初中数学苏科版七年级下册 9.3 多项式乘多项式 同步训练
一、单选题
1．（2020七下·顺德月考）计算（x－3）（x+2）的结果为（ ）
A． －6 B． －x+6 C． －x－6 D． +x－6
【答案】C
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】解：（x﹣3）（x+2）＝x2+2x﹣3x﹣6＝x2﹣x﹣6；
故答案为：C．
【分析】多项式乘多项式法则，先用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．
2．（2020七下·滨湖期中）下列各式中，计算结果是 的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】A： ，不符合题意；
B： ，不符合题意；
C： ，符合题意；
D： ，不符合题意；
故答案为：C.
【分析】根据多项式乘以多项式的运算法则对各选项加以计算，由此进一步判断即可.
3．下列计算中，正确的有（ ）
①(2a-3)(3a-1)=6a2-11a+3；②(m+n)(n+m)=m2+mn+n2；③(a-2)(a+3)=a2-6；④(1-a)(1+a)=1-a2.
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】C
【知识点】多项式乘多项式；完全平方公式及运用；平方差公式及应用
【解析】【解答】解：.因为(2a-3)(3a-1)=6a2-11a+3；(1-a)(1+a)=1-a2；故答案为：C.
【分析】根据多项式乘多项式法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘，再把所得的积相加；即（a+b)(c+d)=a(c+d)+b(c+d)=ac+ad+bc+bd；得到③错误；再由完全平方公式（a+b）2= a2+2ab+b2得到②错误；再由平方差公式(a+b)(a-b)=a2-b2；得到结果.
4．（2020七上·厦门期中）如图，是一楼房的平面图，下列式子中不能表示它的面积的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】单项式乘多项式；多项式乘多项式
【解析】【解答】如图所示：阴影面积＝x2+3x+ ；
A. 是阴影部分面积，故不符合题意；
B. 是阴影部分面积，故不符合题意；
C. 是阴影部分面积，故不符合题意；
D. 不是阴影部分面积，故符合题意；
故答案为：D．
【分析】根据平面图形求出阴影部分的面积，再对每个选项计算，一一判断即可求解。
5．（2020七下·无锡月考）若（x2+x+b） （2x+c）＝2x3+7x2﹣x+a，则a，b，c的值分别为（ ）
A．a＝﹣15，b＝﹣3，c＝5 B．a＝﹣15，b＝3，c＝﹣5
C．a＝15，b＝3，c＝5 D．a＝15，b＝﹣3，c＝﹣5
【答案】A
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】解：∵（x2+x+b） （2x+c）=2x3+7x2-x+a，
2x3+2x2+2bx+cx2+cx+bc=2x3+7x2-x+a，
2x3+（2+c）x2+（2b+c）x+bc=2x3+7x2-x+a，
∴2+c=7，2b+c=-1，bc=a.
解得c=5，b=-3，a=-15.
故答案为：A.
【分析】先将等号左边多项式乘以多项式展开合并后，与等号右边恒等即可求得结果.
6．（2016七下·瑶海期中）已知x+y=2，xy=﹣2，则（1﹣x）（1﹣y）的值为（ ）
A．﹣1 B．1 C．5 D．﹣3
【答案】D
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】解：∵x+y=2，xy=﹣2，
∴（1﹣x）（1﹣y）=1﹣y﹣x+xy=1﹣（x+y）+xy=1﹣2﹣2=﹣3．
故选D．
【分析】原式利用多项式乘以多项式法则计算，整理后将x+y与xy的值代入计算即可求出值．
7．（2019七下·海曙期中）若 的乘积中不含 和 项,则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】代数式求值；多项式乘多项式
【解析】【解答】
∵乘积中不含 和 项
∴a-3=0,9b+3a=0
解得：a=3,b= -1
∴ab=-3
故答案为：D
【分析】利用多项式乘以多项式的法则去括号，再把a,b作为常数合并同类项，根据乘积中不含 和 项可知这两项的系数应该为0，从而列出方程组，求解算出a,b的值，再代入代数式，按有理数的乘法法则即可算出答案。
8．观察下列多项式的乘法计算：
①（x+3）（x+4）=x2+7x+12；②（x+3）（x﹣4）=x2﹣x﹣12；
③（x﹣3）（x+4）=x2+x﹣12；④（x﹣3）（x﹣4）=x2﹣7x+12
根据你发现的规律，若（x+p）（x+q）=x2﹣8x+15，则p+q的值为（ ）
A．﹣8 B．﹣2 C．2 D．8
【答案】A
【知识点】多项式乘多项式；探索数与式的规律
【解析】【解答】解：（x+p）（x+q）=x2﹣8x+15，
p+q=﹣8，故答案为：A．
【分析】由材料中的信息可知（x+p）（x+q）=x2﹣8x+15，p+q=﹣8。
9．（2020七下·郑州月考）下列有四个结论，其中正确的是（ ）
①若(x -1) x+1 = 1，则 x 只能是 2；
②若(x -1)(x2 + ax +1)的运算结果中不含 x2项，则 a=1;
③若(2x - 4) - 2(x - 3) -1 有意义，则 x 的取值范围是 x ≠ 2 ;
④若 4x = a，8y = b，则22x-3y 可表示为
A．②④ B．②③④ C．①③④ D．①②③④
【答案】A
【知识点】同底数幂的除法；多项式乘多项式；零指数幂；负整数指数幂；幂的乘方
【解析】【解答】A、若(x -1) = 1，则x＝ 1或x=2，故①错误；
B、(x -1)(x + ax +1)=x3+ax2+x-x2-ax-1= x3+(a-1)x2+(1-a)x-1,
∵运算结果中不含x2项，
则a-1＝0，得a=1，故②正确；
C、(2x - 4) - 2(x - 3) 有意义
∴2x - 4≠0，x – 3≠0
∴x≠2，x≠3，故③错误；
D、∵4x＝a，
∴22x＝a，
∵8y＝b，
∴23y＝b，
∴22x 3y＝22x÷23y＝ ，
故④正确；
故答案为：A.
