2020年暑期衔接训练青岛版数学八年级下册：第1讲 平行四边形的性质及判定
一、单选题
1．（2020八下·北京期中）在下列性质中，平行四边形不一定具有的是（ ）
A．对边相等 B．对角互补 C．对边平行 D．对角相等
【答案】B
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵平行四边形的对边平行、对角相等、对边相等，
∴选项B不符合题意；
故答案为B．
【分析】根据平行四边形的性质逐项排除即可
2．（2020八下·重庆月考）如图，在平行四边形ABCD中，BF平分∠ABC，交AD于点F，CE平分∠BCD，交AD于点E，AB＝7，EF＝3，则BC的长为（ ）
A．11 B．12 C．13 D．14
【答案】A
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD＝7，BC＝AD，AD∥BC，
∵BF平分∠ABC交AD于F，CE平分∠BCD交AD于E，
∴∠ABF＝∠CBF＝∠AFB，∠BCE＝∠DCE＝∠CED，
∴AB＝AF＝7，DC＝DE＝7，
∴EF＝AF＋DE AD＝7＋7 AD＝3.
∴AD＝11，
∴BC＝11.
故答案为：A.
【分析】先证明AB＝AF＝7，DC＝DE，再根据EF＝AF＋DE AD求出AD，即可得出答案.
3．在四边形ABCD中，现有以下条件：①AB//CD，②A B=CD，③BC//AD，④BC=AD，从中任选两个使四边形ABCD为平行四边形的选法有（ ）.
A．3种 B．4种 C．5种 D．6种
【答案】B
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：①②或③④组合，利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形进行判定；
①③组合，利用两组对边分别平行的四边形是平行四边形进行判定；
②④组合，利用两组对边分别相等的四边形是平行四边形进行判定；
∴共有4种选法.
故选：B.
【分析】根据两组对边分别平行或相等，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，先分别组合再逐一判断即可.
4．（2019八下·高阳期中）如图，平行四边形ABCD的周长为24cm，AC与BD相交于点O，OE⊥AC交AD于E，则△DCE的周长为（ ）
A．4cm B．16cm C．12cm D．24cm
【答案】C
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AB=CD，OA=OC，
∵ ABCD的周长为24cm，
∴AD+CD=12cm，
∵OA=OC，OE⊥AC，
∴EC=AE，
∴△DCE的周长为：DE+EC+CD=DE+AE+CD=AD+CD=12（cm）．
故答案为：C．
【分析】由 ABCD的周长为16cm，即可求得AD+CD=8cm，又由OE⊥AC，可得DE是线段AC的垂直平分线，即可得AE=EC，继而可得△DCE的周长等于AD+CD的长．
5．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于O，∠BCA的平分线CE与边AB相交于E，若EB＝EA＝EC，那么下列结论正确的个数有（ ）
①∠ACE＝30°；②OE∥DA；③S ABCD＝AC AD；④CE⊥DB
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD
∴∠DCE＝∠CEB，
∵CE是角平分线所以∠DCE＝∠BCE，
∴∠BCE＝∠CEB，BE＝BC
∵EB＝EA＝EC，
∴∠ACB＝90°，EC＝BC＝EB，
∴△BEC是等边三角形，
∴∠ABC＝60°，
∴∠CAB＝30°，故①正确，
∵OD＝OB，AE＝EB，
∴OE∥AD，故②正确，
∵AD∥BC，
∴∠DAC＝∠ACB＝90°，
∴AD⊥AC，
∴S ABCD＝AC AD，故③正确，
假设CE⊥BD，则推出四边形ABCD是菱形，显然不可能，故④错误，
故答案为：C．
【分析】由EB=EC=EC，结合等边对等角和三角形内角和定理，易得∠ACB＝90°，故 S ABCD＝AC BC=AC·AD。又∠BCA的平分线，CE，故∠ACE =45°。E、O分别是AC、AB中点，故OE∥BC∥DA。
6．如图，在 ABCD中，AB＝4，∠BAD的平分线与BC的延长线相交于点E，与DC交于点F，且点F为边DC的中点，DG⊥AE，垂足为G，若DG＝1，则AE的长为（ ）
A．2 B．4 C．4 D．8
【答案】B
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】∵AE为∠DAB的平分线，
∴∠DAE=∠BAE，
∵DC∥AB，
∴∠BAE=∠DFA，
∴∠DAE=∠DFA，
∴AD=FD，
又F为DC的中点，
∴DF=CF，
∴AD=DF=DC=AB=2，
在Rt△ADG中，根据勾股定理得：AG=，
则AF=2AG=2，
∵平行四边形ABCD，
∴AD∥BC，
∴∠DAF=∠E，∠ADF=∠ECF，
在△ADF和△ECF中，
，
∴△ADF≌△ECF（AAS），
∴AF=EF，
则AE=2AF=4．
故答案为：B．
【分析】根据△ADF≌△ECF可说明AE＝2AF=2EF．由DC∥AB，AF是∠BAD的平分线，可得到∠DAG=∠DFG，所以根据等角对等边可得AD＝FD，在Rt△DGF中用勾股定理可计算GF，根据AE＝2AF＝4GF可求解．
7．（2019八下·鸡西期末）如图，在平行四边形ABCD中，点A1, A2, A3, A4和C1, C2, C3, C4分别是AB和CD的五等分点，点B1, B2和D1,D2分别是BC和DA的三等分点.已知四边形A4B2C4D2的面积为18，则平行四边形ABCD的面积为（ ）
A．22 B．25 C．30 D．15
【答案】C
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：设平行四边形ABCD的面积是S，设AB=5a，BC=3b．AB边上的高是3x，BC边上的高是5y．
则S=5a 3x=3b 5y．即ax=by= ．
△AA4D2与△B2CC4全等，B2C= BC=b，B2C边上的高是 5y=4y．
则△AA4D2与△B2CC4的面积是2by= S．
同理△D2C4D与△A4BB2的面积是 ．
则四边形A4B2C4D2的面积是S- S- S- - = S，
即 S=18，
解得S=30．
则平行四边形ABCD的面积为30．
故答案为：C．
【分析】可以设平行四边形ABCD的面积是S，根据等分点的定义利用平行四边形ABCD的面积减去四个角上的三角形的面积，就可表示出四边形A4B2C4D2的面积，从而得到两个四边形面积的关系，即可求解．
8．（2017八下·湖州月考）小敬不慎将一块平行四边形玻璃打碎成如图的四块，为了能在商店配到一块与原来相同的平行四边形玻璃，他带了两块碎玻璃．其编号应该是（ ）
A．①，② B．①，④ C．③，④ D．②，③
【答案】D
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解：带②，③过去，可分别延长②，③的各边，相交于两点，即为平行四边形的另外两点.
