人教新课标A版 高中数学 必修2 第二章点、直线、平面之间的位置关系 2.3直线、平面垂直的判定及其性质 同步测试
一、单选题
1．（2017高一下·安庆期末）若平面α⊥平面β，平面β⊥平面γ，则（ ）
A．α∥γ B．α⊥γ
C．α与γ相交但不垂直 D．以上都有可能
【答案】D
【知识点】平面与平面垂直的性质
【解析】【解答】解：α⊥β，β⊥γ，则：α∥γ，α⊥λ，α与γ相交但不垂直，这三种情况都有可能，如下面图形所示：
（1）α∥γ：
（2）α⊥γ：
（3）α与γ相交但不垂直：
故选D．
【分析】根据已知条件，可以想象α，γ的关系，容易得到A，B，C三种情况都有，所以选D．
2．平面α，β及直线l满足：α⊥β，l∥α，则一定有（ ）
A．l∥β B．l β
C．l与β相交 D．以上三种情况都有可能
【答案】D
【知识点】平面与平面垂直的性质
【解析】【解答】∵平面α，β及直线l满足：α⊥β，l∥α，∴l∥β，l β，l与β相交都有可能，故选D．
【分析】利用条件，直接可以得出结论．
3．（2015高一上·衡阳期末）若a，b，c表示直线，α表示平面，下列条件中，能使a⊥α的是（ ）
A．a⊥b，a⊥c，b α，c α，b∩c=A
B．a⊥b，b∥α
C．a∩b=A，b α，a⊥b
D．α∥b，b⊥a
【答案】A
【知识点】直线与平面垂直的判定
【解析】【解答】解：a⊥b，a⊥c，b α，c α，b∩c=A，满足定理的条件，所以A正确；a⊥b，b∥α，a⊥α是不一定，所以不正确；a∩b=A，b α，a⊥b及α∥b，b⊥a都不正确
故选A
【分析】按照直线与平面垂直的判断定理，直线垂直平面内的两条相交直线，直线垂直平面，考查四个选项即可得到正确结果．
4．已知PD⊥矩形ABCD所在的平面，图中相互垂直的平面有（ ）
A．2对 B．3对 C．4对 D．5对
【答案】D
【知识点】平面与平面垂直的判定
【解析】【解答】解：∵PD⊥矩形ABCD所在的平面且PD 面PDA，PD 面PDC，
∴面PDA⊥面ABCD，面PDC⊥面ABCD，
又∵四边形ABCD为矩形
∴BC⊥CD，CD⊥AD
∵PD⊥矩形ABCD所在的平面
∴PD⊥BC，PD⊥CD
∵PD∩AD=D，PD∩CD=D
∴CD⊥面PAD，BC⊥面PDC，AB⊥面PAD，
∵CD 面PDC，BC 面PBC，AB 面PAB，
∴面PDC⊥面PAD，面PBC⊥面PCD，面PAB⊥面PAD
综上相互垂直的平面有5对
故答案选D
【分析】直接利用面面垂直的判定定理判断即利用题目中的条件找出线面垂直即可．
5．ABCD为正方形，P为平面ABCD外一点，且PA⊥平面ABCD，则平面PAB与平面PBC，平面PAB与平面PAD的位置关系是（ ）
A．平面PAB与平面PAD，PBC垂直
B．它们都分别相交且互相垂直
C．平面PAB与平面PAD垂直，与平面PBC相交但不垂直
D．平面PAB与平面PBC垂直，与平面PAD相交但不垂直
【答案】A
【知识点】平面与平面垂直的判定
【解析】解答：由于BC⊥AB，由PA垂直于正方形ABCD所在平面，所以BC⊥PA，
易证BC⊥平面PAB，则平面PAB⊥平面PBC；又AD∥BC，故AD⊥平面PAB，
则平面PAD⊥平面PAB．
故选A．
分析：由于PA垂直于正方形ABCD所在平面，所以PA所在的平面与底面垂直，又ABCD为正方形，故又存在一些线线垂直关系，从而可以得到线面垂直，进而可以判定面面垂直．
6．在四边形ABCD中，AD∥BC，AD=AB，，，将沿BD折起，使平面平面，构成三棱锥，则在三棱锥中，下列命题正确的是（ ）
A．平面平面ABC B．平面平面BCD
C．平面平面BCD D．平面平面ABC
【答案】D
【知识点】平面与平面垂直的性质
【解析】【解答】∵在四边形ABCD中，AD∥BC，AD=AB，∠BCD=45°，∠BAD=90°，∴BD⊥CD.
又平面ABD⊥平面BCD，且平面ABD∩平面BCD=BD.