【分析】根据零次幂、负指数幂、多项式乘多项式及同底数幂的除法法则分别对每一项进行分析，即可得出答案.
10．（2019七下·永州期末）现有如图所示的卡片若干张，其中A类、B类为正方形卡片，C类为长方形卡片，若用此三类卡片拼成一个长为 ，宽为 的大长方形，则需要C类卡片张数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】解：(a+2b)(a+b)= a2+3ab+2b2.
则需要C类卡片张数为3张.
故答案为：C.
【分析】拼成的大长方形的面积是（a+2b）（a+b）=a2+3ab+2b2，即需要一个边长为a的正方形，2个边长为b的正方形和3个C类卡片的面积是3ab．
二、填空题
11．如图，长方形ABCD的面积为_ （用含x的化简后的结果表示).
【答案】x2+5x+6
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】根据题意得：（x+3）（x+2）=x2+5x+6，
【分析】由（a+b)(c+d)=a(c+d)+b(c+d)=ac+ad+bc+bd，根据长方形的面积公式（x+3）（x+2）=x2+5x+6，求出代数式.
12．若a2+a+2 013＝2 014，则(5-a)(6+a)＝
【答案】29
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】解：a2+a+2 013＝2 014，所以a2+a=1
又因为(5-a)(6+a)＝-a2-a+30，则(5-a)(6+a)＝-1+30=29
【分析】根据（a+b)(c+d)=a(c+d)+b(c+d)=ac+ad+bc+bd；得到(5-a)(6+a)＝-a2-a+30，把a2+a的值代入，求出代数式的值.
13．（2019七下·宜兴期中）若化简（x+1）（2x+m）的结果中x的一次项系数是-5，则数m的值为 .
【答案】-7
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】解：（x+1）（2x+m）=2x2+mx+2x+m=2x2+(m+2)x+m，
由结果中x的一次项系数是-5，得到m+2=-5，则m=-7。
故答案为：-7。
【分析】根据多项式乘以多项式的法则：用一个多项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加，然后合并同类项化为最简形式；进而由结果中x的一次项系数是-5列出方程求解即可。
14．（2020七下·江阴期中）若三角形的一边长为2a+4，这边上的高为2a-3，则此三角形的面积为 .
【答案】2a2+a-6
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】解：由题意得，三角形的面积为： （2a+4）（2a-3）=2a2+a-6
故答案为2a2+a-6.
【分析】先根据三角形的面积公式列式，然后再运用多项式乘多项式的法则解答即可.
15．一个长方形的长为（5x+3）m，宽比长少（2x+5）m，则这个长方形的面积为 m2．
【答案】15x2﹣x﹣6
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】解：∵一个长方形的长为（5x+3）m，宽比长少（2x+5）m，
∴宽为（5x+3）﹣（2x+5）=3x﹣2，
∴这个长方形的面积为：（5x+3）（3x﹣2）=15x2﹣x﹣6．
即这个长方形的面积为（15x2﹣x﹣6）m2．
故答案为（15x2﹣x﹣6）．
【分析】先得出宽为（5x+3）﹣（2x+5），再根据长方形的面积=长×宽，计算即可求解．
16．一条防洪堤坝，其横断面是梯形，上底宽a米，下底宽（2a+9b）米，坝高 米．则防洪堤坝的横断面积为 ．
【答案】a2+5ab+6b2
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】解：防洪堤坝的横断面积= （a+2a+9b）× =a2+5ab+6b2．
故答案为：a2+5ab+6b2．
【分析】首先依据梯形的面积= （上底+下底）×高列出代数式，然后依据多项式乘多项式法则进行计算即可．
17．已知：x=2a-b-c，y=2b-c-a，z=2c-a-b，则：（b-c）x+（c-a）y+（a-b）z的值是 。
【答案】0
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】解：（b-c）x+（c-a）y+（a-b）z
=（b-c）(2a-b-c)+（c-a）(2b-c-a)+（a-b）(2c-a-b)
=2ab-b2-bc-2ac+bc+c2+2bc-c2-ac-2ab+ac+a2+2ac-a2-ab-2bc+ab+b2
=0
【分析】多项式乘多项式法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘，再把所得的积相加；由（a+b)(c+d)=a(c+d)+b(c+d)=ac+ad+bc+bd，求出并化简整式.
