人教版数学八年级上册第13章 13.4最短路径问题 同步练习
一、单选题
1．（2016八上·永城期中）如图，在直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（1，4）和（3，0），点C是y轴上的一个动点，且A、B、C三点不在同一条直线上，当△ABC的周长最小时，点C的坐标是（ ）
A．（0，0） B．（0，1） C．（0，2） D．（0，3）
【答案】D
【知识点】坐标与图形性质
【解析】【解答】解：作B点关于y轴对称点B′点，连接AB′，交y轴于点C′，
此时△ABC的周长最小，
∵点A、B的坐标分别为（1，4）和（3，0），
∴B′点坐标为：（﹣3，0），AE=4，
则B′E=4，即B′E=AE，
∵C′O∥AE，
∴B′O=C′O=3，
∴点C′的坐标是（0，3），此时△ABC的周长最小．
故选：D．
【分析】根据轴对称作最短路线得出AE=B′E，进而得出B′O=C′O，即可得出△ABC的周长最小时C点坐标．
2．（2016九上·古县期中）如图，在锐角△ABC中，AB=6，∠BAC=45°，∠BAC的平分线交BC于点D，M，N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是（ ）
A． B．6 C． D．3
【答案】C
【知识点】轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：如图，作BH⊥AC，垂足为H，交AD于M′点，过M′点作M′N′⊥AB，垂足为N′，则BM′+M′N′为所求的最小值．
∵AD是∠BAC的平分线，
∴M′H=M′N′，
∴BH是点B到直线AC的最短距离（垂线段最短），
∵AB=6，∠BAC=45°，
∴BH=AB sin45°=6× =3 ．
∵BM+MN的最小值是BM′+M′N′=BM′+M′H=BH=3 ．
故选C．
【分析】作BH⊥AC，垂足为H，交AD于M′点，过M′点作M′N′⊥AB，垂足为N′，则BM′+M′N′为所求的最小值，再根据AD是∠BAC的平分线可知M′H=M′N′，再由锐角三角函数的定义即可得出结论．
3．（2016八上·重庆期中）如图，点P是∠AOB内任意一点，OP=5cm，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，△PMN周长的最小值是5cm，则∠AOB的度数是（ ）
A．25° B．30° C．35° D．40°
【答案】B
【知识点】轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：分别作点P关于OA、OB的对称点C、D，连接CD，
分别交OA、OB于点M、N，连接OC、OD、PM、PN、MN，如图所示：
∵点P关于OA的对称点为D，关于OB的对称点为C，
∴PM=DM，OP=OD，∠DOA=∠POA；
∵点P关于OB的对称点为C，
∴PN=CN，OP=OC，∠COB=∠POB，
∴OC=OP=OD，∠AOB= ∠COD，
∵△PMN周长的最小值是5cm，
∴PM+PN+MN=5，
∴DM+CN+MN=5，
即CD=5=OP，
∴OC=OD=CD，
即△OCD是等边三角形，
∴∠COD=60°，
∴∠AOB=30°；
故选：B．
【分析】分别作点P关于OA、OB的对称点C、D，连接CD，分别交OA、OB于点M、N，连接OC、OD、PM、PN、MN，由对称的性质得出PM=DM，OP=OC，∠COA=∠POA；PN=DN，OP=OD，∠DOB=∠POB，得出∠AOB= ∠COD，证出△OCD是等边三角形，得出∠COD=60°，即可得出结果．
4．（2017八上·宁城期末）如图，直线l外不重合的两点A、B，在直线l上求作一点C，使得AC+BC的长度最短，作法为：①作点B关于直线l的对称点B′；②连接AB′与直线l相交于点C，则点C为所求作的点．在解决这个问题时没有运用到的知识或方法是（ ）
A．转化思想
B．三角形的两边之和大于第三边
C．两点之间，线段最短
D．三角形的一个外角大于与它不相邻的任意一个内角
【答案】D
【知识点】两点之间线段最短
【解析】【解答】解：∵点B和点B′关于直线l对称，且点C在l上，
∴CB=CB′，
又∵AB′交l与C，且两条直线相交只有一个交点，
∴CB′+CA最短，
即CA+CB的值最小，
将轴对称最短路径问题利用线段的性质定理两点之间，线段最短，体现了转化思想，验证时利用三角形的两边之和大于第三边．
故选D．
【分析】利用两点之间线段最短分析并验证即可即可．
5．（2017八上·启东期中）如图，四边形ABCD中，∠BAD=120°，∠B=∠D=90°，在BC、CD上分别找一点M、N，使△AMN周长最小时，则∠AMN+∠ANM的度数为（ ）
A．130° B．120° C．110° D．100°
【答案】B
【知识点】轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：作A关于BC和CD的对称点A′，A″，连接A′A″，交BC于M，交CD于N，则A′A″即为△AMN的周长最小值．作DA延长线AH，
∵∠DAB=120°，
∴∠HAA′=60°，
∴∠AA′M+∠A″=∠HAA′=60°，
∵∠MA′A=∠MAA′，∠NAD=∠A″，
且∠MA′A+∠MAA′=∠AMN，∠NAD+∠A″=∠ANM，
∴∠AMN+∠ANM=∠MA′A+∠MAA′+∠NAD+∠A″=2（∠AA′M+∠A″）=2×60°=120°，
故选：B．
【分析】根据要使△AMN的周长最小，即利用点的对称，让三角形的三边在同一直线上，作出A关于BC和CD的对称点A′，A″，即可得出∠AA′M+∠A″=∠HAA′=60°，进而得出∠AMN+∠ANM=2（∠AA′M+∠A″）即可得出答案．
6．（2017八上·临海期末）如图：△ABC中，ACB=90°，AC=BC，AB=4，点E在BC上，且BE=2，点P在ABC的平分线BD上运动，则PE+PC的长度最小值为（）
A．1 B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】作点E关于BD的对称点E'，连接E'C，如下图：
∵BD是∠ ABC的平分线，
∴通过作图知，BP垂直平分EE'，
∴PE'=PE
∴此时PE+PC=PE'+PC=E'C，PE+PC的长度最小，
∵点E、点E'关于BD的对称，∴BE'=BE=2，
又∵AB=4，∴点E'是AB中点，CE'是中线.
