响．
13．【答案】A
【知识点】解三角形的实际应用
【解析】【解答】解：由题意，△AOB是直角三角形，OA=OB=2，所以AB=2，
O地为一磁场，距离其不超过km的范围为个圆，与AB相交于C，D两点，作OE⊥AB，则OE=，所以CD=2，所以该测绘队员能够得到准确数据的概率是1﹣=1﹣．
故选：A．
【分析】作出图形，以长度为测度，即可求出概率．
14．【答案】A
【知识点】解三角形的实际应用
【解析】【解答】解：对于①③可以利用正弦定理确定唯一的A，B两点间的距离．
对于②直接利用余弦定理即可确定A，B两点间的距离．
对于④测量a，b，B，，sinA=，b＜a，此时A不唯一
故选：A．
【分析】根据图形，可以知道a，b可以测得，角A、B、C也可测得，利用测量的数据，求解A，B两点间的距离唯一即可．
15．【答案】A
【知识点】三角形中的几何计算
【解析】【解答】解：在△ABC中，∠B=，=（2，0），=（﹣sinA，cosA），
如图：C（﹣sinA，cosA），可得sinA=cos，cosA=sin，
∴A=．
故选：A．
【分析】利用条件画出图形，列出关系式，求解即可．
16．【答案】2174
【知识点】解三角形的实际应用
【解析】【解答】解：设小海坨山高为PC，观测点分别为A，B，由题意知AB=3400m，A=15°，∠PBC=30°，
∴tan15°=，tan30°=，∴AC=，BC=，
∵AC﹣BC=AB=3400，∴PC×（-）=3400，
∴PC=3400×≈1674m．
∴小海坨山的海拔约为1674+500=2174m．
故答案为：2174．
【分析】作出图形，根据三角函数定义列式计算即可．
17．【答案】4
【知识点】三角形中的几何计算
【解析】【解答】解：连接DE，在Rt△ABD中，DE为斜边AB的中线，
所以．又DE=DC，DG⊥CE于G，
∴DG平分EC，故EG=4．
【分析】由Rt△ABD中，DE为斜边AB的中线，可得DE=DC，所以△CDE为等腰三角形．
18．【答案】6
【知识点】解三角形的实际应用
【解析】【解答】解：在Rt△PAB中，∠APB=30°，PA=，∴AB=1．
在Rt△PAC中，∠APC=60°，
∴AC=3．
在△ACB中，∠CAB=20°+40°=60°，
∴
则船的航行速度
故答案为：6．
【分析】在Rt△PAB、Rt△PAC中确定AB、AC的长，进而求得，∠CAB=20°+40°=60°，利用余弦定理求得BC，用里程除以时间即为船的速度．
19．【答案】13
【知识点】解三角形的实际应用
【解析】【解答】解：连结AC，在Rt△ABC中，AC=．
在Rt△ACD中，AD=
故答案为：13．
【分析】连结AC，利用勾股定理求出AC，再计算AD．
20．【答案】
【知识点】解三角形的实际应用
【解析】【解答】过点C作CD⊥AB，则AD=a﹣c，BD=b﹣c，设CD=x．
则tan∠ACD=，tanBCD=，
tan∠ACB=tan（∠ACD﹣∠BCD）=
=
当且仅当x=时，tan∠ACB取得最大值，即∠ACB最大．
故答案为：．
【分析】过点C作CD⊥AB，设CD=x，易求出tan∠ACB，即tan（∠ACD﹣∠BCD）的表达式，进而根据基本不等式，求出tan∠ACB的范围及tan∠ACB取最大值时x的值，进而得到答案．
21．【答案】解：（1）在△ABD中，∠ADB=60°，∴∠B=45°，
由正弦定理，得，
即AD==24（海里），
（2）在△ACD中，∵AC=8，∠CAD=30°，
∴由余弦定理得CD2=AD2+AC2﹣2AD ACcos∠CAD=242+（8）2﹣2×24×8cos30°=192，
解得：CD=8≈14（海里），
则灯塔C与D之间的距离约为14海里．