18．对于实数a、b、c、d，规定一种运算 =ad﹣bc，那么当 =2023时，则x= ．
【答案】-2020
【知识点】多项式乘多项式；解一元一次方程
【解析】【解答】解：根据题意得：（x+1）（x﹣3）﹣（x﹣3）（x+2）=2023，
整理得：﹣x+3=2023，
解得：x=﹣2020．
故答案为：﹣2020．
【分析】首先依据定义列出方程，然后依据多项式乘多项式法则、合并同类项法则进行化简，最后解关于x的一元一次方程即可．
三、解答题
19．计算．
（1）（x+y）（2a+b）；
（2）（a+b）（a﹣b）；
（3） ；
（4）（3x﹣2y）（2x﹣3y）；
（5）（3x+2）（﹣x﹣2）．
【答案】（1）解：原式=2ax+bx+2ay+by
（2）解：原式=a2﹣b2
（3）解：原式=a2﹣ a﹣ab+ b
（4）解：原式=6x2﹣9xy﹣4xy+6y2=6x2﹣13xy+6y2
（5）解：原式=﹣3x2﹣6x﹣2x﹣4=﹣3x2﹣8x﹣4
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【分析】原式各项利用多项式乘以多项式法则计算，合并即可得到结果．
20．若（x2+3mx﹣）（x2﹣3x+n）的积中不含x和x3项，
（1）求m2﹣mn+n2的值；
（2）求代数式（﹣18m2n）2+（9mn）﹣2+（3m）2014n2016的值．
【答案】解：（x2+3mx﹣）（x2﹣3x+n）=x4nx2+（3m﹣3）x3﹣9mx2+（3mn+1）x﹣x2﹣n，
由积中不含x和x3项，得到3m﹣3=0，3mn+1=0，
解得：m=1，n=﹣，
（1）原式=（m﹣n）2=（）2=；
（2）原式=324m4n2++（3mn）2014 n2=36++=36．
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【分析】原式利用多项式乘以多项式法则计算，整理后根据积中不含x和x3项，求出m与n的值，
（1）原式利用完全平方公式变形后，将m与n的值代入计算即可求出值；
（2）原式利用幂的乘方与积的乘方，负整数指数幂法则变形，将各自的值代入计算即可求出值．
21．已知．三角形的底边长为（2x+1）cm，高是（x﹣2）cm，若把底边和高各增加5厘米，那么三角形面积增加了多少？并求出x=3时三角形增加的面积．
【答案】解：根据题意，面积增加 （2x+1+5）（x﹣2+5）﹣ （2x+1）（x﹣2）
= （2x2+6x+6x+18）﹣ （2x2﹣4x+x﹣2）
=x2+6x+9﹣（x2﹣ x﹣1）
= x+10，
当x=3时，原式= ×3+10=32.5（cm2）．
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【分析】根据题意可得面积增加 （2x+1+5）（x﹣2+5）﹣ （2x+1）（x﹣2）= x+10，将x的值代入求解可得．
22．（2020七下·莘县期末）甲乙两人共同做一道整式乘法的计算题(2x+a)(3x+b)，由于甲抄错了第1个多项式中a的符号，得到的结果为6x2+7x+2，由于乙漏抄了第2个多项式中x的系数，得到的结果为2x2+3x-2，请你计算出a、b的值各是多少，并写出正确的算式及结果。
【答案】解：甲的算式为：(2x-a)(3x+b)=6x +7x+2，
∴2b-3a=7①
乙的算式为：(2x+a)(x+b)=2x +3x-2
∴2b+a=3②
联立①②得 ，
解得
正确的算式和结果为：
(2x-1)(3x+2)=6x +x-2
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【分析】分析题意可得 (2x-a)(3x+b)=6x +7x+2，(2x+a)(x+b)=2x +3x-2，分别利用多项式乘多项式的法则展开，再根据对应项的系数相等得到关于a、b的两个方程，联立求解可得a、b的值，将a、b的值代入原式化简即可得到正确的结果.
23．（2020七下·金水月考）如图，某市有一块长为 米，宽为 米的长方形地块，规划部门计划将阴影部分进行绿化，中间修建一座雕像，求绿化的面积是多少平方米？并求出当 时的绿化面积？
【答案】解：阴影部分的面积=（3a+b）（2a+b）-（a+b）2
=6a2+5ab+b2-a2-2ab-b2
=5a2+3ab，
当a=3，b=2时，原式=5×32+3×3×2=63（平方米）.
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【分析】根据多项式乘多项式的法则求出阴影部分的面积，代入计算即可.