故CD⊥平面ABD，则CD⊥AB，又AD⊥AB，
故AB⊥平面ADC，所以平面ABC⊥平面ADC．
故选D．
【分析】中档题，对于折叠问题，要特别注意“变”与“不变”的几何元素，及几何元素之间的关系。
7．下列命题中错误的是（ ）
A．如果α⊥β，那么α内一定存在直线平行于平面β
B．如果α⊥β，那么α内所有直线都垂直于平面β
C．如果平面α不垂直平面β，那么α内一定不存在直线垂直于平面β
D．如果α⊥γ，β⊥γ，α∩β=l，那么l⊥γ
【答案】B
【知识点】平面与平面垂直的性质
【解析】【解答】如果α⊥β，则α内与两平面的交线平行的直线都平行于面β，故可推断出A命题正确．
B选项中α内与两平面的交线平行的直线都平行于面β，故B命题错误．
C根据平面与平面垂直的判定定理可知C命题正确．
D根据两个平面垂直的性质推断出D命题正确．
故选B
【分析】如果α⊥β，则α内与两平面的交线平行的直线都平行于面β，进而可推断出A命题正确；α内与两平面的交线平行的直线都平行于面β，故可判断出B命题错误；根据平面与平面垂直的判定定理可知C命题正确；根据两个平面垂直的性质推断出D命题正确．
8．如图所示，AB⊥平面BCD，∠BCD=90°则图中互相垂直的平面有（ ）
A．3对 B．2对 C．1对 D．4对
【答案】A
【知识点】直线与平面垂直的性质
【解析】【解答】由AB⊥平面BCD，又AB 平面ABC、平面ABD，
所以平面ABC⊥平面BCD，平面ABD⊥平面BCD；
由AB⊥平面BCD可得：CD⊥AB，又CD⊥BC，所以CD⊥平面ABC，
又CD 平面ACD，故平面ABC⊥平面ACD．
故选A．
【分析】根据面面垂直的判定定理，条件AB⊥平面BCD，BC⊥CD，只需考虑AB所在平面与平面BCD之间的关系即可；由BC⊥CD，考虑BC、CD所在平面的垂直关系即可．
9．在三棱锥A﹣BCD中，若AD⊥BC，BD⊥AD，△BCD是锐角三角形，那么必有（ ）
A．平面ABD⊥平面ADC B．平面ABD⊥平面ABC
C．平面ADC⊥平面BCD D．平面ABC⊥平面BCD
【答案】C
【知识点】平面与平面垂直的判定
【解析】【解答】证明：由AD⊥BC，BD⊥AD AD⊥平面BCD，AD 平面ADC，
∴平面ADC⊥平面BCD．
故选C．
【分析】如图：由已知：AD⊥BC，AD⊥BD，可以得到 AD与底面BCD垂直，再去寻找AD所在的平面即可．
10．PA垂直于正方形ABCD所在平面，连接PB，PC，PD，AC，BD，则下列垂直关系正确的是（ ）
①面PAB⊥面PBC
②面PAB⊥面PAD
③面PAB⊥面PCD
④面PAB⊥面PAC．
A．①② B．①③ C．②③ D．②④
【答案】A
【知识点】平面与平面垂直的判定
【解析】【解答】证明：由于BC⊥AB，由PA垂直于正方形ABCD所在平面，所以BC⊥PA，
易证BC⊥平面PAB，则平面PAB⊥平面PBC；又AD∥BC，故AD⊥平面PAB，
则平面PAD⊥平面PAB．
故选A．
【分析】由于PA垂直于正方形ABCD所在平面，所以PA所在的平面与底面垂直，
又ABCD为正方形，故又存在一些线线垂直关系，从而可以得到线面垂直，
进而可以判定面面垂直．
11．已知M是正四面体ABCD棱AB的中点，N是棱CD上异于端点C，D的任一点，则下列结论中，正确的个数有（ ）
（1）MN⊥AB；
（2）若N为中点，则MN与AD所成角为60°；
（3）平面CDM⊥平面ABN；
（4）不存在点N，使得过MN的平面与AC垂直．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【知识点】平面与平面垂直的判定
【解析】【解答】解：（1）连结MC，MD，由三角形三线合一可得AB⊥CM，AB⊥DM，∴AB⊥平面MCD，
∵MN 平面MCD，∴AB⊥MN，故（1）正确；
（2）取BD中点E，连结ME，NE，则∠NME为MN与AD所成角，
连结BN，由（1）知BM⊥MN，设正四面体棱长为1，则BM=，BN=，∴MN=，
ME=NE=，∴cos∠NME==，∴∠NME=45°，故（2）不正确；
（3）由（1）知AB⊥平面CDM，∵AB 平面ABN，∴平面CDM⊥平面ABN，故（3）正确；
（4）取BC早点F，连结MF，DF，假设存在点N，使得过MN的平面与AC垂直，
∴AC⊥MN，∵MF∥AC，∴MF⊥MN，
∵DF=DM=，∴∠FMD＜90°，同理，∠CMF＜90°．
当N从D向C移动时，∠FMN先减小，后增大，故∠FMN＜90°，与MF⊥MN矛盾．
∴不存在点N，使得过MN的平面与AC垂直，故（4）正确．
故选：C．
【分析】结合图形，逐项分析，得出正确的选项．
12．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，∠DAB=60°．侧面PAD为正三角形，且平面PAD⊥平面ABCD，则下列说法错误的是（ ）
A．在棱AD上存在点M，使AD⊥平面PMB
B．异面直线AD与PB所成的角为90°
C．二面角P﹣BC﹣A的大小为45°
D．BD⊥平面PAC
【答案】D
【知识点】平面与平面垂直的性质
【解析】【解答】解：对于A，取AD的中点M，连PM，BM，则∵侧面PAD为正三角形，
∴PM⊥AD，
又底面ABCD是∠DAB=60°的菱形，
∴三角形ABD是等边三角形，
∴AD⊥BM，
∴AD⊥平面PBM，故A正确，
对于B，∵AD⊥平面PBM，
∴AD⊥PB，即异面直线AD与PB所成的角为90°，故B正确，
对于C，∵底面ABCD为菱形，∠DAB=60°平面PAD⊥平面ABCD，
∴BM⊥BC，则∠PBM是二面角P﹣BC﹣A的平面角，
设AB=1，则BM=，PM=，
在直角三角形PBM中，tan∠PBM=，
即∠PBM=45°，故二面角P﹣BC﹣A的大小为45°，故C正确，
故错误的是D，
故选：D．
【分析】根据线面垂直，异面直线所成角的大小以及二面角的求解方法分别进行判断即可．
13．（2016高二上·黑龙江期中）如图所示，点P在正方形ABCD所在平面外，PA⊥平面ABCD，PA=AB，则PB与AC所成的角是（ ）