∵△ABC中， ∠ ACB=90°，AC=BC，
∴△ABC是等腰直角三角形，∠ ABC=45，
∴CE'又是底边AB的高，
∴△BE'C也是等腰直角三角形，
∴E'C=2，
即：PE+PC的长度最小值为2.
故选B.
【分析】此题考查最短路径问题，利用轴对称，作点E关于BD的对称点E'，连接E'C，可知此时PE+PC的长度最小，PE+PC=PE'+PC=E'C. 再根据作图和等腰直角三角形性质求出E'C的长即可.
7．（2016八上·苏州期中）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，以AC为一边在△ABC外侧作等边三角形ACD，过点D作DE⊥AC，垂足为F，DE与AB相交于点E，连接CE，AB=15cm，BC=9cm，P是射线DE上的一点．连接PC、PB，若△PBC的周长最小，则最小值为（ ）
A．22cm B．21cm C．24 cm D．27cm
【答案】C
【知识点】等边三角形的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：根据轴对称求最短路径的知识，可得当点P与点E重合的时候PB+PC最小，也即△PBC的周长最小，
此时PB=PC= AB= cm，
故△PBC的最小周长=PB+PC+BC=AB+BC=15+9=24cm．
故选C．
【分析】根据轴对称求最短路径的知识可得，点C关于DE的对称点和点B的连线与DE的交点即是点P的位置，结合图形及（1）可得点P的位置即是点E的位置，从而可求出此时△PBC的周长．
8．（2017八下·萧山开学考）如图，Rt△ABC中，AC=BC=4，点D，E分别是AB，AC的中点，在CD上找一点P，使PA+PE最小，则这个最小值是（ ）
A．2 B． C．2 D．4
【答案】C
【知识点】勾股定理；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：如图，连接BE，则BE就是PA+PE的最小值，
∵Rt△ABC中，AC=BC=4，点D，E分别是AB，AC的中点，
∴CE=2cm，
∴BE= =2 ，
∴PA+PE的最小值是2 ．
故选C．
【分析】要求PA+PE的最小值，PA，PE不能直接求，可考虑通过作辅助线转化PA，PE的值，从而找出其最小值．
9．（2015八上·海淀期末）如图，等腰三角形ABC的底边BC长为4，面积是16，腰AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边于E，F点．若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则△CDM周长的最小值为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
【答案】C
【知识点】轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：连接AD，
∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，
∴AD⊥BC，
∴S△ABC=BC AD=×4×AD=16，解得AD=8，
∵EF是线段AC的垂直平分线，
∴点C关于直线EF的对称点为点A，
∴AD的长为CM+MD的最小值，
∴△CDM的周长最短=（CM+MD）+CD=AD+BC=8+ ×4=8+2=10．
故选C．
【分析】连接AD，由于△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，故AD⊥BC，再根据三角形的面积公式求出AD的长，再根据EF是线段AB的垂直平分线可知，点B关于直线EF的对称点为点A，故AD的长为BM+MD的最小值，由此即可得出结论．
10．（2015八下·鄂城期中）已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD=4，BC=DC=5，点P在BC上移动，则当PA+PD取最小值时，BP长为（ ）
A．1 B．2 C．2.5 D．3
【答案】B
【知识点】轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：过点D作DE⊥BC于E，
∵AD∥BC，AB⊥BC，
∴四边形ABED是矩形，
∴BE=AD=2，
∵BC=CD=5，
∴EC=3，
∴AB=DE=4，
延长AB到A′，使得A′B=AB，连接A′D交BC于P，此时PA+PD最小，即当P在AD的中垂线上，PA+PD取最小值，
∵B为AA′的中点，BP∥AD
∴此时BP为△AA′D的中位线，
∴BP= AD=2，
故选B．
【分析】过点D作DE⊥BC于E，延长AB到A′，使得A′B=AB，连接A′D交BC于P，此时PA+PD最小，利用已知条件可证明此时BP为△AA′D的中位线，进而可求出BP的长．
11．（2017八下·东台期中）如图，正方形ABCD的面积为4，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE的和最小，则这个最小值为（ ）
A． B．3 C．4 D．2
【答案】D
【知识点】轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：连接BD，与AC交于点F．
∵点B与D关于AC对称，
∴PD=PB，
∴PD+PE=PB+PE=BE最小．
∵正方形ABCD的面积为4，
∴AB=2．
又∵△ABE是等边三角形，
∴BE=AB=2．
∴所求最小值为2．
故选：D．