24．有如图所示的甲、乙、丙长方形卡片若干张，用它们可以拼一些新的长方形．求长为（a+2b），宽为（2a+b）的长方形面积；若要拼这样一个长方形，则需要甲、乙、丙长方形卡片分别多少张？
【答案】解：根据题意得：（a+2b）（2a+b）=2a2+ab+4ab+2b2=2a2+5ab+2b2；
∵甲、乙、丙三类卡片的面积分别为ab、b2、a2，
∴需要甲、乙、丙长方形卡片分别为5张，2张，2张．
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【分析】根据长方形的面积公式求出拼接后的长方形的面积，再利用多项式的乘法运算法则进行计算，然后根据系数即可得解．
25．如图①，在边长为3a+2b的大正方形纸片中，剪掉边长2a+b的小正方形，得到图②，把图②阴影部分剪下，按照图③拼成一个长方形纸片．
（1）求出拼成的长方形纸片的长和宽；
（2）把这个拼成的长方形纸片的面积加上10a+6b后，就和另一个长方形的面积相等．已知另一长方形的长为5a+3b，求它的宽．
【答案】解：（1）长方形的长为：3a+2b+2a+b=5a+3b．
长方形的宽为：（3a+2b）﹣（2a+b）=3a+2b﹣2a﹣b=a+b．
（2）另一个长方形的宽：[（5a+3b）（a+b）+10a+6b]÷（5a+3b）=a+b+2．
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【分析】（1）根据图①表示出拼成长方形的长与宽；
（2）根据题意列出关系式，去括号合并即可得到结果．
26．观察以下等式：
（x+1）（x2﹣x+1）=x3+1
（x+3）（x2﹣3x+9）=x3+27
（x+6）（x2﹣6x+36）=x3+216
…
（1）按以上等式的规律，填空：（a+b）（ ）=a3+b3
（2）利用多项式的乘法法则，证明（1）中的等式成立．
（3）利用（1）中的公式化简：（x+y）（x2﹣xy+y2）﹣（x﹣y）（x2+xy+y2）
【答案】（1）a2﹣ab+b2
（2）解：（a+b）（a2﹣ab+b2）
=a3﹣a2b+ab2+a2b﹣ab2+b3
=a3+b3
（3）解：（x+y）（x2﹣xy+y2）﹣（x﹣y）（x2+xy+y2）
=x3+y3﹣（x3﹣y3）
=2y3
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】解：（1）（a+b）（a2﹣ab+b2）=a3+b3；
【分析】（1）根据所给等式可直接得到答案（a+b）（a2﹣ab+b2）=a3+b3；（2）利用多项式与多项式相乘的法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项，再把所得的积相加进行计算即可得到答案；（3）根据题目所给的例子，找出公式后直接运用即可．
27．（2020七下·怀宁期中）好学小东同学，在学习多项式乘以多项式时发现：( x+4)(2x+5)(3x-6)的结果是一个多项式，并且最高次项为： x 2x 3x＝3x3，常数项为：4×5×(-6)=-120，那么一次项是多少呢？要解决这个问题，就是要确定该一次项的系数．根据尝试和总结他发现：一次项系数就是： ×5×(-6)+2×(-6)×4+3×4×5＝-3，即一次项为-3x．
请你认真领会小东同学解决问题的思路，方法，仔细分析上面等式的结构特征．结合自己对多项式乘法法则的理解，解决以下问题．
（1）计算(x+2)(3x+1)(5x-3)所得多项式的一次项系数为 ．
（2）( x+6)(2x+3)(5x-4)所得多项式的二次项系数为 ．
（3）若计算(x2+x+1)(x2-3x+a)(2x-1)所得多项式不含一次项，求a的值；
（4）若(x+1)2021=a0x2021+a1x2020+a2x2019+···+a2020x+a2021，则a2020= ．
【答案】（1）-11
（2）63.5
（3）由题意可得(x2+x+1)(x2-3x+a)(2x-1)一次项系数是：
1×a×（-1）+（-3）×1×（-1）+2×1×a = a+3=0
∴a=-3．
（4）2021．
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】解：（1）由题意可得(x+2)(3x+1)(5x-3)一次项系数是：1×1×（-3）+3×2×（-3）+5×2×1=-11．（2）由题意可得( x+6)(2x+3)(5x-4) 二次项系数是：
．（4）通过题干以及前三问可知：一次项系数是每个多项式的一次项分别乘以其他多项式常数项然后结果相加可得．
所以(x+1)2021一次项系数是：a2020=2021×1=2021．
【分析】（1）求一次项系数，用每个括号中一次项的系数分别与另外两个括号中的常数项相乘，最后积相加即可得出结论．（2）求二次项系数，还有未知数的项有 x、2x、5x，选出其中两个与另一个括号内的常数项相乘，最后积相加即可得出结论．（3）先根据（1）（2）所求方法求出一次项系数，然后列出等式求出a的值．（4）根据前三问的规律即可计算出第四问的值．
28．当我们利用2种不同的方法计算同一图形的面积时，可以得到一个等式．例如，由图1，可得等式：（a+2b）（a+b）=a2+3ab+2b2．
（1）由图2，可得等式： ．
（2）利用（1）中所得到的结论，解决下面的问题：
已知 a+b+c=11，ab+bc+ac=38，求a2+b2+c2的值；
（3）利用图3中的纸片（足够多），画出一种拼图，使该拼图可用来验证等式：2a2+5ab+2b2=（2a+b）（a+2b）；
（4）小明用2 张边长为a 的正方形，3 张边长为b的正方形，5 张边长分别为a、b 的长方形纸片重新拼出一个长方形，那么该长方形较长的一条边长为 ．
【答案】（1）（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc
（2）解:
∵a+b+c=11，ab+bc+ac=38，
∴a2+b2+c2=（a+b+c）2﹣2（ab+ac+bc）=121﹣76=45；
（3）解:
如图所示：
（4）2a+3b
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【分析】（1）根据图2，利用直接求与间接法分别表示出正方形面积，即可确定出所求等式；
（2）根据（1）中结果，求出所求式子的值即可；
（3）根据已知等式，做出相应图形，如图所示；
（4）根据题意列出关系式，即可确定出长方形较长的边．
1 / 1初中数学苏科版七年级下册 9.3 多项式乘多项式 同步训练
一、单选题
1．（2020七下·顺德月考）计算（x－3）（x+2）的结果为（ ）
A． －6 B． －x+6 C． －x－6 D． +x－6
2．（2020七下·滨湖期中）下列各式中，计算结果是 的是（ ）
A． B．
C． D．
3．下列计算中，正确的有（ ）
①(2a-3)(3a-1)=6a2-11a+3；②(m+n)(n+m)=m2+mn+n2；③(a-2)(a+3)=a2-6；④(1-a)(1+a)=1-a2.