【知识点】解三角形的实际应用
【解析】【分析】（1）在三角形ABD中，利用正弦定理列出关系式，将各自的值代入求出AD的长，即可确定出货船的航行速度；
（2）在三角形ACD中，利用余弦定理列出关系式，将各自的值代入计算即可求出CD的长．
22．【答案】解：（1）在Rt△ABD中，AB=50km，∴BD=50cotθ，AD=，∴DC=100﹣BD=100﹣50cotθ．
∴t（θ）=+2﹣cotθ=+2（θ∈[arctan，））；
（2）t′（θ）=，
∴θ∈[0，）时，t′（θ）＜0；θ∈（，），t′（θ）＞0
∴当时，由A到C所用的时间t最少．
【知识点】解三角形的实际应用
【解析】【分析】（1）用θ表示出AD与BD，从而可以表示出DC，由路程除以速度得时间，建立起时间关于θ函数即可；
（2）对函数求导，研究出函数的单调性确定出时，由A到C所用的时间t最少．
23．【答案】解：（1）因为∠D=2∠B，cos∠B=，
所以cosD=cos2B=2cos2B﹣1=﹣
因为∠D∈（0，π），
所以sinD=．
因为 AD=1，CD=3，
所以△ACD的面积S==x1x3x=．
（2）在△ACD中，AC2=AD2+DC2﹣2AD DC cosD=12．
所以AC=2．
因为BC=2，，
所以=．
所以 AB=4．
【知识点】解三角形
【解析】【分析】（1）利用已知条件求出D角的正弦函数值，然后求△ACD的面积；
（2）利用余弦定理求出AC，通过BC=2，利用正弦定理求解AB的长．
24．【答案】（1）解：因为∠D=2∠B，cos∠B= ，
所以cosD=cos2B=2cos2B﹣1=﹣ ．
因为∠D∈（0，π），
所以sinD= ．
因为 AD=1，CD=3，
所以△ACD的面积S= = = ．
（2）解：在△ACD中，AC2=AD2+DC2﹣2AD DC cosD=12．
所以AC=2 ．
因为BC=2 ， ，
所以 = ．
所以 AB=4．
【知识点】解三角形
【解析】【分析】（1）利用已知条件求出D角的正弦函数值，然后求△ACD的面积；（2）利用余弦定理求出AC，通过BC=2 ，利用正弦定理求解AB的长．
25．【答案】（1）解：在△ABD中，由已知得∠ADB=60°，B=45°
由正弦定理得
（2）解：在△ADC中，由余弦定理得CD2=AD2+AC2﹣2AD ACcos30°，解得CD= ．
所以A处与D处之间的距离为24海里，灯塔C与D处之间的距离为 海里.
【知识点】解三角形的实际应用
【解析】【分析】（1）利用已知条件，利用正弦定理求得AD的长．（2）在△ADC中由余弦定理可求得CD，答案可得．
1 / 1人教新课标A版高中数学必修5 第一章解三角形 1.2应用举例 同步测试
一、单选题
1．在中，，其面积为，则c等于（ ）
A．5 B． C．4 D．3
【答案】C
【知识点】三角形中的几何计算
【解析】【分析】由三角形的面积公式得选C。
【点评】直接代入公式求解即可，比较简单.
2．若中，，则A=（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】解三角形
【解析】【解答】，
【分析】解三角形时常用正余弦定理实现边与角的互相转化，本题中用到了余弦定理的变形求角及正弦定理将角化为边.
3．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c， 若， 若有两解，则m的范围是( )
A．（1，2） B．（2，3） C．（2，） D．（4，）
【答案】C
【知识点】解三角形
【解析】【解答】根据三角形中的余弦定理可知
得到关于c的方程，则可知判别式大于等于零，即，得到参数m的范围是（2，)，选C.