【分析】由于点B与D关于AC对称，所以连接BE，与AC的交点即为P点．此时PD+PE=BE最小，而BE是等边△ABE的边，BE=AB，由正方形ABCD的面积为4，可求出AB的长，从而得出结果．
12．（2017八下·河东期中）如图，正方形ABCD的边长为8，M在DC上，且DM=2，N是AC上一动点，则DN+MN的最小值为（ ）
A．6 B．8 C．12 D．10
【答案】D
【知识点】轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：如图，连接BM，
∵点B和点D关于直线AC对称，
∴NB=ND，
则BM就是DN+MN的最小值，
∵正方形ABCD的边长是8，DM=2，
∴CM=6，
∴BM= =10，
∴DN+MN的最小值是10．
故选D．
【分析】要求DN+MN的最小值，DN，MN不能直接求，可考虑通过作辅助线转化DN，MN的值，从而找出其最小值求解．
二、填空题
13．（2017九上·泰州开学考）如图，在△ABC中，AB=BC=4，S△ABC=4 ，点P、Q、K分别为线段AB、BC、AC上任意一点，则PK+QK的最小值为 ．
【答案】2
【知识点】三角形的面积；矩形的性质；轴对称的应用-最短距离问题；解直角三角形
【解析】【解答】解：如图，过A作AH⊥BC交CB的延长线于H，
∵AB=CB=4，S△ABC=4 ，
∴AH=2 ，
∴cos∠HAB= = ，
∴∠HAB=30°，
∴∠ABH=60°，
∴∠ABC=120°，
∵∠BAC=∠C=30°，
作点P关于直线AC的对称点P′，
过P′作P′Q⊥BC于Q交AC于K，
则P′Q 的长度=PK+QK的最小值，
∴∠P′AK=∠BAC=30°，
∴∠HAP′=90°，
∴∠H=∠HAP′=∠P′QH=90°，
∴四边形AP′QH是矩形，
∴P′Q=AH=2 ，
即PK+QK的最小值为2 ．
故答案为：2 ．
【分析】过A作AH⊥BC交CB的延长线于H，由已知△ABC的面积求出AH的长，利用锐角三角形函数求出∠BAC、∠C的度数，然后根据轴对称确定最短线路，因此作点P关于直线AC的对称点P′，过P′作P′Q⊥BC于Q交AC于K，则P′Q 的长度=PK+QK的最小值，可证得四边形AP′QH是矩形，根据矩形的性质得出P′Q=AH，即可求得PK+QK的最小值。
14．（2017八下·邗江期中）如图，在菱形ABCD中，AB=6，∠B=60°，点G是边CD边的中点，点E、F分别是AG、AD上的两个动点，则EF+ED的最小值是 ．
【答案】3
【知识点】菱形的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：如图作DH⊥AC垂足为H与AG交于点E，
∵四边形ABCD是菱形，
∵AB=AD=CD=BC=6，
∵∠B=60°，
∴∠ADC=∠B=60°，
∴△ADC是等边三角形，
∵AG是中线，
∴∠GAD=∠GAC
∴点H关于AG的对称点F在AD上，此时EF+ED最小=DH．
在Rt△DHC中，∵∠DHC=90°，DC=6，∠CDH= ∠ADC=30°，
∴CH= DC=3，DH= = =3 ，
∴EF+DE的最小值=DH=3
故答案为3 ．
【分析】作DH⊥AC垂足为H与AG交于点E，点H关于AG的对称点为F，此时EF+ED最小=DH，先证明△ADC是等边三角形，在Rt△DCH中利用勾股定理即可解决问题．
15．（2017·长沙模拟）如图，菱形ABCD的两条对角线分别长6和8，点P是对角线AC上的一个动点，点M、N分别是边AB、BC的中点，则PM+PN的最小值是 ．
【答案】5
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】解：如图：
作ME⊥AC交AD于E，连接EN，
则EN就是PM+PN的最小值，
∵M、N分别是AB、BC的中点，
∴BN=BM=AM，
∵ME⊥AC交AD于E，
∴AE=AM，
∴AE=BN，AE∥BN，
∴四边形ABNE是平行四边形，
∴EN=AB，EN∥AB，
而由题意可知，可得AB= =5，
∴EN=AB=5，
∴PM+PN的最小值为5．
故答案为：5．
【分析】要求PM+PN的最小值，PM、PN不能直接求，可考虑通过作辅助线转化PN、PM的值，从而找出其最小值求解．
16．（2017八下·磴口期中）如图，正方形ABCD的边长为4，点P在DC边上且DP=1，点Q是AC上一动点，则DQ+PQ的最小值为 ．
【答案】5
【知识点】正方形的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：如图，连接BP，
∵点B和点D关于直线AC对称，
∴QB=QD，
则BP就是DQ+PQ的最小值，
∵正方形ABCD的边长是4，DP=1，
∴CP=3，
∴BP= =5，
∴DQ+PQ的最小值是5．
故答案为：5．
【分析】要求DQ+PQ的最小值，DQ，PQ不能直接求，可考虑通过作辅助线转化DQ，PQ的值，从而找出其最小值求解．
17．（2017八下·金牛期中）如图，已知直线a∥b，且a与b之间的距离为4，点A到直线a的距离为2，点B到直线b的距离为3，AB=2 ．试在直线a上找一点M，在直线b上找一点N，满足MN⊥a且AM+MN+NB的长度和最短，则此时AM+NB= ．
【答案】8
【知识点】轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：过A作直线a的垂线，并在此垂线上取点A′，使得AA′=4，连接A′B，与直线b交于点N，过M作直线a的垂线，交直线a于点N，连接AN，过点B作BE⊥AA′，交射线AA′于点E，如图．
∵AA′⊥a，MN⊥a，
∴AA′∥MN．