A．90° B．60° C．45° D．30°
【答案】B
【知识点】异面直线及其所成的角；直线与平面垂直的判定
【解析】【解答】解：将其还原成正方体ABCD﹣PQRS，连接SC，AS，则PB∥SC，
∴∠ACS（或其补角）是PB与AC所成的角
∵△ACS为正三角形，
∴∠ACS=60°
∴PB与AC所成的角是60°
故选B．
【分析】将其还原成正方体ABCD﹣PQRS，连接SC，AS，可得∠ASC（或其补角）即为所求角．
14．如图，已知四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD且PD=AD，则下列命题中错误的是（ ）
A．过BD且与PC平行的平面交PA于M点，则M为PA的中点
B．过AC且与PB垂直的平面交PB于N点，则N为PB的中点
C．过AD且与PC垂直的平面交PC于H点，则H为PC的中点
D．过P、B、C的平面与平面PAD的交线为直线l，则l∥AD
【答案】B
【知识点】直线与平面垂直的性质
【解析】【解答】解：设AC∩BD=O，∵ABCD是正方形，∴O是AC中点，
∵过BD且与PC平行的平面交PA于M点，∴OM∥PC，
∴M是PA中点，故A正确；
设N为PB的中点，连结AN，
∵PA与AB不一定相等，∴AN与PB不一定垂直，
∴过AC且与PB垂直的平面交PB于N点，则N不一定是PB中点，故B错误；
∵四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD且PD=AD，
∴PA=AC，PD=DC，
∴过AD且与PC垂直的平面宛PC于H点，则H为PC的中点，故C正确；
∵AD∥BC，平面PAD与平面PCB有公共点P，
∴l∥AD∥BC，故D正确．
故选：B．
【分析】设AC∩BD=O，由ABCD是正方形，得O是AC中点，从而OM∥PC，由此得到M是PA中点；设N为PB的中点，连结AN，则AN与PB不一定垂直，从而得到N不一定是PB中点；由已知得PA=AC，PD=DC，从而H为PC的中点；由AD∥BC，得到l∥AD∥BC．
15．已知m和n是两条不同的直线，α和β是两个不重合的平面，那么下面给出的条件中一定能推出m⊥β的是（ ）
A．α⊥β，且m α B．m∥n，且n⊥β
C．α⊥β，且m∥α D．m⊥n，且n∥β
【答案】B
【知识点】直线与平面垂直的判定
【解析】【解答】解：α⊥β，且m α m β，或m∥β，或m与β相交，故A不成立；
m∥n，且n⊥β m⊥β，故B成立；
α⊥β，且m∥α m β，或m∥β，或m与β相交，故C不成立；
由m⊥n，且n∥β，知m⊥β不成立，故D不正确．
故选B．
【分析】根据A，B，C，D所给的条件，分别进行判断，能够得到正确结果．
二、填空题
16．把Rt△ABC沿斜边上的高CD折起使平面ADC⊥平面BDC，如图所示，互相垂直的平面有 对．
【答案】3
【知识点】平面与平面垂直的判定
【解析】【解答】解：∵由已知，CD⊥AB
∴平面ADC⊥平面ABD，平面ADB⊥平面BDC，
由∵ADC⊥平面BDC，
∴综上可知，互相垂直的平面有3对．
故答案为：3．
【分析】由CD⊥AB可证明平面ADC⊥平面ABD，平面ADB⊥平面BDC，从而可求得互相垂直的平面有3对．
17．已知矩形ABCD的边AB=a，BC=3，PA⊥平面ABCD，若BC边上有且只有一点M，使PM⊥DM，则a的值为
【答案】1.5
【知识点】直线与平面垂直的判定
【解析】【解答】解：∵PA⊥平面ABCD，
∴PA⊥DM，
若BC边上存在点M，使PM⊥MD，
则DM⊥面PAM，
即DM⊥AM，
∴以AD为直径的圆和BC相交即可．
∵AD=BC=3，
∴圆的半径为3，
要使线段BC和半径为3的圆相切，
则AB=1.5，
即a=1.5，
∴a的值是1.5．
故答案为：1.5．
【分析】连结AM，根据条件，要使PM⊥MD，则DM⊥面PAM，即DM⊥AM即可．然后利用圆的性质，只要保证以AB为直径的圆和BC相切即可．
18．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，PA⊥面ABC，AB=AC，D是BC的中点，则图中直角三角形的个数是
【答案】8
【知识点】直线与平面垂直的判定
【解析】【解答】解：在Rt△ABC中，∠BAC=90°，
PA⊥平面ABC，
∴AB⊥PA，PA⊥DA，PA⊥AC，
∵AB=AC，D是BC的中点，
∴AD⊥BC，
∴BP=CP，可得PD⊥BC，
∴图中直角三角形有△PAC，△PAB，△PAD，△ABC．△ABD，△ADC，△BPD，△DPC，8个．
故答案为：8．
【分析】由∠BAC=90°，PA⊥平面ABC，能推导出AB⊥PA，PA⊥DA，PA⊥AC，由AB=AC，D是BC的中点，可得AD⊥BC，PD⊥BC，由此能求出四面体P﹣ABC中有多少个直角三角形．
19．ABCD是矩形，AB=4，AD=3，沿AC将△ADC折起到△AD′C，使平面AD′C⊥平面△ABC，F是AD′的中点，E是AC上的一点，给出下列结论：
①存在点E，使得EF∥平面BCD′；
②存在点E，使得EF⊥平面ABD′；
③存在点E，使得D′E⊥平面ABC；
④存在点E，使得AC⊥平面BD′E．
其中正确结论的序号是 ．（写出所有正确结论的序号）
【答案】①③
【知识点】平面与平面垂直的性质
【解析】【解答】解：①存在AC中点E，则EF∥CD′，利用线面平行的判定定理可得EF∥平面BCD′，正确；
②若EF⊥平面ABD′，则平面ADC⊥平面ABD′，显然不成立，故不正确；
③D′E⊥AC，利用面面垂直的性质，可得D′E⊥平面ABC，正确；
④因为ABCD是矩形，AB=4，AD=3，所以B，D′在AC上的射影不是同一点，所以不存在点E，使得AC⊥平面BD′E，故不正确；
故答案为：①③．
【分析】①存在AC中点E，则EF∥CD′，利用线面平行的判定定理可得EF∥平面BCD′；
②若EF⊥平面ABD′，则平面ADC⊥平面ABD′，显然不成立；