【分析】解决该试题的关键是利用三角形有两解，得到关于余弦定理中方程有两个不等的实数根，进而得到结论。
4．如图，一条河的两岸平行，河的宽度d=600m，一艘客船从码头A出发匀速驶往河对岸的码头B.已知|AB|=1km，水流速度为2km/h， 若客船行驶完航程所用最短时间为6分钟，则客船在静水中的速度大小为（ ）
A．8km/h B．km/h C．km/h D．10km/h
【答案】B
【知识点】解三角形的实际应用
【解析】【解答】河宽0.6km， |AB|=1km，船航行的和速度为，和速度在垂直河岸的方向上的分速度为，沿河岸方向的分速度为，因为水速为2，所以穿在静水中的速度
【分析】正确理解本题中船的航行方向即速度方向是前提条件，然后将速度分解到河流方向与垂直河岸方向，因此就能得到静水中沿河流方向与垂直河流方向的分速度各为多少，从而求得静水中的航速，学生对本题的题意理解有一定困难。
5．在△ABC中，若a=6，b=9，A=45°，则此三角形有（ ）
A．一解 B．两解
C．无解 D．解的个数不确定
【答案】C
【知识点】解三角形
【解析】【解答】解：∵在△ABC中，若a=6，b=9，A=45°，
∴bsinA=9×=6=a，
∴三角形无解．
故选：C
【分析】由题意比较bsinA和a的大小，可得三角形解得个数．
6．（人教新课标A版必修5数学1.2应用举例同步检测）设甲、乙两楼相距 ，从乙楼底望甲楼顶的仰角为60°，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30°，则甲、乙两楼的高分别是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】三角形中的几何计算
【解析】解答：
根据题意得：
在
， ，
，
，故选A.
分析：根据题意构造出直角三角即可。
7．（人教新课标A版必修5数学1.2应用举例同步检测）在200米高的山顶上，测得山下一塔顶和塔底的俯角分别是30°、60°，则塔高为（ ）
A． 米 B． 米 C． 米 D． 米
【答案】A
【知识点】三角形中的几何计算
【解析】解答： 如图，在 中， ，则
，又 由
，
得 （米）；
分析：本题考查正弦定理等解三角形的知识，在三角形中，已知两角和一边可求第三个角以及利用正弦定理求其它两边.
8．（人教新课标A版必修5数学1.2应用举例同步检测）太湖中有一小岛，沿太湖有一条正南方向的公路，一辆汽车测得小岛在公路的南偏西15°的方向上，汽车行驶1 km后，又测得小岛在南偏西75°的方向上，则小岛离开公路的距离是（ ）km.
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】三角形中的几何计算
【解析】解答：
如图
设 到直线 的距离为 ，
则 。
分析：本题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用，解决实际问题的关键是要把实际问题转化为数学问题，然后利用数学知识进行求解.
9．（人教新课标A版必修5数学1.2应用举例同步检测）海中有一小岛 ，周围 海里有暗礁，军舰由西向东航行到 ，望见岛在北偏东75°，
航行8海里到 ，望见岛 在北偏东60°，若此舰不改变航向继续前进，有无触礁危险（ ）
A．有触礁危险 B．不会触礁
C．前两种情况都有可能发生 D．不能判断
【答案】B
【知识点】三角形中的几何计算
【解析】解答：由B向AC的延长线作垂线，垂足为D，依题意可知∠BAC=15°， ∠BCD=30°，
，故可知无触礁危险，故选B.
分析：本题主要考查了应用举例
10．（人教新课标A版必修5数学1.2应用举例同步检测）如图，在倾斜度一定的山坡上的一点A测得山顶上一建筑物顶端C对于山坡的倾斜度为15°，向山顶前进100 m后，又从点B测得倾斜度为45°，假设建筑物高 ，设山坡对于地平面的倾斜度为 ，则 ( ).