又∵AA′=MN=4，
∴四边形AA′NM是平行四边形，
∴AM=A′N．
由于AM+MN+NB要最小，且MN固定为4，所以AM+NB最小．
由两点之间线段最短，可知AM+NB的最小值为A′B．
∵AE=2+3+4=9，AB=2 ，
∴BE= = ，
∵A′E=AE﹣AA′=9﹣4=5，
∴A′B= =8
所以AM+NB的最小值为8．
故答案为：8．
【分析】MN表示直线a与直线b之间的距离，是定值，只要满足AM+NB的值最小即可．过A作直线a的垂线，并在此垂线上取点A′，使得AA′=MN，连接A'B，则A'B与直线b的交点即为N，过N作MN⊥a于点M．则A'B为所求，利用勾股定理可求得其值．
18．（2017八下·广州期中）如图，台阶A处的蚂蚁要爬到B处搬运食物，它爬的最短距离是 ．
【答案】25
【知识点】轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：如图所示：台阶平面展开图为长方形，AC=20，BC=5+5+5=15，
则蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程是此长方形的对角线长．
由勾股定理得：AB2AC2+BC2，
即AB2=202+152，
∴AB=25，
故答案为：25．
【分析】先将图形平面展开，再用勾股定理根据两点之间线段最短进行解答．
三、解答题
19．（2015八下·嵊州期中）求代数式 的最小值．
【答案】解：求代数式 的最小值．可以转化为在x轴上求一点P（x，0），使得点P到点A（0，2），点B（12，3）的距离之和最小．
如图，作点A关于x轴的对称点A′，连接BA′由x轴的交点即为点P，作BM⊥y轴于M，
因为PA+PB的最小值=BA′= = =13．
所以代数式 的最小值为13
【知识点】轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【分析】求代数式 的最小值．可以转化为在x轴上求一点P（x，0），使得点P到点A（0，2），点B（12，3）的距离之和最小．如图，作点A关于x轴的对称点A′，连接BA′由x轴的交点即为点P，作BM⊥y轴于M，利用勾股定理即可解决问题．
20．（2017八上·海勃湾期末）如图，∠AOB的内部有一点P，在射线OA，OB边上各取一点P1，P2，使得△PP1P2的周长最小，作出点P1，P2，叙述作图过程（作法），保留作图痕迹．
【答案】解：如图，作点P关于直线OA的对称点E，点P关于直线OB的对称点F，连接EF交OA于P1，交OB于P2，连接PP1，PP2，△PP1P2即为所求．
理由：∵P1P=P1E，P2P=P2F，
∴△PP1P2的周长=PP1+P1P2+PP2=EP1+p1p2+p2F=EF，
根据两点之间线段最短，可知此时△PP1P2的周长最短
【知识点】轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【分析】作点P关于直线OA的对称点E，点P关于直线OB的对称点F，连接EF交OA于P1，交OB于P2，连接PP1，PP2，△PP1P2即为所求．
21．（与一次函数有关的动态几何问题）如图，一次函数y=x+4的图像经过A（﹣1，a），B（b，1）两点．在x轴上找一点P，使PA+PB的值最小，求满足条件的点P的坐标．
【答案】解：∵当x=﹣1时，y=3；当y=1时，x=﹣3，
∴A（﹣1，3），B（﹣3，1）．
作点B关于x轴的对称点B′，则B′（﹣3，﹣1），连接AB′交x轴于点P′，
则PA+PB=PA+PB′≥AB′，
∴当点P与点P′重合时取等号，
设直线AB′的解析式为y=kx+b（k≠0），
则 ，解得 ，
∴直线AB′的解析式为y=2x+5，当y=0时，x=﹣ ，
∴P′（﹣ ，0），即满足条件的P点坐标为（﹣ ，0）．
【知识点】轴对称的应用-最短距离问题；一次函数中的动态几何问题
【解析】【分析】先求出AB两点的坐标，再作点B关于x轴的对称点B′，连接AB′交x轴于点P′，根据两点之间线段最短即可得出结论．
22．（2015八下·六合期中）如图所示，正方形ABCD的边长为8，M在DC上，且DM=2，N是AC上的一动点，求DN+MN的最小值．
【答案】解：如图，连接BM，
∵点B和点D关于直线AC对称，
∴NB=ND，
则BM就是DN+MN的最小值，
∵正方形ABCD的边长是8，DM=2，
∴CM=6，
∴BM= =10，
∴DN+MN的最小值是10．
【知识点】正方形的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【分析】要求DN+MN的最小值，DN，MN不能直接求，可考虑通过作辅助线转化DN，MN的值，从而找出其最小值求解．
23．（2017八上·上杭期末）如图，△ABC中，点A（﹣2，1）、B（﹣3，4）C（﹣5，2）均在格点上．在所给直角坐标系中解答下列问题：
将△ABC平移得△A1B1C1使得点B的对应点B1与原点O重合，在所给直角坐标系中画出图形；在图中画出△ABC关于y轴对称的△A2B2C2，并写出A2、B2、C2的坐标；在x轴上找一点P，使得△PAB2的周长最小，请直接写出点P的坐标．
【答案】解：如下图：△PAB2的周长最小，P（﹣1，0）．
【知识点】作图﹣轴对称；轴对称的应用-最短距离问题；作图﹣平移
【解析】【分析】（1）利用平移的性质得出对应点位置，进而得出答案；（2）直接利用对称图形的性质得出对应点位置进而得出答案；（3）利用轴对称求最短路线的方法得出答案．
1 / 1人教版数学八年级上册第13章 13.4最短路径问题 同步练习
一、单选题