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
4．（2020七上·厦门期中）如图，是一楼房的平面图，下列式子中不能表示它的面积的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2020七下·无锡月考）若（x2+x+b） （2x+c）＝2x3+7x2﹣x+a，则a，b，c的值分别为（ ）
A．a＝﹣15，b＝﹣3，c＝5 B．a＝﹣15，b＝3，c＝﹣5
C．a＝15，b＝3，c＝5 D．a＝15，b＝﹣3，c＝﹣5
6．（2016七下·瑶海期中）已知x+y=2，xy=﹣2，则（1﹣x）（1﹣y）的值为（ ）
A．﹣1 B．1 C．5 D．﹣3
7．（2019七下·海曙期中）若 的乘积中不含 和 项,则 （ ）
A． B． C． D．
8．观察下列多项式的乘法计算：
①（x+3）（x+4）=x2+7x+12；②（x+3）（x﹣4）=x2﹣x﹣12；
③（x﹣3）（x+4）=x2+x﹣12；④（x﹣3）（x﹣4）=x2﹣7x+12
根据你发现的规律，若（x+p）（x+q）=x2﹣8x+15，则p+q的值为（ ）
A．﹣8 B．﹣2 C．2 D．8
9．（2020七下·郑州月考）下列有四个结论，其中正确的是（ ）
①若(x -1) x+1 = 1，则 x 只能是 2；
②若(x -1)(x2 + ax +1)的运算结果中不含 x2项，则 a=1;
③若(2x - 4) - 2(x - 3) -1 有意义，则 x 的取值范围是 x ≠ 2 ;
④若 4x = a，8y = b，则22x-3y 可表示为
A．②④ B．②③④ C．①③④ D．①②③④
10．（2019七下·永州期末）现有如图所示的卡片若干张，其中A类、B类为正方形卡片，C类为长方形卡片，若用此三类卡片拼成一个长为 ，宽为 的大长方形，则需要C类卡片张数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题
11．如图，长方形ABCD的面积为_ （用含x的化简后的结果表示).
12．若a2+a+2 013＝2 014，则(5-a)(6+a)＝
13．（2019七下·宜兴期中）若化简（x+1）（2x+m）的结果中x的一次项系数是-5，则数m的值为 .
14．（2020七下·江阴期中）若三角形的一边长为2a+4，这边上的高为2a-3，则此三角形的面积为 .
15．一个长方形的长为（5x+3）m，宽比长少（2x+5）m，则这个长方形的面积为 m2．
16．一条防洪堤坝，其横断面是梯形，上底宽a米，下底宽（2a+9b）米，坝高 米．则防洪堤坝的横断面积为 ．
17．已知：x=2a-b-c，y=2b-c-a，z=2c-a-b，则：（b-c）x+（c-a）y+（a-b）z的值是 。
18．对于实数a、b、c、d，规定一种运算 =ad﹣bc，那么当 =2023时，则x= ．
三、解答题
19．计算．
（1）（x+y）（2a+b）；
（2）（a+b）（a﹣b）；
（3） ；
（4）（3x﹣2y）（2x﹣3y）；
（5）（3x+2）（﹣x﹣2）．
20．若（x2+3mx﹣）（x2﹣3x+n）的积中不含x和x3项，
（1）求m2﹣mn+n2的值；
（2）求代数式（﹣18m2n）2+（9mn）﹣2+（3m）2014n2016的值．
21．已知．三角形的底边长为（2x+1）cm，高是（x﹣2）cm，若把底边和高各增加5厘米，那么三角形面积增加了多少？并求出x=3时三角形增加的面积．
22．（2020七下·莘县期末）甲乙两人共同做一道整式乘法的计算题(2x+a)(3x+b)，由于甲抄错了第1个多项式中a的符号，得到的结果为6x2+7x+2，由于乙漏抄了第2个多项式中x的系数，得到的结果为2x2+3x-2，请你计算出a、b的值各是多少，并写出正确的算式及结果。
23．（2020七下·金水月考）如图，某市有一块长为 米，宽为 米的长方形地块，规划部门计划将阴影部分进行绿化，中间修建一座雕像，求绿化的面积是多少平方米？并求出当 时的绿化面积？
24．有如图所示的甲、乙、丙长方形卡片若干张，用它们可以拼一些新的长方形．求长为（a+2b），宽为（2a+b）的长方形面积；若要拼这样一个长方形，则需要甲、乙、丙长方形卡片分别多少张？
25．如图①，在边长为3a+2b的大正方形纸片中，剪掉边长2a+b的小正方形，得到图②，把图②阴影部分剪下，按照图③拼成一个长方形纸片．
（1）求出拼成的长方形纸片的长和宽；
（2）把这个拼成的长方形纸片的面积加上10a+6b后，就和另一个长方形的面积相等．已知另一长方形的长为5a+3b，求它的宽．
26．观察以下等式：
（x+1）（x2﹣x+1）=x3+1
（x+3）（x2﹣3x+9）=x3+27
（x+6）（x2﹣6x+36）=x3+216
…
（1）按以上等式的规律，填空：（a+b）（ ）=a3+b3
（2）利用多项式的乘法法则，证明（1）中的等式成立．
（3）利用（1）中的公式化简：（x+y）（x2﹣xy+y2）﹣（x﹣y）（x2+xy+y2）
27．（2020七下·怀宁期中）好学小东同学，在学习多项式乘以多项式时发现：( x+4)(2x+5)(3x-6)的结果是一个多项式，并且最高次项为： x 2x 3x＝3x3，常数项为：4×5×(-6)=-120，那么一次项是多少呢？要解决这个问题，就是要确定该一次项的系数．根据尝试和总结他发现：一次项系数就是： ×5×(-6)+2×(-6)×4+3×4×5＝-3，即一次项为-3x．