故选D.
【分析】观察图象可得，根据带去的两块玻璃看是否能还原成原来的平行四边形.
9．如图，已知平行四边形ABCD的对角线的交点是0，直线EF过O点，且平行于AD，直线GH过0点且平行于AB，则图中平行四边形共有（ ）
A．15个 B．16个 C．17个 D．18个
【答案】D
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解：平行四边形有： AEOG， AEFD， ABHG， GOFD， GHCD， EBHO， EBCF， OHCF， ABCD， EHFG，
AEHO， AOFG， EODG， BHFO， HCOE， OHFD， OCFG， BOGE．
共18个．
故选：D．
【分析】根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，根据图形写出所有的平行四边形即可得解．
10．（2018八下·东台期中）如图，在 ABCD中，AD=2AB，F是AD的中点，作CE⊥AB，垂足E在线段AB上，连接EF，CF，则下列结论中不一定成立的是（ ）
A．S△BEC=2S△CEF B．EF=CF
C．∠DCF= ∠BCD D．∠DFE=3∠AEF
【答案】A
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】A、延长EF，交CD延长线于M，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠A=∠MDF，
∵F为AD中点，
∴AF=FD，
在△AEF和△DFM中，
∵∠A=∠FDM，
AF=DF，
∠AFE=∠DFM，
∴△AEF≌△DMF（ASA），
∴EF=FM，
∴S△EFC=S△CFM，
∵MC＞BE，
∴S△BEC＜2S△EFC
故S△BEC=2S△CEF错误，A符合题意；
B、∵△AEF≌△DMF（ASA），
∴FE=MF，∠AEF=∠M，
∵CE⊥AB，
∴∠AEC=90°，
∴∠AEC=∠ECD=90°，
∵FM=EF，
∴FC=FM，故此选项不符合题意，B不合题意；
C、∵F是AD的中点，
∴AF=FD，
∵在 ABCD中，AD=2AB，
∴AF=FD=CD，
∴∠DFC=∠DCF，
∵AD∥BC，
∴∠DFC=∠FCB，
∴∠DCF=∠BCF，
∴∠DCF= ∠BCD，故此选项不符合题意，C不合题意；
D、设∠FEC=x，则∠FCE=x，
∴∠DCF=∠DFC=90°-x，
∴∠EFC=180°-2x，
∴∠EFD=90°-x+180°-2x=270°-3x，
∵∠AEF=90°-x，
∴∠DFE=3∠AEF，故此选项不符合题意，D不合题意．
故答案为：A．
【分析】A、将EF延长交CD延长线与点M，因为点F是AD的中点所以可知△ADF≌△DMF，因为MC>AB，所以，所以，所以A错误.
B、利用平行四边形的性质，因为CE⊥AB，所以∠EDC=，因为直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，所以EF=FC；
C、利用平行四边形对边平行的性质即可知，∠DCF=；
D、利用外角的性质和三角形内角和的性质，通过转化，可以得到.
二、填空题
11．（2019八下·哈尔滨期中）在平行四边形ABCD中，若 与 的度数之比为 ，则 的度数为 ．
【答案】100°.
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：在 ABCD中，
∵AD∥BC，
∴∠A+∠B=180°，
∠A，∠B的度数之比为5：4，
∴∠A=100°，∠B=80°，
∴∠C=∠A=100°
故答案为：100°
【分析】根据平行四边形的性质可知∠A，∠B互补，根据已知可以求出∠A，∠B的度数，而∠C是∠A的对角，所以相等．
12．（2020八下·通州月考）在平行四边形ABCD中，已知AB、BC、CD三条边的长度分别为（x+3），（x﹣4）和16，则这个四边形的周长是 .
【答案】50
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，
∴x+3＝16，x＝13，
∴AB＝16，BC＝9，CD＝16，DA＝9，
这个四边形的周长是16+16+9+9＝50.
故答案为：50.
【分析】根据平行四边形的对边相等可解出x的值，继而可得出四边的长度，也就得出了这个四边形的周长.
13．如图，在平行四边形ABCD中，AC＝8，BD＝6，AD＝a，则a的取值范围是 .