1．（2016八上·永城期中）如图，在直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（1，4）和（3，0），点C是y轴上的一个动点，且A、B、C三点不在同一条直线上，当△ABC的周长最小时，点C的坐标是（ ）
A．（0，0） B．（0，1） C．（0，2） D．（0，3）
2．（2016九上·古县期中）如图，在锐角△ABC中，AB=6，∠BAC=45°，∠BAC的平分线交BC于点D，M，N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是（ ）
A． B．6 C． D．3
3．（2016八上·重庆期中）如图，点P是∠AOB内任意一点，OP=5cm，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，△PMN周长的最小值是5cm，则∠AOB的度数是（ ）
A．25° B．30° C．35° D．40°
4．（2017八上·宁城期末）如图，直线l外不重合的两点A、B，在直线l上求作一点C，使得AC+BC的长度最短，作法为：①作点B关于直线l的对称点B′；②连接AB′与直线l相交于点C，则点C为所求作的点．在解决这个问题时没有运用到的知识或方法是（ ）
A．转化思想
B．三角形的两边之和大于第三边
C．两点之间，线段最短
D．三角形的一个外角大于与它不相邻的任意一个内角
5．（2017八上·启东期中）如图，四边形ABCD中，∠BAD=120°，∠B=∠D=90°，在BC、CD上分别找一点M、N，使△AMN周长最小时，则∠AMN+∠ANM的度数为（ ）
A．130° B．120° C．110° D．100°
6．（2017八上·临海期末）如图：△ABC中，ACB=90°，AC=BC，AB=4，点E在BC上，且BE=2，点P在ABC的平分线BD上运动，则PE+PC的长度最小值为（）
A．1 B． C． D．
7．（2016八上·苏州期中）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，以AC为一边在△ABC外侧作等边三角形ACD，过点D作DE⊥AC，垂足为F，DE与AB相交于点E，连接CE，AB=15cm，BC=9cm，P是射线DE上的一点．连接PC、PB，若△PBC的周长最小，则最小值为（ ）
A．22cm B．21cm C．24 cm D．27cm
8．（2017八下·萧山开学考）如图，Rt△ABC中，AC=BC=4，点D，E分别是AB，AC的中点，在CD上找一点P，使PA+PE最小，则这个最小值是（ ）
A．2 B． C．2 D．4
9．（2015八上·海淀期末）如图，等腰三角形ABC的底边BC长为4，面积是16，腰AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边于E，F点．若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则△CDM周长的最小值为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
10．（2015八下·鄂城期中）已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD=4，BC=DC=5，点P在BC上移动，则当PA+PD取最小值时，BP长为（ ）
A．1 B．2 C．2.5 D．3
11．（2017八下·东台期中）如图，正方形ABCD的面积为4，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE的和最小，则这个最小值为（ ）
A． B．3 C．4 D．2
12．（2017八下·河东期中）如图，正方形ABCD的边长为8，M在DC上，且DM=2，N是AC上一动点，则DN+MN的最小值为（ ）
A．6 B．8 C．12 D．10
二、填空题
13．（2017九上·泰州开学考）如图，在△ABC中，AB=BC=4，S△ABC=4 ，点P、Q、K分别为线段AB、BC、AC上任意一点，则PK+QK的最小值为 ．
14．（2017八下·邗江期中）如图，在菱形ABCD中，AB=6，∠B=60°，点G是边CD边的中点，点E、F分别是AG、AD上的两个动点，则EF+ED的最小值是 ．
15．（2017·长沙模拟）如图，菱形ABCD的两条对角线分别长6和8，点P是对角线AC上的一个动点，点M、N分别是边AB、BC的中点，则PM+PN的最小值是 ．
16．（2017八下·磴口期中）如图，正方形ABCD的边长为4，点P在DC边上且DP=1，点Q是AC上一动点，则DQ+PQ的最小值为 ．
17．（2017八下·金牛期中）如图，已知直线a∥b，且a与b之间的距离为4，点A到直线a的距离为2，点B到直线b的距离为3，AB=2 ．试在直线a上找一点M，在直线b上找一点N，满足MN⊥a且AM+MN+NB的长度和最短，则此时AM+NB= ．
18．（2017八下·广州期中）如图，台阶A处的蚂蚁要爬到B处搬运食物，它爬的最短距离是 ．
三、解答题
19．（2015八下·嵊州期中）求代数式 的最小值．
20．（2017八上·海勃湾期末）如图，∠AOB的内部有一点P，在射线OA，OB边上各取一点P1，P2，使得△PP1P2的周长最小，作出点P1，P2，叙述作图过程（作法），保留作图痕迹．
21．（与一次函数有关的动态几何问题）如图，一次函数y=x+4的图像经过A（﹣1，a），B（b，1）两点．在x轴上找一点P，使PA+PB的值最小，求满足条件的点P的坐标．