③D′E⊥AC，利用面面垂直的性质，可得D′E⊥平面ABC；
④因为ABCD是矩形，AB=4，AD=3，所以B，D′在AC上的射影不是同一点，所以不存在点E，使得AC⊥平面BD′E．
20．如图所示，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是边长为a的正方形，侧棱PA=a，PB=PD=a，则它的5个面中，互相垂直的面有 对．
【答案】5
【知识点】平面与平面垂直的判定
【解析】【解答】解：底面ABCD是边长为a的正方形，侧棱PA=a，PB=PD=a，可得PA⊥底面ABCD
PA 平面PAB，PA 平面PAD，可得：面PAB⊥面ABCD，面PAD⊥面ABCD，AB⊥面PAD，
可得：面PAB⊥面PAD，
BC⊥面PAB，可得：面PAB⊥面PBC，
CD⊥面PAD，可得：面PAD⊥面PCD；
故答案为：5
【分析】先找出直线平面的垂线，然后一一列举出互相垂直的平面即可．
三、解答题
21．三棱锥S﹣ABC中，SA⊥AB，SA⊥AC，AC⊥BC且AC=2，BC=，SB=．
（1）证明：SC⊥BC；
（2）求三棱锥的体积VS﹣ABC．
【答案】解：（1）∵SA⊥AB SA⊥AC AB∩AC=A
∴SA⊥平面ABC，∴AC为SC在平面ABC内的射影，
又∵BC⊥AC，由三垂线定理得：SC⊥BC
（2）在△ABC中，AC⊥BC，AC=2，BC=，∴AB==，
∵SA⊥AB，∴△SAB为Rt△，SB=，∴SA==2，
∵SA⊥平面ABC，∴SA为棱锥的高，
∴VS﹣ABC=××AC×BC×SA=×2××2=．
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的性质
【解析】【分析】（1）因为SA⊥面ABC，AC为SC在面ABC内的射影，由三垂线定理可直接得证．
（2）由题意可直接找出侧面SBC与底面ABC所成二面角的平面角是∠SCA，在直角三角形中求解即可．
22．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，四边形ABCD是菱形，AC=6，BD=8，E是PB上任意一点，△AEC面积的最小值是3．
（Ⅰ）求证：AC⊥DE；
（Ⅱ）求四棱锥P﹣ABCD的体积．
【答案】解：（Ⅰ）证明：连接BD，设AC与BD相交于点F．
因为四边形ABCD是菱形，所以AC⊥BD．
又因为PD⊥平面ABCD，AC 平面ABCD，所以PD⊥AC．
而AC∩BD=F，所以AC⊥平面PDB．
E为PB上任意一点，DE 平面PBD，所以AC⊥DE．
（Ⅱ）连EF．由（Ⅰ），知AC⊥平面PDB，EF 平面PBD，所以AC⊥EF．
S△ACE=AC EF，在△ACE面积最小时，EF最小，则EF⊥PB．
S△ACE=×6×EF=3，解得EF=1．
由△PDB∽△FEB，得PD：EF=BP：FB．
由于EF=1，FB=4，PB= ，所以PB=4PD，即=4PD．
解得PD=．
VP﹣ABCD=S□ABCD PD=×24×= ．
【知识点】直线与平面垂直的性质
【解析】【分析】（I）连接BD，设AC与BD相交于点F．由已知中在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，四边形ABCD是菱形，我们易得AC⊥BD，PD⊥AC，由线面垂直的判定定理可以得AC⊥平面PDB，再由线面垂直的性质定理，即可得到AC⊥DE；
（Ⅱ）连接EF，由（Ⅰ）的结论可知AC⊥平面PDB，EF 平面PBD，所以AC⊥EF，结合已知中AC=6，BD=8，E是PB上任意一点，△AEC面积的最小值是3．我们可以求出EF，FB，PD的值，将PD值，及底面四边形ABCD的面积求出后，代入棱锥体积公式，即可得到答案．
23．如图，在三棱锥P﹣ABC中，AB⊥平面PAC，∠APC=90°，E是AB的中点，M是CE的中点，N点在PB上，且4PN=PB．
（Ⅰ）证明：平面PCE⊥平面PAB；
（Ⅱ）证明：MN∥平面PAC．
【答案】证明：（I）∵AB⊥平面PAC，PC 平面PAC，
∴AB⊥PC，
∵∠APC=90°，∴AP⊥PC，
又∵AP 平面PAB，AB 平面PAB，AP∩AB=A，
∴PC⊥平面PAB，∵PC 平面PCE，
∴平面PCE⊥平面PAB．
（II）取AE中点Q，连结NQ，MQ，
∵M是CE中点，∴MQ∥AC，
∵PB=4PN，AB=4AQ，
∴QN∥AP，
又∵AP∩PC=P，AP 平面APC，PC 平面APC，QN∩QM=Q，QN 平面MNQ，QM 平面MNQ，
∴平面MNQ∥平面PAC，
∵MN 平面MNQ，
∴MN∥平面PAC．
【知识点】平面与平面垂直的判定
【解析】【分析】（I）由AB⊥平面PAC可得AB⊥PC，再结合AP⊥PC得出PC⊥平面PAB，故而平面PCE⊥平面PAB；
（II）取AE中点Q，连结NQ，MQ，则可证明平面MNQ∥平面PAC，故而MN∥平面PAC．
24．如图，已知四棱锥P﹣ABCD，底面ABCD为菱形，PA⊥平面ABCD，∠ABC=60°，E、F分别是BC、PC的中点．
（1）判定AE与PD是否垂直，并说明理由．
（2）设AB=2，若H为PD上的动点，若△AHE面积的最小值为，求四棱锥P﹣ABCD的体积．
【答案】解：（1）AE⊥PD因为四边形ABCD是菱形，∠ABC=60°，∴△ABC为等边三角形．因为E是BC的中点，∴AE⊥BC，结合BC∥AD，得AE⊥AD∵PA⊥平面ABCD，AE 平面ABCD，∴PA⊥AEPA∩AD=A，且PA 平面PAD，AD 平面PAD∴AE⊥平面PAD，又PD 平面PAD∴AE⊥PD（2）由（1），EA⊥平面PAD，∴EA⊥AH，即△AEH为直角三角形，Rt△EAH中，AE=，当AH最短时，即AH⊥PD时，△AHE面积的最小此时， ．又AD=2，所以∠ADH=45°，所以PA=2．
【知识点】直线与平面垂直的性质