【答案】1＜a＜7
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵在平行四边形ABCD中，AC=8，BD=6，
∴AO=4，OD=3
∴4-3＜a＜4+3
即1＜a＜7
故答案为：1＜a＜7。
【分析】根据平行四边形的性质，可得OD和AO的长度，在三角形ADO中，根据三角形三边关系即可求得a的取值范围。
14．（2019八下·长春期中）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是平行四边形，O（0，0），A（1，-2），B（3，1）则C点坐标为 ．
【答案】（2，3）
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：连接OB、AC
∵四边形OABC是平行四边形，
∴AP=CP，OP=BP，
∵O（0，0），B（3，1），
∴点P的坐标（1.5，0.5），
∵A（1，-2），
∴C点的坐标（2，3），
故答案为（2，3）．
【分析】连接OB、AC，根据O、B的坐标易求点P的坐标，再根据平行四边形的性质：对角线互相平分即可求出点C的坐标．
15．如图，已知 OABC的顶点A、C分别在直线x=1和x=4上，O是坐标原点，则对角线OB长的最小值为 ．
【答案】5
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：当B在x轴上时，对角线OB长的最小，如图所示：
过点B作BE∥x轴交x=4于点E，直线x=1与x轴交于点D
根据题意得：∠ADO=∠CEB=90°，OD=1，OE=4，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA∥BC，OA=BC，
∴∠AOD=∠1=∠CBE，
在△AOD和△CBE中，
，
∴△AOD≌△CBE（AAS），
∴OD=BE=1，
∴故点B可视为在直线x=5上运动，由垂线段最短，可得当且仅当OB⊥x=5时最短，
即此时B(5，0)，最小值OB=5
故答案为：5．
【分析】利用中点公式可以快速得到B点横坐标为5，即等于A、C两点横坐标之和快速判断点B在一条定直线上运动，进一步在书写上利用全等写清原因.
16．在 ABCD中，AB、BC、CD三条边的长度分别为（a﹣3）cm、（a﹣4）cm、（9﹣a）cm，则这个平行四边形的周长为 cm．
【答案】10
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：∵平行四边形的对边相等，
当a﹣3=9﹣a时
a﹣3=9﹣a，
解得：a=6cm，
即得AB=3cm、BC=2cm、CD=3cm、DA=2cm，
∴平行四边形ABCD的周长是：AB+BC+CD+DA=10cm；
当a﹣4=9﹣a时，
a=6.5cm，
即得AB=3.5cm、BC=2.5cm、CD=2.5cm、DA=2.5cm，
∴AB≠BC=CD=DA，
∴四边形不是平行四边形，
故答案为10
【分析】根据平行四边形的对边相等可列出方程，从而解出a，这样就可得出各边的长，继而得出周长．
17．（2017八下·萧山期中）已知在直角坐标系中有A、B、C、D四个点，其中A，B，C三个点的坐标分别为（0，2），（﹣1，0），（2，0），则当点D的坐标为 时，以A、B、C、D四个点为顶点的四边形是平行四边形．
【答案】（3，2）、（﹣3，2）、（1，﹣2）
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：如图所示：
故答案为：（3，2）、（﹣3，2）、（1，﹣2）．
【分析】分别在平面直角坐标系中确定出A、B、C的位置，再根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可确定D的位置．
18．（2017八下·朝阳期中）阅读下面材料：
在数学课上，老师提出如下问题：
已知：如图， 及 边的中点 ．
求作：平行四边形 ．
①连接 并延长，在延长线上截取 ；
②连接 、 ．
所以四边形 就是所求作的平行四边形．
老师说：“小敏的作法正确．
请回答：小敏的作法正确的理由是 ．
【答案】对角线互相平分的四边形是平行四边形
【知识点】平行四边形的判定；平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】∵ 是 边的中点，
∴ ，
∵ ，
∴四边形 是平行四边形，
则依据：对角线互相平分的四边形是平行四边形．
故答案为：对角线互相平分的四边形是平行四边形．
【分析】只要用“对角线互相平分的四边形是平行四边形”，就可以得到作图的思路了。
19．（2020八下·灌云月考）如图，在四边形 中， ，点 分别从点 同时出发，点 以 的速度由点 向点 运动，点 以 的速度由点 向点 运动设运动时间为 .当 .时， 为平行四边形的一边.
【答案】2或3
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：根据题意有AP=2t，CQ=t，PD=9-2t，BQ=6-t，
①∵AD∥BC，
∴当AP=BQ时，四边形APQB是平行四边形，
∴2t=6-t，解得t=2，
∴运动2s时四边形APQB是平行四边形，
②∵AD∥BC，
∴当PD=CQ时，四边形PDCQ是平行四边形，
∴9-2t=t，解得t=3，
∴运动3s时，四边形PDCQ是平行四边形，
故答案为：2或3.
【分析】当AP=BQ时，四边形APQB是平行四边形，当PD=CQ时，四边形PDCQ是平行四边形，分别求出t即可.
20．（2020八下·通州月考）如图，平行四边形ABCD中，过对角线BD上一点P作EF∥BC，GH∥AB，且CG＝2BG，连接AP，若S△PBG＝2，则S四边形AEPH＝ .
【答案】8
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵EF∥BC，GH∥AB，
∴四边形HPFD、四边形PGCF、四边形BGPE是平行四边形，
∴ ，
∵S△PBG＝2，
∴ ，
∵CG＝2BG，
∴ ，
∵ ,
∴ .
故答案为：8.
【分析】由题意根据平行四边形的判定和性质，进行面积的等量代换分析即可求解.