22．（2015八下·六合期中）如图所示，正方形ABCD的边长为8，M在DC上，且DM=2，N是AC上的一动点，求DN+MN的最小值．
23．（2017八上·上杭期末）如图，△ABC中，点A（﹣2，1）、B（﹣3，4）C（﹣5，2）均在格点上．在所给直角坐标系中解答下列问题：
将△ABC平移得△A1B1C1使得点B的对应点B1与原点O重合，在所给直角坐标系中画出图形；在图中画出△ABC关于y轴对称的△A2B2C2，并写出A2、B2、C2的坐标；在x轴上找一点P，使得△PAB2的周长最小，请直接写出点P的坐标．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】坐标与图形性质
【解析】【解答】解：作B点关于y轴对称点B′点，连接AB′，交y轴于点C′，
此时△ABC的周长最小，
∵点A、B的坐标分别为（1，4）和（3，0），
∴B′点坐标为：（﹣3，0），AE=4，
则B′E=4，即B′E=AE，
∵C′O∥AE，
∴B′O=C′O=3，
∴点C′的坐标是（0，3），此时△ABC的周长最小．
故选：D．
【分析】根据轴对称作最短路线得出AE=B′E，进而得出B′O=C′O，即可得出△ABC的周长最小时C点坐标．
2．【答案】C
【知识点】轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：如图，作BH⊥AC，垂足为H，交AD于M′点，过M′点作M′N′⊥AB，垂足为N′，则BM′+M′N′为所求的最小值．
∵AD是∠BAC的平分线，
∴M′H=M′N′，
∴BH是点B到直线AC的最短距离（垂线段最短），
∵AB=6，∠BAC=45°，
∴BH=AB sin45°=6× =3 ．
∵BM+MN的最小值是BM′+M′N′=BM′+M′H=BH=3 ．
故选C．
【分析】作BH⊥AC，垂足为H，交AD于M′点，过M′点作M′N′⊥AB，垂足为N′，则BM′+M′N′为所求的最小值，再根据AD是∠BAC的平分线可知M′H=M′N′，再由锐角三角函数的定义即可得出结论．
3．【答案】B
【知识点】轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：分别作点P关于OA、OB的对称点C、D，连接CD，
分别交OA、OB于点M、N，连接OC、OD、PM、PN、MN，如图所示：
∵点P关于OA的对称点为D，关于OB的对称点为C，
∴PM=DM，OP=OD，∠DOA=∠POA；
∵点P关于OB的对称点为C，
∴PN=CN，OP=OC，∠COB=∠POB，
∴OC=OP=OD，∠AOB= ∠COD，
∵△PMN周长的最小值是5cm，
∴PM+PN+MN=5，
∴DM+CN+MN=5，
即CD=5=OP，
∴OC=OD=CD，
即△OCD是等边三角形，
∴∠COD=60°，
∴∠AOB=30°；
故选：B．
【分析】分别作点P关于OA、OB的对称点C、D，连接CD，分别交OA、OB于点M、N，连接OC、OD、PM、PN、MN，由对称的性质得出PM=DM，OP=OC，∠COA=∠POA；PN=DN，OP=OD，∠DOB=∠POB，得出∠AOB= ∠COD，证出△OCD是等边三角形，得出∠COD=60°，即可得出结果．
4．【答案】D
【知识点】两点之间线段最短
【解析】【解答】解：∵点B和点B′关于直线l对称，且点C在l上，
∴CB=CB′，
又∵AB′交l与C，且两条直线相交只有一个交点，
∴CB′+CA最短，
即CA+CB的值最小，
将轴对称最短路径问题利用线段的性质定理两点之间，线段最短，体现了转化思想，验证时利用三角形的两边之和大于第三边．
故选D．
【分析】利用两点之间线段最短分析并验证即可即可．
5．【答案】B
【知识点】轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：作A关于BC和CD的对称点A′，A″，连接A′A″，交BC于M，交CD于N，则A′A″即为△AMN的周长最小值．作DA延长线AH，
∵∠DAB=120°，
∴∠HAA′=60°，
∴∠AA′M+∠A″=∠HAA′=60°，
∵∠MA′A=∠MAA′，∠NAD=∠A″，
且∠MA′A+∠MAA′=∠AMN，∠NAD+∠A″=∠ANM，
∴∠AMN+∠ANM=∠MA′A+∠MAA′+∠NAD+∠A″=2（∠AA′M+∠A″）=2×60°=120°，
故选：B．
【分析】根据要使△AMN的周长最小，即利用点的对称，让三角形的三边在同一直线上，作出A关于BC和CD的对称点A′，A″，即可得出∠AA′M+∠A″=∠HAA′=60°，进而得出∠AMN+∠ANM=2（∠AA′M+∠A″）即可得出答案．
6．【答案】B
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】作点E关于BD的对称点E'，连接E'C，如下图：
∵BD是∠ ABC的平分线，
∴通过作图知，BP垂直平分EE'，
∴PE'=PE
∴此时PE+PC=PE'+PC=E'C，PE+PC的长度最小，
∵点E、点E'关于BD的对称，∴BE'=BE=2，
又∵AB=4，∴点E'是AB中点，CE'是中线.
∵△ABC中， ∠ ACB=90°，AC=BC，
∴△ABC是等腰直角三角形，∠ ABC=45，
∴CE'又是底边AB的高，
∴△BE'C也是等腰直角三角形，
∴E'C=2，
即：PE+PC的长度最小值为2.
故选B.
【分析】此题考查最短路径问题，利用轴对称，作点E关于BD的对称点E'，连接E'C，可知此时PE+PC的长度最小，PE+PC=PE'+PC=E'C. 再根据作图和等腰直角三角形性质求出E'C的长即可.