【解析】【分析】（1）四边形ABCD是一条对角线AC等于边长的菱形，从而△ABC为正三角形，BC边上的中线AE也是高线，联系BC∥AD得到AE⊥AD，再利用AD是PD在平面ABCD内的射影，从而得到AE与PD垂直．
（2）先根据AE与PD、PA都垂直，可得到AE⊥平面PAD，从而AE⊥平面AHE，然后求出AE=，得到直角三角形AEH的面积为AE AH=AH，AH最短时△AHE面积最小．结合已知条件得到AH=，最后转到Rt△PAD中求得PA=2，利用棱锥的体积公式得出四棱锥P﹣ABCD的体积．
25．已知三棱锥S﹣ABC，SC∥截面EFGH，AB∥截面EFGH．求证：截面EFGH是平行四边形．
【答案】证明：三棱锥S﹣ABC，SC∥截面EFGH，可得SC∥EF，SC∥HG，∴EF∥HG
AB∥截面EFGH．可得AB∥EH，AB∥FG，∴EH∥FG，
∴截面EFGH是平行四边形．
【知识点】平面与平面垂直的性质
【解析】【分析】利用直线与平面平行的性质定理，推出结果即可．
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一、单选题
1．（2017高一下·安庆期末）若平面α⊥平面β，平面β⊥平面γ，则（ ）
A．α∥γ B．α⊥γ
C．α与γ相交但不垂直 D．以上都有可能
2．平面α，β及直线l满足：α⊥β，l∥α，则一定有（ ）
A．l∥β B．l β
C．l与β相交 D．以上三种情况都有可能
3．（2015高一上·衡阳期末）若a，b，c表示直线，α表示平面，下列条件中，能使a⊥α的是（ ）
A．a⊥b，a⊥c，b α，c α，b∩c=A
B．a⊥b，b∥α
C．a∩b=A，b α，a⊥b
D．α∥b，b⊥a
4．已知PD⊥矩形ABCD所在的平面，图中相互垂直的平面有（ ）
A．2对 B．3对 C．4对 D．5对
5．ABCD为正方形，P为平面ABCD外一点，且PA⊥平面ABCD，则平面PAB与平面PBC，平面PAB与平面PAD的位置关系是（ ）
A．平面PAB与平面PAD，PBC垂直
B．它们都分别相交且互相垂直
C．平面PAB与平面PAD垂直，与平面PBC相交但不垂直
D．平面PAB与平面PBC垂直，与平面PAD相交但不垂直
6．在四边形ABCD中，AD∥BC，AD=AB，，，将沿BD折起，使平面平面，构成三棱锥，则在三棱锥中，下列命题正确的是（ ）
A．平面平面ABC B．平面平面BCD
C．平面平面BCD D．平面平面ABC
7．下列命题中错误的是（ ）
A．如果α⊥β，那么α内一定存在直线平行于平面β
B．如果α⊥β，那么α内所有直线都垂直于平面β
C．如果平面α不垂直平面β，那么α内一定不存在直线垂直于平面β
D．如果α⊥γ，β⊥γ，α∩β=l，那么l⊥γ
8．如图所示，AB⊥平面BCD，∠BCD=90°则图中互相垂直的平面有（ ）
A．3对 B．2对 C．1对 D．4对
9．在三棱锥A﹣BCD中，若AD⊥BC，BD⊥AD，△BCD是锐角三角形，那么必有（ ）
A．平面ABD⊥平面ADC B．平面ABD⊥平面ABC
C．平面ADC⊥平面BCD D．平面ABC⊥平面BCD
10．PA垂直于正方形ABCD所在平面，连接PB，PC，PD，AC，BD，则下列垂直关系正确的是（ ）
①面PAB⊥面PBC
②面PAB⊥面PAD
③面PAB⊥面PCD
④面PAB⊥面PAC．
A．①② B．①③ C．②③ D．②④
11．已知M是正四面体ABCD棱AB的中点，N是棱CD上异于端点C，D的任一点，则下列结论中，正确的个数有（ ）
（1）MN⊥AB；
（2）若N为中点，则MN与AD所成角为60°；
（3）平面CDM⊥平面ABN；
（4）不存在点N，使得过MN的平面与AC垂直．
A．1 B．2 C．3 D．4
12．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，∠DAB=60°．侧面PAD为正三角形，且平面PAD⊥平面ABCD，则下列说法错误的是（ ）
A．在棱AD上存在点M，使AD⊥平面PMB
B．异面直线AD与PB所成的角为90°
C．二面角P﹣BC﹣A的大小为45°
D．BD⊥平面PAC
13．（2016高二上·黑龙江期中）如图所示，点P在正方形ABCD所在平面外，PA⊥平面ABCD，PA=AB，则PB与AC所成的角是（ ）
A．90° B．60° C．45° D．30°
14．如图，已知四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD且PD=AD，则下列命题中错误的是（ ）
A．过BD且与PC平行的平面交PA于M点，则M为PA的中点
B．过AC且与PB垂直的平面交PB于N点，则N为PB的中点
C．过AD且与PC垂直的平面交PC于H点，则H为PC的中点
D．过P、B、C的平面与平面PAD的交线为直线l，则l∥AD
15．已知m和n是两条不同的直线，α和β是两个不重合的平面，那么下面给出的条件中一定能推出m⊥β的是（ ）
A．α⊥β，且m α B．m∥n，且n⊥β
C．α⊥β，且m∥α D．m⊥n，且n∥β
二、填空题
16．把Rt△ABC沿斜边上的高CD折起使平面ADC⊥平面BDC，如图所示，互相垂直的平面有 对．
17．已知矩形ABCD的边AB=a，BC=3，PA⊥平面ABCD，若BC边上有且只有一点M，使PM⊥DM，则a的值为
18．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，PA⊥面ABC，AB=AC，D是BC的中点，则图中直角三角形的个数是
19．ABCD是矩形，AB=4，AD=3，沿AC将△ADC折起到△AD′C，使平面AD′C⊥平面△ABC，F是AD′的中点，E是AC上的一点，给出下列结论：
①存在点E，使得EF∥平面BCD′；
②存在点E，使得EF⊥平面ABD′；
③存在点E，使得D′E⊥平面ABC；
④存在点E，使得AC⊥平面BD′E．
其中正确结论的序号是 ．（写出所有正确结论的序号）
20．如图所示，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是边长为a的正方形，侧棱PA=a，PB=PD=a，则它的5个面中，互相垂直的面有 对．