请你认真领会小东同学解决问题的思路，方法，仔细分析上面等式的结构特征．结合自己对多项式乘法法则的理解，解决以下问题．
（1）计算(x+2)(3x+1)(5x-3)所得多项式的一次项系数为 ．
（2）( x+6)(2x+3)(5x-4)所得多项式的二次项系数为 ．
（3）若计算(x2+x+1)(x2-3x+a)(2x-1)所得多项式不含一次项，求a的值；
（4）若(x+1)2021=a0x2021+a1x2020+a2x2019+···+a2020x+a2021，则a2020= ．
28．当我们利用2种不同的方法计算同一图形的面积时，可以得到一个等式．例如，由图1，可得等式：（a+2b）（a+b）=a2+3ab+2b2．
（1）由图2，可得等式： ．
（2）利用（1）中所得到的结论，解决下面的问题：
已知 a+b+c=11，ab+bc+ac=38，求a2+b2+c2的值；
（3）利用图3中的纸片（足够多），画出一种拼图，使该拼图可用来验证等式：2a2+5ab+2b2=（2a+b）（a+2b）；
（4）小明用2 张边长为a 的正方形，3 张边长为b的正方形，5 张边长分别为a、b 的长方形纸片重新拼出一个长方形，那么该长方形较长的一条边长为 ．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】解：（x﹣3）（x+2）＝x2+2x﹣3x﹣6＝x2﹣x﹣6；
故答案为：C．
【分析】多项式乘多项式法则，先用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．
2．【答案】C
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】A： ，不符合题意；
B： ，不符合题意；
C： ，符合题意；
D： ，不符合题意；
故答案为：C.
【分析】根据多项式乘以多项式的运算法则对各选项加以计算，由此进一步判断即可.
3．【答案】C
【知识点】多项式乘多项式；完全平方公式及运用；平方差公式及应用
【解析】【解答】解：.因为(2a-3)(3a-1)=6a2-11a+3；(1-a)(1+a)=1-a2；故答案为：C.
【分析】根据多项式乘多项式法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘，再把所得的积相加；即（a+b)(c+d)=a(c+d)+b(c+d)=ac+ad+bc+bd；得到③错误；再由完全平方公式（a+b）2= a2+2ab+b2得到②错误；再由平方差公式(a+b)(a-b)=a2-b2；得到结果.
4．【答案】D
【知识点】单项式乘多项式；多项式乘多项式
【解析】【解答】如图所示：阴影面积＝x2+3x+ ；
A. 是阴影部分面积，故不符合题意；
B. 是阴影部分面积，故不符合题意；
C. 是阴影部分面积，故不符合题意；
D. 不是阴影部分面积，故符合题意；
故答案为：D．
【分析】根据平面图形求出阴影部分的面积，再对每个选项计算，一一判断即可求解。
5．【答案】A
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】解：∵（x2+x+b） （2x+c）=2x3+7x2-x+a，
2x3+2x2+2bx+cx2+cx+bc=2x3+7x2-x+a，
2x3+（2+c）x2+（2b+c）x+bc=2x3+7x2-x+a，
∴2+c=7，2b+c=-1，bc=a.
解得c=5，b=-3，a=-15.
故答案为：A.
【分析】先将等号左边多项式乘以多项式展开合并后，与等号右边恒等即可求得结果.
6．【答案】D
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】解：∵x+y=2，xy=﹣2，
∴（1﹣x）（1﹣y）=1﹣y﹣x+xy=1﹣（x+y）+xy=1﹣2﹣2=﹣3．
故选D．
【分析】原式利用多项式乘以多项式法则计算，整理后将x+y与xy的值代入计算即可求出值．
7．【答案】D
【知识点】代数式求值；多项式乘多项式
【解析】【解答】
∵乘积中不含 和 项
∴a-3=0,9b+3a=0
解得：a=3,b= -1
∴ab=-3
故答案为：D
【分析】利用多项式乘以多项式的法则去括号，再把a,b作为常数合并同类项，根据乘积中不含 和 项可知这两项的系数应该为0，从而列出方程组，求解算出a,b的值，再代入代数式，按有理数的乘法法则即可算出答案。
8．【答案】A
【知识点】多项式乘多项式；探索数与式的规律
【解析】【解答】解：（x+p）（x+q）=x2﹣8x+15，
p+q=﹣8，故答案为：A．
【分析】由材料中的信息可知（x+p）（x+q）=x2﹣8x+15，p+q=﹣8。
9．【答案】A
【知识点】同底数幂的除法；多项式乘多项式；零指数幂；负整数指数幂；幂的乘方
【解析】【解答】A、若(x -1) = 1，则x＝ 1或x=2，故①错误；
B、(x -1)(x + ax +1)=x3+ax2+x-x2-ax-1= x3+(a-1)x2+(1-a)x-1,
∵运算结果中不含x2项，
则a-1＝0，得a=1，故②正确；
C、(2x - 4) - 2(x - 3) 有意义
∴2x - 4≠0，x – 3≠0
∴x≠2，x≠3，故③错误；
D、∵4x＝a，
∴22x＝a，
∵8y＝b，
∴23y＝b，
∴22x 3y＝22x÷23y＝ ，
故④正确；
故答案为：A.