7．【答案】C
【知识点】等边三角形的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：根据轴对称求最短路径的知识，可得当点P与点E重合的时候PB+PC最小，也即△PBC的周长最小，
此时PB=PC= AB= cm，
故△PBC的最小周长=PB+PC+BC=AB+BC=15+9=24cm．
故选C．
【分析】根据轴对称求最短路径的知识可得，点C关于DE的对称点和点B的连线与DE的交点即是点P的位置，结合图形及（1）可得点P的位置即是点E的位置，从而可求出此时△PBC的周长．
8．【答案】C
【知识点】勾股定理；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：如图，连接BE，则BE就是PA+PE的最小值，
∵Rt△ABC中，AC=BC=4，点D，E分别是AB，AC的中点，
∴CE=2cm，
∴BE= =2 ，
∴PA+PE的最小值是2 ．
故选C．
【分析】要求PA+PE的最小值，PA，PE不能直接求，可考虑通过作辅助线转化PA，PE的值，从而找出其最小值．
9．【答案】C
【知识点】轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：连接AD，
∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，
∴AD⊥BC，
∴S△ABC=BC AD=×4×AD=16，解得AD=8，
∵EF是线段AC的垂直平分线，
∴点C关于直线EF的对称点为点A，
∴AD的长为CM+MD的最小值，
∴△CDM的周长最短=（CM+MD）+CD=AD+BC=8+ ×4=8+2=10．
故选C．
【分析】连接AD，由于△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，故AD⊥BC，再根据三角形的面积公式求出AD的长，再根据EF是线段AB的垂直平分线可知，点B关于直线EF的对称点为点A，故AD的长为BM+MD的最小值，由此即可得出结论．
10．【答案】B
【知识点】轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：过点D作DE⊥BC于E，
∵AD∥BC，AB⊥BC，
∴四边形ABED是矩形，
∴BE=AD=2，
∵BC=CD=5，
∴EC=3，
∴AB=DE=4，
延长AB到A′，使得A′B=AB，连接A′D交BC于P，此时PA+PD最小，即当P在AD的中垂线上，PA+PD取最小值，
∵B为AA′的中点，BP∥AD
∴此时BP为△AA′D的中位线，
∴BP= AD=2，
故选B．
【分析】过点D作DE⊥BC于E，延长AB到A′，使得A′B=AB，连接A′D交BC于P，此时PA+PD最小，利用已知条件可证明此时BP为△AA′D的中位线，进而可求出BP的长．
11．【答案】D
【知识点】轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：连接BD，与AC交于点F．
∵点B与D关于AC对称，
∴PD=PB，
∴PD+PE=PB+PE=BE最小．
∵正方形ABCD的面积为4，
∴AB=2．
又∵△ABE是等边三角形，
∴BE=AB=2．
∴所求最小值为2．
故选：D．
【分析】由于点B与D关于AC对称，所以连接BE，与AC的交点即为P点．此时PD+PE=BE最小，而BE是等边△ABE的边，BE=AB，由正方形ABCD的面积为4，可求出AB的长，从而得出结果．
12．【答案】D
【知识点】轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：如图，连接BM，
∵点B和点D关于直线AC对称，
∴NB=ND，
则BM就是DN+MN的最小值，
∵正方形ABCD的边长是8，DM=2，
∴CM=6，
∴BM= =10，
∴DN+MN的最小值是10．
故选D．
【分析】要求DN+MN的最小值，DN，MN不能直接求，可考虑通过作辅助线转化DN，MN的值，从而找出其最小值求解．
13．【答案】2
【知识点】三角形的面积；矩形的性质；轴对称的应用-最短距离问题；解直角三角形
【解析】【解答】解：如图，过A作AH⊥BC交CB的延长线于H，
∵AB=CB=4，S△ABC=4 ，
∴AH=2 ，
∴cos∠HAB= = ，
∴∠HAB=30°，
∴∠ABH=60°，
∴∠ABC=120°，
∵∠BAC=∠C=30°，
作点P关于直线AC的对称点P′，
过P′作P′Q⊥BC于Q交AC于K，
则P′Q 的长度=PK+QK的最小值，
∴∠P′AK=∠BAC=30°，
∴∠HAP′=90°，
∴∠H=∠HAP′=∠P′QH=90°，
∴四边形AP′QH是矩形，
∴P′Q=AH=2 ，
即PK+QK的最小值为2 ．
故答案为：2 ．
【分析】过A作AH⊥BC交CB的延长线于H，由已知△ABC的面积求出AH的长，利用锐角三角形函数求出∠BAC、∠C的度数，然后根据轴对称确定最短线路，因此作点P关于直线AC的对称点P′，过P′作P′Q⊥BC于Q交AC于K，则P′Q 的长度=PK+QK的最小值，可证得四边形AP′QH是矩形，根据矩形的性质得出P′Q=AH，即可求得PK+QK的最小值。
14．【答案】3
【知识点】菱形的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：如图作DH⊥AC垂足为H与AG交于点E，
∵四边形ABCD是菱形，
∵AB=AD=CD=BC=6，
∵∠B=60°，
∴∠ADC=∠B=60°，
∴△ADC是等边三角形，
∵AG是中线，
∴∠GAD=∠GAC
∴点H关于AG的对称点F在AD上，此时EF+ED最小=DH．
在Rt△DHC中，∵∠DHC=90°，DC=6，∠CDH= ∠ADC=30°，
∴CH= DC=3，DH= = =3 ，
∴EF+DE的最小值=DH=3
故答案为3 ．
【分析】作DH⊥AC垂足为H与AG交于点E，点H关于AG的对称点为F，此时EF+ED最小=DH，先证明△ADC是等边三角形，在Rt△DCH中利用勾股定理即可解决问题．