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】解三角形的实际应用
【解析】【解答】在 △中，
由正弦定理得
在 中，
由正弦定理得 。
【分析】本题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用，解决实际问题的关键是要把实际问题转化为数学问题，然后利用数学知识进行求解.
11．（人教新课标A版必修5数学1.2应用举例同步检测）如图，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D.测得∠BCD＝15°，∠BDC＝30°，CD＝30米，并在点C测得塔顶A的仰角为60°，则塔高AB＝（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】解三角形的实际应用
【解析】解答：由题意可知：在 中，
，则
由正弦定理可得： .
又在 中，
。
分析：本题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用，解决实际问题的关键是要把实际问题转化为数学问题，然后利用数学知识进行求解.
12．一艘轮船从O点正东100海里处的A点处出发，沿直线向O点正北100海里处的B点处航行．若距离O点不超过r海里的区域内都会受到台风的影响，设r是区间[50，100]内的一个随机数，则该轮船在航行途中会遭受台风影响的概率约为（ ）
A．20.7% B．29.3% C．58.6% D．41.4%
【答案】B
【知识点】解三角形的实际应用
【解析】【解答】解：AB==100．∴点O到直线AB的距离d==50．
∴轮船会遭受台风影响的概率P==1﹣≈29.3%．
故选：B．
【分析】当r大于O点到直线AB的距离时，轮船会受到台风影响．
13．已知O、A、B三地在同一水平面内，A地在O地正东方向2km处，B地在O地正北方向2km处，某测绘队员在A、B之间的直线公路上任选一点C作为测绘点，用测绘仪进行测绘，O地为一磁场，距离其不超过km的范围内会测绘仪等电子仪器形成干扰，使测量结果不准确，则该测绘队员能够得到准确数据的概率是（ ）
A．1- B． C．1- D．
【答案】A
【知识点】解三角形的实际应用
【解析】【解答】解：由题意，△AOB是直角三角形，OA=OB=2，所以AB=2，
O地为一磁场，距离其不超过km的范围为个圆，与AB相交于C，D两点，作OE⊥AB，则OE=，所以CD=2，所以该测绘队员能够得到准确数据的概率是1﹣=1﹣．
故选：A．
【分析】作出图形，以长度为测度，即可求出概率．
14．（2021高一下·韩城期末）如图所示，为了测量某湖泊两侧A，B间的距离，某同学首先选定了与A，B不共线的一点C，然后给出了四种测量方案：（△ABC的角A，B，C所对的边分别记为a，b，c）
①测量A，C，b．②测量a，b，C．③测量A，B，a．④测量a，b，B．
则一定能确定A，B间距离的所有方案的序号为（ ）
A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②③④
【答案】A
【知识点】解三角形的实际应用
【解析】【解答】解：对于①③可以利用正弦定理确定唯一的A，B两点间的距离．
对于②直接利用余弦定理即可确定A，B两点间的距离．
对于④测量a，b，B，，sinA=，b＜a，此时A不唯一
故选：A．
【分析】根据图形，可以知道a，b可以测得，角A、B、C也可测得，利用测量的数据，求解A，B两点间的距离唯一即可．
15．在△ABC中，∠B=，=（2，0），=（﹣sinA，cosA），则角A的大小是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】三角形中的几何计算
【解析】【解答】解：在△ABC中，∠B=，=（2，0），=（﹣sinA，cosA），