三、解答题
21．三棱锥S﹣ABC中，SA⊥AB，SA⊥AC，AC⊥BC且AC=2，BC=，SB=．
（1）证明：SC⊥BC；
（2）求三棱锥的体积VS﹣ABC．
22．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，四边形ABCD是菱形，AC=6，BD=8，E是PB上任意一点，△AEC面积的最小值是3．
（Ⅰ）求证：AC⊥DE；
（Ⅱ）求四棱锥P﹣ABCD的体积．
23．如图，在三棱锥P﹣ABC中，AB⊥平面PAC，∠APC=90°，E是AB的中点，M是CE的中点，N点在PB上，且4PN=PB．
（Ⅰ）证明：平面PCE⊥平面PAB；
（Ⅱ）证明：MN∥平面PAC．
24．如图，已知四棱锥P﹣ABCD，底面ABCD为菱形，PA⊥平面ABCD，∠ABC=60°，E、F分别是BC、PC的中点．
（1）判定AE与PD是否垂直，并说明理由．
（2）设AB=2，若H为PD上的动点，若△AHE面积的最小值为，求四棱锥P﹣ABCD的体积．
25．已知三棱锥S﹣ABC，SC∥截面EFGH，AB∥截面EFGH．求证：截面EFGH是平行四边形．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】平面与平面垂直的性质
【解析】【解答】解：α⊥β，β⊥γ，则：α∥γ，α⊥λ，α与γ相交但不垂直，这三种情况都有可能，如下面图形所示：
（1）α∥γ：
（2）α⊥γ：
（3）α与γ相交但不垂直：
故选D．
【分析】根据已知条件，可以想象α，γ的关系，容易得到A，B，C三种情况都有，所以选D．
2．【答案】D
【知识点】平面与平面垂直的性质
【解析】【解答】∵平面α，β及直线l满足：α⊥β，l∥α，∴l∥β，l β，l与β相交都有可能，故选D．
【分析】利用条件，直接可以得出结论．
3．【答案】A
【知识点】直线与平面垂直的判定
【解析】【解答】解：a⊥b，a⊥c，b α，c α，b∩c=A，满足定理的条件，所以A正确；a⊥b，b∥α，a⊥α是不一定，所以不正确；a∩b=A，b α，a⊥b及α∥b，b⊥a都不正确
故选A
【分析】按照直线与平面垂直的判断定理，直线垂直平面内的两条相交直线，直线垂直平面，考查四个选项即可得到正确结果．
4．【答案】D
【知识点】平面与平面垂直的判定
【解析】【解答】解：∵PD⊥矩形ABCD所在的平面且PD 面PDA，PD 面PDC，
∴面PDA⊥面ABCD，面PDC⊥面ABCD，
又∵四边形ABCD为矩形
∴BC⊥CD，CD⊥AD
∵PD⊥矩形ABCD所在的平面
∴PD⊥BC，PD⊥CD
∵PD∩AD=D，PD∩CD=D
∴CD⊥面PAD，BC⊥面PDC，AB⊥面PAD，
∵CD 面PDC，BC 面PBC，AB 面PAB，
∴面PDC⊥面PAD，面PBC⊥面PCD，面PAB⊥面PAD
综上相互垂直的平面有5对
故答案选D
【分析】直接利用面面垂直的判定定理判断即利用题目中的条件找出线面垂直即可．
5．【答案】A
【知识点】平面与平面垂直的判定
【解析】解答：由于BC⊥AB，由PA垂直于正方形ABCD所在平面，所以BC⊥PA，
易证BC⊥平面PAB，则平面PAB⊥平面PBC；又AD∥BC，故AD⊥平面PAB，
则平面PAD⊥平面PAB．
故选A．
分析：由于PA垂直于正方形ABCD所在平面，所以PA所在的平面与底面垂直，又ABCD为正方形，故又存在一些线线垂直关系，从而可以得到线面垂直，进而可以判定面面垂直．
6．【答案】D
【知识点】平面与平面垂直的性质
【解析】【解答】∵在四边形ABCD中，AD∥BC，AD=AB，∠BCD=45°，∠BAD=90°，∴BD⊥CD.
又平面ABD⊥平面BCD，且平面ABD∩平面BCD=BD.
故CD⊥平面ABD，则CD⊥AB，又AD⊥AB，
故AB⊥平面ADC，所以平面ABC⊥平面ADC．
故选D．
【分析】中档题，对于折叠问题，要特别注意“变”与“不变”的几何元素，及几何元素之间的关系。
7．【答案】B
【知识点】平面与平面垂直的性质
【解析】【解答】如果α⊥β，则α内与两平面的交线平行的直线都平行于面β，故可推断出A命题正确．
B选项中α内与两平面的交线平行的直线都平行于面β，故B命题错误．
C根据平面与平面垂直的判定定理可知C命题正确．
D根据两个平面垂直的性质推断出D命题正确．
故选B
【分析】如果α⊥β，则α内与两平面的交线平行的直线都平行于面β，进而可推断出A命题正确；α内与两平面的交线平行的直线都平行于面β，故可判断出B命题错误；根据平面与平面垂直的判定定理可知C命题正确；根据两个平面垂直的性质推断出D命题正确．
8．【答案】A
【知识点】直线与平面垂直的性质
【解析】【解答】由AB⊥平面BCD，又AB 平面ABC、平面ABD，
所以平面ABC⊥平面BCD，平面ABD⊥平面BCD；
由AB⊥平面BCD可得：CD⊥AB，又CD⊥BC，所以CD⊥平面ABC，
又CD 平面ACD，故平面ABC⊥平面ACD．
故选A．
【分析】根据面面垂直的判定定理，条件AB⊥平面BCD，BC⊥CD，只需考虑AB所在平面与平面BCD之间的关系即可；由BC⊥CD，考虑BC、CD所在平面的垂直关系即可．
9．【答案】C
【知识点】平面与平面垂直的判定
【解析】【解答】证明：由AD⊥BC，BD⊥AD AD⊥平面BCD，AD 平面ADC，
∴平面ADC⊥平面BCD．
故选C．
【分析】如图：由已知：AD⊥BC，AD⊥BD，可以得到 AD与底面BCD垂直，再去寻找AD所在的平面即可．
10．【答案】A
【知识点】平面与平面垂直的判定
【解析】【解答】证明：由于BC⊥AB，由PA垂直于正方形ABCD所在平面，所以BC⊥PA，
易证BC⊥平面PAB，则平面PAB⊥平面PBC；又AD∥BC，故AD⊥平面PAB，
则平面PAD⊥平面PAB．
故选A．
【分析】由于PA垂直于正方形ABCD所在平面，所以PA所在的平面与底面垂直，