三、作图题
21．（2019八下·宽城期末）图①，图②均是 的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1，点A在格点上．试在网格中画出顶点在格点上，面积为6，且符合相应条件的图形．
（1）在图①中，画出以点A为顶点的非特殊的平行四边形．
（2）在图②中，画出以点A为对角线交点的非特殊的平行四边形．
【答案】（1）解：如图，平行四边形ABCD即为所求．
（2）解：如图，平行四边形EFGH即为所求．
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【分析】（1）画出底为3，高为2的平行四边形ABCD即可．（2）利用数形结合的思想解决问题即可．
四、解答题
22．（2017八下·建昌期末）如图，四边形ABCD是平行四边形，且DE∥BF，分别交对角线AC于点E、F，连接EB，FD．
求证：BE∥DF．
【答案】证明：∵BF∥DE，
∴∠BFE=∠DEF，
又四边形ABCD为平行四边形，
∴∠BAF=∠ECD，
又∠BFE=∠BAF+∠ABF，∠DEF=∠ECD+∠EDC，
∴∠ABF=∠CDE，
且AB=CD，
在△ABF和△CDE中， ，
∴△ABF≌△CDE（ASA），
∴BF=DE，
∵BF∥DE，
∴四边形BFDE为平行四边形，
∴BE∥DF．
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【分析】由BF∥DE可得∠BFE=∠DEF，结合平行四边形的性质可得到∠ABF=∠CDE，可证明△ABF≌△CDE，可证得BF=DE，可证明四边形BFDE为平行四边形，即可得出结论．
23．如图，把 ABCD分成4个小平行四边形，已知 AEOG， BFOG， CFOH的面积分别为8，10，30，求 OEDH的面积．
【答案】解：设平行线AD，GH之间的距离为h1，
平行线GH，BC之间的距离为h2，则 ＝ ＝ ， ＝ ＝ ，∴ ＝ ，即 ＝ ，∴S OEDH＝24
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【分析】根据平行线间的距离相等可设平行线AD，GH之间的距离为h1，平行线GH，BC之间的距离为h2，则，，，所以四边形OEDH的面积=24.
24．（2019八下·重庆期中）如图， ABCD中， 的角平分线 交AD于点E， 的角平分线 交 于点 ， ，DE=3， =50°.
（1）求 的度数；
（2）求 ABCD的周长.
【答案】（1）解：∵ ABCD中，∠ABC=50°，
∴∠ADC=∠ABC=50°，
∵DF平分∠ADC，
（2）解：四边形ABCD是平行四边形，
∴AE∥BC，
∴∠AEB=∠CBE，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE，
∴∠ABE=∠AEB，
∴AE=AB=5，
∵DE=3，
∴AD=AE+DE=8，
∴ ABCD的周长=2（AB+AD）=2×（5+8）=26.
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【分析】（1）由平行四边形的性质可得∠ABC=∠ADC，再根据角平分线的性质可得∠FDC=∠ADC=∠ABC可求解；
（2）由平行四边形的想可得AD∥BC，AD=BC，AB=CD；由平行线的性质得∠AEB=∠EBC，由角平分线的性质可得∠ABE=∠EBC，所以可得∠ABE=∠AEB，由等角对等边可得AB=AE，所以AD=AE+ED，于是平行四边形的周长=2（AB+AD）可求解。
25．（2019八下·镇江期中）如图，四边形ABCD是平行四边形，E、F是对角线BD上的点，BE＝DF.
（1）求证：∠1＝∠2；
（2）求证：AF∥CE.
【答案】（1）解：连接AC,交BD于点O,
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AO=CO,BO=DO,
∵BE=DF,
∴EO=FO,
∴四边形AECF是平行四边形,
∴AE∥FC,
∴∠1=∠2,
（2）解：∵四边形AECF是平行四边形,
∴AF∥CE.
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】（1）作辅助线,利用平行四边形的性质得出AO=CO,BO=DO,进而得出EO=FO,即可得出四边形AECF是平行四边形,得出答案即可；（2）利用（1）中所求,结合平行四边形的性质得出即可.
26．（2017八下·扬州期中）如图，在平面直角坐标系中，点A (0，4)．动点P从原点O出发，沿x轴正方向以每秒2个单位的速度运动，同时动点Q从点A出发，沿y轴负方向以每秒1个单位的速度运动，以QO、QP为邻边构造平行四边形OQPB，在线段OP的延长线长取点C，使得PC＝2，连接BC、CQ．设点P、Q运动的时间为t(0（1）用含t的代数式表示：
点B的坐标 ，点C的坐标 ；
（2）当t＝1时：①四边形QOBC的面积为 ；
②在平面内存在一点D，使得以点Q、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，直接写出此时点D的坐标．
【答案】（1）（2t，t﹣4）；（2+2t，0）
（2）12；（﹣2，0）、（2，6）或（6，﹣6）
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】（1）设点P运动的时间为t，
可得：OP=2t，QO=OA-AQ=4-t，
所以点B的坐标为（2t，t-4），点C的坐标为（2+2t，0）；
（ 2 ）解：①当t=1时，
S四边形QOBC=S OQC+S OCB= ·（2+2）·3+ ·（2+2）·3=12，
②要使以点Q、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，
则可得点D的坐标有三种情况，
当QD∥BC，当t=1时，OD1=PC=2，故点D1的坐标为（﹣2，0）；
当QD∥BC，当t=1时，点B的坐标为（2，﹣3），3+3=6，故可得点D2的坐标为（2，6）；
当QB∥DC，当t=1时，点C的坐标为（4，0），故可得点D3的坐标为（6，﹣6）.
【分析】（1）设点P运动的时间为t，故OP=2t，QO=OA-AQ=4-t，由题意可得点B的坐标为（2t，t-4），点C的坐标为（2+2t，0）；
（2）根据S四边形QOBC=S△OQC+S△OCB计算即可；
（3）分三种情形讨论即可①当BQ为对角线时，OD1=PC=2，故点D1的坐标为（-2，0）；②当QC为对角线时，点B的坐标为（2，-3），可得点D2的坐标为（2，6）；③当BC2对角线时，点C的坐标为（4，0），可得点D3的坐标为（6，-6）；
1 / 12020年暑期衔接训练青岛版数学八年级下册：第1讲 平行四边形的性质及判定
一、单选题
1．（2020八下·北京期中）在下列性质中，平行四边形不一定具有的是（ ）
A．对边相等 B．对角互补 C．对边平行 D．对角相等
2．（2020八下·重庆月考）如图，在平行四边形ABCD中，BF平分∠ABC，交AD于点F，CE平分∠BCD，交AD于点E，AB＝7，EF＝3，则BC的长为（ ）
A．11 B．12 C．13 D．14
3．在四边形ABCD中，现有以下条件：①AB//CD，②A B=CD，③BC//AD，④BC=AD，从中任选两个使四边形ABCD为平行四边形的选法有（ ）.