15．【答案】5
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】解：如图：
作ME⊥AC交AD于E，连接EN，
则EN就是PM+PN的最小值，
∵M、N分别是AB、BC的中点，
∴BN=BM=AM，
∵ME⊥AC交AD于E，
∴AE=AM，
∴AE=BN，AE∥BN，
∴四边形ABNE是平行四边形，
∴EN=AB，EN∥AB，
而由题意可知，可得AB= =5，
∴EN=AB=5，
∴PM+PN的最小值为5．
故答案为：5．
【分析】要求PM+PN的最小值，PM、PN不能直接求，可考虑通过作辅助线转化PN、PM的值，从而找出其最小值求解．
16．【答案】5
【知识点】正方形的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：如图，连接BP，
∵点B和点D关于直线AC对称，
∴QB=QD，
则BP就是DQ+PQ的最小值，
∵正方形ABCD的边长是4，DP=1，
∴CP=3，
∴BP= =5，
∴DQ+PQ的最小值是5．
故答案为：5．
【分析】要求DQ+PQ的最小值，DQ，PQ不能直接求，可考虑通过作辅助线转化DQ，PQ的值，从而找出其最小值求解．
17．【答案】8
【知识点】轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：过A作直线a的垂线，并在此垂线上取点A′，使得AA′=4，连接A′B，与直线b交于点N，过M作直线a的垂线，交直线a于点N，连接AN，过点B作BE⊥AA′，交射线AA′于点E，如图．
∵AA′⊥a，MN⊥a，
∴AA′∥MN．
又∵AA′=MN=4，
∴四边形AA′NM是平行四边形，
∴AM=A′N．
由于AM+MN+NB要最小，且MN固定为4，所以AM+NB最小．
由两点之间线段最短，可知AM+NB的最小值为A′B．
∵AE=2+3+4=9，AB=2 ，
∴BE= = ，
∵A′E=AE﹣AA′=9﹣4=5，
∴A′B= =8
所以AM+NB的最小值为8．
故答案为：8．
【分析】MN表示直线a与直线b之间的距离，是定值，只要满足AM+NB的值最小即可．过A作直线a的垂线，并在此垂线上取点A′，使得AA′=MN，连接A'B，则A'B与直线b的交点即为N，过N作MN⊥a于点M．则A'B为所求，利用勾股定理可求得其值．
18．【答案】25
【知识点】轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：如图所示：台阶平面展开图为长方形，AC=20，BC=5+5+5=15，
则蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程是此长方形的对角线长．
由勾股定理得：AB2AC2+BC2，
即AB2=202+152，
∴AB=25，
故答案为：25．
【分析】先将图形平面展开，再用勾股定理根据两点之间线段最短进行解答．
19．【答案】解：求代数式 的最小值．可以转化为在x轴上求一点P（x，0），使得点P到点A（0，2），点B（12，3）的距离之和最小．
如图，作点A关于x轴的对称点A′，连接BA′由x轴的交点即为点P，作BM⊥y轴于M，
因为PA+PB的最小值=BA′= = =13．
所以代数式 的最小值为13
【知识点】轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【分析】求代数式 的最小值．可以转化为在x轴上求一点P（x，0），使得点P到点A（0，2），点B（12，3）的距离之和最小．如图，作点A关于x轴的对称点A′，连接BA′由x轴的交点即为点P，作BM⊥y轴于M，利用勾股定理即可解决问题．
20．【答案】解：如图，作点P关于直线OA的对称点E，点P关于直线OB的对称点F，连接EF交OA于P1，交OB于P2，连接PP1，PP2，△PP1P2即为所求．
理由：∵P1P=P1E，P2P=P2F，
∴△PP1P2的周长=PP1+P1P2+PP2=EP1+p1p2+p2F=EF，
根据两点之间线段最短，可知此时△PP1P2的周长最短
【知识点】轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【分析】作点P关于直线OA的对称点E，点P关于直线OB的对称点F，连接EF交OA于P1，交OB于P2，连接PP1，PP2，△PP1P2即为所求．
21．【答案】解：∵当x=﹣1时，y=3；当y=1时，x=﹣3，
∴A（﹣1，3），B（﹣3，1）．
作点B关于x轴的对称点B′，则B′（﹣3，﹣1），连接AB′交x轴于点P′，
则PA+PB=PA+PB′≥AB′，
∴当点P与点P′重合时取等号，
设直线AB′的解析式为y=kx+b（k≠0），
则 ，解得 ，
∴直线AB′的解析式为y=2x+5，当y=0时，x=﹣ ，
∴P′（﹣ ，0），即满足条件的P点坐标为（﹣ ，0）．
【知识点】轴对称的应用-最短距离问题；一次函数中的动态几何问题
【解析】【分析】先求出AB两点的坐标，再作点B关于x轴的对称点B′，连接AB′交x轴于点P′，根据两点之间线段最短即可得出结论．
22．【答案】解：如图，连接BM，
∵点B和点D关于直线AC对称，
∴NB=ND，
则BM就是DN+MN的最小值，
∵正方形ABCD的边长是8，DM=2，
∴CM=6，
∴BM= =10，
∴DN+MN的最小值是10．
【知识点】正方形的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【分析】要求DN+MN的最小值，DN，MN不能直接求，可考虑通过作辅助线转化DN，MN的值，从而找出其最小值求解．
23．【答案】解：如下图：△PAB2的周长最小，P（﹣1，0）．
【知识点】作图﹣轴对称；轴对称的应用-最短距离问题；作图﹣平移
【解析】【分析】（1）利用平移的性质得出对应点位置，进而得出答案；（2）直接利用对称图形的性质得出对应点位置进而得出答案；（3）利用轴对称求最短路线的方法得出答案．
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