又ABCD为正方形，故又存在一些线线垂直关系，从而可以得到线面垂直，
进而可以判定面面垂直．
11．【答案】C
【知识点】平面与平面垂直的判定
【解析】【解答】解：（1）连结MC，MD，由三角形三线合一可得AB⊥CM，AB⊥DM，∴AB⊥平面MCD，
∵MN 平面MCD，∴AB⊥MN，故（1）正确；
（2）取BD中点E，连结ME，NE，则∠NME为MN与AD所成角，
连结BN，由（1）知BM⊥MN，设正四面体棱长为1，则BM=，BN=，∴MN=，
ME=NE=，∴cos∠NME==，∴∠NME=45°，故（2）不正确；
（3）由（1）知AB⊥平面CDM，∵AB 平面ABN，∴平面CDM⊥平面ABN，故（3）正确；
（4）取BC早点F，连结MF，DF，假设存在点N，使得过MN的平面与AC垂直，
∴AC⊥MN，∵MF∥AC，∴MF⊥MN，
∵DF=DM=，∴∠FMD＜90°，同理，∠CMF＜90°．
当N从D向C移动时，∠FMN先减小，后增大，故∠FMN＜90°，与MF⊥MN矛盾．
∴不存在点N，使得过MN的平面与AC垂直，故（4）正确．
故选：C．
【分析】结合图形，逐项分析，得出正确的选项．
12．【答案】D
【知识点】平面与平面垂直的性质
【解析】【解答】解：对于A，取AD的中点M，连PM，BM，则∵侧面PAD为正三角形，
∴PM⊥AD，
又底面ABCD是∠DAB=60°的菱形，
∴三角形ABD是等边三角形，
∴AD⊥BM，
∴AD⊥平面PBM，故A正确，
对于B，∵AD⊥平面PBM，
∴AD⊥PB，即异面直线AD与PB所成的角为90°，故B正确，
对于C，∵底面ABCD为菱形，∠DAB=60°平面PAD⊥平面ABCD，
∴BM⊥BC，则∠PBM是二面角P﹣BC﹣A的平面角，
设AB=1，则BM=，PM=，
在直角三角形PBM中，tan∠PBM=，
即∠PBM=45°，故二面角P﹣BC﹣A的大小为45°，故C正确，
故错误的是D，
故选：D．
【分析】根据线面垂直，异面直线所成角的大小以及二面角的求解方法分别进行判断即可．
13．【答案】B
【知识点】异面直线及其所成的角；直线与平面垂直的判定
【解析】【解答】解：将其还原成正方体ABCD﹣PQRS，连接SC，AS，则PB∥SC，
∴∠ACS（或其补角）是PB与AC所成的角
∵△ACS为正三角形，
∴∠ACS=60°
∴PB与AC所成的角是60°
故选B．
【分析】将其还原成正方体ABCD﹣PQRS，连接SC，AS，可得∠ASC（或其补角）即为所求角．
14．【答案】B
【知识点】直线与平面垂直的性质
【解析】【解答】解：设AC∩BD=O，∵ABCD是正方形，∴O是AC中点，
∵过BD且与PC平行的平面交PA于M点，∴OM∥PC，
∴M是PA中点，故A正确；
设N为PB的中点，连结AN，
∵PA与AB不一定相等，∴AN与PB不一定垂直，
∴过AC且与PB垂直的平面交PB于N点，则N不一定是PB中点，故B错误；
∵四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD且PD=AD，
∴PA=AC，PD=DC，
∴过AD且与PC垂直的平面宛PC于H点，则H为PC的中点，故C正确；
∵AD∥BC，平面PAD与平面PCB有公共点P，
∴l∥AD∥BC，故D正确．
故选：B．
【分析】设AC∩BD=O，由ABCD是正方形，得O是AC中点，从而OM∥PC，由此得到M是PA中点；设N为PB的中点，连结AN，则AN与PB不一定垂直，从而得到N不一定是PB中点；由已知得PA=AC，PD=DC，从而H为PC的中点；由AD∥BC，得到l∥AD∥BC．
15．【答案】B
【知识点】直线与平面垂直的判定
【解析】【解答】解：α⊥β，且m α m β，或m∥β，或m与β相交，故A不成立；
m∥n，且n⊥β m⊥β，故B成立；
α⊥β，且m∥α m β，或m∥β，或m与β相交，故C不成立；
由m⊥n，且n∥β，知m⊥β不成立，故D不正确．
故选B．
【分析】根据A，B，C，D所给的条件，分别进行判断，能够得到正确结果．
16．【答案】3
【知识点】平面与平面垂直的判定
【解析】【解答】解：∵由已知，CD⊥AB
∴平面ADC⊥平面ABD，平面ADB⊥平面BDC，
由∵ADC⊥平面BDC，
∴综上可知，互相垂直的平面有3对．
故答案为：3．
【分析】由CD⊥AB可证明平面ADC⊥平面ABD，平面ADB⊥平面BDC，从而可求得互相垂直的平面有3对．
17．【答案】1.5
【知识点】直线与平面垂直的判定
【解析】【解答】解：∵PA⊥平面ABCD，
∴PA⊥DM，
若BC边上存在点M，使PM⊥MD，
则DM⊥面PAM，
即DM⊥AM，
∴以AD为直径的圆和BC相交即可．
∵AD=BC=3，
∴圆的半径为3，
要使线段BC和半径为3的圆相切，
则AB=1.5，
即a=1.5，
∴a的值是1.5．
故答案为：1.5．
【分析】连结AM，根据条件，要使PM⊥MD，则DM⊥面PAM，即DM⊥AM即可．然后利用圆的性质，只要保证以AB为直径的圆和BC相切即可．
18．【答案】8
【知识点】直线与平面垂直的判定
【解析】【解答】解：在Rt△ABC中，∠BAC=90°，
PA⊥平面ABC，
∴AB⊥PA，PA⊥DA，PA⊥AC，
∵AB=AC，D是BC的中点，
∴AD⊥BC，
∴BP=CP，可得PD⊥BC，
∴图中直角三角形有△PAC，△PAB，△PAD，△ABC．△ABD，△ADC，△BPD，△DPC，8个．
故答案为：8．
【分析】由∠BAC=90°，PA⊥平面ABC，能推导出AB⊥PA，PA⊥DA，PA⊥AC，由AB=AC，D是BC的中点，可得AD⊥BC，PD⊥BC，由此能求出四面体P﹣ABC中有多少个直角三角形．
19．【答案】①③
【知识点】平面与平面垂直的性质
【解析】【解答】解：①存在AC中点E，则EF∥CD′，利用线面平行的判定定理可得EF∥平面BCD′，正确；
②若EF⊥平面ABD′，则平面ADC⊥平面ABD′，显然不成立，故不正确；
③D′E⊥AC，利用面面垂直的性质，可得D′E⊥平面ABC，正确；