A．3种 B．4种 C．5种 D．6种
4．（2019八下·高阳期中）如图，平行四边形ABCD的周长为24cm，AC与BD相交于点O，OE⊥AC交AD于E，则△DCE的周长为（ ）
A．4cm B．16cm C．12cm D．24cm
5．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于O，∠BCA的平分线CE与边AB相交于E，若EB＝EA＝EC，那么下列结论正确的个数有（ ）
①∠ACE＝30°；②OE∥DA；③S ABCD＝AC AD；④CE⊥DB
A．1 B．2 C．3 D．4
6．如图，在 ABCD中，AB＝4，∠BAD的平分线与BC的延长线相交于点E，与DC交于点F，且点F为边DC的中点，DG⊥AE，垂足为G，若DG＝1，则AE的长为（ ）
A．2 B．4 C．4 D．8
7．（2019八下·鸡西期末）如图，在平行四边形ABCD中，点A1, A2, A3, A4和C1, C2, C3, C4分别是AB和CD的五等分点，点B1, B2和D1,D2分别是BC和DA的三等分点.已知四边形A4B2C4D2的面积为18，则平行四边形ABCD的面积为（ ）
A．22 B．25 C．30 D．15
8．（2017八下·湖州月考）小敬不慎将一块平行四边形玻璃打碎成如图的四块，为了能在商店配到一块与原来相同的平行四边形玻璃，他带了两块碎玻璃．其编号应该是（ ）
A．①，② B．①，④ C．③，④ D．②，③
9．如图，已知平行四边形ABCD的对角线的交点是0，直线EF过O点，且平行于AD，直线GH过0点且平行于AB，则图中平行四边形共有（ ）
A．15个 B．16个 C．17个 D．18个
10．（2018八下·东台期中）如图，在 ABCD中，AD=2AB，F是AD的中点，作CE⊥AB，垂足E在线段AB上，连接EF，CF，则下列结论中不一定成立的是（ ）
A．S△BEC=2S△CEF B．EF=CF
C．∠DCF= ∠BCD D．∠DFE=3∠AEF
二、填空题
11．（2019八下·哈尔滨期中）在平行四边形ABCD中，若 与 的度数之比为 ，则 的度数为 ．
12．（2020八下·通州月考）在平行四边形ABCD中，已知AB、BC、CD三条边的长度分别为（x+3），（x﹣4）和16，则这个四边形的周长是 .
13．如图，在平行四边形ABCD中，AC＝8，BD＝6，AD＝a，则a的取值范围是 .
14．（2019八下·长春期中）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是平行四边形，O（0，0），A（1，-2），B（3，1）则C点坐标为 ．
15．如图，已知 OABC的顶点A、C分别在直线x=1和x=4上，O是坐标原点，则对角线OB长的最小值为 ．
16．在 ABCD中，AB、BC、CD三条边的长度分别为（a﹣3）cm、（a﹣4）cm、（9﹣a）cm，则这个平行四边形的周长为 cm．
17．（2017八下·萧山期中）已知在直角坐标系中有A、B、C、D四个点，其中A，B，C三个点的坐标分别为（0，2），（﹣1，0），（2，0），则当点D的坐标为 时，以A、B、C、D四个点为顶点的四边形是平行四边形．
18．（2017八下·朝阳期中）阅读下面材料：
在数学课上，老师提出如下问题：
已知：如图， 及 边的中点 ．
求作：平行四边形 ．
①连接 并延长，在延长线上截取 ；
②连接 、 ．
所以四边形 就是所求作的平行四边形．
老师说：“小敏的作法正确．
请回答：小敏的作法正确的理由是 ．
19．（2020八下·灌云月考）如图，在四边形 中， ，点 分别从点 同时出发，点 以 的速度由点 向点 运动，点 以 的速度由点 向点 运动设运动时间为 .当 .时， 为平行四边形的一边.
20．（2020八下·通州月考）如图，平行四边形ABCD中，过对角线BD上一点P作EF∥BC，GH∥AB，且CG＝2BG，连接AP，若S△PBG＝2，则S四边形AEPH＝ .
三、作图题
21．（2019八下·宽城期末）图①，图②均是 的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1，点A在格点上．试在网格中画出顶点在格点上，面积为6，且符合相应条件的图形．
（1）在图①中，画出以点A为顶点的非特殊的平行四边形．
（2）在图②中，画出以点A为对角线交点的非特殊的平行四边形．
四、解答题
22．（2017八下·建昌期末）如图，四边形ABCD是平行四边形，且DE∥BF，分别交对角线AC于点E、F，连接EB，FD．
求证：BE∥DF．
23．如图，把 ABCD分成4个小平行四边形，已知 AEOG， BFOG， CFOH的面积分别为8，10，30，求 OEDH的面积．
24．（2019八下·重庆期中）如图， ABCD中， 的角平分线 交AD于点E， 的角平分线 交 于点 ， ，DE=3， =50°.
（1）求 的度数；
（2）求 ABCD的周长.
25．（2019八下·镇江期中）如图，四边形ABCD是平行四边形，E、F是对角线BD上的点，BE＝DF.