如图：C（﹣sinA，cosA），可得sinA=cos，cosA=sin，
∴A=．
故选：A．
【分析】利用条件画出图形，列出关系式，求解即可．
二、填空题
16．2022年冬奥会高山滑雪项目将在延庆小海坨山举行．小明想测量一下小海坨山的高度，他在延庆城区（海拔约500米）一块平地上仰望小海坨山顶，仰角15度，他向小海坨山方向直行3400米后，再仰望小海坨山顶，此时仰角30度，问小明测的小海坨山海拔约有 米．
【答案】2174
【知识点】解三角形的实际应用
【解析】【解答】解：设小海坨山高为PC，观测点分别为A，B，由题意知AB=3400m，A=15°，∠PBC=30°，
∴tan15°=，tan30°=，∴AC=，BC=，
∵AC﹣BC=AB=3400，∴PC×（-）=3400，
∴PC=3400×≈1674m．
∴小海坨山的海拔约为1674+500=2174m．
故答案为：2174．
【分析】作出图形，根据三角函数定义列式计算即可．
17．如图所示，在△ABC中，AD是高线，CE是中线，DC=BE，DG⊥CE于G，EC的长为8，则EG=
【答案】4
【知识点】三角形中的几何计算
【解析】【解答】解：连接DE，在Rt△ABD中，DE为斜边AB的中线，
所以．又DE=DC，DG⊥CE于G，
∴DG平分EC，故EG=4．
【分析】由Rt△ABD中，DE为斜边AB的中线，可得DE=DC，所以△CDE为等腰三角形．
18．如图所示，在海岛A上有一座海拔千米的山峰上，山顶上设有一座观察站P，一艘轮船沿一固定方向匀速航行，上午10：00时，测得此船在岛北偏东20°且俯角为30°的B处，到10：10时，又测得该船在岛北偏西40°且俯角为60°的C处，则该船的航行速度为 千米/时．
【答案】6
【知识点】解三角形的实际应用
【解析】【解答】解：在Rt△PAB中，∠APB=30°，PA=，∴AB=1．
在Rt△PAC中，∠APC=60°，
∴AC=3．
在△ACB中，∠CAB=20°+40°=60°，
∴
则船的航行速度
故答案为：6．
【分析】在Rt△PAB、Rt△PAC中确定AB、AC的长，进而求得，∠CAB=20°+40°=60°，利用余弦定理求得BC，用里程除以时间即为船的速度．
19．如图，在河的一侧有一塔CD=12m，河宽BC=3m，另一侧有点A，AB=4m，则点A与塔顶D的距离AD=
【答案】13
【知识点】解三角形的实际应用
【解析】【解答】解：连结AC，在Rt△ABC中，AC=．
在Rt△ACD中，AD=
故答案为：13．
【分析】连结AC，利用勾股定理求出AC，再计算AD．
20．如图，树顶A离地面a米，树上另一点B离地面b米，某人站在地面观看A，B两点，眼睛C距离地面高度为c米，且a＞b＞c，要使视角∠ACB最大，则人脚离树根的距离应为
【答案】
【知识点】解三角形的实际应用
【解析】【解答】过点C作CD⊥AB，则AD=a﹣c，BD=b﹣c，设CD=x．
则tan∠ACD=，tanBCD=，
tan∠ACB=tan（∠ACD﹣∠BCD）=
=
当且仅当x=时，tan∠ACB取得最大值，即∠ACB最大．
故答案为：．
【分析】过点C作CD⊥AB，设CD=x，易求出tan∠ACB，即tan（∠ACD﹣∠BCD）的表达式，进而根据基本不等式，求出tan∠ACB的范围及tan∠ACB取最大值时x的值，进而得到答案．
三、解答题
21．海上某货轮在A处看灯塔B在货轮的北偏东75°，距离为12海里；在A处看灯塔C在货轮的北偏西30°，距离为8海里；货轮向正北由A处行驶到D处时看灯塔B在货轮的北偏东120°．（要画图）
（1）A处与D处之间的距离；
（2）灯塔C与D处之间的距离．
【答案】解：（1）在△ABD中，∠ADB=60°，∴∠B=45°，
由正弦定理，得，
即AD==24（海里），
（2）在△ACD中，∵AC=8，∠CAD=30°，