④因为ABCD是矩形，AB=4，AD=3，所以B，D′在AC上的射影不是同一点，所以不存在点E，使得AC⊥平面BD′E，故不正确；
故答案为：①③．
【分析】①存在AC中点E，则EF∥CD′，利用线面平行的判定定理可得EF∥平面BCD′；
②若EF⊥平面ABD′，则平面ADC⊥平面ABD′，显然不成立；
③D′E⊥AC，利用面面垂直的性质，可得D′E⊥平面ABC；
④因为ABCD是矩形，AB=4，AD=3，所以B，D′在AC上的射影不是同一点，所以不存在点E，使得AC⊥平面BD′E．
20．【答案】5
【知识点】平面与平面垂直的判定
【解析】【解答】解：底面ABCD是边长为a的正方形，侧棱PA=a，PB=PD=a，可得PA⊥底面ABCD
PA 平面PAB，PA 平面PAD，可得：面PAB⊥面ABCD，面PAD⊥面ABCD，AB⊥面PAD，
可得：面PAB⊥面PAD，
BC⊥面PAB，可得：面PAB⊥面PBC，
CD⊥面PAD，可得：面PAD⊥面PCD；
故答案为：5
【分析】先找出直线平面的垂线，然后一一列举出互相垂直的平面即可．
21．【答案】解：（1）∵SA⊥AB SA⊥AC AB∩AC=A
∴SA⊥平面ABC，∴AC为SC在平面ABC内的射影，
又∵BC⊥AC，由三垂线定理得：SC⊥BC
（2）在△ABC中，AC⊥BC，AC=2，BC=，∴AB==，
∵SA⊥AB，∴△SAB为Rt△，SB=，∴SA==2，
∵SA⊥平面ABC，∴SA为棱锥的高，
∴VS﹣ABC=××AC×BC×SA=×2××2=．
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的性质
【解析】【分析】（1）因为SA⊥面ABC，AC为SC在面ABC内的射影，由三垂线定理可直接得证．
（2）由题意可直接找出侧面SBC与底面ABC所成二面角的平面角是∠SCA，在直角三角形中求解即可．
22．【答案】解：（Ⅰ）证明：连接BD，设AC与BD相交于点F．
因为四边形ABCD是菱形，所以AC⊥BD．
又因为PD⊥平面ABCD，AC 平面ABCD，所以PD⊥AC．
而AC∩BD=F，所以AC⊥平面PDB．
E为PB上任意一点，DE 平面PBD，所以AC⊥DE．
（Ⅱ）连EF．由（Ⅰ），知AC⊥平面PDB，EF 平面PBD，所以AC⊥EF．
S△ACE=AC EF，在△ACE面积最小时，EF最小，则EF⊥PB．
S△ACE=×6×EF=3，解得EF=1．
由△PDB∽△FEB，得PD：EF=BP：FB．
由于EF=1，FB=4，PB= ，所以PB=4PD，即=4PD．
解得PD=．
VP﹣ABCD=S□ABCD PD=×24×= ．
【知识点】直线与平面垂直的性质
【解析】【分析】（I）连接BD，设AC与BD相交于点F．由已知中在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，四边形ABCD是菱形，我们易得AC⊥BD，PD⊥AC，由线面垂直的判定定理可以得AC⊥平面PDB，再由线面垂直的性质定理，即可得到AC⊥DE；
（Ⅱ）连接EF，由（Ⅰ）的结论可知AC⊥平面PDB，EF 平面PBD，所以AC⊥EF，结合已知中AC=6，BD=8，E是PB上任意一点，△AEC面积的最小值是3．我们可以求出EF，FB，PD的值，将PD值，及底面四边形ABCD的面积求出后，代入棱锥体积公式，即可得到答案．
23．【答案】证明：（I）∵AB⊥平面PAC，PC 平面PAC，
∴AB⊥PC，
∵∠APC=90°，∴AP⊥PC，
又∵AP 平面PAB，AB 平面PAB，AP∩AB=A，
∴PC⊥平面PAB，∵PC 平面PCE，
∴平面PCE⊥平面PAB．
（II）取AE中点Q，连结NQ，MQ，
∵M是CE中点，∴MQ∥AC，
∵PB=4PN，AB=4AQ，
∴QN∥AP，
又∵AP∩PC=P，AP 平面APC，PC 平面APC，QN∩QM=Q，QN 平面MNQ，QM 平面MNQ，
∴平面MNQ∥平面PAC，
∵MN 平面MNQ，
∴MN∥平面PAC．
【知识点】平面与平面垂直的判定
【解析】【分析】（I）由AB⊥平面PAC可得AB⊥PC，再结合AP⊥PC得出PC⊥平面PAB，故而平面PCE⊥平面PAB；
（II）取AE中点Q，连结NQ，MQ，则可证明平面MNQ∥平面PAC，故而MN∥平面PAC．
24．【答案】解：（1）AE⊥PD因为四边形ABCD是菱形，∠ABC=60°，∴△ABC为等边三角形．因为E是BC的中点，∴AE⊥BC，结合BC∥AD，得AE⊥AD∵PA⊥平面ABCD，AE 平面ABCD，∴PA⊥AEPA∩AD=A，且PA 平面PAD，AD 平面PAD∴AE⊥平面PAD，又PD 平面PAD∴AE⊥PD（2）由（1），EA⊥平面PAD，∴EA⊥AH，即△AEH为直角三角形，Rt△EAH中，AE=，当AH最短时，即AH⊥PD时，△AHE面积的最小此时， ．又AD=2，所以∠ADH=45°，所以PA=2．
【知识点】直线与平面垂直的性质
【解析】【分析】（1）四边形ABCD是一条对角线AC等于边长的菱形，从而△ABC为正三角形，BC边上的中线AE也是高线，联系BC∥AD得到AE⊥AD，再利用AD是PD在平面ABCD内的射影，从而得到AE与PD垂直．
（2）先根据AE与PD、PA都垂直，可得到AE⊥平面PAD，从而AE⊥平面AHE，然后求出AE=，得到直角三角形AEH的面积为AE AH=AH，AH最短时△AHE面积最小．结合已知条件得到AH=，最后转到Rt△PAD中求得PA=2，利用棱锥的体积公式得出四棱锥P﹣ABCD的体积．
25．【答案】证明：三棱锥S﹣ABC，SC∥截面EFGH，可得SC∥EF，SC∥HG，∴EF∥HG
AB∥截面EFGH．可得AB∥EH，AB∥FG，∴EH∥FG，
∴截面EFGH是平行四边形．
【知识点】平面与平面垂直的性质
【解析】【分析】利用直线与平面平行的性质定理，推出结果即可．
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