（1）求证：∠1＝∠2；
（2）求证：AF∥CE.
26．（2017八下·扬州期中）如图，在平面直角坐标系中，点A (0，4)．动点P从原点O出发，沿x轴正方向以每秒2个单位的速度运动，同时动点Q从点A出发，沿y轴负方向以每秒1个单位的速度运动，以QO、QP为邻边构造平行四边形OQPB，在线段OP的延长线长取点C，使得PC＝2，连接BC、CQ．设点P、Q运动的时间为t(0（1）用含t的代数式表示：
点B的坐标 ，点C的坐标 ；
（2）当t＝1时：①四边形QOBC的面积为 ；
②在平面内存在一点D，使得以点Q、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，直接写出此时点D的坐标．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵平行四边形的对边平行、对角相等、对边相等，
∴选项B不符合题意；
故答案为B．
【分析】根据平行四边形的性质逐项排除即可
2．【答案】A
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD＝7，BC＝AD，AD∥BC，
∵BF平分∠ABC交AD于F，CE平分∠BCD交AD于E，
∴∠ABF＝∠CBF＝∠AFB，∠BCE＝∠DCE＝∠CED，
∴AB＝AF＝7，DC＝DE＝7，
∴EF＝AF＋DE AD＝7＋7 AD＝3.
∴AD＝11，
∴BC＝11.
故答案为：A.
【分析】先证明AB＝AF＝7，DC＝DE，再根据EF＝AF＋DE AD求出AD，即可得出答案.
3．【答案】B
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：①②或③④组合，利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形进行判定；
①③组合，利用两组对边分别平行的四边形是平行四边形进行判定；
②④组合，利用两组对边分别相等的四边形是平行四边形进行判定；
∴共有4种选法.
故选：B.
【分析】根据两组对边分别平行或相等，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，先分别组合再逐一判断即可.
4．【答案】C
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AB=CD，OA=OC，
∵ ABCD的周长为24cm，
∴AD+CD=12cm，
∵OA=OC，OE⊥AC，
∴EC=AE，
∴△DCE的周长为：DE+EC+CD=DE+AE+CD=AD+CD=12（cm）．
故答案为：C．
【分析】由 ABCD的周长为16cm，即可求得AD+CD=8cm，又由OE⊥AC，可得DE是线段AC的垂直平分线，即可得AE=EC，继而可得△DCE的周长等于AD+CD的长．
5．【答案】C
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD
∴∠DCE＝∠CEB，
∵CE是角平分线所以∠DCE＝∠BCE，
∴∠BCE＝∠CEB，BE＝BC
∵EB＝EA＝EC，
∴∠ACB＝90°，EC＝BC＝EB，
∴△BEC是等边三角形，
∴∠ABC＝60°，
∴∠CAB＝30°，故①正确，
∵OD＝OB，AE＝EB，
∴OE∥AD，故②正确，
∵AD∥BC，
∴∠DAC＝∠ACB＝90°，
∴AD⊥AC，
∴S ABCD＝AC AD，故③正确，
假设CE⊥BD，则推出四边形ABCD是菱形，显然不可能，故④错误，
故答案为：C．
【分析】由EB=EC=EC，结合等边对等角和三角形内角和定理，易得∠ACB＝90°，故 S ABCD＝AC BC=AC·AD。又∠BCA的平分线，CE，故∠ACE =45°。E、O分别是AC、AB中点，故OE∥BC∥DA。
6．【答案】B
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】∵AE为∠DAB的平分线，
∴∠DAE=∠BAE，
∵DC∥AB，
∴∠BAE=∠DFA，
∴∠DAE=∠DFA，
∴AD=FD，
又F为DC的中点，
∴DF=CF，
∴AD=DF=DC=AB=2，
在Rt△ADG中，根据勾股定理得：AG=，
则AF=2AG=2，
∵平行四边形ABCD，
∴AD∥BC，
∴∠DAF=∠E，∠ADF=∠ECF，
在△ADF和△ECF中，
，
∴△ADF≌△ECF（AAS），
∴AF=EF，
则AE=2AF=4．
故答案为：B．
【分析】根据△ADF≌△ECF可说明AE＝2AF=2EF．由DC∥AB，AF是∠BAD的平分线，可得到∠DAG=∠DFG，所以根据等角对等边可得AD＝FD，在Rt△DGF中用勾股定理可计算GF，根据AE＝2AF＝4GF可求解．
7．【答案】C
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：设平行四边形ABCD的面积是S，设AB=5a，BC=3b．AB边上的高是3x，BC边上的高是5y．
则S=5a 3x=3b 5y．即ax=by= ．
△AA4D2与△B2CC4全等，B2C= BC=b，B2C边上的高是 5y=4y．
则△AA4D2与△B2CC4的面积是2by= S．
同理△D2C4D与△A4BB2的面积是 ．
则四边形A4B2C4D2的面积是S- S- S- - = S，
即 S=18，
解得S=30．
则平行四边形ABCD的面积为30．
故答案为：C．
【分析】可以设平行四边形ABCD的面积是S，根据等分点的定义利用平行四边形ABCD的面积减去四个角上的三角形的面积，就可表示出四边形A4B2C4D2的面积，从而得到两个四边形面积的关系，即可求解．
8．【答案】D
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解：带②，③过去，可分别延长②，③的各边，相交于两点，即为平行四边形的另外两点.
故选D.
【分析】观察图象可得，根据带去的两块玻璃看是否能还原成原来的平行四边形.