∴由余弦定理得CD2=AD2+AC2﹣2AD ACcos∠CAD=242+（8）2﹣2×24×8cos30°=192，
解得：CD=8≈14（海里），
则灯塔C与D之间的距离约为14海里．
【知识点】解三角形的实际应用
【解析】【分析】（1）在三角形ABD中，利用正弦定理列出关系式，将各自的值代入求出AD的长，即可确定出货船的航行速度；
（2）在三角形ACD中，利用余弦定理列出关系式，将各自的值代入计算即可求出CD的长．
22．如图，已知海岛A到海岸公路BC的距离AB=50km，B，C间的距离为100km，从A到C必须先坐船到BC上的某一点D，航速为25km/h，再乘汽车到C，车速为50km/h，记∠BDA=θ
（1）试将由A到C所用的时间t表示为θ的函数t（θ）；
（2）问θ为多少时，由A到C所用的时间t最少？
【答案】解：（1）在Rt△ABD中，AB=50km，∴BD=50cotθ，AD=，∴DC=100﹣BD=100﹣50cotθ．
∴t（θ）=+2﹣cotθ=+2（θ∈[arctan，））；
（2）t′（θ）=，
∴θ∈[0，）时，t′（θ）＜0；θ∈（，），t′（θ）＞0
∴当时，由A到C所用的时间t最少．
【知识点】解三角形的实际应用
【解析】【分析】（1）用θ表示出AD与BD，从而可以表示出DC，由路程除以速度得时间，建立起时间关于θ函数即可；
（2）对函数求导，研究出函数的单调性确定出时，由A到C所用的时间t最少．
23．如图所示，在四边形ABCD中，∠D=2∠B，且AD=1，CD=3，cos∠B=
（1）求△ACD的面积；
（2）若BC=2，求AB的长．
【答案】解：（1）因为∠D=2∠B，cos∠B=，
所以cosD=cos2B=2cos2B﹣1=﹣
因为∠D∈（0，π），
所以sinD=．
因为 AD=1，CD=3，
所以△ACD的面积S==x1x3x=．
（2）在△ACD中，AC2=AD2+DC2﹣2AD DC cosD=12．
所以AC=2．
因为BC=2，，
所以=．
所以 AB=4．
【知识点】解三角形
【解析】【分析】（1）利用已知条件求出D角的正弦函数值，然后求△ACD的面积；
（2）利用余弦定理求出AC，通过BC=2，利用正弦定理求解AB的长．
四、综合题
24．（2016高二下·温州期中）如图所示，在四边形ABCD中，∠D=2∠B，且AD=1，CD=3，cos∠B=
（1）求△ACD的面积；
（2）若BC=2 ，求AB的长．
【答案】（1）解：因为∠D=2∠B，cos∠B= ，
所以cosD=cos2B=2cos2B﹣1=﹣ ．
因为∠D∈（0，π），
所以sinD= ．
因为 AD=1，CD=3，
所以△ACD的面积S= = = ．
（2）解：在△ACD中，AC2=AD2+DC2﹣2AD DC cosD=12．
所以AC=2 ．
因为BC=2 ， ，
所以 = ．
所以 AB=4．
【知识点】解三角形
【解析】【分析】（1）利用已知条件求出D角的正弦函数值，然后求△ACD的面积；（2）利用余弦定理求出AC，通过BC=2 ，利用正弦定理求解AB的长．
25．（2016高一下·蓟县期中）某货轮在A处看灯塔B在货轮北偏东75°，距离为 海里；在A处看灯塔C在货轮的北偏西30°，距离为 海里．货轮由A处向正北航行到D处时，再看灯塔B在北偏东120°，求：
（1）A处与D处之间的距离；
（2）灯塔C与D处之间的距离．
【答案】（1）解：在△ABD中，由已知得∠ADB=60°，B=45°
由正弦定理得
（2）解：在△ADC中，由余弦定理得CD2=AD2+AC2﹣2AD ACcos30°，解得CD= ．
所以A处与D处之间的距离为24海里，灯塔C与D处之间的距离为 海里.
【知识点】解三角形的实际应用
【解析】【分析】（1）利用已知条件，利用正弦定理求得AD的长．（2）在△ADC中由余弦定理可求得CD，答案可得．
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