【分析】根据零次幂、负指数幂、多项式乘多项式及同底数幂的除法法则分别对每一项进行分析，即可得出答案.
10．【答案】C
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】解：(a+2b)(a+b)= a2+3ab+2b2.
则需要C类卡片张数为3张.
故答案为：C.
【分析】拼成的大长方形的面积是（a+2b）（a+b）=a2+3ab+2b2，即需要一个边长为a的正方形，2个边长为b的正方形和3个C类卡片的面积是3ab．
11．【答案】x2+5x+6
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】根据题意得：（x+3）（x+2）=x2+5x+6，
【分析】由（a+b)(c+d)=a(c+d)+b(c+d)=ac+ad+bc+bd，根据长方形的面积公式（x+3）（x+2）=x2+5x+6，求出代数式.
12．【答案】29
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】解：a2+a+2 013＝2 014，所以a2+a=1
又因为(5-a)(6+a)＝-a2-a+30，则(5-a)(6+a)＝-1+30=29
【分析】根据（a+b)(c+d)=a(c+d)+b(c+d)=ac+ad+bc+bd；得到(5-a)(6+a)＝-a2-a+30，把a2+a的值代入，求出代数式的值.
13．【答案】-7
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】解：（x+1）（2x+m）=2x2+mx+2x+m=2x2+(m+2)x+m，
由结果中x的一次项系数是-5，得到m+2=-5，则m=-7。
故答案为：-7。
【分析】根据多项式乘以多项式的法则：用一个多项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加，然后合并同类项化为最简形式；进而由结果中x的一次项系数是-5列出方程求解即可。
14．【答案】2a2+a-6
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】解：由题意得，三角形的面积为： （2a+4）（2a-3）=2a2+a-6
故答案为2a2+a-6.
【分析】先根据三角形的面积公式列式，然后再运用多项式乘多项式的法则解答即可.
15．【答案】15x2﹣x﹣6
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】解：∵一个长方形的长为（5x+3）m，宽比长少（2x+5）m，
∴宽为（5x+3）﹣（2x+5）=3x﹣2，
∴这个长方形的面积为：（5x+3）（3x﹣2）=15x2﹣x﹣6．
即这个长方形的面积为（15x2﹣x﹣6）m2．
故答案为（15x2﹣x﹣6）．
【分析】先得出宽为（5x+3）﹣（2x+5），再根据长方形的面积=长×宽，计算即可求解．
16．【答案】a2+5ab+6b2
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】解：防洪堤坝的横断面积= （a+2a+9b）× =a2+5ab+6b2．
故答案为：a2+5ab+6b2．
【分析】首先依据梯形的面积= （上底+下底）×高列出代数式，然后依据多项式乘多项式法则进行计算即可．
17．【答案】0
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】解：（b-c）x+（c-a）y+（a-b）z
=（b-c）(2a-b-c)+（c-a）(2b-c-a)+（a-b）(2c-a-b)
=2ab-b2-bc-2ac+bc+c2+2bc-c2-ac-2ab+ac+a2+2ac-a2-ab-2bc+ab+b2
=0
【分析】多项式乘多项式法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘，再把所得的积相加；由（a+b)(c+d)=a(c+d)+b(c+d)=ac+ad+bc+bd，求出并化简整式.