9．【答案】D
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解：平行四边形有： AEOG， AEFD， ABHG， GOFD， GHCD， EBHO， EBCF， OHCF， ABCD， EHFG，
AEHO， AOFG， EODG， BHFO， HCOE， OHFD， OCFG， BOGE．
共18个．
故选：D．
【分析】根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，根据图形写出所有的平行四边形即可得解．
10．【答案】A
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】A、延长EF，交CD延长线于M，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠A=∠MDF，
∵F为AD中点，
∴AF=FD，
在△AEF和△DFM中，
∵∠A=∠FDM，
AF=DF，
∠AFE=∠DFM，
∴△AEF≌△DMF（ASA），
∴EF=FM，
∴S△EFC=S△CFM，
∵MC＞BE，
∴S△BEC＜2S△EFC
故S△BEC=2S△CEF错误，A符合题意；
B、∵△AEF≌△DMF（ASA），
∴FE=MF，∠AEF=∠M，
∵CE⊥AB，
∴∠AEC=90°，
∴∠AEC=∠ECD=90°，
∵FM=EF，
∴FC=FM，故此选项不符合题意，B不合题意；
C、∵F是AD的中点，
∴AF=FD，
∵在 ABCD中，AD=2AB，
∴AF=FD=CD，
∴∠DFC=∠DCF，
∵AD∥BC，
∴∠DFC=∠FCB，
∴∠DCF=∠BCF，
∴∠DCF= ∠BCD，故此选项不符合题意，C不合题意；
D、设∠FEC=x，则∠FCE=x，
∴∠DCF=∠DFC=90°-x，
∴∠EFC=180°-2x，
∴∠EFD=90°-x+180°-2x=270°-3x，
∵∠AEF=90°-x，
∴∠DFE=3∠AEF，故此选项不符合题意，D不合题意．
故答案为：A．
【分析】A、将EF延长交CD延长线与点M，因为点F是AD的中点所以可知△ADF≌△DMF，因为MC>AB，所以，所以，所以A错误.
B、利用平行四边形的性质，因为CE⊥AB，所以∠EDC=，因为直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，所以EF=FC；
C、利用平行四边形对边平行的性质即可知，∠DCF=；
D、利用外角的性质和三角形内角和的性质，通过转化，可以得到.
11．【答案】100°.
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：在 ABCD中，
∵AD∥BC，
∴∠A+∠B=180°，
∠A，∠B的度数之比为5：4，
∴∠A=100°，∠B=80°，
∴∠C=∠A=100°
故答案为：100°
【分析】根据平行四边形的性质可知∠A，∠B互补，根据已知可以求出∠A，∠B的度数，而∠C是∠A的对角，所以相等．
12．【答案】50
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，
∴x+3＝16，x＝13，
∴AB＝16，BC＝9，CD＝16，DA＝9，
这个四边形的周长是16+16+9+9＝50.
故答案为：50.
【分析】根据平行四边形的对边相等可解出x的值，继而可得出四边的长度，也就得出了这个四边形的周长.
13．【答案】1＜a＜7
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵在平行四边形ABCD中，AC=8，BD=6，
∴AO=4，OD=3
∴4-3＜a＜4+3
即1＜a＜7
故答案为：1＜a＜7。
【分析】根据平行四边形的性质，可得OD和AO的长度，在三角形ADO中，根据三角形三边关系即可求得a的取值范围。
14．【答案】（2，3）
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：连接OB、AC
∵四边形OABC是平行四边形，
∴AP=CP，OP=BP，
∵O（0，0），B（3，1），
∴点P的坐标（1.5，0.5），
∵A（1，-2），
∴C点的坐标（2，3），
故答案为（2，3）．
【分析】连接OB、AC，根据O、B的坐标易求点P的坐标，再根据平行四边形的性质：对角线互相平分即可求出点C的坐标．
15．【答案】5
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：当B在x轴上时，对角线OB长的最小，如图所示：
过点B作BE∥x轴交x=4于点E，直线x=1与x轴交于点D
根据题意得：∠ADO=∠CEB=90°，OD=1，OE=4，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA∥BC，OA=BC，
∴∠AOD=∠1=∠CBE，
在△AOD和△CBE中，
，
∴△AOD≌△CBE（AAS），
∴OD=BE=1，
∴故点B可视为在直线x=5上运动，由垂线段最短，可得当且仅当OB⊥x=5时最短，
即此时B(5，0)，最小值OB=5
故答案为：5．
【分析】利用中点公式可以快速得到B点横坐标为5，即等于A、C两点横坐标之和快速判断点B在一条定直线上运动，进一步在书写上利用全等写清原因.
16．【答案】10
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：∵平行四边形的对边相等，
当a﹣3=9﹣a时
a﹣3=9﹣a，
解得：a=6cm，
即得AB=3cm、BC=2cm、CD=3cm、DA=2cm，
∴平行四边形ABCD的周长是：AB+BC+CD+DA=10cm；
当a﹣4=9﹣a时，
a=6.5cm，
即得AB=3.5cm、BC=2.5cm、CD=2.5cm、DA=2.5cm，
∴AB≠BC=CD=DA，
∴四边形不是平行四边形，
故答案为10
【分析】根据平行四边形的对边相等可列出方程，从而解出a，这样就可得出各边的长，继而得出周长．
17．【答案】（3，2）、（﹣3，2）、（1，﹣2）
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：如图所示：
故答案为：（3，2）、（﹣3，2）、（1，﹣2）．
【分析】分别在平面直角坐标系中确定出A、B、C的位置，再根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可确定D的位置．
18．【答案】对角线互相平分的四边形是平行四边形
【知识点】平行四边形的判定；平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】∵ 是 边的中点，
∴ ，
∵ ，
∴四边形 是平行四边形，
则依据：对角线互相平分的四边形是平行四边形．
故答案为：对角线互相平分的四边形是平行四边形．
【分析】只要用“对角线互相平分的四边形是平行四边形”，就可以得到作图的思路了。
19．【答案】2或3
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：根据题意有AP=2t，CQ=t，PD=9-2t，BQ=6-t，
①∵AD∥BC，
∴当AP=BQ时，四边形APQB是平行四边形，
∴2t=6-t，解得t=2，
∴运动2s时四边形APQB是平行四边形，
②∵AD∥BC，
∴当PD=CQ时，四边形PDCQ是平行四边形，
∴9-2t=t，解得t=3，
∴运动3s时，四边形PDCQ是平行四边形，
故答案为：2或3.
【分析】当AP=BQ时，四边形APQB是平行四边形，当PD=CQ时，四边形PDCQ是平行四边形，分别求出t即可.
20．【答案】8
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵EF∥BC，GH∥AB，
∴四边形HPFD、四边形PGCF、四边形BGPE是平行四边形，
∴ ，
∵S△PBG＝2，
∴ ，
∵CG＝2BG，
∴ ，
∵ ,
∴ .
故答案为：8.
【分析】由题意根据平行四边形的判定和性质，进行面积的等量代换分析即可求解.
21．【答案】（1）解：如图，平行四边形ABCD即为所求．
（2）解：如图，平行四边形EFGH即为所求．
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【分析】（1）画出底为3，高为2的平行四边形ABCD即可．（2）利用数形结合的思想解决问题即可．
22．【答案】证明：∵BF∥DE，
∴∠BFE=∠DEF，
又四边形ABCD为平行四边形，
∴∠BAF=∠ECD，
又∠BFE=∠BAF+∠ABF，∠DEF=∠ECD+∠EDC，
∴∠ABF=∠CDE，
且AB=CD，
在△ABF和△CDE中， ，
∴△ABF≌△CDE（ASA），
∴BF=DE，
∵BF∥DE，
∴四边形BFDE为平行四边形，
∴BE∥DF．
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【分析】由BF∥DE可得∠BFE=∠DEF，结合平行四边形的性质可得到∠ABF=∠CDE，可证明△ABF≌△CDE，可证得BF=DE，可证明四边形BFDE为平行四边形，即可得出结论．
23．【答案】解：设平行线AD，GH之间的距离为h1，
平行线GH，BC之间的距离为h2，则 ＝ ＝ ， ＝ ＝ ，∴ ＝ ，即 ＝ ，∴S OEDH＝24
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【分析】根据平行线间的距离相等可设平行线AD，GH之间的距离为h1，平行线GH，BC之间的距离为h2，则，，，所以四边形OEDH的面积=24.
24．【答案】（1）解：∵ ABCD中，∠ABC=50°，
∴∠ADC=∠ABC=50°，
∵DF平分∠ADC，
（2）解：四边形ABCD是平行四边形，
∴AE∥BC，
∴∠AEB=∠CBE，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE，
∴∠ABE=∠AEB，
∴AE=AB=5，
∵DE=3，
∴AD=AE+DE=8，
∴ ABCD的周长=2（AB+AD）=2×（5+8）=26.
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【分析】（1）由平行四边形的性质可得∠ABC=∠ADC，再根据角平分线的性质可得∠FDC=∠ADC=∠ABC可求解；
（2）由平行四边形的想可得AD∥BC，AD=BC，AB=CD；由平行线的性质得∠AEB=∠EBC，由角平分线的性质可得∠ABE=∠EBC，所以可得∠ABE=∠AEB，由等角对等边可得AB=AE，所以AD=AE+ED，于是平行四边形的周长=2（AB+AD）可求解。
25．【答案】（1）解：连接AC,交BD于点O,
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AO=CO,BO=DO,
∵BE=DF,
∴EO=FO,
∴四边形AECF是平行四边形,
∴AE∥FC,
∴∠1=∠2,
（2）解：∵四边形AECF是平行四边形,
∴AF∥CE.
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】（1）作辅助线,利用平行四边形的性质得出AO=CO,BO=DO,进而得出EO=FO,即可得出四边形AECF是平行四边形,得出答案即可；（2）利用（1）中所求,结合平行四边形的性质得出即可.
26．【答案】（1）（2t，t﹣4）；（2+2t，0）
（2）12；（﹣2，0）、（2，6）或（6，﹣6）
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】（1）设点P运动的时间为t，
可得：OP=2t，QO=OA-AQ=4-t，
所以点B的坐标为（2t，t-4），点C的坐标为（2+2t，0）；
（ 2 ）解：①当t=1时，
S四边形QOBC=S OQC+S OCB= ·（2+2）·3+ ·（2+2）·3=12，
②要使以点Q、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，
则可得点D的坐标有三种情况，
当QD∥BC，当t=1时，OD1=PC=2，故点D1的坐标为（﹣2，0）；
当QD∥BC，当t=1时，点B的坐标为（2，﹣3），3+3=6，故可得点D2的坐标为（2，6）；
当QB∥DC，当t=1时，点C的坐标为（4，0），故可得点D3的坐标为（6，﹣6）.
【分析】（1）设点P运动的时间为t，故OP=2t，QO=OA-AQ=4-t，由题意可得点B的坐标为（2t，t-4），点C的坐标为（2+2t，0）；
（2）根据S四边形QOBC=S△OQC+S△OCB计算即可；
（3）分三种情形讨论即可①当BQ为对角线时，OD1=PC=2，故点D1的坐标为（-2，0）；②当QC为对角线时，点B的坐标为（2，-3），可得点D2的坐标为（2，6）；③当BC2对角线时，点C的坐标为（4，0），可得点D3的坐标为（6，-6）；
1 / 1