18．【答案】-2020
【知识点】多项式乘多项式；解一元一次方程
【解析】【解答】解：根据题意得：（x+1）（x﹣3）﹣（x﹣3）（x+2）=2023，
整理得：﹣x+3=2023，
解得：x=﹣2020．
故答案为：﹣2020．
【分析】首先依据定义列出方程，然后依据多项式乘多项式法则、合并同类项法则进行化简，最后解关于x的一元一次方程即可．
19．【答案】（1）解：原式=2ax+bx+2ay+by
（2）解：原式=a2﹣b2
（3）解：原式=a2﹣ a﹣ab+ b
（4）解：原式=6x2﹣9xy﹣4xy+6y2=6x2﹣13xy+6y2
（5）解：原式=﹣3x2﹣6x﹣2x﹣4=﹣3x2﹣8x﹣4
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【分析】原式各项利用多项式乘以多项式法则计算，合并即可得到结果．
20．【答案】解：（x2+3mx﹣）（x2﹣3x+n）=x4nx2+（3m﹣3）x3﹣9mx2+（3mn+1）x﹣x2﹣n，
由积中不含x和x3项，得到3m﹣3=0，3mn+1=0，
解得：m=1，n=﹣，
（1）原式=（m﹣n）2=（）2=；
（2）原式=324m4n2++（3mn）2014 n2=36++=36．
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【分析】原式利用多项式乘以多项式法则计算，整理后根据积中不含x和x3项，求出m与n的值，
（1）原式利用完全平方公式变形后，将m与n的值代入计算即可求出值；
（2）原式利用幂的乘方与积的乘方，负整数指数幂法则变形，将各自的值代入计算即可求出值．
21．【答案】解：根据题意，面积增加 （2x+1+5）（x﹣2+5）﹣ （2x+1）（x﹣2）
= （2x2+6x+6x+18）﹣ （2x2﹣4x+x﹣2）
=x2+6x+9﹣（x2﹣ x﹣1）
= x+10，
当x=3时，原式= ×3+10=32.5（cm2）．
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【分析】根据题意可得面积增加 （2x+1+5）（x﹣2+5）﹣ （2x+1）（x﹣2）= x+10，将x的值代入求解可得．
22．【答案】解：甲的算式为：(2x-a)(3x+b)=6x +7x+2，
∴2b-3a=7①
乙的算式为：(2x+a)(x+b)=2x +3x-2
∴2b+a=3②
联立①②得 ，
解得
正确的算式和结果为：
(2x-1)(3x+2)=6x +x-2
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【分析】分析题意可得 (2x-a)(3x+b)=6x +7x+2，(2x+a)(x+b)=2x +3x-2，分别利用多项式乘多项式的法则展开，再根据对应项的系数相等得到关于a、b的两个方程，联立求解可得a、b的值，将a、b的值代入原式化简即可得到正确的结果.
23．【答案】解：阴影部分的面积=（3a+b）（2a+b）-（a+b）2
=6a2+5ab+b2-a2-2ab-b2
=5a2+3ab，
当a=3，b=2时，原式=5×32+3×3×2=63（平方米）.
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【分析】根据多项式乘多项式的法则求出阴影部分的面积，代入计算即可.
24．【答案】解：根据题意得：（a+2b）（2a+b）=2a2+ab+4ab+2b2=2a2+5ab+2b2；
∵甲、乙、丙三类卡片的面积分别为ab、b2、a2，
∴需要甲、乙、丙长方形卡片分别为5张，2张，2张．
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【分析】根据长方形的面积公式求出拼接后的长方形的面积，再利用多项式的乘法运算法则进行计算，然后根据系数即可得解．
25．【答案】解：（1）长方形的长为：3a+2b+2a+b=5a+3b．
长方形的宽为：（3a+2b）﹣（2a+b）=3a+2b﹣2a﹣b=a+b．
（2）另一个长方形的宽：[（5a+3b）（a+b）+10a+6b]÷（5a+3b）=a+b+2．
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【分析】（1）根据图①表示出拼成长方形的长与宽；
（2）根据题意列出关系式，去括号合并即可得到结果．
26．【答案】（1）a2﹣ab+b2
（2）解：（a+b）（a2﹣ab+b2）
=a3﹣a2b+ab2+a2b﹣ab2+b3
=a3+b3
（3）解：（x+y）（x2﹣xy+y2）﹣（x﹣y）（x2+xy+y2）
=x3+y3﹣（x3﹣y3）
=2y3
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】解：（1）（a+b）（a2﹣ab+b2）=a3+b3；
【分析】（1）根据所给等式可直接得到答案（a+b）（a2﹣ab+b2）=a3+b3；（2）利用多项式与多项式相乘的法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项，再把所得的积相加进行计算即可得到答案；（3）根据题目所给的例子，找出公式后直接运用即可．
27．【答案】（1）-11
（2）63.5
（3）由题意可得(x2+x+1)(x2-3x+a)(2x-1)一次项系数是：
1×a×（-1）+（-3）×1×（-1）+2×1×a = a+3=0
∴a=-3．
（4）2021．
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】解：（1）由题意可得(x+2)(3x+1)(5x-3)一次项系数是：1×1×（-3）+3×2×（-3）+5×2×1=-11．（2）由题意可得( x+6)(2x+3)(5x-4) 二次项系数是：
．（4）通过题干以及前三问可知：一次项系数是每个多项式的一次项分别乘以其他多项式常数项然后结果相加可得．
所以(x+1)2021一次项系数是：a2020=2021×1=2021．
【分析】（1）求一次项系数，用每个括号中一次项的系数分别与另外两个括号中的常数项相乘，最后积相加即可得出结论．（2）求二次项系数，还有未知数的项有 x、2x、5x，选出其中两个与另一个括号内的常数项相乘，最后积相加即可得出结论．（3）先根据（1）（2）所求方法求出一次项系数，然后列出等式求出a的值．（4）根据前三问的规律即可计算出第四问的值．
28．【答案】（1）（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc
（2）解:
∵a+b+c=11，ab+bc+ac=38，
∴a2+b2+c2=（a+b+c）2﹣2（ab+ac+bc）=121﹣76=45；
（3）解:
如图所示：
（4）2a+3b
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【分析】（1）根据图2，利用直接求与间接法分别表示出正方形面积，即可确定出所求等式；
（2）根据（1）中结果，求出所求式子的值即可；
（3）根据已知等式，做出相应图形，如图所示；
（4）根据题意列出关系式，即可确定出长方形较长的边．
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